Beispiel mit Hinweisen 1 1/2 Vermessungsaufgaben Anläßlich einer
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Beispiel mit Hinweisen 1 1/2 Vermessungsaufgaben Anläßlich einer Erbschaft soll das viereckige Grundstück ABCD [d = AD = 78m, c = CD = 74m, Winkel CAB = D = 45°, Winkel CDA = G = 123°, Winkel ABC = E = 79° ] durch eine Gerade g, welche durch A verläuft in zwei flächengleiche Stücke aufgeteilt werden. In welcher Entfernung von C schneidet die Gerade g die Seite b oder die Seite c ? Um dieses Beispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen: x Trigonometrische Flächenformel x Kosinussatz x Sinussatz Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Beispiel mit Hinweisen 1 2/2 Vermessungsaufgaben Lösung: C c x D g e d bx A B a Zunächst alle Werte abspeichern: die Seite a unter a, den Winkel 6 unter aa, usw. Die Fläche des Dreiecks ACD kann direkt mit der trigonometrischen Flächenformel berechnet werden. Sie wird unter fl1 abgespeichert. Mit dem Kosinussatz wird die Diagonale e berechnet und das positive Resultat unter e gespeichert. Mit der Flächenformel a.e.sin(aa)/2 wird die Fläche des Dreiecks ABC berechnet und unter fl2 gespeichert. Mit dem Sinussatz läßt sich die Seite b berechnen. Offensichtlich ist die Fläche des Dreiecks ABC größer als die Fläche des Dreiecks ACD. Die gesuchte Gerade g muß also durch die Seite b verlaufen. Der Ansatz lautet: Die Fläche des neuen Dreiecks ABX ist halb so groß wie fl1 + fl2. Als Seiten sind a und (b-x) zu verwenden, der Winkel ist der Winkel bb. Man erhält für die gesuchte Strecke x den Wert 26,26m. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Beispiel mit Hinweisen 2 1/2 Vermessungsaufgaben Um die Geschwindigkeit eines auf dem Meer fahrenden Schiffes zu bestimmen, wird das Schiff vom Ufer aus angepeilt. Dabei erfolgt die Peilung gleichzeitig von den Punkten A und B aus, die 4150m voneinander entfernt sind. Bei der ersten Peilung ist das Schiff an der Position C und man mißt die Winkel: < CAB = 55°49‘ und < CBA = 24°8‘. Bei der zweiten Peilung 3 Minuten später ist das Boot an der Position D und man mißt < DAB = 30°12‘ und < DBA = 46°24‘. Wie schnell fährt das Boot? Um dieses Beispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen: x x x x Formel für die Geschwindigkeit Umrechnen von Minuten in Grad Kosinussatz Sinussatz Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Beispiel mit Hinweisen 2 2/2 Vermessungsaufgaben Lösung: D x C c b e A a B Die Winkel werden in Grad umgerechnet und unter den Bezeichnungen aa, aa1 usw gespeichert. Dabei steht aa für den Winkel D und aa1 für einen Teil von D. Der Winkel ADB wird berechnet und unter dd1 gespeichert. Mit dem Sinussatz berechnet man im Dreieck ABD die Diagonale e=AD Im Dreieck ABC berechnet man zunächst den Winkel cc1=ACB und dann mit Hilfe des Sinussatzes die Seite b. Im Dreieck ADC berechnet man den Winkel bei A und mit dem Kosinussatz die Strecke x=CD. Die Strecke x ist 1706m lang. Aus der Formel Geschwindigkeit=Weg/Zeit ergibt sich eine Geschwindigkeit von 34,14 km/h (die Meter werden in km umgerechnet und die Minuten in Stunden). Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Beispiel mit Hinweisen 3 1/3 Vermessungsaufgaben Ein Flugzeug startet von einem Punkt A der Startbahn aus, fährt am Kontrollpunkt des Flugplatzes vorbei und beginnt von einem Punkt B aus ohne Richtungsänderung zu steigen. Von dem h = 20m hohen Kontrollturm sieht man den Startpunkt A unter dem Tiefenwinkel G = 7,6° und nach Schwenken des Fernrohres um den Horizontalwinkel J = 113,1° den Aufstiegspunkt B unter dem Tiefenwinkel P = 1,3°. Berechne die Länge der Strecke AB, die das Flugzeug auf der Startbahn zurücklegt! Das Flugzeug erreicht bei einem konstanten Steigungswinkel H = 30° nach 20 Sekunden Steigzeit eine Flughöhe von 1000 m über dem Flugplatz und befindet sich nach dieser Steigzeit im Punkt C seiner gradlinig aufsteigenden Flugbahn. Berechne, wie groß die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit auf der Aufstiegsstrecke BC ist! Berechne, unter welchem Höhenwinkel, vom Kontrollturm aus, das Flugzeug im Punkt C erscheint! Um dieses Beispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen: x x x x x Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken Sinussatz Cosinussatz Zusammenhang v = s/t Räumliches Vorstellungsvermögen (Tipp: baue dir auf der Styroporplatte mit den Zahnstochern Modelle!) Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Beispiel mit Hinweisen 3 2/3 Vermessungsaufgaben Lösung: P c G d h b J a D E B tan (90° - 7,6°) = a/h a = 149,893 m tan (90° - 1,3°) = b/h b = 881,322m c² = 20² + b² c = 881,549m d² = 20² + a² d = 151,221m A AB² = a² + b² - 2a.b.cos 113,1 AB | 950,19m Fahrtstrecke des Flugzeuges auf der Fahrbahn: ca.950m C a 1000 m H B sin H v s t 1000 a a 2000m 2000 v 100m / s = 360km/h 20 durchschnittliche Fluggeschwindigkeit: ca.360km/h Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie 1000m Beispiel mit Hinweisen 3 3/3 Vermessungsaufgaben 2000m Z h=20m . d b 30° E D BD 2000² 1000² B a D A 1732,05m AD = AB + BD = 2682,2m b² = a² + AB²- 2.a.AB.cos D D = 58,56° d² = a² + AD² - 2.d.AD.cos D d = 2607,2m tan Z = 980 / d Z = 20,6° Höhenwinkel: rund 20,6° Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Beispiel mit Hinweisen 4 1/2 Vermessungsaufgaben Im Zuge des zweigleisigen Ausbaus der Tauernbahn-Südrampe wurde die alte Strecke unter anderem durch die neue gigantische Pfaffenberg – Zwenberg-Brücke ersetzt, die das Tal von A nach B überbrückt (s. Bild). Auf Grund des dichten Bergwaldes gestalteten sich die Vermessungsarbeiten sehr schwierig und konnten nur aus größerer Entfernung vorgenommen werden. Daher wurden von einem Punkt C der Talsohle folgende Winkel und Entfernungen gemessen: Höhenwinkel D nach A : 7° 03‘ 32‘‘ Höhenwinkel E nach B: 5° 37‘ 54‘‘ Entfernung CA: 935m Entfernung CB: 1071m Horizontaler Schwenkungswinkel M des Theodoliten: 20° 19‘ 15,8‘‘ a) Wie viele Meter befinden sich die Punkte A und B über der Talsohle? b) Wie lang ist die Brücke und wie viele Promille Steigung hat sie? Um dieses Beispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen: x Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken x Cosinussatz x Räumliches Vorstellungsvermögen Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Beispiel mit Hinweisen 4 2/2 Vermessungsaufgaben Lösung: A B J b a . y . c D E d M C sin D = a / AC a = 114,902m sin E = b / BC b = 105,1m Punkt A befindet sich ca, 115m über der Talsohle, Punkt B etwa 105m. cos D = c / AC c = 927,9m cos E = d / BC d = 1065,8m y² = c² + d² - 2 c d cos M y = 377,0m AB² = y² + (a-b)² AB = 377,1m Brückenlänge: ca. 377m sin J = (a-b) / AB J = 1,4892° tan J = 0,025998 Steigung 26,0 0/00 Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie
