1.Teil - iks.hs

1. Einführung
Logik
Definition: Unter einer Aussage versteht man die gedankliche Widerspiegelung
eines Sachverhaltes der objektiven Realität, bei dem eindeutig entschieden werden
kann, ob er wahr oder falsch ist.
B Operationen mit Aussagen (Verknüpfung von Aussagen):
Negation nicht p, Symbol p, Wahrheitswert wird verändert: falsch in wahr
bzw. umgekehrt
Konjunktion p ^ q, p und q, Wahrheitswert ist nur dann wahr, wenn beide
Aussagen zugleich wahr sind, sonst Ergebnis falsch
Disjunktion (Alternative) p _ q, p oder q, Wahrheitswert ist nur dann
wahr, wenn wenigstens eine der beiden Aussagen wahr ist, sonst Ergebnis falsch.
Besonderheit: p _ q auch wahr, wenn sowohl p als auch q wahr sind (teilweise
anders als üblichen Sprachgebrauch)
Implikation p ! q, p impliziert q, Wahrheitswert ist nur dann falsch, wenn p
wahr, aber q falsch ist, sonst Ergebnis wahr.
Aus der Aussage p folgt die Aussage q (p =) q). p heiß
t auch hinreichende
Bedingung für q, q heiß
t notwendige Bedingung für p.
Äquivalenz p $ q, p und q sind äquivalent, Wahrheitswert ist nur dann wahr,
wenn beide Aussagen denselben Wahrheitswert besitzen, sonst Ergebnis falsch.
p gilt genau dann wenn q gilt (hier auch: p () q)
Wahrheitstafeln - für verschiedene Belegungen der logischen Variable wird der
Wahrheitswert logischer Ausdrücke angegeben
q
p
p^q
p_q
p!q =p_q
p$q
w w
f
w
w
w
w
w
f
f
f
w
f
f
f
w w
f
w
w
f
f
f
f
f
w
w
p
w
logische Ausdrücke: Verknüpfung von logischen Variablen mit Hilfe der obigen
Operationen und Klammern, die die Reihenfolge der Abarbeitung der Operationen
regeln.
Klammern setzen, da hier keine Prioritätenregeln üblich sind.
Mengenlehre
Definition: Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung von
einzelnen wohlunterschiedenen Objekten zu einer Einheit. Die einzelnen Objekte,
aus denen sich die Menge zusammensetzt, werden Elemente der Menge genannt.
Angabe von Mengen:
a) Angabe der Elemente: M = f1; 3; 5; 7g; b) Angabe einer Eigenschaft, die in
eindeutiger Weise die Zugehörigkeit klärt
Zahlensysteme
N Menge der natürlichen Zahlen f1; 2; 3; : : :g
N0 Menge der natürlichen Zahlen mit Null f0; 1; 2; 3; : : :g
Z Menge aller ganzen Zahlen f0; +1; 1; +2; 2; : : :g
Q Menge der rationalen Zahlen f pq : p; q 2 Z; q 6= 0g
R Menge der reellen Zahlen
R+ Menge der reellen Zahlen
0:
Elementbeziehung 2, 2
= Negation dazu
x 2 A bedeutet, dass x ein Element der Menge A ist.
x2
= A bedeutet, dass x kein Element der Menge A ist.
; leere Menge, enthält keine Elemente
Zwei Mengen sind gleich, wenn beide Mengen genau die gleichen Elemente
besitzen.
Mengeninklussion
A
B bedeutet, dass jedes Element aus A auch Element von B ist, A ist eine
Teilmenge von B; es ist möglich, dass die beiden Mengen gleich sind
A
Bgenau dann, wenn 8x : x 2 A =) x 2 B
()
2
z.B. N
Z
Q
R.
A
A; ;
A
Es gilt:
A
B und B
C =) A
C
Mengenoperationen:
Vereinigung: A [ B, es entsteht eine Menge, die sowohl die Elemente von A
als auch die Elemente von B enthält. als logische Aussage
x 2 A [ B genau dann, wenn (x 2 A) _ (x 2 B)
()
Durchschnitt: A \ B, es entsteht eine Menge, genau die Elemente enthält,
die sowohl in A als auch gleichzeitig in B enthalten sind. als logische Aussage
x 2 A \ B genau dann, wenn (x 2 A) ^ (x 2 B)
()
Differenz: AnB, es entsteht eine Menge, bei der aus der Menge A die Elemente von B entfernt wurden, d.h. diese Menge enthält die Elemente, die zu A aber
nicht zu B gehören. als logische Aussage
x 2 AnB genau dann, wenn (x 2 A) ^ (x 2
= B)
()
Zwei Mengen A, B sind disjunkt (elementefremd), wenn es kein Element gibt,
das sowohl in A als auch in B enthalten ist, d.h. A \ B = ;.
Gleichungen und Ungleichungen
äquivalente Umformungen bei Gleichungen:
Eine Zahl auf beiden Seiten addieren, subtrahieren, multiplizieren (dabei Zahl
6= 0) bzw. dividieren (dabei Zahl 6= 0)
äquivalente Umformungen bei Ungleichungen:
Eine Zahl auf beiden Seiten addieren, subtrahieren, multiplizieren (dabei Zahl
6= 0) bzw. dividieren (dabei Zahl 6= 0). Bei Multiplikation bzw. Division mit einer
negativen Zahl ändert sich das Relationszeichen.
3
Summen und Produkte
n
X
i=1
m
X
ai = a1 + a2 + : : : + an
ai = an + an+1 + : : : + am
i=n
reelle Zahlen a1 ; a2 ; : : : ; an ,
analog bei Produkten
n
Y
ai = a1 a2 : : : an
i=1
einige Eigenschaften:
m
X
ai +
i=n
n
X
m
X
bi =
i=n
m
X
(ai + bi )
i=n
(cai ) = c
i=n
m
X
ai +
i=l
m
X
m
X
ai
i=n
m
X
ai =
i=n+1
ai
(l
n < m)
i=l
einige Summen/Produkte:
n
X
n
X
c = nc;
i=1
n
X
i=1
i2 =
i=1
n
Y
i=
n(n + 1)
2
1
n(n + 1)(2n + 1)
6
n
Y
n
c = c ;
i=1
i = n!
i=1
Binomialkoe¢ zienten:
n
k
n
k
n
0
n
k
=
n(n
1) : : : (n
k!
n!
k!(n k)!
n
=
= 1;
n
=
k + 1)
für n 2 R; k 2 N
für n; k 2 N0 ; k
n
1
n
=n
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus n Elementen k auszuwählen ohne
Berücksichtigung der Reihenfolge.
4
Pascalsches Dreieck
n=0:
1
n=1:
1 1
n=2:
1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
n = 5 :1 5 10 10 5 1
für jedes n :
n
0
;
n
1
;:::;
n
n
Binomischer Lehrsatz:
n
(a + b) =
n n
n n 1
n
a +
a b + ::: +
abn
0
1
n 1
n n X n n k k
+
b =
a b
n
k
k=0
n
1
2. Vektoren
0
B
B
B
Vektor: ~a = B
B
B
@
kartesische Einheitsvektoren des Rn :
0
1
0
B
1
B
B C
B
B C
B
B 0 C
C ; ~e2 = B
~e1 = B
B
B .. C
B
B . C
B
@ A
B
@
0
n
0
1
0
..
.
0
a1
a2
..
.
an
1
C
C
C
C 2 Rn
C
C
A
1
0 1
C
0
C
B C
C
. C
B
C
B .. C
C
C
C : : : ~en = B
B C
C
B
0 C
C
@ A
C
A
1
n
Der Vektor ~ei besitzt an der i-ten Stelle eine 1, sonst Nullen.
Nullvektor
0
1
0
B C
B . C
~o = B .. C
@ A
0
5
n
B Betrag (Länge) eines Vektors
q
j~aj = a21 + a22 + : : : + a2n
B Addition und Subtraktion zweier Vektoren
1
0
a1 + b 1
C
B
C
B
B a2 + b 2 C
~
C ; ~a
B
~a + b = B
C
..
C
B
.
A
@
an + b n
0
a1
b1
1
C
B
C
B
B a2 b 2 C
~b = B
C
C
B
..
C
B
.
@
A
an b n
B Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl t 2 R
0
1
t a1
B
C
B
C
B t a2 C
C
t ~a = B
B .. C
B . C
@
A
t an
Rechengesetze für einfache Operationen mit Vektoren
Addition:
a) Kommutativgesetz ~a + ~b = ~b + ~a;
b) Assoziativgesetz
~a + ~b + ~c = ~a + ~b + ~c ;
für alle ~a; ~b; ~c 2 Rn .
c) Nullvektoreigenschaft ~a + ~o = ~a
Multiplikation mit einer Zahl:
d) Assoziativgesetz
s (t ~a) = (s t) ~a = st ~a
e) Distributivgesetze
(s + t) ~a = s ~a + t ~a
s
~a =
1
~a
j~aj
~a + ~b = s ~a + s ~b für alle s; t 2 R; ~a; ~b 2 Rn
heiß
t der zu ~a gehörige normierte Vektor
6
Skalarprodukt
~a ~b = ~a>~b = a1 b1 + a2 b2 + : : : + an bn
für ~a = (a1 ; : : : ; an )T ; ~b = (b1 ; : : : ; bn )T
Rechengesetze des Skalarprodukts
a) Kommutativgesetz
~a ~b = ~b ~a;
b) Distributivgesetz
~a + ~b
~c = ~a ~c + ~b ~c
für alle ~a; ~b; ~c 2 Rn .
Skalarprodukt im R2 und im R3 :
~a ~b = j~aj j~bj cos ;
wobei
= \(~a; ~b) der Winkel zwischen ~a und ~b ist. Dabei ist 0
Formel zur Bestimmung des Winkels
cos
=
.
= \(~a; ~b)
~a ~b
= ~a
j~aj j~bj
~b
Vektoren ~a 6= ~o und ~b 6= ~o aus R2 oder R3 seien vorgegeben,
= \(~a; ~b).
~a ~b = j~aj j~bj falls ~a und ~b dieselbe Richtung besitzen,
~a ~b > 0 falls 0 <
,
2
~a ~b = 0 falls ~a und ~b senkrecht aufeinander stehen,
=0
<
=
2
,
~a ~b < 0 falls
~a ~b =
< < ;
2
j~aj j~bj falls ~a und ~b entgegengesetzte Richtung besitzen.
Definition: Zwei Vektoren ~a und ~b 2 Rn sind zueinander orthogonal bzw.
stehen aufeinander senkrecht, falls ~a ~b = 0.
7
Vektorprodukt
Definition: Gegeben seien zwei Vektoren ~a; ~b 2 R3 . ~c = ~a
~b ist derjenige
Vektor aus R3 , für den gilt:
j~cj = j~aj j~bj sin
mit
= \(~a; ~b);
~c steht senkrecht auf ~a und ~b,
~a; ~b und ~c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
0
a2 b 3
B
~b = B
B a3 b 1
@
a1 b 2
~a
a3 b 2
1
C
C
a1 b 3 C
A
a2 b 1
0
Eigenschaften des Vektorprodukts:
a1
1
0
b1
B
C
B
B
C
B
wobei ~a = B a2 C ; ~b = B b2
@
A
@
a3
b3
1
C
C
C:
A
a) Antikommutativgesetz
~b
~b;
~a = ~a
b) Distributivgesetze
~b = ~a
(t ~a)
(~a + ~b)
~a
(t ~b) = t (~a
~c = ~a
~c + ~b
~c;
(~b + ~c) = ~a
~b + ~a
~c;
c) ~a
(~b
~c) = ~b(~a ~c)
~b) für t 2 R,
~c(~a ~b)
für alle ~a; ~b; ~c 2 R3 ,
d) Vektorprodukt bei Basisvektoren ~i; ~j; ~k:
~i
~j = ~k;
~j
~k = ~i;
~k
~i = ~j.
Berechnung des Flächeninhaltes F eines Dreiecks mit den Seiten ~a und ~b
F =
1
~a
2
~b
Spatprodukt
Definition: Das Spatprodukt [~a~b~c] ist de…niert durch
[~a~b~c] = ~a
~b
~c = ~b
~c
~a = (~c
[~a~b~c] > 0 =) die Vektoren bilden ein Rechtssystem.
8
~a) ~b:
[~a~b~c] < 0 =) die Vektoren bilden ein Linkssystem.
[~a~b~c] = 0 =) ~a = ~o oder ~b = ~o oder ~c = ~o oder ~a; ~b; ~c liegen in einer Ebene.
Satz: ~a = (a1 ; a2 ; a3 )T ; ~b = (b1 ; b2 ; b3 )T ; ~c = (c1 ; c2 ; c3 )T =)
a1 a2 a3
[~a~b~c] =
b1 b2 b3
c1 c2 c3
= a1 b 2 c 3 + a2 b 3 c 1 + a3 b 1 c 2
1 ~
[~ab~c]
6
a1 b 3 c 2
a2 b 1 c 3
a3 b 2 c 1
gibt das (vorzeichenbehaftete) Volumen des Tetraeders (der dreieckigen Pyra-
mide) an, dessen drei von einem Punkt ausgehenden Kannten ~a; ~b; ~c beschreiben.
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
Definition: Vektoren ~b1 ; ~b2 ; : : : ; ~bm heiß
en linear unabhängig, falls
~o =
nur dann gilt wenn
1
= 0 und
~ +
1 b1
2
~ + ::: +
2 b2
~
m bm
= 0 und : : : und
m
= 0, anderenfalls sind die
Vektoren linear abhängig.
Anwendungen in der Geometrie
!
Gerade g: Punkt P0 liegt auf der Geraden, Vektor ~a gibt Richtung an, OP0 = ~x0
g : ~x = ~x0 + t ~a
für t 2 R:
Ebene E: Punkt P0 (x0 ; y0 ; z0 ) liegt auf der Ebene; Stellungsvektor ~n, der senkrecht
auf der Ebene steht:
parameterfreie Gleichung von E: ~n (~x
~x0 ) = 0
Punkte P1 (x1 ; y1 ; z1 ); P2 (x2 ; y2 ; z2 ); P3 (x3 ; y3 ; z3 ) liegen auf der Ebene E:
!
!
!
Parameterdarstellung von E: ~x = OP1 + t P1 P2 + u P1 P3 für t; u 2 R:
9
3. Matrizen
0
B
B
B
Matrix A = B
B
B
@
a11 a12 : : : a1m
a21 a22 : : : a2m
..
..
..
.
.
.
an1 an2 : : : anm
1
C
C
C
C;
C
C
A
aij ist das Element in der Zeile i und der Spalte j. A 2 Rn;m heiß
t, dass die Matrix
n Zeilen und m Spalten besitzt, d.h. vom Typ (n; m) ist.
0
B
B
B
Einheitsmatrix I = B
B
B
@
0
B
B
B
Nullmatrix O = B
B
B
@
0
B
B
B
Diagonalmatrix diag(c1 ; c2 ; : : : ; cn ) = B
B
B
@
1 0 ::: 0
0
..
.
1 :::
..
.
0
..
.
0 0 ::: 1
0 0 ::: 0
0
..
.
0 :::
..
.
0
..
.
0 0 ::: 0
c1
1
C
C
C
C;
C
C
A
1
C
C
C
C;
C
C
A
0 :::
0
0 c2 : : :
.. ..
. .
0
..
.
0
0 : : : cn
alles quadratische Matrizen.
1
C
C
C
C
C
C
A
Einfache Operationen mit Matrizen
Addition zweier Matrizen: A; B 2 Rn;m
0
a + b11 a12 + b12 : : : a1m + b1m
B 11
B
B a21 + b21 a22 + b22 : : : a2m + b2m
A+B =B
B
..
..
..
B
.
.
.
@
an1 + bn1 an2 + bn2 : : : anm + bnm
I Rechengesetze:
10
1
C
C
C
C
C
C
A
a) Kommutativgesetz A + B = B + A
b) Assoziativgesetz
(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C
für A; B; C 2 Rn;m
Multiplikation einer Matrix mit einer reellen
0
t a11 t a12 : : :
B
B
B t a21 t a22 : : :
t A=B
B ..
..
B .
.
@
t an1 t an2 : : :
Zahl t 2 R:
1
t a1m
C
C
t a2m C
C
C
..
C
.
A
t anm
I Rechengesetze:
a) Kommutativgesetz t A = A t;
b) Assoziativgesetz s (t A) = (s t) A;
c) Distributivgesetze (s + t) A = s A + t A;
s (A + B) = s A + s B
für alle s; t 2 R; A; B 2 Rn;m .
Transponierte Matrizen
0
B
B
B
A=B
B
B
@
a11 a12 : : : a1m
a21 a22 : : : a2m
..
..
..
.
.
.
an1 an2 : : : anm
1
C
C
C
C;
C
C
A
0
a
a21 : : : an1
B 11
B
B a12 a22 : : : an2
AT = B
B ..
..
..
B .
.
.
@
a1m a2m : : : anm
Regeln beim Rechnen mit transponierten Matrizen:
(AT )T = A;
1
C
C
C
C
C
C
A
(t A)T = t AT ;
(A + B)T = AT + B T
für t 2 R; A; B 2 Rn;m
Definition: Eine quadratische Matrix A heiß
t symmetrisch, falls AT = A:
Matrizenmultiplikation
Für A 2 Rn;m ; B 2 Rm;q ist die Matrix C = A B 2 Rn;q durch
cij =
m
X
aik bkj
für i = 1 : : : n; j = 1 : : : q
k=1
11
de…niert. Dabei muss Verkettung vorliegen, d.h. die Spaltenzahl von A ist gleich
der Zeilenzahl von B.
I Rechengesetze des Produkts:
a) Assoziativgesetz
(A B) C = A (B C)
für alle A 2 Rn;m ; B 2 Rm;p ; C 2 Rp;r ,
b) Distributivgesetze
(A + B) C = A C + B C
für alle A; B 2 Rn;m ; C 2 Rm;p ;
A (B + C) = A B + A C
für alle A 2 Rn;m ; B; C 2 Rm;p ,
a(A B) = (aA) B = A (aB)
für alle A 2 Rn;m ; B 2 Rm;p ; a 2 R;
c) bezüglich Transposition:
(A B)T = B T AT
für alle A 2 Rn;m ; B 2 Rm;p ;
d) Eigenschaften der Einheitsmatrix:
A Im = In A = A für alle A 2 Rn;m :
B Beachte: Im allgemeinen gilt für die Matrizenmultiplikation nicht das Kommutativgesetz: A B 6= B A.
Rang einer Matrix
Definition: Die Zahl r heiß
t Rang einer Matrix, falls die Matrix r linear
unabhängige Spalten besitzt und, falls vorhanden, r + 1 beliebig gewählte Spalten
linear abhängig sind. Symbol: r = Rg(A).
Rang= r bedeutet, dass jede Spalte als Linearkombination von r linear unabhängigen Spalten darstellbar ist.
Satz: Für A 2 Rn;m gilt:
a) Die maximale Anzahl von linear unabhängigen Zeilen ist gleich der maximalen
Anzahl von linear unabhängigen Spalten.
b)
0
Rg(A)
minfn; mg
c) Rg(A) = 0 ist nur für die Nullmatrix erfüllt.
12
Inverse Matrizen
1
Definition: Die inverse Matrix (Kehrmatrix, Inverse) A
einer quadratischen
Matrix A ist diejenige Matrix, für die gilt:
A
1
A=A A
1
= I:
Eigenschaften:
(A 1 )
1
= A;
(A B)
(A 1 )T = (AT )
1
1
= B 1 A 1 ; für alle A; B 2 Rn;n ;
kontragrediente Matrix,
Diagonalmatrizen A = diag(a11 ; : : : ; ann ):
A
1
= diag
Berechnung der Inversen für n = 2:
0
1
a b
A; A
A=@
c d
Matrix A heiß
t regulär, falls A
1
1
1 1
;
;:::;
a11 a22
ann
1
=
1
ad
existiert.
bc
0
@
d
c
b
a
1
A
Satz: Eine Matrix A 2 Rn;n ist genau dann regulär, wenn A Vollrang besitzt:
Rg(A) = n.
13