µ das ereignis
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Übung zur Vorlesung: Geostatistik 1 Philipp, Mo. 15:45 3067 Türcode: 1516 Deskriptive Statistik Maße der Zentraltendenz Deskriptive Statistik Maße der Zentraltendenz ● arithmetischer Mittewert ● klassenorientierter Mittelwert ● gewichteter Mittelwert ● geometrischer Mittelwert ● Modus ● Median ● Quantile Deskriptive Statistik Streuungsmaße Deskriptive Statistik Streuungsmaße ● Spannweite (Streuungsbreite) ● mittlere Abweichung ● relative Variabilität ● Varianz ● Standardabweichung ● Variationskoeffizient ● ● Höhere Momente: 3.: Schiefe (Skeness) ● Höhere Momente: 4.: Kurtosis (Wölbung, Exzess) Übung ● Vergleiche den 19. Oktober 2012 mit der mittleren Abweichung und der Standardabweichung ● Standardisiere Tmax für Oktober, welchen Wert hat der 19.Oktober 2012 Teile diesen Wert durch Standardabweichung und addiren den Mitterwert, ... Wahrscheinlichkeiten Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln? Wahrscheinlichkeiten Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln? E Anzahl betrachteter Ereignisse p( E) = = Ω Anzahl möglicher Ereignisse Wahrscheinlichkeiten Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln? E Anzahl betrachteter Ereignisse 1 p( E) = = = ≈ 17 % Ω Anzahl möglicher Ereignisse 6 Wahrscheinlichkeiten Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass bei einem Meteoriteneinschlag ein Kontinent getroffen wird? km² Asien 44,4 Afrika 30,3 Nordamerika 24,9 Südamerika 17,8 Antarktika 13,2 Europa 10,5 Australien 8,5 Gesamt 149,6 %EOF 8,7 5,9 4,9 3,5 2,6 2,1 1,7 29,3 E Anzahl betrachteter Ereignisse p( E) = = Ω Anzahl möglicher Ereignisse Wahrscheinlichkeiten Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass bei einem Meteoriteneinschlag ein Kontinent getroffen wird? km² Asien 44,4 Afrika 30,3 Nordamerika 24,9 Südamerika 17,8 Antarktika 13,2 Europa 10,5 Australien 8,5 Gesamt 149,6 %EOF 8,7 5,9 4,9 3,5 2,6 2,1 1,7 29,3 E Anzahl betrachteter Ereignisse 29.3 p( E) = = = ≈29.3 % Ω Anzahl möglicher Ereignisse 100 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass Tmax >10°C? E p( E) = Ω betrachtete Ereignisse mögliche Ereignisse Übung ● W (t10<15, t10>0 ) Übung: W( t10<15, t10>0) Übung: W( t10<15, t10>0) c <- ecdf(t10) c(15)-c(0) 0.7554806 75.54806% Zu theoretischen Verteilungen Empirische Wahrscheinlichkeitsdichte funktion für t10 Zu theoretischen Verteilungen Empirische Wahrscheinlichkeitsdichte funktion für t10 theoretische Verteilungen: Modellhafte Näherung des Verlaufs der Dichtefunktion einer empirischen Verteilung durch eine theoretische (generalisierte) Funktion, z.B. (am häufigsten): durch σ = Standardabweichung μ = Mittelwert π = Kreiszahl = 3,14159... x = Temperatur e = Eulersche Zahl (Basis für nat. Exponentialfunktion) = 2,718281... Carl-Friedrich Gauß 1777-1855 → Anpassen der Normalverteilungsfunktion an unsere Stichprobe! = Einsetzen von m und s und jeweils x → t10 Wiederkehrzeiten (Returnvalues) Alle wieviel Jahre tritt t > 26.9 im Oktober eines Jahres auf? Pro Zeiteinheit W(t10>26.9) mal! RT(t10>26.9) = 1 / W(t10>26.9) · Zeiteinheit Wiederkehrzeiten (Returnvalues) Alle wieviel Jahre tritt t > 26.9 im Oktober eines Jahres auf? Pro Zeiteinheit W(t10>26.9) mal! RT(t10>26.9) = 1 / W(t10>26.9) · Zeiteinheit rt ← 1 / (1-pnorm(26.9,mean(t10),sd(t10)))a Wiederkehrzeiten (Returnvalues) Alle wieviel Jahre tritt t > 26.9 im Oktober eines Jahres auf? Pro Zeiteinheit W(t10>26.9) mal! RT(t10>26.9) = 1 / W(t10>26.9) · Zeiteinheit rt ← 1 / (1-pnorm(26.9,mean(t10),sd(t10)))a 929.21 = jedes 929te Jahr Wiederkehrzeiten (Returnvalues) Wie oft tritt Wert > 26.9 am 19. Oktober jeden Jahres auf? Wiederkehrzeiten (Returnvalues) Wert eines 100-jährigen Ereignisses? rt ← 1 / (1-pnorm(z,mean(t10),sd(t10))) [Zeit] 100a = 1 / (1-pnorm(z,mean(t10),sd(t10))) ·[Zeit] 100a = 1 / (1-pnorm(z,mean(t10),sd(t10))) ·[Zeit] 1/100 = 1-pnorm(z,mean(t10),sd(t10)) 0.01 = 1-pnorm(z,mean(t10),sd(t10)) 0.99 = pnorm(z,mean(t10),sd(t10)) qnorm(z,mean,sd) = z Zusammenfassung: Anpassen der Normalverteilung an den Mittelwert und die Standardabweichung der Stichprobe → Wahrscheinlichkeitsaussagen für die Grundgesamtheit falls normalverteilt Alternative: anpassen der Stichprobe an die Standardnormalverteilung = Standardisierung: → σ = 1.0 μ = 0.0 Zusammenfassung: Anpassen der Normalverteilung an den Mittelwert und die Standardabweichung der Stichprobe → Wahrscheinlichkeitsaussagen für die Grundgesamtheit falls normalverteilt Alternative: anpassen der Stichprobe an die Standardnormalverteilung = Standardisierung: → σ = 1.0 μ = 0.0 Alternative: anpassen der Stichprobe an die Standardnormalverteilung = Standardisierung: → σ = 1.0 μ = 0.0 => Verwendung der Tabellenwerte der Normalverteilung möglich: 68%-95%-99.7% Regel: eine Zufallszahl einer N-vert. SP liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von: 68% innerhalb einer Standardabweichung um den MW = -1 bis +1 95% innerhalb zweier Standardabweichung um den MW = -2 bis +2 99.7% innerhalb zweier Standardabweichung um den MW = -3 bis +3 z Φ(z) D(z) D(z) 0.68 Φ(z)=0.84 z z Φ(z) D(z) Φ(z) D(z) z Standardfehler für den Mittelwert: σ s σµ = ≈ n n μ = Mittelwert σ = Standardabweichung s = sdev Stichprobe n = Stichprobenumfang Standardfehler für die Standardabweichung: σ s σσ= ≈ 2n 2n μ = Mittelwert σ = Standardabweichung s = sdev Stichprobe n = Stichprobenumfang Jeweils durch m oder s · 100% → relativer Standardfehler Konfidenzintervalle für Mittelwert und Standardabweichung σ KI μ=±z∗ n σ KI σ =±z∗ 2∗n z = Wert der Normalverteilung für D(z) = Si = 1 – α μ = Mittelwert σ = Standardabweichung n = Stichprobenumfang
