Vorlesung 12.05.06 (aktualisierte Version) - Wiwi Uni

Statistik II
Statistische Tests
Statistik II - 12.5.2006
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Test auf Anteilswert: Binomialtest
• Sei
eine Stichprobe unabhängig,
identisch verteilter ZV (i.i.d.).
• Teile diese Stichprobe in zwei Teilmengen (2 Klassen)
für die gilt:
• Betrachte nun die Stärke der ersten Klasse:
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• Die Summe n- unabhängiger Bernoulli Variablen ist
binomialverteilt und das arithmetische Mittel ist ein Anteil
(relative Häufigkeit)
.
• Damit:
wobei
• Als Teststatistik bietet sich daher
an.
• Die Quantile der Binomialverteilung
können anhand von Tabellen bestimmt werden.
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• Wir betrachten nun das Testproblem
•
• Für
wird verworfen, falls
wird
• Für
nahe 0 bzw. 1, wähle
größer als
.
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kleiner bzw.
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• Einseitige Tests:
lehne
lehne
ab, falls
ab, falls
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n wird groß
• Mit Hilfe eines ZGW kann gezeigt werden:
• Mit
• Damit kann bei großen Stichproben
als Prüfgröße
verwendet werden und der kritische Wert anhand der
Standardnormalverteilung bestimmt werden.
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• Siehe Skript Tabelle 9.4, S.54 für das
Testschema
• Beispiel Schira S.483
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Test auf Varianz
• Sei
eine Stichprobe unabhängig,
identisch und normal verteilter ZV.
• Wir möchten überprüfen, ob die Varianz der
Grundgesamtheit nicht von einem bestimmten Wert
abweicht:
• Wir wissen, dass die Zufallsvariable
verteilt ist, deshalb ist sie als Prüfgröße geeignet.
• Damit kennen wir die Verteilung und können die Quantile
anhand der Tabellen bestimmen.
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• Da die
Verteilung nicht symmetrisch ist, müssen bei
zweiseitigen Testproblemen zwei kritische Werte
bestimmt werden.
Quelle: Schira
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•
wird verworfen, falls:
• Der Erwartungswert
enthalten.
ist nicht in der Teststatistik
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P-Wert / P-Value
• Bisher: gegebenes Signifikanzniveau
• Manchmal stellt man sich aber die Frage: bis zu
welchem Signifikanzniveau würde
gerade nicht
verworfen?
• Die Überschreitungswahrscheinlichkeit (sog. P-Wert,
empirisches Signifikanzniveau) entspricht gerade einem
Signifikanzniveau, bei dem die Prüfgröße auf den
kritischen Wert fällt.
• Es ist das maximale Signifikanzniveau, zu dem
gerade nicht verworfen werden kann.
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• Damit gilt bei gegebenem
Falls
dann lehne
:
zum Niveau
ab.
• Grosse P-Werte sprechen also dafür, dass die Empirie
mit der Hypothese vereinbar sind.
• Kleine P-Werte hingegen sagen, dass das Auftreten der
beobachteten Realisation der Teststatistik
unwahrscheinlich ist, wenn
stimmt.
• Computerprogramme geben in der Regel den P-Wert an.
• Gefahr, dass man nachträglich das Signifikanzniveau
ändert, damit die gewünschte Testentscheidung erzeugt
wird.
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• Beispiele: Wie bestimmt man den P-Wert?
Quelle:Schira
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Gütefunktion/Machtfunktion
• Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art ist
d.h.
• Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2.Art ist
,
, d.h.
• i.d.R. gilt nicht
• wir wollen
und
minimieren.
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• Tatsächlich sind und
Funktionen von
• Die Gütefunktion
eines Tests über den Parameter
ist als die folgende Ablehnwahrscheinlichkeit definiert:
• Sie stellt damit Gegenwahrscheinlichkeit des Fehlers 2.
Art dar.
• Wir betrachten im folgenden den Test auf
bekannter Varianz. Die Prüfgröße lautet:
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bei
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• Sei
• Sei
und sei
der kritische Wert von
, sodass
. Dann folgt :
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Graphische Darstellung
Quelle: Schira
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• Es folgt weiterhin wegen der Symmetrie:
• Die Gütefunktion entspricht hier also der
Verteilungsfunktion der Normalverteilung
• Es gilt ferner:
• Die Gütefunktion wird immer „steiler“, wenn n groß wird.
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• Definition: Ein Signifikanztest zum Niveau
heißt
unverfälscht, wenn gilt:
d.h. die WS,
abzulehnen, wenn
falsch ist, muss
immer mindestens so groß sein wie die WS,
abzulehnen, obwohl sie richtig ist.
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