Facharbeit „Komplexe Zahlen“

Komplexe Zahlen
Facharbeit
vorgelegt am 23.03.2010
Fach:
Mathematik
Klasse:
LTa09
von
Florian Hennig
Fachoberschule:
Berufliches Schulzentrum Mittweida
Betreuer:
Herr Laurinat
II
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
1 Einleitung in die Komplexen Zahlen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.1 Die Definition der Komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2 Darstellung der Komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.3 Anwendung von Rechenoperationen mit Komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3.2 Multiplikation und Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3.3 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3.4 Der Betrag einer Komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 Verbindung zur Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.1 Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Die Imaginäre Einheit
3.2 Die Eulersche Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2.1 „Die schönste Formel der Mathematik” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2.2 Darstellung von Winkelfunktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.3 Expotentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Anwendungsbeispiele
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1 Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Schlusswort
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Anhang
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Quellenverzeichnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
III
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1
Darstellung in der Polarform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Abbildung 2
Die konjugiert komplexe Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Abbildung 3
Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Abbildung 4
Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Abbildung 5
Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Abbildung 6
Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Abbildung 7
z mit Betrag 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Abbildung 8
Ausschnitt von z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Abbildung 9
Eulersche Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Abbildung 10 Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Abbildung 11 Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
1 Einleitung in die Komplexen Zahlen
Betrachtet man die Zahlen und Zahlenbereiche aus historischer Sicht, so stellt man fest das es
stets Weiterentwicklungen gab, die teilweise durch sehr einfache Sachverhalte zustande kamen.
Die Ganzen Zahlen wurden schon frühzeitig beim Tauschhandel verwendet und sie wurden bald
mit negativen und gebrochenen Zahlen erweitert, denn wenn man zum Beispiel 7 durch 2 teilt,
erhält man 3,5. Der Rationale Zahlenbereich war entstanden. Nur war es selbst mit deren Erweiterung, den reellen Zahlen, die auch die Zahlen π und e erhalten und mit denen auch das
Logarhitmieren, Potenzieren und Radizieren durchführbar ist , nicht möglich folgende Gleichung
zu lösen:
x2 + 1 = 0
Denn für Quadratwurzeln aus negativen Zahlen gibt es keine reelle Lösung.
Die ersten Mathematiker die sich mit diesem Problem auseinandergesetzt haben waren die Italiener Gerolamo Cardano (1501-1576) und Rafael Bombelli (1526-1572). Cardano war vermutlich
der erste der Berechnungen mit komplexen Zahlen durchführte, und dies bereits im 16. Jahrhundert. Bombelli erwähnte in seinem 1572 erschienenem Werk L’Algebra imaginäre Zahlen als Erweiterung der Lösungstheorien für algebratische Gleichungen. Im Laufe der Geschichte setzten
sich weitere Mathematiker mit diesem Sachverhalt auseinander so erkannte zum Beispiel
Gottfried Willhelm Leibniz (1646-1716) die Beziehung:
q
q
√
√
√
1 + −3 + 1 − −3 = 6
Weiterhin beteiligt waren René Descartes (1667-1754), der vermutete das die Anzahl der
Lösungen einer Gleichung, immer gleich des Grades der Gleichung sind, und Abraham de Moivre
(1667-1754) der sich mit Winkelfunktionen befasste, und entdeckte, dass man Beziehungen
leichter ausdrücken kann wenn man imaginäre Zahlen verwendet.
Leonhard Euler (1707-1783) bezeichnete die Imaginäre Einheit mit „i”. Diese Bezeichnung wurde
dann von Friedrich Gauß (1777-1855) verwendet und verbreitet.
Diese Erweiterung der reellen Zahlenbereiches bildet einen neuen Zahlenbereich, den der
Komplexen Zahlen.
2
2 Die Imaginäre Einheit
Im 18. Jahrhundert führte Euler die Zahl i als imaginäre Einheit ein. Da
√
x1;2 = ± −1
keine reelwertige Lösung ergibt, wurde festgelegt:
√
−1 = i
und somit:
i2 = −1
Alle Rechenoperationen, einschließlich Gegenoperationen, die mit reellen Zahlen möglich sind,
können auch mit der Imaginären Einheit i durchgeführt werden, und sind widerspruchsfrei.
(Permanenzprinzip)1
Komplexe Zahlen werden meist mit einem z bezeichnet.
2.1 Die Definition der Komplexen Zahlen
Eine Komplexe Zahl ist eine Zahl der Form:
z = a + bi
mit a, b R.
Hierbei heißt Re(z) = a der Realteil
und Im(z) = b der Imaginärteil von z.
Die Menge der Komplexen Zahlen hat das Symbol C
es gilt:
RC
1
nach: Mathematik Fachoberschulen, Hoffmann, Krämer, Ponnath (S.392)
3
2.2 Darstellung der Komplexen Zahlen
Sie lassen sich, wie die reelen Zahlen, in einer Ebene veranschaulichen, die als Gaußsche Zahlenebene2
bezeichnet wird.
Die Einteilung der Achsen in der Gaußschen Zahlenebene erfolgt in:
Realteil (x-Achse) und
Imaginärteil (y-Achse).
Abb. 1: Darstellung in der Polarform
Die Zahl setzt sich zusammen wie ein Vektor, aus dem „Betrag” (r) und dem „Argument” (ϕ). Man
bezeichnet diese Darstellung auch als Polarform. Das Argument ϕ berechnet sich mit Hilfe der
Seiten-Winkel-Beziehung am rechtwinkligen Dreieck:
ϕ = arg (z) = arctan
b
a
Als konjugiert3 komplexe Zahl z̄ von z = a + bi versteht man z̄ = a − bi. Dies spielt insbesondere
bei der Division von komplexen Zahlen eine Rolle.
Abb. 2: Die konjugiert komplexe Zahl
2
3
siehe: Begriffserklärung (S.15)
siehe: Begriffserklärung (S.15)
4
2.3 Anwendung von Rechenoperationen mit Komplexen Zahlen
2.3.1 Addition und Subtraktion
Die Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen unterscheidet sich nicht von den reellen
Zahlen. Es gelten die bekannten Rechenregeln:
z1 = a1 + b1 i
z2 = a2 + b2 i
Addition:
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i
Beispiel: z1 = (4 + i)
z2 = (3 + 2i)
(4 + i) + (3 + 2i) = 7 + 3i
Abb. 3: Addition
In Abbildung 3 ist zu erkennen, dass die Zahlen genau wie Vektoren behandelt werden, und somit
ergibt sich der Summen-Vektor aus dem Anfangspunkt des ersten Vektors z1 und der letzten
Verschiebung des zweiten Vektors z2 .
Subtraktion:
z1 − z2 = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i
Beispiel: (4 + i) − (3 + 2i) = 1 − i
Subtrahiert werden die Vektoren, indem man die Addition mit dem Gegenvektor −z2 durchgeführt.
5
Abb. 4: Subtraktion
2.3.2 Multiplikation und Division
Multiplikation
Auch bei der Multiplikation z1 · z2 müssen lediglich die bekannten Rechenregeln angewandt werden. Wenn man die Klammern auflöst erhält man:
(a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) = a1 a2 + a1 b2 i + b1 ia2 + b1 ib2 i
durch vertauschen der Summanden ergibt sich:
(a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) = a1 a2 + a1 b2 i + b1 ia2 + b1 b2 ii
es gilt: i · i = i2 = −1
(a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) = a1 a2 + a1 b2 i + b1 ia2 − b1 b2
und anschließend wird das i zur besseren Übersicht ausgeklammert. Es entsteht:
(a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i
Beispiel:
z1 = (1 + 3i)
z2 = (2 − 2i)
(1 + 3i) · (2 − 2i) = 2 − 2i + 6i − 6i2
= 2 + 4i + 6
= 8 + 4i
6
Bei der Multiplikation in der Polarform werden die Beträge der Zahlen miteinander multipliziert,
und die Argumente werden addiert.
Abb. 5: Multiplikation
Division
Man kann bei der Division zweier Zahlen das i im Nenner beseitigen, indem man mit der konjugiert
komplexen Zahl des Nenners erweitert, und anschließend die dritte Binomische Formel anwendet:
z1
z2
=
=
=
a1 + b1 i
(a1 + b1 i)(a2 − b2 i)
=
a2 + b2 i
(a2 + b2 i)(a2 − b2 i)
(a1 a2 + b1 b2 ) + (a2 b1 − a1 b2 )i
a2 + b2
(a1 a2 + b1 b2 ) (a2 b1 − a1 b2 )
+
·i
a22 + b22
a22 + b22
Komplexe Zahlen werden dividiert, indem man mit der konjugiert Komplexen Zahl des Nenners
erweitert.
Beispiel: z1 = 4 + 6i
z2 = 2 + i y z̄2 = 2 − i
7
(4 + 6i) · (2 − i)
(2 + i) · (2 − i)
8 − 4i + 12i + 6
=
4 + 2i − 2i − i2
14 + 8i
=
5
z = 2, 8 + 1, 8i
(4 + 6i)
(2 + i)
=
Abb. 6: Division
2.3.3 Potenzen
Die Potenzen von i haben einen besonders hohen Stellenwert, da man mit i2 = −1 wieder eine
reele Zahl erhält. Auch hier werden die bekannten Potenzgesetze angewendet:
i3
= i · i2
= −i
i4 = i2 · i2 = (−1)2 · (−1)2 = 1
Für ganzzahlige Exponenten (n Z) gilt:
in = 1 f alls n = 4k
i f alls n = 4k + 1
−1 f alls n = 4k + 2
−i f alls n = 4k + 3
8
2.3.4 Der Betrag einer Komplexen Zahl
Der Betrag einer Komplexen Zahl berechnet sich wie der Betrag von Vektoren:
|z| =
p
a2 + b2
z = 3 + 4i
p
|z| =
32 + 4 2
|z| = 5
3 Verbindung zur Trigonometrie
3.1 Idee
Im Abschnitt 2.3.2 wird beschrieben das bei der Multiplikation von komplexen Zahlen, die Argumente addiert werden. Es findet also eine Umwandlung der Rechenoperation statt.4
Dies wird auch beim Logarhitmieren angewendet.
ln(2 · 8) = ln(2) + ln(8)
Da das Logarhitmieren eine Umkehrfunktion des Potenzierens ist und auch hier ähnliche Sachverhalte vorliegen, wird klar das hier ein Zusammenhang besteht.
Gesucht sei die Zahl z mit der Länge 1:
Abb. 7: z mit Betrag 1
4
21_Potenzen_und_Wurzeln_komplexer_Zahlen,_Eulersche_Identitaet.pdf (S.3)
9
Zur Bestimmung der Zahl z könnte eine andere Zahl zn benutzt werden, die ein Teil von z ist.
Abb. 8: Ausschnitt von z
Da der Winkel ϕ im Bogenmaß einen Abschnitt des Einheitskreises angibt, kann man bei kleinen
Winkeln a ≈ c setzten. Doch bei größeren Winkeln wird der Unterschied zwischen a und c immer
größer.
Jedoch lässt sich der große Winkel ϕ mit der n Potenz von zn darstellen: z = (zn )n und wenn
zn = (1 +
iϕ
n)
ist,:
z = (1 +
z =
iϕ n
)
n
lim (1 +
n→∞
iϕ n
)
n
Bei der Bestimmung der Expotentialfunktion ex nutzt man den selben Sachverhalt:
ex = lim (1 +
n→∞
x n
)
n
Daher wird nun die reelle Zahl x durch die komplexe Zahl iϕ ersetzt.
eiϕ = lim (1 +
n→∞
iϕ n
)
n
Wenn nun die Winkel-Seiten-Beziehungen von rechtwinkligen Dreiecken verwendet werden, um
die Strecken der X-Achse und Y-Achse bis zu der Zahl eiϕ darzustellen,
10
Abb. 9: Eulersche Identität
erhält man eine Formel, die sich die „Eulersche Identität” nennt.
3.2 Die Eulersche Identität
Die nach Leonhard Euler benannte Eulersche Identität (oder auch Eulersche Formel oder Eulersche Gleichung) beschreibt einen Zusammenhang, der eine Verbindung zwischen den trigonometrischen
Funktionen und den komplexen Zahlen bildet:
eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Dies ist von großer Bedeutung, da nun Folgerungen aufgestellt werden können.
3.2.1 „Die schönste Formel der Mathematik”
Vor einigen Jahren wurde sie von Mathematikern zur schönsten Formel der Mathematik gewählt5 ,
da sie einen erstaunlich einfachen Zusammenhang zwischen den Konstanten e, π, i und der Zahl
0 zeigt, durch das Einsetzten von ϕ = π in die Eulersche Identität:
eiπ = cos π + i · sin π
eiπ + 1 = 0
5
nach: Welt Online, Axel Springer AG (2004)
11
3.2.2 Darstellung von Winkelfunktionen
Jede Winkelfunktion lässt sich mit Hilfe von Expotentialfunktionen darstellen:
eiϕ
=
cos ϕ + i · sin ϕ
+ e−iϕ
=
cos ϕ − i · sin ϕ
2 cos ϕ
=
eiϕ + e−iϕ
y
cos ϕ
=
eiϕ + e−iϕ
2
Werden die Gleichungen miteinander subtrahiert, erhält man eine Formel für den sin ϕ :
eiϕ
=
cos ϕ + i · sin ϕ
− e−iϕ
=
cos ϕ − i · sin ϕ
2i · sin ϕ
=
eiϕ − e−iϕ
y
sin ϕ
=
eiϕ − e−iϕ
2i
Dies wird insbesondere angewendet um Additionstheoreme zu beweisen.
3.2.3 Expotentialform
Ist |z| = r und das Argument z = ϕ, dann kann man die komplexe Zahl mit Hilfe der Eulerschen
Formel in der Form
z = reiϕ
darstellen. Diese spielt vor allem in der Elektrotechnik eine große Rolle, da sich mit ihr Komplexe
Wechselstromberechnungen durchführen lassen.
12
4 Anwendungsbeispiele
4.1 Elektrotechnik
Komplexe Zahlen ermöglichen Berechnungen elektrischer Wechselgrößen, denn zur Berechnung
zum Beispiel der Spannung oder Stromstärke im Wechselstromkreis, muss man stets die jeweilige
Phasenlage beachten. Hierbei gilt zu beachten das die imaginäre Einheit in der Elektrotechnik mit
einem „j” bezeichnet wird, da das i bereits für die Stromstärke im Wechselstromkreis verwendet
wird.
Gegeben seien ein Ohmscher Widerstand R = 200Ω und eine Spule L die ebenfalls einen Widerstand (ωL = 150Ω) besitzt. Die Schaltung wird:
a) in Reihe und
b) parallel geschaltet.
zu ermitteln ist jeweils der Betrag des Scheinwiderstandes Z und der Phaseverschiebewinkel ϕ,
unter Anwendung der komplexen Zahlen.
a)
Abb. 10: Reihenschaltung
es gilt:
Z = R + ωL j
Z = 200Ω + 150Ω j
Der Betrag des Scheinwiderstandes errechnet sich (siehe Abschnitt 2.3.4):
p
R2 + (ωL)2
p
|Z| =
(200Ω)2 + (150Ω)2
|Z| =
|Z| = 250Ω
Der Phasenverschiebewinkel ϕ berechnet sich (siehe 2.2):
ωL
R
150Ω
ϕ = arctan
200Ω
ϕ ≈ 37°
ϕ = arctan
13
b)
Abb. 11: Parallelschaltung
für parallelgeschaltete Elemente gilt6 :
Z=
Z =
Z =
Z =
Z =
Z =
Z1 · Z2
Z1 + Z2
200Ω · 150Ωj
200Ω + 150Ωj
30000Ωj
200Ω + 150Ωj
30000Ωj
200Ω − 150Ωj
·
200Ω + 150Ωj 200Ω + 150Ωj
30000Ω · 150Ω
30000Ω · 200Ω
+
·j
2
2
(200Ω) + (150Ω)
(200Ω)2 + (150Ω)2
72Ω + 96Ωj
Wobei der Realteil (72Ω) der Wirkwiderstand, und der Imaginärteil (96Ω) der Blindwiderstand ist.
Der Betrag des Scheinwiderstandes wird berechnet aus:
p
a2 + b2
p
|Z| =
(72Ω)2 + (96Ω)2
|Z| =
|Z| = 120Ω
Der Phasenverschiebewinkel ϕ:
b
a
96
ϕ = arctan
72
ϕ ≈ 53°
ϕ = arctan
6
nach: Elektro-Aufgaben Bd. 2, Linder, Balack (S.53)
14
5 Schlusswort
Die Komplexen Zahlen sind aus den Naturwissenschaften nicht mehr wegzudenken. Vorzufinden
sind sie nicht nur im Elektrotechnischen Bereich der Physik, sondern auch in vielen Teilgebieten,
in denen sich Sachverhalte mit Wellen beschreiben lassen. Hierzu zählen zum Beispiel die Optik
(komplexe Brechzahlen, Permittivität), Quantenmechanik (Schrödingergleichung) oder auch im
der Hydrodynamik zur Untersuchung von Strömungen.
In der Mathematik sind sie „der Abschluss des Körpers der reelen Zahlen”7 , und spielen ebenfalls eine große Rolle. So kann man zum Beispiel einfach testen das eine Funktion y = f (x)
zweiten Grades immer zwei Nullstellen besitzt, wenn man die Rechenregeln für C anwendet, x1,2
berechnet, und die gefundenen imaginären Nullstellen wieder in die Ursprungsfunktion einsetzt.
Diese Facharbeit stellt lediglich eine Einführung in die Grundlagen dieses Themengebietes dar,
und erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Um Urheberrechtsverletzungen zu vermeiden,
sind die in der Arbeit verwendeten Grafiken von mir selbst mittels den Programmen ”Geogebra”
und ”Dia” erstellt worden.
Desweiteren wurde für die gesamte Facharbeit ausschließlich freie Software verwendet, und sie
steht unter einer Creative Commons Lizenz8
7
8
aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl
http://de.creativecommons.org/
.
15
Begriffserklärungen
konjugiert:
„Zwei komplexe Zahlen heißen konjugiert, wenn sie sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils
unterscheiden, wenn sie in der Gaußschen Zahlenebene also spiegelbildlich zur reellen Achse
liegen”9
C → C, z = a + b · i 7→ z = a − b · i
Gaußsche Zahlenebene:
„Die gaußsche Zahlenebene stellt eine geometrische Interpretation der komplexen Zahlen dar, die
von Carl Friedrich Gauß 1811 eingeführt wurde.”10
Anhang
Anhangverzeichnis
Anhang 1
CD mit Videos, Skripten, verwendete Software, Facharbeit
in digitaler Form (.pdf, .dvi, .lyx), Abbildungen (.eps, .ggb, .svg)
9
10
aus: Duden Rechnen und Mathematik, Prof. Dr. Harald Schneid (S.333)
aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Gaußsche_Zahlenebene
16
16
Anhang 1: CD
17
Quellenverzeichnisse
Literaturverzeichnis
Hoffmann, Krämer,
Mathematik Foachoberschulen Teschnische Fachrichtung (2007)
Ponnath
ISBN: 3-427-21521-0
Cornelsen Verlag,
Das Große Tafelwerk, Formelsammlung für käufmännische Schulen
Berlin
(2009)
ISBN: 978-3-06-450100-3
Prof. Dr. Harald
Duden Rechnen und Mathematik (1989)
Schneid
ISBN: 3-411-02423-2
Prof. Dr. Harald
Schüler Duden Die Mathematik 2 (1991)
Schneid
ISBN: 3-411-04273-7
Helmut Lindner,
Elektro-Aufagben Band 2 Wechselstrom (1992)
Edgar Balack
ISBN: 3-343-00838-9
Verzeichnis der Internet- und Intranetquellen
Prof. Dr. Jörn
www.youtube.de/JoernLoviscach/ 06.3.1, 06.3.2, 06.3.3
Loviscach
Prof. Dr. Jörn
www.youtube.de/JoernLoviscach/ 20.1.1, 20.1.2, 20.2.1, 20.2.2
Loviscach
Prof. Dr. Jörn
www.youtube.de/JoernLoviscach/ 21.2.1, 21.2.2
Loviscach
Prof. Dr. Jörn
http://www.j3l7h.de/lectures/0910ws/Mathe1_RE/Skripte/
Loviscach
21_Potenzen_und_Wurzeln_komplexer_Zahlen,_Eulersche_Identitaet.pdf
Welt Online, Axel
http://www.welt.de/print-welt/article318333/Die_schoenste_Formel_der
Springer AG
_Mathematik_wurde_im_18_Jahrhundert_in_Berlin_entdeckt.html
Wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Konjugation_Mathematik
Wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl
Wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Imaginäre_Zahl
Wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano
Wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli
Wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Gaußsche_Zahlenebene
Selbstständigkeitserklärung
“Hiermit erkläre ich,
1. dass ich meine Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt habe;
2. dass ich die Übernahme wörtlicher Zitate aus der Literatur sowie die Verwendung der Gedanken
anderer Autoren an den entsprechenden Stellen innerhalb der Arbeit gekennzeichnet habe;
3. dass ich keine anderen Hilfsmittel als angegeben verwendet habe;
Ich bin mir bewusst, dass eine falsche Erklärung rechtliche Folgen haben wird.”
(Ort, Datum)
(Unterschrift)