Probeklausur - Humboldt

Humboldt-Universität zu Berlin
Bereich Stochastik und Finanzmathematik
Prof. Dr. Dirk Becherer
Prof. Dr. Thorsten Dickhaus, Michael Stauch,
Joscha Diehl, Nicolas Perkowski
Probeklausur
SS 2010
30. Juni 2010
Übungen zur Stochastik 1
1. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Für jede richtige Antwort
bekommen Sie 0.5 Punkte, für jede falsche Antwort werden Ihnen 0.5 Punkte abgezogen. Eine
nichtbeantwortete Frage wird mit 0 Punkten bewertet. Insgesamt wird die Aufgabe mit mind. 0
Punkten bewertet.
(a) Jedes Prämaß auf einer Algebra A kann auf eindeutige Weise zu einem Maß auf der von A
erzeugten σ-Algebra fortgesetzt werden.
(b) Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf (R, BR ) besitzt eine Dichte.
(c) Ereignisse A1 , . . . , An heißen stochastisch unabhängig unter dem Maß P , falls P [Ai ∩ Aj ] =
P [Ai ]P [Aj ] für alle i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j, gilt.
(d) Zwei Zufallsvariablen X, Y mit Dichten f X , f Y sind unabhängig genau dann, wenn die gemeinsame Dichte f X,Y existiert und Lebesgue- fast überall die Form f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y),
x, y ∈ R, besitzt.
(e) Besitzen zwei Zufallsvariablen X, Y Dichten, so besitzt auch X + Y eine Dichte.
(f) Die Summe von zwei unabhängigen exponentialverteilten Zufallsvariablen ist wiederum
exponentialverteilt.
(g) Eine Folge von Zufallsvariablen (Xn )n∈N konvergiert gegen die Zufallvariable X in Verteilung genau dann, wenn für die zugehörigen Verteilungsfunktionen limn↑∞ F Xn (y) = F X (y)
für alle y ∈ R gilt.
(h) Sind die Zufallsvariablen (Xn )n∈N unabhängig und N (µ, σ 2 )-verteilt, so gilt limn↑∞
σ 2 + µ2 fast sicher.
1
n
Pn
2
i=1 Xn
(i) Sind die ZufallsvariablenP(Xn )n∈N unabhängig und N (0, 1)-verteilt, so konvergiert wegen
E[X14 ] = 3 die Folge √1n ni=1 (Xi2 − 1) in Verteilung gegen die N (0, 1)-Verteilung.
(j) Eine Abbildung X : Ω → R auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) ist eine Zufallsvariable, falls X −1 ((−∞, q]) ∈ F für alle q ∈ Q gilt.
2. (a) Formulieren und beweisen Sie die beiden Aussagen des Lemmas von Borel-Cantelli.
(3P)
(b) Es sei (Xn )n∈N eine Folge von unabhängigen und identisch zum Parameter 1 exponentialXn
(2P)
verteilten Zufallsvariablen. Zeigen Sie: P[lim supn↑∞ ln
n = 1] = 1.
3. Eine faire Münze wird solange in unabhängiger Folge geworfen, bis zum ersten Mal sowohl
Wappen als auch Zahl erschienen sind.
(a) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung der zufälligen Anzahl T der Würfe durch
die Zähldichte pk = ( 21 )k−1 , k ≥ 2, gegeben ist.
(2P)
=
(b) Berechnen Sie die charakteristische Funktion dieser Verteilung und mit deren Hilfe den
Erwartungswert und die Varianz von T .
(3P)
4. Es seien X und Y zwei Zufallsvariablen mit der gemeinsamen Dichte
−x−y
2e
falls 0 < x < y,
X,Y
f
(x, y) =
0
sonst.
(a) Bestimmen Sie die Randverteilungsdichten von X und Y sowie die Kovarianz Cov(X, Y ).
(2P)
(b) Sind X und Y stochastisch unabhängig? Beweisen Sie Ihre Behauptung.
(2P)
(c) Bestimmen Sie die Dichten der Zufallsvariablen U := eX und V := aX, a ∈ (0, ∞).
(2P)
5. Ein Versicherungsunternehmen hat n gleichartige Kontrakte mit einjähriger Laufzeit abgeschlossen und muss für den i-ten Kontrakt den zufälligen Schaden Xi begleichen. Es wird angenommen,
dass die Xi unabhängig sind und denselben Erwartungswert m sowie dieselbe Varianz σ 2 ∈ (0, ∞)
besitzen. Als Prämie verlangt die Versicherung (gemäß dem sogenannten Varianzprinzip) jeweils
π = m + λσ 2 für ein λ > 0.
(a) Es bezeichne R die Kapitalreserve der Versicherung und Sn sei die Summe der Einzelschäden
Xi . Bestimmen Sie näherungsweise die Ruinwahrscheinlichkeit P (Sn > R + nπ).
(2P)
(b) Wie groß ist nach (a) die Ruinwahrscheinlichkeit für R = 1440, σ = 40, λ = 0, 001 und
n = 900 ? Vergleichen Sie die ermittelte Wahrscheinlichkeit mit der Schranke aus der Tschebyschev’schen Ungleichung.
(2P)
(c) Wie groß muss nach (a) die Anzahl der Kontrakte mindestens sein, damit für R = 0, σ = 40
und λ = 0, 001 die näherungsweise Ruinwahrscheinlichkeit kleiner als 0, 01 ausfällt ? (1P)
6. Seien X, Y zwei stochastisch unabhängige, identisch verteilte reellwertige Zufallsvariablen.
(a) Berechnen Sie die charakteristische Funktion von X, falls X gleichverteilt auf dem Intervall
[−a, a] für a ∈ R ist.
(2P)
(b) Berechnen Sie die charakteristische Funktion von (X +Y )/2 =: Z. Beweisen oder widerlegen
Sie die Behauptung: Z ist gleichverteilt auf [−a, a].
(2P)
7. Jogi, Oliver und Franz wollen zur Fußball-WM zusammen einen Tipp im Toto abgeben. Aus
früheren Tipps wissen sie, dass Jogi mit Wahrscheinlichkeit 0, 2 richtig tippt, Oliver mit Wahrscheinlichkeit 0, 3 und Franz mit Wahrscheinlichkeit 0, 35. Weil sie sich nicht auf einen Tipp
einigen können, schreibt jeder seinen Vorschlag auf einen Zettel, von denen sie dann einen
zufällig ziehen und auf diesen Tipp setzen. Sie haben Glück und gewinnen! Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sie auf Franz’ Tipp gesetzt haben?
(3P)