Versuch EP2 Elektrische Schwingkreise (RCL) I. Zielsetzung des

BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL
FACHBEREICH C - PHYSIK
ELEKTRONIKPRAKTIKUM
Versuch EP2
Elektrische Schwingkreise (RCL)
I.
Zielsetzung des Versuches
Im diesem Versuch des Elektronikpraktikums sollen die gedämpfte elektrische Schwingung bei
einem RCL-Kreis und die erzwungenen Schwingung in einem LC-Schwingkreis mit Hilfe des
Oszillographen untersucht werden.
II.
1)
Vorkenntnisse
allgemeine Vorkenntnisse
Allgemeine Schwingungsgleichung und deren Lösung, komplexe e-Funktion, Zeitkonstante
Literatur: jedes Lehrbuch der Physik, Elektrizität
2)
spezielle Vorkenntnisse
Spule (Induktivität), Wechselstromwiderstände (Impedanz), Darstellung der komplexen Wechselstromgrößen im Zeigerdiagrammen, (un-/gedämpfte) elektrische Schwingkreise.
Literatur: B ERKELEY: Band 2, Kap. 8.4.
W.WALCHER: Praktikum der Physik
H ERING , B RESSLER , G UTEKUNST: Elektronik für Ingenieure
und Naturwissenschaftler
M.R EISCH: Elektronische Bauelemente
S CHNELL , W.G ERHARD: Elemente der Elektronik
1
III.
1)
Theorie
Untersuchung der idealisierten ungedämpften elektrischen Schwingung anhand des
LC-Glieds
S
U0
L
C
Abbildung 1: LC-Glied
In Abbildung 1 ist ein idealisierter ungedämpfter Schwingkreis abgebildet. Hierbei wird zunächst
ein Kondensator C über eine Spannungsquelle aufgeladen. Nach Umlegen des Schalters S
entlädt sich dieser über eine Spule L (auch als Induktivität bezeichnet). Wegen der Maschenregel gilt:
UL = UC
(1.1)
Mit den Relationen
dI
dt
(1.2)
Q(t)
C
(1.3)
UL = −L
und
UC =
folgt hieraus:
L
dIL Q(t)
+
=0
dt
C
Mit
IC (t) =
dQ(t)
dt
(1.4)
(1.5)
liefert Differenziation dieser Gleichung:
1 dIC
d2 IL
=0
+
2
dt
C dt
Unter Berücksichtigung der Knotenregel
L
IL = IC = I
(1.6)
(1.7)
ergibt sich schließlich die homogene Differenzialgleichung 2.Ordnung:
1 dI
d2 I
+
=0
dt2
LC dt
(1.8)
Über einen komplexen Ansatz der Form
I(t) = I0 · eiωt
(1.9)
erhält man in Analogie zum mechanischen harmonischen Oszillator aus dieser Differenzialgleichung die Eigen-/ Resonanzfrequenz des Systems zu:
ωR = √
2
1
LC
(1.10)
2)
Untersuchung der gedämpften elektrischen Schwingung bei einem RCL-Kreis
Abbildung 2: RCL-Kreis
Spule
Drehpotentiometer
Der reale elektrische Schwingkreis berücksichtigt im Gegensatz zum idealisiertem LC-Glied
eine Dämpfung, welche durch einen elektrischen Widerstand hervorgerufen wird. Er unterscheidet sich vom RC-Kreis (EP1, Abschnitt 7)) im Wesentlichen durch das Hinzufügen einer
Induktivität als weiteres passives Element in der Schaltung. Es gelten daher alle Überlegungen,
die bis jetzt durchgeführt wurden, nur muss jetzt eine neue Differenzialgleichung aufgestellt
werden. Wir betrachten dazu die Schaltung zu der Zeit, in der die Spannung am Funktionsgenerator (IP) Null ist. Dann gilt für die Spannungen in diesem Stromkreis (analog zum RC-Glied
im EP1-Skript):
UL + UR + UC = 0
(2.1)
Mit den Relationen (1.2) und (1.3) folgt hieraus:
Q(t)
dIL (t)
+ RIR (t) +
=0
(2.2)
dt
C
Differenziation dieser Gleichung liefert unter Berücksichtigung der Knotenregel IL = IC =
IR = I :
d2 I
dI
1
L 2 +R + I =0
(2.3)
dt
dt C
Auch hierbei erhält man üblichen Weise die Lösung durch einen Ansatz mit komplexer eFunktion (s. Gl. (1.9)). Nach Einsetzen in obige Gleichung (2.3) ergibt sich für ω die Bedingung:
r
1
R
R2
ω± = i
±
− 2
(2.4)
2L
LC 4L
Wie beim RC-Glied messen wir wieder die Spannung, die am Kondensator anliegt. Da in diesem
Stromkreis diesmal jedoch eine Spule hinzugeschaltet ist, können wir hier nicht von dieser
Spannung auf den Strom schließen. Mit den Gleichungen (1.3) und (1.4) folgt aber:
L
dUC (t)
dt
IC (t) = C
Also ist
1
UC (t) =
C
und damit nach Gleichung (1.9)
Z
(2.5)
t
dt′ IC (t′ )
(2.6)
0
I0 iωt
e = U1 eiωt
(2.7)
Ciω
Mit (2.4) erhalten wir für die Spannung die Lösung
!
!#
r
r
"
R2
R2
1
1
R
−
t + U2 exp −i
−
t
(2.8)
UC (t) = exp − t U1 exp i
2L
LC 4L2
LC 4L2
UC (t) =
3
wobei U1 und U2 komplexe
Zahlen sind, die durch die Anfangsbedingungen festgelegt sind. Der
R
Faktor exp − 2L
t ist ein Dämpfungsterm (gedämpfte Schwingung).
q
1
R2
Der Term exp ±i LC − 4L2 t wird folgendermaßen interpretiert – man unterscheidet drei
Möglichkeiten:
a) Schwingfall
2
R
1
> 4L
Der Radikant ist positiv: LC
2
D.h. der Widerstand R ist verhältnismäßig klein. Dann ist die Wurzel reell und die komplexe e-Funktion stellt eine harmonische Schwingung mit der Frequenz
r
1
R2
ω1 =
− 2
dar.
LC 4L
b) Kriechfall
2
R
1
< 4L
Der Radikant ist negativ: LC
2
D.h. der Widerstand dominiert in diesem Schwingkreis. In diesem Fall reduziert sich die
komplexe e-Funktion zu der reellen e-Funktion und stellt einen weiteren Dämpfungsterm
dar. Dieser weitere Dämpfungsterm tritt mit zwei Vorzeichen auf:
R
UC (t) = exp − t [U1 exp(−ω2 t) + U2 exp(ω2 t)]
(2.9)
2L
r
1
R2
ω2 =
−
2
4L
LC
U1 und U2 werden wieder durch die Anfangsbedingungen festgelegt.
c) Aperiodischer Grenzfall
Der Radikant ist Null, d.h.:
1
LC
=
R2
4L2
Dann fällt die komplexe e-Funktion in Gl. (2.8) fort, sodass wir nur noch eine Lösung
erhalten, die zur Erfüllung der Anfangsbedingungen nicht ausreicht. Man erhält aber eine
2. Lösung mit
R
(2.10)
UC (t) = B ′ t e− 2L t
Die Halbwertszeit ist angenähert
T1/2 =
2L
· 1, 68
R
(2.11)
Eine genaue Herleitung von (2.10) und (2.11) finden Sie im Anhang (S.11).
Beim Kriechfall ist die Dämpfung in jedem Fall größer als im aperiodischen Grenzfall, d.h. im
Kriechfall geht das System langsamer in die Nullage.
Der aperiodische Grenzfall ist für den Bau von Drehspulgalvanometern von besonderer Bedeutung, da auch hier ein gedämpftes, schwingungsfähiges System (Zeiger mit Spule) vorliegt.
Betreibt man ein solches System im aperiodischen Grenzfall, so stellt sich der abzulesende Wert
am schnellsten ein.
4
3)
Untersuchung des gedämpften elektrischen Schwingkreises
Abbildung 3: Elektrischer Schwingkreis
FG: Funktionsgenerator im Betrieb sinus“
”
Osz.: Oszillograph
Sonst Schaltung wie beim RCL-Kreis, jedoch Drehpotentiometer auf
R = 0 gestellt bzw. überbrückt (d.h. Spule direkt an FG angeschlossen).
Der Versuchsaufbau ähnelt sehr desjenigen im Abschnitt 2). Allerdings messen Sie jetzt nicht
mit einer von außen angelegten Spannung von Null Volt (=homogene Differenzialgleichung),
sondern erregen den Schwingkreis mit einer sinusförmigen Amplitude. In Analogie zu Gl. (2.2)
wird dieser Schwingkreis durch folgende Differenzialgleichung beschrieben:
U (t) = U0 cos(ωt) = L
dI
Q
+ RI +
dt
C
(3.1)
wobei R der O HMsche Widerstand der Spule und ω die Frequenz des Funktionsgenerators (FG)
ist. Die Lösung dieser Differenzialgleichung für eine erzwungene Schwingung legt ein anderes Lösungskonzept nahe, als das in den Abschnitten 2) und 6) (EP1) verwendete: Die Berechnung des Problems mit Hilfe des Zeigerdiagramms vereinfacht den Lösungsweg. In diesem Lösungskonzept fasst man Widerstände, Ströme und Spannungen als komplexe Werte auf,
die sich in der komplexen Zahlenebene darstellen lassen, wobei die experimentell messbaren
Größen die Realteile der komplexen Vektoren sind (Eine ausführliche Darstellung des Problems steht im G ERTHSEN, Physik). Damit lässt sich die harmonische Zeitabhängigkeit der
Wechselspannung in Gl. (3.1) wie folgt darstellen:
U (t) = U0 eiωt
(3.2)
Danach führt Differentiation der Gl. (3.1) mit Gl. (2.5) zu:
L
d2 I
dI
I
+ R + = iωU0 eiωt
2
dt
dt C
(3.3)
Diese Differenzialgleichung legt nun folgenden Lösungsansatz nahe:
I(t) = I0 ei(ωt−ϕ)
(3.4)
Einsetzen in Gl. (3.3) ergibt:
iωL + R − i
1
U0 iϕ
=
e
ωC
I0
(3.5)
Diese Gleichung lässt sich als komplexe Widerstandsgleichung interpretieren. Stellt man diese
Größen in der komplexen Zahlenebene als Zeigerdiagramm dar, so kann man die Lösung direkt
ablesen:
5
Abbildung 4: Zeigerdiagramm
U0
(3.6)
I0 = q
1 2
R2 + (ωL − ωC
)
1
ωL − ωC
tan ϕ =
(3.7)
R
Geht man mit Gl. (3.6) in den Ansatz (3.4) ein, so ergibt sich für den experimentell messbaren
Strom (Realteil!):
U0
(3.8)
I(t) = q
cos(ωt − ϕ) ,
1 2
2
R + ωL − ωC
wobei durch die Phasenverschiebung ϕ über Gl. (3.7) bestimmt ist. I(t) ist dabei der Strom, der
durch den gesamten Stromkreis fließt. Sie messen mit dem Oszillographendie Spannung UC ,
welche über dem Kondensator abfällt. Nach Integration von I(t) erhält man dann:
UC =
Q(t)
=
C
U0
q
ωC R2 + ωL −
1 2
ωC
sin(ωt − ϕ)
(3.9)
Wie bei allen erzwungenen Schwingungen treten auch hier Resonanzphänomene auf, die sich
durch ein Maximum der Amplitude und durch Änderung des Phasenwinkels zwischen erregender und erregter Schwingung bemerkbar machen. Den Phasenwinkel können Sie unmittelbar
messen, da Sie gleichzeitig die erregende Schwingung und die Kondensatorspannung UC auf
dem Oszillographenschirm sehen.
Ein Schwingkreis wird durch zwei Größen charakterisiert: die Resonanzfrequenz, die in unse1
rem Fall ωR = √LC
ist, und durch die Größe Q (= Qualität, ebenfalls gebräuchliche Bezeichnung: Güte) des Schwingkreises.
Die Definition von Q ist:
Q=ω
Energie, die im Schwingkreis gespeichert ist
mittlerer Leistungsverlust pro Periode
(3.10)
Numerisch lässt sich Q berechnen aus:
Q=
ωR L
R
6
(3.11)
Mit Hilfe der Resonanzkurve lässt sich Q auch direkt messen.
In erster Näherung gilt:
∆ω
1
=
Q
ωR
(3.12)
wobei ∆ω das Frequenzintervall um die Resonanzfrequenz ist, in dem die Amplitude auf
abgefallen ist.
7
√1
2
IV. Versuchsprogramm
1)
Wechselstromwiderstände (Impedanzen)
1. Spule und Kondensator sind in ihrem elektrischen Verhalten zwei gegensätzliche Bauteile. Das wird z.B. an ihrem Frequenzverhalten deutlich. Im dies zu untersuchen, bauen
Sie zunächst noch einmal wie im letzten Versuch einen RC-Kreis auf. Schließen Sie den
Funktionsgenerator (Einstellung: SINUSspannung) an und messen Sie an einigen Punkten die Eingangsspannung Ue und die Ausgangsspannung UC über dem Kondensator. Der
Frequenzbereich sollte dabei von einigen 10 Hz bis über 100 kHz gehen.
Abbildung 5: Schaltplan RC-Kreis. Empfehlung: R=1 kΩ, C=1 µF
2. Tauschen Sie in der Schaltung den Kondensator durch die Spule aus. Messen Sie ebenfalls die Eingangsspannung Ue und die Ausgangsspannung UL über der Spule sowie die
Phasenverschiebung zwischen Ue und UL
Abbildung 6: Schaltplan RL-Kreis. Empfehlung: R=100 Ω, L=150 µH
3. Stellen Sie UC und UL jeweils als Funktion der Frequenz dar. Benutzen Sie eine halblogarithmische Darstellung, d.h. tragen Sie die Frequenz (x-Achse) logarithmisch auf.
2)
a)
LC-Kreis
Resonanzkurve
Nun nehmen wir eine Resonanzkurve auf, also UC als Funktion der Frequenz. Stellen Sie den
Funktionsgenerator wieder auf SINUSsignal.
Damit Sie den Effekt sofort sehen und nicht jedesmal die Resonanzkurve durch langwierige
Messungen von Hand ermittelt werden muß, verwenden Sie einige technische Hilfsmittel:
8
Abbildung 7: Schaltplan LC-Kreis; L=150 µH, C=1 nF
• Mit der SWEEPFUNKTION durchfährt der Funktionsgenerator immer wieder einen vorgegebenen Frequenzbereich. Über eine Hilfsschaltung (fertig in einer Box) wird die Frequenz in eine linearproportionale Gleichspannung Uf1 = k · f , k = const. umgesetzt.
• Mit der GLEICHRICHTERFUNKTION wird die Wechselspannung an UC in eine zur
Amplitude linearproportionale Gleichspannung UC1 = k · UˆC , k = const. umgesetzt.
• Wenn Sie Ihr Oszilloskop im xy-Modus betreiben, Uf1 (oder Uf2 ) auf die x-Achse geben
und UC1 (oder UC2 ) auf die y-Achse, sehen Sie sofort die Resonanzkurve.
b)
Resonanzfrequenz
Um die Resonanzfrequenz zu bestimmen, können Sie die Sweepfunktion wieder abschalten
und den Funktionsgenerator von Hand auf die Frequenz mit der maximalen Ausgangsspannung
UC1 stellen. Am Display lesen Sie dann die Frequenz ab. Vergleichen Sie mit dem theoretischen
Wert f = 2π√1LC .
3)
a)
RCL-Kreise
Schwingfall, Kriechfall, aperiodischer Grenzfall
Was passiert, wenn Sie eine Spule und einen Kondensator gemeinsam in einem Stromkreis
verwenden? Um dies zu untersuchen, bauen Sie die folgende Schaltung auf, bei der auch noch
ein einstellbarer Widerstand (Potentiometer P) vorhanden ist:
Abbildung 8: Schaltplan RCL-Kreis. Empfehlung: P=10 kΩ, L=150 µH, C=1 nF
Wir wollen untersuchen, wie das Verhalten des RCL-Kreises von der Größe des Widerstandes
abhängt.
9
Der Funktionsgenerator wird dabei in der Einstellung RECHTECKsignal verwendet. Stellen
Sie eine Frequenz von 1 kHz ein. Als Ausgangsspannung messen Sie UC über dem Kondensator. Beobachten Sie, wie sich UC als Funktion des Widerstandes P ändert. Wann tritt ein
Schwingfall auf, wann ein Kriechfall? Stellen Sie auch den aperiodischen Grenzfall ein.
4)
Anwendungen von LC-Kreisen
Bei Ihren Steckelementen ist ein fertiger LC-Kreis, der sich auf Resonanzfrequenzen von etwa 500 kHz bis 1500 kHz einstellen läßt. Das sind die Sendefrequenzen des MittelwellenRundfunks. Wir wollen versuchen, uns mit ganz wenigen Bauelementen eine Mittelwellenempfänger aufzubauen. Die allerersten Mittelwellenradios, die in den zwanziger Jahren des
vergangenen Jahrhunderts gebaut wurden, hatten noch keinen Verstärker, sondern bestanden nur
aus einem solchen Schwingkreis, einer langen Antenne, einer Gleichrichterdiode und natürlich
einem Kopfhörer. Bauen Sie die Schaltung gemäß Schaltplan auf, D=Germaniumdiode AA119
oder ähnlich, LC = fertiger Resonanzkreis.
Leider ist die in der Universität empfangene Leistung dermaßen gering und von Störsignalen
überlagert, dass ein Mittelwellenempfänger mit dieser einfachen Schaltung nicht möglich ist.
Wir verwenden daher einen modulierbaren Sinusgenerator, der über eine Sendespule ein Feld
erzeugt, welches in unmittelbarer Nähe den Kopfhörer ansteuern kann.
5)
Frequenzbereich des menschlichen Gehörs
Wenn noch Zeit und Lust ist, können Sie den Lautsprecher oder Kopfhörer an den Funktionsgenerator anschließen. Hören Sie sich zunächst an, wie die verschiedenen Signalformen (Sinus,
Dreieck, Rechteck) klingen und prüfen Sie dann, bis zu welcher Maximalfrequenz (Einstellung
Sinus) Sie hören können.
Universität Wuppertal
pk 4/7.2008
10
LATEX:22. Oktober 2008
A
Anhang
1)
Lösungen des elektrischen Schwingkreises
Die Lösung des elektrischen Schwingkreises (2.8) wird durch zwei Anfangsbedingungen festgelegt:
1. Der Impulsgenerator lädt den Kondensator bei jedem Puls auf die Spannung U0 auf. D.h.
UC (t = 0) = U0
(A.1)
2. Im Gegensatz zum RC-Kreis, bei dem der Strom sprunghaft auf seinen Maximalwert ansteigt und dann exponentiell abfällt, verhindert beim RCL-Kreis die Spule dieses Verhalten: In der Spule wird eine dem Strom entgegengerichtete Spannung induziert, die der
Zeitableitung des Stromes proportional ist. Dadurch wächst der Strom erst stetig bis zu
seinem Maximalwert an, um dann wieder abzufallen.
Das heißt:
dUC
=0
(A.2)
dt
Durch diese beiden Anfangsbedingungen sind die Spannung am Kondensator und der Strom
vollständig bestimmt.
I(t = 0) = C
Beim aperiodischen Grenzfall reduziert sich Gl. (2.8) zu
R
UC = A exp −
t
2L
(A.3)
Diese Gleichung kann jedoch nicht beide Anfangsbedingungen (A.1) und (A.2) gleichzeitig
erfüllen. Es zeigt sich aber, dass noch eine weitere Lösung neben (A.3) auftritt:
R
UC = Bt exp − t
(A.4)
2L
R
R
dU
= CB 1 −
t exp − t
(A.5)
I = C
dt
2L
2L
Setzt man (A.5) in die Differenzialgleichung (2.3) ein, so ergibt sich:
2 3 !
2 !
R
R
R
1
R
R
L 3
1−
−
t + R −2
t +
+
t =0
2L
2L
2L
2L
C
2L
und nach Umordnung der Terme:
2
R
R
1
1
R2
+
t=0
−
− 2+
4L
LC
2L 4L2 LC
(A.6)
(A.7)
1
R
Wie man sieht, kann diese Gleichung nur dann für alle Zeiten erfüllt sein, wenn LC
= 4L
2 ist!
(A.4) ist also nur für den aperiodischen Grenzfall Lösung der Differenzialgleichung (2.3). Als
allgemeine Lösung für den aperiodischen Grenzfall erhält man dann:
R
UC (t) = (A + Bt) exp − t
(A.8)
2L
Am Beispiel des aperiodischen Grenzfalls soll nun gezeigt werden, wie aus den Anfangsbedingungen die richtigen Koeffizienten A und B bestimmt werden:
11
Nach (A.8) ist
UC (t = 0) = A = U0
nach (A.1)
1 dUC (t)
R
1
R
R
I(t) =
− A+B−
=
Bt exp − t
C dt
C
2L
2L
2L
R
1
nach (A.2)
− A+B =0
I(t = 0) =
C
2L
R
R
B =
A=
U0
2L
2L
Damit lautet die exakte Lösung beim aperiodischen Grenzfall
R
R
t exp − t
UC (t) = U0 1 +
2L
2L
(A.9)
(A.10)
(A.11)
(A.12)
(A.13)
und
R2
R
(A.14)
I(t) = − 2 t exp − t
4L C
2L
Aus Gl. (A.13) kann man die Halbwertszeit T1/2 bestimmen, bei der die Spannung auf die Hälfte
der Ausgangsspannung abgefallen ist:
1
R
R
UC (T1/2 ) = U0 = U0 1 +
(A.15)
T1/2 exp − T1/2
2
2L
2L
Substituiert man hier X =
graphisch lösen läßt:
R
T ,
2L 1/2
so erhält man eine Gleichung, die sich numerisch oder
2(1 + X) = eX
(A.16)
Abbildung 9: Graphische Lösung der Gleichung 2(1 + X) = eX
Für X erhält man dann den Wert
X=
R
T1/2 = 1, 67835
2L
12
(A.17)
und damit die Halbwertszeit
2L
· 1, 67835
(A.18)
R
Für die drei Schwingungsarten ergeben sich mit den Anfangsbedingungen die in Abb.10 dargestellten Verläufe von Spannung UC und Strom I im Stromkreis:
T1/2 =
Abbildung 10: Gedämpfte harmonische Oszillation: Schwing-/ Kriech-/ aperiodischem Grenzfall
13