“Lehrsatz der Woche” vom 3.10.2016 Satz: Besitzt eine

“Lehrsatz der Woche” vom 3.10.2016
Satz: Besitzt eine durchschnittsvollständige Halbordnung ein größtes Element, so ist
sie ein vollständiger Verband. Und dual dazu: Besitzt eine vereinigungssvollständige
Halbordnung ein kleinstes Element, so ist sie ein vollständiger Verband.
Folgerung: Die Unteralgebren einer Algebra, die Äquivalenzrelationen einer Menge,
die Kongruenzrationen einer Algebra bilden jeweils einen vollständigen Verband.
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“Lehrsatz der Woche” vom 11.10.2016
Satz: Eine Algebra A ist dann und nur dann direkt zerlegbar, d.h. A = A1 × A2
(direktes Produkt der Algebren A1 , A2 vom selben Typ wie A), falls es im Kongruenzverband von A zwei miteinander vertauschbare Kongruenzen Θ1 , Θ2 gibt mit Θ01 = Θ2
und Θ02 = Θ1 . - Hat A zwei solche Kongruenzen Θ1 und Θ2 , so gilt A ∼
= A/Θ1 × A/Θ2 .
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“Lehrsatz der Woche” vom 18.10.2016
Satz: Ein Verband V ist genau dann modular, wenn er keinen zu N5 isomorphen
Unterverband besitzt.
Beispiele von modularen Verbänden
Normalteiler von Gruppen, Ideale von Ringen, Untergruppen einer abelschen Gruppe
(früher Modul genannt), Untervektorrräume eines Vektorraums bilden einen modularen
Verband.
Satz: Ein modularer Verband V ist genau dann distributiv, wenn er keinen Unterverband enthält, der zum Verband M3 isomorph ist.
Satz: Jeder distributive Verband der Ordnung > 1 ist isomorph zu einem subdirekten
Produkt zweielementiger Ketten.
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“Lehrsatz der Woche” vom 25.10.2016
Satz: Für jede endliche Boolesche Algebra B gilt: B ∼
= (K2 )n ∼
= 2M mit |M | = n.
Satz: Ein Orthoverband ist genau dann orthomodular, wenn er in der Varietät der
Orthoverbände keine zu O6 isomorphe Unteralgebra besitzt.
Satz: Ein Orthoverband V ist genau dann orthomodular, wenn gilt: x C y ⇐⇒ y C x
für x, y ∈ V .
(xCy gilt in einem orthomodularen Verband V genau dann, wenn x, y in einer Booleschen
Unterlalgebra von V enthalten sind.)
Satz: Ein Orthoverband V ist genau dann eine Boolesche Algebra , wenn jedes x ∈ V genau
ein Komplement hat.
Satz: Ein orthomodularer Verband ist genau dann eine Boolesche Algebra, wenn er
in der Varität der orthomodularen Verbände keine zu MO2 oder MO2 × K2 isomorphe
Unteralgebra besitzt.
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“Lehrsatz der Woche” vom 1.11.2016
Satz: Sei V ein endlicher Verband. V ist genau dann ordnungspolynomvollständig,
wenn V keine nicht-trivialen Toleranzen besitzt.
Satz: Sei V ein endlicher, einfacher, modularer Verband. V ist genau dann ordnungspolynomvollständig, wenn V komplementär ist.
Frage (seit 40 Jahren offen): Folgt aus der Ordnungspolynomvollständigkeit eines Verbandes, dass er endlich ist?
H. Kaiser und N. Sauer (1993): Es gibt keinen abzählbar unendlichen ordnungspolynomvollständigen Verband.
M. Goldstern und S. Shelah (1999): Die Frage ist unentscheidbar in ZF (ZermeloFraenkel Mengensystem ohne Auswahlaxiom).
Und in derselben Arbeit: Es gibt keinen unendlichen ordnungspolynomvollständigen
Verband unter der Annahme von ZFC (ZF mit Auswahlaxiom).
Ein Verband ist ornungspolynomvollständig, wenn er n-ordnungspolynomvollständig
ist für alle Stelligkeiten n. Die Frage ist in ZFC noch nicht entschieden für n=1 !
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“Lehrsatz der Woche” vom 8.11.2016
Satz: Jeder einfache relativ komplementäre Verband ist lokal affinvollständig.
Satz: Ein distributiver Verband ist genau dann lokal affinvollständig, wenn er kein
nicht-triviales Intervall enthält, welches ein Boolescher Verband ist.
Satz: Sei V ∗ ein endlicher ∗-Verband, Z(V ∗ ) das Zentrum von V ∗ und P P (V ∗ ) die
Menge aller Permutationen von V ∗ , welche durch einstellige Polynomfunktionen in der
Variablen x dargestellt werden können. Dann folgt:
{(a∗ ∩ x) ∪ (a ∩ x∗ )|a ∈ Z(V ∗ )} ⊆ P P (V ∗ ). Ist V ∗ eine De Morgan-Algebra, so gilt
das Gleichheitszeichen.
Satz: Eine endliche Boolesche Algebra B ist genau dann polynomvollständig, wenn
|B| = 2.
Dieser Satz ist der Grund, warum die Theorie der Booleschen Algebra in der Schaltalgebra und Aussagenlogik angewendet werden kann.
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“Lehrsatz der Woche” vom 15.11.2016
Satz: Stellt das Abbildungspaar σ, τ zwischen den Halbordnungen S und T eine Galoisverbindung her, dann ist τ σ ein Hüllenoperator auf S und στ ein Hüllenoperator auf
T . Sind S, T vollständige Verbände, so sind auch die Mengen ZS der τ σ-abgeschlossenen
Elemente von S und die Menge ZT der στ -abgeschlossenen Elemente von T vollständige
Verbände, und σ ist ein dualer Isomorphismus von ZS auf ZT , τ hingegen ein solcher
von ZT auf ZS .
Klassisches Beispiel
Sei N eine normale Körpererweiterung des Körpers K mit der Galoisschen Gruppe G.
(N heißt normale Erweiterung von K, wenn N der Zerfällungskörper eines irreduziblen
Polynoms von K [x] ist; Galoissche Gruppe: Gruppe der Automorphismen von N , welche
K festhalten.)
Sei K ⊆ M ⊆ N und {} ⊆ H ⊆ G (: identischer Automorphismus von N ).
Dann stellen die Abbildungen σ : M 7−→ {ϕ ∈ G| ϕ(a) = a ∀a ∈ M } und τ : H 7−→
{a ∈ M | ϕ(a) = a ∀ϕ ∈ H} eine Galoisverbindung her, bei der die τ σ-abgeschlossenen
Elemente die Zwischenkörper zwischen N und K und die στ -abgeschlossenen Elemente
die Untergruppen von G sind.
Damit: Ordnet man einem Zwischenkörper B diejenigen Elemente von G zu, die B
festhalten, so erhält man einen dualen Isomorphismus zwischen dem Verband der Zwischenkörper B und dem Verband der Untergruppen von G.
Modernes Beispiel : Begriffsverbände
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“Lehrsatz der Woche” vom 22.11.2016
Sei G eine Menge von “Gegenständen”, M eine Menge von “Merkmalen”, und I ⊆
G × M mit gIm in der Bedeutung von “der Gegenstand g besitzt das Merkmal m”. Für
A ⊆ G und B ⊆ M sei A∗ = {m ∈ M |gIm ∀g ∈ A} und B ∗ = {g ∈ M |gIm ∀m ∈ B}.
Die Zuordnungen A 7−→ A∗ , B 7−→ B ∗ bilden eine Galoisverbindung zwischen 2G und
2M .
Das Tripel(G, M, I) wird als Kontext bezeichnet, ein Paar(A, B) mit
T A ⊆ G, B ⊆ M ,
∗
∗
A = B und B = A heißt ein Begriff des Kontexts. Bezeichne m den mengentheoretischen Durchschnitt; dann gilt:
Satz: Die Menge aller Begriffe eines Kontexts (G, M, I) bilden bezüglich der Relation “ist Unterbebgriff von” einen vollständigen Verband B(G, M, I), genannt der Begriffsverband von (G, M, I), bei dem man Infima und Suprema auf folgende Weise erhält:
T
t∈T (At , Bt )
= (m
T
t∈T
At , (m
T
At )∗ ),
S
t∈T (At , Bt )
= ((m
T
t∈T (Bt )
∗
,m
T
Bt ).
Beispiele: Begriffsverband zu aromatischen chemischen Verbindungen, Relationen
zwischen Planeten und deren Eigenschaften, Airlines und deren Destinationen, Antriebskonzepte für Personenkraftwagen (mit Liste von Merkmalsimplikationen); siehe Startseite der Homepage.
Satz: Zerlegt man die Merkmalsmenge eines Kontexts (G, M, I) in Teilmengen M1 , M2 , . . . , Mn ,
dann erhält man einen Isomorphismus von B(G, M, I) auf ein in der Varietät der Vereinigungshalbverbände gebildetes sudirektes Produkt der Begriffsverbände B(G, Mi , I ∩m G×Mi ),
i = 1, . . . n, durch
(A, B) 7→ (( (B ∩m M1 )∗ , B ∩m M1 ), . . . , ( (B ∩m Mn )∗ , B ∩m Mn )) für alle (A, B) ∈
B(G, M, I).
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“Lehrsatz der Woche” vom 29.11.2016
Satz: In einem modularen Verband V sind für alle a, b ∈ V die Intervalle [a ∩ b, a]
und [b, a ∪ b] isomorph.
Daraus folgt die “Nachbarbedingung”: a∩b ist genau dann
unterer Nachbar von a, wenn b unterer Nachbar von von a ∪ b ist.
Satz von Schreier: In einem modularen Verband haben je zwei endliche Ketten,
welche zwei Elemente verbinden, äquivalente Verfeinerungen.
Satz von Jordan Hölder: Seien x = a1 > . . . > an = y und x = b1 > . . . > bm
zwei maximale Ketten eines modularen Verbands. Dann ist m = n, und es gibt eine
umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen den Intervallen [ai+1 , ai ] und [bj+1 , bj ], i, j ∈
{1, . . . , n − 1}.
Dimensionssatz: In einem modularen Verband V endlicher Länge gilt für x, y ∈ V :
dim(x) + dim(y) = dim(x ∪ y) + dim(x ∩ y).
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“Lehrsatz der Woche” vom 6.12.2016
Satz von Schreier für Gruppen: Je zwei Subnormalreihen (invariante Reihen)
einer Gruppe besitzen isomorphe Verfeinerungen.
Satz von Jordan Hölder für Gruppen: Besitzt eine Gruppe Kompositionsreihen
(Hauptreihen), dann sind je zwei Kompositionsreihen (Hauptreihen) isomorph.
Eine Gruppe heißt “auflösbar”, wenn sie eine Subnormalreihe besitzt, deren Faktoren
alle abelsch sind. Unter der “Ordnung einer Gruppe” versteht man die Kadinalität ihrer
Trägermenge.
Satz von Feit-Thompson(1963; Beweis 254 Seiten): Jede endliche Gruppe von
ungerader Ordnung ist auflösbar.
Bemerkung: Alle Gruppen der Ordnung < 60 sind auflösbar, die kleinste nichtauflösbare Gruppe ist die alternierende Gruppe A5 . Die symmetrische Gruppe Sn ist
genau dann auflösbar, wenn n ≤ 4 ist, woraus folgt, dass die allgemeine Polynomgleichung n-ten Grades über einem Körper der Charakteristik 0 genau dann durch Radikale
auflösbar ist, falls n ≤ 4 ist.
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“Lehrsatz der Woche” vom 13.12.2016
∗
-Verband : Hier stets ein endlicher Verband mit einer antitonen Involution
zusätzliche einstellige Operation.
∗
als
Satz: Sei a ein zentrales Element eines ∗ -Verbands V ∗ und x0 = x∗ ∩ a, x+ = x∗ ∩ a∗
für x ∈ V ∗ . Dann sind V1∗ := ([0, a] , ∪, ∩,0 ) und V2∗ := ([0, a∗ ] , ∪, ∩,+ ) ∗ -Verbände, und
x 7→ (x ∩ a, x ∩ a∗ ), (x, y) 7→ x ∪ y sind zueinander inverse Isomorphismen von V ∗ in
V1∗ × V2∗ bzw. V1∗ × V2∗ in V ∗ .
P P (V ∗ ): Menge aller Permutationen von V ∗ , welche durch eine einstellige Polynomfunktion dargestellt werden können.
Satz: Für ein zentrales Element a eines ∗ -Verbands V ∗ ist pa (x) := (a∩x∗ )∪(a∗ ∩x) ∈
P P (V ∗ ), und pa (pa (x)) = x für alle x ∈ V ∗ .
Ein kryptographisches Protokoll für ein symmetrisches Verfahren - vereinfacht:
Gegeben sind: Eine Indexmenge I = {1, 2, . . . n}, n sehr groß, und eine Menge
{Vi∗ |i ∈ I} von ∗ -Verbänden mit |Vi∗ | ≥ |A| für alle i ∈ I, wo A ein Alphabet ist, das
durch die Elemente von Vi∗ repräsentiert wird, wobei im Allgemeinen die Zuordnungen
zu Elementen in jedem Vi∗ verschieden sind.
Wollen zwei Teilnehmer geheime Informationen austauschen, so einigen sie sich auf
eine Auswahl von Elementen aus I (wobei Wiederholungen erlaubt sind) in einer wohldefinierten
Reihenfolge i1 , i2 , · · · im und aufQeine Auswahl ak von zentralen Elementen aus Vi∗k für k =
∗
1, 2, . . . , m, m groß. Sei V ∗ = m
k=1 Vik , a = (a1 , a2 , . . . , am ) und pa = (pa1 , pa2 , . . . pam ).
(V ∗ , pa ) ist dann der geheime gemeinsame Schlüssel der beiden Teilnehmer.
Beim Datenaustausch wird der zu übertragene Text in Blöcke der Länge m eingeteilt
und jeder Block mit einem x ∈ V ∗ codiert. Übertragen wird y = pa (x), und die ursprüngliche Nachricht wird durch pa (y) = pa (pa (x)) = x zurückgewonnen.
Bei öffentlichen (nicht-symmetrischen) Verfahren kann man ähnlich vorgehen, indem
man statt pa ein m-tupel p = (p1 , p2 , . . . , pm ) (mit p−1
k 6= pk ) öffentlich bekannt gibt,
für welches p−1 nur mit einer Zusatzinformation berechnet werden kann, welche nur der
Besitzer von p kennt.
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“Lehrsatz der Woche” vom 10.1.2017
Satz: Sei P(H) der Verband der orthogonalen Projektoren eines separablen Hilbertraums H, dann gilt: Zwei Projektoren P, Q ∈ P(H) kommutieren im funktionalanalytischen Sinn genau dann, wenn sie im verbandstheoretischen Sinn kommutieren.
Beweis mit Hilfe der Eigenschaft: In einem orthomodularen Verband V gilt x C y
genau dann, wenn es zu x, y ∈ V drei paarweise orthogonale Elemente x1 , z, y1 gibt mit
x = x1 ∪ z und y = z ∪ y1 .
Satz: Sei P(H) der orthomodulare Verband der orthogonalen Projektoren eines separablen Hilbertraums H und bezeichne B(R) die Borelmengen, dann gilt: Die Observablen
(d.h., die selbstadjungierten linearen Operoren von H) entsprechen umkehrbar eindeutig
den σ-Homomorphismen von B(R) in P(H).
Beweis mit Hilfe der Eigenschaft, dass jedem selbstadjungierten linearen Operator A
umkehrbar eindeutig ein Spektralmaß α entspricht, das ist eine Abbildung von B(R)
in P(H), sodass mit I für den identischen Projektor von H und O für den Projektor auf
den Nullvektorraum gilt:
(S1) α() = O, α(R) = I
(S2) E, F ∈ B(R) mit E ∩ F = ⇒ α(E) α(F ) = O
(S3) E1 , E2 ,S
. . . eine Folge
P∞von paarweise fremden Elementen aus B(R)
E
)
=
⇒ α( ∞
i=1 α(Ei ) (starker Limes der Operatoren α(Ei )).
i=1 i
Damit kann man z.B. (mit h. , .i für das innere Produkt in H) berechnen: hψ, α(E)(ψ)i
= Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Messung einer Observablen A zu einem Messwert
E ∈ B(R) führt, falls sich das System im Zustand ψ ∈ H befindet.
Verallgemeinerung: Statt P (H) kann man einen beliebigen orthomodularen Verband L zu Grunde legen. Als Observable definiert man dann σ-Homomorphismen von
B(R) in L. Der Verband L wird als Quantenlogik (kurz Logik) bezeichnet. Der Begriff
leitet sich von der Tatsache ab, dass man die Elemente von P (H), welche als Observable gedeutet werden können, die nur die Werte 0 und 1 annehmen, als Fragen an das
quantenmechanische System auffassen und damit Implikationen definieren kann: “die
Frage P impliziert die Frage Q, falls aus der Tatsache, dass P den Wert 1 hat, stets
auch folgt, dass auch Q den Wert 1 hat”.
Ist L = P (H) (H unendlich-dimensional), so wird L als Standardlogik bezeichnet.
Diese ist nicht distributiv (was der klassischen Logik widerspricht; siehe dazu das Beispiel
“Spin in einem Magnetfeld” ). Ein weiteres Beispiel findet sich in der Beispielsammlung:
“Beispiel zu Observablen und Logiken”.
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“Lehrsatz der Woche” vom 17.1.2017
Aus dem Abschnitt: Quantenlogiken
Satz: Sei L eine Logik und {Bi |i ∈ I} eine Menge von Booleschen σ-Unteralgebren
von L, sodass gilt Bi C Bj für alle i, j ∈ I. Dann existiert eine Boolesche σ-Unterlagebra
B von L, sodass Bi ⊆ B für alle i ∈ I.
Satz: Die den Aussagen der klassischen Mechanik zu Grunde liegenden Logiken sind
genau die Booleschen σ-Algebren.
Aus dem Abschnitt: Boolesche Matrizen und Determinanten
Satz: Sei X eine Boolesche n × n-Matrix mit Einselementen in der Hauptdiagonale.
Dann gilt: X ≤ X 2 ≤ . . . ≤ X n−1 = X n .
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“Lehrsatz der Woche” vom 24.1.2017
Sei S die Menge aller Booleschen n × n-Matrizen mit Einselementen in der
Hauptdiagonale.
Satz: Für X ∈ S gilt adjX = X n−1 .
xij xin . Dann ist
Satz: Sei X = (xij ) ∈ S und Y = (yij ) mit yij = xnj 1 (adjX)nn = adj(Ynn )
,
dh., die ersten n − 1 Zeilen und n − 1 Spalten von adjX stimmen mit der Adjungierten
der Matrix überein, die man aus Y erhält, wenn man in Y die letzte Zeile und letzte
Spalte wegläßt.
Satz: SeiF die Schaltmatrix und Z die reduzierte Schaltmatrix einer n-Pol-Schaltung,
dann gilt F = adjZ.
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