Reelle Zahlen

Grundwissen Mathematik – 1
9. Klasse
Reelle Zahlen
Quadratwurzel
1
Für a ≥ 0 ist die Quadratwurzel a
diejenige nicht-negative Zahl, deren
Quadrat a ergibt:
Also
( a) = a
2
Beachte:
• Der Radikand a darf nicht negativ
sein
•
a 2 = a für a ∈IR
d
Die Länge der Diagonale im Einheits1 quadrat beträgt 2
1
1,44 = 1,2 , denn 1,22 = 1,44
( 6)
2
=6
−6
(− 6)2
nicht definiert
=
36 = 6 = − 6
a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 =| a − b |
Rechenregeln
Für a, b ≥ 0 gilt:
(1) a ⋅ b = a ⋅ b Produktregel
(2) a : b = a : b Quotientenregel
Achtung:
a + b ≠ a+b
Rationalmachen des Nenners
Damit ist das geschickte Erweitern des
Nenners eines Bruchterms in der Weise
gemeint, dass keine Wurzeln mehr
auftreten.
2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 32 = 64 = 8
81 : 3 = 81 : 3 = 27 = 9 ⋅ 3 = 9 ⋅ 3 = 3 3
9 + 16 = 3 + 4 = 7 ≠ 9 + 16 = 25 = 5
3
3⋅ 7
3
7
=
=
7
7⋅ 7 7
3
3( 7 − 1)
3( 7 − 1) 1
=
=
= ( 7 − 1)
7 −1
2
7 + 1 ( 7 + 1)( 7 − 1)
Reelle Zahlen ú
Die Menge der reellen Zahlen setzt sich
zusammen aus der
Menge der rationalen Zahlen
(Bruchzahlen; endliche oder unendlich
periodische Dezimalbrüche)
und der
Menge der irrationalen Zahlen
(nicht endliche und nicht periodische
Dezimalzahlen)
2
; -7;
9
9; -
3
; 1,46 2 rational
8
7 ; 3+ 2 ; 1,010010001…… irrational
Grundwissen Mathematik – 1
9. Klasse
Reelle Zahlen – Teil 2
n-te Wurzel
Für a ≥ 0 ist n a diejenige nicht negative
Zahl, deren n-te Potenz a ergibt, also
( a)
n
n
=a
n
Statt a schreibt man auch a
a hat also in diesem Fall einen
rationalen Exponenten.
1
n
125 = 5, denn 53 = 125
3
− 125 existiert nicht!
3
,
1
3
125 = 125 3
Weiter gilt:
•
a
−
1
n
=
1
a
•
n
−
1
3
1
=
1
n
a = (a
m
125
125
1
3
=
3
1
1
=
125 5
3
)
1
m n
=a
m⋅
1
n
=a
m
n
6
1
0,093 = 0,09 6 = 0,09 2 = 0,09 = 0,3
Rechenregeln:
(1)
a x ⋅ a y = a x+ y
(1)
(2) a x : a y = a x− y
(3) (a x ) = a x⋅ y
1
3
1
6
1 1
+
3 6
1
3
1
6
1 1
−
3 6
3 ⋅3 = 3
(2)
3 :3 = 3
(3)
(3 )
y
1
4 2
=3
1
2
1
2
4⋅
1
2
3
6
1
2
=3 =3 = 3
1
= 36 = 6 3
= 32 = 9
1
2
1
2
x
(4) a ⋅ b = (a ⋅ b )
(4)
3 ⋅ 7 = (3 ⋅ 7) = 21 = 21
(5) a x : b x = (a : b )
(5)
1 1 1 1
3
  :  =  :  = 2 = 8
 3  6  3 6
x
x
3
x
3
3
Rationalmachen des Nenners
2
Wie bei Quadratwurzeln auch muss der
Nenner so erweitert werden, dass dieser
keine Wurzeln mehr enthält
2
2
2
1
1
73
73
73 1 3 1 3
=
=
=
=
= ⋅ 7 = ⋅ 49
1
1
2
1 2
3
+
7 7
7
7
3
3
3
3 3
7
7 ⋅7
7