Grundlagen der Informatik -- Logik

Grundlagen der Informatik – Logik
Sibylle Schwarz
Fachgruppe Informatik
Fachbereich Physikalische Technik / Informatik
Westsächsische Hochschule Zwickau
Dr.-Friedrichs-Ring 2a, RII 263
http://wwwstud.fh-zwickau.de/~sibsc/
email: [email protected]
Logik – Geschichte
Logik in Philosophie, Rhetorik
Aristoteles (384 - 322 v.Chr.)
Aussagenlogik
Grundlagen der Rechentechnik
Einleitung
Informatik
Informatik Wissenschaft von der Verarbeitung symbolischer
Information durch Algorithmen
Teilgebiete der Informatik:
theoretisch
◮
◮
George Boole (1815 - 1864)
◮
Mathematische Logik
Formalisierung des Beweisens (Begriffe und Schlußregeln)
technisch
Sprachen zur Formulierung von Information
und Algorithmen,
Möglichkeiten und Grenzen
der Berechenbarkeit durch Algorithmen,
Grundlagen für technische und praktische
(und angewandte) Informatik
maschinelle Darstellung von Information
Mittel zur Ausführung von Algorithmen
(Rechnerarchitektur, Hardware-Entwurf, . . . )
◮
◮
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Gottlob Frege (1848 - 1925)
David Hilbert (1862 - 1943)
Kurt Gödel (1906 - 1978) Unvollständigkeitssatz
Logik in der Informatik
technische Informatik (Digitaltechnik):
◮ Logikgatter / Schaltnetze
klassische Aussagenlogik
praktische Informatik (Programmierung):
◮ Spezifikation:
Definition der Anforderungen an Programme
◮ Verifikation:
Sicherheit und Korrektheit von Software
◮ abstrakte Datentypen (Liste, Stack, . . . )
definiert durch Eigenschaften statt spezieller Realisierung
Prädikatenlogik, Modale und temporale Logiken
angewandte Informatik (Künstliche Intelligenz):
◮ automatischen Beweisen / Problemlösen
◮ Planen
◮ Wissensrepräsentation / Expertensysteme
Prädikatenlogik, nichtklassische Logiken
allgemein: Logik als Sprache zur Formulierung und
Manipulation geeigneter Modelle der Realität
Nebenwirkungen
praktisch Entwurf und Implementierung von Algorithmen
(Betriebssysteme, Compilerbau, SE, . . . )
angewandt Anwendung von Algorithmen
(Textverarbeitung, Computergraphik, KI, . . . )
Inhalt der Lehrveranstaltung
◮
Aussagenlogik
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Algebraische Strukturen
Prädikatenlogik
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Modellierungsbeispiele
Syntax
Semantik (Wahrheitswertfunktionen,
Wahrheitswerttabellen)
Schaltalgebra
logisches Folgern, Beweisen
logisches Schließen, Kalküle
Modellierungsbeispiele
Syntax
Semantik
logisches Folgern
logisches Schließen, Kalküle
Einblick in nichtklassische Logiken
Literatur
empfohlen:
◮
Grundverständnis der Logik als Sprache der Informatik
◮
Fähigkeit zur Abstraktion
◮
Grundkenntnisse in Modellbildung
◮
Beweisverfahren
◮
Zusammenhänge zu anderen Gebieten der Informatik und
Mathematik
◮
Uwe Schöning: Logik für Informatiker,
Spektrum, 1995
◮
Jürgen Dassow: Logik für Informatiker,
Teubner, 2005
ergänzend:
◮
Wolfgang Thomas, Jörg Flum, Heinz-Dieter Ebbinghaus:
Einführung in die mathematische Logik
Spektrum, 1998
◮
Bernhard Heinemann, Klaus Weihrauch: Logik für
Informatiker,
Teubner Stuttgart, 1992
◮
Kreuzer, Kühling: Logik für Informatiker,
Pearson Studium, 2006
Organisation
Prüfung
Modul: Grundlagen der Informatik
Teil: Logik
Informationen zur Lehrveranstaltung:
Folien, Übungsserien, Termine, Änderungen, ...
Klausur für ganzes Modul „Grundlagen der Informatik“
(Februar)
http://wwwstud.fh-zwickau.de/~sibsc/lehre/ws08/logik
Lehrveranstaltungen:
◮
wöchentlich eine Vorlesung (30 h)
Donnerstag 11:20 - 12:50 Uhr, HS 2
◮
14tägig ein Seminar (15 h)
Mittwoch 15:20 - 16:50 Uhr, R247
(2 Gruppen 082079/1)
Donnerstag 15:20 - 16:50 Uhr, R307
(2 Gruppen 082079/2)
Logik-Teil: Aufgabentypen aus Übungsserien
Zulassungsvoraussetzungen:
Lösung der Hausaufgaben
◮
schriftlich:
Nachweis durch mindestens dreimal Vorrechnen in
Seminaren
◮
50 % der praktischen Pflichtaufgaben
Vor- und Nachbereitung (60 h): Hausaufgaben, Literaturstudium
Selbststudium (15 h): Literaturstudium, Prüfungsvorbereitung
Schriftliche Hausaufgaben – Seminar
Praktische Hausaufgaben – Autotool
schriftliche Übungsserien:
https://autotool.imn.htwk-leipzig.de/cgi-bin/Super.cgi
http://wwwstud.fh-zwickau.de/~sibsc/lehre/ws08/logik
Account anlegen:
1. Click „FH Zwickau“
◮
Nachbereitung der letzten Vorlesung
◮
Vorbereitung der nächsten Vorlesung
◮
Vorbereitung der Seminarvorträge
◮
3. Click „absenden“
Passwort wird an die angegebene Email-Adresse geschickt (bis
30 min).
Seminar:
◮
2. Daten eintragen (korrekte Studenten-Nummer,
Email [email protected])
Besprechung der Lösungen der schriftlichen
Hausaufgaben
(Vorrechnen durch Studenten)
Fragen zum aktuellen Vorlesungsstoff und zu den
schriftlichen und praktischen Hausaufgaben
Account benutzen:
◮
Anmeldung mit Studentennummer (Click „Login“)
◮
Passwort ändern (Click „update“)
◮
„Einschreiben“ in Übungsgruppe
◮
Aufgabe ansehen und lösen (Click „Solve“)
Aussagen
Aussage = Behauptung
Beispiele:
Aussagenlogik
◮
Es regnet.
◮
Die Straße ist naß.
◮
9 ist eine Primzahl.
√
2∈
◮
Wahrheitswerte
Q
◮
3<5
◮
x < 5 (hängt von x ab, keine Aussage)
◮
Ist x < 5? (keine Aussage)
◮
Sei x < 5. (keine Aussage)
◮
Morgen regnet es.
◮
Es ist nicht alles Gold, was glänzt.
Zusammengesetzte Ausdrücke – Junktoren
Wahrheitswerte 1 (wahr) oder 0 (falsch)
Jeder Aussage p kann genau ein Wahrheitswert W(p) ∈ {0, 1}
zugeordnet werden.
Prinzipien der klassischen Logik:
Zweiwertigkeit Jede Aussage ist wahr oder falsch.
ausgeschlossener Widerspruch Keine Aussage ist sowohl
wahr als auch falsch.
Beispiele:
◮ W(Es regnet.) = ?
◮ W(Die Straße ist naß.) = ?
◮ W(9 ist eine Primzahl.) = 0
√
◮ W( 2 ∈
)=0
◮ W(3 < 5) = 1
◮ W(Morgen regnet es.) = ?
◮ W(Es ist nicht alles Gold, was glänzt.)=1
Q
Junktor (mit zugeordneter Stelligkeit):
Symbol (Syntax) für Verknüpfung von Aussagen
Semantik (Bedeutung) eines n-stelligen Junktors ∗:
[∗] : {0, 1}n −→ {0, 1}
(n-stellige Funktion auf der Menge {0, 1})
Wahrheitswertkonstanten (nullstellige Junktoren):
t mit [t] = 1
f mit [f] = 0
Konjunktion ∧
Es regnet und 9 ist eine Primzahl.
◮ W(9 ist eine Primzahl.)= 0
◮ W(Es regnet)=?
◮ W(Es regnet und 9 ist eine Primzahl.)=0
p ∧ q ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen p und q wahr
sind.
W(p) W(q) W(p ∧ q)
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
W(p ∧ q) = min(W(p), W(q))
[∧] = min ist kommutativ, assoziativ
n
^
i=1
W(p) W(q) W(p ∨ q)
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
n
_
pi = p1 ∧ p 2 ∧ · · · ∧ p n
W(p ∨ q) = max(W(p), W(q))
i=1
pi = p1 ∨ p 2 ∨ · · · ∨ p n
Implikation →
√
√
¬( 2 ∈ )
(meist 2 6∈
√
◮ W( 2 ∈
)=0
√
◮ W(¬( 2 ∈
)) = 1
Q
Wenn es regnet, dann ist die Straße naß.
Q)
Q
W(p) W(¬p)
0
1
1
0
W(¬p) = 1 − W(p)
Äquivalenz ↔
3 < 5 gilt genau dann, wenn 0 < 5 − 3 gilt.
◮
W(3 < 5) = 1
◮
W(0 < 5 − 3) = 1
W(3 < 5 gilt genau dann, wenn 0 < 5 − 3 gilt.)=1
p ↔ q ist genau dann wahr, wenn entweder beide Aussagen p
und q gelten oder beide nicht gelten.
W(p) W(q) W(p ↔ q)
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
W(p ↔ q) =
◮
W(Es regnet.)=?
◮
W(Die Straße ist naß.)=?
◮
W(Wenn es regnet, dann ist die Straße naß.)=1
p → q ist genau dann wahr, wenn die Aussage p falsch oder
die Aussage q wahr ist.
¬ϕ ist genau dann wahr, wenn ϕ falsch ist.
◮
Es regnet oder 3 < 5.
◮ W(3 < 5) = 1
◮ W(Es regnet)=?
◮ W(Es regnet oder 3 < 5.)=1
p ∨ q ist genau dann wahr, wenn wenigstens eine der
Aussagen p und q wahr ist.
[∨] = max ist kommutativ, assoziativ
Negation ¬
Q
Disjunktion ∨ (inklusiv)
½
1 falls W(p) = W(q)
0 sonst
W(p) W(q) W(p → q)
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
W(p → q) =
½
1 falls W(p) ≤ W(q)
0 sonst