Hall – Effekt in Germanium Physikalische Grundlagen

Hall – Effekt in Germanium
Physikalische Grundlagen
Die äußere Elektronenschale der Germanium-Atome enthält vier Valenzelektronen, die mit den Valenzelektronen der benachbarten Atome in kovalenter
Bindung stehen. Die Energieniveaus der Elektronen verbreitern sich dadurch zu
so genannten Energiebändern. Das Band mit der größten Energie heißt Leitungsband, das darunterliegende heißt Valenzband. Beide Bänder sind durch eine
Energielücke getrennt (englisch „gap“). Elektrischer Strom kann in Halbleitern
nur von Ladungsträgern im Leitungsband transportiert werden. Bei einem
chemisch reinen Halbleiter befinden sich bei der Temperatur von T = 0K alle
äußeren Elektronen im Valenzband, das Leitungsband ist unbesetzt. Bei Temperaturen von T > 0K können durch die thermische Energie Elektronen in das
Leitungsband gelangen (Eigenleitung). Die Aktivierungsenergie entspricht der
halben Breite der Energielücke. Die elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern
steigt daher mit steigender Temperatur an:
⎛ E ⎞
σ=σ 0 ⋅ exp ⎜ - gap ⎟
⎝ 2kT ⎠
(1)
Egap ist die Breite der Energielücke und k die Boltzmann-Konstante.
Eine Halbleiter-Probe mit rechteckigem Querschnitt wird von einem Strom I
durchflossen. Wenn der Leiter sich dabei in einem Magnetfeld befindet, dessen
Feldlinien senkrecht zur Stromrichtung verlaufen, kann man an zwei gegenüberliegenden Punkten des Leiters senkrecht zur Stromrichtung und senkrecht
zum Magnetfeld eine Spannung messen, die so genannte Hall-Spannung UH
(E.H. Hall, 1879). Ursache dieses Effektes ist die Lorentz-Kraft:
G
G JG
F=q·(v×B)
(2)
JG
G
B ist die magnetische Induktion, v die Geschwindigkeit und q die Ladung der
Ladungsträger. Da positive und negative Ladungsträger sich in Halbleitern in
verschiedene Richtungen bewegen und somit das Vorzeichen des Produktes q⋅v
für beide Ladungsträgersorten gleich ist, werden sie in dieselbe Richtung abgelenkt. Aus einer Messung der Polarität der Hall-Spannung kann somit ermittelt
werden, von welchem Ladungsträgertyp der Stromfluss dominiert wird.
Die Lorentz-Kraft, die auf die Ladungsträger wirkt, führt zur Ausbildung eines
elektrischen Feldes in y-Richtung Ey:
Ey =
F
q
(3)
Wegen F = q ⋅ vx ⋅ B (2) folgt daraus
E y =v x ⋅ B
(4)
Die Geschwindigkeit der Ladungsträger in x-Richtung vx hängt von deren
Beweglichkeit µ und der elektrischen Feldstärke Ex in x-Richtung ab (Feld
durch die von außen angelegte Spannung):
v x =µ ⋅ E x
(5)
E y =µ ⋅ E x ⋅ B
(6)
Es ergibt sich aus (4) und (5):
Das Feld Ex ist mit der angelegten Spannung U und der Länge der Probe l über
Ex =
verbunden. Mit R = U / I und R = σ
Probe) folgt daraus
Ex =
U
l
-1
(7)
⋅ l/A (A = b⋅h ist der Querschnitt der
R ⋅I
I
=
l
σ⋅b⋅h
(8)
µ ⋅B⋅I
σ⋅b⋅h
(9)
und wegen (6)
Ey =
Für die gemessene Hall-Spannung UH = Ey ⋅ b folgt schließlich
UH =
µ ⋅B⋅I
σ⋅h
(10)
UH, B, I und h können gemessen werden. Somit lässt sich aus dieser Messung
der Wert des Quotienten µ/σ bestimmen. Dieser Quotient trägt die Bezeichnung
Hall-Konstante oder Hall-Widerstand RH :
RH =
µ
σ
(11)
Wegen σ = q ⋅ n ⋅ µ (n ist die Dichte der Ladungsträger) gilt auch
RH =
1
q⋅n
(12)
Da q bekannt ist (meist gleich der Elementarladung) kann die Messung der HallSpannung also zur Bestimmung der Ladungsträgerdichte verwendet werden.
Wegen (10) ist die Hall-Spannung proportional zur Stromstärke in x-Richtung
und zum angelegten Magnetfeld. Außerdem hängt die Hall-Spannung noch von
der Temperatur der Probe ab. Bei steigender Temperatur erhöht sich in Halbleitern die Dichte n der freibeweglichen Ladungsträger. Wenn der Stromfluss
durch die Probe konstant gehalten wird, verringert sich wegen I = n ⋅ A ⋅ v die
Driftgeschwindigkeit v der Ladungsträger.
Da die Lorentz-Kraft proportional zu dieser Driftgeschwindigkeit ist, sinkt in
diesem Fall die Hall-Spannung mit steigender Temperatur.
Das angelegte Magnetfeld bewirkt nicht nur das Auftreten der Hall-Spannung,
sondern beeinflusst auch den Stromfluss in x-Richtung. Durch die Ablenkung
der bewegten Ladungsträger verkürzt sich die mittlere freie Weglänge und der
elektrische Widerstand vergrößert sich.
Versuchsvorbereitung
Wodurch unterscheiden sich Halbleiter von Nichtleitern und Leitern?
Welche Mechanismen der elektrischen Leitung gibt es in Halbleitern?
Wie verhalten sich Ladungsträger in elektrischen und in magnetischen Feldern?
Aufgaben
1. Bestimmen Sie den elektrischen Widerstand der Halbleiter-Probe als
Funktion der Temperatur (ohne Magnetfeld). Bestimmen Sie aus einer
geeigneten grafischen Darstellung die Größe der Energielücke zwischen
Valenz- und Leitungsband (Gap-Energie). Berechnen Sie die Leitfähigkeit σ
bei Zimmertemperatur.
2. Messen Sie den elektrischen Widerstand der Probe als Funktion der Stärke
des angelegten Magnetfeldes bei konstanter Temperatur. Stellen Sie die
Ergebnisse grafisch dar.
3. Messen Sie die Größe der Hall-Spannung, jeweils in Abhängigkeit vom
Stromfluß I, vom Magnetfeld B und von der Temperatur T (3 Meßreihen, nur
eine Größe wird variiert). Stellen Sie die Ergebnisse in drei Diagrammen dar.
Bestimmen Sie aus den Meßwerten folgende Größen: Hall-Konstante RH,
Beweglichkeit µ, Ladungsträgerdichte n.