Formelsammlung zu „Investition und Finanzierung“und „Wertpapieranalyse“ Jan Henning 16. Juni 2003 Vorwort Diese Mitschrift soll beim Lernen helfen, sie basiert jedoch auf meinen persönlichen Aufzeichnungen aus der Vorlesung (und auf dem Skript) und ist sicherlich weder fehlerfrei noch von Professor Reichling authorisiert. Wer inhaltliche Fehler findet, möge sie mir mitteilen. Gleiches gilt, falls ich irgendein Copyright verletzen sollte. i Inhaltsverzeichnis Vorwort i Inhaltsverzeichnis ii 1 Grundlagen 1.1 Diskrete und stetige Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Kapitalwert und Annuität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Methode des Internen Zinsfußes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 2 Anleihen 2.1 Termin- und Kassazinssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Anleihepreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 5 3 Aktien 3.1 Portfolioselektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Rendite und Risiko einzelner Wertpapiere . . . . . . . . . . 3.1.2 Rendite und Risiko von Wertpapiermischungen (Portfolios) 3.2 CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Performance-Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 6 7 8 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Optionen 9 5 Finanzierung 5.1 Beteiligungsfinanzierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Leverage-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Bilanzkennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 11 11 11 12 Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Diskrete und stetige Rendite Je nach Anwendung wird zwischen diskret und kontinuierlich berechneter (stetige) Rendite unterschieden: P1 1 + rd rd rs R¯do 1.2 = P0 (1 + rd ) P1 = P0 · ers = ers ⇔ rd = ers −1 P1 − P0 = P0 P1 = ln = ln P1 − ln P0 P r 0 PT = T −1 (ökonomische Rendite) P0 Kapitalwert und Annuität Kapitalwert KW = T X CFt · DFt T X = t=0 t=0 CFt (1 + r)t Kapitalwertfunktion KW (r) = T X CFt · DFt (r) t=0 = T X t=0 1 CFt (1 + r)t 2 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Annuitätenmethode Mit den Bezeichnungen AN ≡Annuität und q −t ≡ DFt = (1 + r)−t gilt: KW = t X AN · q −t . t=1 KW =⇒ AN KW =⇒ q · AN = q −1 + q −2 + . . . + q −T = 1 + q −1 + q −2 + . . . + q −(T −1) . Die Subtraktion der letzten beiden Gleichungen ergibt: q· KW KW − = 1 − q −T . AN AN Löst man diese Gleichung nach dem Kapitalwert KW auf, so erhält man folgende Darstellung: KW = AN · qT − 1 1 − q −T = AN · T . q−1 q ·r Dabei wird der Faktor RBF (r, T ) ≡ qT − 1 qT · r als Rentenbarwertfaktor bezeichnet. Der dazu reziproke Faktor AF (r, T ) ≡ qT · r qT − 1 wird als Annuitätenfaktor bezeichnet. Mit seiner Hilfe läßt sich in bequemer Weise die Annuität aus dem Kapitalwert bestimmen: qT · r = KW · AF (r, T ). AN = KW · T q −1 1.3 Methode des Internen Zinsfußes Der Interne Zinsfuß (IZF) einer Investition ist derjenige Zinsfuß r∗ , bei dessen Verwendung als Kapitalisierungszinsfuß der Kapitalwert dieser Investition Null ist: KW (r∗ ) = T X t=0 CFt = 0. (1 + r∗ )t Die Bestimmung von r∗ ist problematisch, da die Nullstelle des Polynoms KW(r) (es kann bis zu T reelle oder komplexe Nullstellen aufweisen) im allgemeinen nur iterativ (z.B. mittels der Regula Falsi oder Varianten des Newton-Verfahrens) bestimmt werden kann. In zwei speziellen Fällen kann der Interne Zinsfuß jedoch recht einfach bestimmt werden: Ewige Rente: Wird dieser Rentenanspruch zum Preis von A0 erworben, dann muß KW (r∗ ) = AN − A0 = 0 r∗ gelten. Hieraus folgt: r∗ = AN . A0 3 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Zu pari emittierte Kuponanleihe: Bezeichnet man mit N den Nennwert, mit K den Kupon und mit T die Laufzeit der Anleihe, so muss KW (r∗ ) = −N + K N =0 + ∗ AF (r ) (1 + r∗ )T gelten. Daraus ergibt sich folgender Interner Zinsfuß: r∗ = K . N Kapitel 2 Anleihen 2.1 Termin- und Kassazinssätze Bei gegebener Kassazinsstruktur sind implizit auch Zinssätze für in der Zukunft beginnende Anlagezeiträume festgelegt. Hier spricht man daher von Terminzinssätzen. Entsprechend handelt es sich um Preise für die Kapitalüberlassung zu einem zukünftigen Zeitpunkt. Notation: rt (T ) ≡ Kassazinssatz p.a. (spot rate) einer insolvenzrisikofreien Finanzanlage mit Restlaufzeit T zum Zeitpunkt t; dieser entspricht der Verfallrendite einer Nullkuponanleihe mit Restlaufzeit T ft (T ) ≡ zum Zeitpunkt t bekannter Terminzinssatz p.a. (forward rate) für eine einperiodige, im Zeitpunkt T beginnende, insolvenzrisikofreie Finanzanlage zur Vereinfachung: r(T ) ≡ r0 (T ) und f (T ) ≡ f0 (T ) f (t − 1) = 2.2 (1 + r(t))t − 1, (1 + r(t − 1))t−1 t = 1, 2, 3.... Anleihepreise Bewertungsformeln bei flacher Zinsstruktur Allgemeiner Fall: KW = T X t=1 Nullkuponanleihe: KW Ewige Rente: KW Rente: KW K N + t (1 + r) (1 + r)T N (1 + r)T K = r (1 + r)T − 1 = K· (1 + r)T · r = 4 5 KAPITEL 2. ANLEIHEN Bewertungsformeln bei nichtflacher Zinsstruktur Allgemeiner Fall: KW = T X t=1 Nullkuponanleihe: KW 2.3 = N K + t (1 + r(t)) (1 + r(T ))T N (1 + r(T ))T Duration D = T X t · KW (Zt ) t=1 KW 1 · D · ∆r 1+r ∆KW ' −KW · Dmod = 1 ·D 1+r ∆KW ' −KW · Dmod · ∆r ⇒ ∆KW ' −Dmod · ∆r KW Kapitel 3 Aktien 3.1 Portfolioselektion In der Portfolioselektion wird die diskrete Berechnung von Renditen vorausgesetzt! 3.1.1 Rendite und Risiko einzelner Wertpapiere Erwartungswert E(RA ) ≡ µA ≡ n X p(rA,j ) · rA,j . j=1 Für den Erwartungswert gilt: E(a) = a; E(a · RA ) = a · E(RA ); E(a + b · RA ) = a + b · E(RA ). Varianz 2 V ar(RA ) ≡ σA ≡ E((RA − µA )2 ) 2 = E(RA − 2 · RA · µA + µ2A ) 2 = E(RA − µ2A ). Es gilt: V ar(a · RA ) = a2 · V ar(RA ). Standardabweichung Std(RA ) ≡ σA = p V ar(RA ). Es gilt: Std(a · RA ) = |a| · Std(RA ). 6 7 KAPITEL 3. AKTIEN Kovarianz Cov(RA , RB ) ≡ σA,B ≡ E((RA − µa ) · (RB − µB )) = E(RA · RB ) − µA · µB . Es gilt: Cov(a · RA , b · RB ) = a · b · Cov(RA , RB ). Korrelationskoeffizient Corr(RA , RB ) ≡ ρA,B ≡ Cov(RA , RB ) Std(RA ) · Std(RB ) Für den Korrelationskoeffizienten gilt stets: −1 ≤ ρA,B ≥ 1. 3.1.2 Rendite und Risiko von Wertpapiermischungen (Portfolios) Portfoliorendite Betrachtet wird ein aus den Wertpapieren A und B bestehendes Portfolio mit den wertmäßigen Anteilen xA bzw. xB mit xA + xB = 1. Falls xA und xB nur nichtnegative Werte annehmen dürfen, dann entspricht dies einem Leerverkaufsverbot. Für den Erwartungswert der Portfoliorendite RP gilt: E(RP ) = E(xA · RA + xB · RB ) = xA · µA + xB · µB = xA · µA + (1 − xA ) · µB . Für die Varianz der Portfoliorendite gilt: V ar(RP ) = E(((xA · RA + xB · RB ) − E(xA · RA + xB · RB ))2 ) = x2A · E((RA − µA )2 ) + x2B · E((RB − µB )2 ) +2 · xA · xB · E((RA − µA ) · (RB − µB )) | {z } Cov(RA ,RB ) = = x2A x2A · · 2 σA 2 σA + + x2B x2B 2 σB 2 σB · · 2 σA 2 σB − σA · σB ρA,B 2 −2·σ ·σ ·ρ + σB A B A,B + 2 · xA · xB · Cov(RA , RB ). + 2 · xA · xB · σA · σB · ρA,B Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) VP xM A = Ein Minimum-Varianz-Portfolio verletzt dann nicht das Leerverkaufsverbot (d.h. es gilt VP VP xM , xM ≥ 0), falls wegen (3.1) a B 2 2 σB σB σA σA = bzw. ρA,B ≤ = , σA · σB σA σA · σB σB also folgende Bedingung für den Korrelationskoeffizienten gilt: σA σB ρA,B ≤ min , . σB σA ρA,B ≤ 8 KAPITEL 3. AKTIEN Marktmodell RA mit βA = E(RA ) + βA (RM − E(RM )) + A Cov(RA , RM ) = V ar(RM ) Systematisches und unsystematisches Risiko Gesamtrisiko = V ar(RA ) = Systematisches Risiko (nicht diversifizierbar) 2 βA · V ar(RM ) mit: βA = 3.2 + + Unsystematisches Risiko (diversifizierbar) V ar(A ) Cov(RM , RA ) . 2 σM Capital Asset Pricing Model (CAPM) Die Wertpapierkennlinie E(Ri ) = rf + (E(RM ) − rf )βi mit β ≡ Cov(Ri , RM ) σi,M = 2 V ar(RM ) σM Die Kapitalmarktlinie E(RP ) = rf + 3.3 E(RM ) − rf σP σM Performance-Messung Jensens Alpha αi mit rit und E(Ri ) − rf = E(Ri ) − rf − βi · (E(RM ) − rf ) = αi + βi · rM t + it = αi + βi · (E(RM ) − rf ) Treynor-Index E(Ri ) − rf ≤? ≥ E(RM ) − rf βi Sharpe-Index E(Ri ) − rf E(RM ) − rf ≤? ≥ σi σM Kapitel 4 Optionen Zur Darstellung der Wertgrenzen wird die folgende Notation verwendet: S(St ): aktueller Preis (Preis im Zeitpunkt t) des Basisinstruments; K: Basispreis bzw. Ausübungspreis; er soll sinnvollerweise nichtnegativ sein: K ≥ 0; T : Restlaufzeit der Option; C(C e ): aktueller Preis eines Calls mit Basispreis K und Fälligkeit T vom amerikanischen (europäischen) Typ auf den Basiswert; P (P e ): aktueller Preis eines Puts mit Basispreis K und Fälligkeit T vom amerikanischen (europäischen) Typ auf den Basiswert; Bt (T ): Preis einer Nullkuponanleihe (NKA) mit Fälligkeit Tz im Zeitpunkt t; unter der Annahme einer im Zeitablauf konstanten, flachen Zinsstrukturkurve mit kontinuierlichem Zinssatz r ≥ 0 besitzt dieser Preis auch die Darstellung Bt (T ) = e−r(T −t) ; im Fälligkeitszeitpunkt t = T soll dieser Preis dem Nennwert von 1 EUR entsprechen: BT (T ) = 1; für t < T soll Bt (T ) ≤ 1 gelten Triviale Wertgrenzen Ce ≤ C Pe ≤ P Ct , Cte Pt , Pte Ct Pt Ct (T1 ) Ct (K1 ) am Verfalltag: CT PT ≤ ≤ ≥ ≥ = = > < S K 0 0 max{CTe , ST − K} max{PTe , K − ST } Ct (T2 ) und Pt (T1 ) > Pt (T2 ) mit T1 > T2 Ct (K2 ) und Pt (K1 ) > Pt (K2 ) mit K1 > K2 = CTe = max{0, ST − K} = PTe = max{0, K − ST } 9 10 KAPITEL 4. OPTIONEN Europäische Wertuntergrenze Ce Pe ≥ max{0, S − KB(T )} ≥ max{KB(T ) − S, 0} Vorzeitige Ausübung S − K < S − KB(T ) ≤ C e ≤ C Put-Call-Parität P e = C e − S + KB(T ) P ≥ C − S + KB(T ) C − S + KB(T ) ≤ P ≤ C − S + K Kapitel 5 Finanzierung 5.1 Beteiligungsfinanzierung Der rechnerische Wert des Bezugsrechts bei einer ordentlichen Kapitalerhöhung B Ka Kn K a n a:n = = = = = = = Bezugsrecht Kurs der alten Aktien = Börsenkurs Kurs der neuen Aktien = Bezugskurs Mischkurs Zahl der alten Aktien Zahl der neuen Aktien Bezugsverhältnis B = Ka − K a · · · Ka + n · · · Kn = Ka − a+n B Nach Umformung dieser Ausgangsgleichung erhält man: B= 5.2 Ka + Kn a n +1 Leverage-Effekt Eigenkapitalrendite rE ≡ rG · GK − rF · F K EK Eigenkapitalrendite als Funktion des Verschuldungsgrades F K/EK rE = rG + (rG − rF ) · 11 FK EK 12 KAPITEL 5. FINANZIERUNG Die erwartete Eigenkapitalrendite und die Varianz der Eigenkapitalrendite in Abhängigkeit von dem Verschuldungsgrad E(rE ) V ar(rE ) 5.3 FK = E(rG ) + (E(rG ) − rF ) EK 2 FK = V ar(rG ) 1 + EK Bilanzkennzahlen Vertikale Kapitalstrukturregeln Eigenkapitalquote = Fremdkapitalquote = Eigenkapitalkoeffizient = Verschuldungsgrad = Eigenkapital Gesamtkapital Fremdkapital Gesamtkapital Eigenkapital Fremdkapital Eigenkapital Gesamtkapital Horizontale Kapital- und Vermögensstrukturregeln Eigenkapital Anlagevermögen Eigenkapital + langfr. Fremdkapital Anlagendeckung B = Anlagevermögen Eigenkapital + langfr. Fremdkapital Anlagendeckung C = Anlagevermögen + langfr. gebundenes Umlaufvermögen Working Capital = (kurzfristiges) Umlaufvermögen - (kurzfristiges) Fremdkapital Anlagendeckung A = Liquiditätskennzahlen Liquidität 1. Grades = Liquidität 2. Grades = Liquidität 3. Grades = Zahlungsmittel kurzfristige Verbindlichkeiten Zahlungsmittel + kurzfristige Forderungen kurzfristige Verbindlichkeiten Umlaufvermögen kurzfristige Verbindlichkeiten 13 KAPITEL 5. FINANZIERUNG Kennzahlen zur Finanzlage und Rentabilität Eigenkapitalrentabilität = Gesamtkapitalrentabilität = Umsatzrentabilität = Return on Investment = = Jahresüberschuß/-fehlbetrag Eigenkapital Jahresüberschuß/-fehlbetrag + Fremdkapitalzinsen Gesamtkapital Jahresüberschuß (vor Steuern) Umsatz Umsatzrentabilität · Kapitalumschlag Gewinn eingesetztes Kapital Cash-flow orientierte Kennzahlen Am häufisten wird die vereinfachte indirekte Methode verwendet! Direkte Methode: Cash-flow Indirekte Methode: Cash-flow Vereinfachte Indirekte Methode: Cash-flow = einzahlungswirksamer Ertrag - auszahlungswirksamer Aufwand = + - Jahresüberschuß auszahlungslose Aufwendungen einzahlungslose Erträge = + - Jahresüberschuß Abschreibungen Rückstellungen Cash-flow je Aktie = Cash-flow-RoI = Dynamischer Verschuldungsgrad = Cash-flow · Aktiennennbetrag Gezeichnetes Kapital Cash-flow Gesamtkapital Effektivverschuldung Cash-flow