Wertpapieranalyse

Formelsammlung zu „Investition und Finanzierung“,
„Wertpapieranalyse“ und „Investments 1: Aktien“
Jan Henning
21. Juli 2003
Vorwort
Diese Mitschrift soll beim Lernen helfen, sie basiert jedoch auf meinen persönlichen Aufzeichnungen aus der Vorlesung (und auf dem Skript) und ist sicherlich weder fehlerfrei noch von Professor
Reichling authorisiert. Wer inhaltliche Fehler findet, möge sie mir mitteilen. Gleiches gilt, falls ich
irgendein Copyright verletzen sollte. Besonderer Dank gilt Timo Moeller, der mir freundlicherweise
seine Mitschrift1 zu Investments zur Verfügung gestellt hat.
1
online verfügbar unter http://www.timo-moeller.de
i
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
i
Inhaltsverzeichnis
ii
1
Grundlagen
1.1 Diskrete und stetige Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Kapitalwert und Annuität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Methode des Internen Zinsfußes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2
2
Anleihen
2.1 Termin- und Kassazinssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Anleihepreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
5
3
Aktien
3.1 Portfolioselektion . . .
3.2 CAPM . . . . . . . . .
3.3 Downside-Risiko . . .
3.4 Performance-Messung
.
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6
6
8
9
10
4
Optionen
12
5
Finanzierung
5.1 Beteiligungsfinanzierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Leverage-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Bilanzkennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
14
15
ii
Kapitel 1
Grundlagen
1.1
Diskrete und stetige Rendite
Je nach Anwendung wird zwischen diskret und kontinuierlich berechneter (stetige) Rendite unterschieden:
P1 = P0 · ers
P1 = P0 (1 + rd )
1 + rd = ers ⇔ rd = ers −1
P1 − P0
rd =
P0
P1
rs = ln
= ln P1 − ln P0
P0
r
PT
o
−1
(ökonomische Rendite)
R̄d = T
P0
1.2
Kapitalwert und Annuität
Kapitalwert
KW =
T
X
CFt · DFt
T
X
=
t=0
t=0
CFt
(1 + r)t
Kapitalwertfunktion
KW (r) =
T
X
CFt · DFt (r)
t=0
=
T
X
t=0
1
CFt
(1 + r)t
2
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Annuitätenmethode
Mit den Bezeichnungen AN ≡Annuität und q −t ≡ DFt = (1 + r)−t gilt:
KW
t
X
=
AN · q −t .
t=1
KW
=⇒
AN
KW
=⇒ q ·
AN
= q −1 + q −2 + . . . + q −T
= 1 + q −1 + q −2 + . . . + q −(T −1) .
Die Subtraktion der letzten beiden Gleichungen ergibt:
q·
KW
KW
−
= 1 − q −T .
AN
AN
Löst man diese Gleichung nach dem Kapitalwert KW auf, so erhält man folgende Darstellung:
KW = AN ·
1 − q −T
qT − 1
= AN · T
.
q−1
q ·r
Dabei wird der Faktor
RBF (r, T ) ≡
qT − 1
qT · r
als Rentenbarwertfaktor bezeichnet. Der dazu reziproke Faktor
AF (r, T ) ≡
qT · r
qT − 1
wird als Annuitätenfaktor bezeichnet. Mit seiner Hilfe läßt sich in bequemer Weise die Annuität aus
dem Kapitalwert bestimmen:
AN = KW ·
1.3
qT · r
= KW · AF (r, T ).
qT − 1
Methode des Internen Zinsfußes
Der Interne Zinsfuß (IZF) einer Investition ist derjenige Zinsfuß r∗ , bei dessen Verwendung als
Kapitalisierungszinsfuß der Kapitalwert dieser Investition Null ist:
∗
KW (r ) =
T
X
t=0
CFt
= 0.
(1 + r∗ )t
Die Bestimmung von r∗ ist problematisch, da die Nullstelle des Polynoms KW(r) (es kann bis zu T
reelle oder komplexe Nullstellen aufweisen) im allgemeinen nur iterativ (z.B. mittels der Regula Falsi
oder Varianten des Newton-Verfahrens) bestimmt werden kann. In zwei speziellen Fällen kann der
Interne Zinsfuß jedoch recht einfach bestimmt werden:
3
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Ewige Rente: Wird dieser Rentenanspruch zum Preis von A0 erworben, dann muß
KW (r∗ ) =
AN
− A0 = 0
r∗
gelten. Hieraus folgt:
r∗ =
AN
.
A0
Zu pari emittierte Kuponanleihe: Bezeichnet man mit N den Nennwert, mit K den Kupon und mit
T die Laufzeit der Anleihe, so muss
KW (r∗ ) = −N +
K
N
+
=0
AF (r∗ ) (1 + r∗ )T
gelten. Daraus ergibt sich folgender Interner Zinsfuß:
r∗ =
K
.
N
Kapitel 2
Anleihen
2.1
Termin- und Kassazinssätze
Bei gegebener Kassazinsstruktur sind implizit auch Zinssätze für in der Zukunft beginnende Anlagezeiträume festgelegt. Hier spricht man daher von Terminzinssätzen. Entsprechend handelt es sich um
Preise für die Kapitalüberlassung zu einem zukünftigen Zeitpunkt. Notation:
rt (T ) ≡ Kassazinssatz p.a. (spot rate) einer insolvenzrisikofreien Finanzanlage mit Restlaufzeit T
zum Zeitpunkt t; dieser entspricht der Verfallrendite einer Nullkuponanleihe mit Restlaufzeit T
ft (T ) ≡ zum Zeitpunkt t bekannter Terminzinssatz p.a. (forward rate) für eine einperiodige, im Zeitpunkt T beginnende, insolvenzrisikofreie Finanzanlage
zur Vereinfachung:
r(T ) ≡ r0 (T ) und f (T ) ≡ f0 (T )
f (t − 1) =
2.2
(1 + r(t))t
− 1,
(1 + r(t − 1))t−1
t = 1, 2, 3....
Anleihepreise
Bewertungsformeln bei flacher Zinsstruktur
Allgemeiner Fall: KW
=
T
X
t=1
Nullkuponanleihe: KW
Ewige Rente: KW
Rente: KW
K
N
+
t
(1 + r)
(1 + r)T
N
(1 + r)T
K
=
r
(1 + r)T − 1
= K·
(1 + r)T · r
=
4
5
KAPITEL 2. ANLEIHEN
Bewertungsformeln bei nichtflacher Zinsstruktur
Allgemeiner Fall: KW
=
T
X
t=1
Nullkuponanleihe: KW
2.3
=
K
N
+
(1 + r(t))t (1 + r(T ))T
N
(1 + r(T ))T
Duration
D =
T
X
t · KW (Zt )
t=1
∆KW
' −KW ·
Dmod =
∆KW
KW
1
· D · ∆r
1+r
1
·D
1+r
' −KW · Dmod · ∆r ⇒
∆KW
' −Dmod · ∆r
KW
Kapitel 3
Aktien
3.1
Portfolioselektion
In der Portfolioselektion wird die diskrete Berechnung von Renditen vorausgesetzt!
Rendite und Risiko einzelner Wertpapiere
Erwartungswert
E(RA ) ≡ µA ≡
n
X
p(rA,j ) · rA,j .
j=1
Für den Erwartungswert gilt:
E(a) = a;
E(a · RA ) = a · E(RA );
E(a + b · RA ) = a + b · E(RA ).
Varianz
2
V ar(RA ) ≡ σA
≡ E((RA − µA )2 )
2
= E(RA
− 2 · RA · µA + µ2A )
2
= E(RA
− µ2A ).
Es gilt:
V ar(a · RA ) = a2 · V ar(RA ).
Standardabweichung
Std(RA ) ≡ σA =
p
V ar(RA ).
Es gilt:
Std(a · RA ) = |a| · Std(RA ).
6
7
KAPITEL 3. AKTIEN
Kovarianz
Cov(RA , RB ) ≡ σA,B ≡ E((RA − µa ) · (RB − µB ))
= E(RA · RB ) − µA · µB .
Es gilt:
Cov(a · RA , b · RB ) = a · b · Cov(RA , RB ).
Korrelationskoeffizient
Corr(RA , RB ) ≡ ρA,B ≡
Cov(RA , RB )
Std(RA ) · Std(RB )
Für den Korrelationskoeffizienten gilt stets:
−1 ≤ ρA,B ≤ 1.
Rendite und Risiko von Wertpapiermischungen (Portfolios)
Portfoliorendite
Betrachtet wird ein aus den Wertpapieren A und B bestehendes Portfolio mit den wertmäßigen Anteilen xA bzw. xB mit xA + xB = 1. Falls xA und xB nur nichtnegative Werte annehmen dürfen, dann
entspricht dies einem Leerverkaufsverbot.
Für den Erwartungswert der Portfoliorendite RP gilt:
E(RP ) = E(xA · RA + xB · RB )
= xA · µA + xB · µB
= xA · µA + (1 − xA ) · µB .
Für die Varianz der Portfoliorendite gilt:
V ar(RP ) = E(((xA · RA + xB · RB ) − E(xA · RA + xB · RB ))2 )
= x2A · E((RA − µA )2 ) + x2B · E((RB − µB )2 )
+2 · xA · xB · E((RA − µA ) · (RB − µB ))
|
{z
}
Cov(RA ,RB )
=
=
x2A
x2A
·
·
2
σA
2
σA
+
+
x2B
x2B
·
·
2
σB
2
σB
+ 2 · xA · xB · Cov(RA , RB ).
+ 2 · xA · xB · σA · σB · ρA,B
8
KAPITEL 3. AKTIEN
Minimum-Varianz-Portfolio (MVP)
VP
xM
A
=
2 −σ ·σ ρ
σB
A
B A,B
2
2
σA + σB − 2 · σA · σB · ρA,B
Ein Minimum-Varianz-Portfolio verletzt dann nicht das Leerverkaufsverbot (d.h. es gilt
≥ 0), falls wegen (3.1)
V P , xM V P
xM
A
B
ρA,B ≤
2
σB
σB
=
σA · σB
σA
bzw.
ρA,B ≤
2
σA
σA
=
,
σA · σB
σB
also folgende Bedingung für den Korrelationskoeffizienten gilt:
σA σB
,
.
ρA,B ≤ min
σB σA
Marktmodell
RA = E(RA ) + βA (RM − E(RM )) + A
Cov(RA , RM )
mit βA =
V ar(RM )
Systematisches und unsystematisches Risiko
Gesamtrisiko
=
V ar(RA )
=
Systematisches
Risiko
(nicht diversifizierbar)
2 · V ar(R )
βA
M
mit:
βA =
3.2
+
+
Unsystematisches
Risiko
(diversifizierbar)
V ar(A )
Cov(RM , RA )
.
2
σM
Capital Asset Pricing Model (CAPM)
Die Wertpapierkennlinie
E(Ri ) = rf + (E(RM ) − rf )βi
mit β ≡
σi,M
Cov(Ri , RM )
= 2
V ar(RM )
σM
Zero-Beta-Version des CAPM
E(Rj ) = E(RZ ) + βj (E(RM ) − E(RZ ))
Die Kapitalmarktlinie
E(RP ) = rf +
E(RM ) − rf
σP
σM
9
KAPITEL 3. AKTIEN
3.3
Downside-Risiko
Stochastische Dominanz
u(x) = a + bx + cx2
E(x2 )
| {z }
E(u(x)) = a + b · E(x) + c ·
var(x)+E 2 (x)
Stochastische Dominanz 1. Ordnung
Gilt für zwei Verteilungsfunktionen F und G
F (R) ≥ G(R) ∀R
so dominiert G die Verteilung stochastisch 1. Ordnung. Die Entscheidung über Investitionsalternativen
nach dieser Regel ist kompatibel mit dem Bernoulli-Prinzip, falls u ∈ {u|u0 (R) > 0}.
Die Verteilung G dominiert die Verteilung F stochastisch erster Ordnung (G SSD F (First (Degree’s) Stochastic Dominance)) genau dann, wenn
ZR0
ZR0
f (x)dx ≥
g(x)dx
−∞
−∞
für alle R gilt und diese Ungleichung für mindestens ein R strikt erfüllt ist.
Schnittpunkt ➪ Stochastische Dominanz 2. Ordnung
Die Verteilung G dominiert die Verteilung F stochastisch zweiter Ordnung (G SSD F (Second Stochastic Dominance)) genau dann, wenn
ZR0
ZR0
F (x)dx ≥
−∞
G(x)dx
−∞
für alle R gilt und diese Ungleichung für mindestens ein R strikt erfüllt ist.
neuerlicher Schnittpunkt ➪ Stochastische Dominanz 3. Ordnung
Die Verteilung G dominiert die Verteilung F stochastisch dritter Ordnung (G SSD F (Third Stochastic
Dominance)) genau dann, wenn
ZR0 Zy
ZR0 Zy
F (x)dxdy ≥
−∞ −∞
G(x)dxdy
−∞ −∞
für alle R gilt und diese Ungleichung für mindestens ein R strikt erfüllt ist.
10
KAPITEL 3. AKTIEN
Klassen von Nutzenfunktionen
U1 ≡
u(R)|u0 (R) > 0 ∀R
U2
„Gier“
≡ u(R)|u0 (R) > 0 ∧ u00 (R) < 0 ∀R
U3
„Risikoaversion“
≡ u(R)|u0 (R) > 0 ∧ u00 (R) < 0 ∧ u000 (R) > 0 ∀R
„Vorsicht“ → abnehmende absolute Risikoaversion
Satz:
1)∀u(R) ∈ U1 :
F F SD G
⇔F G
2)∀u(R) ∈ U2 :
F SSD G
⇔F G
3)∀u(R) ∈ U3 :
F T SD G und E(RF ) ≥ E(RG )
⇔F G
Dabei kennzeichnet „“ Präferenz nach dem Bernoulli-Prinzip.
Lower Partial Moments
Zτ
(τ − x)n dF (x)
LP Mn (τ ) ≡
−∞
n=0
n=1
n=2
Rτ
−∞
Rτ
−∞
Rτ
dF (x)
„Ausfallwahrscheinlichkeit“ (→ Value-at-Risk)
(τ − x)dF (x)
„Ausfallerwartung“
(τ − x)2 dF (x)
„Ausfallvarianz“
−∞
Zτ
LP M (τ ) =
−∞
(τ − x)n dF (x)
| {z }
F (x)dx
(F/S/T )SD → LP M1/2/3 ∀τ
3.4
Performance-Messung
Jensens Alpha
αi = E(Ri ) − rf − βi · (E(RM ) − rf )
mit rit = αi + βi · rM t + it
und E(Ri ) − rf
= αi + βi · (E(RM ) − rf )
11
KAPITEL 3. AKTIEN
Treynor-Index
E(Ri ) − rf
≤? ≥ E(RM ) − rf
βi
Sharpe-Index
E(Ri ) − rf
E(RM ) − rf
≤? ≥
σi
σM
Kapitel 4
Optionen
Zur Darstellung der Wertgrenzen wird die folgende Notation verwendet:
S(St ): aktueller Preis (Preis im Zeitpunkt t) des Basisinstruments;
K: Basispreis bzw. Ausübungspreis; er soll sinnvollerweise nichtnegativ sein: K ≥ 0;
T : Restlaufzeit der Option;
C(C e ): aktueller Preis eines Calls mit Basispreis K und Fälligkeit T vom amerikanischen (europäischen) Typ auf den Basiswert;
P (P e ): aktueller Preis eines Puts mit Basispreis K und Fälligkeit T vom amerikanischen (europäischen) Typ auf den Basiswert;
Bt (T ): Preis einer Nullkuponanleihe (NKA) mit Fälligkeit Tz im Zeitpunkt t; unter der Annahme einer
im Zeitablauf konstanten, flachen Zinsstrukturkurve mit kontinuierlichem Zinssatz r ≥ 0 besitzt
dieser Preis auch die Darstellung Bt (T ) = e−r(T −t) ; im Fälligkeitszeitpunkt t = T soll dieser
Preis dem Nennwert von 1 EUR entsprechen: BT (T ) = 1; für t < T soll Bt (T ) ≤ 1 gelten
Triviale Wertgrenzen
Ce ≤ C ≤ S
Pe ≤ P
Ct , Cte
Pt , Pte
≤ K
≥ 0
≥ 0
Ct = max{CTe , ST − K}
Pt = max{PTe , K − ST }
Ct (T1 ) > Ct (T2 ) und Pt (T1 ) > Pt (T2 ) mit
Ct (K1 ) < Ct (K2 ) und
T1 > T2
Pt (K1 ) > Pt (K2 ) mit K1 > K2
am Verfalltag:
CT
= CTe = max{0, ST − K}
PT
= PTe = max{0, K − ST }
12
13
KAPITEL 4. OPTIONEN
Europäische Wertuntergrenze
C e ≥ max{0, S − KB(T )}
P e ≥ max{KB(T ) − S, 0}
Vorzeitige Ausübung
S − K < S − KB(T ) ≤ C e ≤ C
Put-Call-Parität
P e = C e − S + KB(T )
P ≥ C − S + KB(T )
C − S + KB(T ) ≤ P ≤ C − S + K
Kapitel 5
Finanzierung
5.1
Beteiligungsfinanzierung
Der rechnerische Wert des Bezugsrechts bei einer ordentlichen Kapitalerhöhung
B = Bezugsrecht
Ka = Kurs der alten Aktien = Börsenkurs
Kn = Kurs der neuen Aktien = Bezugskurs
K = Mischkurs
a = Zahl der alten Aktien
n = Zahl der neuen Aktien
a : n = Bezugsverhältnis
B = Ka − K
a · · · Ka + n · · · Kn
B = Ka −
a+n
Nach Umformung dieser Ausgangsgleichung erhält man:
B=
5.2
Ka + Kn
a
n +1
Leverage-Effekt
Eigenkapitalrendite
rE ≡
rG · GK − rF · F K
EK
Eigenkapitalrendite als Funktion des Verschuldungsgrades F K/EK
rE = rG + (rG − rF ) ·
14
FK
EK
15
KAPITEL 5. FINANZIERUNG
Die erwartete Eigenkapitalrendite und die Varianz der Eigenkapitalrendite in Abhängigkeit von dem Verschuldungsgrad
FK
E(rE ) = E(rG ) + (E(rG ) − rF )
EK
FK 2
V ar(rE ) = V ar(rG ) 1 +
EK
5.3
Bilanzkennzahlen
Vertikale Kapitalstrukturregeln
Eigenkapitalquote =
Fremdkapitalquote =
Eigenkapitalkoeffizient =
Verschuldungsgrad =
Eigenkapital
Gesamtkapital
Fremdkapital
Gesamtkapital
Eigenkapital
Fremdkapital
Eigenkapital
Gesamtkapital
Horizontale Kapital- und Vermögensstrukturregeln
Eigenkapital
Anlagevermögen
Eigenkapital + langfr. Fremdkapital
Anlagendeckung B =
Anlagevermögen
Eigenkapital + langfr. Fremdkapital
Anlagendeckung C =
Anlagevermögen + langfr. gebundenes Umlaufvermögen
Working Capital = (kurzfristiges) Umlaufvermögen - (kurzfristiges) Fremdkapital
Anlagendeckung A =
Liquiditätskennzahlen
Liquidität 1. Grades =
Liquidität 2. Grades =
Liquidität 3. Grades =
Zahlungsmittel
kurzfristige Verbindlichkeiten
Zahlungsmittel + kurzfristige Forderungen
kurzfristige Verbindlichkeiten
Umlaufvermögen
kurzfristige Verbindlichkeiten
16
KAPITEL 5. FINANZIERUNG
Kennzahlen zur Finanzlage und Rentabilität
Eigenkapitalrentabilität =
Gesamtkapitalrentabilität =
Umsatzrentabilität =
Return on Investment =
=
Jahresüberschuß/-fehlbetrag
Eigenkapital
Jahresüberschuß/-fehlbetrag + Fremdkapitalzinsen
Gesamtkapital
Jahresüberschuß (vor Steuern)
Umsatz
Umsatzrentabilität · Kapitalumschlag
Gewinn
eingesetztes Kapital
Cash-flow orientierte Kennzahlen
Am häufisten wird die vereinfachte indirekte Methode verwendet!
Direkte Methode:
Cash-flow
Indirekte Methode:
Cash-flow
Vereinfachte Indirekte Methode:
Cash-flow
=
einzahlungswirksamer Ertrag - auszahlungswirksamer Aufwand
=
+
-
Jahresüberschuß
auszahlungslose Aufwendungen
einzahlungslose Erträge
=
+
-
Jahresüberschuß
Abschreibungen
Rückstellungen
Cash-flow je Aktie =
Cash-flow-RoI =
Dynamischer Verschuldungsgrad =
Cash-flow · Aktiennennbetrag
Gezeichnetes Kapital
Cash-flow
Gesamtkapital
Effektivverschuldung
Cash-flow