2 Schließen und Beweisen Im Folgenden wollen wir nun festhalten

2 Schließen und Beweisen
Im Folgenden wollen wir nun festhalten, was gültige Schlussregeln sind.
Trivial Wahr
(W)
>
Verwendung
Die Regel im Textbeweis. . .
Es ist immer gültig, > anzunehmen. Deshalb
betrachten wir > stets als bereits ohne Weiteres
(trivial) bewiesen. Sehr oft benutzen wir die
Regel zusammen mit (Subst), um zu sagen,
dass eine Unterschiedung, die wir gleich treffen,
logisch immer wahr ist.
Kombiniert mit (Subst) schreiben wir z.B.
• Es
√ gilt (logisch)
√ stets, dass
2 ∈ Q oder 2 ∈
/ Q.
• Ohne Annahmen können
√
wir schließen,
dass 2 ∈ Q
√
/ Q.
oder 2 ∈
• √
Trivialer Weise
√ gilt
2 ∈ Q oder 2 ∈
/ Q.
√
>
(W)
2∈Q∨
√
2∈
/Q
(Subst)
..
.
Implikation-Beweis
ϕ→ψ
(→:Bew)
falls ϕ =⇒ ψ gilt
Verwendung
Die Regel im Textbeweis. . .
Diese Regel dient zum Beweisen einer Implikation. Die Nebenbedingung der Regel sagt,
dass wir sie anwenden dürfen, sofern wir einen
Beweis für ψ finden können, unter der Prämisse
ϕ. Dies ist sozusagen ein Nebenbeweis, den
wir führen müssen, um die Regel anwenden zu
dürfen. Die Regel selbst hat keine Prämissen,
da alles alleine aus dem Nebenbeweis folgt. Sie
ist daher stets ein Blatt eines Beweisbaumes.
√
√
• Annahme: 2 ∈ Q.
Dann/Damit
ist . . .
√
• A : 2√∈ Qa .
• Gelte 2 ∈ Q. Dann . . .
a Mathematiker
lieben möglichst
kurze Abkürzungen. A ist
Mathematiker-Deutsch
für
Annahme
2∈Q→1=0
..
.
Die nachfolgende Regel tritt, wie einige weitere Regeln auch, in zwei Varianten
auf: eine, die einen Ausdruck durch einen anderen ersetzt, und eine, bei der wir
62
2.2 Schließen und Beweisen
den äquivalenten Ausdruck mit einer Konjunktion hinzufügen.
Substitution
C[ϕ]
C[ψ]
(Subst)
C[ϕ]
C[ϕ ∧ ψ]
falls
[ϕ≡ψ]
gilt
Verwendung
Die Regel im Textbeweis. . .
Diese Regel erlaubt uns, logisch gleiche Ausdrücke zu ersetzen. Wir können hier also alle
Gesetze der Logik anwenden, die wir in Kapitel 1
kennen gelernt haben.
5∈
/ N∨5∈Q
5∈N→5∈Q
• 5∈
/ N ∨ 5 ∈ Q ist logisch
äquivalent zu
5 ∈ N → 5 ∈ Q nach der
Definierbarkeit von →.
• Nach den Gesetzen der
Logik können wir
5∈
/ N ∨ 5 ∈ Q äquivalent
umschreiben zu
5 ∈ N → 5 ∈ Q nach der
Definierbarkeit von →.
(Subst)wegen (Def. →)
Bei Regeln, die eine Nebenbedingung besitzen,
sollten wir auch immer kurz Begründen, weshalb
die Nebenbedingung erfüllt ist.
Auch diese Regel tritt in zwei Varianten auf. Zu beachten ist hier insbesonders,
dass wir in der ersten Variante einen positiven Kontext verlangen, in der anderen
Variante jedoch einen beliebigen Kontext erlauben. Würden wir bei der ersten
Variante beliebige Kontexte erlauben, so wäre die Regel nicht allgemein gültig.
Logisch-folgt
C + [ϕ] ϕ1 · · ·
C + [ψ]
falls
ϕn
[ϕ∧ϕ1 ∧···∧ϕn →ψ≡>]
Verwendung
C[ϕ] ϕ1 · · ·
C[ϕ ∧ ψ]
ϕn
(Impl)
gilt
Die Regel im Textbeweis. . .
Die soeben betrachtete Regel ist eine sehr mächtige Regel, da sie erlaubt, quasi
alles, was ein logisch gültiger Schluss ist, auch als Schlussregel zu verwenden. Die
meiste der nachfolgenden Regeln sind in der Tat eigentlich nur Anwendungen
dieser Regel. Es ist jedoch eine gute Idee, diese Regel selbst nur sehr sparsam
zu verwenden, da es für den Leser nicht sehr hilfreich ist, wenn man etablierte
Wege beim Beweisen verlässt, ohne dies sinnvoll zu müssen, da dies den Beweis oft
63
2 Schließen und Beweisen
sehr schwer nachvollziehbar macht. Fazit: die vorangegangenen Regeln sowie die
nachfolgenden genügen für vermutlich alle Beweise, die uns in den ersten Semestern
begegnen werden. Manchmal jedoch ist es notwenig, alle Register der Logik zu
ziehen und mit der obigen Regel zu arbeiten.
All-Instanziierung
(∀:Anw)
∀x : ϕ
[v ∈ U ]
(ϕ)[x := v]
Verwendung
Die Regel im Textbeweis. . .
• Da die Aussage für alle
natürliche Zahlen gilt, gilt
sie auch für 7.
• Aus Satz 42 folgt, dass 6
eine natürliche Zahl ist.
All-Verallgemeinerung
◦
◦
(ϕ)[x := v] gilt für ein unbestimmtes v ∈ U
(∀:Bew)
∀x : ϕ
Verwendung
Die Regel im Textbeweis. . .
Wir wollen zeigen, dass alle natürlichen Zahlen
größer als 0 sind. Wir arbeiten mit einem
◦
komplett unbestimmten Objekt v ∈ U , und
zeigen, dass die Aussage wahr ist. Danach
folgern wir als letzten Schritt
Dort folgt die Regel immer als
erster Schritt, um zu zeigen, dass
eine Aussage für alle Objekte aus
◦
U gilt. Wir ernennen v zu unserer
unbestimmten Variable, mit der
wir fortan stellvertretend für alle
Elemente aus U arbeiten werden.
..
.
◦
◦
v∈N→v≥0
∀x : x ∈ N → x ≥ 0
64
Wir schreiben:
◦
• Sei v ∈ U beliebig (aber
fest).
• Betrachte ein beliebiges
◦
v ∈ U.
2.2 Schließen und Beweisen
Existenz-Instanziierung
(∃:Anw)
∃x : ϕ
◦
(ϕ)[x := v] gilt für
ein nicht näher be◦
stimmtes v ∈ U
Verwendung
Die Regel im Textbeweis. . .
◦
Sei k ∈ M passend.
Existenz-Verallgemeinerung
(ϕ)[x := v] gilt für ein konkretes v ∈ U, das wir persönlich
genau kennen
(∃:Bew)
∃x : ϕ
Verwendung
Die Regel im Textbeweis. . .
und-Einführung/und-Beweis
C + [ϕ] ψ
C + [ϕ ∧ ψ]
(∧:Bew)
Verwendung
Die Regel im Textbeweis. . .
Wann immer wir ψ annehmen (oder gezeigt
haben), so dürfen wir diese Formel in jedem
positiven Kontext hinzufügen.
Im Textbeweis wird diese Regel
nicht sehr oft angewandt, da wir
dort oft nicht zwischen ϕ ∧ ψ
und ϕ und ψ unterscheiden. Falls
doch, so sagen wir einfach: da ϕ
und ψ gilt, gilt auch ϕ ∧ ψ.
65
2 Schließen und Beweisen
und-Beseitigung/und-Benutzung
C + [ϕ ∧ ψ]
C + [ψ]
(∧:Anw)
Verwendung
Die Regel im Textbeweis. . .
Diese Regel brauchen wir oft, wenn wir einen
Satz benutzen, der uns mehr Eigenschaften eines
bestimmten Objekts liefert, als wir brauchen.
Nehmen wir an, wir wollten zeigen, dass 26
durch 2 teilbar ist, verwenden dabei jedoch
einen Satz, der uns sagt, dass man 26 durch 2
teilen kann, und das Ergebnis größer als 5 ist.
Hier beschreiben wir einfach, was
die Regel aussagt in Worten, und
sagen sowas wie: da es ein k gibt,
so dass k ≥ 5 und 6 = 2k, so gibt
es ebenfalls ein k, so dass k ≥ 5.a
∃k : 6 = 2k ∧ k ≥ 5
∃k : 6 = 2k
(∧:Anw)
Da im Beispiel ein positiver Kontext vorliegt
(∃k : ◦), können wir den ungebrauchten Anteil
“∧ k ≥ 5” nach der Regel einfach wegwerfen.
a Wir
erwähnen diese Regel in
Textbeweisen selten explizit,
da sie so offensichtlich erscheint. Dennoch verwenden
wir sie, auch wenn das oft unerwähnt bleibt.
Wir haben soeben gesehen, dass wir für das logische Und zwei Regeln haben.
Eine, um es einzuführen, und eine, um es zu beseitigen. Für das logische Oder
werden wir im Folgenden nur eine Regel kennenlernen, um es einzuführen. Es gibt
keine entsprechende Beseitigungsregel!
Oder kann man nicht beseitigen
Folgende “Regel” gilt nicht! Weshalb?
ϕ∨ψ
ϕ
oder-Einführung/oder-Beweis
C + [ϕ]
C + [ϕ ∨ ψ]
Verwendung
66
(∨:Bew)
Die Regel im Textbeweis. . .
2.2 Schließen und Beweisen
modus ponens
C + [ϕ] ϕ → ψ
C + [ψ]
C + [ϕ] ϕ → ψ
C + [ϕ ∧ ψ]
(→:Anw)
Verwendung
Die Regel im Textbeweis. . .
Diese Regel erlaubt uns Implikationen so zu
gebrauchen, dass wir aus ihrer Prämisse auf ihre
Konklusion schließen.
Häufig liegt die Implikation in
Form eines mathematischen Satzes vor. Nehmen wir an, Satz 42
aus einer Vorlesung besagt: Wenn
x gerade ist, so ist x eine natürliche Zahl. Ein Ausschnitt aus
einem Beweis, indem wir diese
Schlussregel anwenden, könnte
dann so aussehen:
∀x : g(x) → x ∈ N
g(6)
g(6) → 6 ∈ N
6∈N
(∀:Anw)
(→:Anw)
“. . . also muss 366 eine gerade Zahl sein. Zusammen mit
Satz 42 folgt damit, dass 366 eine
natürliche Zahl ist.. . . ”
Wir sehen, dass diese Schlussregel
nur implizit erwähnt wird. Dadurch, dass man weiss, dass Satz
42 die Form einer Implikation
hat, ist klar, dass (→:Anw) angewandt werden muss. Man hält
also nur fest, dass ϕ gilt (“. . . also
muss k eine gerade Zahl sein.”)
und dass er Satz (in Form einer
Implikation) auf ϕ angewandt
wird.
Bemerkung: Der Satz wird hier direk verwendet, obwohl er eigentlich allquantifiziert ist. Die passende Instanziierung von x zu 366 geschieht vollkommen implizit.
Diese implizite Behandlung von der Allquantifizierung haben wir schon zuvor bei
der Regel (∀:Anw) kennengelernt.
67
2 Schließen und Beweisen
Fallunterscheidung
C + [ϕ1 ∨ · · · ∨ ϕn ]
ϕ1 → ψ
C + [ψ]
···
ϕn → ψ
Verwendung
(FU)
Die Regel im Textbeweis. . .
hypothetische Fallunterscheidung
ϕ1 → ψ · · · ϕn → ψ
ϕ1 ∨ · · · ∨ ϕn → ψ
Verwendung
(H-FU)
Die Regel im Textbeweis. . .
hypothetischer Syllogismus /Transitivität
ϕ→ψ ψ→ξ
ϕ→ξ
Verwendung
((→:Bew)-2)
Die Regel im Textbeweis. . .
Widerspruch
ϕ→ξ
falls [ξ≡⊥]
¬ϕ
Verwendung
68
(Widersp.)
Die Regel im Textbeweis. . .
2.2 Schließen und Beweisen
Kontraposition
(KontraP.)
ϕ→ψ
¬ψ → ¬ϕ
Verwendung
Die Regel im Textbeweis. . .
Wie gehe ich mit Umformungen von nicht logischen Ausdrücken um, z.B.
mit arithmetischen Gesetzen Sehr oft müssen wir in Beweisen Gleiches durch
Gleiches ersetzen. So schreiben wir in der Arithmetik ganz natürlich Dinge wie
3 + (3 + 3) = 3 + 6 = 9.
Hierbei haben wir 3 + 3 durch 6 ersetzt, und dann 3 + 6 durch 9. Denken wir
zurück, was wir in Kapitel 1 gelernt haben: es gibt viele verschiedene Arten von
Gleichheiten, die wir alle Unterscheiden. So haben wir z.B. semantisch (oder logisch) Gleich (als Zeichen ≡) deutlich unterschieden von absolut gleich (als Zeichen
=). Auch beim Rechnen müssten wir dies strenggenommen tun, da obige Ausdrücke natürlich syntaktisch höchst verschieden sind, also eigentlich nicht absollut
gleich sind. Sie sind jedoch semantisch gleich, da sie die selbe Zahl repräsentieren
(nämlich die 9). Da es sehr mühsam ist, stets zwischen all den vielen verschiedenen
Gleichheitszeichen zu unterscheiden, und jedesmal ein neues Symbol einzuführen,
benutzen wir für so ziemlich alles, was wir als “gleich” empfinden6 , das selbe Zeichen, nämlich =. Wichtig ist dabei jedoch, stets im Kopf zu behalten, dass wir
nicht immer genaus die selbe Gleichheit vor uns haben, sondern nur das selbe
Symbol (“Gleicher Name, aber andere Person”). Alle diese Gleichheiten haben jedoch eine wichtige Eigenschaft gemeinsam: Wenn wir in der Mathematik schreiben,
dass a = b ist (mit dem Zeichen =), so kann ich a in jedem beliebigem größeren
Ausdruck gegen b austauschen und umgekehrt, ohne die Bedeutung des gesamten
Ausdrucks zu verändern.
Aber Achtung: Nicht jede Äquivalenzrelation hat diese Eigenschaft! Von Zeit
zu Zeit werden ihnen Theorien begegnen, wo Dinge zwar als “gleich” betrachtet
werden, man diese aber nicht ohne weiteres gegeneinander austauschen darf. Wir
schreiben dann dort aber sich auch nicht das Symbol = um die Gleichheit zu
bezeichnen!
6 besser:
was der erfahrene Mathematiker als gleich empfindet
69
2 Schließen und Beweisen
Äquivalenzrelationen, die die Austauscheigenschaft besitzen, nennt man auch
Kongruenzrelationen.
Wann immer wir in der Mathematik das Symbol = für eine Gleichheit benutzen, dann gilt, dass = eine Äquivalenzrelation und eine Kongruenzrelation
ist.
Wie gehen wir damit nun in Beweisen um? Welche Regel wenden wir an? An
sich können wir keine der Regeln, die wir kennengelernt haben, sinnvoll anwenden,
um in einer Aussage z.B. 3+3 durch 6 zu ersetzen. Das liegt darin, dass 3+3 und 6
selbst keine logischen Aussagen sind, sondern nur als Teil einer logischen Aussage
in einem Prädikat vorkommen. Unsere Regeln sprechen jedoch ansich nur über
Aussagen. Dennoch können wir mathematische Gleichheiten in unseren Beweisen
verwenden, und müssen dies sogar sehr oft. Wir ziehen dabei eigentlich jedoch
keine logischen Schlüsse, sondern schreiben Ausdrücke einfach nur um, indem wir
Gleiches durch Gleiches ersetzen.
Beispiel 2.7
◦
◦
◦
◦
Wir haben die logische Aussage n = 6k + 2 für n und k ∈ N. Wir wollen daraus
◦
◦
schließen, dass es ein l ∈ N gibt, so dass zeigt, dass n eine gerade Zahl ist, also
◦
◦
dass gilt n = 2 l.
◦
◦
Man beachte zunächst, dass der Ausdruck n = 6k + 2 tatsächlich eine logische
◦
◦
Aussage ist, da wir eine Gleichheit wie eine Prädikatanwendung = (n, 6k + 2)
◦
◦
betrachten können, die uns (für konkrete n und k) eindeutig wahr (w) oder falsch
◦
◦
(f ) liefert. Jetzt wollen wir mathematisch wie folgt umformen: 6k + 2 = 2 · 3k + 2 =
◦
◦
2 · 3k + 2 · 1 = 2 · (3k + 1). Da wir wissen, dass wir gleiches durch gleiches ersetzen
◦
◦
◦
◦
dürfen, schreiben wir die Aussage n = 6k + 2 um zu der Aussage n = 2 · (3k + 1),
◦
und wir folgern dass ∃l : k = 2l gilt!
◦
◦
◦
◦
Als wir soeben die Aussage n = 6k + 2 um zu der Aussage n = 2 · (3k + 1)
umgeschrieben haben, haben wir gleiches durch gleiches ersetzt. Jedoch mit welcher
Beweisregel? Die einzige Regel die noch irgendwie in Frage kommen könnte, ist die
Regel (Subst). Diese passt jedoch nicht, da wir dort nur Aussagen durch gleiche
Aussagen erseten dürfen7 . Wir haben jetzt jedoch arithmetische Ausdrücke durch
arithmetische Ausdrücke ersetzt. Das ist etwas ganz anderes.
Wie wir gesehen haben, besitzen wir leider keine passende Regel für solche Ersetzungen. Unsere Logik kann uns diese auch nicht liefern, da wir ja keine logischen
7 wobei
70
gleich hier auch heisst: gleich bezüglich ≡
2.2 Schließen und Beweisen
Aussagen betrachten, sondern Ausdrücke der Arithmetik (oder einer anderen spannenden Theorie der Mathematik, je nachdem, worüber wir Beweise führen). Diese
Regel formal komplett richtig aufzuschreiben ist etwas hässlich. Wir verlassen uns
dabei auf unse gute Intuition, und halten einfach fest:
In jeder Aussage darf Gleiches durch Gleiches ersetzt werden, ohne die Aussage in ihrem Wahrheitsgehalt zu verändern!
Um solche Umformungen auch in unsere Textbeweise und Beweisbäume gut einbauen zu können, formulieren wir folgende (etwas intuitiv gehaltene Regel):
Gleiches-durch-Gleiches
(=-Subst)
ϕ
ϕ
falls sich ψ aus ϕ ergibt, indem man in ϕ einen Ausdruck A durch einen
Ausdruck B ersetzt, und wir wissen, dass mathematisch A = B gilt.
Verwendung
Die Regel im Textbeweis. . .
Um die Regel anwenden zu können, müssen
wir also stets zeigen, dass die Gleichheit gilt.
Dies müssen wir sehr oft in einem Nebenbeweis
zeigen. Dabei ist, wie immer, jeder Schritt gut
zu begründen.
Im Text beweis schreiben wir
ganz analog zum Beweisbaum
◦
◦
◦
◦
◦
◦
folgt n = 2 · (3k + 1) da 6k + 2 =
◦
◦
◦
2·3k+2 = 2·3k+2·1 = 2·(3k+1)a .
◦
n = 6k + 2
◦
◦
im Beispiel: Aus n = 6k + 2
(=-Subst) wegen ?1
n = 2 · (3k + 1)
wobei ?1 folgende mathematische Gleichheit
bedeutet
a auch
hier müssten alle Umformungen begründet werden.
Wir lassen sie hier nur aus
Platzgründen weg.
◦
6k + 2
(2 · 3 = 6 wg. elementaren Rechenregeln)
◦
=2 · 3k + 2
(da 1 neutrales Element bzlg. Multiplikation))
◦
=2 · 3k + 2 · 1
(Distributivgesetz)
◦
=2 · (3k + 1)
71