Aufgabe 1

MATHE- UND INFORMATIKAUFGABEN
Thure Dührsen
25. September 2012 20:00
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 1
Das reelle Polynom p sei gegeben durch
p = x 5 + 4x 4 + 3x 3 − 4x 2 − 4x
.
(a) Zeige: p hat bei 0 eine Nullstelle.
(b) Finde eine weitere Nullstelle.
Hinweis: Betrachte die Summe der Koeffizienten.
(c) Zerlege das Polynom in irreduzible Faktoren.[1]
Das geht z.B. mit Polynomdivision.
Hinweis: Hier treten ausschließlich Linearfaktoren auf.
[1]
Für reelle Polynome heißt das: Finde Polynome vom Grad 1 oder 2, die miteinander multipliziert p
ergeben.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 2
Seien b, c ∈ Z, und sei f : R → R gegeben durch
f (x ) = x 2 + b x + c
.
f habe eine ganzzahlige Nullstelle s 1 .
Zeige: f besitzt eine weitere ganzzahlige Nullstelle s 2 .
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 3
Die Funktion f : R → R sei gegeben durch
2
2
f (x ) = sin(x ) + cos(x )
.
Zeige: f ist eine Polynomfunktion.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 4
Gegeben sei die Funktion f : D f → R mit
f (x ) =
x2 +x −6
x 2 − 2x
.
(a) Bestimme den maximalen Definitionsbereich D f von f .
Hinweis: Es gibt in R genau zwei Definitionslücken.
(b) Finde eine Zahl a ∈ D f , für die gilt f (a ) = 47 . Wie viele solcher Zahlen gibt es?
(c) Wie viele Nullstellen hat f , und wo liegen sie?
(d) Bestimme den Grenzwert
lim f (x )
x →a
.
Hierbei sei a die größere der beiden Definitionslücken von f .
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 5
(a) Gib die Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt P(3 | −5) verläuft und die
Steigung 2 hat.
(b) Sei a ∈ R.
(1) Gib die Gleichung der Geraden an, die durch die Punkte P1 (3 | −2) und P2 (4 | a )
verläuft. Welche Steigung hat diese Gerade?
(2) Gibt es Werte für a , für die diese Aufgabe unlösbar ist?
(c) (1) Gib die Gleichung der Geraden h an, die parallel zur x -Achse durch den Punkt
P(2 | 4) verläuft.
(2) Gib die Gleichung der Geraden v an, die parallel zur y -Achse durch den Punkt
P(−3 | 4) verläuft.
(3) Schneiden sich die Geraden h und v ? Falls ja, gib den Schnittpunkt an.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 6
Gegeben seien die sechs Funktionen
x
2
f 1 (x ) = x 2 − 3 · x
f 2 (x ) =
f 4 (x ) = −x + 2
f 5 (x ) = 3 · x − 2
+1
f 3 (x ) = −2 · x − 1
f 6 (x ) = −3 · x 2 − 6 · x
Ordne sie den abgebildeteten Graphen zu, und begründe deine Entscheidung.
−3
−3
−2
−2
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−1
1
2
3
−3
−2
−1
1
2
3
−3
−2
−1
−1
−1
−1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
(a)
(b)
(c)
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−1
1
2
3
−3
−2
−1
1
2
3
−3
−2
−1
−1
−1
−1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
(d)
2012-09-25 20:00
(e)
1
2
3
1
2
3
(f )
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 7
Betrachte die sechs Funktionen
f 1 (x ) =
1
1+x2
f 2 (x ) = x + sin(x )
f 3 (x ) = x 2 + 4 · x
f 4 (x ) = |x | − x
f 5 (x ) = sin (x 2 )
f 6 (x ) =
1
5
· sin(12 · x ) + cos(x − 1) + 34 · sin
€x Š
2
Gib zu jeder dieser Funktionen den maximal möglichen Definitionsbereich an. Gib
außerdem den Wertebereich an und entscheide, ob die Funktion beschränkt oder
unbeschränkt ist.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 8
Was ist falsch an der folgenden Rechnung? Kreuze an!
Es ist
sin (45◦ ) =
p
2
2
;
daraus folgt
sin (90◦ ) = sin (45◦ + 45◦ )
= 2 · sin (45◦ )
p
= 2 · 22
p
=
2
.
ƒ Die Voraussetzung stimmt nicht, denn sin (45◦ ) = 12 .
ƒ Die Voraussetzung stimmt nicht, denn sin (45◦ ) = p12 .
ƒ Der Sinus von 2 · a ist nicht gleich dem doppelten Sinus von a .
ƒ Es wurde mit dem Wurzelzeichen falsch umgegangen.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 9
Begründe: Ist f eine reelle Polynomfunktion, deren Grad ungerade ist, so hat f mindestens eine Nullstelle.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
parametric plot Hsin HtL, sinHtL*cosHtLL
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 10
Input interpretation :
Ist hier der Graph einer Funktion abgebildet? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum
sinHtL
nicht?
parametric plot
sinHtL cosHtL
Parametric plot:
0.4
0.2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Ht from 0 to 2 ΠL
-0.2
-0.4
Generated
by Wolfram|Alpha
(www.wolframalpha.com)
onDecember
7, 2011 fromChampaign,
IL.
© WolframAlphaLLC—A Wolfram Research Company
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 11
Ist die Lösungsmenge der folgenden reellen Ungleichungssysteme leer oder nicht leer?
(a) x ¾ −2 und x > −3
(b) 0 < x ¶ 1 und x < −1
(c) 0 < x ¶ 1 und x > −1
(d) 5 − x < 0 und 5 + x > 0
(e) 2 · x > 3 und x < 5
(f) x ¾ −2 und x < −3
(g) 2 · x < 3 und x > 5
(h) 5 − x < 0 und 5 + x < 0
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 12
(a) Betrachte die reelle Folge (a n ), deren Glieder für jedes n ∈ N0 definiert seien durch
13 2
7
3
a n := 56 n − 12
n − 2n 3 − 12
n 4 + 10
n 5 + 61 n 6
.
(1) Zeige, dass die Folge (a n ) nur ganzzahlige Werte annimmt.
(2) Zeige, dass die Folge (a n ) für n ¾ 2 streng monoton wächst.
Anleitung: Zeige a 0 ∈ Z und führe dann eine vollständige Induktion durch: Betrachte |a n − a n −1 |.
(b) Klammere gemeinsame Faktoren aus.
(1) 4c 2 + 12x
(5) 9a 2 − 9 − 3b 2 + 9
(2) 2a b − a 2
(6) 9a 2 − 9 + 3b 2 − 9
(3) 3x 2 − 9x y
(7) 3b − 3 + b 2 − 2b + 1
(4) A 2 + 16y + 32A
(8) 268435456 + 33554432 + 2097152 + 262144
(9) 12x 5 y 5 z + 68x 4 y 5 z 2 + 24x 3 y 6 z − 52x 3 y 5 z
(c) Untersuche das Verhalten der folgenden Ausdrücke. Dabei bedeutet „x → ±∞“,
dass das Verhalten sowohl für x → ∞ als auch für x → −∞ zu untersuchen ist.
(1)
3x 2 − 2
x +1
für x → ∞
(3)
−2x 2 − 2
3x 2 + 2x
(2)
x −1
x2 −2
für x → ±∞
(4)
−2x 2 + 1
x 4 − 2x 2 + 2
für x → ±∞
für x → ±∞
(d) Bestimme die folgenden Grenzwerte.
x 2 − 4x + 4
x →2 3x 2 − 6x
x2 −1
x →1 x 2 − x
(3) lim
x2 −x
x →1 x 2 − 2x + 1
(4) lim x
(1) lim
(2) lim
x →127
(e) Gib zwei reelle Folgen (a n ) und (b n ) an, für die gilt
a n → ∞ für n → ∞
,
lim b n = 0
n→∞
,
lim (a n · b n ) = 17
n →∞
.
Hinweis: Fortgesetztes Halbieren bzw. Verdoppeln.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 13
Gib zu jedem der folgenden reellen Polynome einen Linearfaktor an.
Es ist nicht nötig, die Polynome vollständig zu faktorisieren.
(a) 1 + t + t 2 + t 3
(b) 1 + t + t 2 + t 3 + t 4 + t 5 + t 6 + t 7
(c) 1 + t + t 2 + t 3 + t 4 + t 5 + t 6 + t 7 + t 8 + t 9 + t 10 + t 11 + t 12 + t 13 + t 14 + t 15 + t 16
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 14
Benutze die für alle y ∈ R geltende Gleichung
cos arctan y
=
1
p
y2+1
sowie Aufgabe 3, um zu zeigen:
Satz
Für alle y ∈ R gilt
sin arctan y
2012-09-25 20:00
=
y
p
y2+1
.
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 15
(a) a 3/2 ist
(d) b −1/2 ist
ƒ für alle reellen Zahlen a definiert
ƒ für alle b 6= 0 definiert
ƒ für alle positiven Zahlen a definiert
ƒ für alle b > 0 definiert
ƒ für alle rationalen Zahlen a
ƒ für alle natürlichen Zahlen b
definiert
ƒ dasselbe wie a · a 1/2
a
ƒ dasselbe wie −3/2
a
definiert
b 1/2
1
ƒ dasselbe wie 2
b
(b) c 5/7 ist
ƒ die 7. Potenz der 5. Wurzel aus c
1
ƒ dasselbe wie
(e) d 1/2
−2
ist
1
d2
−1/2
ƒ die 5. Potenz der 7. Wurzel aus c
ƒ dasselbe wie
ƒ die 5. Wurzel der 7. Potenz aus c
1
d
ƒ dasselbe wie d −1/4
ƒ die 7. Wurzel der 5. Potenz aus c
(c) 21/2 − 2−1/2 ist gleich
ƒ 2−1/2
ƒ 21/2
1
ƒ 1/2
2
1
ƒ −1/2
2
2012-09-25 20:00
ƒ dasselbe wie
(f ) x 1/2 − 1 · x 1/2 + 1 ist gleich
ƒ x − 2 · x 1/2 − 1
ƒ x −1
ƒ (x 2 − 1)1/2
ƒ (x − 1)1/2 · (x + 1)1/2
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 16
Seien a ,b, c , x , y ∈ R¾0 . Sei t ∈ R.
Forme die folgenden Ausdrücke so um, dass keine Wurzeln mehr auftreten, und vereinfache dann so weit wie möglich. Achte auf den Definitionsbereich!
(a)
p
x
Ç
(j)
p
(b) x x
(c)
Æp
p
x 2 · x 1/5 · x 5 · x
(k)
p p
x· x
(l)
(d) x 2 ·
p p
x· x
Æp
p
(e)
x· x
x3
(f) p
x
(h)
x
p
x
(m)
(n)
(o)
x
(g) p
x3
1
x2
Æp
y 5 ·x ·
p
y 1/5 · x 2
Æp
p
x 2 · x 1/5 · x 5 · x
Æp
p
y 5 · x · y 1/5 · x 2
€p
p Š3
a+ b
p
‹
p
p 2
a− b+ c
(p)
p
t2
(q)
p
t8
(r)
€p
p Š €p
p Š
a− b · a+ b
2
p
x
(i) 2
x
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 17
Welche der angegebenen reellen Folgen sind konvergent (d. h. besitzen einen Grenzwert
für n → ∞), welche sind divergent?
Gib im Falle der Konvergenz den Grenzwert an.
an =
(−1)n · (n + 1)
n +2
bn =
(−1)n
n2 + n
cn =
n2 + 2
7n − 3
dn =
2n + 1
3n − 2
n +1
en =
|2n − 7|
2012-09-25 20:00
fn =
2n 3 + 1
3n 2 + 6n − 2
gn =
6n 2 + 3n − 1
(n + 4)2
hn =
n 3/4 + 1
n 1/2 + 2
1
in = 1+
1+
1
1+n
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 18
Gib zu jeder der folgenden Zahlen ein normiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten an, das sie als Nullstelle hat.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
p
7
p
8
p
3
10
p
p
4+ 3
Æ
p
p
5+ 6+ 7
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 19
Zur Geburt ihrer Tochter möchte Familie Sparsam 20 000 EUR anlegen, die die Tochter
am 18. Geburtstag ausgezahlt bekommt. Die Bank macht ihnen zwei Angebote. Bei
beiden werden die Zinsen jährlich dem Kapital gutgeschrieben.
Angebot 1.
Das Kapital wird mit 4,5% jährlich verzinst.
Angebot 2.
Das Kapital wird
• die ersten drei Jahre mit 2,5%,
• die nächsten sechs Jahre mit 4%,
• die Restlaufzeit mit 6,5% verzinst.
(a) Welches Angebot führt zu höherem Endkapital?
(b) Wie lange muss man beim ersten Angebot sparen, um 100 000 EUR Endkapital zu
haben?
(c) Zu welchem konstanten Zinssatz ist das Kapital anzulegen, um auf dasselbe Endkapital wie im Angebot 2 zu kommen?
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 20
(a) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen für x ∈ R.
(1) x −2 = 81x −6
(2) 10x − 3x −4 = 2x −4
(b) Bestimme diejenige Exponentialfunktion der Form f : x 7→ k · a x (mit x ∈ R,
k ∈ R \ {0} und a ∈ R>0 ), deren Graph durch die Punkte P1 (8 | 486), P2 (12 | 4374) und
P3 (−2 | 2) verläuft.
(c) Vereinfache mit Hilfe der Rechenregeln für Logarithmen den Ausdruck
Š
€ Š
€ Š
€p
3
7 + log3 9−7
log5 1 + log7
.
(d) Sei a ∈ R \ {0}. Begründe, weshalb loga (0) nicht existiert.
(e) Bestimme die Grenzwerte für x → ∞ und für x → −∞.
1
(1) f (x ) = 4 − 6
x
(2) f (x ) = 3x +4
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 21
€
Š
(a) Der Graph G f der Funktion f : R → R, x 7→ 12 · sin x − 54π , wird wie folgt verändert:
G f wird um
5
4
3π
4
nach links und um 72 nach unten verschoben, die Amplitude wird um
erhöht, die Periode beträgt
5π
.
4
Gib die Funktionsgleichung der aus f entstandenen Funktion g an.
(b) Löse die folgende Gleichung in der Grundmenge [0, 2π[ .
4 · cos ϕ
2012-09-25 20:00
2
+ 8 · sin ϕ + 1 = 0
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3.
4.
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Wie dick ist die Wand einer (kugelförmigen !) Seifenblase, die aus einem
8 mm dicken kugelförmigen Tropfen entstanden ist und einen Durchmesser von
40 mm hat 22
?
Aufgabe
In einem Parallelogramm ABCD ist AB = 5cm, BC = 3cm und ! CBA = 125°.
Um
die Höhe
einesmit
Turms
zu bestimmen,
man von
einem 9 m
Berechne
jeweils
allgemeinem
Ansatzmisst
die beiden
Diagonalen
! über der ge-
5.
meinsamen Grundebene gelegenen Standpunkt aus die Winkel α und β bezüglich der
Um die Höhe
eines
bestimmen,
misst man von einem 9 m über der
Horizontalen
zum
FußTurmes
bzw. zurzu
Spitze
des Turms.
gemeinsamen Grundebene gelegenen Standpunkt aus, die Winkel α und β
◦ und
bezüglich
Fuß
Wie hoch istder
der Horizontalen
Turm bei α = 7zum
β =bzw.
21◦ ? zur Spitze des Turmes (siehe Skizze).
Wie hoch ist der Turm bei α = 7° und β = 21° ?
Wie
istist
er er
vom
Haus
entfernt?
Wieweit
weit
vom
Haus
entfernt ?
GM_A0019 **** Lösungen 3 Seiten
2012-09-25 20:00
www.mathe-physik-aufgaben.de
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adius 12 m
ünf Straßen
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Radfahrer
Aufgabe 23
end bei E
(a) Die Teppichfirma Wohngut soll für einen ringförmigen Teppich ein Kostenangebot
abgeben. Die einzige bekannte Länge ist die einer Tangente PQ = 10 m an den
inneren Kreis. Pro Quadratmeter berechnet die Teppichfirma 22,50 EUR.
Berechne die Kosten des Teppichs!
l für einen ringförmigen
bgeben. Die einzige
angente PQ  10 m
die Teppichfirma 22,50 EUR.
pichs !
2 als der Erdumfang ist, wird längs des Äquators um
(b) Ein Seil, das einen Meter
länger
olgenden Funktion:
f  x   x 3  5x
 13x  7 .
die Erde gelegt. Wir nehmen an, dass das Seil gestrafft wird und dass danach jeder
nktionsverlauf des
von
PunktGraphen
des Seils gleich
weitf.
vom Äquator entfernt ist.
Wie weit steht das Seil nun ab? Kann eine Maus das Seil unterqueren?
 12  2 mit G   .
x
ionsbereich an, zeichne den Graphen in ein
x  3  und gib die Wertemenge an !
on f(x) !
ten zeigt der Graph ? Begründe deine Meinung.
unktion f auf R  umkehren kann. Wie lautet die
ktion ? Nicht vergessen: Definitions- und Wertemenge
bei 37°C alle 30 Minuten. In einer Eierspeise befinden
nellen.
die Eierspeise um 12.00 Uhr ?
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
n Definitionsbereich
folgender
Funktionen. Skizziere den
Aufgabe
24
mengen W f und Wg an.
()
− xdie schraffierte Fläche in der Abbildung genau 4 FlächeneinheiFür welches x ∈ R>0 ist
tenb)
groß?g(x)
= 2
3
nde Figur:
schraffierte Fläche
heiten groß ?
men des ausgehöhlten
x=2!
4)
www.mathe-physik-aufgaben.de
2012-09-25 20:00
Seite 24 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 25
(a) Zeichne auf Kopierpapier[2] ein rechtwinkliges Dreieck mit tan(β ) = 0,4, das den
rechten Winkel bei γ hat. Erläutere, wie du vorgegangen bist. Die einzigen erlaubten
Hilfsmittel sind ein Zirkel und ein unmarkiertes Lineal.
(b) Sei I := [−10, −10] .[3]
Stelle die Menge
M := {(a ,b ) | a ∈ I , b ∈ I , |a | = |b |}
grafisch dar.
[2]
also komplett weißem Papier ohne Linien, ohne Karos
[3]
Hier hat sich ein Tippfehler eingeschlichen, der aber auf die Lösbarkeit der Aufgabe keine Auswirkungen hat. Eigentlich sollte hier das Intervall [−10, 10] stehen. Die Darstellung für dieses Intervall lässt
sich jedoch ohne Schwierigkeiten in die Darstellung für das Intervall [−10, −10] einarbeiten.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 26
Gib für die Funktion
f : [0, 3] → R , x 7→ (x − 1)2 − 1
den kleinsten und den größten Funktionswert an.
In welchen Teilintervallen des Definitionsbereichs ist f monoton wachsend bzw.
monoton fallend?
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 27
Bestimme die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen. Die Grundmenge ist R.
(a) 3 · |x | = x + 4
(n) |2 − x | = 12 x + 72
(b) 3 · |x | = −x − 4
(o) |2x + 1| = x + 5
(c) 4 · |x | = 2 · (x + 3)
(p) |2x − 1| = x − 2
(d) 2 · (|x | − 1) = 1 − x
(q) |2x + 3| = 3x + 5
(e) 2 · (|x | − 1) = x − 5
(r) 2x + 3 = |3x + 5|
(f) |x | − x = 0
(s) |sin(x )| = 1
(g) |x | − x = 6
(t) |sin(x )| = 0
(h) 2 · (|x | + x ) = 2 · (|x | + 2)
(u) |cos(x )| = 1
(i) |x | · (x + 1) = x · (2 + |x |) + 3
(v) |cos(x )| = 0
(j) |x − 2| = 2x − 1
(w) |sin(x )| = |cos(x )|
(k) |2 − x | = 2x − 1
(x) |tan(x )| = 1
(y) exp(x ) = 0
(z) exp(x ) = 1
(l) |x − 2| = −2x + 1
(m) |x + 2| = 12 x + 72
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 28
(a) Mit max(a ,b ) bezeichnen wir die größere zweier reeller Zahlen a und b ,
mit min(a ,b ) die kleinere.
Zeige: Für alle a ,b ∈ R gelten
max(a ,b ) =
a + b + |a − b |
2
min(a ,b ) =
a + b − |a − b |
2
und
.
Hinweis: Unterscheide die Fälle a < b , a = b und a > b .
(b) Zeige: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen a und b
liegen unendlich viele weitere rationale Zahlen.
Anleitung: Konstruiere zunächst eine weitere rationale Zahl.
(c) Löse die folgenden Ungleichungen über R. Achte auf den Definitionsbereich!
(1)
x +4
< 3
2x
(2)
x 2 − 3x + 4
¶ 1
x +1
(3) 3 < |x + 4| < 7
(d) Seien a ,b ∈ R>0 . Es gelte a < b .
(1) Zeige, dass dann a 2 < b 2 ist.
Hinweis: Binomische Formel.
(2) Zeige, dass dann a −1 > b −1 > 0 ist.
Hinweis: Zum Beweis der ersten Ungleichung genügt es offenbar zu zeigen: a −1 − b −1 > 0.
(e) Das arithmetische Mittel zweier reller Zahlen a und b ist definiert als (a + b )/2.
Das geometrische Mittel ist hingegen nur für positive reelle Zahlen a und b
p
definiert, und zwar als a · b .[4]
Zeige die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, kurz
AGM-Ungleichung: Für alle a ,b ∈ R>0 gilt
a +b
2
Anleitung: Nimm an, dass (a + b )/2 <
[4]
¾
p
a ·b
.
p
a · b ist und führe dies zum Widerspruch.
Strenggenommen könnte
man espnatürlich auch für nichtnegative a und b definieren; jedoch wäre
p
dann beispielsweise 16 · 0 = 0 = 4 281 759 · 0, und das geometrische Mittel verlöre an Aussagekraft. –
Anwendung findet das geometrische Mittel zum Beispiel bei der Berechnung des durchschnittlichen
Zinssatzes, wenn ein Kapital im Laufe der Zeit wechselnden Zinssätzen unterworfen ist, wie etwa in
Aufgabe 19(c).
2012-09-25 20:00
Seite 28 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
(f) Sei x ∈ R>0 . Zeige, dass dann x + x −1 ¾ 2 ist.
Anleitung: Nimm an, dass x + x −1 < 2 ist und führe dies zum Widerspruch.
(g) Zeige die Dreiecksungleichung: Für alle a ,b ∈ R gilt
|a + b | ¶ |a | + |b |
.
Hinweis: Überzeuge dich davon, dass man gefahrlos beide Seiten quadrieren kann.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 29
(a) Auf einem Tisch stehen drei Kästen, von denen einer zwei weiße, ein weiterer zwei
rote und ein dritter eine weiße und eine rote Kugel enthält. An jedem Kasten hängt
ein Schild, eines trägt die Aufschrift „WW“, ein weiteres die Aufschrift „WR“ und ein
drittes ist mit „RR“ bezeichnet, um den vermeintlichen Inhalt anzugeben. Allerdings
wurden diese Schilder so vertauscht, dass nun jeder Kasten falsch beschriftet ist.
Um den wahren Inhalt der Kästen zu bestimmen, ist es erlaubt, nacheinander jeweils
eine Kugel aus einem der Kästen herauszunehmen, ohne dabei in diesen hineinzuschauen. Wie viele Kugeln muss man auf diese Weise mindestens herausgreifen,
um den Inhalt aller drei Kästen zu bestimmen?
(b) „Meiers werden uns heute Abend besuchen“, kündigt Frau Krause an. – „Die ganze
Familie, also Herr und Frau Meier mit ihren drei Kindern Franziska, Kathrin und
Walter?“ fragt Herr Krause bestürzt. Darauf Frau Krause: „Nun, ich will es dir so
erklären:
(1) Wenn Herr Meier kommt, dann bringt er auch seine Frau mit.
(2) Mindestens eines der beiden Kinder Walter und Kathrin kommt.
(3) Entweder kommt Frau Meier oder Franziska, aber nicht beide.
(4) Entweder kommen Franziska und Kathrin oder beide nicht.
(5) Und wenn Walter kommt, dann auch Kathrin und Herr Meier.
So, nun weißt du, wer uns heute Abend besuchen wird.“
Wer kommt, und wer kommt nicht?
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 30
Definition. Sei (a n ) eine reelle Folge.
Wir definieren die Partialsummenfolge (s n ) von (a n ) rekursiv durch
s 1 := a 1
,
s n +1 := s n + a n +1 ,
n ∈N .
Das heißt, es gilt
s1 = a 1
s2 = a 1 + a 2
s3 = a 1 + a 2 + a 3
s4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4
s5 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5
und so weiter.
Gegeben seien die durch
a n := 2−n
,
n ∈ N0
sowie
b n :=
1
n
,
n ∈N ,
definierten Folgen.
Weiter sei (s n ) die Partialsummenfolge von (a n ), und (t n ) sei die Partialsummenfolge
von (b n ).
Zeige:
(a) (a n ) und (b n ) sind Nullfolgen.
(b) (s n ) ist konvergent mit Grenzwert 2.
(c) (t n ) ist divergent.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 31
Wir betrachten die beiden Mengen
4Z := {4z | z ∈ Z} = {. . . , − 12, − 8, − 4, 0, 4, 8, 12, . . .}
und
7Z := {7z | z ∈ Z} = {. . . , − 21, − 14, − 7, 0, 7, 14, 21, . . .}
.
(a) Finde ein a ∈ 4Z und ein b ∈ 7Z so, dass a + b = 131 gilt.
(b) Finde ein a ∈ 4Z und ein b ∈ 7Z so, dass a + b = 1 gilt.
(c) Gibt es für beliebiges z ∈ Z zwei Zahlen a ∈ 4Z und b ∈ 7Z mit a + b = z ?
Hinweis: Teilaufgabe b.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 32
(a) Zeige: Der Grenzwert einer konvergenten reellen Folge ist eindeutig bestimmt.
(b) Zeige: Eine konvergente reelle Folge ist beschränkt.
(c) Seien (a n ) und (b n ) zwei konvergente reelle Folgen mit Grenzwerten a := lim a n
n→∞
bzw. b := lim b n . Ferner sei c ∈ R.
n →∞
(1) Zeige: Die Folge (a n + b n ) konvergiert gegen a + b .
(2) Zeige: Die Folge (c · b n ) konvergiert gegen c · b .
(d) Seien (x n ) eine beschränkte Folge und (y n ) eine Nullfolge in R.
Zeige, dass dann (x n · y n ) eine Nullfolge ist.
Bemerkung.
Dies kann benutzt werden, um die Produktregel für Grenzwerte zu zei-
gen:
Satz
Seien (a n ) und (b n ) zwei konvergente reelle Folgen mit den Grenzwerten
a := lim a n bzw. b := lim b n .
n →∞
n→∞
Dann gilt: Die Folge (a n · b n ) konvergiert gegen a · b .
Wegen a n → a ist (a n − a )n ∈N nach Teil (c1) eine Nullfolge, und wegen
b n → b ist (b n ) nach Teil (b) beschränkt. Aufgrund von Teil (d) ist (a n − a ) · b n n ∈N
deshalb eine Nullfolge. Da ebenso a · (b n − b ) n∈N eine Nullfolge ist, schließen wir
Beweis
mit den Teilen (c1) und (c2), dass
a n · bn − a · b
n→∞
= (a n − a ) · b n + a · (b n − b ) −−−−−−→ 0
a n →a , b n →b
gilt. Also ist die Folge (a n · b n ) konvergent und besitzt wegen Teil (c1) den Grenzwert
a ·b.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 33
(a) Stelle zu folgendem Befehlssatz den zugehörigen Term auf.
Es ist nicht nötig, den Term auch zu berechnen.
Subtrahiere die Summe aus der Differenz aus 7568 und 355 und der Zahl 134 vom
dreifachen Wert der Zahl 437!
(b) Zeige: Eine natürliche Zahl, deren letzte Ziffer 7 ist, kann keine Quadratzahl sein.
(c) Finde zwei natürliche Zahlen a und b so, dass a 2 + b 2 = 169 gilt.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 34
Ein Liter-Glas ist voll Limo, ein anderes voll Cola. Man gibt einen Löffel Limo in das
Colaglas, rührt um und gibt einen Löffel zurück aus der Mischung in das Limoglas.
Ist nun mehr Limo in der Cola oder mehr Cola in der Limo?
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 35
Schnapsmann und Bierling haben sich zusammengetan und ein Fässchen Bier erworben. Der Wirt vom Alten Simpl ist nämlich zur Kur auf die Bahamas gefahren und das
Gasthaus Zur Einkehr ist vor einiger Zeit geschlossen worden, weil sich der Laden nicht
rentiert hatte.
Schnapsmann und Bierling gedenken ein rentables Geschäft zu machen, weil eine
Gruppe von Lehrlingen eine Fahrradrallye organisiert hat, die im Laufe des Nachmittags
auf dem Dorfplatz zu Ende gehen soll. Die jungen Leute werden Durst haben, denken
sie. Und da lässt sich ein kühles Bier vom Fass gut verkaufen.
Es ist zehn Uhr morgens; das Fass ist gut gekühlt und Bierling hat Durst. Schnapsmann
allerdings verweist auf die getroffene Vereinbarung, nach der die beiden keinen Schluck
aus dem Fässchen nehmen wollten. Doch Bierling hat eine Idee: Er gibt Schnapsmann
ein Fünfmarkstück und lässt sich eine Maß volllaufen. Das ist schließlich ein stolzer
Preis, der nicht einmal auf der Münchner Wiesn verlangt wird[5] . Und das will schon
etwas heißen.
Als sich Bierling genüsslich labt, merkt Schnapsmann, dass er auch Durst hat. Er gibt
Bierling das Fünfmarkstück und schenkt sich ebenfalls eine Maß ein.
Als Bierling seinen Krug geleert hat, gibt er Schnapsmann den Fünfer und schenkt sich
den nächsten Krug voll. Schnapsmann, seinerseits auch nicht gerade trinkfaul, gibt bald
darauf den Fünfer an Bierling zurück und genehmigt sich eine zweite Maß.
Etwa um vier Uhr nachmittags treffen die ersten Rallyeteilnehmer ein. Das Fässchen,
das immerhin 16 Liter enthielt, ist leer; Bierling und Schnapsmann liegen besoffen
daneben und schlafen ihre Räusche aus.
Am nächsten Morgen haben beide erstens einen schweren Kopf, zweitens ein schlechtes
Gewissen und drittens besitzt Bierling ein Fünfmarkstück. Statt sich ggenseitig Vorwürfe
zu machen, trösten sich die beiden damit, dass sie die ganze Zechtour fast geschenkt
bekommen haben – sie hat ja nur 5 DM gekostet.
Oder etwa nicht?
[5]
Die Aufgabe stammt aus dem Jahr 1979.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 36
Garmisch-Partenkirchen und Freising liegen genau 100 km voneinander entfernt.
Schnapsmann hat gerade bei seinem Freund Bierling das Telefon klingeln lassen. Das
ist das vereinbarte Signal: Sie schwingen sich beide auf ihre Fahrräder und radeln los.
Jeder hält sich genau an die vereinbarte Geschwindigkeit: 25 Kilometer pro Stunde. Mit
diesem Tempo strampeln sie aufeinander zu.
Was die beiden nicht wissen: Eine der bekannten Almfliegen ist zugleich mit Schnapsmann gestartet und fliegt schnurstracks auf Bierling zu. Wie jeder weiß, fliegen oberbayrische Almfliegen stets mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit von 50 Kilometern
pro Stunde. Kaum hat besagte Almfliege Bierling erreicht, als sie schon wieder geradewegs auf Schnapsmann zufliegt. Dort wiederum wendet sie und fliegt zu Bierling, dann
wieder zurück zu Schnapsmann und so weiter.
Weder Bierling noch Schnapsmann interessieren sich auch nur im Geringsten für die
Flugleistung der Almfliege. Professor Schlauckopf ist da anders. Er möchte genau wissen,
welche Strecke die Fliege zurückgelegt hat, wenn sich die beiden treffen.
2012-09-25 20:00
Seite 37 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 37
(a) Professor Schlauckopf schiebt einen Zettel mit einer Gleichung zu Dr. Schlitzor
hinüber.
Ç
x+
q
Æ
p
p
x + x + x + x + ···
= 2
„Doktor“, sagt er, „wie groß ist x ?“
Doktor Theobald Schlitzor ist kein ausgeprägter Mathematiker. Doch dieses Problem löst er schon in wenigen Minuten.
(b) „Lieber Professor“, sagt Dr. Schlitzor, „ich habe ein hübsches Problem für Sie:
a ·b
= 1 000 000
Die einzige Bedingung ist, dass weder a noch b eine Null enthalten dürfen. Und
natürlich sollen es ganze Zahlen sein.“
Ist diese Aufgabe lösbar?
(c) Wieder einmal ist es soweit. Die Tagesarbeit ist vorbei, Professor Schlauckopf sitzt
mit Dr. Schlitzor behaglich am Kamin. Sie schlürfen genüsslich einen Cognac und
lassen den Abend auf sich wirken.
„Ach, das fällt mir noch was ein“, sagt Dr. Schlitzor. „Ich habe da neulich ein hübsches Problem für Sie aufgegabelt.“
Er schreibt etwas auf einen Zettel und gibt ihn dem Professor. Der liest:
(x − a ) · (x − b ) · (x − c ) · . . . · (x − z )
„Was kommt heraus, wenn man diese rellen Zahlen miteinander multipliziert?“
Professor Schlauckopf denkt über das Problem nur ein paar Sekunden nach. Dann
hat er die Antwort.
2012-09-25 20:00
Seite 38 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 38
(a) Die allgemeinen Geschäftsbedingungen, die im Kassenraum der kürzlich eröffneten Seilbahn auf den Nanga Parbat hängen, sehen vor, dass Gepäckstücke, die
von den Touristen mitgeführt werden, eine Kantenlänge von einem Meter nicht
überschreiten dürfen.
Baldur Kroesus hat im Eibsee bei Garmisch-Partenkirchen mehrfach Hechte geangelt und ist nicht davon abzubringen, dass auch auf dem Nanga Parbat klare Bergseen zu finden sein müssten, in denen sich das Fischen lohnt. Doch mit seiner
1,70 m langen Angelrute wird er am Kassenschalter barsch zurückgewiesen.
Was tut Baldur Kroesus, damit er seine Angelrute doch auf den Berg mitnehmen
kann? Die Rute ist nicht zerlegbar und soll vor allem nicht beschädigt werden. Sie
ist schließlich ein Geschenk von Bellinda Erbschleych.
(b) Kurz nach dem Geflügelkauf erwarb Baldur Kroesus auch noch Kaninchen. Nun hat
er eine größere Zahl von Tieren ausgewählt, um sie auf einer landwirtschaftlichen
Ausstellung zu zeigen. Auf dem Lastwagen stehen bereits mehrere Käfige mit Tauben
und Kaninchen. Insgesamt sind es 35 Köpfe und 94 Füße.
Wie viele Tauben und wie viele Kaninchen gedenkt Baldur Kroesus auszustellen?
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 39
(a) Zeige: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Hinweis: Widerspruchsbeweis. Nimm an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen p 1 , . . . , p m und betrachte q := p 1 · . . . · p m + 1.
(b) Zeige: Der Abstand zwischen zwei benachbarten Primzahlen wird beliebig groß.
Das heißt: Für jede natürliche Zahl n > 3 gibt es eine natürliche Zahl N so, dass
keine der Zahlen N + 2, N + 3, . . . , N + n prim ist.
Hinweis: Fakultät.
2012-09-25 20:00
Seite 40 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 40
Definition. Sei (a n ) eine reelle Folge.
Wir nennen (a n ) eine arithmetische Folge, wenn die Differenz zweier aufeinander
folgender Glieder konstant ist, d. h. falls eine reelle Zahl d existiert mit
a k +1 − a k
= d
,
k ∈N .
Beispielsweise ist jede konstante reelle Folge eine arithmetische Folge, denn die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder ist stets gleich Null. Auch die durch
n 7→ 4n − 9 für n ∈ N gegebene Folge ist eine arithmetische Folge, denn die Differenz
zweier aufeinander folgender Glieder ist stets gleich 4. (Rechne das nach!)
Es seien zwei arithmetische Folgen (a n ) und (b n ) gegeben. Außerdem sei k ∈ R.
Zeige: Die Summenfolge (a n + k · b n ) ist ebenfalls eine arithmetische Folge.
2012-09-25 20:00
Seite 41 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 41
Alex und Bea sollen die Gleichung (x − 2) · (x + 1,5) = 0 lösen.
Alex meint: „Ich löse zuerst die Klammern auf, dann löse ich die quadratische Gleichung.“
Bea sagt: „Eine Lösung ist 2, und die andere sehe ich auch sofort.“
Schreibe deinen Lösungsweg auf.
2012-09-25 20:00
Seite 42 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 42
Warum darf man eigentlich nicht durch Null teilen?
2012-09-25 20:00
Seite 43 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 43
(a) Tünnes trifft Schäl bei einer eigenartigen Arbeit: Er locht mit einem Locher buntes
Papier. Was er denn da mache, wollte Tünnes wissen. Konfetti für Karneval, sagte
Schäl. Aber das sei doch wohl eine recht mühsame Sache, meinte Tünnes. Nein,
nein, widersprach Schäl, er falte ja das Papier dreimal und habe so die dreifache
Menge. Das leuchtete Tünnes ein, aber nach kurzem Überlegen sagte er, Schäl
müsse sogar die sechsfache Menge erhalten. Wer von den beiden hat Recht?
(b) Professor Quast hat eine kostbare alte Standuhr, leider ist sie schon vor längerem
stehen geblieben. Quast würde sie gerne in Betrieb nehmen. Der Professor geht zum
Nachbarn, fragt nach der Zeit, kommt zurück und stellt die Uhr genau ein. Wie hat
er das gemacht? (Wir nehmen an, dass der Professor in der Lage ist, mit konstanter
Geschwindigkeit zu gehen.)
(c) Vor einigen Jahren ist Walter Krachmann in seine neue Wohnung gezogen. Anfangs
fuhr jede dritte Minute ein LKW an seiner Haustür vorbei. Der LKW-Verkehr nahm
Jahr für Jahr um 10 Prozent zu. Mitterweile fahren doppelt so viele LKWs an seinem
Haus vorbei wie bei seinem Einzug. Im wievielten Jahr wohnt Herr Krachmann in
seiner Bleibe?
(d) Ein Wasserbehälter soll aufgefüllt werden. Die vier zur Verfügung stehenden Pumpen haben unterschiedliche Leistungen. Mit der stärksten dieser Pumpen könnte
der Behälter in einer Stunde gefüllt sein, mit der zweitstärksten in 2 Stunden. Die
dritte Pumpe benötigte 3 Stunden zum Füllen und die vierte 6 Stunden. Da der
Behälter möglichst schnell aufgefüllt werden muss, werden alle vier Pumpen gleichzeitig eingesetzt. In welcher Zeit (in Minuten) wird der Behälter gefüllt?
2012-09-25 20:00
Seite 44 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 44
(a) Otto ist als Tagelöhner bei Peter beschäftigt. Da Peter außerdem auch noch der
Vermieter von Otto ist, haben sie folgende Vereinbarung getroffen: Für jeden Tag,
den er komplett arbeitet, bekommt Otto 10 Euro und muss keine Miete zahlen.
Wenn Otto nicht arbeitet, kriegt er natürlich keinen Lohn und muss pro Tag noch
6 Euro Miete zahlen. Im April kriegt Otto keinen Lohn, muss aber auch keine Miete
zahlen. Wie viele Tage hat Otto für Peter gearbeitet?
(b) Nimm eine beliebige zweistellige natürliche Zahl, z. B. 32, und schreibe diese dreimal nebeneinander, so dass eine sechsstellige Zahl entsteht, hier 323232. Alle so
entstehenden Zahlen sind durch 7 teilbar. Wieso?
2012-09-25 20:00
Seite 45 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 45
Sei x eine reelle Zahl.
Um die Potenz x 40 zu berechnen, kann man natürlich so vorgehen:
x ·x
= x2
x2 ·x
= x3
x3 ·x
= x4
x4 ·x = x5
..
.
x 38 · x
= x 39
x 39 · x
= x 40
Dazu braucht man also 39 Multiplikationen.
Finde ein Verfahren, um x 40 mit sechs Multiplikationen zu berechnen.
(Die Fälle x = 0, x = 1, x = −1 sind natürlich trivial! Aber für andere Werte von x muss
man sich etwas einfallen lassen.)
2012-09-25 20:00
Seite 46 von 114
•
Thure Dührsen
Veranschaulichung einer Extremwertaufgabe durch
dynamische Geometrie
TI-92 (B0210a)
Mathe- und Informatikaufgaben
Analoge Aufgabenstellungen – Übungsbeispiele
Lehrplanbezug (Österreich):
7. Klasse
Quelle: Dr. Thomas Himmelbauer
Aufgabe 46
Die oben offene Schachtel
Angabe und Fragen:
Aus einem
rechteckigen
Kartonwerden
(Breite 30cm an
und Länge
sollenQuadrate
entsprechend der der
Abbildung
an den Ecken x
Aus einem rechteckigen
Stück
Karton
den40cm)
Ecken
Seitenlänge
Quadrate herausgeschnitten werden. Durch Aufbiegen an den punktierten Linien soll dann eine nach oben offene
Schachtel gefaltet werden. Ermittle die Höhe der Schachtel mit dem maximalen Volumen!
ausgeschnitten. Danach
werden die überstehenden Teile im rechten Winkel nach oben
a)
mit Hilfe einer dynamische Geometrie!
b)
durch Aufstellen einer Funktion durch Regression aus den in der dynamischen Geometrie gewonnenen Daten und
Bestimmung des Maximums dieser Funktion!
geknickt, so dass eine oben offene quaderförmige Schachtel entsteht.
(a) Gib einen Funktionsterm V (x ) an, der das Volumen V der Schachtel in Abhängigkeit
der Länge x ausdrückt. Bezeichne dazu die Längen der Seiten der „unversehrten“
Pappe mit a bzw. b .
Wähle dabei den Definitionsbereich sinnvoll! (Beispielsweise ist R zu groß, denn die
Seitenlänge x kann ja nicht negativ sein. Aber auch R¾0 ist noch zu groß. Überlege,
ACDCA-Beispielsammlung 2002
warum das so ist!)
1 / 12
Projekt „Technologie im Mathematikunterricht“
(b) Zeiche den Graphen der Funktion V im Falle einer DIN A5-Karteikarte und gib
näherungsweise an, für welchen Wert von x das Volumen der Schachtel maximal
wird.
2012-09-25 20:00
Seite 47 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 47
Alle vorkommenden Funktionen sind R → R.
(a) Bestimme die dritte Ableitung der Funktion f 1 : x 7→ x 3 .
(b) Bestimme die fünfte Ableitung der Funktion f 2 : x 7→ x 5 .
(c) Bestimme die neunte Ableitung der Funktion f 3 : x 7→ x 9 .
(d) Sei n ∈ N¾4 . Gib die ersten vier Ableitungen der Funktion f : x 7→ x n an und formuliere eine Vermutung über die n-te Ableitung.
2012-09-25 20:00
Seite 48 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 48
(a) Seien p,q ∈ R, und es gelte p 6= q .
Vereinfache den Ausdruck
p
q
+
p −q q −p
.
(b) Seien m , n ∈ R. Zerlege den Ausdruck
m 2 − n 2 + 4m + 4n
in zwei Faktoren – einer davon hat zwei, der andere drei Summanden.
2012-09-25 20:00
Seite 49 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 49
Ist (a n ) eine mono-
Satz (Aus Beschränktheit und Monotonie folgt Konvergenz)
ton wachsende nach oben beschränkte reelle Folge, so ist sie konvergent. Ebenso
konvergiert jede monoton fallende nach unten beschränkte reelle Folge.
Beweis. Wir beweisen nur den ersten Teil der Aussage, da die zweite Aussage analog
dazu gezeigt werden kann (Übung). – Da (a n ) nach oben beschränkt ist, besitzt die
Menge {a n | n ∈ N} eine kleinste obere Schranke
a := sup {a n | n ∈ N} ∈ R
.
Wir wollen zeigen, dass die Folge (a n ) gegen a konvergiert. Nach Definition der kleinsten oberen Schranke existiert für jedes vorgegebene " > 0 ein N ∈ N derart, dass
a − a N ¶ ". Da a n monoton wachsend ist, erhalten wir für n ¾ N
aN ¶ an ,
|a n − a | = a − a n ¶ a − a N ¶ "
d. h.
und somit lim a n = a .
n →∞
(a) Vervollständige den Beweis des Satzes.
(b) Bestimme die Suprema und Infima der folgenden Mengen reeller Zahlen.
(1)
x ∈ R | x2 < 3
(2) x ∈ R | x 2 > 3
(3)
(4)
§
n −1
n +1
n ∈N
(−1)n
(5)
n ∈N
n
§
ª
1
(6)
x ∈Q
1+x2
x ∈ R | x3 > 2
ª
Welche der Suprema sind Maxima, welche der Infima sind Minima?
(c) Zeige, dass die durch
a n :=
p
n +1−
p
n
definierte reelle Folge konvergiert und gib ihren Grenzwert an.
Hinweis: Binomische Formel.
(d) Sei (a n ) eine reelle Folge, die sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend
ist.
Entscheide, ob die Folge konvergiert, und gib im Falle der Konvergenz den Grenzwert an.
2012-09-25 20:00
Seite 50 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 50
(a) Michael stellt am 1. Januar 2002 fest, dass er noch alte deutsche Münzen aus seiner
Frankfurter Zeit besitzt. Es sind Groschen, 5-Pfennig-Stücke und einzelne Pfennige.
Bevor er das Geld seinem Neffen schenkt, soll dieser den vorhandenen Betrag
erraten. Dazu gibt er einige Informationen:
(1) Es ist gerade genug, um sich ein Eis zu kaufen.
(2) Genau
3
7
der Münzen sind Pfennige.
(3) Statt Eis kann man auch etwas Obst kaufen.
(4) Genau 20 % der Münzen sind Groschen.
(5) Es gibt genau dreizehn 5-Pfennig-Stücke.
(b) Welche Endziffer hat die Zahl 107778 ?
(c) Zeige: Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist durch 3 teilbar.
(d) Wird eine zweistellige natürliche Zahl durch ihre Einerziffer geteilt, ergibt sich 6,
Rest 5; bei Division durch ihre Zehnerziffer ergibt sich 11, Rest 3.
Zeige, dass es nur eine natürliche Zahl mit diesen Eigenschaften gibt und bestimme
sie.
(e) Wie kann man mit einem 6-`-Eimer und einem 10-`-Eimer aus einer genügend
großen Regenwassertonne durch geschicktes Umfüllen 2 ` Wasser abmessen?
(f) Aus den 30 Schülerinnen und Schülern einer Klasse sollen fünf ausgewählt werden, die den nächsten Ausflug vorbereiten sollen. Wie viele Möglichkeiten für die
Zusammensetzung der Vorbereitungsgruppe gibt es?
(g) Die Zahl 1998 kann man als Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen
Zahlen schreiben.
(1) Wie lauten diese Zahlen?
(2) Geht das auch für die Zahl 1999?
(h) Zeige, dass die Differenz der Quadrate von zwei beliebigen ungeraden Zahlen stets
durch 8 teilbar ist.
(i) Ein Student verfügt auf Grund einer Erbschaft zu Beginn seines Studiums über ein
Guthaben von 60 000 DM. Sein Guthaben wird auf einer Bank jährlich mit 6,5 %
verzinst. Er hebt regelmäßig zu Beginn eines jeden Jahres 7200 DM aus dem dann
noch vorhandenen Guthaben ab.
Wie hoch ist der Guthabenstand nach 4 Jahren?
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 51
Ein Außendienstmitarbeiter einer in Lübeck ansässigen Versicherung hat Kunden in
Hamburg, Kiel, Lüneburg und Neumünster. Er muss also von Lübeck aus alle diese
Städte nacheinander besuchen und kehrt danach wieder nach Lübeck zurück.
Die Straßenentfernungen zwischen den Städten sind in der folgenden Tabelle angegeben. (Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass Hin- und Rückweg gleich lang
sind.)[6]
von
nach
KI
HL
LG
NMS
HH
98,8
66
55,3
69,6
KI
HL
LG
83,1
151
34,4
98,5
59,1
123
(a) Wie viele verschiedene Reiserouten gibt es?
(b) Welche von ihnen ist die kürzeste?
[6]
Laut Google Maps beträgt zum Beispiel die Entfernung von Hamburg nach Kiel 98,8 km. Von Kiel
nach Hamburg sind es nur 94,2 km, was wir hier aber vernachlässigen, um den Rechenaufwand in
Grenzen zu halten.
2012-09-25 20:00
Seite 52 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 52
Ein Nichtmathematiker sagte zum Mathematiker: „Ich finde Ihre Arbeit ziemlich
monoton.“
Die Antwort des Mathematikers: „Das mag sein! Dafür ist sie aber stetig und nicht
beschränkt.“
Stelle die verschiedenen Bedeutungen – einerseits in der Mathematik, andererseits in
der Alltagssprache – der Worte „monoton“, „stetig“ und „beschränkt“ heraus.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 53
In einem alten Märchen hat ein Herrscher 100 Gefangene. Im Gefängnis gibt es Zellen
mit den Nummern 1 bis 100 und ebenfalls 100 Wärter. Alle Zellen sind abgeschlossen. Die Schlüssel der Wärter passen in jedes Schloß. An seinem Geburtstag lässt der
Herrscher einige seiner Gefangenen nach einer sonderbaren Methode frei:
Der erste Wärter schließt alle Zellen auf. Der zweite schließt jede zweite Zelle wieder zu.
Der dritte Wärter schließt an jeder dritten Zelle. War sie zugeschlossen, ist sie nun auf.
War sie aufgeschlossen, ist sie nun zu.
So geht es bis zum 100. Wärter weiter. Die Gefangenen in den dann offenen Zellen sind
frei.
(a) Welche Zellen sind am Ende offen? Wie viele Gefangene kommen frei?
(b) Wie viele Wärter haben an der 100. Tür ihren Schlüssel gedreht?
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 54
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) Aussage, wahre Aussage, falsche Aussage, Wahrheitswert, Negation
(b) und-Verknüpfung, oder-Verknüpfung, Implikation, Kontraposition, Äquivalenz,
Wahrheitstafel
(c) Menge, Element einer Menge, Mächtigkeit einer Menge, leere Menge, endliche
Menge, unendliche Menge
(d) Teilmenge, Potenzmenge, Durchschnittsmenge, Vereinigungsmenge
(e) Differenzmenge, Komplement einer Menge in einer zweiten Menge
(f) Paar, Tripel, Tupel, kartesisches Produkt
(g) natürliche, ganze, rationale, irrationale, reelle Zahlen; Bruch; Dezimalzahl; Dezimalbruch; periodischer Dezimalbruch; Stellenwertsystem; kaufmännisches Runden
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 55
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) positive, negative reelle Zahl; Zahlengerade; Zähler, Nenner eines Bruches; Kehrwert;
echter, unechter, gemischter Bruch; Kürzen, Erweitern eines Bruches; gemeinsamer
Nenner; Hauptnenner; Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division von Brüchen
(b) Gleichung, Ungleichung, Verhältniszeichen, Lösen einer Gleichung, Lösungsmenge,
Umformung, Äquivalenzumformung
(c) Betrag einer reellen Zahl, Dreiecksungleichung
(d) Addition, Summand, Summe, Subtraktion, Minuend, Subtrahend, Differenz, Multiplikation, Faktor, Produkt, Division, Dividend, Divisor, Quotient, Fakultät
(e) Summenzeichen, Produktzeichen
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 56
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) Vollständige Induktion, Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung, Induktionsschluss
(b) Rest bei der Division ganzer Zahlen, Modul, Rest modulo m , Kongruenz modulo
m , Teilbarkeit, Teiler, Primzahl, zusammengesetzte Zahl, Primfaktor, Primfaktorzerlegung, Vielfachheit eines Primfaktors, größter gemeinsamer Teiler, kleinstes
gemeinsames Vielfaches, teilerfremd, Partnerteiler, Teilerbild, euklidischer Algorithmus
(c) Potenz, Wurzel, Basis, Exponent, Wurzelexponent, Radikand, Rechenregeln für
Potenzen
(d) Dreieckszahl, Quadratzahl, Kubikzahl
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 57
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) Assoziativ-, Kommutativ-, Distributivgesetz; Rechenoperation erster, zweiter, dritter
Stufe; Vorrangregeln; Klammersetzung
(b) euklidische Ebene, Punkt, Gerade, Steigung, Punktsteigungsform, Zweipunkteform,
Steigungsdreieck
(c) ebener Winkel, spitzer Winkel, rechter Winkel, stumpfer Winkel, gestreckter Winkel,
überstumpfer Winkel, Vollwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel, Gradmaß, Bogenmaß
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 58
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) Dreieck; gleichschenkliges, gleichseitiges, rechtwinkliges Dreieck; Höhe; Seitenhalbierende; Schwerpunkt; Winkelhalbierende; Inkreis; Mittelsenkrechte; Umkreis;
Kongruenz von Dreiecken; Kongruenzsätze
(b) Satz des Pythagoras, Kathetensatz des Euklid, Höhensatz des Euklid
(c) Kreis; Mittelpunkt, Radius, Durchmesser, Umfang, Flächeninhalt, Sehne, Sekante,
Tangente, Passante eines Kreises; Kreisgleichung; Kreisbogen; Mittelpunktswinkel;
Kreissektor; Kreisring; Kugel; π
(d) Satz des Thales
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 59
Erkläre die folgenden Begriffe:
Viereck, Quadrat, Rechteck, Drachenviereck, Parallelogramm, Trapez, Tangentenviereck,
Sehnenviereck; Fünfeck, Sechseck; regelmäßiges n-Eck, Winkelsumme im regelmäßigen
n-Eck
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 60
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) Relation; reflexive, symmetrische, transitive, antisymmetrische Relation
(b) Äquivalenzrelation; totale Ordnung; strikte totale Ordnung; Halbordnung; HasseDiagramm
(c) Verknüpfung, Halbgruppe, Verknüpfungstafel, neutrales Element, Monoid
(d) invertierbares Element, inverses Element, Gruppe, kommutative Gruppe, Untergruppe
(e) Ring, Teilring, Ideal, kommutativer Ring, Ring mit Eins, kommutativer Ring mit Eins,
Nullteiler, Nullteilerfreiheit, Integritätsbereich
(f) Körper, endlicher Körper, angeordneter Körper
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 61
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) additives Inverses, multiplikatives Inverses, Einheit, Einheitengruppe
(b) Partition, Restklasse, Restklassenring
(c) Proportionalität, umgekehrte Proportionalität, Dreisatz, Verhältnis, Maßzahl, Einheit
(d) Prozent, Prozentrechnung, Grundwert, Prozentsatz, Prozentwert
(e) Zinsrechnung, Anfangskapital, Endkapital, Zinssatz, Zinsen, Zinseszins, unterjährige Verzinsung, Sparkassenformel
2012-09-25 20:00
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Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 62
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) Funktion, Abbildung, Variable, Definitionsmenge, Zielmenge, Wertemenge
(b) freie Variable, abhängige Variable
(c) Bildmenge einer Funktion, Bild eines Elements, Funktionswert, Argument einer
Funktion, Bild einer Menge, Urbild eines Elements, Urbild einer Menge
(d) abschnittsweise definierte Funktion
(e) Nullstelle einer Funktion
(f) Verkettung von Funktionen
(g) Einschränkung einer Funktion
(h) Funktionenschar
(i) Fixpunkt einer Funktion, Involution
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 63
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) gerade, ungerade Funktion; Punktsymmetrie, Achsensymmetrie einer Funktion
(b) Exponentialfunktion und Logarithmus samt Rechenregeln, Basis, Exponent, exponentielles Wachstum, exponentielle Abnahme
(c) radioaktiver Zerfall, Zerfallskonstante, Halbwertszeit
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 64
Erkläre die folgenden Begriffe:
Trigonometrie; Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Definition von Sinus und Kosinus
am rechtwinkligen Dreieck und im Einheitskreis; periodische Funktion; Additionstheoreme für Sinus und Kosinus; Halb- und Doppelwinkelformeln
2012-09-25 20:00
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Aufgabe 65
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) Werte von sin(x ) und cos(x ) für x ∈
¦π
, π, π, π,
6 4 3 2
2π 3π
, 4,
3
π,
3π
,
2
©
2π ;
(b) Symmetrie und Periodizität der Winkelfunktionen
(c) Sinussatz, Kosinussatz, Trigonometrischer Pythagoras
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 66
Erkläre die folgenden Begriffe:
Permutation einer Menge, fixpunktfreie Permutation; geordnete Auswahl; ungeordnete
Auswahl; Binomialkoeffizient; Binomischer Lehrsatz
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 67
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) monoton wachsende, monoton fallende, streng monoton wachsende, streng monoton fallende, konstante Funktion
(b) Graph einer Funktion, kartesissches Koordinatensystem, Abszisse, Ordinate, Ordinatenabschnitt
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 68
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) Polynom, Polynomfunktion, Polynomring, Nullstelle eines Polynoms, Linearfaktor,
Grad eines Polynoms, Koeffizienten eines Polynoms, normiertes Polynom
(b) Polynomdivision, Hornerschema, Zerlegung in Linearfaktoren, Faktorisierung, Vielfachheit einer Nullstelle, rationale Funktion
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 69
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) injektive, surjektive, bijektive Funktion; Umkehrfunktion; abzählbare Menge; überabzählbare Menge
(b) identische Abbildung, Betragsfunktion, Signumsfunktion, Treppenfunktion
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 70
Erkläre die folgenden Begriffe:
lineare, quadratische, kubische Gleichung, quadratische Ergänzung, Lösungsformel
für lineare Gleichungen, Lösungsformel für quadratische Gleichungen, Diskriminante,
Parabel, Scheitel einer Parabel, Scheitelpunktform; Satz von Vieta
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 71
Erkläre die folgenden Begriffe:
lineares Gleichungssystem; Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems; rechte Seite; Unbekannte; homogenes, inhomogenes lineares Gleichungssystem; triviale Lösung;
elementare Zeilenumformungen; Einsetzungsverfahren; Dreiecksform, Additionsverfahren; Gleichsetzungsverfahren; Gaußscher Algorithmus
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 72
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) Intervall; offenes, links halboffenes, rechts halboffenes, abgeschlossenes Intervall;
einpunktiges Intervall; Randpunkt, innerer Punkt eines Intervalls
(b) obere, untere Schranke einer Menge reeller Zahlen; nach oben beschränkte Menge;
nach unten beschränkte Menge; nach oben unbeschränkte Menge; nach unten
unbeschränkte Menge; unbeschränkte Menge; beschränkte Menge
(c) Supremum, Infimum, Maximum, Minimum, kleinste obere Schranke, größte untere
Schranke einer Menge
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 73
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) (reelle) Folge; Folgenglied; Folgenindex; explizites Bildungsgesetz; rekursives Bildungsgesetz; arithmetische Folge; geometrische Folge; Konvergenz; Grenzwert einer
Folge; Nullfolge; Rechenregeln für Grenzwerte; Teilfolge; Divergenz; bestimmte, unbestimmte Divergenz; Unendlich; Rechenregeln für Unendlich
(b) Partialsummenfolge, Reihe, konvergente Reihe, geometrische Reihe, endliche geometrische Reihe
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 74
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) monoton wachsende, monoton fallende, streng monoton wachsende, streng monoton fallende, konstante Funktion; obere, untere Schranke einer Funktion; nach oben
beschränkte, nach unten beschränkte Funktion; nach oben unbeschränkte, nach
unten unbeschränkte Funktion; unbeschränkte Funktion; beschränkte Funktion
(b) Supremum, Infimum, Maximum, Minimum, kleinste obere Schranke, größte untere
Schranke einer Funktion
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
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Aufgabe 75
Erkläre die folgenden Begriffe:
Metrik, Abstand, euklidischer Abstand, Manhattan-Metrik, SNCF-Metrik
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 76
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) Umgebung eines Punktes, "-Umgebung
(b) Grenzwert einer Funktion für x → x 0 ∈ R, Rechenregeln für Grenzwerte, einseitige
Grenzwerte
(c) Verhalten einer Funktion für x → ∞, x → −∞
(d) Stetigkeit an einer Stelle, globale Stetigkeit, Rechenregeln für stetige Funktionen
(e) Zwischenwertsatz, Satz vom Minimum und Maximum
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 77
Erkläre die folgenden Begriffe:
Sekante eines Funktionsgraphen, lineare Näherung durch zwei Punkte, Tangente an
einen Funktionsgraphen, mittlere Änderungsrate, lokale Änderungsrate
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 78
Erkläre die folgenden Begriffe:
Differenzierbarkeit an einer Stelle, globale Differenzierbarkeit, Differenzenquotient,
Ableitung an einer Stelle, Differentialquotient, Ableitungsfunktion, höhere Ableitungen,
stetig differenzierbar, C(D, R), C2 (D, R), Cn (D, R), C∞ (D, R)
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 79
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) Ableitung elementarer Funktionen
(b) Ableitungsregeln: Summenregel, Faktorregel, Potenzregel, Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, Umkehrregel
(c) Regel von de l’Hospital
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 80
Erkläre die folgenden Begriffe:
Geschwindigkeit, Durchschnittsgeschwindigkeit, Momentangeschwindigkeit,
Beschleunigung
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 81
Erkläre die folgenden Begriffe:
Asymptote, Unstetigkeitsstelle, Polstelle, Definitionslücke, stetig hebbare Definitionslücke
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 82
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Satz von Rolle
(b) Zusammenhang zwischen Monotonie und 1. Ableitung einer Funktion
(c) Konvexität, Konkavität, rechtsgekrümmt, linksgekrümmt,
Zusammenhang zwischen Krümmung und 2. Ableitung
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 83
Erkläre die folgenden Begriffe:
Optimierung; lokales Extremum, Maximum, Minimum; globales Extremum, Maximum,
Minimum; Kriterium für lokale Extrema; Randextrema; kritischer Punkt; waagerechte
Tangente
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 84
Erkläre die folgenden Begriffe:
Wendepunkt, Kriterium für Wendepunkte, Sattelpunkt
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 85
Erkläre die folgenden Begriffe:
Taylorpolynom, Restglied, Konvergenzbereich, Konvergenzradius
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 86
Erkläre die folgenden Begriffe:
(a) Iteration, Iterationsverfahren
(b) Regula falsi, Sekantenverfahren
(c) Newton-Verfahren
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 87
Erkläre die folgenden Begriffe:
Kontraktion, Fixpunktsatz von Banach
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 88
Warum darf man eigentlich aus negativen rellen Zahlen keine Quadratwurzel ziehen?
Wie sieht es mit der dritten Wurzel aus? Wie mit höheren (ganzzahligen) Wurzelexponenten?
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 89
(a) Eine Tüte mit 200 g Gummibärchen kostet 85 Cent. Die Tüte enthält 80 Bärchen.
Wie schwer ist ein Bärchen? Wie teuer sind 20 Gummibärchen?
(b) In einer Mosterei werden aus 50 kg Äpfeln 15 ` Apfelsaft hergestellt.
(1) Wieviel Saft kann man aus 470 kg Äpfeln gewinnen?
(2) Wie viele Äpfel sind zur Gewinnung von 2500 ` Saft nötig, wenn ein Apfel 180 g
wiegt? Runde sinnvoll!
(c) Ein neuer unterirdischer Wasserbehälter kann durch ein Rohr in 6 Stunden und
durch ein anderes in 8 Stunden gefüllt werden. Nach einigen Jahren bemerkt ein
Betriebsingenieur, dass die Füllung des Behälters mit beiden Rohren zusammen
3 21 Stunden dauert und schließt daraus, dass der Behälter ein Leck hat.
(1) Welche Überlegungen stellt der Ingenieur an?
(2) Wieviel Wasser entweicht durchscnittlich in jeder Stunde, wenn der Behälter
12 000 Liter fasst?
(d) Ein Stück Schweinefleisch von 250 g kostet 2,25 EUR. Für ein Fest benötigen wir für
40 Personen 200 g je Person.
Was kostet das Fleisch für diese 40 Personen?
(e) 400 g Käse haben 45% Fett.
Wieviel % Fett sind in 125 g Käse?
(f) Der Schall legt in 3 Sekunden ca. 1000 m zurück.
(1) Wie weit ist ein Gewitter entfernt, wenn man 10 s nach dem Aufleuchten des
Blitzes den Donner hört?
(2) Vom Wohnhaus einer Familie aus schlägt in 3 km Entfernung der Blitz ein. Wie
viele Sekunden nach dem Aufleuchten des Blitzes wird man den Donner hören?
(g) Zu einer Party werden 24 Gäste geladen. Die Gastgeber haben 250 g Lasagne pro
Person vorbereitet.
Wie viel Lasagne erhält jeder Gast, wenn 20 Gäste erscheinen und die Lasagne
aufgebraucht werden soll?
(h) 22 Arbeitern wird bei täglich 8-stündiger Arbeit ein Wochenlohn von 14 960 EUR
ausgezahlt.
Welchen Lohn erhalten 18 Arbeiter bei gleichem Stundenlohn, wenn sie drei Wochen
lang täglich 7 Stunden arbeiten?
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 90
Bestimme den Grenzwert
sin(x ) + cos(x ) − exp(x )
x →0
x2
lim
2012-09-25 20:00
.
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 91
(a) Eine Parabel verläuft durch die Punkte A(−1 | 1) und B (3 | 4), ihr Scheitel liegt auf
der y -Achse.
(1) Wie lautet die Parabelgleichung?
(2) Berechne die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
(b) Eine Parabel verläuft durch die Punkte A(−2 | 1) und B (4 | 4), ihr Scheitel liegt auf
der y -Achse.
(1) Wie lautet die Parabelgleichung?
(2) Berechne die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 92
Sei n ∈ N, und sei M n := k ∈ N¶n | ggT(k , n) = 1 die Menge der zu n teilerfremden
Zahlen, die kleiner als n sind. Die Anzahl der Elemente von M n wird mit ϕ(n) bezeichnet.
Die Funktion ϕ heißt Eulersche ϕ-Funktion.
(a) Zeige: Ist n eine Primzahl, so gilt ϕ(n) = n − 1.
(b) Zeige: Ist n ¾ 3, so ist ϕ(n) gerade.
Hinweis: Primfaktorzerlegung.
(c) Sei k ∈ N¶n . Zeige:
ggT(k , n) = 1
⇐⇒
ggT(n − k , n) = 1
.
(d) Zeige: Die Summe der Elemente aus M n ist durch n teilbar.
Hinweis: Teilaufgabe (c).
2012-09-25 20:00
Seite 93 von 114
Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 93
Sie nehmen einen Kredit von 10 000 EUR bei einem Jahreszinssatz von 4% auf. Wie
hoch sind die monatlichen Kreditraten, wenn die Laufzeit 12 Monate beträgt? Wie viel
verdient die Bank bei diesem Kredit?
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 94
Definition. Seien a und b zwei ganze Zahlen.
Wir nennen a einen Teiler von b und schreiben a | b , wenn es eine ganze Zahl m gibt
mit m · a = b .
Eine ganze Zahl g heißt der größte gemeinsamer Teiler von a und b , falls gilt:
(1) g | a und g | b
(2) Jede ganze Zahl, die sowohl a als auch b teilt, teilt auch g .
(3) g ¾ 0
Eine ganze Zahl l heißt das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b , falls gilt:
(1) a | l und b | l
(2) Jede ganze Zahl, die sowohl durch a als auch durch b teilbar ist, ist auch durch g
teilbar.
(3) l ¾ 0
(a) Gib alle Teiler der Zahl 24 an.
(b) Gib alle Teiler der Zahl 23 an.
(c) Gib alle Teiler der Zahl 0 an.
(d) Welche natürliche Zahl ist Teiler jeder natürlichen Zahl?
(e) Wie viele Teiler hat die Zahl 360?
(f) Sei n ∈ N¾2 . Wie viele Teiler hat n mindestens?
(g) Wie lautet der Fachbegriff für eine natürliche Zahl, die genau zwei positive Teiler
hat?
(h) Wie lauten die gemeinsamen Teiler von 24 und 30? Welcher von ihnen ist der größte?
(i) Beweise oder widerlege:
(1) Ist eine natürliche Zahl durch 2 und durch 6 teilbar, dann auch durch 12.
(2) Ist eine natürliche Zahl durch 3 und durch 4 teilbar, dann auch durch 12.
(j) (1) Zerlege die Zahlen 864 und 468 in ihre Primfaktoren.
(2) Benutze die Primfaktorzerlegung, um ggT(864, 468) und kgV(864, 468) zu bestimmen.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
(3) Berechne die folgenden Produkte. Was fällt dir auf?
(i) 864 · 468
(ii) ggT(864, 468) · kgV(864, 468)
(k) Entscheide (ohne Taschenrechner), ob die Zahl
840 240 840 218 701 587 987 956 046 054 105 840
durch 2, durch 3, durch 4, durch 5, durch 6, durch 8, durch 9, durch 10, durch 12
teilbar ist.
(l) Ein Quader (Länge: 52 cm, Breite: 32 cm, Höhe: 48 cm) soll aus möglichst wenigen
Würfeln gebaut werden. Die Seitenlängen des Würfels dürfen nur ganze Zentimeter
messen. Gib die Anzahl der benötigen Würfel an.
(m) Woran kann man auf einen Blick erkennen, dass die Zahl 5678 nicht durch 7 teilbar
ist?
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 95
(a) Seien a ,b ∈ N. Begründe: Ist a ein Teiler von b , so gilt ggT(a ,b ) = a .
(b) Seien a ,b, c ∈ N. Zeige: Aus a | b und b | c folgt a | c .
(c) Richtig oder falsch?
(1) Jede natürliche Zahl, die genau drei positive Teiler hat, ist eine Quadratzahl.
(2) Jede Quadratzahl hat genau drei positive Teiler.
(d) Seien a ,b ∈ Z. Zeige[7] :
a |b
⇐⇒ a | −b
⇐⇒ −a | b
⇐⇒ −a | −b
(e) Seien a ,b, c ∈ Z. Zeige:
(1) a | b und a | c
=⇒
a | b +c
(2) a | b und a | c
=⇒
a | b −c
(3) Seien a ,b ∈ Z. Zeige:
a |b
=⇒
a | b · z für alle z ∈ Z.
(f) Seien a ,b, c ∈ Z. Gilt dann stets
a | c und b | c
(g) Seien a ,b ∈ Z. Zeige:
(h) Sei a ∈ N. Zeige:
a |b ∧ b |a
a ist gerade
⇐⇒
=⇒
=⇒
a +b | c ?
a = ±b
a 2 ist gerade
(i) Zeige: Zwei natürliche Zahlen, deren Summe eine Primzahl ergibt, sind teilerfremd.
(j) Zeige: Je zwei ganze Zahlen a und b haben höchstens einen größten gemeinsamen
Teiler.
(k) Division mit Rest. Seien a und m ganze Zahlen mit m 6= 0. Zeige, dass es eindeutig
bestimmte ganze Zahlen q und r gibt, für die gilt
a =q ·m +r
[7]
und
0 ¶ r < |m | .
Man kann sich also bei Teilbarkeitsfragen ganzer Zahlen problemlos auf natürliche Zahlen beschränken.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 96
Definition. Sei M eine nichtleere Menge. Dann heißt jede bijektive Abbildung
ϕ : M → M eine Permutation von M .
Hat eine Abbildung ϕ : M → M die Eigenschaft, dass für alle m ∈ M gilt ϕ(m ) = m , so
nennen wir ϕ die identische Abbildung (oder Identität) auf M und bezeichnen sie
mit idM oder auch nur id.
Eine Abbildung ϕ : M → M mit der Eigenschaft ϕ 2 = ϕ heißt idempotent.
Eine Abbildung ϕ : M → M mit der Eigenschaft ϕ 2 = id heißt involutorisch oder Involution.
Weiter benutzen wir die Abkürzung ϕ 2 := ϕ ◦ ϕ und definieren rekursiv ϕ n := ϕ ◦ ϕ n −1
für alle n ∈ N¾3 .
(a) Gib jeweils eine Abbildung ϕ : R2 → R2 an, die
(1) idempotent ist und nicht die identische Abbildung ist.
(2) nicht jedes Element aus R2 auf (0, 0) abbildet und für die gilt: ϕ 2 bildet jedes
Element aus R2 auf (0, 0) ab.
(3) sowohl idempotent als auch involutorisch ist.
(4) folgende Eigenschaft besitzt: ϕ 100 = id und ϕ 99 6= id.
(b) Sei M eine nichtleere Menge, und seien α, β : M → M derart gegeben, dass β ◦ α = id
gilt. Ist dann α stets eine Permutation?
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 97
Definition. Für beliebige Mengen A und B bezeichnen wir mit B A die Menge aller
Abbildungen mit Definitionsbereich A und Zielbereich B .
Ist H eine Menge und · eine assoziative Verknüpfung auf der Menge H , d. h.
a · (b · c ) = (a · b ) · c ∈ H
für alle a , b, c ∈ H
,
so nennt man das Paar (H , ·) eine Halbgruppe. Man schreibt auch kurz H , wenn klar
ist, welche Verknüpfung vorliegt.
Eine Halbgruppe H = (H , ·) heißt kommutativ, falls gilt
a ·b = b ·a
für alle a , b ∈ H
.
Man nennt ein Element e ∈ H ein neutrales Element einer Halbgruppe (H , ·), falls gilt
e ·a =a =a ·e
für alle a ∈ H
.
Eine Halbgruppe, die ein neutrales Element besitzt, nennt man oft kürzer ein Monoid.
Ein Element a einer Halbgruppe H mit neutralem Element e heißt invertierbar, falls
es ein b ∈ M gibt mit
a ·b = e = b ·a
.
b heißt dann ein zu a inverses Element.
Seien (G , ·) und (H , ◦) Halbgruppen. Eine Abbildung ϕ : G → H heißt Homomorphismus von (G , ·) in (H , ◦), wenn gilt:
ϕ(x · y ) = ϕ(x ) ◦ ϕ(y ) für alle x , y ∈ G
.
(a) Sei X eine nichtleere Menge. Zeige: Die Menge X X ist, mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung, eine Halbgruppe.
(b) Zeige: Jede Gruppe ist eine Halbgruppe.
(c) Es sei G = (G , ·) eine nichtleere Halbgruppe mit den Eigenschaften
(i) Es gibt ein e ∈ G mit e · a = a für alle a ∈ G (d. h. e ist linksneutral)
und
(ii) Zu jedem a ∈ G existiert ein b ∈ G mit b · a = e (d. h. b ist linksinvers zu a ).
Zeige, dass dann G bereits eine Gruppe ist.
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 98
(a) Es seien X , Y, Z nichtleere Mengen, und es seien Bijektionen f : X → Y und g : Y → Z
gegeben.
Zeige: Die Hintereinanderausführung g ◦ f : X → Z ist ebenfalls eine Bijektion.
(b) Zeige: Die Mengen Z und 26Z + 17 sind gleichmächtig.
(c) Es seien A und B zwei nichtleere Mengen, und es seien zwei Abbildungen f : A → B
und g : B → A gegeben.
Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) f und g sind Bijektionen, und es gilt g = f −1 und f = g −1 .
(ii) Es gilt g ◦ f = idA und f ◦ g = id B .
(d) Zeige: Es gibt in Barcelona mindestens zwei Menschen, die genau dieselbe Anzahl
Haare auf dem Kopf haben.
(e) Zeige: Jede Gruppe mit genau vier Elementen ist abelsch.
Hinweis: Kürzungsregeln.
(f) Ist die leere Menge bezüglich der Verknüpfung
∅: ∅ × ∅ → ∅
(1) eine Halbgruppe?
(2) eine Gruppe?
(g) Seien (G , ·) und (H , ◦) Gruppen, und sei ϕ : G → H ein Homomorphismus. Zeige:
(i) ϕ bildet das neutrale Element von G auf das neutrale Element von H ab.
(ii) Das Bild von G , d. h. die Menge ϕ(G ) := ϕ(g ) | g ∈ G , ist eine Gruppe (und
natürlich Teilmenge von H , also eine Untergruppe von H ).
(h) Sei G eine Gruppe.
(1) Zeige die Kürzungsregeln: Für a , b, c ∈ G folgt aus a c = b c stets a = b , und
aus c a = cb folgt ebenfalls a = b .
(2) Zeige: Zu je zwei Elementen a , b ∈ G gibt es genau ein x ∈ G mit a x = b und
genau ein y ∈ G mit y a = b .
(i) Es gibt für jede natürliche Zahl n eine Gruppe mit genau n Elementen.
(j) Zeige: Jede Untergruppe U von (Z, +) hat die Form U = nZ mit n ∈ N0 . Dabei ist
n = 0, oder n ist die kleinste natürliche Zahl aus U .
Hinweis: Division mit Rest.
(k) Es gibt für jede Primzahl p einen Körper mit genau p Elementen.
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 99
Definition. Es sei R eine nichtleere Menge, und es seien zwei innere Verknüpfungen +
und · auf R gegeben. Das Tripel (R, + , ·) heißt Ring, falls gilt:
(i) (R, +) ist eine abelsche Gruppe.
(ii) (R, ·) ist eine Halbgruppe.
(iii) Es gelten die Distributivgesetze:
(a + b ) · c = a · c + b · c , c · (a + b ) = c · a + c · b ,
a , b, c ∈ R .
Die Verknüpfung + heißt dann Addition, und die Verknüpfung · wird Multiplikation
genannt. Es wird außerdem vereinbart, dass die Multiplikation stärker bindet als die
Addition, d. h. für alle a , b, c ∈ R bedeutet a + b · c , dass zuerst das Produkt d := b · c
gebildet wird und dann die Summe a + d den Wert des Ausdrucks a + b · c angibt.
Ein Ring R heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist. Gibt es ein
neutrales Element bezüglich der Multiplikation, so nennen wir es Eins(element) des
Ringes R und nennen R einen Ring mit Eins(element).
Eine nichtleere Teilmenge S eines Ringes R heißt ein Unterring von R, wenn S, versehen mit den auf S eingeschränkten Verknüpfungen von R, selbst ein Ring ist. Es heißt
dann R Oberring von S.
Ein Element r eines Ringes R mit Eins heißt invertierbar in R oder eine Einheit
von R, wenn r bezüglich der Multiplikation von R invertierbar ist. Die Menge der
invertierbaren Elemente von R bezeichnen wir mit R × .
Sei R ein Ring. Ein Element r ∈ R \ {0} heißt Nullteiler, wenn r 6= 0 gilt und es
ein s ∈ R \ {0} gibt mit r · s = 0 oder s · r = 0. Ein Ring, in dem es keine Nullteiler gibt,
heißt nullteilerfrei. Ein nichttrivialer nullteilerfreier Ring heißt Integritätsbereich.
Definition. Seien a und m ganze Zahlen mit m 6= 0. Nach Aufgabe 95(k) gibt es dann
eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit a = q · m + r und 0 ¶ r < |m |.
In dieser Situation heißt q der Quotient und r der Rest bei der Division von a durch m .
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Wegen der Eindeutigkeit der Zahlen q und r können wir gefahrlos die folgenden
Funktionen definieren:
div: Z × (Z \ {0}) → Z , (a , m ) 7→ a div m := q .
und
mod: Z × (Z \ {0}) → Z , (a , m ) 7→ a mod m := r .
Für jedes n ∈ N definieren wir nun auf der Menge Zn := N<n ∪ {0} eine Addition ⊕ und
eine Multiplikation wie folgt:
a ⊕ b := a + b mod n
a b := a · b mod n
für alle a , b ∈ Zn .
(a) Zeige: Die Menge {0} ist, zusammen mit Addition und Multiplikation von Z, ein
kommutativer Ring mit Eins, der Nullring. Jeder andere Ring heißt nichttrivial.
(b) Sei (R, + , ·) ein Ring. Zeige:
(i) Es gilt a · 0 = 0 = 0 · a für alle a ∈ R.
(ii) Es gilt (−a ) · b = −(a · b ) = a · (−b ) für alle a , b ∈ R.
(iii) Es gilt (−a ) · (−b ) = a · b für alle a , b ∈ R. Insbesondere gilt in einem Ring mit
Eins:
(−1) · (−1) = 1.
(c) Zeige: Die Menge R × ist bezüglich der Multiplikation eine Gruppe, die Einheitengruppe des Ringes R.
(d) Zeige: Jeder Körper ist ein Integritätsbereich.
(e) Zeige: Jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper.
(f) Kürzungsregeln. Sei R ein Ring, und sei r ∈ R \ {0} kein Nullteiler. Zeige, dass dann
für alle s , t ∈ R gilt:
r ·s =r ·t
=⇒
s =t
und
s ·r =t ·r
=⇒
s =t
.
(g) Sei R ein Ring, und sei r ∈ R × . Zeige, dass dann r kein Nullteiler ist.
(h) Zeige: Für jedes n ∈ N ist Zn ein kommutativer Ring mit Eins, der Restklassenring
modulo n.
(i) Zeige: Falls n ∈ N eine zusammengesetzte Zahl ist, d. h. falls n keine Primzahl und
größer als 1 ist, so hat Zn Nullteiler.
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 100
(a) Sei V := R. Mache dir klar, dass V ein R-Vektorraum ist, indem du die Vektorraumaxiome für diese Situation formulierst und zum Beweis die bekannten Rechenregeln
von R ausnutzt. Kennzeichne die beteiligten Verknüpfungen genau (d.h.: unterscheide zwischen der Körperaddition +R : R × R → R und der Vektorraumaddition
+V : V × V → V sowie zwischen der Körpermultiplikation · : R × R → R und der Skalarmultiplikation ∗ : R × V → V .)
(b) Seien V und W Mengen. Zeige: V ∩ W ist Teilmenge von V (und auch von W ).
(c) Zeige: Jede lineare Abbildung R → R ist ein Vielfaches der Identität, d. h. ist ϕ : R → R
linear, so gibt es ein k ∈ R derart, dass für alle v ∈ R gilt:
ϕ(v ) = k · v .
(d) Sei K ein Körper, und seien V und W K -Vektorräume. Sei ϕ : V → W linear. Zeige:
ϕ ist genau dann injektiv, wenn gilt:
ker ϕ = {0V }.
(e) Sei X eine nichtleere Menge, und sei K ∈ {R, C}. Zeige: Die Menge X K bildet bezüglich der punktweise definierten Addition und Skalarmultiplikation einen K-Vektorraum.
(f) Sei X eine nichtleere Menge, und seien f , g , h ∈ X X . Zeige: Die Hintereinanderausführung ist assoziativ, d. h. es gilt
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f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g ) ◦ h.
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 101
Definition. Sei K ein Körper. Ein Teilkörper von K ist eine Teilmenge T von K , die,
versehen mit den auf T eingeschränkten Verknüpfungen von K , selbst ein Körper ist.
(a) Seien K ein Körper und T eine Teilmenge von K . Zeige: T ist genau dann ein
Teilkörper von K , wenn sie alle folgenden Eigenschaften hat:
• 1∈T
• a , b ∈ T =⇒ a + b ∈ T
• a , b ∈ T =⇒ a · b ∈ T
• a ∈ T =⇒ −a ∈ T
• a ∈ T \ {0} =⇒ a −1 ∈ T
(b) Seien L ein Körper und K ein Teilkörper von L. Ist L ein K -Vektorraum?
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Aufgabe 102
Seien K ein Körper und V ein Vektorraum über K .
(a) Sei U eine Teilmenge von V . Zeige: U ist genau dann ein Untervektorraum von V ,
wenn U abgeschlossen unter Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar
ist, d. h. wenn für alle a , b ∈ U und für alle k ∈ K gilt: a + b ∈ U und k · a ∈ U .
(b) Sei U eine endliche Teilmenge von V mit |V | ¾ 2. Zeige: Die Menge U ist linear
abhängig genau dann, wenn es einen Vektor u ∈ U gibt, der sich als Linearkombination der Vektoren aus U \ {u } schreiben lässt.
(c) Sei B eine Basis von V . Zeige: Jeder Vektor v ∈ V lässt sich eindeutig als Linearkombination der Elemente aus B darstellen.
(d) Seien U und W Teilräume von V . Zeige:
(1) U ∩ W und
U + W := {u + w | u ∈ U , w ∈ W }
sind Teilräume von V .
(2) Durch (u , w ) 7→ u + w wird eine lineare Abbildung U × W → U + W definiert.
Bestimme außerdem den Kern dieser Abbildung.
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Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 103
Seien K ein Körper und U , V, W Vektorräume über K . Seien α: U → V und β : V → W
lineare Abbildungen.
Zeige:
(a) ker α ist ein Teilraum von U .
(b) α(V ) := {α(u ) | u ∈ U }, das Bild von α, ist ein Teilraum von V .
(c) Die Hintereinanderausführung β ◦ α: U → W ist ebenfalls eine lineare Abbildung.
(d) Ist α bijektiv, so ist die Umkehrabbildung α−1 : V → U ebenfalls linear.
(e) Die Menge
¦
©
End(V ) := α ∈ V V | α ist linear
bildet mit der Hintereinanderausführung eine Halbgruppe.
(f) Bildet die Menge
¦
©
Aut(V ) := α ∈ V V | α ist linear und bijektiv
mit der Hintereinanderausführung eine Gruppe?
(g) Die Menge
¦
©
Hom(V, W ) := α ∈ W V | α ist linear
bildet bezüglich der punktweise definierten Addition und Skalarmultiplikation
einen Untervektorraum von W V .
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Aufgabe 104
Seien K ein Körper und V ein Vektorraum über K . Sei U ein Teilraum von V . Sei B eine
Basis von V .
Zeige: Es gibt eine Teilmenge von B , die eine Basis von U ist.
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
Quellen
www.mathe-online.at
Interaktive Tests
http://www.mathe-physik-aufgaben.de
http://de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Ftes_und_kleinstes_Element
Detlef Müller, Vorlesung Analysis I, Wintersemester 2009/10,
Übungsaufgaben, Woche 1 und 2.
Project Euler, Problem 152.
http://www.projecteuler.net/problem=152
Amann/Escher, Analysis I, S.89, Aufgabe 11.
Stewart: Calculus, Sixth Edition, ISBN: 0495011606. Brooks/Cole 2008.
http://www.stewartcalculus.com/data/CALCULUS%206E/upfiles/
e_reviewofalgebra.pdf
% www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/SS01/analysis2/Kap3_4.pdf
http://www.schulen.regensburg.de/wvsg/faecher/
Grenzwerte%20bei%20rat.Funktionen/START.HTM
Tom Werneck, Denkspielereien, Heyne, München, 2. Auflage 1979
Martin Wohlgemuth (Hrsg.), Mathematisch für fortgeschrittene
Anfänger, Spektrum akademischer Verlag, Heidelberg 2010
W W L Chen and X T Duong: Elementary Mathematics
http://rutherglen.science.mq.edu.au/~maths/notes/wchen/lnemfolder/
em01-ba.pdf
http://rutherglen.science.mq.edu.au/~maths/notes/wchen/lnemfolder/
em06-iav.pdf
Mathematik mit Derive
http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf/Publikationen/Mmd/
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
MathDerive.pdf
Teschl/Teschl, Mathematik für Informatiker, 2. Auflage, Springer 2006
Albrecht Beutelspacher, Lineare Algebra, 6. Auflage 2003, Nachdruck
2009
Olaf von Grudzinski/Rudolf Schnabel: "Mathematische Grundlagen",
Mathematisches Seminar der Universität Kiel, 2., überarbeite Auflage,
Wintersemester 2011/2012
-----------------------1: selbst
2: selbst
3: selbst
4: unbekannt
5: selbst
6: mathe-online
7: mathe-online
8: mathe-online
9: selbst
10: selbst
11: mathe-online
12: a) alt: Project Euler, a) neu:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=159228,
b) mathe-online, c) Regensburg, d) Regensburg,
e) selbst
13: selbst
14: selbst
15: mathe-online
16: mathe-online, selbst
17: mathe-online, reviewofalgebra
18: selbst
19: a), b) mathe-physik-aufgaben; c) selbst
20: mathe-physik-aufgaben
21: mathe-physik-aufgaben
22: mathe-physik-aufgaben
23: mathe-physik-aufgaben
24: mathe-physik-aufgaben
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
25: a) mathe-physik-aufgaben, b) selbst
26: mathe-physik-aufgaben
27: mathe-physik-aufgaben, s) bis z): selbst
28: a) Amann/Escher, b) selbst, d) (1) reviewofalgebra,
(2) Chen/Duong, ElemMath, Square and Reciprocal Rules,
g) Standardstoff,
f) Chen/Duong, ElemMath, Beispiel 6.1.9, e) Standardstoff,
c) Chen/Duong, ElemMath, Beispiel 6.1.7, 6.1.6, 6.2.6
29: a) Detlef Müller,
b) Detlef Müller (er hat sie vmtl. von Amann/Escher)
30: inspiriert durch Enzensbergers Zahlenteufel
31: selbst
32: Amann/Escher, S. 152--154
33: a) http://www.mathe-physik-aufgaben.de/schulaufgaben_gymnasium/
aufgaben_sch_gm_06_2_mathe/GM_A0489.pdf,
b) selbst, c) selbst
34: nach Tom Werneck, S. 11
35: Tom Werneck, S. 22
36: Tom Werneck, S. 8
37: Tom Werneck, a,) b) S. 68, c) S. 72
38: Tom Werneck, a) S. 80, b), c) S. 82
39: a) Amann/Escher, S. 48, b) Wohlgemuth, S. 327
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
40: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/
viewtopic.php?topic=162710
41: http://www.stauff.de/matgesch/dateien/intelligente_aufgaben.htm
42: http://www.stauff.de/matgesch/dateien/wurzelbeweis/dateien/
hintergruende_b.htm
43: a), b), c), d) www.raetselstunde.de
44: a) www.raetselstunde.de, b)
http://www.onlinemathe.de/forum/komplizierte-zahlenspiele-erklaeren
45: selbst
46: www.acdca.ac.at/material/bsp/b0210_offene_schachtel.pdf
47: selbst
48: Chen/Duong, ElemMath, Beispiel 1.5.4, 1.4.5
49: Derive, S. 31, Aufgabe 1.36; S. 90, Beispiel 4.8, Satz 4.4, d)
selbst.
50: b)
http://www2.brd.nrw.de/schule/mathe/knobel/archiv/1997/r2-910.htm,
a) http://www2.brd.nrw.de/schule/mathe/knobel/archiv/2002/r25-78.htm,
c) http://www2.brd.nrw.de/schule/mathe/knobel/archiv/1997/r3-78.htm,
d) http://www2.brd.nrw.de/schule/mathe/knobel/archiv/1997/r4-910.htm,
e) http://www2.brd.nrw.de/schule/mathe/knobel/archiv/1998/r5-56.htm,
f) http://www2.brd.nrw.de/schule/mathe/knobel/archiv/1998/r6-78.htm,
g) http://www2.brd.nrw.de/schule/mathe/knobel/archiv/1998/r6-910.htm,
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
h) http://www2.brd.nrw.de/schule/mathe/knobel/archiv/1998/r9-910.htm,
i) http://www2.brd.nrw.de/schule/mathe/knobel/archiv/1998/r9-os.htm
51: selbst
52: selbst
53: http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/23/
383037.html
54 bis 87: selbst, aber beachte Teschl/Teschl!
88: selbst
89: b) http://www.dreisatz.org/archives/74-Apfelsaft.html,
c) Walter Bergweiler, Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08,
Serie 1, Aufgabe 1a,
d) http://www.mathefritz.de/dokumente/6-dreisatz-01.pdf,
a) http://www.mathefritz.de/dokumente/6-dreisatz-02.pdf,
e) http://www.kinderrattat.de/bild_1_zum_beitrag_62.html,
f) http://www.schule.berg.net/rsmuch/fachbereiche/mathemocky/
prop-antiprop-l.pdf,
g) www.infofarm.de/datenbank/medien/474/dreisatz.pdf,
h) http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/24/
Zusammengesetzter_Dreisatz-333396.pdf,
90: Walter Bergweiler, Mathematik für Informatiker I, WS 2011/12,
Serie 10, Aufgabe 3
91: nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/klasse9pdf/Parabelaufgaben.pdf
92: selbst, beachte aber die Algebra-Aufgaben von Herrn Laue, WS
2011/12!
2012-09-25 20:00
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
93: Teschl/Teschl, Band 1, Beispiel 8.10, S. 223
94: Definition ggT: Beutelspacher, S. 167, Teiler: a.a.O. S. 166
Definition kgV: analog dazu
Aufgaben: http://www.geestlandschule.de/elearning/mathe6/mathe601.htm,
http://www.geestlandschule.de/elearning/mathe6/mathe602.htm,
http://www.soenkevoss.de/Mathematikaufgaben/6. Klasse/
Aufgaben Teilbarkeit.doc.pdf
% hier sind tatsächlich Leerzeichen in der URL!!! (Da bekommt das Wort
% "Deppenleerzeichen" doch gleich eine hübsche neue Bedeutung...) Aber
% Mozilla Firefox (Version 3.6.23) kann damit umgehen.
95: a), b): http://en.wikipedia.org/w/
index.php?title=Divisor&oldid=483191862,
c), d) selbst, e) http://en.wikipedia.org/w/
index.php?title=Divisor&oldid=483191862, f) selbst
g) http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Primzahl&oldid=101668468
auch viel aus Beutelspacher und aus Lineare Algebra 2, Sommersemester
2011, Serie 2
96a: 1,2,4: Frieder Knüppel, Lineare Algebra 1, Wintersemester
2010/11, Übungsaufgaben
96a: 3: selbst
96b: Frieder Knüppel, Lineare Algebra 1, Wintersemester 2010/11, Serie
1, Aufgabe 7
97: Karpfinger/Meyberg, Kapitel 1, Kapitel 2
98: (a), (b): Standardstoff, (c):
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Bijektive_Funktion&oldid=105786769,
(d): Schubfachprinzip (vgl. Wikipedia),
(e): Karpfinger/Meyberg, S. 20, (f) selbst, (g): Karpfinger/Meyberg,
S. 25, Lemma 2.11, (h): Karpfinger/Meynerg, S. 18, Lemma 2.1,
(i) Beutelspacher, S. 229, (j) Karpfinger/Meyberg, S. 24, Satz 2.9,
(k) Beutelspacher, S. 36
99: Definitionen und Aufgaben: Amann/Escher, S. 67ff.,
v. Grudzinski/Schnabel, S. 134ff. zweite Definition selbst, Aufgabe
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Thure Dührsen
Mathe- und Informatikaufgaben
(i), (j): Amann/Escher, S. 96
100: selbst
101: selbst
102: a: Teschl/Teschl, S. 261f., b: nach [a.a.O., S. 256],
2012-09-25 20:00
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