Formelsammlung zu „Investition und Finanzierung“und

Formelsammlung zu „Investition und Finanzierung“und
„Wertpapieranalyse“
Jan Henning
16. Juni 2003
Vorwort
Diese Mitschrift soll beim Lernen helfen, sie basiert jedoch auf meinen persönlichen Aufzeichnungen aus
der Vorlesung (und auf dem Skript) und ist sicherlich weder fehlerfrei noch von Professor Reichling authorisiert. Wer inhaltliche Fehler findet, möge sie mir mitteilen. Gleiches gilt, falls ich irgendein Copyright
verletzen sollte.
i
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
i
Inhaltsverzeichnis
ii
1
Grundlagen
1.1 Diskrete und stetige Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Kapitalwert und Annuität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Methode des Internen Zinsfußes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2
2
Anleihen
2.1 Termin- und Kassazinssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Anleihepreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
5
3
Aktien
3.1 Portfolioselektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Rendite und Risiko einzelner Wertpapiere . . . . . . . . . .
3.1.2 Rendite und Risiko von Wertpapiermischungen (Portfolios)
3.2 CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Performance-Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
7
8
8
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.
4
Optionen
9
5
Finanzierung
5.1 Beteiligungsfinanzierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Leverage-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Bilanzkennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
11
11
11
12
Kapitel 1
Grundlagen
1.1
Diskrete und stetige Rendite
Je nach Anwendung wird zwischen diskret und kontinuierlich berechneter (stetige) Rendite unterschieden:
P1
1 + rd
rd
rs
R¯do
1.2
= P0 (1 + rd )
P1 = P0 · ers
= ers ⇔ rd = ers −1
P1 − P0
=
P0
P1
= ln
= ln P1 − ln P0
P
r 0
PT
= T
−1
(ökonomische Rendite)
P0
Kapitalwert und Annuität
Kapitalwert
KW =
T
X
CFt · DFt
T
X
=
t=0
t=0
CFt
(1 + r)t
Kapitalwertfunktion
KW (r) =
T
X
CFt · DFt (r)
t=0
=
T
X
t=0
1
CFt
(1 + r)t
2
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Annuitätenmethode
Mit den Bezeichnungen AN ≡Annuität und q −t ≡ DFt = (1 + r)−t gilt:
KW
=
t
X
AN · q −t .
t=1
KW
=⇒
AN
KW
=⇒ q ·
AN
= q −1 + q −2 + . . . + q −T
=
1 + q −1 + q −2 + . . . + q −(T −1) .
Die Subtraktion der letzten beiden Gleichungen ergibt:
q·
KW
KW
−
= 1 − q −T .
AN
AN
Löst man diese Gleichung nach dem Kapitalwert KW auf, so erhält man folgende Darstellung:
KW = AN ·
qT − 1
1 − q −T
= AN · T
.
q−1
q ·r
Dabei wird der Faktor
RBF (r, T ) ≡
qT − 1
qT · r
als Rentenbarwertfaktor bezeichnet. Der dazu reziproke Faktor
AF (r, T ) ≡
qT · r
qT − 1
wird als Annuitätenfaktor bezeichnet. Mit seiner Hilfe läßt sich in bequemer Weise die Annuität aus dem
Kapitalwert bestimmen:
qT · r
= KW · AF (r, T ).
AN = KW · T
q −1
1.3
Methode des Internen Zinsfußes
Der Interne Zinsfuß (IZF) einer Investition ist derjenige Zinsfuß r∗ , bei dessen Verwendung als Kapitalisierungszinsfuß der Kapitalwert dieser Investition Null ist:
KW (r∗ ) =
T
X
t=0
CFt
= 0.
(1 + r∗ )t
Die Bestimmung von r∗ ist problematisch, da die Nullstelle des Polynoms KW(r) (es kann bis zu T reelle
oder komplexe Nullstellen aufweisen) im allgemeinen nur iterativ (z.B. mittels der Regula Falsi oder Varianten des Newton-Verfahrens) bestimmt werden kann. In zwei speziellen Fällen kann der Interne Zinsfuß
jedoch recht einfach bestimmt werden:
Ewige Rente: Wird dieser Rentenanspruch zum Preis von A0 erworben, dann muß
KW (r∗ ) =
AN
− A0 = 0
r∗
gelten. Hieraus folgt:
r∗ =
AN
.
A0
3
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Zu pari emittierte Kuponanleihe: Bezeichnet man mit N den Nennwert, mit K den Kupon und mit T
die Laufzeit der Anleihe, so muss
KW (r∗ ) = −N +
K
N
=0
+
∗
AF (r ) (1 + r∗ )T
gelten. Daraus ergibt sich folgender Interner Zinsfuß:
r∗ =
K
.
N
Kapitel 2
Anleihen
2.1
Termin- und Kassazinssätze
Bei gegebener Kassazinsstruktur sind implizit auch Zinssätze für in der Zukunft beginnende Anlagezeiträume festgelegt. Hier spricht man daher von Terminzinssätzen. Entsprechend handelt es sich um Preise für
die Kapitalüberlassung zu einem zukünftigen Zeitpunkt. Notation:
rt (T ) ≡ Kassazinssatz p.a. (spot rate) einer insolvenzrisikofreien Finanzanlage mit Restlaufzeit T zum
Zeitpunkt t; dieser entspricht der Verfallrendite einer Nullkuponanleihe mit Restlaufzeit T
ft (T ) ≡ zum Zeitpunkt t bekannter Terminzinssatz p.a. (forward rate) für eine einperiodige, im Zeitpunkt T beginnende, insolvenzrisikofreie Finanzanlage
zur Vereinfachung:
r(T ) ≡ r0 (T ) und f (T ) ≡ f0 (T )
f (t − 1) =
2.2
(1 + r(t))t
− 1,
(1 + r(t − 1))t−1
t = 1, 2, 3....
Anleihepreise
Bewertungsformeln bei flacher Zinsstruktur
Allgemeiner Fall: KW
=
T
X
t=1
Nullkuponanleihe: KW
Ewige Rente: KW
Rente: KW
K
N
+
t
(1 + r)
(1 + r)T
N
(1 + r)T
K
=
r
(1 + r)T − 1
= K·
(1 + r)T · r
=
4
5
KAPITEL 2. ANLEIHEN
Bewertungsformeln bei nichtflacher Zinsstruktur
Allgemeiner Fall: KW
=
T
X
t=1
Nullkuponanleihe: KW
2.3
=
N
K
+
t
(1 + r(t))
(1 + r(T ))T
N
(1 + r(T ))T
Duration
D
=
T
X
t · KW (Zt )
t=1
KW
1
· D · ∆r
1+r
∆KW
'
−KW ·
Dmod
=
1
·D
1+r
∆KW
'
−KW · Dmod · ∆r ⇒
∆KW
' −Dmod · ∆r
KW
Kapitel 3
Aktien
3.1
Portfolioselektion
In der Portfolioselektion wird die diskrete Berechnung von Renditen vorausgesetzt!
3.1.1
Rendite und Risiko einzelner Wertpapiere
Erwartungswert
E(RA ) ≡ µA ≡
n
X
p(rA,j ) · rA,j .
j=1
Für den Erwartungswert gilt:
E(a) = a;
E(a · RA ) = a · E(RA );
E(a + b · RA ) = a + b · E(RA ).
Varianz
2
V ar(RA ) ≡ σA
≡ E((RA − µA )2 )
2
= E(RA
− 2 · RA · µA + µ2A )
2
= E(RA
− µ2A ).
Es gilt:
V ar(a · RA ) = a2 · V ar(RA ).
Standardabweichung
Std(RA ) ≡ σA =
p
V ar(RA ).
Es gilt:
Std(a · RA ) = |a| · Std(RA ).
6
7
KAPITEL 3. AKTIEN
Kovarianz
Cov(RA , RB ) ≡ σA,B
≡ E((RA − µa ) · (RB − µB ))
= E(RA · RB ) − µA · µB .
Es gilt:
Cov(a · RA , b · RB ) = a · b · Cov(RA , RB ).
Korrelationskoeffizient
Corr(RA , RB ) ≡ ρA,B ≡
Cov(RA , RB )
Std(RA ) · Std(RB )
Für den Korrelationskoeffizienten gilt stets:
−1 ≤ ρA,B ≥ 1.
3.1.2
Rendite und Risiko von Wertpapiermischungen (Portfolios)
Portfoliorendite
Betrachtet wird ein aus den Wertpapieren A und B bestehendes Portfolio mit den wertmäßigen Anteilen
xA bzw. xB mit xA + xB = 1. Falls xA und xB nur nichtnegative Werte annehmen dürfen, dann entspricht
dies einem Leerverkaufsverbot.
Für den Erwartungswert der Portfoliorendite RP gilt:
E(RP )
= E(xA · RA + xB · RB )
= xA · µA + xB · µB
= xA · µA + (1 − xA ) · µB .
Für die Varianz der Portfoliorendite gilt:
V ar(RP )
= E(((xA · RA + xB · RB ) − E(xA · RA + xB · RB ))2 )
= x2A · E((RA − µA )2 ) + x2B · E((RB − µB )2 )
+2 · xA · xB · E((RA − µA ) · (RB − µB ))
|
{z
}
Cov(RA ,RB )
=
=
x2A
x2A
·
·
2
σA
2
σA
+
+
x2B
x2B
2
σB
2
σB
·
·
2
σA
2
σB
− σA · σB ρA,B
2 −2·σ ·σ ·ρ
+ σB
A
B
A,B
+ 2 · xA · xB · Cov(RA , RB ).
+ 2 · xA · xB · σA · σB · ρA,B
Minimum-Varianz-Portfolio (MVP)
VP
xM
A
=
Ein Minimum-Varianz-Portfolio verletzt dann nicht das Leerverkaufsverbot (d.h. es gilt
VP
VP
xM
, xM
≥ 0), falls wegen (3.1)
a
B
2
2
σB
σB
σA
σA
=
bzw.
ρA,B ≤
=
,
σA · σB
σA
σA · σB
σB
also folgende Bedingung für den Korrelationskoeffizienten gilt:
σA σB
ρA,B ≤ min
,
.
σB σA
ρA,B ≤
8
KAPITEL 3. AKTIEN
Marktmodell
RA
mit βA
= E(RA ) + βA (RM − E(RM )) + A
Cov(RA , RM )
=
V ar(RM )
Systematisches und unsystematisches Risiko
Gesamtrisiko
=
V ar(RA )
=
Systematisches
Risiko
(nicht diversifizierbar)
2
βA
· V ar(RM )
mit:
βA =
3.2
+
+
Unsystematisches
Risiko
(diversifizierbar)
V ar(A )
Cov(RM , RA )
.
2
σM
Capital Asset Pricing Model (CAPM)
Die Wertpapierkennlinie
E(Ri ) = rf + (E(RM ) − rf )βi
mit β ≡
Cov(Ri , RM )
σi,M
= 2
V ar(RM )
σM
Die Kapitalmarktlinie
E(RP ) = rf +
3.3
E(RM ) − rf
σP
σM
Performance-Messung
Jensens Alpha
αi
mit rit
und E(Ri ) − rf
= E(Ri ) − rf − βi · (E(RM ) − rf )
= αi + βi · rM t + it
= αi + βi · (E(RM ) − rf )
Treynor-Index
E(Ri ) − rf
≤? ≥ E(RM ) − rf
βi
Sharpe-Index
E(Ri ) − rf
E(RM ) − rf
≤? ≥
σi
σM
Kapitel 4
Optionen
Zur Darstellung der Wertgrenzen wird die folgende Notation verwendet:
S(St ): aktueller Preis (Preis im Zeitpunkt t) des Basisinstruments;
K: Basispreis bzw. Ausübungspreis; er soll sinnvollerweise nichtnegativ sein: K ≥ 0;
T : Restlaufzeit der Option;
C(C e ): aktueller Preis eines Calls mit Basispreis K und Fälligkeit T vom amerikanischen (europäischen)
Typ auf den Basiswert;
P (P e ): aktueller Preis eines Puts mit Basispreis K und Fälligkeit T vom amerikanischen (europäischen) Typ
auf den Basiswert;
Bt (T ): Preis einer Nullkuponanleihe (NKA) mit Fälligkeit Tz im Zeitpunkt t; unter der Annahme einer im
Zeitablauf konstanten, flachen Zinsstrukturkurve mit kontinuierlichem Zinssatz r ≥ 0 besitzt dieser
Preis auch die Darstellung Bt (T ) = e−r(T −t) ; im Fälligkeitszeitpunkt t = T soll dieser Preis dem
Nennwert von 1 EUR entsprechen: BT (T ) = 1; für t < T soll Bt (T ) ≤ 1 gelten
Triviale Wertgrenzen
Ce ≤ C
Pe ≤ P
Ct , Cte
Pt , Pte
Ct
Pt
Ct (T1 )
Ct (K1 )
am Verfalltag:
CT
PT
≤
≤
≥
≥
=
=
>
<
S
K
0
0
max{CTe , ST − K}
max{PTe , K − ST }
Ct (T2 ) und Pt (T1 ) > Pt (T2 ) mit T1 > T2
Ct (K2 ) und Pt (K1 ) > Pt (K2 ) mit K1 > K2
= CTe = max{0, ST − K}
= PTe = max{0, K − ST }
9
10
KAPITEL 4. OPTIONEN
Europäische Wertuntergrenze
Ce
Pe
≥ max{0, S − KB(T )}
≥ max{KB(T ) − S, 0}
Vorzeitige Ausübung
S − K < S − KB(T ) ≤ C e ≤ C
Put-Call-Parität
P e = C e − S + KB(T )
P ≥ C − S + KB(T )
C − S + KB(T ) ≤ P ≤ C − S + K
Kapitel 5
Finanzierung
5.1
Beteiligungsfinanzierung
Der rechnerische Wert des Bezugsrechts bei einer ordentlichen Kapitalerhöhung
B
Ka
Kn
K
a
n
a:n
=
=
=
=
=
=
=
Bezugsrecht
Kurs der alten Aktien = Börsenkurs
Kurs der neuen Aktien = Bezugskurs
Mischkurs
Zahl der alten Aktien
Zahl der neuen Aktien
Bezugsverhältnis
B
= Ka − K
a · · · Ka + n · · · Kn
= Ka −
a+n
B
Nach Umformung dieser Ausgangsgleichung erhält man:
B=
5.2
Ka + Kn
a
n +1
Leverage-Effekt
Eigenkapitalrendite
rE ≡
rG · GK − rF · F K
EK
Eigenkapitalrendite als Funktion des Verschuldungsgrades F K/EK
rE = rG + (rG − rF ) ·
11
FK
EK
12
KAPITEL 5. FINANZIERUNG
Die erwartete Eigenkapitalrendite und die Varianz der Eigenkapitalrendite in Abhängigkeit von dem Verschuldungsgrad
E(rE )
V ar(rE )
5.3
FK
= E(rG ) + (E(rG ) − rF )
EK
2
FK
= V ar(rG ) 1 +
EK
Bilanzkennzahlen
Vertikale Kapitalstrukturregeln
Eigenkapitalquote =
Fremdkapitalquote =
Eigenkapitalkoeffizient =
Verschuldungsgrad =
Eigenkapital
Gesamtkapital
Fremdkapital
Gesamtkapital
Eigenkapital
Fremdkapital
Eigenkapital
Gesamtkapital
Horizontale Kapital- und Vermögensstrukturregeln
Eigenkapital
Anlagevermögen
Eigenkapital + langfr. Fremdkapital
Anlagendeckung B =
Anlagevermögen
Eigenkapital + langfr. Fremdkapital
Anlagendeckung C =
Anlagevermögen + langfr. gebundenes Umlaufvermögen
Working Capital = (kurzfristiges) Umlaufvermögen - (kurzfristiges) Fremdkapital
Anlagendeckung A =
Liquiditätskennzahlen
Liquidität 1. Grades =
Liquidität 2. Grades =
Liquidität 3. Grades =
Zahlungsmittel
kurzfristige Verbindlichkeiten
Zahlungsmittel + kurzfristige Forderungen
kurzfristige Verbindlichkeiten
Umlaufvermögen
kurzfristige Verbindlichkeiten
13
KAPITEL 5. FINANZIERUNG
Kennzahlen zur Finanzlage und Rentabilität
Eigenkapitalrentabilität =
Gesamtkapitalrentabilität =
Umsatzrentabilität =
Return on Investment =
=
Jahresüberschuß/-fehlbetrag
Eigenkapital
Jahresüberschuß/-fehlbetrag + Fremdkapitalzinsen
Gesamtkapital
Jahresüberschuß (vor Steuern)
Umsatz
Umsatzrentabilität · Kapitalumschlag
Gewinn
eingesetztes Kapital
Cash-flow orientierte Kennzahlen
Am häufisten wird die vereinfachte indirekte Methode verwendet!
Direkte Methode:
Cash-flow
Indirekte Methode:
Cash-flow
Vereinfachte Indirekte Methode:
Cash-flow
=
einzahlungswirksamer Ertrag - auszahlungswirksamer Aufwand
=
+
-
Jahresüberschuß
auszahlungslose Aufwendungen
einzahlungslose Erträge
=
+
-
Jahresüberschuß
Abschreibungen
Rückstellungen
Cash-flow je Aktie =
Cash-flow-RoI =
Dynamischer Verschuldungsgrad
=
Cash-flow · Aktiennennbetrag
Gezeichnetes Kapital
Cash-flow
Gesamtkapital
Effektivverschuldung
Cash-flow