Proseminar: Logik für Informatiker

Proseminar: Logik für Informatiker
Prädikatenlogik (1.Teil)
Übersicht
Agenda
Warum eine
Proseminar:
Logik für Informatiker
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
Thema: Prädikatenlogik (1. Teil)
als formale Sprache
Beweisidee der
Autor: Sebastian Ernst
Prädikatenlogik
Fragen
Autor: Sebastian Ernst
Proseminar: Logik für Informatiker
Prädikatenlogik (1.Teil)
Übersicht
Agenda
Agenda
1.
2.
•
•
Warum eine
mächtigere Sprache?
Agenda
Warum eine mächtigere Sprache?
3.
Prädikatenlogik als formale Sprache
•
•
•
•
Prädikatenlogik
als formale Sprache
4.
Terme
Formeln
Freie und gebundene Variablen
Substitution
Beweisidee der Prädikatenlogik
•
Beweisidee der
Einleitung
Definitionen
Natural Deduction Rules
•
•
•
Prädikatenlogik
•
Fragen
5.
Beweisregeln für Gleichheit
Beweisregeln für Allquantoren
Beweisregeln für Existenzquantoren
Äquivalenz der Quantoren
Fragen
Autor: Sebastian Ernst
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Prädikatenlogik (1.Teil)
Übersicht
Einleitung
-
Agenda
Warum eine
Entwurf der Prädikatenlogik um Elemente, eine Auswahl,
etc. darstellen zu können
Alle Schachtarbeiter sind älter als einige Gefreite.
Einige Vögel können nicht fliegen.
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
-
Grenzen der Aussagenlogik erreicht
-
Einführung von Prädikaten/Prädikatensymbolen:
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
-
S(Fritz), G(Heiaar), Ä(Fritz,Heiaar)
Verallgemeinerung mittels Individuenvariablen
S(x), G(y)
Ä(x,y)
Autor: Sebastian Ernst
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Prädikatenlogik (1.Teil)
Übersicht
Definitionen
Agenda
Warum eine
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
1. Individuenvariablen: x, y, z, . . . , x1, x2, . . .
2. Individuenkonstanten: a, b, c, . . . , a1, a2, . . .
3. Funktionssymbole beliebiger Anzahl an Stellen:
f, g, h, . . . , f1, f2, . . .
4. Prädikatssymbole beliebiger Anzahl an Stellen:
P, Q, R, . . . , P1, P2, . . .
5. Junktoren: ∧ (und), ∨ (oder), ¬ (nicht)
6. Quantoren:
∀ (Allquantor – „für alle“),
∃ (Existenzquantor – „es gibt“)
7. Hilfszeichen: (, ), , (Komma)
Autor: Sebastian Ernst
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Prädikatenlogik (1.Teil)
Übersicht
Definitionen
Beispielsatz formal in Prädikatenlogik ausdrückt:
Agenda
Warum eine
S(x):
x ist ein Schachtarbeiter
G(x):
x ist ein Gefreiter
Ä(x ,y): x ist älter als y
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
∀x( S ( x) → (∃y (G ( y ) ∧ Ä ( x, y ))))
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
Gelesen als: „Für alle x gilt, wenn x ein Schachtarbeiter ist, dann gibt es ein y für
das gilt, y ist ein Gefreiter und x ist älter als y“
-
Prädikatenlogik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik
Alle Definitionen, Interferenzregeln, Theoreme,
algebraischen Umformungsregeln, etc der
Aussagenlogik gelten auch in der Prädikatenlogik
Autor: Sebastian Ernst
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Prädikatenlogik (1.Teil)
Übersicht
Terme
-
Agenda
1)
2)
3)
Warum eine
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
Die Klasse der Terme wird induktiv definiert durch die
folgenden drei Schritte.
Jede Individuenvariable ist ein Term.
Jede Individuenkonstante ist ein Term.
Sind t1,...,tn Terme und f eine n-stellige
Funktion, so ist auch f(t1, . . . , tn) ein Term.
als formale Sprache
-
In BNF (Backus-Naur-Form):
Beweisidee der
t ::= x | c | f (t1,..., t 2)
Prädikatenlogik
Fragen
-
wobei x eine Variable ist, c ∈ C und f ∈ F
C – Menge der Konstanten
F – Menge der Funktionen
Autor: Sebastian Ernst
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Prädikatenlogik (1.Teil)
Übersicht
Formeln
Die Klasse der prädikatenlogischen Formeln wird
induktiv definiert durch die folgenden vier Schritte:
Agenda
1)
Warum eine
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
2)
3)
als formale Sprache
4)
Sind t1,…, tn Terme und P ein n-stelliges Prädikatensymbol,
so ist P(t1,…, tn) eine Formel.
Ist α eine Formel, so ist auch (¬α ) eine Formel.
Falls α und β Formeln sind, so sind auch (α ∧ β) und (α ∨ β)
Formeln.
Falls α eine Formel ist und x eine Individuenvariable,
so sind auch (∀ xα) und ( ∃xα) Formeln.
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
-
In BNF (Backus-Naur-Form):
α ::= P (t 1, t 2,..., tn) | (¬α ) | (α ∧ α ) | (α ∨ α ) | (α → α ) | (∀xα ) | (∃xα )
Autor: Sebastian Ernst
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Prädikatenlogik (1.Teil)
Übersicht
Formeln
-
Klammereinsparung möglich durch Bindungsregeln
Agenda
1.) ∀ , ∃ und ¬ binden stärker als
Warum eine
mächtigere Sprache?
2.)
Prädikatenlogik
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
∧
bindet stärker als
∧
∨
3.) Binäre Operatoren gleicher Stärke werden als
links geklammert angesehen.
Bsp.:
(( A ∧ B ) ∧ C ) ∧ D ) ⇔ A ∧ B ∧ C ∧ D
Fragen
Autor: Sebastian Ernst
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Prädikatenlogik (1.Teil)
Übersicht
Freie und gebundene Variablen
Agenda
-
Warum eine
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
Definition:
Sei α eine prädikatenlogische Formel.
Dann ist x frei in α, wenn x ein Blatt im Syntaxbaum von
α ist, und es keinen Knoten ∀x oder ∃x im Pfad von x
zur Wurzel gibt. Andernfalls heißt x gebunden.
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
Autor: Sebastian Ernst
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Prädikatenlogik (1.Teil)
(∀x( P ( x) ∧ Q ( x))) → (¬P ( x) ∨ Q ( y ))
Übersicht
→
•Quantoren Knoten
•jeder Quantor hat
Agenda
einen Teilbaum
∨
∀x
Warum eine
•Prädikatensymbol
•n-viele Teilbäume
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
∧
als formale Sprache
¬
Q
P
y
Beweisidee der
Prädikatenlogik
P
Q
frei
Fragen
x
gebunden
x
gebunden
x
frei
Autor: Sebastian Ernst
y
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Übersicht
Substitution
Agenda
Warum eine
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
als formale Sprache
Definition:
Sei x eine Variable, t ein Term und α eine Formel, so ist
α [t / x ] definiert als die Formel, die man erhält, wenn man
alle freien Vorkommen von x in α durch t ersetzt.
-
Trivial, aber es können unerwünschte Seiteneffekte
auftreten
Bsp.:
S ( x) ∧ ∀y ( P ( x ) → Q ( y ))
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
-
Sei nun t = f ( y , y ) und α [t / x ] die Substitution
S ( f ( y , y )) ∧ ∀y ( P ( f ( y , y )) → Q ( y ))
Autor: Sebastian Ernst
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Prädikatenlogik (1.Teil)
Übersicht
Substitution
Agenda
Warum eine
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
Definition:
Gegeben sei ein Term t, eine Variable x und
eine Formel α . Wir sagen „t ist frei für x in α“, wenn
kein freies Vorkommen von x in α im Gültigkeitsbereich
von ∀ y oder ∃ y für eine Variable y in t liegt.
S ( x) ∧ ∀y ( P ( x ) → Q ( y ))
als formale Sprache
t ist nicht frei für x in α
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
-
Lösung: Umbenennung der Variablen vor α [t / x]
S ( f ( y , y )) ∧ ∀z ( P ( f ( y , y )) → Q ( z ))
Autor: Sebastian Ernst
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Übersicht
Natürliche Deduktionsregeln
Agenda
Warum eine
1.
Beweisregeln für Gleichheit
-
Gleichheit ist wenn für alle Modelle gilt, das die Formeln
oder Terme zum gleichen Wert ausgewertet werden
Ziel:
Erfüllung der Grundlagen der extensionalen Gleichheit
Reflexivität (trivial), Symmetrie und Transitivität
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
(natural deduction rules)
Beweis der Transitivität:
α ist hierbei t1 = x.
1
t2 = t3
2
t1 = t2
3
t1 = t3
Prämisse
Prämisse
=e 1,2
Autor: Sebastian Ernst
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Übersicht
Natürliche Deduktionsregeln
Agenda
Warum eine
2.
Beweisregeln für Allquantoren
-
Regel der Allquantoren-Eliminierung:
∀xα
∀xe
α [t / x]
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
(natural deduction rules)
Ist ∀xα wahr, dann kann man x in α durch irgendeinen
Term t ersetzen und folgern α [t / x] ist ebenfalls wahr
-
Erinnerung zur Verwendung einer Beweisbox:
Variable x0 steht für einen unspezifizierten Wert aus dem Universum.
Idee: beweise α für einen willkürlichen
Term x0 und folgere ∀xα
x0 darf nicht außerhalb dieser Box sein
Autor: Sebastian Ernst
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Natürliche Deduktionsregeln
Agenda
Warum eine
mächtigere Sprache?
(natural deduction rules)
2.
Beweisregeln für Allquantoren
-
Beispiel:
∀x ( P ( x ) → Q ( x )), ∀x P ( x )
∀x Q ( x)
Prädikatenlogik
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
Autor: Sebastian Ernst
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Prädikatenlogik (1.Teil)
Übersicht
Natürliche Deduktionsregeln
Agenda
Warum eine
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
(natural deduction rules)
3.
Beweisregeln für Existenzquantoren
-
Regel der Existenzquantoren-Eliminierung:
α [t / x]
∃xi
∃xα
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
wir können ∃xα herleiten, wenn α [t / x] für mindestens
einen Term t existiert
Fragen
Autor: Sebastian Ernst
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Prädikatenlogik (1.Teil)
Übersicht
Natürliche Deduktionsregeln
Agenda
Warum eine
mächtigere Sprache?
(natural deduction rules)
3.
Beweisregeln für Existenzquantoren
-
Beispiel:
∀x ( P ( x ) → Q ( x )), ∃xP ( x )
Prädikatenlogik
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
Autor: Sebastian Ernst
∃xQ (x )
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Prädikatenlogik (1.Teil)
Übersicht
Äquivalenz der Quantoren
Hierbei verwenden wir das Zeichen -||- , als Ausdruck dafür
das: ψ α und α ψ gilt.
Agenda
Warum eine
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
…
Autor: Sebastian Ernst
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Übersicht
Äquivalenz der Quantoren
Beweis von Theorem 1a)
Agenda
a) Hinrichtung: ¬∀xφ
∃x¬φ
Warum eine
mächtigere Sprache?
Prädikatenlogik
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
-
wir führen einen Widerspruchsbeweis – RAA (Reductio ad absurdum)
-
wir wollen mittels der Allquantoren-Eliminierung beweisen, dass es
die Annahme ¬∃x¬P (x ) zu der Aussage
Widerspruch zur Prämisse
Autor: Sebastian Ernst
∀xP (x ) führt und somit zum
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Äquivalenz der Quantoren
Beweis von Theorem 1a)
Agenda
a) Hinrichtung: ¬∀xφ
∃x¬φ
Warum eine
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Prädikatenlogik
als formale Sprache
Widerspruch zur
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Annahme
Fragen
Autor: Sebastian Ernst
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Prädikatenlogik (1.Teil)
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Äquivalenz der Quantoren
Beweis von Theorem 1a)
Agenda
a) Rückrichtung: ∃x¬φ ¬∀xφ
- gleiche Vorgehensweise
Warum eine
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Prädikatenlogik
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Widerspruch zur
Annahme
Fragen
Autor: Sebastian Ernst
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Übersicht
Agenda
Warum eine
mächtigere Sprache?
Noch Fragen ???
Prädikatenlogik
als formale Sprache
Beweisidee der
Prädikatenlogik
Fragen
Autor: Sebastian Ernst