Mathematik Didaktik

Didaktik der Mathematik
Zusammenfassung für das mündliche Staatsexamen
Zahlbereiche und Algebra
Frank Reinhold
23. Mai 2012
Inhaltsverzeichnis
I
Zahlbereiche
2
1 Einführung
1.1 Bildungsstandards . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Zahlbereichserweiterungen . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 Die
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
natürlichen Zahlen
Kulturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wofür können natürliche Zahlen stehen? . .
Unterrichtsinhalte und Ziele in Klasse 5 . .
Darstellung natürlicher Zahlen . . . . . . .
Anordnung natürlicher Zahlen . . . . . . . .
Rechnen mit natürlichen Zahlen . . . . . . .
Vorteilhaftes Rechnen . . . . . . . . . . . .
Bemerkungen zu den schr. Rechenverfahren
Schätzen, Runden, Überschlagen . . . . . .
Teilbarkeit und Primzahlen . . . . . . . . .
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2
2
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2
3
3
3
3
3
4
4
3 Die
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Menge Q der rationalen Zahlen
Darstellungsarten . . . . . . . . . . . .
Der mathematische Bruchzahlbegriff .
Einführung von Brüchen in der Schule
Erweitern und Kürzen . . . . . . . . .
Größenvergleich (Anordnung) . . . . .
Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . .
Addition und Subtraktion . . . . . . .
Multiplikation und Division . . . . . .
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5
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7
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4 Dezimalbrüche
4.1 Vorbemerkungen zu Dezimalbrüchen . . . . . .
4.2 Erweiterung der Stellenwerttafel . . . . . . . .
4.3 Erweitern und Kürzen . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Umrechnungen zwischen Bruchzahldarstellungen
4.5 Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen
4.6 Multiplikation und Division von Dezimalbrüchen
8
8
8
8
8
9
9
5 Ganze Zahlen Z
5.1 Die Erweiterung von N auf Z . . . . . . .
5.2 Grundvorstellungen durch Alltagsbezug .
5.3 Neue Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Vorzeichen (positive Zahl, negative
5.3.2 Betrag und Gegenzahl . . . . . . .
5.4 Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Addition und Subtraktion . . . . . . . . .
5.6 Multiplikation und Division . . . . . . . .
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Zahl)
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9
9
9
9
9
10
10
10
10
6 Potenzen und Potenzrechnung
6.1 Der Potenzbegriff . . . . . . . . .
6.2 Ein kognitiver Stolperstein: Hoch
6.3 Zehnerpotenzen . . . . . . . . . .
6.4 Potenzrechengesetze . . . . . . .
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11
11
11
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7 Reelle Zahlen R
7.1 Einführung in der Schule . . . . . . . . . . . . .
7.2 Der neue Zahlbereich R . . . . . . . . . . . . .
7.3 Wie viele reelle Zahlen gibt es? . . . . . . . . .
11
11
11
11
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0
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7.4
7.5
7.6
7.7
Näherungsverfahren . . . .
Rechnen mit reellen Zahlen
Weitere irrationale Zahlen .
Reelle Zahlen - und dann? .
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12
II Algebra
13
8 Didaktik der Algebra - Einführung
8.1 Unterscheidung Arithmetik - Algebra - Analysis
8.2 Historische Bemerkungen zur Algebra . . . . .
8.3 Zur Motivation: Schüler- und Erwachsenenfehler
8.4 Begriffe im schulischen Algebraunterricht . . .
13
13
13
13
13
9 Der
9.1
9.2
9.3
14
14
14
14
Variablenbegriff
Die drei Aspekte des Variablenbegriffs . . . . .
Vorwissen aus der Grundschule zur Variablenidee
Einführung in der Sekundarstufe . . . . . . . .
10 Der
10.1
10.2
10.3
Termbegriff
Was ist ein Term? . . . . . . . . . .
Terme in den Lehrplänen . . . . . .
Bedeutung (Nutzen) von Termen . .
10.3.1 Strukturorientierung . . . . .
10.3.2 Ergebnisorientierung . . . . .
10.4 Was kann man mit Termen machen?
10.4.1 Aufstellen von Termen . . . .
10.4.2 Einsetzen in Terme . . . . . .
10.4.3 Umformen von Termen . . .
10.4.4 Interpretieren von Termen . .
10.5 Lernziele zu Termen und Formeln . .
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15
15
15
15
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der Schule
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16
16
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17
17
12 Der Funktionsbegriff
12.1 Die komplexe Welt des Funktionsbegriffs . . .
12.1.1 Arten (Typen) von Funktionen . . . .
12.1.2 (Grund-)Vorstellungen von Funktionen
12.1.3 Darstellungsarten von Funktionen . .
12.2 Definition des Funktionsbegriffs . . . . . . . .
12.3 Funktionen in der Schule . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Das Stufenlernmodell für Funktionen .
12.3.2 Die Proportionale Zuordnung . . . . .
12.3.3 Quadratische Funktionen . . . . . . .
12.3.4 Wichtige Funktionen . . . . . . . . . .
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18
18
18
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20
11 Der
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
Gleichungsbegriff
Was ist eine Gleichung? . . .
Geschichte der Gleichungen in
Ungleichungen . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme . .
Quadratische Gleichungen . .
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1
Teil I.
2. Die natürlichen Zahlen
Zahlbereiche
2.1. Kulturelles
1. Einführung
Das Dezimalsystem ist der wesentliche Vorteil unseres Zahlensystems gegenüber anderer Zahlensysteme (etwa dem
römischen). Dadurch werden Rechentechniken überhaupt erst
möglich.
1.1. Bildungsstandards
Leitideen
- L1 Zahl: sinnvoller Zahlbegriff, Größenvorstellungen, Rechenfertigkeit, Rechenverfahren (Zahlbereiche, Arithmetik)
- L2 Messen: Grundprinzip des Messens mit Größen, Umgang mit Größen, Größenvrostellungen, Rechnen mit
Größen (Zahlbereiche, Arithmetik, Geometrie)
- L3 Raum und Form: Erkennen geometrischer Objekte
und Zusammenhänge, Operieren mit geometrischen Objekten (Geometrie)
- L4 Funktionaler Zusammenhang: Funktionale Zusammenhänge und ihre Darstellungen, Proporionalität, indirekte Propotionalität (Algebra)
- L5 Daten und Zufall: Umgang mit Daten und Datendarstellungen, Häufigkeiten und Mittelwerte, Wahrscheinlichekeitsaussagen (Stochastik)
2.2. Wofür können natürliche Zahlen stehen?
Kardinalzahl (Anzahl) Die Zahl steht für eine Anzahl von
Dingen, etwa Studenten in einer Vorlesung. Kardinalzahlen
sind auf einer Absolutskala angeordnet, das Skalenniveau bestimmt die mit diesen Zahlen sinnvollen Rechenoperationen.
Frage: Wie viele?
Maßzahl (Größen) Maßzahlen sind mit einer Einheit verbunden. Sie sind auf einer Verhältnisskala angeordnet, etwa
auf einer Intervallskala.
Frage: Was kostet? Wie lange? Wie groß?
Ordinalzahlen (Anordnen) Ordinalzahlen sind auf einer
Ordinalskala angeordnet, z. B. Heute ist die vierte Vorlesung
zum Thema XY.
Frage: Der wievielte?
Anforderungsbereich
- AB I: Reproduzieren
- AB II: Zusammenhänge herstellen
Kodierzahlen
(bloße
Nummernzuordnung) Etwa
Postleitzahlen, Telefonnummern, etc. Sie sind auf Nominalskalen angeordnet.
- AB III: Verallgemeinern und Reflektieren
Allgemeine Kompetenzen
- K1: Mathematisch argumentieren
Operatoren (Bezeichnung einer Rechenoperation)
Das Medikament muss dreimal täglich genommen werden.
Frage: Wie oft?
- K2: Probleme mathematisch lösen
- K3: Mathematisch modellieren
- K4: Mathematische Darstellungen verwenden
Rechenzahlen
gerechnet wird.
Die Zahl bezeichnet ein Objekt, mit dem
- K5: Mit Mathematik symbolisch, formal, technisch umgehen
2.3. Unterrichtsinhalte und Ziele in Klasse 5
- K6: Mathematisch kommunizieren
Inhalte
- Natürliche Zahlen als Menge, Teilmengen
1.2. Zahlbereichserweiterungen
Lassen sich grundsätzlich immer über die Algebra durch das
Lösen von Gleichungen motivieren und mit dem Zahlenstrahl
illustrieren.
- Darstellungsformen der natürlichen Zahlen (Ziffern, Stellenwertsystem, Zahlenstrahl, etc.)
- Ordnungsrelationen und das Rechnen mit natürlichen
Zahlen
- Teilbarkeitslehre, ggT, kgV, Primzahlen
Ziele
- Reflexion der Kenntnisse aus der Grundschule, insbesondere im Hinblick auf die algebraische Struktur und die
Ordnungsstruktur
- Systematisierung des Wissens um natürliche Zahlen, auch
mit formalen Begriffen
- Diskussion der Unendlichkeit der Menge N.
- Vertiefung dieser Kenntnisse durch die Betrachtung von
Teilerrelationen, Primzahlen, usw. (auch als Vorbereitung
auf die Bruchrechnung).
Wichtig ist es, zuerst alle Schüler auf den gleichen Stand zu
bringen. Es muss auch nicht nur Rechnen geübt werden, sondern auch die zugrunde liegenden Rechenregeln, denn von der
Kompetenz, eine Regel korrekt auszuführen kann nicht auf
2
das explizite Vorhandensein von Wissen der zugrunde liegenden Rechenregel geschlossen werden. Dieses Wissen wird aber
fuur den Übergang zur Algebra benötigt.
Rechengesetze der Multiplikation Das Kommutativgesetz a · b = b · a und das Assoziativgesetz (a · b) · c = a · (b · c)
wird in Worten formuliert und mit Variablen als Abstrakte
Formulierung angegeben.
2.4. Darstellung natürlicher Zahlen
Dezimalsystem als Stellenwertsystem steht seit der
Grundschule zur Verfügung. In der 5. Klasse kommt die Potenzschreibweise natürlicher Zahlen hinzu, die auf diesem Stellenwertsystem basiert, z. B.
8305 = 5 · 100 + 0 · 101 + 3 · 102 + 8 · 103
Diagramm
(1)
Vor allem im Bereich der Stochastik.
Natürliche Zahlen ohne Stellenwertsystem: Römische
Zahlen Das Rechnen mit römischen Ziffern ist gerade aus
dem Grund, dass es sich nicht um ein Stellenwertsystem handelt, viel komplizierter, als das Rechnen im Dezimalsystem.
I
V
X
L
C
D
M
V
1
5
10
50
100
500
1000
5000.
(2)
Weitere Stellenwertsysteme Etwa das Dualsystem, um
die Analogien zum Dezimalsystem darzustellen.
Zahlenstrahl Der Zahlenstrahl dient nicht nur zur Veranschaulichung der natürlichen Zahlen, sondern er kann auch
besonders gut die Ordnungsrelation verdeutlichen.
Beziehungen zwischen den Rechenarten Dazu zählen
Punkt vor Strich, ebenso wie das Distributivgesetz a(b + c) =
ab+ac, welches sich auch besonders gut geometrisch (Strecken)
veranschaulichen lässt.
Potenzen Die wiederholte Multiplikation wird analog zur
wiederholten Addition als Potenz eingeführt. Man kennt
sie bereits aus der Zehnerpotenzschreibweise der natürlichen
Zahlen. Allerdings funktioniert diese Anschauung nur für
natürliche Zahlen. Potenzen müssen bei jeder Zahlbereichserweiterung neu eingeführt werden.
2.7. Vorteilhaftes Rechnen
Darunter versteht man das aufgabenspezifisch vorteilhafte
Verwenden von Rechenregeln, um möglichst schnell und effizient eine korrekte Lösung zu erzielen. Dabei werden bestimmte
Rechenwege als Strategien bezeichnet.
Dabei ist es notwendig zwischen Rechenregeln (muss der
Schüler können, um die Aufgabe zu lösen) und Strategien (sollte der Schüler können, um die Aufgabe einfacher zu lösen) zu
unterscheiden.
Reihenfolge des Erlernens
2.5. Anordnung natürlicher Zahlen
Deutlich wird durch den Begriff des Nachfolgers, dass die
natürlichen Zahlen keine obere Grenze haben. Weiterhin werden Begriffe wie < und > oder ≤ und ≥ eingeführt und damit
Relationen zwischen natürlichen Zahlen durch ihre Lage auf
dem Zahlenstrahl hergestellt.
erfolgt in dieser Struktur
1. Bewusste Anwendung und schriftliche Darstellung
2. Automatisierung
3. Ausführung überwiegend im Kopf
Schüler werden bei konkreten Aufgaben manchmal die
ungünstigere Rechenart wählen, wie sie diese sicherer beherrschen.
Die Schüler sollen auch eine Vorstellung für die
Größenunterschiede von etwa Million zu Milliarden bekommen.
Die Kompetenz des vorteilhaften Rechnens basiert häufig darauf, Zahlbeziehungen und Termstrukturen zu erkennen. Diese
Kompetenz ist sehr wichtig, da sie in der Algebra von großer
Bedeutung ist.
2.6. Rechnen mit natürlichen Zahlen
Es reicht nicht, Strategien zu üben, sie müssen auch immer
wieder expliziert werden, z. B. durch Besprechen verschiedener Lösungswege. Am Ende der 5. Klasse sollen die wichtigsten Strategien von den Schülern im Kopf angewendet werden
können.
Addition und Subtraktion Die Addition und Subtraktion
wird nocheinmal neu eingeführt. Dabei wird die Darstellung
der Rechenoperationen am Zahlenstrahl durchgeführt. Außerdem werden Fachbegriffe wie Summand, Summe, Minuend,
Subtrahend und Differenz eingeführt.
Die Subtraktion wird als Umkehroperation zur Addition betrachtet und die besondere Rolle der 0 als neutrales Element
wird diskutiert.
Im Zuge der weiteren Behandlung von Addition und Subtraktion in N verschiebt sich der Fokus weg von den Zahlen und
hin auf die Eigenschaften der Verknüpfung. Klammern werden
eingeführt.
2.8. Bemerkungen zu den schriftlichen
Rechenverfahren
Schriftliche Addition Nur möglich durch die Anwendung
von Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz. Eigentlich wird wie folgt gerechnet: Aufgrund der Zahldarstellung in
Rechengesetzte der Addition Das Kommutativgesetz
a + b = b + a und das Assoziativgesetz (a + b) + c = a + (b + c)
wird in Worten formuliert und mit Variablen als Abstrakte
Formulierung angegeben.
Multiplikation und Division Die Multiplikation wird auf
die Addition zurückgeführt, es werden die Begriffe Faktor,
Produkt, Dividend, Divisor und Quotient eingeführt.
Die Division wird als Umkehroperation zur Multiplikation behandelt und die besonderen Rollen von 1 und 0 werden diskutiert.
Abbildung 1: Ausführliche Anwendung von Assoziativ-,
Kommutativ- und Distributivgesetz beim
schriftlichen Additionsverfahren
3
einem Stellenwertsystem bleiben die Umformungen, bis auf
das Bündeln des Übertrags, aber verborgen. Dieser Vorteil
kann auch in anderen Stellenwertsystemen angewendet werden.
+
63
1
2
4
62
3
3
2
61
5
0
0
60
4
3
2
Tabelle 1: Schriftliche Addition in anderen Stellenwertsystem
Schriftliche Subtraktion In der Schule von Bedeutung
sind im wesentlichen zwei verschiedene Rechenalgorithmen:
Das Abziehen mit Entbündeln, kurz Abziehmethode und das
Ergänzen mit Erweitern, kurz Ergänzungsmethode.
Wir unterscheiden die folgenden Übertragetechniken:
Dezimalzahl, durch eine Zahl mit einer geringeren Anzahl signifikanter (bedeutungstragender) Stellen ersetzt wird. Ist die
Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0, 1, 2,
3 oder 4, dann wird abgerundet. Ist die Ziffer an der ersten
wegfallenden Dezimalstelle eine 5, 6, 7, 8 oder 9, dann wird
aufgerundet.
Definition (Überschlagen). Unter Überschlagen versteht
man das Rechnen mit gerundeten Größen, um Vorstellung
von der Größenordnung eines Ergebnisses zu gewinnen. Dazu
rundet man die beteiligten Zahlen so, dass sich die Aufgabe
bequem im Kopf lösen lässt.
Definition (Schätzen). Schätzen beruht auf persönlichen Erfahrungen, nicht auf mathematischen Rechenoperationen. Es
gibt verschiedene Möglichkeiten, besser zu schätzen, etwa bei
Anzahlen die Rastermethode, bei der man eine grobe Unterteilung durchführt und dann hochrechnet.
Entbündelungstechnik: Jede Stellenwerteinheit kann als das
zehnfache der nächst kleineren Stellenwerteinheit dargestellt
werden.
Direktes Erfassen kleiner Anzahlen Von diesen drei Rechenoperationen ist das direkte Erfassen von kleinen Zahlen,
etwa vier bis fünf, zu unterscheiden. Dies geschieht simultan
und ohne Rechenbeteiligung.
Erweitern: Wird zu Minuend und Subtrahend die gleiche Zahl
addiert, so bleibt die Differenz gleich: a − b = (a + c) − (b +
c). → Übertrageziffer bei der alten Methode des schriftlichen
Subtrahierens.
2.10. Teilbarkeit und Primzahlen
Grundsätzliche Schwierigkeitsfaktoren sind die Anzahl der
Überträge, Stellenzahlunterschiede bei Minuend und Subtrahend, sowie Nullen. Beim Ergänzungsverfahren kamen dazu
noch Fehler mit der Rechenrichtung sowie die Verwechslung
von Addition mit Subtraktion.
Schriftliche
Multiplikation
Schwierigkeiten.
Bereitet
nahezu
keine
Motivation Teilbarkeitsregeln erleichtern das Rechnen,
ebenso wie das Finden gemeinsamer Teiler etwa beim Kürzen
von Brüchen. Weiterhin erfährt man dadurch mehr über die
Struktur der natürlichen Zahlen wie die Aufteilung in gerade
und ungerade Zahlen.
Definitionen Für die Definition der Teilbarkeit braucht
man keine neuen Begriffe, sie wird ausschließlich über die Multiplikation definiert.
Definition (Teilbarkeit). Seien a, b ∈ N natürliche Zahlen.
Wir sagen a|b, sprich a teilt b, falls es ein k ∈ N gibt mit
b = ka.
Definition (Teilermenge). Für eine Zahl n ∈ N heißt die
Menge
T (n) = {a ∈ N : a|n}
Abbildung 2: Schriftliche Multiplikation
(3)
Teilermenge von n. Für jedes n > 1 hat T (n) mindestens zwei
Elemente, nämlich 1 und n.
Definition (Primzahl). Gilt |T (n)| = 2, so heißt n eine Primzahl.
Schriftliche Division Schwierigstes der vier schriftlichen
Rechenverfahren. Es muss das Stellenwertsystem verstanden
sein, das Überschlagsrechnen gekonnt werden, das Dividieren
mit Rest verstanden sein und die schriftliche Subtraktion und
Addition in Kurzform automatisiert sein.
Lemma (Teilbarkeit bei Summen). Gilt a|b und a|c, so folgt
a|(b + c).
Lemma (Teilbarkeit bei Differenzen). Gilt a|b und a|c für
b > c, so folgt a|(b − c).
Lemma (Teilbarkeit bei Vielfachen). Gilt a|b, so folgt für
jedes n ∈ N auch a|(nb).
ggT und kgV Die folgenden Definitionen sollten gerade in
der 5. Klasse noch ikonisch (bildhaft) dargestellt werden.
Abbildung 3: Schriftliche Division
Problem mit dem neuen schriftlichen Subtraktionsverfahren,
das mehr Platz nach oben braucht, als das alte.
Definition (ggT). Seien n, m zwei natürliche Zahlen. Die
Schnittmenge T (n) ∩ T (m) enthält alle gemeinsamen Teiler
von n und m. Das größte Element in T (n) ∩ T (m) ist der
größte gemeinsame Teiler ggT(n, m) von n und m.
Gilt ggT(a, b) = 1 für zwei Zahlen a, b ∈ N, so heißen a, b
teilerfremd.
2.9. Schätzen, Runden, Überschlagen
Definition (kgV). Die Menge V (n) = {k · n|k ∈ N} zu einer Zahl heißt Menge der Vielfachen von n. Das kleinste Element in V (n) ∩ V (m) ist das kleinste gemeinsame Vielfache
kgV(n, m) von n und m.
Definition (Runden). Rundung ist eine arithmetische Operation, bei der eine Zahl in Stellenschreibweise, meist eine
Lemma. Es gilt ggT(n, m) · kgV(n, m) = nm.
4
3. Die Menge Q der rationalen Zahlen
Gewöhnliche (gemeine) Brüche
Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl kann eindeutig, bis auf die Reihenfolge der Faktoren, als Produkt von
Primzahlen geschrieben werden. In der Primfaktorzerlegung
werden gleiche Primfaktoren mit der Potenzschreibweise zusammengefasst.
3.1. Darstellungsarten
Zu einer Zahl n braucht
√ man nur die Primfaktoren zu bestimmen, die kleiner als n sind. Eventuelle größere Primfaktoren ergeben sich beim Teilen durch die kleineren automatisch.
Man findet sie mit den Teilbarkeitsregeln, die in Abschnitt
2.10 behandelt werden.
Es wird diskutiert, ob es reicht, eine der beiden Darstellungsarten (gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche) in der Schule zu
behandeln. Für die Dezimalbrüche spricht ihre hohe Alltagsrelevanz, aber gewöhnliche Brüche sind den meisten Schülern
bereits bekannt und für die Algebra unabdingbar.
Teilbarkeitsregeln ermöglichen eine schnelle Prüfung von
gegebenen Zahlen auf Teilbarkeit.
3.2. Der mathematische Bruchzahlbegriff
(Hintergrundwissen)
Endstellenregeln: Jede Zahl im Dezimalsystem kann in der
Form n = q · 10 + r dargestellt werden, wobei r < 10 die
Ziffer der Einerstelle ist. Eine Zahl ist also genau dann durch
2, 5, 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 2, 5, 10 teilbar ist
(Teilbarkeit bei Differenzen).
Hätte die Basis 10 mehr Teiler, so würde diese Regel auch für
mehr Zahlen gelten.
Diese Regel kann erweitert werden: Eine Zahl ist durch 4 Teilbar, wenn die Ziffernfolge der letzten beiden Ziffern durch 4
teilbar ist.
Quersummenregeln: Eine Zahl ist durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn
sie Summe ihrer Ziffern durch 3 bzw. 9 teilbar ist. Die Begründung dafür liefert folgender kurzer Beweis:
Definition (Bruchzahl). Es werden Paare (a, b) natürlicher
Zahlen betrachtet. Auf der Menge dieser Paare wird eine Relation ∼ definiert, bei der (a, b) ∼ (c, d) genau dann gilt,
wenn ad = bc ist. Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation,
d. . reflexiv, symmetrisch und transitiv. Die sich ergebenden
Äquivalenzklassen dieser Relation können als Bruchzahlen interpretiert werden.
Noch gibt es keinen Bruchstrich, sondern nur eine Mengenschreibweise. Das Wort Bruchzahl ist ein starkes mathematisches Konzept, das sich am Zahlenstrahl illustrieren lässt.
Gewöhnliche Brüche sind Repräsentanten von Bruchzahlen.
Es gibt wertgleiche Brüche und man kann sie über ihre
Äquivalenzklassen definieren.
Natürliche Zahlen sind keine Brüche, aber es gibt wertgleiche
uneigentliche Brüche zu jeder natürlichen Zahl.
3.3. Einführung von Brüchen in der Schule
durch Anregung von
Grundvorstellungen
Abbildung 4: Beweis zur Quersummenregel
Für 11 gilt die alternierende Quersummenregel, bei der die
Ziffern von rechts nach links jeweils mit alternierendem Vorzeichen addiert werden, wobei mit + begonnen wird.
Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln: Eine Zahl ist durch 6
teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.
Allgemein lautet die zusammengesetzte Teilbarkeitsregel: Eine
Zahl x ist durch z teilbar, wenn z = a · b, ggT(a, b) = 1 und
a|x und b|x gilt.
Viele der Charakteristika natürlicher Zahlen gelten bei
Brüchen weiterhin, andere nicht. Dafür kommen neue hinzu.
Man kann mit Brüchen rechnen, sie der Größe nach anordnen,
man kann sie auf dem Zahlenstrahl darstellen und sie durch
Größen benennen.
Grundvorstellungen
lungen zu Brüchen:
Es gibt verschiedene Grundvorstel-
- Teil eines Ganzen: Ich hab den vierten Teil einer (ganzen) Pizza. Man unterscheidet zwischen Teil eines Ganzen
und Teil mehrerer Ganzen. Dabei ist die Reihenfolge des
Teilens und Vervielfachens umgekehrt.
- Maßzahl: Brüche sind Namen von Zahlen. Beim Maßzahlaspekt sind Brüche Namen von Größen, z. B. 1/2 Stunde.
- Operator: Ein Drittel von 12 Äpfeln. Die von-Sprechweise
kann als Operator aufgefasst werden. Hier steht die Handlung des Teilens im Vordergrund.
- Verhältnis: Hierbei keine
Verhältnis, wie etwa 1 zu 4.
Division,
sondern
ein
- Quotient: Brüche als Ergebnis der Division natürlicher
Zahlen. Man unterscheidet zwischen den zwei möglichen
Grundvorstellungen Auf- bzw. Verteilen (Teilenvorstellung) und Enthaltensein (Passt-in-Vorstellung).
- Lösung einer Gleichung: Der Bruch a/b wird gesehen als
die Lösung der linearen Gleichung bx = a mit a, b ∈ N.
- Skalenwert: Bruch als Bezeichnung einer Stelle auf einer
Skala, wie etwa dem Zahlenstrahl oder einer Tankanzeige.
- Quasikardinalzahl: Obwohl Brüche nicht mehr Zahlen
zum Zählen sind, können sie ggfs. analog z. B. zum Zählen
von Größen verwendet werden. Ein Viertel Pizza, Zwei
Viertel Pizza, etc.
5
- Relationsaspekt: Fleich besteht zu 2/3 aus Wasser.
Einführung Zur Einführung der Bruchrechnung eignen sich
die folgenden Aspekte besonders gut:
- Äquivalenzklassenkonzept: Äquivalenzklasse
- Gleichungskonzept: Lösung einer linearen Gleichung
- Größenkonzept: Größe
- Operatorkonzept: Funktion oder Operator
Heute dominiert das Größenkonzept zusammen mit der VonVorstellung.
3.4. Erweitern und Kürzen
Es geht bei beiden Rechenoperationen darum, weitere Repräsentanten zu einem gegebenen Bruch zu finden. Erweitern
kann anschaulich als Verfeinerung der Unterteilung verstanden werden. Analog kann das Vergröbern von Unterteilungen
als Kürzen herausgearbeitet werden. Dabei fällt auf, dass Vergröbern nur begrenzt durchführbar ist.
Offensichtlich kann man Zähler und Nenner eines Bruches nur
durch gemeinsame Teiler kürzen und die Menge gemeinsamer Teiler ist endlich. Werden Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler gekürzt, so erhält man die
Grundform des Bruches, den sog. Kernbruch, einen maximal
gekürzten Bruch.
3.5. Größenvergleich (Anordnung)
Größenkonzept Man geht von konkreten Brüchen aus, die
Schülern bereits aus dem Alltag bekannt sind. Man geht also
den didaktischen Umweg, aus Gründen der besseren Vorstellung, Brüche zuerst mit Benennung einzuführen. Damit sind
Brüche zuerst Maßzahlen von Größen.
Zur Vorstellung Teil eines Ganzen gelangt man dann, indem
man als Ganzes zuerst eine Einheit einer Größe betrachtet. So
lassen sich Brüche als Teile bequem visualisieren.
Durch Abstraktion gelangt man zu einer festen Bezugsgröße
das Ganze“. Die Bruchzahl m/n bezeichnet dann den Anteil
”
m/n des Ganzen. Die Vorstellung Teil eines Ganzen kann dann
zur Vorstellung Teil mehrerer Ganzen erweitert werden.
Vorteile des Größenkonzepts:
- Man sieht die Brüche direkt.
- Das Ganze muss nicht unbedingt mit einer konkreten
Größe korrespondieren, z. B. eignen sich auch eine Pizza oder ein Rechteck als Einheit.
- Man gelangt leicht zur Anteilvorstellung.
- Außerdem lässt sich mit dem Größenkonzept das Erweitern und Kürzen von Brüchen, die Anordnung und die
Addition anschaulich einführen und behandeln.
Operatorkonzept Die Sprechweise der sechste Teil“ sind
”
für Schüler nun mit der Welt der Brüche verbunden. Es ist zu
diesem Zeitpunkt schwierig, eine Verbindung zu Brüchen herzustellen, wenn das Wort Teil in einer Sprech- oder Schreibweise nicht auftaucht.
Es muss zunächst die Bedeutung von größer und kleiner bei
Brüchen geklärt werden. Dies lässt sich durch Veranschaulichung am Rechteckmodell mit zwei einfachen Brüchen erarbeiten. Größer heißt also, mehr Stücke von einem Ganzen.
Der
Größenvergleich
von
Bruchzahlen
kann
vom
Größenvergleich bei natürlichen Zahlen abgeleitet werden (→ Permanenzprinzip). Bei zwei gegebenen Bruchzahlen
liegt die größere Bruchzahl auf dem Zahlenstrahl immer
rechts von der kleineren Bruchzahl.
Ausgehend vom Rechteckmodell mit der gemeinsamen Unterteilung lässt sich das allgemeine Schema zum Vergleichen von
gleichnamigen Brüchen (gleicher Nenner) herleiten:
1. Bestimmung des Hauptnenners
2. Bestimmung der Erweiterungszahlen
3. Erweitern der Brüche
4. Vergleich der Zähler
Dieses Schema verleitet Schüler jedoch leicht dazu, ohne Verständnis nach Schema vorzugehen. Rezepte sind
gut und wichtig, bei Aufgabenvariation kann man damit
aber scheitern. Es sollten deshalb auch nicht schematische
Größenvergleiche behandelt werden. Beispielsweise bieten sich
Übungen zu folgenden Regeln an:
4
5
>
9
9
1
1
>
13
15
5
6
<
,
14
13
(4)
(5)
5
6
6
weil
<
<
14
14
13
(6)
Ein Bruch kann als Funktion, bzw. Operator gedeutet werden.
Nun steht nicht mehr im Vordergrund, wie ein Bruch aussieht,
sondern was er tut. Später wird 1/2 von als 1/2· gedeutet.
Weiterhin sollte die Anordnung neben der rechnerischen Variante auch am Zahlenstrahl verdeutlicht werden.
Vor- und Nachteile des Operatorkonzepts:
Außerdem sollten in diesem Zusammenhang wichtige Eigenschaften der Brüche diskutiert werden, die von N abweichen:
- Vor allem bei der Einführung der Multiplikation bietet
die Operatorschreibweise Vorteile.
- Es gibt keinen Vorgänger, bzw. Nachfolger in der Menge
der Bruchzahlen.
- Beim Erweitern oder Kürzen bietet das Operatorkonzept
keine gute anschauliche Vorstellung und auch die Anordnung von Bruchzahlen ist nur aufwändig herzuleiten. Man
wird dazu wieder auf das Größenkonzept zurückgreifen.
- Zwischen zwei Bruchzahlen gibt es unendlich viele weitere
Bruchzahlen.
- Ein Bruch als Operator aufgefasst verdeutlicht auch, wie
genau 3/4 von etwas hergestellt werden kann.
Es gibt unterschiedliche Vorgehensweisen beim Auffassen von
Brüchen als Operatoren. Diese vertauschen die Reihenfolge
des Teilens und des Vervielfachens:
1. 3/4cm bedeutet, einen Zentimeter in vier gleich lange Teile
zu teilen und drei davon zu nehmen.
2. 3/4cm bedeutet, einen Repräsentanten von drei Zentimetern in vier gleich lange Teile zu teilen und einen davon
zu nehmen.
6
3.6. Begriffe, (Un-)eigentliche, (un-)echte
Brüche und gemischte Zahlen
Ist der Zähler größer als der Nenner (oder gleich → unechter
Bruch), kann man den Bruch auch als gemischte Zahl schreiben.
11
8
3
3
3
= + =2+ =2 .
4
4
4
4
4
(7)
Dabei sind natürliche Zahlen wertgleich zu uneigentlichen
Brüchen. Zur Darstellung eignet sich das Tortenmodell.
Eine Schwierigkeit für Schüler ist, dass in diesem Fall das +
weggelassen wird, wobei sonst im Allgemeinen das · weggelassen wird.
Folgende Aufzählung erfasst die wesentlichen Begriffe zum
Bruchrechnen:
- Gewöhnlicher (gemeiner) Bruch: Darstellung einer Bruchzahl in der
Zähler-Bruchstrich-Nenner”
Schreibweise“.
- Bruchzahl: Zahlentupel aus der Definition von Brüchen
über Äquivalenzklassen.
P
- Dezimalzahl (Dezimalbruch): Z =
i = −nm zi · 10i mit
zi ∈ {0, . . . , 9}.
- Rationale Zahl: q ∈ Q, d. h. q = z/n mit z ∈ Z und n ∈ N.
- Stammbruch: Brüche der Form 1/n mit n ∈ N.
zahl wird analog zur Multiplikation von natürlichen Zahlen
als wiederholte Addition eingeführt.
Dies geht bei der Multiplikation einer Bruchzahl mit einer
natürlichen Zahl nicht, hier wird ein anderes Modell herangezogen werden müssen. Leider wenden Schüler nicht automatisch das Kommutativgesetz an!
Bruch mal natürliche Zahl (Operatorkonzept) Die
Multiplikation einer Bruchzahl mit einer natürlichen Zahl, wie
auch die Multiplikation zweier Bruchzahlen, wird stattdessen
mit Hilfe des Von“-Ansatzes eingeführt.
”
Ausgehend wieder von Größen oder einem Ganzen: So wie
man sich 3/4 von einer Einheit vorstellt, kann man auch 3/4
von 8 betrachten. Statt der Einheit steht hinter 3/4 nun mal
8!
- Gleichnamige Brüche: Haben den gleichen Nenner.
- Gemischte Zahl: Zahlen der Form z n/m mit z ∈ Z und
n, m ∈ N, sowie n < m. Kurzform für z + n/m.
- Kernbruch
Bruch.
(Bruchgrundform):
Maximal
gekürzter
- Unechter Bruch (Scheinbruch): Ein Bruch der Form n/n
mit n ∈ N.
- Uneigentlicher Bruch: Ein Bruch der Form z/n mit z ∈ Z
und n ∈ N, sowie |z| > n, also insbesondere |z/n| > 1.
3.7. Addition und Subtraktion
In der Schule beginnt man wieder in der Verbindung mit einer
Größe oder eines visualisierten Ganzen (aber nicht abstrakt).
Die Addition von gemeinen Brüchen wird durch die Addition
von gleichnamigen Brüchen eingeführt. Sind die Brüche gleichnamig, werden die Zähler addiert und der gemeinsame Nenner
ändert sich nicht. Das Größenkonzept ist insbesondere deshalb
wichtig, da man so sieht, dass sich nur der Zähler und nicht
der Nenner ändert.
Anschließend erfolgt die Abstraktion, also ohne Größen, Strecken oder Rechtecke, aber immernoch mit gleichnamigen
Brüchen, z. B. mit Hilfe einer Zahlenmauer.
Sind die Brüche nicht gleichnamig, so entsteht das allgemeine
Problem, eine Maßzahl (einen Bruch) für die Summe zweier
Größen zu finden. Hier muss eine gemeinsame Unterteilung
der beiden Teilstrecken gefunden werden, bevor man die Gesamtlänge bestimmen kann. Das Bestimmen einer gemeinsamen Unterteilung entspricht dem Gleichnamigmachen der zugehörigen konkreten Brüche. Da es verschiedene Möglichkeiten
gibt, wird man die gröbste Unterteilung wählen, was der Bestimmung des Hauptnenners entspricht.
Nach der Addition ist zu prüfen, ob der neu berechnete Bruch
wieder kürzbar ist.
Die Subtraktion kann im Sinne des operativen Prinzips parallel zur Addition eingeführt werden.
Schülerfehler Einer der häufigsten Fehler bei der Addition von Brüchen ist das Addieren der beiden Zähler und der
beiden Nenner. Dieser Fehler ist in der Regel auf mangelndes
Verständnis für Bruchzahlen zurückzuführen, da Zähler und
Nenner als unabhängige Zahlen eingestuft werden.
Burchzahl mal Bruchzahl (Operatorkonzept) Das
gleiche Vorgehen wird auch bei der Multiplikation zweier gemeiner Brüche herangezogen.
Einen Bruch durch 2 teilen ist einfach vorstellbar: Nehme
die Hälfte des Bruches. Dazu wird an den Quotientenaspekt
Bruch als Division natürlicher Zahlen“ angeknüpft.
”
Die Division einer Bruchzahl durch eine natürliche Zahl n ist
sofort aus der Division von natürlichen Zahlen ableitbar, wenn
der Zähler durch n teilbar ist. Ist dies nicht der Fall, so wird
der Bruch um n erweitert und dann der Zähler durch n geteilt.
Es lässt sich schließlich eine Divisionsregel herleiten.
Analog zum Rechnen mit Größen ergibt sich damit
5
15
5
3 5
· =3·
:4 =3·
=
.
4 7
7
28
28
(8)
Schließlich lässt sich dies auf die bekannte Regel Zähler mal
Zähler, Nenner mal Nenner reduzieren. Dies lässt sich auch
gut mit Rechtecken gebrochener Längen visualisieren.
Schülerfehler beim Multiplizieren
folgende Fehlermuster auf:
Sehr häufig treten
- Schematisches Übertragen der Additionsregel: a/b · c/b =
a·c/b.
- Verwechslung von Multiplikation mit Erweitern: n · a/b =
n·a/n·b.
Division von Bruchzahlen: Die Divisionsregel gehört zu
den schwierigsten Regeln in der Bruchrechnung.
Eine geeignete Visualisierung ist die Passt-In“-Vorstellung.
”
Wie oft passt 1/2 in 1 3/4 ist weiterhin vorstellbar.
Eine andere Möglichkeit ist ein Konzept, das auf der Idee des
Messens beruht. Für die Division von natürlichen Zahlen a, b
ist bekannt, dass
a : b = (a · n) : (b · n).
(9)
Diese Erkenntnis wird auf die Bruchzahlen übertragen: Für
a, b werden Brüche und für n der Nenner des zweiten Bruchs
gewählt, durch den geteilt werden soll. Es ergibt sich
a c
a c
a·d
a·d
: =
·d :
·d =
:c=
.
b d
b
d
b
b·c
(10)
Dies ergibt die Kehrwertregel.
3.8. Multiplikation und Division
Die Multiplikation von Bruchzahlen wird in drei Fälle unterteilt
Natürliche Zahl mal Bruch (Additionsvorstellung)
Die Multiplikation einer natürlichen Zahl mit einer Bruch-
Schülerfehler beim Dividieren Typische Fehler sind analog zur Multiplikation Probleme mit dem ausgeprägten Erweiterungsgedanken (beim Dividieren durch natürliche Zahlen), sowie das Subtrahieren statt Dividieren bei gleichnamigen Brüchen (Übergeneralisierung).
7
4. Dezimalbrüche
Anordnung und Größenvergleich Durch Rückgriff auf
Größen (Einheiten), auf Zehnerbrüche, auf Stellenwerte und
auf den Zahlenstrahl.
4.1. Vorbemerkungen zu Dezimalbrüchen
Typische Fehler beim Größenvergleich von Dezimalzahlen:
Es soll eine enge Verzahnung angestrebt werden. Das
vollständige konzeptuelle Verständnis des Bruchzahlbegriffs
beinhaltet beide Darstellungsformen inklusive deren wechselseitige Beziehungen.
Vorteile
- Kein-Komma-Strategie: Anordnung wie natürliche Zahlen, Kommas werden einfach ignoriert.
- Komma-Trennt-Strategie: 3,2 < 3,15, weil 3 = 3 und 2 <
15, betrachten von Vorkomme- und Nachkommastellen
als eigenständige Zahl.
- Nullstrategie: Je mehr Nullen rechts vom Komma stehen,
desto kleiner ist der Bruch.
- Alltagsbezug
- Erweiterung der Stellenwertschreibweise
- Bezug der Rechenverfahren zum Rechnen in den
natürlichen Zahlen (Additions und Subtraktionsverfahren
können einfach fortgesetzt werden)
- Geringer Rechenaufwand
- Anzahl-Der-Dezimalen-Strategie: Je mehr Dezimalen, desto kleiner ist der Bruch.
Abhilfe schafft das Anhängen von Endnullen oder als
verständnisorientierte Hilfe der Rückgriff auf Größen, Zehnerbrüche, Stellenwerttafeln und Zahlenstrahl an. Diese sind weniger problematisch und versprechen bessere Lerneffekte.
- Eindeutige Schreibweise
- Einfacher Größenvergleich
Runden
- Intuitivere Erweiterung zu reellen Zahlen möglich
Arten von Dezimalbrüchen
Wie gewohnt, nur jetzt mit eben mit Komma.
4.4. Umrechnungen zwischen den
Bruchzahldarstellungen
- endliche (abbrechende) Dezimalbrüche
- unendliche periodische Dezimalbrüche
Umformen durch Erweitern und Kürzen Wenn dadurch der Nenner zu einer Zehnerpotenz werden kann.
- unendliche gemischt periodische Dezimalbrüche
- unendliche nicht-periodische Dezimalbrüche
4.2. Erweiterung der Stellenwerttafel
Bei der Einführung der Dezimalbrüche wird mit endlichen Dezimalbrüchen begonnen. Dabei ist folgendes wichtig:
- Alltagsbezug
- Vorteile zur weiteren Motivation nennen
- Beispielgebundene Definition geben (Stellenwertsystem)
- Sprechweise vereinbaren: 0,005 heißt Null Komma Null
Null Fünf.
- Bezug zu gewöhnlichen Brüchen und zum Zahlenstrahl
verdeutlichen.
Letztlich muss verstanden werden:
234
=
1000
200
30
4
=
+
+
=
1000
1000
1000
3
4
2
+
+
.
=
10
100
1000
0,234 =
(11)
Umformen durch Division a/b = a : b geht für alle Zahlen, allerdings muss noch geklärt werden, wie die Division im
Stellenwertsystem erweitert werden kann, wenn sie nicht aufgeht.
Es gibt genau drei Möglichkeiten, welche Fälle auftreten
können:
- Endliche Dezimalbruchentwicklung: Der gekürzte Bruch
mit Zähler m und Nenner n > 1 besitzt genau dann eine
endliche Dezimalbruchentwicklung, wenn der Nenner n
nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält.
- Periodische Dezimalbruchentwicklung: Der gekürzte
Bruch mit Zähler m und Nenner n > 1 besitzt genau dann
eine rein periodische Dezimalbruchentwicklung, wenn der
Nenner n nicht die Primfaktoren 2 und 5 enthält.
- Gemischt periodische Dezimalbruchentwicklung: Der
gekürzte Bruch mit Zähler m und Nenner n > 1 besitzt
genau dann eine gemischt periodische Dezimalbruchentwicklung, wenn der Nenner n den Primfaktor 2 oder 5 und
darüber hinaus mindestens einen weiteren, von 2 und 5
verschiedenen Primfaktor enthält.
Für periodische Brüche: 9er Brüche. Dazu ein Beispiel:
Übungen z. B. mit dem Stellenwerthaus oder das Bilden von
kleinsmöglichen und größtmöglichen Zahlen bei gegebenen Ziffern ist essentiell.
In der Grundschule wird die Kommaschreibweise mit der Regel: Das Komma trennt die Einheiten eingeführt.
Wie immer bei neuen Zahlen: Wo liegen sie auf dem Zahlenstrahl.
4.3. Erweitern und Kürzen, Größenvergleich
und Runden bei endlichen
Dezimalbrüchen
Erweitern und Kürzen von Dezimalbrüchen Unter erweitern versteht man 1,5 → 1,500. Unter kürzen dementsprechend 3,60000 → 3,6.
8
0,021̄ =
1
19
2
+
=
.
100
900
900
(12)
Die maximale Periodenlänge ist Nenner n − 1.
Lemma. Es gilt 1/9 = 0,1̄ und 0,9̄ = 1.
Beweis. Es ist
0,1̄ =
∞ 1 X 1 i
1
1
1 10
1
·
=
·
=
·
= , (13)
10 i=0 10
10 1 − 1/10
10 9
9
0,9̄ = 0,1 · 9 =
1
· 9 = 1.
9
(14)
4.5. Addition und Subtraktion von
Dezimalbrüchen
Eigentlich müssten keine neuen Rechenregeln für Dezimalbrüche eingeführt werden, da die Regeln ja für gewöhnliche
Brüche existieren und Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche
umgewandelt werden können (→ U-Schema).
Die Addition und Subtraktion ist in der Regel in der Dezimalschreibweise einfacher. Ebenso sind für Schüler die Anordnung
und der Größenvergleich sowie das Kürzen und das Erweitern
in der Dezimalschreibweise einfacher. Bei der Multiplikation
und der Division ist es dagegen oft umgekehrt.
4.6. Multiplikation und Division von
Dezimalbrüchen
Multiplikation Bei der Multiplikation und Division kommt
es zu einer Kommaverschiebung um die entsprechende Anzahl
von Stellen. Dies kann über alle drei Zugänge (Rückgriff auf
Größen, Stellenwerttafel, Zehnerbrüche) erklärt werden. Sie
wird schrittweise erarbeitet:
1. Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer 10er-Potenz
als entsprechende Kommaverschiebung: Kann durch alle
drei Zugänge eingeführt werden.
2. Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer natürlichen
Zahl: Kann leicht auf Basis der Größen veranschaulicht
werden (wiederholte Addition).
3. Multiplikation zweier Dezimalzahlen: Schwierig ist es, die
Anzahl der Nachkommastellen zu erfassen. Durch den
Von-Ansatz kann das Verkleinern beim Multiplizieren
erläutert werden.
Division Bei der Division wird analog vorgegangen. Bei
Punkt 3 ist ein wichtiges vereinfachendes Prinzip das gleichsinnige Verändern, durch das Dezimalbrüche in natürliche Zahlen
transformiert werden (→ Gleichsinnige Kommaverschiebung).
5. Ganze Zahlen Z
5.1. Die Erweiterung von N auf Z
Fachmathematischer Hintergrund Jede ganze Zahl
lässt sich als Differenz a − b zweier natürlicher Zahlen schreiben. Daher liegt es nahe, die ganze Zahl a − b durch das
Paar (a, b) zu beschreiben. Betrachte auf der Menge N × N die
Äquivalenzrelation (a, b) ∼ (c, d) genau dann, wenn a + d =
b + c. Die ganzen Zahlen werden nun als Äquivalenzklassen
bzgl. ∼ definiert. Die Klasse [5, 7] bezeichnet nun die negative
Zahl −2. Die Menge aller ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet.
Die Erweiterung in der Schule (in Kürze) Wie jede
Zahlbereichserweiterung können auch in Bezug auf die negativen Zahlen folgende Fragen gestellt werden: Wo liegen die
neuen Zahlen auf dem Zahlenstrahl? Was können die neuen
Zahlen (→ Lösgen von Gleichungen).
Die Erweiterung bringt die neuen Begriffe Vorzeichen, negativ, positiv, sowie Betrag und Gegenzahl und außerdem neue
Rechenregeln mit sich.
5.2. Grundvorstellungen durch Alltagsbezug
In diesem Fall bieten sich vor allem Kontexte an, die auf die
Vorerfahrungen der Schüler zurückgreifen. Diese sind
Temperaturskala Es hat 5 Grad Celcius, was passiert,
wenn es 8 Grad kälter wird? Es gibt demnach Zahlen, die
kleiner sind als Null und trotzdem sinnvoll. Anhand des Thermometers wird den Schülern klar, dass man den Zahlenstrahl
auf die andere Seite der Null verlängern muss (→ querliegendes Thermometer).
Guthaben und Schulden Ein Vorteil des Schuldenkontextes ist, dass hier üblicherweise tatsächlich mit negativen Zahlen gerechnet wird. Temperaturen werden dagegen gewöhnlich
nur kommuniziert. Der Schuldenkontext hat jedoch den Nachteil, dass im Alltag selten von Minus 10 Euro gesprochen wird,
im Gegensatz zu Minus 10 Grad Celcius. Man versteckt das
Vorzeichen in dem Wort Schulden.
Höhen- und Tiefenangaben
als weiterer Sachkontext.
Diese Sachkontexte sind wichtig, um das Verständnis der
Schüler zu fördern. Auch die neuen Rechenregeln sollten an
diesen Kontexten aufgebaut und erprobt werden.
5.3. Neue Begriffe
5.3.1. Vorzeichen (positive Zahl, negative Zahl)
Die verschiedenen Bedeutungen des Minuszeichens
Das Minuszeichen nimmt nun verschiedenen Bedeutungen an:
- Rechenzeichen (etwas abziehen): Diese Bedeutung als
Subtraktionszeichen ist jedem Schüler geläufig.
- Vorzeichen (Zuschreiben von positiv bzw. negativ): Nur
wer dies als eine neue Bedeutung akzeptiert, weiß, dass
man bei −3 nichts rechnen muss, sondern dass das
tatsächlich eine eigene selbstständige Zahl bezeichnet.
- Invertierungszeichen (das Vorzeichen ändern): Nur wer
dies als neue Bedeutung akzeptiert, kann die Frage beantworten: Was ist das Negative von −2? Das Invertierungszeichen bedeutet weder Rechnen, noch wird es zur
Bezeichnung einer neuen selbstständigen Zahl verwendet.
9
5.3.2. Betrag und Gegenzahl
Negative Zahl mal negative Zahl
gelung.
Erst nach Einführung der negativen Zahlen macht es Sinn, den
Betrag einer Zahl zu definieren. Er basiert auf einer geometrischen Idee: Er beschreibt den Abstand eines Punktes zum
Ursprung. Im eindimensionalen Fall der ganzen/rationalen
Zahlen ist es also die Differenz zu Null. Im Sinne einer
geometrischen Veranschaulichung muss auf den Zahlenstrahl
zurückgegriffen werden.
So erhält man die allgemeinen Rechenregeln: Gleiche Vorzeichen der Faktoren → Produkt positiv, unterschiedliche Vorzeichen bei den Faktoren → Produkt negativ.
Gegenzahlen haben den gleichen Betrag.
5.4. Anordnung
Anhand der Zahlengerade lässt sich die Ordnungsrelation von
N auf Z übertragen und illustrieren. Die Ordnungsrelation
größer entspricht weiter rechts behält weiterhin Gültigkeit (→
Permanenzprinzip).
Ein häufiges Problem ist, dass Schüler nicht die Größen der
Zahlen vergleichen, sondern die Größen ihrer Beträge.
5.5. Addition und Subtraktion
Auf eine Darstellung mit Variablen wird in der Regel verzichtet. Stattdessen erhält man in Worten:
- Zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen werden addiert, indem ihre Beträge addiert werden und die Summe das gemeinsame Vorzeichen bekommt.
- Zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen werden addiert, indem ihre Beträge subtrahiert werden und die Differenz das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren betrag
bekommt.
Schülerfehler beim Addieren: Schüler haben insbesondere
Schwierigkeiten beim Interpretieren von Aufgabenstellungen
(Was heißt −3 abziehen?) und bei der Berechnung selbst (Was
bedeuten die Zeichen hintereinander?).
Zwei Modelle Am Zahlenstrahl kann man die Addition mit
negativen Zahlen auf zwei unterschiedliche Arten modellieren:
- Zustand-Änderung-Zustand: Aus einem Anfangszustand
folgt über eine Änderung ein Endzustand.
- Änderung-Änderung-Änderung:
Null aus wird betrachtet.
Gesamtänderung von
Subtraktion Die Subtraktion kann einfach auf die Addition zurückgeführt werden: Eine rationale Zahl wird subtrahiert, indem man ihre Gegenzahl addiert. Es werden also keine
komplexen Rechenregeln eingeführt. Dies sollte anhand von
Sachkontexten veranschaulicht werden.
Permanenzprinzip Da die Addition neu definiert wurde,
muss geprüft werden, ob das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz weiterhin gilt.
5.6. Multiplikation und Division
Positive Zahl mal negative Zahl Man beginnt mit dem
einfachsten der neuen Fälle. Hier kann man sich die Multiplikation einfach noch als wiederholte Addition denken.
Negative Zahl mal positive Zahl Entweder abstrakt
über das Kommutativgesetz, oder anschaulich über eine Permanenzreihe. Eine alternative ist die Interpretation von ·(−1)
als Punktspiegelung am Ursprung der Zahlengerade.
10
Zweimalige Punktspie-
Division Die Division ergibt qualitativ nichts neues gegenüber der Multiplikation. Die Vorzeichenregeln entsprechen
denen der Multiplikation, da Dividieren der Multiplikation mit
dem Kehrwert entspricht.
6. Potenzen und Potenzrechnung
7. Reelle Zahlen R
6.1. Der Potenzbegriff
7.1. Einführung in der Schule
Der Potenzbegriff in N steht im Verhältnis zur Multiplikation
wie die Multiplikation zur Addition: Wiederholtes Hintereinanderausführen. Man führt den Potenzbegriff an mit n ∈ N in
drei Schritten ein:
Die Einführung geschieht in der Regel nicht über den Weg
nicht-periodischer unendlicher Dezimalbrüche, sondern über
die Betrachtung von Quadratwurzeln. Als Repräsentant solch
eines Systems bietet sich die Diagonale eines Quadrates an.
Allerdings kann hier in der Regel noch nicht auf den Satz des
Pythagoras zurückgegriffen werden, sondern man muss zwei
Quadrate nebeneinander malen.
√
Man erhält so die Zahl 2 und misst nach, dass sie auf dem
Zahlenstrahl etwa bei 1,4 liegen
√ muss. Da es keine ganze Zahl
Bruch ist, den man geist, ist die Vermutung, dass 2 ein √
nauer bestimmen kann. Man kann 2 mit Dezimalbrüchen
zwar sehr gut nähern, aber man findet keinen abbrechenden
Dezimalbruch, der im Quadrat exakt 2 ergibt.
√
2 ist keine rationale Zahl.
Lemma.
1. Für Exponenten n > 1 als Produkt aus n Faktoren a.
2. Für den Exponent n = 1 als a1 = a.
3. Für den Exponent n = 0 als a0 = 1.
Dabei bereiten gerade die letzten beiden Schritte immer wieder Probleme.
6.2. Ein kognitiver Stolperstein: Hoch 0
Die Schülervorstellungen zu hoch 0 gehen weit auseinander.
Man unterscheidet grundlegenden zwischen fünf Problemen:
- a hoch etwas wird immer größer: Ein Schüler mit dieser
Sichtweise wird glauben, dass a0 größer als a sein muss
und damit nicht 1 sein kann: a0 > a.
√
Beweis. Wir setzen 2 = m/n an, wobei m, n ∈ N natürliche
Zahlen sind und ggT(m, n) = 1, also der Bruch ist maximal
gekürzt. Ein erste Umformung liefert 2n2 = m2 und wegen der
Primfaktorzerlegung erhalten wir sofort einen Widerspruch.
- Null mal den Faktor a kann man sich nicht vorstellen:
Wenn nichts dasteht, dann muss es doch Null sein: a0 = 0.
- Wegen unterschiedlicher Basen muss es zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen: a0 = unterschiedlich für alle
a.
7.2. Der neue Zahlbereich R
- Hoch 0 geht nicht: a0 ist ebenso wie 1/0 verboten.
Erneut können wir mit diesen neuen Zahlen, den irrationalen
Zahlen, eine neue Klasse von Gleichungen lösen und sie auf
dem Zahlenstrahl approximativ darstellen.
- Hoch 0 tut nichts: Interpretation von Hoch 0 als das neutrale Element des Potenzierens: a0 = a.
Diesen Schülerfehlern kann eine Permanenzreihe Abhilfe
schaffen. Sie beseitigt alle Fehler auf die gleiche Weise!
6.3. Zehnerpotenzen
Die Zehnerpotenzen haben auf Grund des Dezimalsystems eine besondere Funktion. Sie sind im Alltag relevant und Voraussetzung für den Umgang mit dem Taschenrechner.
6.4. Potenzrechengesetze
Es gelten für alle Arten von Exponenten und Basen die folgenden Rechenregeln für Potezen
au · av = au+v
au
+ au−v
av
au · bu = (ab)u
a u
au
=
u
b
b
(au )v = auv .
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
Weiterhin ist (−a)n = an für gerade n und (−a)n = −an für
ungerade n. Außerdem gilt Klammer vor Potenz vor Punkt
vor Strich. Aufgrund des Permanenzprinzips lassen sich auch
irrationale Potenzwerte bestimmen:
√
2
1
1
1
a( /2)
= a /2·2 = a1 = a
⇒ a /2 = a
(20)
7.3. Wie viele reelle Zahlen gibt es?
Es ist für Schüler schwer zu glauben, dass es zwischen zwei beliebigen Punkten auf dem Zahlenstrahl viel mehr irrationale,
als rationale Zahlen gibt, die reellen Zahlen also einen topologischen Abschluss bilden. Hier wird der Unendlichkeitsbegriff
erneut thematisiert.
Unendlichkeit Schüler verstehen, dass sowohl die
Mächtigkeit von N als auch die von R unendlich ist. Sowohl die natürlichen Zahlen, als auch die rationalen Zahlen
(→ Cantorsches Diagonalverfahren) sind abzählbar. Die
reellen Zahlen sind überabzählbar, man kann sie also nicht
mehr der Reihe nach alle zählen. Man erhält als Ergebnis,
dass es viel mehr reelle Zahlen als rationale gibt.
7.4. Näherungsverfahren zur Bestimmung
irrationaler Zahlen
Intervallschachtelung
Nehme ein Intervall, in dem die ge√
suchte Zahl, etwa 2 liegt und halbiere (drittle, zehntle) es.
Finde heraus, in welchem der neuen Intervalle die gesuchte
Zahl liegt. Teile dieses neue Intervall weiter.
Heron-Verfahren Die Idee ist, dass ein ein Quadrat mit
√
Flächeninhalt zwei geben muss, das dann die Kantenlänge 2
haben muss. Es ist ein Iterationsverfahren und stellt einen
Spezialfall des Newton-Verfahrens dar.
Soll von a die Quadratwurzel berechnet werden, dann konvergiert das Verfahren für jeden Anfangswert x0 6= 0. Man wählt
meist x0 = a als Startwert und es gilt:
xn+1 =
xn +
a
xn
2
Somit kommt man beliebig nahe an
√
.
(21)
a heran.
11
7.5. Rechnen mit reellen Zahlen
Permanenzprinzip Die Anordnung der reellen Zahlen, die
Addition und die Subtraktion ergibt sich unmittelbar aus der
Zahlengeradendarstellung.
Für die Multiplikation und die Division wird man das
Rechnen mit rationalen Dezimalbrüchen auf die irrationalen
übertragen.
Das Potenzieren wurde ebenfalls bereits thematisiert.
Das Rechnen, vor allem mit Wurzeln, bedarf eingehender
Übung!
7.6. Weitere irrationale Zahlen
Pi π Für alle Kreise mit Umfang u und Durchmesser d ist
der Quotient u/d eine feste Zahl. Sie wird als Kreiszahl π bezeichnet.
Abbildung 5: Ein einfaches Näherungsverfahren zur Berechnung der Kreiszahl π
Eulersche Zahl e Die Eulersche Zahl spielt für die Logarithmentafeln, die Zinsrechnung und für die Fläche einer Hyperbel eine Rolle.
7.7. Reelle Zahlen - und dann?
Die komplexen Zahlen C sind algebraisch abgeschlossen und
lösen damit alle erdenklichen Gleichungen.
12
Teil II.
den Prinzipien: Variation (verschiedenen Arten), Betrachtung von Sonderfällen, Kontrastierung (was ist keines dieser
Phänomene) → Allgemeine Definition des Phänomens.
Algebra
Im Allgemeinen also nach dem Schema erst Beispiel,
”
dann Definition“, also genau umgekehrt wie in der Universitätsmathematik.
8. Didaktik der Algebra - Einführung
8.1. Unterscheidung Arithmetik - Algebra Analysis
Lehre der Zahlen → Zahlbereiche
Rechnen mit Zahlen → Arithmetik
Rechnen mit Buchstaben → Algebra
Rechnen mit unendlich klein und unendlich groß → Analysis
8.2. Historische Bemerkungen zur Algebra
5. Jhd. → erste algebraische Darstellungen bei den Indern
13. Jhd. → Iraner verfeinern die algebraischen Methoden
Später prägt lange Zeit das Buch eines Persers die Algebra.
8.3. Zur Motivation: Schüler- und
Erwachsenenfehler
Viele vermeintlich blöde Fehler beim Zuschreiben von Bedeutungen zu einfachsten Gleichungen mit Variablen.
lim
x→8
1
=∞
x−8
⇒
lim
x→5
1
=
x−5
5
Konzeptuelle Verständnisfehler also begriffliche Fehler,
wie das Vermeintliches Erkennen von Systematiken, die allerdings völlig falsch sind
(22)
Rechenfehler Flüchtigkeitsfehler,
oder
Übergeneralisierung: Anwenden von Rechenregeln, die
nur unter anderen Rahmenbedingungen gelten:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
⇒
(a · b)2 = a2 · 2ab · b2 (23)
Professoren-Studenten-Aufgabe Es gibt 6-mal mehr
Studenten, als Proffesoren. Dabei treten vier verschiedene
Fehlvorstellungen auf:
- Falsches Verständnis des Gleichheitszeichens: Man kann
es gibt mehr als“ oder kommen auf“ nicht einfach durch
”
”
= ausdrücken.
- Falsches Multiplikationsverständnis: Das 6-fache muss
beim Größeren stehen.
- Falsche Variablenvorstelllungen: mit Maßeinheiten wäre
alles richtig.
- Wort für Wort Übersetzung: Reihenfolge der Formulierung wird in der Gleichung einfach beibehalten.
8.4. Die zentralen Begriffe im schulischen
Algebraunterricht; Bemerkungen zum
Begriffslernen
Zentrale Begriffe Funktionen: Können oft als (Funktions)Gleichungen aufgefasst werden. Gleichungen bestehen aus
zwei Termen. Terme können Variablen enthalten.
Reihenfolge des Begriffslernens im Unterricht Erfahrungen mit dem Phänomen → Systematische Darbietung nach
13
9. Der Variablenbegriff
10. Der Termbegriff
9.1. Die drei Aspekte des Variablenbegriffs
10.1. Was ist ein Term?
Einsetzungsaspekt Variable als Platzhalter, Variable
steht für eine beliebig einzusetzende Zahl, sie symbolisiert oft
eine Anzahl oder Größe von etwas Bestimmtem, wofür die Variable gewählt wurde.
Definition (Term). Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck (formal: eine Zeichenreihe), der bei Belegung sämtlicher
Variablen in einen Zahlenwert übergeht. Somit darf in einem
Term kein = enthalten sein.
Hauptgedanke: Ich darf eine beliebige mich gerade interessierende Zahl für die Variable einsetzen.
Gegenstandsaspekt Variable als Bezeichnung einer festen
Zahl, Bezeichnung Unbekannte“ trifft hier zu, Variable ist der
”
eigentliche Denkgegenstand.
Hauptgedanke: Die Unbekannte steht für eine feste Zahl, die
ich nur noch nicht kenne. Ich darf nicht irgendeine Zahl dafür
einsetzen.
Kalkülaspekt Variable als Bestandteil einer Rechnung, Variable selbst interessiert nicht primär, sie dient z. B. nur dazu,
die Allgemeingültigkeit eines Rechengesetzes zu illustrieren.
Hauptgedanke: Die Variable symbolisiert Gilt für alle Zah”
len“. Es kommt nicht darauf an, eine spezielle Zahl einzusetzen
oder zu finden, sondern einfach darum, dass mit der Variablen
gerechnet werden kann.
Die drei Aspekte beim Lösen von Gleichungen Algorithmisches Lösen von Gleichungen → Kalkülaspekt, Lösen
durch Probieren → Einsetzungsapsekt, Rückwärtsrechnen →
Gegenstandsaspekt.
Zahlen und Variablen sind Terme, sowie alles, was daraus
durch Rechenoperationen und elementare Funktionsoperationen aufgebaut werden kann.
Terme dienen später zur Definition von Gleichungen und
Funktionen: Gleichung: Term 1 = Term 2, Funktion: f (x) =
Term.
10.2. Terme in den Lehrplänen
5. Klasse: einfache Terme, Tabellen, Einsetzungen
6. Klasse: einfache Terme mit Brüchen, Einsetzungen
7. Klasse: einfache Terme mit positiven und negativen Zahlen
8. Klasse: Termumformungen
9. Klasse: Terme mit Quadraten und Wurzeln
10. Klasse: Terme mit Potenzen, Vereinfachungen, Terme mit
trigonometrischen Funktionen
10.3. Bedeutung (Nutzen) von Termen
10.3.1. Strukturorientierung
9.2. Vorwissen aus der Grundschule zur
Variablenidee
In der Grundschule gibt es schon Vorformen zum Variablenbegriff:
Platzhalter werden dennoch meist unter dem Gegenstandsaspekt betrachtet.
Ein Term hilft mir, einen Zusammenhang darzustellen: z. B.
(px+G)·1.16 mit p Einzelpreis, G Grundpreis und 16% Mehrwertsteuer.
Die Bedeutung der Struktur von Termen kann auf verschiedene Weise visualisiert werden: Terme als Bauplan, Strukturierung als Klammergebirge.
10.3.2. Ergebnisorientierung
Symbole Säckchen mit Murmeln unbekannter Anzahl verbildlichen eine Aufgabe.
Wortvariablen Gesamter Fahrpreis ist der Preis der Karte zuzüglich eines Zuschlages. Buchstabenvariablen sind meist
nur konsequente Abkürzungen von Wortvariablen.
Term als Rechenschema. Dazu eignen sich der Bauplan, das
Klammergebirge, aber auch die Operatordarstellung ??.
10.4. Was kann man mit Termen machen?
10.4.1. Aufstellen von Termen
9.3. Einführung in der Sekundarstufe
Zahlenrätsel Denke dir eine Zahl, etc. Dabei wird das Bild
des Säckchens mit einer unbekannten Anzahl von Murmeln
gewählt. Im Anschluss kann der Sack durch x ersetzt werden
und man erhält die übliche algebraische Schreibweise.
Alternativ: Einführung Hand in Hand mit dem Termbegriff In Termen können Platzhalter stehen. Sie heißen Variablen und werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Für
die Variablen können Zahlen eingesetzt werden.
Beachte: In Termen können auch Maßeinheiten vorkommen,
dieser werden ebenfalls mit kleinen Buchstaben bezeichnet, es
handelt sich aber nicht um Variablen. Manchen Buchstaben
e, π stehen für konkrete Zahlen oder physikalische Konstanten
und sind damit auch keine Variablen.
14
Schüler sollen Aufstellen von Termen als sinnvolle und grundlegende Tätigkeit erkennen, die genauso sinnvoll und grundlegend ist wie Rechnen. Nur mit dieser Fähigkeit lassen sich
Textaufgaben lösen!
Beim Aufstellen von Termen ist oft nicht nur ein einziger Term
richtig.
Definition (Wertgleiche Terme). Terme sind wertgleich oder
äquivalent, wenn bei je gleichen Einsetzungen für die Variablen
je das gleiche resultiert. Man schreibt und sagt = (gleich, das
wert- wird weggelassen).
Unter Termumformungen versteht man das Ersetzen eines
Terms durch einen wertgleichen Term.
Allerdings bedeutet mathematische Äquivalenz nicht unbedingt kognitive Äquivalenz: Wertgleichen Termen können unterschiedliche Vorstellungen zu Grunde liegen (z. B. Paketvolumen bei Postpaketen)
Operantes Prinzip Mit Hilfe des operanten Prinzips kann
die Wertgleichheit zweier Terme geometrisch veranschaulicht
werden, z. B. geometrisch mit Strecken oder Flächen.
Quelle für Schülerfehler Es gibt drei unterschiedliche Bedeutungen des Minuszeichens: Rechenzeichen (etwas abziehen), Vorzeichen (Zuschreiben von negativ) und Invertierungszeichen (das Vorzeichen ändern).
Schülerfehler beim Aufstellen von Termen
fache von x: als x · x · x statt 3x.
Übergeneralisierung beim Bruchrechnen: Verwechslung von
Multiplikation mit Erweitern. Das Weggelassene Rechenzeichen ist mal · und mal +.
Das 3-
Eine Zahl 3 um x vermehren: als 3x statt 3 + x.
Schritt-für-Schritt Fehler: Ohne Setzung von Klammern bzw.
Beachtung von Punkt vor Strich!
Missbrauch des Gleichheitszeichens: beim Aufschreiben von
Zwischenergbenissen. Bloßes Weiterrechnen. Abhilfe: Waagemodell.
Übergeneralisierung beim Potenzrechnen: Verwechslung von
+ und · beim Rechnen mit den Exponenten.
Übergeneralisierung
von Wurzeltermen: Sehr
√beim Umformen
√
√
√
oft a + b = a + b, oder a2 + b2 = a + b.
10.4.4. Interpretieren von Termen
10.4.2. Einsetzen in Terme
Einsetzen von Zahlen in Variablen bereitet kaum Schwierigkeiten. Allerdings Fehler sind durch falsche Operationsreihenfolge möglich. Auch hier kann die Punkt vor Strich Regel missachtet werden. Abhilfe schaffen die Unterstützungen Rechenbaum, Tabelle und Operatorkette, bei denen die Frage stets
lautet Was muss ich zuerst tun?.
Definition (Interpretieren von Termen). Unter dem Interpretieren von Termen versteht man die Rückübersetzung eines
mathematischen Ausdrucks in Alltagssprache.
Übungsmöglichkeiten dazu sind die Fragestellung: Was bedeutet die Formel in Worten? und das Geschichtenerfinden zu
einem Term. Dabei sind selbst bei vorgegebenem Kontext viele
verschiedene Interpretationsmöglichkeiten vorhanden.
10.4.3. Umformen von Termen
10.5. Lernziele zu Termen und Formeln
Termumformungen geschehen in elementaren Schritten. Dabei
ist jeder Schritt mit eigenen Schülerfehlern behaftet.
Definition (Formel). Eine Formel ist eine spezielle Gleichung, die einen allgemeingültigen Zusammenhang für einen
konkreten Kontext beschreibt. Terme sind gelegentlich Formeln von etwas, Baupläne.
Ordnen Es ist üblich (didaktische Konvention), in einem
Term gleiche Summanden möglichst in alphabetischer Reihenfolge hintereinander zu schreiben. Angewandt wird dabei die
Kommutativität der Addition.
Bei Produkten werden die Zahlen üblicherweise nach vorne
gesetzt. Angewandt wird dabei die Kommutativität der Multiplikation. Die Malpunkte können weggelassen werden.
Bei Kombination beider Rechenarten werden erst die Produkte, dann die Summen geordnet. Angewandt wird dabei die
Kommutativität der Addition und Multiplikation.
Ein häufiger Schülerfehler ist die Missachtung von Punkt vor
Strich, wenn Malpunkte weggelassen werden!
Zusammenfassen Gleichartige Summanden können zusammengefasst werden. Angewandt wird hier das Distributivgesetz.
Produkte können mit der Potenzschreibweise zusammengefasst werden. Bei der Einführung der Potenzschreibweise muss
gezielt zwischen aaa = a3 und a + a + a = 3a kontrastiert werden!
Auflösen von Klammern In der Regel sind Fälle
ohne Minuszeichen problemlos. Eine Fehlerquelle ist
Übergeneralisierung, z. B. a(bc) = abc → 5(3 + x) = 15 + x!
Problematisch sind Klammern in Verbindung mit Minuszeichen: Dabei unterscheiden wir die Fälle Minus vor Klammer
und Minus in Klammer.
Ausführlich in Zahlbereiche, aber in aller Kürze: Das Produkt
zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen ist eine positive Zahl,
das Produkt zweier Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen
ist eine negative Zahl.
Ausmultiplizieren von Klammern aus Summen und Differenzen mit dem Distributivgesetz (Veranschaulichbar mit
Flächen, operantes Prinzip) und in Spezialfällen mit den binomischen Formlen.
Formeln unter dem Gesichtspunkt der Bildungsstandards Schlüsselkompetenzen:
- K1 Innermathematisches Modellieren: Mit Termen und
Formeln kann man innermathematische Prozesse und Gesetzmäßigkeiten allgemein beschreiben, z. B. Beschreibe
das Distributivgesetz mit Variablen.
- K2 Außermathematisches Modellieren: Mit Termen bzw.
Formeln kann man außermathematische Sachverhalte allgemein beschreiben, d. h. Modelle für außermathematische Situationen entwerfen z. B. Betrachtung und Herleitung einer Formel im Physikunterricht.
- K3 Situationen explorieren und Einsichten gewinnen:
Mit Termen bzw. Formeln kann man eine Situation explorieren und damit allgemeine Einsichten in eine besondere
Situation erhalten (Einsetzen spezieller, neuer bzw. extremer Werte bzw. Variation von Formeln), z. B. Wie ändert
sich das Volumen einer Kugel, wenn ich den Durchmesser verdopple.
- K4 Probleme allgemein lösen: Mit Termen bzw. Formeln
kann man abstrakte Problemlösungen planen und Probleme auf allgemeine Art lösen (d. h. eventuell eine ganze
Klasse von Problemen lösen), z. B. Problem mit dem Gesamtstrompreis ist durch eine Formel allgemein gelöst.
- K5 Allgemeingültig argumentieren: Mit Termen und Formeln kann man allgemeingültige Argumentationen (Begründungen, Beweise) führen, z. B. Beweise, dass die Differenz zweier aufeinander folgender Quadratzahlen eine
ungerade Zahl ist.
- K6 Auf abstrakter Ebene kommunizieren: Mit Termen und Formeln kann man WIssen (insbesonder Rechengänge und Beziehungen) übermitteln und dadurch
über Situationen auf einer abstrakten bzw. allgemeinen
Ebene kommunizieren. Terme sind in dieser Sicht also
Kommunikationshilfen.
Auch der umgekehrte Fall kann vorteilhaft sein, denn nur aus
Produkten kann gekürzt werden.
15
11. Der Gleichungsbegriff
- Sortieren (Klammern auflösen, umordnen),
- Addieren/Subtrahieren desselben Termes,
11.1. Was ist eine Gleichung?
Definition (Gleichung). Eine Gleichung ist eine Aussageform
der Art Term = Term“.
”
Die Lösung einer Gleichung besteht aus allen Zahlen bzw.
Zahlentupeln, deren Einsetzung zu einer wahren Aussage
führt. Das Lösen einer Gleichung ist somit gleichbedeutend
mit der Suche nach diesen Zahlen.
Unter dem Umformen einer Gleichung versteht man Operationen auf beiden Seiten, durch die eine möglichste äquivalente
Gleichung erzeugt wird.
- Multiplizieren/Dividieren mit derselben, von Null verschiedenen Zahl.
Neben den Äquivalenzumformungen gibt es noch Termumformungen (nur eine Seite der Gleichung wird durch einen Wertgleichen Term ersetzt), Gewinnumformungen (mehr Lösungen
als vorher, z. B. Quadrieren beider Seiten) und Verlustumformungen (weniger Lösungen als vorher, z. B. Wurzelziehen auf
beiden Seiten).
Während bei Termen das = bedeutet hat, dass wir einen vorhandenen Term durch Umformungen in einen wertgleichen
Term umgeformt haben, haben wir bei Gleichungen von vorneherein zwei Terme gegeben. Nur für bestimmte x haben beide
Seiten den gleichen Wert.
Prävention von Schülerfehlern: Für Äquivalenzumformungen
eignet sich das Waagemodell sehr gut. Im Sprachgebrauch ist
darauf zu achten, nicht vom auf die andere Seite bringen“ zu
”
sprechen, sondern wirklich vom auf beiden Seiten addieren“.
”
Probe: Die Probe dient üblicherweise zur Kontrolle der Richtigkeit der durchgeführten Umformungen, kann nun auch entschieden werden, ob es sich um eine äquivalente Umformung
gehandelt hat.
11.2. Geschichte der Gleichungen in der
Schule (fünf Neuerungen ab 1960);
Einstieg: Lineare Gleichungen
Begründung der Umformungsregeln z. B. durch das
Waagemodell, allerdings lassen sich damit Brüche nur schwer
darstellen, negative Werte gar nicht und es ist nur bei eindeutig lösbaren Gleichungen intuitiv möglich.
Einheitliche formale Terminologie Verzicht auf verwirrendes Begriffsgerüst für verschiedene Gleichungstypen, wie
z. B. Bestimmungsgleichung, Definitionsgleichung, Zahlengleichung, etc.
Neue Begriffe waren stattdessen vor allem Variable,
Äquivalenzumformung, Grundmenge, Lösungsmenge.
Gleichungen wurden in Anlehnung an die Aussagenlogik formal als Aussageformen bezeichnet; Gleichungen ohne Variablen waren dann Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein
konnten. Eine Aussageform wird durch Einsetzen von Werte
für die Variablen zu einer wahren oder falschen Aussage.
Gleichungslösungen mussten sehr formal in Mengenschreibweise geschrieben werden.
Einbeziehung von Sonderfällen Allgemeingültige Gleichungen oder Gleichungen ohne Lösungen wurden bis 1960 als
Sonderfälle vernachlässigt. Als Folge war den Schülern häufig
nicht klar, dass Gleichungen auch keine oder unendlich viele
Lösungen haben können. Durch den Begriff der Lösungsmenge
werden diese Sonderfälle verdeutlicht.
Deutlich wird dies z. B. durch die Art der Fragestellung. Statt
Bestimme x → Für welche x gilt oder Gibt es x, sodass gilt.
Heutiger Stand ca. ab 1970
- Stärkere Verknüpfung mit anderen zentralen Themen,
z. B. mit Zahlbereiche, Terme und Funktionen.
- Zurück zur natürlichen Sprache, Vermeidung logischer
Zeichen, z. B. keine Angabe von Lösungsmengen, sondern
Antwortsatz.
- Inhaltliche Argumentation bereits vor dem Unterricht,
z. B. die Darstellung von Gleichungen durch Waage ersetzt das vorherrschende Probieren.
- Gleichungsbegriff in Verbindung mit Thema entwickeln,
z. B. nicht mit strenger Systematik beginnen, sondern mit
konkreten Themenbereichen.
Lineare Gleichungen Der Unterricht beginnt in der Schule mit linearen Gleichungen. Es gibt verschiedene Alogorithmen zur Lösung von linearen Gleichungen, z. B. Probieren, Tabelle, Gegenaufgabe, Waagemodell, Äquivalenzumformungen
(Kalkülaspekt), Rückwärtsrechnen (Zahlenrätsel), Balken/Strichdiagramm, Bauplan/Rechenbaum, Operatorkette, Grafen (Funktionsgedanke).
Bruchgleichungen
Beachtung der Grundmenge Dass die Lösung einer Gleichung nicht nur von der Form der Gleichung, sondern auch
vom zugrunde liegenden Zahlbereich abhängt, war im Unterricht bis 1960 unklar. Die Betonung der Grundmenge war nun
auch geeignet, Schülern die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen einsichtig zu machen.
Vorgehen nach Schema:
1. Schließe die Zahlen aus, für die beim Einsetzen der Nenner Null wird.
2. Bestimme den Hauptnenner und multipliziere beide Seiten der Bruchgleichung mit dem Hauptnenner.
3. Kürze.
4. Löse nach x auf.
Deutung von Umformungen Unter dem Umformen einer
Gleichung versteht man Operationen auf beiden Seiten, durch
die eine möglichst äquivalente Gleichung erzeugt wird.
Im Vergleich zu Termen ist nun vor allem neu, dass auf beiden
Seiten gleichzeitig umgeformt wird.
5. Führe die Probe durch und gib die Lösungsmenge an.
11.3. Ungleichungen
Bislang standen dabei vor allem Umformungstechniken im
Vordergrund, seit 1960 wird auch die Bedeutung einer Umformung beachtet (semantischer Aspekt: Warum geht das so?).
Vorteile Vorteile der Einführung von Ungleichungen sind
die Möglichkeit, mehrelementige Lösungsmengen zu erhalten,
ein tieferes Zahlverständnis zu erzeugen und die Grundsteine
für Beweisaufgaben in der Analysis zu legen.
→ Begriff der Äquivalenzumformung: Bei äquivalenten Gleichungen führen Einsetzungen stets zum selben Wahrheitswert,
insbesondere sind ihre Lösungsmengen gleich. Diese Umformungen sind:
Einstieg Ein möglicher Einstieg ist eine Aufgabe, bei der
man sich nur dafür interessiert, ob ein bestimmter Wert größer
oder kleiner einer gewissen Schranke ist. Zu empfehlen ist auch
16
eine direkte Gegenüberstellung von Gleichungen und Ungleichungen (Kontrastierung), z. B. zwei bis auf das Zeichen =
gleiche Aufgaben.
Die beiden Terme einer Gleichung können als Funktionsterme interpretiert werden. Die beiden Funktionen können dann
grafisch visualisiert werden und der x-Wert des Schnittpunktes der beiden Grafen entspricht der Lösung der Gleichung.
Intervallschreibweise für die Lösungsmenge
gibt es! Toll, oder!
Ja, das
Die beiden Gleichungen eines linearen Gleichungssystems
können immer auf die Form y = . . . gebracht werden und
dann als zwei Gerade interpretiert werden, die dann als lineare Funktionsgrafen visualisiert werden können.
Äquivalenzumformungen von Ungleichungen Eine
Multiplikation beider Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl ist keine Äquivalenzumformung mehr. Das Zeichen
< bzw.> wird bei beidseitiger Multiplikation und Division mit
einer negativen Zahl herumgedreht, da eine Multiplikation mit
−1 eine Punktespiegelung an 0 auf dem Zahlenstrahl bedeutet.
Eine quadratische Gleichung kann immer auf die Form ax2 +
bx + c = 0 gebracht werden und die Lösungen können dann als
Nullstellen der Funktion y = ax2 +bx+c interpretiert werden.
Die Funktion und deren Nullstellen wiederum können grafisch
anhand einer Parabel visualisiert werden.
Manche Funktionen lassen sich grafisch viel einfacher lösen,
als exakt:
11.4. Lineare Gleichungssysteme
Einführung von Linearen Gleichungssystemen Zum
Zeitpunkt der Einführung linearer Gleichungssysteme in Klasse 8/9 sind den Schülern Funktionen bereits bekannt. Dies legt
einen funktionalen Zugang (Visualisierung über Geraden, bzw.
Geradengleichungen) nahe, um zuerst einmal zu überlegen,
wie viele Lösungen ein lineares Gleichungssystem haben kann
und wie diese Lösungen aussehen können.
(a) 2x = x + 2
(b) 1/x = sin x
Voraussetzungen: Die Gerade muss als lineare Funktion y =
ax + b und als Graf bekannt sein.
Form der Lösung: Für zwei Geraden können folgende Fälle
eintreten:
- Die Geraden schneiden sich in einem Punkt: Die
Lösungsmenge ist genau ein Punkt L = {(x, y)}.
- Die Geraden sind parallel: Die Lösungsmenge ist leer L =
{}.
(c)
√
x = sin x
(d) exp(x) = 1/x
Abbildung 6: Beispiele für Gleichungen, die sich grafisch deutlich einfacher lösen lassen, als exakt
- Die Geraden sind identisch: Lösungsmenge ist die Gerade
selbst.
Lösungsverfahren
linearer
Gleichungssysteme
Gleichsetzungsverfahren:
Beim
Gleichsetzungsverfahren
werden beide Gleichungen nach der gleichen Unbekannten
aufgelöst und die entstehenden Terme gleichgesetzt.
Einsetzungsverfahren: Beim Einsetzungsverfahren wird eine
der Gleichungen nach einer Unbekannten aufgelöst. Der entstehende Term wird benutzt, um diese Unbekannte in der anderen Gleichung zu ersetzen.
Additionsverfahren: Beim Additionsverfahren werden die linken und die rechten Seiten der beiden Gleichungen (ggf. nach
vorherigen Äquivalenzumformungen) so addiert, oder subtrahiert, dass die zweite Umbekannte dabei verschwindet.
11.5. Quadratische Gleichungen
Einführung von quadratischen Gleichungen Quadratische Gleichungen sind Pflichtstoff für den mittleren Bildungsabschluss und bereiten den Schülern häufig Probleme.
Eine Gleichung kann nun zwei, eine oder keine Lösung haben.
Die Schwierigkeiten sind geringer, wenn bereits vorher mit leeren und mehrelementigen Lösungsmengen gearbeitet wurde.
Allerdings ist die Uneindeutigkeit einer Lösung hier neu!
Funktionaler Zugang: Auch hier liefert die Visualisierung
(hier als Parabel) wieder den Grund für die Verschiedenen
Möglichkeiten der Zahl der Lösungen von x2 + px + q = 0.
Grafische Lösung von Gleichungen: Eine Gleichung hat
grundsätzlich keinen Grafen. Nur Funktionen können Grafen
haben! Da sich Terme aber oft als Funktionsterme interpretieren lassen, sind oft grafische Lösungen möglich:
Lösung durch Quadratische Ergänzung und Scheitelpunktform Die Scheitpunktform einer Parabel lautet
a(x + d)2 + e = 0
(24)
mit d der Verschiebung in negative x-Richtung, e der Verschiebung in y-Richtung und a der Weiter der Parabelöffnung. d
und e erhält man durch quadratische Ergänzung aus der allgemeinen Parabelgleichung ax2 + bx + c = 0 wie folgt:
b
a x2 + x + c = 0
(25)
a
b
a x2 + x = −c
(26)
a
"
#
2
b
b2
a
x+
− 2 = −c
(27)
2a
4a
b 2
b2
a x+
+ c−
= 0.
(28)
2a
4a
Lösung durch die Quadratische Lösungsformel, Satz
von Vieta Die Lösungen einer quadratischen Gleichung
ax2 + bx + c = 0 erhält man durch
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
.
(29)
2a
Eine weitere Darstellungsform quadratischer Funktionen ist,
für den Fall von 2 Lösungen x1 , x2 der Satz von Vieta
(x − x1 )(x − x2 ) = 0.
(30)
Diese ist nur bei Existenz der beiden Lösungen möglich.
17
12. Der Funktionsbegriff
12.1. Die komplexe Welt des
Funktionsbegriffs
12.1.1. Arten (Typen) von Funktionen
Lineare, Quadratische, Potenz-, Exponential- und trigonometrische Funktionen, sowie gebrochen rationale Funktionen.
12.1.2. (Grund-)Vorstellungen von Funktionen
Die drei Grundvorstellungen entsprechen jeweils einem gedanklichen Umgang mit Funktionen.
Zuordnungsvorschrift (Maschine) Bereits früh ist die
Zuordnungsvorschrift angelegt (zu jedem x gehört ein y). Unterstützt wird sie vor allem auch durch die Mengenschreibweise. Schwierigkeiten kann die gedankliche Erweiterung auf
kontinuierliche Größen bereiten.
Kovariationsvorstellung (Gleichung) Zu Beginn der geschichtlichen Entwicklung des Funktionsbegriffs stand die
Beobachtung eines Zusammenhangs zwischen zwei Größen
im Vordergrund → Änderungsverhalten, Wie hängen zwei
Größen voneinander ab?.
Diese Vorstellung ist für das spätere Leben von großer Bedeutung, da die meisten politischen, ökonomischen und sozialen
Fragestellungen kovarianter Natur sind → kompetenter Umgang mit Medien.
In der Schule charakterisiert durch das Thema Proportionalität.
Objektvorstellung (Graf ) Die Objektvorstellung ist eng
mit der Darstellungsform als Graf verknüpft (geeignete mentale Repräsentation).
Erst in dieser Sichtweise können sich manche Eigenschaften
einer Funktion vollständig erschließen (Achsensymmetrie, Periodizität).
Graf Optimale Visualisierung für Eigenschaften der Funktion. Man zeichnet meist nur den interessanten Bereich, in
dem Nullstellen und Extrema liegen. Darstellung als Graf unterstützt die Objektvorstellung.
Pfeildiagramm Oft bei Abbildungen zwischen endlichen
Mengen. Aufgrund der Pfeile ist dies auch eine Zuordnungsvorschrift.
Maschine Eine Funktion ist das, was der Taschenrechner
mit meiner Eingabe macht. Es wird nicht direkt zugeordnet,
sondern eine Funktion erfordert eine Handlung.
12.2. Definition des Funktionsbegriffs
Definition (Funktion (Fachmathematisch)). Seien A, B
Mengen. Eine Funktion f von A nach B ist ein Tripel (a, b, g)
mit a ∈ A, b ∈ B, g ∈ G mit den Eigenschaften G ⊆ A × B
und für alle a ∈ A existiert genau ein b ∈ B mit (a, b) ∈ G.
Definition (Funktion (Schulbuch)). Gegeben sind zwei nichtleere Mengen A, B. Eine Funktion ist eine Zuordnung, die
jedem x ∈ A genau ein y ∈ B zuordnet. Eindeutig bedeutet, dass von jedem x nur ein Pfeil losgeht.f : A → B,
x ∈ A 7→ y = f (x) ∈ B, f : x 7→ f (x) = y.
Definition (Injektivität). Zuordnung in beide Richtungen
eindeutig: Für alle x1 6= x2 gilt f (x1 ) 6= f (x2 ).
Definition (Surjektivität). Alle Elemente der Bildmenge
werden erreicht: Für alle y ∈ W gibt es ein x ∈ D mit
f (x) = y.
Definition (Bijektivität). Eine Funktion heißt bijektiv, wenn
sie surjektiv und injektiv ist.
Definition (Definitionsmenge). Die Menge aller Zahlen, deren Einsetzung sinnvoll ist, heißt Definitionsmenge der Funktion.
Definition (Wertemenge). Üblicherweise bezeichnet man die
Menge aller Zahlen, die sich als Funktionswerte einer Funktion
f ergeben, als Wertemenge der Funktion.
12.3. Funktionen in der Schule
12.1.3. Darstellungsarten von Funktionen
12.3.1. Das Stufenlernmodell für Funktionen
Term Termdarstellung verwendet keine Gleichung. Aus der
Struktur des Terms wird die Art der Funktion deutlich: x →
ax + b ist eine lineare Funktion.
Eine langfristige Planung des Lernens ist notwendig.
Die Termdarstellung ist der f (x)-Darstellung sehr ähnlich,
aber x → ist für Schüler geläufiger, als f (x).
Gleichung Funktionsgleichung ist die gängigste Methode in
der Schule. Nur in der Form y = f (x) können Funktionen als
Spezialfall von Gleichungen gesehen werden. Eine Funktionsgleichung ist eine Gleichung ohne Arbeitsauftrag.
Die Funktionsgleichung f (x) ermöglicht außerdem die Beschreibung von Eigenschaften der Funktion (f (x) = f (−x) →
Achsensymmetrie, f 0 (x) = 0 als notwendige Bedingung für
Extremwerte).
Zuordnungsvorschrift Eine Zuordnungsvorschrift ist die
Explikation der Zuordnungsvorstellung. Sie kann in Prosa oder
in Termdarstellung geschehen.
Tabelle Funktionswerte können auch als Tabelle angegeben
werden. Oft wird dies bei Wertetabellen verwirklicht, um einen
Grafen zu zeichnen.
18
1. Vermittlung von Grunderfahrungen: Funktion als
Phänomen, Beobachtung vor allem auch an verschiedenen Darstellungen → intuitives Verständnis
2. Entdeckung von Funktionseigenschaften: Funktion als
Träger von Eigenschaften, auch in Bezug auf verschiedene
Darstellungen → inhaltliches Verständnis
3. Aufdecken von Zusammenhängen: Funktion als Teil eines
Begriffsnetzes, Zusammenhänge zwischen Eigenschaften
werden erkannt, Eigenschaften werden formalisiert und
Funktion wird definiert → integriertes Verständnis
4. Entdeckung neuer Funktionstypen: Betrachtung eng verwandter Funktionstypen, dann mit neuem Funktionstyp
wieder bei 1. weiter.
12.3.2. Von der proportionalen Zuordnung als
Einstieg bis zur linearen Funktion
Das Stufenlernmodell für Funktionen am Beispiel der proportionalen Zuordnung:
1. Vermittlung von Grunderfahrungen: Bereits in der
Grundschule gibt es Aufgabenstellungen, bei denen Proportionalität stillschweigend vorausgesetzt wird (z. B.
Warenmenge und Preis), weil Schüler bereits proportionale Zusammenhänge in der Einkaufswelt erfassen und mit
ihnen arbeiten. Die Bedeutung des Geldes ist für unser
Leben entscheidend. Es ist Usus, Themen immer wieder
aufzugreifen und dann sukzessive zu Formalisieren.
In der 5. Klasse spielen einfache Aufgaben von einer Einheit zur Vielheit bei der Anwendung des Rechnens mit
Größen bei Multiplikation und Division eine Rolle (z. B.
Ein Nagel wiegt 4g. Wie viel wiegen 600 Nägel dieser Sorte?). Auch hier ist die Proportionalität implizite Grundannahme, kann als (noch ohne Formalismus) beobachtet
werden. Aber: Noch kein Dreisatz!
In der 7. Klasse werde Zusammenhänge zwischen Größen
explizit thematisiert. Kovariations- und Zuordnungsvorstellung werden aktiviert. Regelhaftigkeit wird herausgestellt, etwa durch Tabelle. Damit der proportionale Zusammenhang nur als einer von vielen möglichen Zusammenhängen gesehen wird, ist es notwendig, bereits hier
andere alltagsnahe Beispiele einzuführen (z. B. Wetter als
Tabelle und Graf).
Man hat nun mit selbstverständlichen und bereits bekannten Darstellungsformen (Graf, Tabelle, etc.), die im
Laufe des Lernprozesses von Funktionen immer wieder
von Bedeutung sind, ein intuitive Verständnis einer proportionalen Zuordnung geschaffen.
2. Entdeckung von Funktionseigenschaften: Die Eigenschaften proportionaler Zuordnungen lassen sich am besten anhand der verschiedenen Lösungswege zu einer Beispielaufgabe (Dreisatzaufgabe) entdecken.
Masse mit einem festen Faktor multipliziert:
∃m ∈ G \ M ∀x ∈ M : f (x) = mx.
(36)
Lösungsweg: Zuerst Kilopreis ausrechnen, dann Gesamtpreis.
g) Zu festen additiven Zuwächsen bei den Massen
gehören je feste additive Zuwächse bei den Preisen:
∀s ∈ M ∃t ∈ G ∀x ∈ M : f (x + s) = f (x) + t. (37)
Lösungsweg: Sehr seltsames und absurdes Pfeildiagramm.
Zur Proportionalität bietet es sich an, die indirekte Proportionalität ebenfalls als Kontrastierung mit zu behandeln.
Weiterhin ist das Dreisatzschema für die Proportionalität
von entscheidender Bedeutung
a) Was wissen wir?
b) Schluss auf die Einheit.
c) Schluss auf das Vielfache.
Es ist bei jeder Aufgabe einzeln zu Prüfen, ob der Dreisatz der gegebenen Situation tatsächlich angemessen ist.
Dabei sollten zur Kontrastierung auch Textaufgaben zum
Einsatz kommen, denen nur scheinbar proportionale Zuordnungen zugrunde liegen. Dies ist wichtig, da letztlich
auch Modellieren gelernt werden soll.
Es gibt im wesentlichen sieben verschiedenen
Lösungswege, denen sieben Eigenschaften einer proportionalen Zuordnung entsprechen.
3. Aufdecken von Zusammenhängen: Viele Zusammenhänge
zwischen den Eigenschaften werden in der Unterrichtspraxis bereits bei der sukzessiven Einführung der Eigenschaften sichtbar, z. B. der konstante Quotient bei der Quotientengleichheit ist genau der Proportionalitätsfaktor. Die
Vervielfachungseigenschaft führt ebenfalls zum Proportionalitätsfaktor.
a) Proportionalität: Homogenität: Zur r-fachen Masse
gehört der r-fache Preis:
Auf dieser Stufe wird die proportionale Funktion außerdem formal definiert x → ax mit Proportionalitätsfaktor
a.
4kg Äpfel kosten 7,60 Euro. Wie viel kosten 6kg Äpfel?
∀x ∈ M ∀r ∈ R+ : f (rx) = rf (x).
(31)
Lösungsweg: 4 ·
= 6, also ist der gesuchte Preis
7, 60 · 2/3 = 11, 40.
2/3
b) Additivität: Zur Summe der Masse gehört die Summe der Preise:
∀x1 , x2 ∈ M : f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ).
(32)
Lösungsweg: 4 + 2 = 6, also ist der gesuchte Preis
7, 60 + 3, 80 = 11, 40.
c) Verhältnisgleichheit: Das Verhältnis der Massen ist
gleich dem Verhältnis der zugehörigen Preise:
∀x1 , x2 ∈ M :
Lösungsweg:
6kg
4kg
=
f (x2 )
x2
=
.
x1
f (x1 )
Lösungsweg:
7,60
4kg
=
(34)
?
.
6kg
e) Der Graf ist eine Urpsrungshalbgerade: Lösung ist
Element der linear angeordneten Punktmenge:
(x, f (x)), x > 0, y > 0.
Die Steigung (= Proportionalitätsfaktor) wird dabei
ausführlich thematisiert.
Betrags- und Treppenfunktionen als abschnittsweise lineare Funktionen.
Gebrochenrationale Funktionen, bei denen im Zähler und
im Nenner eine lineare Funktion steht.
12.3.3. Quadratische Funktionen
d) Quotientengleichheit: Der Quotient aus Preis und
Masse ist immer gleich:
f (x2 )
f (x1 )
=
.
x1
x2
Der Zusammenhang zwischen proportionaler, konstanter
und linearer Funktion wird herausgearbeitet. x → ax + b
lineare Funktion, a = 0 konstante Funktion, b = 0 proportionale Funktion.
(33)
?
.
7,60
∀x1 , x2 ∈ M :
4. Entdeckung neuer Funktionstypen: Lineare Funktionen
werden als Oberklasse eingeführt.
(35)
Lösungsweg: Grafisch.
f) Man erhält den zugehörigen Preis, indem man die
Normalparabel zur Einführung Mit dem Quadrieren,
dem Wurzelziehen und dem Einführen der reellen Zahlen ist
der Weg für die Einführung von quadratischen Funktionen geebnet. Man geht üblicherweise den Weg von der Normalparabel x → x2 zur allgemeinen Form der Parabel x → ax2 +bx+c.
Eigenschaften Die Eigenschaften linearer Funktionen gelten für die Normalparabel nicht mehr. Dafür gelten neue Eigenschaften:
1. Krümmung: f 0 (x) ist nicht konstant.
2. Symmetrie zur y-Achse: f (−x) = f (x).
3. Scheitelpunkt im Ursprung: f 0 (0) = 0, f 00 (0) 6= 0.
4. Wird sehr schnell groß.
19
Exponentialfunktionen Motivation meist über Wachstumsprozesse, z.Ḃ. Bakterienvermehrung, Zinsrechnung.
5. Wird nie negativ.
Verschiebung
der
Normalparabel
nach
oben
Einführung des konstanten Faktors c und Beobachtung
seiner Auswirkungen. c > 0 Parabel wird nach oben verschoben, c < 0, Parabel wird nach unten verschoben. Diese
Verschiebung ist den Schülern von linearen Funktionen
bekannt.
Die herausragende Eigenschaft der Exponentialfunktion ist ihr
starker Anstieg: Die Exponentialfunktion wächst schneller als
jede Potenzfunktion.
Eigenschaften der Exponentialfunktion
aller Exponentialfunktionen z = ax sind
Eigenschaften
1. Streng monoton steigend für a > 0.
Verschiebung der Normalparabel nach links Die Verschiebung entlang der y-Achse ist etwas komplizierter und
führt zur Scheitelpunktform.
2. Der Punkt (0, 1) wird immer angenommen.
3. Alle Funktionswerte sind positiv für a > 0.
4. Es gibt keine Nullstellen.
Scheitelpunktform Eine Parabel mit der Gleichung y =
(x − d)2 + e hat ihren Scheitelpunkt bei S = (d, e).
Stauchung einer Parabel Die Stauchung oder Streckung
einer Parabel wird durch den Parameter a festgelegt. Das Vorzeichen von a gibt die Öffnungsrichtung an, der Betrag von a
die Weite.
Umkehrfunktion Die Umkehrfunktion zur quadratischen
Funktion ist die Wurzelfunktion. Man erhält sie durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden.
Logarithmusfunktion De Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion. Der Graf ergibt sich
wieder durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden.
Sie ist nur für positive reelle Zahlen definiert. Es gilt
aloga x = x.
Trigonometrische Funktionen
die Sinusfunktion
(39)
Die Parameter haben auf
f (x) = a sin(bx + c) + d
(40)
folgenden Einfluss
Operieren mit quadratischen Funktionen Fasse f (x) =
x2 + bx + c als Summe von zwei Funktionen f1 (x) = x2 und
f2 (x) = bx + c auf. Die Schnittpunkte der beiden Funkionen
sind dann die Nullstellen der eigentlichen quadratischen Funktion.
Verkettung von Funktionen, insbesondere der Zusammenhang
f ◦ f −1 = id.
12.3.4. Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen
und Trigonometrische Funktionen
Potenzrechenregeln
Permanenzprinzip Die Potenzen mit negativen oder rationalen Exponenten werden so festgelegt, dass sie sich in Einklang mit der Multiplikations- bzw. Divisionsregel befinden:
⇒
1/2
a
=
√
a
(38)
Variation des Parameters der Potenzfunktion
Charakterisierung ist in Abbildung 7 dargestellt.
(a) n positiv und gerade
(b) n positiv und ungerade
(c) n negativ und gerade
(d) n negativ und ungerade
Die
Abbildung 7: Variation des Parameters der Potenzfunktion
20
- b heißt Frequenz oder Periode. Wenn b verdoppelt wird,
kommen auf ein Intervall doppelt so viele Ausschläge, die
Wellenlinie hat mehr Ausschläge.
- c heißt Phasenverschiebung. Wenn c verdoppelt wird,
dann läuft die Kurve später durch die y-Achse. Die Kurve
wird längs der x-Achse verschoben.
- d heißt Sockel. Wenn d verdoppelt wird, liegt die Kurve
höher. Sie wird längs der y-Achse verschoben.
Siehe ??
2
1
1
a /2
= a /2·2 = a1 = a
- a heißt Amplitude. Wenn a verdoppelt wird, schlägt die
Wellenlinie stärker aus. Die Maxima mit vergrößertem a
liegen höher, nämlich bei d + 2a.