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EL-9900G Grafikrechner STOCHASTIK, SEK II lehrerhandreichung Für den effizienten Einsatz im Unterricht Stochastik, SEK II mit EL-9900G Einführung Die Lehrerhandreichung Stochastik ist modular aufgebaut. Für die gymnasiale Oberstufe (Sek II) sind Problemstellungen aus 18 Teilbereichen formuliert worden. Der historischen Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung folgend, beginnt der Kanon bei den Zählprinzipien; er endet bei ÜbergangsMatrizen, die als homogene Markov-Ketten modelliert sind. Die Zählprinzipien sind die Einstiegsaufgabe. Das Laplace’sche Wahrscheinlichkeitskalkül führt zu Aufgaben, deren Behandlung im Abitur durch inhaltliche Vorgaben voraus gesetzt wird. Die Lehrerhandreichung trägt somit einer „klassischen“ Kursvariante genauso Rechnung wie dem Erwerb von Orientierungswissen in Stochastik und der Anbindung von Stochastik an die Gebiete Analysis und Lineare Algebra. So weit wie nötig, sind die zur Lösung der Aufgaben erforderlichen stochastischen Ansätze knapp definiert. Dabei wird in 42 Beispielen gezeigt, wie der SHARP GTR EL-9900GG zur Lösung stochastischer Probleme effizient eingesetzt werden kann. Aus Platzgründen kann nicht auf alle Möglichkeiten eingegangen werden, die sich durch die Nutzung des SHARP GTR EL-9900G ergeben könnten. Zu nennen sind hier Anwendungen im Bereich der beschreibenden Statistik. Zu nennen ist auch, dass in manchen GK/LK-Lehrbüchern zur Stochastik mit Hilfe des GTR verschiedene Regressionsfunktionen zu gegebenen Messdaten bestimmt werden bzw. mit dem GTR Zufallsversuche simuliert werden können. Dass diese Themenbereiche eher der Gegenstand von Schülerreferaten, Facharbeiten und Projekten sind, bei denen reale Daten gesammelt, ausgewertet und dadurch viele interessante Erkenntnisse gewonnen werden können, rechtfertig die in der Lehrerhandreichung Stochastik getroffene Auswahl. GK/LK-Lehrbücher und Abituraufgaben liefern die Beispiele. Die Auswahl deckt die geforderten theoretischen Grundlagen ab. Den verschiedenen Anforderungen und Möglichkeiten der Richtlinien der Bundesländer wird also Rechnung getragen. Auf eine Trennung in GK/LK wurde verzichtet, da die Theorie für beide Kursarten als weitestgehend identisch anzusehen ist. Die Behandlung der Themen bietet viele Möglichkeiten unter den Aspekten Modellbildung und Anwendungsorientierung. Die Lehrerhandreichung Stochastik ist nicht auf den Lehrplan eines Bundeslandes beschränkt. Das bei den Lösungen Alternativen aufgezeigt werden, bietet auch die Gelegenheit, aus der beim SHARP GTR EL9900G breiten Palette implementierter Verfahren sehr gezielt auszuwählen. Dies fördert die Entwicklung von Kompetenzen aus den Bereichen Lernen, Begründen, Problemlösen und Kommunizieren. In besonderer Weise zum Beispiel dadurch, dass Lösungen durch im Schwierigkeitsgrad variierende darstellende und interpretative Aktivitäten unterschiedlichste formal-operative Aktivitäten erfordern. Produkt-Informationen zum GTR EL-9900G finden sich auf der Sharp Website www.sharp.de/schulrechner sowie weitere unterrichtsrelevante Materialien unter www.sharp-in-der-schule.de. Anfragen und Verbesserungsvorschläge bitte an [email protected]. Sharp Schul-Team Handreichung erstellt von Dr. Maria Paprotzki www.mathe-spezialist.de Seite 1 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Inhaltsverzeichnis Einführung............................................................................................................................1 Inhaltsverzeichnis ..................................................................................................................2 I Produktregel der Kombinatorik............................................................................................3 II Permutation ohne Wiederholung ........................................................................................4 III Permutation mit Wiederholung ..........................................................................................5 IV Kombinationen ohne Wiederholung ..................................................................................7 V Kombinationen mit Wiederholung .....................................................................................9 VI Variation ohne Wiederholung..........................................................................................11 VII Variation mit Wiederholung............................................................................................12 VIII Klassische Wahrscheinlichkeit ........................................................................................14 IX Geometrische Wahrscheinlichkeiten ................................................................................18 X Zufallsgrößen...................................................................................................................23 XI Erwartungswert, Varianz (diskrete Zufallsvariable) ............................................................28 XII Theorie und Praxis ..........................................................................................................35 XIII Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret) .......................................................................38 XIV Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) ........................................................................52 XV Näherungsformel von De Moivre-Laplace .......................................................................63 XVI Tests .............................................................................................................................64 XVII Übergangs-Matrizen (Markov Ketten) ...........................................................................71 Notizen ...............................................................................................................................87 Seite 2 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G I Produktregel der Kombinatorik Gibt es bei einem n-Tupel für die Besetzung der Stelle i ( i ∈ { 1,2,....,n }) die Möglichkeiten ki , dann gibt es insgesamt k1 ⋅ k2 ⋅ ....⋅ kn verschiedene n-Tupel Beispiel 1 Bei der Ergebniswette Toto wird der Spielausgang von 13 Fußballspielen vorhergesagt. Dies gemäß der Ziffernfolge: 1 = Heimsieg, 0 = unentschieden, 2 = Sieg der Gastmannschaft. Ist Ω die Menge aller Tippmöglichkeiten, gilt: Ω = k1 ⋅ .... ⋅ k13 = 3 ⋅ .... ⋅ 3 = 313 = 1594323 mit: n = 13 und k1 = .... = k13 = 3 . Beispiel 2 Die Dreierwette gewinnt, wer den Sieger, das zweit- und das drittplazierte Pferd in der richtigen Reihenfolge gewettet hat. Ist Ω die Menge aller Tippmöglichkeiten, gilt: Ω = k1 ⋅ k 2 ⋅ k 3 = 20 ⋅19 ⋅18 = 6840 bei einem Starterfeld von n = 20 Pferden und k1 = 20, k 2 = 19, k 3 = 18 . Seite 3 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G II Permutation ohne Wiederholung Ein n-Tupel kann in PoW ( n ) = 1 ⋅ ....⋅ n = n! verschiedenen Reihenfolgen angeordnet werden Beispiel 3 Es gibt PoW (3) = 6 Möglichkeiten, die Zahlen (123) anzuordnen. Mit n =3 folgt: 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 = 3! . Die Möglichkeiten sind: (123); (132); (213); (231); (312); (321). A CALC C PROB 5! Beispiel 4 8 Spieler sind auf 4 Tennisplätze zu verteilen. Jeweils 2 Spieler haben einen Platz. Was ist die Anzahl der unterschiedlichen Platz-Spieler-Verteilungen? Mit n = 8 folgt: PoW (8) = 8! = 1 ⋅ .... ⋅ 8 = 40320 ist die Anzahl der geordneten Acht-Spieler-Tupel. Die Anordnungen, bei denen Spieler, die einem Platz zugeordnet sind, vertauscht werden, sind nicht unterscheidbar. VoW (8) = 8! ist durch 2 zu dividieren. Damit ist die Anzahl unterschiedlicher Verteilungen: 8! 40320 = = 20160 . 2 2 A CALC C PROB 5! Seite 4 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G III Permutation mit Wiederholung Die Zahl der Permutationen von n Elementen von denen n1 ,n2 ,....,nk mit n1 + n2 + .... + nk = n unterscheidbar sind, ist: PmW ( n ) = n! n1 !⋅ n2 !⋅ ....,nk ! Beispiel 5 Eine Kette hat 12 Perlen (6 blaue, 4 schwarze, 2 weiße). Die Kette wird zerrissen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 12 Perlen (a) auf 12 Plätze nebeneinander zu verteilen bzw. (b) wieder zu einer geschlossenen Kette zusammen zu setzen? Mit n = 12; k = 3; n1 = 6, n 2 = 4; n 3 = 2; n1 + n 2 + n 3 = n folgt: (a) PmW (12) = 12! = 13860 6!⋅ 4!⋅ 2! (b) da sich n verschiedene Elemente auf n! Arten in einer Reihe und auf (n-1)! Arten in einer geschlossenen Form anordnen lassen, folgt: 11! = 1155 . 6!⋅ 4!⋅ 2! (a) A CALC A CALC A CALC A CALC C PROB 5! C PROB 5! C PROB C PROB 5! 5! Seite 5 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G (b) Beispiel 6 Die Anzahl der Möglichkeiten in einer Lichterkette 5 blaue, 3 gelbe und 4 rote Birnen anzuordnen ist 27720. Mit n = 12; k = 3; n1 = 5, n 2 = 3; n 3 = 4; n1 + n 2 + n 3 = n ist: PmW (12) = C PROB C PROB 12! = 27720 5!⋅ 3!⋅ 4! 5! 5! C PROB C PROB 5! Seite 6 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 5! Stochastik, SEK II mit EL-9900G IV Kombinationen ohne Wiederholung Die Anzahl der Kombinationen zu je k Elementen aus n verschiedenen Elementen ohne Wiederholung der Elemente (Anzahl der k-Teilmengen) ist: ⎛n⎞ n! K oW ( n , k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ = ; k ≤ n; n , k ∈ ℕ ⎝ k ⎠ ( n − k )!⋅k ! Beispiel 7 Beim Spiel 6 aus 49 sind 6 Zahlen von 49 durch Ankreuzen auszuwählen. Was ist die Anzahl der verschiedenen Lottotipps? ⎛ 49 ⎞ 49! = 13983816 Mit n = 49 und k = 6 folgt: K oW (49, 6) = ⎜ ⎟ = ⎝ 6 ⎠ (49 − 6)!⋅ 6! C PROB 4 nCr Beispiel 8 Was ist die Anzahl der Möglichkeiten, um 12 Gegenstände unter 3 Personen so aufzuteilen, dass jede Person 4 Gegenstände erhält? ⎛12 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 4 ⎞ 12!⋅ 8!⋅ 4! n = n1 ⋅ n 2 ⋅ n 3 = K oW (12, 4) ⋅ K oW (8, 4) ⋅ K oW (4, 4) = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = = 34650 . ⎝ 8 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 8!⋅ 4!⋅ 4!⋅ 4!⋅ 0!⋅ 4! 5! 5! 5! 5! 5! 5! 5! 5! Seite 7 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G 5! ODER C PROB C PROB PROB 4 nCr 4 nCr C 4 nCr Beispiel 9 Ein Schachturnier dauert insgesamt 24 Tage. An jedem Tag werden 3 Partien gespielt. Es gibt Hin- und Rückspiele. Was ist die Anzahl der Teilnehmer? ⎛x⎞ x! x ⋅ (x − 1) = . Es gibt Aus x ∈ ℕ sind 2 Spieler zu wählen. Also: K oW (x, 2) = ⎜ ⎟ = 2 ⎝ 2 ⎠ (x − 2)!⋅ 2! Hin- und Rückspiele. Also: 2 ⋅ K oW (x, 2) = x ⋅ (x − 1) . Es werden 72 Partien gespielt. Also: x ⋅ (x − 1) = 72 . Nur die Lösung x1 = 9 ist sinnvoll. A NBASE C POLY 2 Seite 8 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G V Kombinationen mit Wiederholung Die Anzahl der k-Kombinationen zu je k Elementen aus n verschiedenen Elementen mit Wiederholung der Elemente (Anzahl der k-Teilmengen) ist: ⎛ n + k − 1⎞ ( n + k − 1 )! ⎟⎟ = K mW ( n , k ) = ⎜⎜ ; k ,n ∈ ℕ k ⎝ ⎠ ( n − 1 )!⋅k ! Beispiel 10 In einem Behälter befinden sich viele Kugeln in den Farben blau, gelb, rot und weiß. Fünf Kugeln werden gleichzeitig gezogen. Was ist die Anzahl der möglichen Farbkombinationen? ⎛ 4 + 5 − 1⎞ ⎛ 8 ⎞ Mit n = 4, k = 5 folgt: K mW (4,5) = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 56 ⎝ 5 ⎠ ⎝5⎠ C PROB 4 nCr Beispiel 11 Drei elektrische Widerstände (50Ω, 100Ω, 200Ω) sind parallel zu schalten. Es können jeweils mehrere Widerstände verwendet werden. a) Wie viele verschiedene Gesamtwiderstände RG gibt es? b) Welcher der Gesamtwiderstände ist am größten bzw. am kleinsten? Seite 9 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Mit n = 3, k = 3 folgt ⎛ 3 + 3 − 1⎞ ⎛ 5 ⎞ a) K mW (3,3) = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 10 , ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ b) sind 3 Widerstände zu 200Ω parallel geschaltet, ist der Gesamtwiderstand am Größten. Also: 1 1 1 1 3 = + + = ⇔ R G ≈ 67Ω . Er ist am Kleinsten, wenn 3 Widerstände zu R G R1 R 2 R 3 200Ω 50Ω parallel geschaltet werden. Also: 1 1 1 1 3 = + + = ⇔ R G ≈ 17Ω . R G R1 R 2 R 3 50Ω a) C PROB 4 nCr b) Seite 10 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G VI Variation ohne Wiederholung Die Anzahl VoW ( n,k ) der Variationen von n Elementen zur k-ten Klasse ohne Wiederholung ist: VoW ( n , k ) = n! ; k ≤ n; n , k ∈ ℕ ( n − k )! Beispiel 12 Längsgestreifte zweifarbige Flaggen sind herzustellen. Die Farben sind schwarz, rot, gelb, blau. Wie viele Flaggen können hergestellt werden? Mit n = 4, k = 2 folgt: VoW (4, 2) = 4! = 12 2! C PROB 3nPr Beispiel 13 Was ist die Anzahl der fünfstelligen natürlichen Zahlen, in deren Ziffernfolgen die gleiche Ziffer nicht mehrfach auftritt? Mit n = 10, k = 5 folgt: n1 = VoW (10,5) = 10! = 30240 ; (-) Anzahl der mit Null beginnenden als 5! vierstellig geltenden fünfstelligen Zahlen. n 2 = VoW (9, 4) = C PROB C PROB 9! = 3024 . Die Anzahl ist 27216. 5! 3 nPr 3 nPr Seite 11 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G VII Variation mit Wiederholung Die Anzahl der geordneten k-Tupel mit Wiederholung aus der Menge von n Elementen ist: VmW ( n,k ) = n k Beispiel 14 Wie viele dreistellige natürliche Zahlen können aus den Ziffern 1, 3, 4, 5, 6 gebildet werden? Mit n = 5, k = 3 folgt: VmW (5,3) = 53 = 125 Beispiel 15 Im System der binären Zahlen werden nur die Ziffern 0 und 1 verwendet. a) wie viele vierstellige Binärzahlen gibt es, wenn Zahlen wie 00LL=LL als vierstellig angesehen werden?, b) wie viele Stellen hat die Zahl 1 Milliarde im Binärsystem. a) mit n = 2, k = 4 folgt: VmW (2, 4) = 24 = 16 b) es gilt: 2n ≥ 109 ⇔ lg 2n ≥ 9 ⇔ n lg 2 ≥ 9 ⇔ n ≥ 29,89 a) b) Y1= A CALC Y2= 2 Intsct Seite 12 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G ODER Seite 13 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G VIII Klassische Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses E ist der Quotient der Anzahl der für E günstigen Ergebnisse und der Anzahl m aller möglichen Ergebnisse: P( E ) = E Ω Beispiel 16 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „5 Richtige“ im Lotto 6 aus 49? ⎛ 6 ⎞ ⎛ 42 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ 5 0 1 P(5 Richtige) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≈ 4, 29 ⋅10−7 = 0.000000429 ⎛ 49 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝6⎠ C PROB C PROB 4 nCr 4 nCr C PROB C PROB 4 nCr 4 nCr ODER C PROB PROB 4 nCr 4 nCr C C PROB C PROB 4 nCr 4 nCr Seite 14 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Beispiel 17 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Roulette die Kugel bei 50 Coups in einem Fach einmal liegen bleibt? 49 ⎛ 50 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 36 ⎞ P(X = 1) = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ≈ 0.3529 ⎝ 1 ⎠ ⎝ 37 ⎠ ⎝ 37 ⎠ C PROB 4 nCr Beispiel 18 In einer Urne befinden sich 25 Kugeln. Es sind n Kugeln schwarz, der Rest ist weiß. Ohne Zurücklegen werden zwei Kugeln gezogen. Für welche Anzahl n ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von gleichfarbigen Kugeln gleich 0.5? E: Gleichfarbige Kugeln werden gezogen; P(E) = 2n 2 − 50n + 600 . Aus P(E) = 0.5 folgt mit 600 n 2 − 25n + 150 = 0 : n1 = 15 bzw. n 2 = 10 Seite 15 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G A METHOD 1 Equation X=0 X=13 Seite 16 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Beispiel 19 Wie viele Lose sind zu erwerben, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn größer als 0.5 ist, wenn jedes 10. Los gewinnt? n 1⎞ ⎛ n: Anzahl der zu kaufenden Lose. Also: 1 − ⎜ 1 − ⎟ > 0.5 . Damit folgt aus (1 − 0.1) n < 0.5 ⎝ 10 ⎠ dann n > ln 0.5 ≈ 6.57 ln 0.9 Beispiel 20 Unter 1 Million Münzen hat eine Münze auf beiden Seiten ein Wappen. Eine Münze wird zufällig ausgewählt. Sie wird 10-mal geworfen. In allen Fällen erscheint Wappen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Münze echt? E: die Münze ist echt; E10: bei 10 Würfen erscheint jedes Mal Wappen. Nach Bayes gilt: P(E) ⋅ P ( E10 E ) 0.9 ⋅ 2−10 P ( E E10 ) = = ≈ 0.9989 0.9 ⋅ 2−10 + 10−6 ⋅1 P(E) ⋅ P ( E10 E ) + P ( E ) ⋅ P E10 E ( ) Seite 17 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G IX Geometrische Wahrscheinlichkeiten Es sei Ω ein abgeschlossenes Gebiet der Zahlenebene mit dem endlichen Flächenmaß F( Ω ) . Wählt man aus Ω zufällig einen Punkt Q aus, wobei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ω in A ⊆ Ω , nur von F( A ) abhängt, so heißt die durch P( A ) = F( A ) definierte Funktion P die F( Ω ) geometrische Wahrscheinlichkeit auf dem Gebiet Ω Beispiel 21 In x 2 + px + q = 0 werden (p, q) unabhängig und zufällig aus I = [0;9] ∈ ℝ gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die entsprechende Gleichung reelle Lösungen hat? 2 p2 p ⎛p⎞ ≥ q sind die Lösungen reell. Lösungen quadratische Gleichung x1,2 = − ± ⎜ ⎟ − q . Gilt 4 2 ⎝2⎠ 6 p2 p2 dp + 27 = 45 folgt aus ≥ q . Damit folgt 4 4 0 Aufgrund von (p, q) ∈ I folgt F(Ω ) = 81 ; F(A) = ∫ P(A) = 45 ≈ 0,56 81 Seite 18 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G A CALC 06 ∫ A CALC dx Seite 19 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Seite 20 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Beispiel 22 In der Ebene liegen Parallelen mit dem Abstand d = 4 . Auf die Ebene wird zufällig eine Nadel der Länge a = 2 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel eine Gerade schneidet? Da a < d , schneidet die Nadel höchstens eine Gerade. Ein beliebiger Streifen wird zufällig gewählt. Der Abstand des Mittelpunktes der Nadel von der nächstgelegenen Geraden ist y. Der Winkel, den Nadel und Gerade einschließen ist x. (x, y) sind gleich verteilt und unabhängig. Durch (x, y) ist die Lage der Nadel beschreibbar. Es gilt: 0 ≤ y ≤ 2;0 ≤ x ≤ π . Damit die Nadel die Parallele schneidet muss gelten: y ≤ sin x . Im (x, y) Koordinatensystem sind die möglichen { } Punkte: A = (x y) 0 ≤ x ≤ π ∧ 0 ≤ y ≤ 2 . Für das Ereignis „Nadel schneidet Parallele“ günstige π Punkte sind die Fläche: F = ∫ sin xdx = 2 . Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man: 0 P= Maßzahl von F 1 = ≈ 0,32 Maßzahl von A π A 06 07 Seite 21 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 A Stochastik, SEK II mit EL-9900G Graphik: Bezeichnung der Funktion: B EXPRESS 1 ON Graphik: Vertikale/Horizontale A 4 A Seite 22 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Graphik: Text A 0 Graphik: Schattierung A 7 X Zufallsgrößen Eine Funktion X, die jedem Ereignis ei ,1 ≤ i ≤ m eines Versuchs mit zufälligem Ausgang eine reelle Zahl xi zuordnet, heißt Zufallsgröße bzw. Zufallsvariable (X). Die Funktion w, die den Werten x1 ,....,xn einer Zufallsgröße X die Wahrscheinlichkeiten p1 ,...., pn zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X. Beispiel 23 Zwei Spieler spielen das folgende Würfelspiel: Zeigt der Würfel von Spieler 1 eine kleinere Augenzahl als der Würfel von Spieler 2, muss Spieler 1 an Spieler 2 3 € zahlen und umgekehrt. Zeigen die Würfel die gleiche Augenzahl, gewinnt keiner. Was ist die Verteilung der Zufallsgröße X? Seite 23 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G X: Gewinn in € von Spieler 1 in einer Spielrunde. Damit gilt: X = k; k ∈ {−3, 0,3} . Die Verteilung ist: X = x1 = −3 → P(X = −3) = p1 = 15 ; 36 X = x 2 = 0 → P(X = 0) = p 2 = 6 ; 36 X = x 3 = 3 → P(X = 3) = p3 = 15 . 36 und ODER A EDIT DANN A PLOT1 ON DATA X 9 Stat Seite 24 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Beispiel 24 Die Zufallsvariable X nimmt die Werte 1, 2 und 3 an; Y nimmt die Werte 1 und 2 an. Für die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt: P(X = x i ; Y = y j ) = k ⋅ x i ⋅ y j . Berechnen Sie k und die Wahrscheinlichkeitsverteilung von W = X ⋅ Y . k= 1 ≈ 0, 056 ; 18 P(X ⋅ Y = w 2 ) = w1 = 1, w 2 = 2, w 3 = 3, w 4 = 4 , w5 = 6 ; P(X ⋅ Y = w i ) : P(X ⋅ Y = w1 ) = 1 , 18 4 3 4 6 , P(X ⋅ Y = w 3 ) = , P(X ⋅ Y = w 4 ) = , P(X ⋅ Y = w 5 ) = liefern die Ver18 18 18 18 teilung. A EDIT Seite 25 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G A EDIT A PLOT1 GRAPH PLOT1 ON DATA X A ZOOM GRAPH 1 AUTO B B.L. 9 Stat 1 Broken Seite 26 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 A Stochastik, SEK II mit EL-9900G Graphik anpassen Seite 27 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G XI Erwartungswert, Varianz (diskrete Zufallsvariable) Nimmt eine Zufallsgröße X die Werte x1 ,....,xn mit den Wahrscheinlichkeiten p1 ,...., pn an, so n heißt E( X ) = μ = p1 ⋅ x1 + .... + pn ⋅ xn = ∑ pi ⋅ xi der Erwartungswert von X. Die Varianz von X i =1 n ist: V ( X ) = σ 2 = ∑ ( xi − E( X )) pi . Die Standardabweichung ist: σ ( X ) = V ( X ) Die Wahr2 i =1 scheinlichkeit, dass eine Zufallsgröße X einen Wert annimmt, der von ihrem Erwartungswert μ wenigstens um c abweicht, kann abgeschätzt werden durch die Ungleichung von Tschebyschew: P ( X − μ ≥ c ) ≤ σ2 c2 ( ) ⇔ P X − μ < c ≥ 1− σ2 c2 Beispiel 25 Mit welcher mittleren Augenzahl ist bei einer großen Zahl von Würfen mit platonischen Körpern zu rechnen? Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder sind die fünf platonischen Körper mit K n (n = 4, 6,8,12, 20) Seiten. Es sei e j das Ergebnis „Wurf der Augenzahl j“ (1 ≤ j ≤ n) . Es gelte: X(e j ) = j . Es gilt: p j = p(e j ) = = n 1 1 n 1 n(n + 1) . Es ist: E n = E(X n ) = ∑ j ⋅ p j = ∑ j = ⋅ n n j=1 n 2 j=1 n +1 . Also: E 4 = 2,5; E 6 = 3,5; E8 = 4,5; E12 = 6,5; E 20 = 10,5 . 2 Für Hexaeder: B MATH 3mean( Seite 28 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G ODER B MATH 3 mean( Beispiel 26 Eine Urne enthält 4 Kugeln mit den Nummern 1, 2, 3, 4. Man zieht nacheinander ohne zurücklegen. 2 Kugeln. Jedem Zug wird die Summe X der gezogenen Kugeln zu geordnet. Bestimmen Sie E(X), V(X), σ(X). Es ist X = k, k = 3, 4,5, 6, 7 . Für die Summe 5 gibt es 4 Ergebnisse; für die anderen Summen 2. Es gibt 12 verschiedene Ziehungen. Damit ist: E(X) = V(X) = 1 (3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 4 + 6 ⋅ 2 + 7 ⋅ 2) = 5 , 12 1 (−2) 2 ⋅ 2 + (−1) 2 ⋅ 2 + 12 ⋅ 2 + 22 ⋅ 2 ≈ 1, 67 ; σ(X) = V(X) ≈ 1,30 12 ( ) Erwartungswert Seite 29 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G B MATH 5 SUM Varianz B MATH 5 SUM Seite 30 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Standardabweichung SUM(L6) Beispiel 27 Eine faire Münze wird 50-mal geworfen. Worauf würden Sie 100 € setzen: Dass die Anzahl der Würfe mit „Wappen“ im Intervall von 20 bis 30 (einschließlich) liegt oder dass sie außerhalb dieses Intervalls liegt? Bei einer Bernoulli Kette der Länge n = 50 mit einer Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,5 ist danach gefragt, wie wahrscheinlich es höchstens ist, eine Trefferzahl X zu erzielen, die vom Erwartungswert μ = n ⋅ p = 25 um mindestens c = 6 abweicht. Nach Tschebyschew gilt: ( ) V(X) = σ2 = n ⋅ p ⋅ (1 − p) = 12,5; P X − `25 ≥ 6 = P(X ≤ 19 ∨ X ≥ 31) ≤ 12,5 ≈ 0,35 . 36 Also: Die Wahrscheinlichkeit der Treffer (Wappen) liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,65 zwischen 20 und 30. A CALC B NUM A DRAW A EQVARS EQVARS A XY A XY 1 abs( G SHADE 1 Y1 2 Y2 Seite 31 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 1 SET A Stochastik, SEK II mit EL-9900G Seite 32 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G A 2 Intsct A 2 Intsct Seite 33 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Beispiel 28 Ein Spieler wirft dreimal eine Münze. Er gewinnt jeweils zusätzlich zum Einsatz 5 € bei dreimal Wappen, 3 € bei zweimal Wappen und 1 € bei einmal Wappen. Fällt kein Wappen, ist der Einsatz verloren. Wie hoch muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist? Ist der Erwartungswert des Gewinns für jeden Spieler gleich Null, ist ein Spiel fair. X = k , k = 5,3,1, −E zusätzliche Gewinne/Verlust. Es ist: p1 = P(X = 5) = 1 , 8 p 2 = P(X = 3) = 3 1 1 p3 = P(X = 1) = , p 4 = P(X = −E) = . Aus E(X) = (17 − E) = 0 folgt: E = 17€ =0 8 8 8 Seite 34 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 3 , 8 Stochastik, SEK II mit EL-9900G XII Theorie und Praxis Erwartungswert und Standardabweichung sind theoretische Maßzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. In der Praxis kommen entsprechende empirische Kenngrößen zur Anwendung. Treten bei einer Messreihe Werte x1 ,....,xk mit den relativen Häufigkeiten h1 ,....,hk auf, k k ist x = ∑ hi ⋅ xi der empirische Mittelwert; s = ∑ h ⋅( x − x ) 2 i i =1 i ist die empirische Standardab- i =1 weichung. Beispiel 29 Zwei Personen nehmen an einem Konzentrationstest teil. Die Tabelle zeigt die Reaktionszeiten (L1) und die Reaktionsmuster (Häufigkeiten) von Person 1 (L2) und Person 2 (L3). Der Test wird 100-mal durchgeführt. Zu bestimmen sind der empirische Mittelwert und die empirische Standardabweichung. 7 7 Person 1: x1 = ∑ h i ⋅ x i = 0,501 , s1 = ∑ h ⋅ (x i i =1 7 − x) 2 = 0,137 ; i =1 Person 2: x 2 = ∑ h i ⋅ x i = 0, 498 , s1 = i =1 i 7 ∑h i ⋅ (x i − x) 2 = 0, 099 i =1 B MATH 3 mean( B MATH Seite 35 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 8 varian( Stochastik, SEK II mit EL-9900G a) Liste eingeben: A EDIT b) Berechnungen: A PLOT1 Seite 36 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G B MATH 3 mean( B MATH 8 varian( Die Kennzahlen x uns s sind zu unterscheiden vom Mittelwert x% , der Standardabweichung sx = ∑x 2 − nx% 2 n −1 , der Gesamtstandardabweichung σx = ∑x 2 − nx% 2 n der Stichprobe x etc. So gilt etwa für die Reaktionszeiten von Person 1 (L2) bei einer Stichprobe C CALC 1_Stats Seite 37 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G XIII Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret) Ist X eine diskrete Zufallsgröße mit { x1 ,....,xn } und P( X = xi ) , heißt die Funktion F zu F( x ) = P( X ≤ x ) = ∑ P( X = xi ) , D( F ) = ℝ Verteilungsfunktion von X. xi ≤ x Binomialverteilung / Bernoulli Verteilung Ist eine Zufallsvariable X als Trefferzahl bei einer Bernoulli Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p beschreibbar gilt: ⎛n⎞ P(X = r) = Bn;p (r) = ⎜ ⎟ ⋅ p r ⋅ (1 − p) n − r . ⎝r⎠ Es ist: E(X) = μ = n ⋅ p; V(X) = σ = n ⋅ p ⋅ (1 − p) Beispiel 30 Ein Würfel wird zwanzigmal geworfen; X zählt die Anzahl der Einsen. Wie groß ist der Erwartungswert; welche Bedeutung hat hier der Erwartungswert? 3 17 ⎛ 20 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 1 1 n = 20; p = . Also: E ( X ) = μ = 20 ⋅ ≈ 3,3 ∉ ℕ . P(X = 3) = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 0, 2379 bzw. 6 6 ⎝ 3 ⎠ ⎝6⎠ ⎝6⎠ 4 16 ⎛ 20 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ P(X = 4) = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 0, 2022 sind zu untersuchen. Bei μ liegt bei der BV die größte ⎝ 4 ⎠ ⎝6⎠ ⎝6⎠ Seite 38 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Wahrscheinlichkeit vor. Es ist: P(X = 3) > P(X = 4) . Also: Es ist am Wahrscheinlichsten, drei Einsen zu erzielen. P(X = 3) A CALC C PROB 4 nCr ODER A EDIT F DISTRI 10 pdfbin( P(X = 4) A CALC C PROB Seite 39 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 4 nCr Stochastik, SEK II mit EL-9900G ODER A EDIT F DISTRI 10 pdfbin( Realisationen der Zufallsvariable bzw. Verteilung Beispiel 31 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zwanzigmaligen Würfeln a) genau sieben Einsen zu werfen, b) höchstens fünf Einsen zu werfen, c) mindestens fünf Einsen zu werfen, d) mindestens drei und höchstens fünf Einsen zu werfen? 7 13 ⎛ 20 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ a) P(X = 7) = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 0, 0259 ⎝ 7 ⎠ ⎝6⎠ ⎝6⎠ Seite 40 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G b) P(X ≤ 5) = P(X = 0) + .... + P(X = 5) = 0,8982 c) P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4) = 0, 2313 d) P(3 ≤ X ≤ 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = P(X ≤ 5) − P(X ≤ 2) = 0,5695 a) ODER A EDIT F DISTRI 10 pdfbin( A EDIT F DISTRI 11 cdfbin( b) Seite 41 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G c) A EDIT F DISTRI 11 cdfbin( ODER A CALC F DISTRI 08 Σ( 10 pdfbin( Seite 42 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 A EDIT Stochastik, SEK II mit EL-9900G d) A EDIT F DISTRI 11 cdfbin( A EDIT F DISTRI F DISTRI 10 11 cdfbin( Graphik A OPE 5 seq( A EDIT pdfbin( Seite 43 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G PROBE (Σ L2=1) A OPE In PLOT1 alles mit B MATH 5 sum( bestätigen; setze Cursor auf Graph dann Seite 44 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Hypergeometrische/Geometrische Verteilung; Poisson Verteilung ⎛M ⎞ ⎛N −M ⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ k ⎠ ⎝ n−k ⎠ ⎝ Eine diskrete Zufallsgröße X mit k = 0,1,2,...,n und P( X = k ) = heißt hyperge⎛N⎞ ⎜ ⎟ ⎝n⎠ ometrisch verteilt mit den Parametern N, n und M. Eine diskrete Zufallsgröße mit P( X = k ) = ( 1 − p )k −1 ⋅ p heißt geometrisch verteilt mit dem Parameter p. Auf hypergeometri- sche Verteilungen führt das Ziehen ohne Zurücklegen (keine Bernoulli Ketten); auf geometrische Verteilungen führt die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für das einmalige Auftreten des Merkmals A an k-ter Stelle einer (unendlichen) Bernoulli-Kette. Eine Zufallsgröße X mit dem Wertebereich N heißt poissonverteilt mit dem Parameter μ ∈ ℝ >0 ( E( X ) = μ = n ⋅ p ), wenn gilt: P( X = k ) = μk k! ⋅ e − μ ∀k ∈ ℕ Man benutzt die Poissonverteilung, wenn Ereignisse selten auftreten und man keinen Maximalwert n von X kennt. Seite 45 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Beispiel 32 a) mit welcher Wahrscheinlichkeit tippt man 4 Richtige beim Lotto „6 aus 49“? b) zwei ideale Münzen werden solange geworfen, bis beide gleichzeitig „Wappen“ zeigen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Zahl der Würfe höchstens zwei? c) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Atomkern von Rn 222 innerhalb einer Stunde zerfällt, ist 0,75%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 1000 Atomkernen mehr als 5 innerhalb einer Stunde zerfallen? a) Ziehen ohne Zurücklegen: Grundgesamtheit N=49; bei der Ziehung werden M=6 Kugeln ausgelost; ein Tipp hat n=6 Zahlen; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon k=4 Zah- ⎛ 6 ⎞ ⎛ 43 ⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ 4 2 len gezogen werden. Also: P(X = 4) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≈ 0, 000969 . ⎛ 49 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝6⎠ 2 ⎛3⎞ b) Zufallsvariable ist X geometrisch verteilt; p=0,25. Also: P(X ≤ 2) = 1 − ⎜ ⎟ ≈ 0, 4357 (es gilt: ⎝4⎠ P(X ≤ k) = P(X = 0) + .... + P(X = k) = p + .... + q k −1p = p ⋅ 1 − qk = 1 − q k ). 1− q c) Zufallsvariable X ist poissonverteilt; μ = 1000 ⋅ 0, 0075 = 7,5 . Also: P(X ≥ 5) ≈ 1 − 0, 24143 7,5k −7,5 ⋅ e = 0, 24143 . k = 0 k! 5 = 0, 75857 mit P(X = 0) + .... + P(X = 5) = ∑ a) Seite 46 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G b) ODER ODER Seite 47 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Graphik Seite 48 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G c) Graphik Seite 49 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Seite 50 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Seite 51 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G XIV Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) ∞ ∫ Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn es eine nicht-negative Funktion f mit f ( x )dx = 1 −∞ (Dichtefunktion) gibt, so dass für beliebige reelle Zahlen a und b mit a ≤ b gilt: b P( a ≤ X ≤ b ) = ∫ f ( x )dx . Eine stetige Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion f besitzt die Vera x teilungsfunktion F mit: F ( x ) = P( X ≤ x ) = ∫ f ( t )dt , x ∈ ℝ. Bei einer stetigen Zufallsgröße −∞ heißt die reelle Zahl μ ( X ) = E( X ) = ∞ ∫ x ⋅ f ( x )dx Erwartungswert; die reelle Zahl −∞ σ ( X ) = V( X ) = 2 ∞ ∫ ( x − E( X )) 2 ⋅ f ( x )dx heißt Varianz; σ ( X ) = V ( X ) heißt Standardab- −∞ weichung. Exponentialverteilung Eine stetige Zufallsgröße X mit E( X ) = 1 λ ⎧0 und f ( x ) = ⎨ ⎩ λ ⋅e −λ x für x < 0 heißt exponential für x ≥ 0 für x < 0 ⎧0 . −λ x ⎩ 1 − e für x ≥ 0 verteilt mit dem Parameter λ . Die Verteilungsfunktion ist: F( x ) = ⎨ Beispiel 33 ⎛5⎞ Zeigen Sie graphisch, dass sich die geometrische Verteilung P(X = k) = ⎜ ⎟ ⎝6⎠ k −1 ⋅ 1 recht gut 6 für x < 0 ⎧0 ⎪ x durch f (x) = ⎨ 1 − approximieren lässt. X sei die Wartezeit bis zum nächsten An5 e für x 0 ⋅ ≥ ⎪ ⎩5 ruf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 15 Minuten vergehen, ohne das es einen Anruf gibt, wenn durchschnittlich alle 5 Minuten das Telefon klingelt? Seite 52 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Da die Punkte W ( `k w(k) ) der geometrischen WV auf dem Graphen der Exponentialfunktion 1 ⎛5⎞ w zu: w(k) = ⋅ ⎜ ⎟ 6 ⎝6⎠ k −1 ⎧0 1 (k −1)⋅ln 56 = ⋅e liegen, kann f (t) = ⎨ − bt 6 ⎩λ ⋅ e für t<0 für t ≥ 0; λ > 0; b > 0 als An- satz für die Dichtefunktion f der Zufallsgröße X gewählt werden. Direkte Rechnung ( ∞ ∞ −∞ 0 −λt − bt ∫ f (t)dt = ∫ λ ⋅ e dt = 1 ) liefert: f (t) = λ ⋅ e ist der Term der Dichtefunktion f für t ≥ 0 . 15 15 t − ⎡ − 5t ⎤ 1 1 5 E(X) = 5 P(X > 15) = Aus folgt: λ = . Also: 1 − P(X ≤ 15) = 1 − ⋅ ∫ e dt = 1 − ⎢ −e ⎥ 5 5 0 ⎣ ⎦0 (bzw. P(X > 15) = 1 − F(15) = 1 − (1 − e −3 ) ). a) geometrische Verteilung Seite 53 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 ≈ 5% Stochastik, SEK II mit EL-9900G Seite 54 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G b) Exponentialverteilung (Dichtefunktion) Seite 55 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G c) Exponentialfunktion (Verteilungsfunktion) d) P(X > 15) = 1 − F(15) = 1 − (1 − e −3 ) Berechnung nach Tabellen (vgl. oben) Seite 56 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G ODER A CALC A CALC Gauß`sche Glockenkurve (Normalverteilung) 2 a x − 1 Für die Gauß´sche Glockenkurve gilt: ϕ ( x ) = ⋅ e 2 , Φ ( a ) = ∫ ϕ ( x )dx . Eine Zufallsgröße X 2π −∞ heißt normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ , wenn gilt: a P( X ≤ a ) = ∫ ϕμ σ ( x )dx mit ϕμ σ ( x ) = , , −∞ 1 2πσ 2 ⋅e − ( x − μ )2 2σ 2 Beispiel 34 Skizieren und Berechnen Sie a) die Wendepunkte (den Hochpunkt) des Graphen ϕμ ,σ ; be6 rechnen und skizzieren Sie ∫ϕ 4,2 (x)dx , b) skizzieren Sie ϕ0,1 (x) ; markieren Sie ϕ0,1 (0.6) als 2 ∞ Fläche unter der Dichtefunktion, berechnen Sie c) ∫ϕ 4,2 (x)dx 0,5 Seite 57 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G a) Funktionen ϕμ,σ (x) haben eine Maximalstelle bei x = μ ; zwei Wendestellen bei x = μ ± σ . 6 Es ist ( ϕ4,2 (x) ): H(4;0, 2), W1 (2;0,12), W2 (6;0,12) , b) direkte Rechnung: ∫ ϕ4,2 (x)dx ≈ 0, 68 , 2 ∞ c) genauso ∫ϕ 4,2 (x)dx ≈ 0,96 0,5 6 a) ∫ ϕ4,2 (x)dx 2 ODER ODER Seite 58 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G (Y1 eingeben) Wendepunkte Seite 59 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Hochpunkt b) ϕ0,1 (x) ODER Seite 60 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G ∞ c) ∫ϕ 4,2 (x)dx 0,5 Beispiel 35 − 1 ⋅e Gegeben ist eine Normalverteilung durch ihre Dichtefunktion ϕ mit ϕ(x) = σ 2π (x −μ )2 2 σ2 . Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeiten bzw. das Intervall: a) P(193 ≤ X ≤ 203) für μ = 198 und σ = 10 , b) P(0 ≤ X ≤ ?) = 72% μ = 300 und σ = 15 , c) P(0 ≤ X ≤ ?) = 5% μ = 600 und σ = 20 , d) P(μ − ? ≤ X ≤ μ + ?) = 90% μ = 600 und σ = 20 Direkte Rechnungen: liefern: a) P(193 ≤ X ≤ 203) =0,383, b) P(0 ≤ X ≤ 308, 74) = 0, 72 , c) P(0 ≤ X ≤ 567,1) = 0, 05 , d) P(μ − 1, 64σ ≤ X ≤ μ + 1, 64σ) = P(567, 2 ≤ X ≤ 632,8) = 0,90 a) Seite 61 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G b) c) d) Seite 62 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G XV Näherungsformel von De Moivre-Laplace Die Zufallsvariable X sei (für große n) binomialverteilt. Ist die Bedingung n > füllt, so gilt: ⎛ k + 0,5 − μ ⎞ ⎛ k1 − 0,5 − μ ⎞ P( k1 ≤ X ≤ k2 ) = Φ ⎜ 2 ⎟ −Φ ⎜ ⎟. σ σ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Es 1 er4 ⋅ p ⋅( 1 − p ) 2 ist: μ = n ⋅ p ,. ⎛k −μ ⎞ ⎛ k1 − μ ⎞ σ = n ⋅ p ⋅ ( 1 − p ) . Ist σ 2 > 9 gilt : P( k1 ≤ X ≤ k2 ) = Φ ⎜ 2 ⎟ −Φ ⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ als vereinfachte Näherungsformel Beispiel 36 X ist a) B120,0.95 bzw. b) B210,0.2 verteilt. Ermitteln sie näherungsweise a) P(110 ≤ X ≤ 118) bzw. b) P(X ≤ 40) . a) n = 120 , p = 0,95 . Also: μ = 114 , σ 2 = 5, 7 , 1 ≈ 111 , 120 > 111 und nicht σ2 > 9 4 ⋅ 0.952 ⋅ 0, 052 ⎛ 118 + 0,5 − 114 ⎞ ⎛ 110 − 0,5 − 114 ⎞ erfüllt. Damit: P(110 ≤ X ≤ 118) = Φ ⎜⎜ ⎟⎟ − Φ ⎜⎜ ⎟⎟ ≈ 0,94 ; b) n = 210 , 5, 7 5, 7 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ p = 0, 2 . Also: μ = 42 , σ 2 = 33, 6 , σ2 > 9 . Vereinfachte Näherungsformel anwendbar: ⎛ 40 − 42 ⎞ ⎛ 0 − 42 ⎞ P(X ≤ 40) = Φ ⎜⎜ ⎟⎟ − Φ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0,3632 ⎝ 33, 6 ⎠ ⎝ 33, 6 ⎠ a) Seite 63 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G b) XVI Tests Beim Testen hat man Vermutungen (Hypothesen) über die Grundgesamtheit. Man schließt auf Grund von Daten aus einer statistischen Erhebung welche Hypothesen man verwirft. Verwendet wird eine Entscheidungsregel. Alternativtest: Hier hat man zwei Hypothesen, die einander ausschließen. Man bestimmt ein Testverfahren und eine Entscheidungsregel, nach der man sich für die eine oder andere Hypothese entscheidet. Von der Nullhypothese H 0 geht man aus; die gegensätzliche Annahme wird als Alternativhypothese H 1 bezeichnet. Gilt H 0 und wird irrtümlich abgelehnt, macht man einen Fehler 1. Art ( α -Fehler); gilt H 0 nicht und wird irrtümlich angenommen, macht man einen β -Fehler. Sind die Entscheidungen für H 0 , H 1 hat man Sicherheiten 1. Art bzw. 2. Art. Seite 64 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Beispiel 37 Zwei Maschinen produzieren mit 10% (I Wahl) bzw. 30% (II Wahl) Ausschuss. Die Schachteln der Produkte wurden nicht markiert. Es wird eine Stichprobe n = 10 genommen. Sind höchstens zwei Stücke Ausschuss, enthält die Schachtel den Aufkleber I. Wahl; andernfalls II. Wahl. a) Wie sind die Testergebnisse zu beurteilen? b) Wie ist die Entscheidungsegel zu formulieren, wenn n = 20 und α = 5% ist?, c) Wie ist die Entscheidungsregel, wenn α = β = 0,5% und der Umfang der Stichprobe nicht bekannt ist? a) Hypothesen: H 0 : es liegt I. Wahl vor ( p0 = 10% ); H1 : es liegt II. Wahl vor ( p1 = 30% ). Anzahl X (Testgröße) Ausschuss in Stichprobe, Stichprobenumfang, Entscheidungsregel bekannt. Also: X ≤ 2 Entscheidung für H 0 ; X > 2 Entscheidung für H1 . Damit: A = {0,1, 2} Annahmebereich für H 0 und Ablehnungsbereich für H1 ; A = {3,....,10} Ablehnungsbereich für H 0 und Annahmebereich für H1 . X binomialverteilt mit P(X = k) = Bn,p (k) . Also: Fehler 1. Art: 2 2 i =0 i =0 α = P(X > 2) = 1 − ∑ B10;0.1 (k) ≈ 7% , Sicherheit 1. Art. P(X ≤ 2) = ∑ B10;0.1 (k) ≈ 93% 2 2 i =0 i =0 Fehler 2. Art: β = P(X ≤ 2) = ∑ B10;0.3 (k) ≈ 38,3% und P(X > 2) = 1 − ∑ B10;0.3 (k) ≈ 61, 7% Sicherheit 2. Art. b) Regel: Entscheidung für H 0 , wenn X ≤ c ; Entscheidung für H1 , wenn X > c .Grenze c legt c der Fehler 1. Art fest. Also: P(X > c) ≤ 5% ⇔ P(X ≤ c) ≥ 95% ⇔ ∑ B20;0.1 (k) ≥ 95% . Nach Tak =0 belle: c ≥ 4 c) es ist: α = Pn;0.1 (X > c) = 0,5% und β = Pn;0.3 (X ≤ c) = 0,5% . Mit der Näherungsformel gilt: ⎛ c + 0,5 − n ⋅ 0,1 ⎞ α = Φ ⎜⎜ ⎟⎟ ≥ 0,995% , ⎝ n ⋅ 0,1⋅ 0,9 ⎠ ⎛ c + 0,5 − n ⋅ 0,1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ≥ 2,58 , ⎝ n ⋅ 0,1⋅ 0,9 ⎠ ⎛ c + 0,5 − n ⋅ 0,3 ⎞ β = Φ ⎜⎜ ⎟⎟ ≤ 0, 005% . ⎝ n ⋅ 0,3 ⋅ 0, 7 ⎠ Tabelle liefert: ⎛ c + 0,5 − n ⋅ 0,3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ≤ −2,58 . Aus c + 0,5 ≥ 2,58 ⋅ n ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 + n ⋅ 0,1 und ⎝ n ⋅ 0,3 ⋅ 0, 7 ⎠ c + 0,5 ≤ −2,58 ⋅ n ⋅ 0,3 ⋅ 0, 7 + n ⋅ 0,3 folgt: n ≥ 95, 6 ≈ 96 . Rückrechnung liefert c ≥ 16, 7 ≈ 17 . Also: Stichprobenumfang n = 96 und Entscheidungsregel: X ≤ 17 dann H 0 ; X > 17 dann H1 . Seite 65 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G a) Fehler/Sicherheit 1.Art Seite 66 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Seite 67 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G b) Entscheidungsregel n = 20 und α = 5% c) Entscheidungsregel α = β = 0,5% , n unbekannt Seite 68 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Signifikanztest: Mit diesem Test wird festgestellt, ob eine Hypothese (Nullhypothese) aus gu- tem Grund verworfen werden kann. Treten überzufällige (signifikante) Abweichungen im Stichprobenergebnis auf, ist dies der Fall. Beispiel 38 Beim Werfen zeigt ein Würfel auffällig oft die „Vier“. Es ist mit einer n = 20 Stichprobe zu testen, ob der Würfel ein Laplace Würfel ist. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (das Signifikanzniveau) soll unter 5% liegen. X Anzahl der gewürfelten „Vieren“; Nullhypothese H 0 : Würfel ist Laplace Würfel ( p0 = 1 ); 6 Entscheidungsregel: X ≤ c ⇒ H 0 wird angenommen; X > c ⇒ H 0 wird abgelehnt. Da „Vier“ auffällig oft fällt, wird nach einer Seite getestet (einseitiger Test). Also: P(X > c) ≤ 5% ⇔ c P(X ≤ c) ≥ 95% ⇔ ∑ B k =0 20; 1 6 (k) ≥ 0,95 . Nach Tabelle: c = 6 . H 0 (Laplace Würfel liegt vor) kann bei 20 Würfen für X > 6 abgelehnt werden zum Signifikanzniveau 5%. Der Fehler 1. Art liegt deutlich unter 5% ( α = P(X > 6) = 1 − P(X ≤ 6) = 3, 7% Seite 69 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G A EDIT F DISTRI 11 cdfbin( Seite 70 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G XVII Übergangs-Matrizen (Markov Ketten) Eine Menge von Zuständen, die durch Übergangswahrscheinlichkeiten verknüpft sind, heißt „Stochastischer Prozess“. Die Wahrscheinlichkeit des Übergangs vom i-ten Eintrag des einen zum j-ten Eintrag eines anderen Zustandsvektors eines stochastischen Prozesses heißt Übergangs-Wahrscheinlichkeit pij . Eine Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten (Summe jeder Spalte (jedes Zustandsvektors) ist 1; es gibt keine negativen Einträge) heißt Übergangs-Matrix. Folgen neuer Zustände werden Markov-Ketten genannt. Markov-Ketten, bei denen die einzelnen Zustände stets aus der gleichen Übergangs-Matrix hervorgehen heißen homogene r Markov-Ketten. Wenn der Zustandsvektor v0 eines stochastischen Prozesses und die Überr r r r gangsmatrix M bekannt sind, sind die weiteren Zustände des Prozesses: v1 = M ⋅ v0 v2 = M ⋅ v1 , r r r r v3 = M ⋅ v2 ,… resp. ν n = M n ⋅ν 0 ; n ∈ ℕ Beispiel 39 In einem Dorf leben 1000 Normannen. Sie machen mit Wahrscheinlichkeit 0.4 nach einem Jahr einen Beutezug nach Frankreich bzw. gehen auf Entdeckungsreise. 20%, die eine „neue Welt“ entdeckt haben, machen im nächsten Jahr einen Beutezug nach Frankreich; 30% wollen nach dem Einfall in Frankreich „neue Welten“ entdecken, die Hälfte kehrt jeweils im Folgejahr ins Dorf zurück. Wie ist die Verteilung der Normannen nach fünf Jahren? ⎛ 0.2 0.5 0.5 ⎞ ⎜ ⎟ Es ist M = ⎜ 0.4 0.2 0.2 ⎟ mit den drei Zuständen Z1 = (D)orf , Z2 = (F)rankreich und ⎜ 0.4 0.3 0.3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1000 ⎞ ⎛1000 ⎞ ⎛ 383 ⎞ ⎛ D ⎞ r ⎜ r ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Z3 = (N)eue Welt ; v 0 = ⎜ 0 ⎟ Startvektor; also: v5 = M 5 ⋅ ⎜ 0 ⎟ ≈ ⎜ 278 ⎟ = ⎜ F ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 339 ⎟ ⎜ N ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ B EDIT 1mat A Seite 71 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G A NAME 1mat A Seite 72 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G A NAME B EDIT A NAME NAME 3mat C 2 mat B 3 mat C Seite 73 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 A Stochastik, SEK II mit EL-9900G Zustände eines stochastischen Prozesses, die nach dem Einstellen nicht mehr verlassen werden können, heißen absorbierende Zustände. Die Menge dieser Zustände heißt Rand des Prozesses. Zustände, die nicht zum Rand gehören, heißen innere Zustände des Prozesses. Die Absorptionswahrscheinlichkeiten geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmter absorbierender Zustand von einem bestimmten inneren Zustand aus erreicht wird. Die mittle- re Wartezeit gibt für jeden inneren Zustand den Erwartungswert für die Anzahl der Schritte ⎛E A⎞ bis zum Rand an. Bei einer homogenen Markov-Kette mit der Übergangs-Matrix M = ⎜ ⎟ ⎝0 I ⎠ bezeichnet F = (E − IT ) −1 die Fundamentalmatrix der Markov-Kette. Die Absorptionswahrscheinlichkeiten sind das Produkt von F mit den transponierten Zeilenvektoren von A; die mittleren Wartezeiten sind das Produkt von F mit dem Eins-Vektor. Beispiel 40 r r Was ist die Absorptionswahrscheinlichkeit ( r ) und was die mittlere Wartezeit ( w ) von ⎛ 1 0.2 0.6 ⎞ ⎜ ⎟ M = ⎜0 0 0 ⎟? ⎜ 0 0.8 0.4 ⎟ ⎝ ⎠ Durch M stochastischer Prozess mit 3 Zuständen; homogene Markov-Kette, Z1 absorbierender Zustand. Also: 0 ⎞ ⎛ 0 I=⎜ ⎟, ⎝ 0.8 0.4 ⎠ ⎛ 1 −0,8 ⎞ E − IT = ⎜ ⎟, ⎝ 0 0.6 ⎠ F= 1 ⎛ 0, 6 0,8 ⎞ ⎛ 1 1, 3 ⎞ ⎟, ⎜ ⎟≈⎜ 1 ⎠ ⎝ 0 1.6 ⎠ 0.6 ⎝ 0 ⎛ 0.2 ⎞ ⎛ 0,998 ⎞ r ⎛1⎞ ⎛ 2, 3 ⎞ r r = F⋅⎜ ⎟ ≈ ⎜ ⎟ ⎟ , w = F⋅⎜ ⎟ ≈ ⎜ ⎝ 0.6 ⎠ ⎝ 0,996 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 1, 6 ⎠ A NAME Seite 74 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G A NAME A NAME C OPE D MATH 05 identity 2 trans 1 mat A A NAME Seite 75 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 A Name Stochastik, SEK II mit EL-9900G Absorptionswahrscheinlichkeit A NAME B EDIT 3 mat C B EDIT 4 mat D Mittlere Wartezeit A NAME Beispiel 41 a) bei einem Versuch wird ein Elementarteilchen beobachtet. Es wird nach 1 Sekunde mit Wahrscheinlichkeit 0.1 von der Wand der Kammer absorbiert. Ein Detektor in der Kammer fängt es mit Wahrscheinlichkeit 0.15 ein. Die Absorptionswahrscheinlichkeiten und Wartezeiten sind zu bestimmen; wie ist das Ergebnis zu interpretieren? Seite 76 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Zustände des Prozesses Z1 = (D)etektor; Z2 = (W)and; Z3 = (K)ammer . Homogene MarkovKette. Übergangs-Matrix: ⎛ 1 0 0.15 ⎞ ⎜ ⎟ M = ⎜ 0 1 0.1 ⎟ . Zwei absorbierende Zustände ⎜ 0 0 0.75 ⎟ ⎝ ⎠ ( Z1 , Z2 ) . F = (1 − 0.75) −1 = 4 ; Absorptionswahrscheinlichkeiten: rD = 4 ⋅ 0.15 = 0.6 ; rW = 4 ⋅ 0.1 = 0.4 ; mittlere Wartezeiten: w = 4 ⋅1 = 4 . Alle 4 Sekunden wird das Teilchen mit Wahrscheinlichkeit 0.6 durch den Detektor eingefangen oder mit Wahrscheinlichkeit 0.4 von der Wand absorbiert. b) bei einem Einsatz von 100€ wird einem Spieler das folgende Münzwurf-Spiel angeboten: Fällt die vorhergesagte Seite der Münze, erhält der Spieler 100€; andernfalls verliert er 100€. Dass Spiel dauert solange, bis der Spieler passt, ruiniert ist oder den maximalen Gewinn von 300€ erhält a) soll der Spieler dieses Spiel spielen? b) soll der Spieler nach einem ersten Gewinn weiterspielen, c) wie lange wird das Spiel im Durchschnitt dauern? Zustände des Prozesses in €: Z1 = 0; Z2 = 300; Z3 = 100; Z4 = 200 . Homogene Markov-Kette. ⎛1 ⎜ 0 Übergangs-Matrix M = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0 0.5 0 ⎞ ⎟ 1 0 0.5 ⎟ . Zwei absorbierende Zustände 0 0 0.5 ⎟ ⎟ 0 0.5 0 ⎠ −1 ⎡⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 0,5 ⎞ ⎤ 1 ⎛ 4 2⎞ Rechnung liefert: F = ⎢⎜ ⎟−⎜ ⎟⎥ = ⎜ ⎟ . Also: Z1 : 3 ⎝ 2 4⎠ ⎣⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0.5 0 ⎠ ⎦ ( Z1 , Z2 ) . Direkte ⎛ 0.5 ⎞ 1 ⎛ 2 ⎞ r r0 = F ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; ⎝ 0 ⎠ 3⎝1⎠ ⎛ 0 ⎞ 1 ⎛1⎞ r ⎛ 1⎞ ⎛ 2 ⎞ r Z2 : r300 = F ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; w = F ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . Am Beginn des Spiels sind die Gewinnchancen ⎝ 0.5 ⎠ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ 1:2; die Gewinnchancen verbessern sich nach einem Gewinn auf 2:1 Seite 77 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G A NAME A NAME Inverse Matrix A NBASE B SYSTEM r ( e beachten) Seite 78 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 4 Stochastik, SEK II mit EL-9900G A NAME Absorptionswahrscheinlichkeiten A NAME Seite 79 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G A NAME Mittlere Wartezeit A NAME Seite 80 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Eine schnelle Berechnung der Inversen. EL-9900G einschalten: Menü für Matrizen aufrufen: und B:EDIT und z. B. 1mat A aufrufen: Matrizen-Größe festlegen: Werte eingeben und jeweils bestätigen mit , Eingaben speichern mit Invers der Matrize berechnen: und A:NAME und den verwendeten Matrizennamen aufrufen. , bestätigen mit Berechnungsfunktion der Matrize eingeben: (x-1): , bestätigen mit Seite 81 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 . Stochastik, SEK II mit EL-9900G Wenn die Folge der Matrix-Potenzen M k konvergiert, dann existiert auch ein stochastischer r Vektor v F (Komponentensumme ist Eins), der als Fixvektor der Matrix oder auch als stationäre r r r Verteilung der Markov-Kette bezeichnet wird. Für den Fixvektor v F gilt also: M ⋅ v F = v F . Beispiel 42 a) Was ist der Fixvektor (die stationäre Verteilung) der Markov-Kette mit der Übergangs⎛ 0.8 0.2 0, 2 ⎞ ⎜ ⎟ Matrix M = ⎜ 0.1 0.6 0.1 ⎟ ? Überprüfen Sie das Ergebnis. ⎜ 0.1 0.2 0.7 ⎟ ⎝ ⎠ b) Ein durchlässiges Zwei-Kammer-System eines Behälters enthält in einer Kammer 12 mol in der anderen Kammer 20 mol eines Gases. Ein Gasteilchen gelangt mit Wahrscheinlichkeit 0.1 pro Sekunde von der ersten in die zweite Kammer; mit Wahrscheinlichkeit 0.8 gelangt es von der zweiten in die erste Kammer. Wie ist bei diesem Diffusionsprozess die Verteilung der Teilchen nach einer Minute und vier Sekunden? ⎛ 0.8 0.2 0.2 ⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ 0.1 0.6 0.1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ ⋅ y = zu lösen. Die Lösung ist: a) mit x + y + z = 1 ist das GLS: ⎜ ⎜ 0.1 0.2 0.7 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ ⎟ z ⎜ ⎟ 1 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 1 ⎛ 0.5 ⎞ r r r ⎜ ⎟ v F = ⎜ 0.2 ⎟ ; es ist: M ⋅ v F = v F ⎜ 0.3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0.9 0.8 ⎞ r ⎛ 12 ⎞ b) Startvektor: v0 = ⎜ ⎟ , zwei Zustände ( (Z1 , Z2 ) , Übergangs-Matrix M = ⎜ ⎟ , Zu⎝ 20 ⎠ ⎝ 0.1 0.2 ⎠ r r ⎛ 0.9 0.8 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 26,8 ⎞ stand System nach einer Sekunde: v1 = M ⋅ v0 = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; Zustand System ⎝ 0.1 0.2 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 5, 2 ⎠ ⎛ 0.9 0.8 ⎞ ⎛ 26,8 ⎞ ⎛ 26, 28 ⎞ r r nach zwei Sekunden: v 2 = M ⋅ v1 = M 2 ⋅ v0 = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟ ;….; Zustand des Sys⎝ 0.1 0.2 ⎠ ⎝ 5,8 ⎠ ⎝ 3, 72 ⎠ ⎛ 0.8 0.8 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 28, 4 ⎞ r tems nach 64 Sekunden: v 64 = M 64 ⋅ v 0 ≈ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ≈ ⎜ ⎟ . Mit der Grenzmatrix ⎝ 0. 1 0. 1 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 3, 5 ⎠ ⎛ 0.8 0.8 ⎞ M 64 → M ∞ = ⎜ ⎟ konvergiert das System gegen ein dynamisches Gleichgewicht (kon⎝ 0. 1 0. 1 ⎠ Seite 82 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G vergenter Prozess). Dies entspricht der stationären Verteilung der Markov-Kette. Aus ⎛ 0.9 0.8 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ r r M ⋅ v F = v F folgt mit ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ nach Lösung des GLS als Fixvektor (Eigenvektor) ⎝ 0.1 0.2 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠ ⎛8⎞ r der Markov-Kette: v = y ⋅ ⎜ ⎟ . Bei 32 mol Molekülen in beiden Kammern resultiert somit: ⎝1⎠ x= 32 256 ≈ 3, 5; y = ≈ 28, 4 . 9 9 a) A NAME (Eingabe mit bestätigen; 4. Spalte beachten) A NAME ME D MATH 3 rowEF 1 mat A Seite 83 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 A NA- Stochastik, SEK II mit EL-9900G Probe A NAME A NAME 2 mat B mat C Seite 84 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 A NAME 1 Stochastik, SEK II mit EL-9900G b) A NAME B EDIT 1 mat A Grenz-Übergangs-Matrix A NAME 1mat A Seite 85 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Stochastik, SEK II mit EL-9900G Stationäre Verteilung A NAME A NAME Seite 86 © Sharp Electronics (Europe) GmbH, 2009 Sharp Electronics (Europe) GmbH Sonninstraße 3, 20097 Hamburg, Germany Tel.: (0 40) 23 76-0 • Fax: (0 40) 23 76-1323 www.sharp.de Die Anfertigung einer notwendigen Anzahl von Fotokopien für den Einsatz in einer Klasse, einer Lehrerfortbildung oder einem Seminar durch den Referenten ist gestattet. Jede Verwertung in anderen als den genannten oder den gesetzlich zulässigen Fällen ist ohne schriftliche Zustimmung von Sharp nicht zulässig. 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