1 Mengen und Logik

Hellweg Berufskolleg Unna Studienvorbereitung Mathematik Reinhart-Fröstl
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Mengen und Logik
1.1
Zahlenräume
natürliche Zahlen IN: 1,2,3,4, ...
manchmal ist die 0 mit dabei, man kann aber explizit auch zwischen
IN0 0,1,2,3,4, ...
und
IN+ 1,2,3,4, ...
unterscheiden.
ganze Zahlen: Z ... -3,-2,-1,0,1,2,3,...
rationale Zahlen: Q alle Brüche
irrationale Zahlen: dazu gehören
√ π,die Eulersche Zahl e, Wurzeln, die sich nicht mehr als
Bruch schreiben lassen wie z.Bsp. 2
transzendente Zahlen: dazu gehören π, e (eine Zahl ist dann, transzendent, wenn sie sich
nicht als Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt)
reelle Zahlen: umfassen die rationalen Zahlen und irratonalen Zahlen
1.2
Mengen
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {2, 4, 6}, C = {1, 3, 5, 7} sind Mengendarstellungen
B ⊂ A : B ist Teilmenge von A
B ∪ C = A : B vereinigt mit C ergibt A
B ∩ A = B : B geschnitten mit A ergibt A
A \ B = C : A ohne B ergibt C
1 ∈ A : 1 ist Element der Menge A
∀i ∈ A : für alle Elemente i der Menge A
Übung 1.2:
Ergänzen Sie je das passende Mengenzeichen:
1. IN
2. IN0
3.
1.3
{0} = IN
Q
3
5
4. IR
5.
Q
Z
Q
IN
Logik
A,B und C seien Aussagen:
¬A : nicht A
Ā : nicht A
A ⇒ B : aus der Aussage A folgt die Aussage B, es wird behauptet: wenn A wahr ist, dann
ist auch B wahr
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2
A ⇔ B : die Aussage A ist äquivalent zur Aussage B, aus der Aussage A folgt die Aussage B
und umgekehrt
A ∧ B : A und B, dazu gehören alle Aussagen, bei denen A und B zutreffen
A ∨ B : A oder B, dazu gehören alle Aussagen, bei denen A oder B zutreffen
Beispiele:
A: das Tier ist ein Schaf
B: das Tier frisst Gras
C: das Tier ist ein Säugetier
D: das Tier legt Eier
mögliche Aussagen, die nicht unbedingt wahr sein müssen:
A ⇒ B: Ein Schaf frisst Gras
¬D ⇔ C: Ein Tier, das keine Eier legt ist ein Säugetier und umgekehrt ist ein Säugetier ein
Tier, das keine Eier legt
A ∧ B: das Tier ist ein Schaf, das Gras frisst
B ∨ D : das Tier frisst Gras oder ist ein Säugetier (hier gehören dann z.Bsp. auch Enten dazu)
Übung 1.3:
Schreiben Sie in eigenen Worten die Bedeutung der folgenden logischen Aussagen auf:
1. A ⇒ B:
2. D ∧ C:
3. A ∧ C ⇒ B:
4. ¬B ∨ ¬D
Notieren Sie in mathematischer Schreibweise:
1. Das Tier legt Eier oder ist ein Schaf:
2. Ein Schaf frisst Gras:
3. Alle Tiere, die Gras fressen sind Schafe:
4. Wenn das Tier Gras frisst ist es ein Schaf oder legt Eier:
5. Das Tier ist weder ein Säugetier noch legt es Eier:
Hier sind Aussagen für Zahlen x ∈ Z dargestellt. Entscheiden Sie, ob die mit diesen Aussagen
gebildeten Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
A : die Zahl ist gerade
B : die Zahl ist eine Primzahl
C : die Zahl ist durch 10 teilbar
D : die Zahl ist durch 3 teilbar
E : die Zahl ist die Lösung der Gleichung x-3=5
F : die Zahl hat eine 3 als letzte Ziffer
1. ¬A ⇒ ¬C :
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3
2. A ∧ C ⇒ ¬D:
3. E ⇔ ¬F :
4. E ∨ F ⇔ ¬B:
5. D ⇔ ¬A:
6. ∀x ∈ A : ¬D:
1.4
Anwendungen
Wie zeigt man logisch, dass Aussagen wahr oder falsch sind? Gehen Sie davon aus, dass eine
Person behauptet, alle natürlichen Zahlen sind Primzahlen. In mathematischer Schreibweise:
A: Menge der Primzahlen
IN: Menge der natürlichen Zahlen
Die Aussage lautet also: x ∈ IN ⇒ x ∈ A
Dass diese Aussage falsch ist , zeigt man einfach, indem man eine Zahl angibt, die eine natürliche
Zahl ist, aber keine Primzahl ist. Somit ist die Aussage falsch.
Wenn die Zahl x durch 4 teilbar ist, dann ist sie eine gerade Zahl:
A: Menge der Zahlen, die durch 4 teilbar sind
B: Menge der geraden Zahlen
x∈A⇒x∈B
x ∈ A ⇒ x = 2 · (2 · k), k ∈
Z⇒x∈B
Man kann aber auch zeigen, wenn B nicht gilt, dann gilt auch nicht A:
Wir zeigen: ¬B ⇒ ¬A:
Die Zahl x ist also ungerade: x ∈ ¬B : x = 2 · k + 1 mit k ∈ Z Falls also die Zahl dann durch
4 teilbar sein soll muss die Gleichung: 2 · k + 1 = 4 · l mit l ∈ Z in Z lösbar sein
1 = 4 · l − 2 · k, 1 = 2 · (2 · l − k) also müsste 1 eine gerade Zahl sein, was natürlich falsch ist.
Also kann das Ereignis B nur eintreten, wenn A wahr ist.
Übung 1.4:
Wenn nicht anders angegeben, betrachten wir Elemente der natürlichen Zahlen. Beweisen Sie
oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
1. Alle durch 10 teilbaren Zahlen sind gerade
2. Jede Zahl, die durch 3 teilbar ist, ist auch durch 9 teilbar
3. Jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar
4. Wenn für x, y ∈ IN gilt, dass x < y, dann gilt für alle k ∈ IN0 , dass k · x < k · y
5. Eine Zahl ist genau dann gerade, wenn ihre Vorgängerzahl ungerade ist.
6. Die Zahl 11 ist eine Primzahl.