Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung

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Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung
Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung
Grundlegendes
Die Bezeichnung Wirtschaftsmathematik ist ein Überbegriff über verschiedene anwendungsorientierte Bereiche der Mathematik. Zur Wirtschaftsmathematik zählen beispielsweise
Finanzmathematik und Investitionsrechnung
Planungsmathematik (Operations Research)
Branch and Bound
Netzplantechnik
(lineare) Optimierung - Simplex
Spieltheorie
Kosten- Preistheorie
Wirtschaftliche Anwendungen der Matrizenrechnung
Aufgabe der Wirtschaftsmathematik ist es, wichtige Gesetzmäßigkeiten und Regeln der Marktwirtschaft zu
untersuchen und geeignete Berechnungsmodelle zu erstellen.
Bezeichnungen:
ME für Mengeneinheit :
GE; WE für Geldeinheit:
ZE für Zeiteinheit:
1 kg ; 100 Tonnen ; 10 Container....
1.- € ; 1 000.- $; 1 000 000.- £ ....
1 Tag ; 1 Monat ; 1 Arbeitsschicht ....
Die Definitionsmengen der auftretenden Funktionen sind immer Teilmengen von ℝo+ .
1. Grundlagen der Kosten- und Preistheorie
Die Wirtschaftsmathematik hat die Aufgabe, wichtige Regeln und Gesetze im Ablauf einer Marktwirtschaft zu untersuchen.
Zu beachten ist, dass alle Berechnungen auf einer Modellvorstellung beruhen.
Dieses Modell ist das relativ realitätsfremde, aber einfach zu behandelnde Modell des vollkommenen Marktes.
Die Bedingungen dieses Modells sind:





Alle Unternehmen streben nach maximalen Gewinn.
Alle Käufer streben nach maximalen Nutzen
Die Reaktionsgeschwindigkeit des Marktes ist unendlich und somit ist die Reaktionszeit
gleich Null.
Es ist eine vollkommene Markttransparenz gegeben, d.h. jeder weiß über alle Preise, alle
Angebote und alle Nachfrager immer genau Bescheid.
Es gibt keine Bevorzugung (Präferenz) eines Käufers oder eines Anbieters.
Ausgehend vom vollkommenen Markt sind folgende Marktformen möglich:
Nachfrager\Anbieter
Autonomistisch (viele)
Vollkommene
Konkurrenz
Oligopolistisch (einige)
Monopolistisch (einer)
Angebotsoligopol
Angebotsmonopol
Oligopolistisch (einige)
Nachfrageoligopol
Bilaterales Oligopol
Monopolistisch (einer)
Nachfragemonopol
Beschränktes
Nachfragemonopol
Autonomistisch (viele)
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Beschränktes
Angebotsmonopol
Bilaterales Monopol
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Beispiel: Ein einfaches Beispiel zum Anfang (pizzakoch.tii)
Unternehmer Josef Hope plant einen Pizzaimbiss in einem Einkaufszentrum. Ausgehend von seinen geschätzten Kosten wurde eine Angebotsfunktion (supply curve) erstellt.
Zur Vereinfachung beziehen sich alle Angaben auf eine Pizzasorte.
Bei einem Preis von € 6.40 würde Josef 2000 Pizzas pro Woche herstellen. Bei einem
Preis von € 7.80 wäre die angebotene Anzahl 4000 Pizzas pro Woche. Bei € 9.20 würde Josef 6000 Pizzas und bei einem Preis von € 10.60 würde er 8000 Pizzas herstellen
und anbieten.
Durch Marktforschung wurde auch die Nachfrage (Demand) nach Pizzas bei verschiedenen Preisen festgestellt. Preise und nachgefragte Mengen finden Sie in der Tabelle rechts.
Wie viele Pizzas sollte Josef pro Woche herstellen und welchen Verkaufspreis sollte er festlegen?
Mit Hilfe der Regressionsrechnung (in diesem Fall lineare Regression)
erhält man aus den gegebenen Daten eine Funktion, die die angebotene
Anzahl von Pizzas (y) in Abhängigkeit vom Preis (x) angibt. Auf gleiche
Art und Weise wird auch eine lineare Funktion für die Nachfrage berechnet.
Öffnen Sie ein neues Arbeitsblatt in TI-InterActive! .
Wir geben im ersten Schritt die gegebenen Daten in den Listen-Editor
Preis y €
6.40
7.80
9.20
10.60
Preis y €
11.20
9.40
7.60
5.80
Supply x
2 000
4 000
6 000
8 000
Demand x
2 000
4 000
6 000
8 000
von TI-InterActive! ein.
Liste L1: x-Werte für Angebot und Nachfrage
Liste L2: Preise der Nachfrage; y-Werte der Nachfragefunktion
pN(x)
Liste L3: Preise des Angebots; y-Werte der Angebotsfunktion pA(x)
Um die Punkte grafisch darzustellen, klicken Sie auf das
Icon
Sie erhalten das Eingabefenster für Datenpunkte.
Geben Sie hier die Listen, wie im Bild links ersichtlich, ein.
Im Vorschaufenster für die Funktion ändern Sie die Bildschirmgrenzen zu
Xmin = 0
Xmax = 15000
Ymin = 0
Ymax = 12
können Sie das Aussehen der Grafik noch genauer defiMit
nieren.
Geben Sie für Xscale = 1000 ein.
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Mit
wird die aktuelle Grafik in das Arbeitsblatt eingefügt.
Im zweiten Schritt werden die linearen Regressionslinien für
Angebots- und Nachfragefunktion berechnet.
Klicken Sie auf das Icon für das Stat Calculation Tool
geben Sie die Daten für die erste Regression ein.
XList: L1
YList: L2
Regression Equation: pN(x)
und
Die berechnete Funktion ist die Nachfragefunktion. Der Name
der Regressionslinie ist daher pN(x).
und Save Results wird das Rechenergebnis in
Mit
das Arbeitsblatt eingefügt.
Achten Sie, dass das Ergebnis der Berechnung oberhalb der
Grafik erscheint!
Für die Berechnung der Nachfragefunktion pA(x) gehen Sie
analog vor.
XList: L1
YList: L3
Regression Equation: pA(x)
Achten Sie, dass das Ergebnis der Berechnung wieder oberhalb
der Grafik erscheint!
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Zur Darstellung der beiden soeben berechneten Funktionen klicken Sie zweimal auf die vorhandene Grafik.
Klicken Sie auf das Eingabefenster für Funktionen und geben Sie
die Bezeichnungen der Funktionen in den entsprechenden Feldern ein.
Ändern Sie Farben und Aussehen der Funktion nach Belieben.
Nach dem Schließen des Eingabefensters werden Punkte und
Funktionen im Arbeitsblatt angezeigt.
Der Schnittpunkt der beiden Funktionen gibt den Preis
(€ 8.50) an, bei dem die Zahl der angebotenen Pizzas genauso
groß ist wie die Zahl der tatsächlich verkauften Pizzas (5000
Stück).
Josef sollte € 8.50 verlangen. Er
könnte dann 5000 Pizzas pro Monat
verkaufen.
Der Schnittpunkt kann auf zwei Arten berechnet werden:
Numerisch direkt in der aktiven Grafik:
Grenzen des Berechund beKlicken Sie auf das Icon
nungsbereichs
rechnen Sie numerisch die Koordinaten des Schnittpunktes.
Mit
und Cancel werden
die Koordinaten des Schnittpunktes
und die Grafik eingetragen.
Mit CAS (Computeralgebra) kann der Schnittpunkt algebraisch mit dem Befehl
solve(pA(x)=pN(x), x) werden. Man erhält die Gleichgewichtsmenge von 5000 Stück.
Das Ergebnis der Berechnung (der rechte Teil der Gleichung x = 5000) wird als Gleichgewichtsmenge xG
gespeichert.
Mit pA(xG) erhält man den Gleichgewichtspreis € 8.50.
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Berechnung mit dem GTR:
1.1 Die Angebotsfunktion pA(x)
Die Angebotsfunktion pA(x) gibt den Zusammenhang zwischen Marktpreis und angebotener Menge an.
Je größer die angebotene Menge x werden soll, um so höher muss der Preis pA(x) einer Ware sein.
Der Preis ist hier Anreiz für den Produzenten, von einem Gut eine größere Menge zu erzeugen.
x1 ist die kleinste Produktionsmenge, die ein Erzeuger zu
produzieren bereit ist.
xk ist die Kapazitätsgrenze, d.h. die größte Menge, die ein
Produzent erzeugen kann.
x ist die angebotene Menge mit x 1 ñ x ñ x k .
pA(x) ist der Preis zur angebotenen Menge x.
p (x)
A
Angebotsfunktion
Angebotsfunktionen sind im Allgemeinen monoton wachsend.
x1
Beispiel: pA(x) = x2 + 4·x + 3 ; 1 ME = 1000 Stück (progressiv steigende Angebotsfunktion)
Wie hoch muss der Preis p sein, dass eine Menge x = 2.7 ME angeboten werden? (21.09 WE)
Wie groß ist die angebotene Menge, bei einem Preis von pA = 15 WE? (2 ME) (angebotsfunktioni.tii)
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xk
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Beispiel: p A ( x ) = 90 + 4 ⋅ x
1 ME = 1000 Stück (degressiv)
Stellen Sie die Funktion graphisch dar.
Bei welchem Preis wird eine Menge x = 1500 ME angeboten?
Wie groß ist die angebotenen Menge, wenn der Preis 180 WE beträgt?
1.2 Die Nachfragefunktion pN(x)
Die Absatzmenge x eines Gutes hängt vom Verkaufspreis p(x) = pN(x) ab.
Soll eine größere Menge eines Produktes verkauft werden, so muss (im Normalfall) der Preis dafür sinken. Jeder nachgefragten Menge entspricht ein bestimmter Verkaufspreis. Verkaufte Menge und Preis sind
voneinander abhängig.
Die Nachfragefunktion ist normalerweise eine monoton fallende Funktion.
x1 ist hier die kleinste Menge. Diese geringste Menge wird
durch die Bereitschaft des letzten Käufers bestimmt, den geforderten hohen Preis (Höchstpreis ph) zu bezahlen.
xs gibt die Menge (Sättigungspunkt) an, bei der der Markt
voll gesättigt ist und kein weiterer Bedarf nach dem Produkt
besteht.
Näherungsweise Berechnung:
p(x) = 0 und x berechnen.
Sättigungspunkt:
x = 0 setzen und den Preis berechnen.
Höchstpreis:
p (x)
N
Höchstpreis
Sättigungsmenge
x1
x1
x2
x
s
Die Nachfragefunktion gibt den Preis als Funktion des gewünschten Absatzes an.
Mit Hilfe dieser aus Marktuntersuchungen ermittelten Funktion lässt sich der Preis berechnen, den man zur
Erreichung eines bestimmten Absatzes festsetzen muss.
Beispiel:
p N (x) = 6 + 5 ⋅ 4 − x
für 0 ≤ x ≤ 4
Bei welchem Preis p wird eine Menge von x = 3 ME abgesetzt? (p = 11 GE/ME)
Welche Menge kann bei einem Preis von p = 10 WE abgesetzt werden? (3.36 ME)
Wo liegt hier der Höchstpreis? ( kein Absatz ; x = 0 : p =16 GE/ME)
Wie groß ist die Sättigungsmenge? (x = 4 ME bei p = 6 GE) (nachfragefunktionI.tii)
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Beispiel:
p(x) = -1.9·x2 – 27· x + 3500
Die Funktion ist zu zeichnen, Höchstpreis und Sättigungspunkt sind zu berechnen! (nachfragefunktionII.tii)
Beispiel:
Die Nachfragefunktion eines Produktes ist gegeben durch: pN(x) = - (x2) + 260
Die Funktion ist zu zeichnen.
Bei welchem Preis werden 10 ME nachgefragt? (160 GE/ME)
Welche Menge wird bei einem Preis von 220 GE/ME nachgefragt? (6.325 ME)
Wie groß sind Sättigungsmenge und Höchstpreis? (xs = 16.125 ME; ph = 260 GE/ME) (nachfragefunktionIII.tii)
Ergänzung:
Normalerweise gilt in der Wirtschaft: je höher der Preis, um so kleiner die Nachfrage, je kleiner der Preis,
um so größer der Absatz.
In einigen Ausnahmefällen kann sich dieses Verhalten umkehren:
Snob- Effekt: Der Snob möchte sich aus der Masse herausheben und Güter besitzen, die nicht alltäglich
sind.
Mitläufer- Effekt: Meinungsführer sind Vorbild für eine Kaufentscheidung. Trotz steigender Preise wird
mehr gekauft, weil andere auch mehr kaufen.
Preis als Qualitätsmaßstab: Vom hohen Preis eines Produktes wird auf eine entsprechend hohe Qualität
geschlossen und umgekehrt.
Veblen- Effekt: Der einzelne Konsument möchte durch aufwendigen Konsum auffallen, wobei die Aufwendigkeit am Preis der Produkte gemessen wird.
Es wird gekauft, weil der Preis höher ist.
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1.3 Der Marktpreis
Ein Aufeinandertreffen von Anbietern und Nachfragern
wird als Markt bezeichnet. Auf dem Markt stellt sich bei
freier Entscheidungsmöglichkeit für Angebot und Nachfrage ein gemeinsamer Gleichgewichtspreis, der Marktpreis pG, ein.
Für pG gilt:
angebotene Menge = nachgefragte Menge = umgesetzte
Menge
Der Marktpreis ergibt sich am Schnittpunkt der Angebotsmit der Nachfragefunktion.
Man ermittelt den Marktpreis also durch das Gleichsetzen
von: pA(x) = pN(x)
Für den Umsatz (Erlös E(x)= p(x).x) ergibt sich:
E(xG) = xG · pG
p (x)
A
p
G
p N(x)
xG
pA(x) = x2 + 6·x +2
pN(x) = -1.5·x + 6
Berechnen Sie die Gleichgewichtsmenge xG und den Gleichgewichtspreis pG !
( xG = 0.5 ME | pG = 5.25 GE/ME)
Beispiel:
Beispiel:
Für Turnhosen lauten die Gleichungen für Angebot und Nachfra2
ge:p A (x) = 100 + 5 $ x und p N (x) = 260 − x
0 < x < 16
Stellen Sie beide Funktionen graphisch dar und berechnen Sie xG und pG !
(Marktpreis.tii)
(MarktpreisII.tii)
(xG = 11.95 | pG = 117.28 GE/ME)
1.3.1 Marktgleichgewicht
Wir sind bisher davon ausgegangen, dass sich der Markt sofort auf einen Gleichgewichtspreis einstellt. Im Normalfall muss sich der Markt aber erst schrittweise auf neue Rahmenbedingungen einstellen. Oft beobachtet man, dass der Preis eines (neuen) Produktes erst schwankt und sich dann auf
einen stabilen Preis einpendelt
Befindet sich der Markt nicht im Gleichgewicht, dann ändern die Anbieter periodisch die angebotene Menge. Wir machen hier die Annahme, dass die angebotene Menge x an den erzielten Preis
der Vorperiode angepasst wird. Eine Lagerung wird ausgeschlossen.
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Spinnwebprinzip:
Kommt ein Produkt zu einem Preis po auf den Markt, kann es vorkommen dass die hohe Nachfrage nicht sofort gedeckt werden kann.
Der Preis steigt von po auf p1.
Zu diesem hohen Preis sind die Produzenten bereit eine höhere Menge x1 zu produzieren.
Wegen des hohen Preises p1 und der ausreichend angebotenen Menge
geht allerdings der Preis zurück auf den Wert p2.
p1
pN(x)
p (x)
A
p3
p2
po
Wegen des niedrigen Preises p2 sinkt jetzt aber die Bereitschaft der
Produzenten weiterhin große Mengen herzustellen. die Produktionsmenge geht auf x2 zurück.
Dadurch kann aber die Nachfrage nicht mehr gedeckt werden und der
Preis steigt wieder. usw.
Im Idealfall konvergiert der Preis gegen den Gleichgewichtspreis.
Berechnungsfolge:
po xo aus pA(xo)
Beispiel:
p1= pN(xo)
x1 aus pA
p2 = pN(x1)
x2 aus pA …
(Spinnwebprinzip.tii)
Siehe auch: http://www.gefilde.de/ashome/vorlesungen/anwendungen/modellbildung/v02/spinnwebmodell.html
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xo
x2 x4
x3
x1
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1.3.3 Mindestpreis und Höchstpreis
Beispiel:
Wir verwenden für die folgenden Grafiken die Funktionen
pN = - x2 + 36 und pA(x) = 4·x + 4
Ist ein Wirtschaftszweig gefährdet, so kann der Staat einen Mindestpreis pM festsetzen, zu dem eine Ware angeboten wird.
Der Preis pM liegt immer über dem Gleichgewichtspreis pG .
Da zu einem Preis pM > pG die Menge xMA angeboten wird, aber nur eine kleinere Menge xMN nachgefragt wird entsteht ein Angebotsüberhang xMA - xMN , der vom Markt ferngehalten werden muss. Dies kann
durch Einlagerungsaktionen (Butter, Wein, Getreide) oder durch gestützten Export zu Billigpreisen erfolgen. Oft werden überschüssige
Produkte aber auch vernichtet, um hohe Preise zu sichern.
Um eine Verbrauchergruppe zu schützen, kann der Staat einen Höchstpreis pH festsetzen, der immer unter dem Gleichgewichtspreis pG liegen
muss.
Da zum Preis pH > pG die Menge xHN nachgefragt wird, die Anbieter aber nur bereit sind die Menge xHA zu produzieren kommt es zu einem
Überschuss der Nachfrage xHN - xHA.
In diesem Fall ist z.B. durch Rationierung für eine gerechte Verteilung
der betroffenen Güter zu sorgen!
Beispiel: pN = - x2 + 36 und pA(x) = 4·x + 4 (mindestpreis.tii)
Marktpreis und Gleichgewichtsmenge: pG = 20 ; xG = 4
Mindestpreis pM = 27 GE;
angebotene Menge = 5.75 ME ; nachgefragte Menge = 3 ME
Angebotsüberhang = 2.75 ME
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Höchstpreis pH = 17 GE;
angebotene Menge = 3.25 ME ; nachgefragte Menge = 4.359 ME
Nachfrageüberschuss = 1.109 ME
Beispiel: pA(x) = 2· x + 3
pN(x) = - x2 +10
Wie hoch ist der Marktpreis? (6.657)
Wie groß ist der Mengenüberhang bei p = 9 GE ? (2)
Wie groß ist der Nachfrageüberhang bei p = 5 GE ? (1.23)
Stellen Sie alle Größen graphisch dar!
(mindestpreisII.tii)
1.4 Die Erlösfunktion
Die Erlösfunktion gibt den funktionalen Zusammenhang zwischen abgesetzter Menge x (in ME), Verkaufspreis p (in GE/ME) und dem Umsatz E (manchmal U, in GE) an.
Der Umsatz entspricht dem Erlös aus der Sicht des Anbieters.
Der Umsatz entspricht den Ausgaben aus Sicht des Nachfragers.
Je nach Wahl der unabhängigen Variablen in der Nachfragefunktion (möglich ist x(p) oder p(x)) ergeben
sich folgende Gleichungen zur Berechnung des Umsatzes:
E(x) = p(x) . x oder
E(p) = x(p) . p
Beispiel: Darstellungsmöglichkeiten der Erlösfunktion
p(x) = 8 – 1.2·x ⇔ E(x) = pN(x)·x = 8·x – 1.2·x²
x ( p) =
5
5
⋅ (8 − p) ⇔ E (p) = x (p) ⋅ p = ⋅ (8 − p) ⋅ p
6
6
(E(x)_und_E(p).tii ; Erlösfunktion.tii)
Bemerkung: Manchmal findet man in der Literatur die Empfehlung, die Umkehrfunktion einer Funktion y = f(x) zu berechnen, indem man zunächst die Variablen
x und y austauscht (x = f(y)) und anschließend nach y auflöst. Dies ist natürlich
richtig, allerdings wurden dabei auch die Namen der Variablen vertauscht!
Bei Funktionen aus der Wirtschaft stehen diese Variablen für konkrete Größen (x
für Menge; p für Preis usw.) und dürfen daher nicht vertauscht werden, da sonst
der Zusammenhang verloren geht!
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Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung
Beispiel: Erlösmaximum
Die Marketingabteilung eines Betriebes weiß, dass für eines seiner Produkte
eine quadratische Nachfragefunktion vorliegt.
Es ist beispielsweise bekannt, dass bei einem Preis von € 3.90 3500 Stück des
Produktes pro Tag verkauft werden können.
Andere Absatzmengen entnehmen Sie bitte der Tabelle rechts.
1 ME = 1000Stück
Berechnen Sie die Nachfragefunktion mittels Regression und ermitteln Sie den
Preis, für den der Erlös maximal wird.
Quadratic Regression
p(x) = -.561304576x^2 + .209614072x + 10.0042537
2
p x = -.561304576⋅x + .209614072⋅x + 10.0042537
E x := p x ⋅x
Erlösfunktion

dE x :=
 E x 
Grenzerlös E'(x)
x
solve dE x = 0, x | x > 0 ⇒ x = 2.5650884 Absatzmenge am Erlösmaximum in ME
x1 := right ANS = 2.5650884
p x1 → p1 = 6.8487287
Verkaufspreis am Erlösmaximum in GE/ME
E x1 → Emax = 17.5675946
maximaler Erlös in GE
E(x)
18 p(x)
16
14
12
10
8
6
4
2
-2
x
1
2
3
4
5
6
(Erloesmaximum.tii)
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Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung
1.4.1 Elastizität
Das folgende Kapitel beschäftigt sich damit, wie man auf sinnvolle Weise das Änderungsverhalten von
Funktionen (von ökonomischen Größen) beschreiben kann.
Betrachtet man zwei positive reelle Zahlen a = f(x) und b = f(x +h), dann kann man prinzipiell den „Unterschied“ der beiden Werte angeben durch:
Die Differenz (absolute Änderung): b - a = f(x+∆x) − f(x) .
b − a f ( x + ∆x ) b
Die Änderung relativ zu einer der beiden Zahlen: i =
=
= −1
a
f (x)
a
i ist hier die relative Änderung von b in Bezug auf a.
Daraus folgt: b = b·(1+i) oder f(x+∆x) = f(x). (1+i)
Neben den beiden eben besprochenen Größen, mit denen Änderungen von Funktionen beschrieben werden
können, gibt es noch eine dritte Maßzahl mit einer fast noch größeren Bedeutung: die Elastizität.
Mit der relativen Änderung ist es möglich kleine absolute Änderungen von x-Werten in die entsprechenden
Änderungen von f(x)-Werten umzurechnen. In manchen Fällen ist es aber notwendig, sowohl für x als auch
für f(x) die Änderungen durch relative Werte auszudrücken (✁x/x; ✁y/y).
∆x
relative Mengenänderung
ε=
= x
Elastizität
∆p
relative Pr eisänderung
p
Beispiel:
Nach einer Preissteigerung von Benzin um 30% (= ✁p/p ) ändert sich die Absatzmenge um ca. 6% (= ✁x/x ).
∆x
relative Mengenänderung
− 6% − 0.2%
Der Quotient
=
= −0.2
= x =
∆p
30%
1%
relative Pr eisänderung
p
gibt an, dass pro 1% Preisanstieg die Absatzmenge um durchschnittlich 0.2% fällt.
Der Quotient wird als Elastizität von x bezüglich p(x) bezeichnet.
Beispiel:
Unelastische Nachfrage
Der Preis eines Produktes wird von p = 10 WE um den Betrag ∆p = - 1 geändert.
Die Absatzmenge steigt dadurch von x = 100 ME auf 105 ME. (∆x = +5)
5
ε = 100 = −0.5
also unelastisch;
−1
10
E = x · p = 10.- ·100 = 1 000.- Erlös vor der Preissenkung
E = x · p = 9.- · 105 = 945.- Erlös nach Preissenkung
Senkt ein Betrieb bei unelastischer Nachfrage seinen Preis, so reduziert sich damit auch sein Umsatz, da
dem gesunkenen Preis nur eine geringere Mengensteigerung gegenübersteht.
Erhöht der Betrieb bei unelastischer Nachfrage seinen Preis, so ist der prozentuelle Mengenrückgang kleiner
als die prozentuelle Preiserhöhung. Der Umsatz steigt somit.
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Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung
Beispiel:
Elastische Nachfrage
Der Preis eines Produktes wird von p = 10 WE um den Betrag ∆p = - 1 geändert.
Die Absatzmenge steigt dadurch von x = 100 ME auf 115 ME. (∆x = +15)
ε = -1,5 also elastisch;
E = x · p = 10.- · 100 = 1 000.E = x · p = 9.- · 115 = 1 035.-
vor der Preissenkung
nach Preissenkung
Senkt ein Produzent den Preis seines Produktes mit elastischer Nachfrage, so steigt der Umsatz E = p∙x, da
der Mengenzuwachs größer als der Preisabfall ist.
Erhöht der Betrieb seinen Preis, so wird der Umsatz p · x kleiner, da der Mengenrückgang größer als der
Preisanstieg ist.
Für allgemeine Untersuchungen von ökonomischen Funktionen an beliebigen Stellen des Definitionsbereiches ist die Bogenelastizität ein recht unhandliches Hilfsmittel. Es ist daher naheliegend - ähnlich wie beim
Differentialquotienten - anstelle der Differenzen ∆p und ∆x die Differenziale dp und dx zu verwenden.
Die Elastizität der Nachfrage gibt die prozentuelle Absatzänderung als Folge einer Preisänderung um
1% an.
Wie kann man diese Elastizität der Nachfrage bezüglich des Preises direkt - ohne vorherige Berechnung der
Umkehrfunktion - berechnen?
∆x
∆x p
1
p
1 p
1 p
ε = lim x = lim
⋅ = lim
⋅ =
⋅ =
⋅
∆p x dp x
∆x →0 ∆p
∆x →0 ∆p x
∆x →0 ∆p x
lim
∆x →0 ∆x
∆x
p
dx
p( x )
1
⋅
x p' ( x )
ε( x ) =
Elastizität der Nachfrage
Beispiel:
Gesucht ist die Elastizität der Nachfrage für p(x) = 100 – 0.5·x an der Stelle xo = 80.
ε(x) =
100 − 0.5 ⋅ x 1
⋅
x
− 0 .5
ε(80) =
100 − 0.5 ⋅ 80 1
⋅
= −1.5 elastische Nachfrage
80
− 0 .5
εN < −1
Nachfrage ist elastisch
εN > −1
Nachfrage ist unelastisch
εN = −1
Nachfrage ist
proportional elastisch
oder
fließend
rel. Mengenänderung > rel. Preisänderung
Relativ starke Reaktion der Nachfrager auf kleine relative Preisänderungen.
(nicht lebensnotwendige Güter)
rel. Mengenänderung < rel. Preisänderung
Relativ kleine Reaktion der Nachfrager auf Preisänderungen.
(wenig entbehrliche Güter: Brot, Heizöl)
rel. Mengenänderung = rel. Preisänderung
Eine Preisänderung von 1% bewirkt eine Mengenänderung 1%.
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Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung
Grenzfall
✒ N d −∞
vollkommen elastische
Nachfrage
p
Kleinste Preisänderungen bewirken sehr große relative Nachfrageänderungen.
Der Preis ist konstant, unabhängig von der Menge.
ε = -οο
p = const
x
Grenzfall
εN = 0
Keine Reaktionen der Nachfrager auf Preisänderungen.
Die Nachfrage ist konstant, unabhängig vom Preis.
(Medikamente)
vollkommen starre
Nachfrage
p
ε=0
xo
x
1.4.2 Erlös und Elastizität
Multipliziert man die Absatzmenge x mit dem Preis p, so erhält man den Erlös eines Produktes. Dabei ist p
keine Konstante, sondern eine Funktion von x : p(x).
Unter dem Grenzerlös E' (x) versteht man die erste Ableitung der Nachfragefunktion nach x.
d
E' (x) =
(p( x ) ⋅ x ) = p'(x) . x + p(x)
dx
Der Erlöszuwachs, der durch den Verkauf der letzten Mengeneinheit eintritt, wird als Grenzerlös bezeichnet.
Beispiel:
Die Grafik zeigt Erlösfunktion E(x) und Grenzerlösfunktion E’(x) von p(x) = 10 – 0.1 x2.
Im elastischen Bereich der Nachfrage führt eine Preissenkung zu einer Erhöhung des Umsatzes.
Im unelastischen Bereich der Nachfrage führt eine Preiserhöhung zu einer Erhöhung des Umsatzes.
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Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung
Wenn E = Emax (E' = 0), dann ist ε = -1.
Es gibt also einen Zusammenhang zwischen Grenzerlös und Elastizität.
Es gilt:
E = p(x) · x
E'(x) = p'(x) · x + p(x)
p
p( x )
1
d.h. p' ( x ) = x
ε( x ) =
⋅
x p' ( x )
ε( x )
p( x )
p
dp( x )
p' ( x ) =
= x ⇒ E ' ( x ) = x ⋅ x + p( x ) ⇒
für die Elastizität gilt:
ε( x )
dx
ε( x )
E' (x ) =
p( x )
 1
+ p ( x ) = p( x ) ⋅ 1 + 
ε
ε


1 

Gleichung von Amoroso und Robinson: E ' ( x ) = p( x ) ⋅ 1 +
ε( x ) 

Ist ε = -5, so bedeutet dies, dass die durch die Erhöhung der Absatzmenge um eine Einheit bewirkte Preissenkung den Gesamterlös um ein Fünftel des Betrages mindert, um den die Erhöhung der Absatzmenge den
Erlös vergrößert hat. Da der Absatz einer weiteren Mengeneinheit den Gesamterlös um den Preis dieser
Einheit erhöht, beträgt die durch die Preissenkung hervorgerufene Verkleinerung des Gesamterlöses ein
Fünftel des Stückpreises.
p 4
ε = -5: E ' = p − = ⋅ p
5 5
p
ε = -1: E' = p − = 0 ⇔
Am Umsatzmaximum ist die Elastizität der Nachfrage ε = -1.
1
Beispiel: p(x) = - x2 + 36 (Eastizität_ErloesmaxI.tii)
100
2
p( x )
1
− x + 36
1
⋅
=
⋅
x p' ( x )
x
− 2⋅x
Wir setzen für ε den Wert ε = -1 ein und lösen die Gleichung nach
x auf:
Für x = 12 l 3, 46 ist die Nachfrage fließend.
Für denselben x-Wert ist auch der Umsatz maximal.
ε( x ) =
90
y
Emax
80
70
60
Erlös
50
40
30
Dieser Zusammenhang zwischen Umsatz und Elastizität ist auch
aus der Grafik ersichtlich.
Folgerungen:
Bei einer Produktionsmenge
x< 3.46 führt eine Preissenkung zu einer Umsatzsteigerung.
Bei einer Produktionsmenge
x> 3.46 führt eine Preiserhöhung zu einer Umsatzsteigerung.
p(x)
10
x
1
1
2
3
4
5
6
y
1
- 2
- 4
7
x
2
3
4
- 1
- 3
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Nachfragefunktion
20
5
6
7
ε =−1
Elastizität
ε(x)
17
Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung
Beispiel: p(x) = -1.3· x + 8 (Eastizität_ErloesmaxII.tii)
Sie wollen den Erlös Ihres Betriebes maximieren.
Welche Preisstrategie schlagen Sie bei p = 5.36 vor?
Welche Preisstrategie schlagen Sie bei p = 3.- vor?
Beispiel: (elastizität1.tii)
Ein Zeitschriftenverlag stellt fest, dass bei einem Stückpreis von € 5.- 10000 Zeitschriften pro Woche abgesetzt werden.
Senkt der Verlag den Stückpreis auf € 4.50 , können zusätzlich 500 Stück pro Woche verkauft werden.
Bei jeder weiteren Preissenkung um € 0.50, erhöht sich die Absatzmenge um jeweils 500 Stück.
Ergänzen Sie eine Tabelle mit Absatzmenge x, Verkaufspreis p(x) sowie Elastizität e(x)
Stellen Sie Nachfragefunktion, Erlösfunktion und Elastizität grafisch dar.
Bei welchem Preis ist der Erlös maximal? Wie groß ist die Stückzahl am Erlösmaximum?
Zelle C2: =(500/A2)/-(0.5/B2)
Zelle C12: =(500/A12)/-(0.5/B12)
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18
Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung
Fortsetzung des letzten Beispiels: Bei welchem Verkaufspreis ist der Erlös maximal?
p(x) = k·x + d
5 = 10000·k + d
4.5 = 10500·k + d
p(x) = -0.001·x + 15
E(x) = -0.001·x2 + 15·x
E’(x) = -0.002·x2 + 15
E’(x) = 0 ⇔ xu = 7500 ME (Stelle für den maximalen Erlös)
p(xu) = p(7500) = 7.5 GE/ME Verkaufspreis am maximalen Erlös
Fortsetzung des letzten Beispiels:
Wie kann der Erlös erhöht werden, wenn Sie derzeit 9000 Stück der Zeitschrift zum Stückpreis von € 6.- absetzen können? (Preiserhöhung; unelastische Nachfrage)
Wie kann der Erlös erhöht werden, wenn Sie derzeit 5000 Stück der Zeitschrift zum Stückpreis von € 10.absetzen können? (Preissenkung; elastische Nachfrage)
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19
Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung
1.4.3 Beispiele Workshop
Ü1
Bei einem Preis pA(x) GE setzt ein Betrieb x ME eines Produktes ab.
pA(x) GE
8
11.75
16
20.75
26
x ME
1
1.5
2
2.5
3
Berechnen Sie die quadratische Angebotsfunktion. 1 ME = 1000 Stück
pA(x) = x2 + 5·x +2
Wie hoch muss der Preis p sein, dass eine Menge x = 1.6 ME angeboten werden? (12.56 GE)
Wie groß ist die angebotene Menge, bei einem Preis von pA = 10 GE? (1.275 ME)
Ü2
pA(x) = 100 + 5 ⋅ x 1 ME = 1000 Stück
Stellen Sie die Funktion graphisch dar!
Bei welchem Preis wird eine Menge x = 1000 ME angeboten? (258.11)
Wie groß ist die angebotenen Menge, wenn der Preis 200 GE beträgt?
Ü3
Bei einem Preis pN(x) GE werden x ME eines Produktes gekauft.
pN(x) GE
1 850
1 800
1 660
1 610
x ME
5
6
9
10
Berechnen Sie die quadratische Nachfragefunktion. (1 ME = 1000 Stück)
Vergleichen Sie mit: pN(x) = -1.28x2 – 28.6x + 2021.63
Verwenden Sie diese Funktion für weitere Berechnungen.
Die Funktion ist zu zeichnen, Höchstpreis und Sättigungspunkt sind zu berechnen.
Für die näherungsweise Berechnung:
Sättigungspunkt:
p(x) = 0
(x = 30,11 ME)
Höchstpreis:
x=0
(p = 2021.63 GE)
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775
22
20
Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung
Ü4
pN(x) = 5 + 3 ⋅ 3 − x (0 ≤ x ≤ 3)
Bei welchem Preis p wird eine Menge von x = 2 ME abgesetzt (nachgefragt)?
Welche Menge kann bei einem Preis von p = 9 GE abgesetzt werden? (1.22)
Wo liegt hier der Höchstpreis? ( kein Absatz ; x = 0 : p =10.19)
Ü5
pA(x) = 2·x + 3
pN(x) = - x2 +10
Wie hoch ist der Marktpreis? (p = 6.657 GE bei x = 1.83 ME)
Wie groß ist der Mengenüberhang bei p = 9 GE ? (2)
Wie groß ist der Nachfrageüberhang bei p = 5 GE ? (-1.23)
Stellen Sie alle Größen grafisch dar!
Ü6* (mit Steuer)
p N ( x ) = 100 − 0.5 ⋅ x und p A ( x ) = 10 + 4 + 12 ⋅ x sind Nachfrage - und Angebotsfunktion eines Produktes.
a) Berechnen Sie den Marktpreis ohne Steuer! (p = 46.04 GE bei x = 107.92 ME)
b) Wie hoch ist der Marktpreis bei r = 5 GE/ME?
Wie hoch ist das Steueraufkommen? (p = 49.78 bei x = 100.44 / R = x . r = 502.24)
c) Wie hoch ist der Marktpreis bei 10% Steuer? Wie hoch ist das Steueraufkommen?
(p = 49.397 bei x = 101.21/ R = x·pA(x)· 0.1= 101.2056 · 44.907 · 0.1 = 454.48 GE)
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21
Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung
Ü7
p(x) = 20 – 0.05·x3 ; Wie groß ist die Elastizität ε an der Stelle xo =5 ?
p(xo = 5) = 20 – 6.25 = 13.75
p' (x) = -0.15·x2
p
13,75
✒ = x : p ∏ (x) = 5 : (−0, 15 $ 5 2 ) = −0, 733
also unelastisch!
Ü8
p(x) = 10 – 0.1·x2
Berechnen Sie Sättigungsmenge (10 ME) und Höchstpreis (10 GE), sowie die Elastizität bei x = 1
(ε = -49.5) und bei x = 8 (ε = -0.281)!
An welcher Stelle x gilt ε = -1 ? (5.77 ME)
Ü9
Wird der Verkaufspreis eines Produktes von 21.50 GE auf 24 GE erhöht, so sinkt die Absatzmenge von
4200 ME auf 3800 ME. Wie groß ist die Elastizität? Wie ändert sich der Umsatz?
∆x 3800 − 4200
− 0.095238
4200
ε= x =
=
= −0.819
unelastisch
∆p
24 − 21.5
0.1163
21.5
p
Evor = 21.5·4200 = 90300
Enach = 24·3800 = 91200
Ü10
p = 10 - 0.5·x
Zeichnen Sie die Nachfragefunktion und berechnen Sie Sättigungsmenge und Höchstpreis.
Für welche x - Werte ist die Elastizität ε < -1 ? (x < 10)
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22
Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung
Ü11
−x
25 ⋅ e 5
Ein Gut genügt den Funktionsgleichungen p N ( x ) =
− 3 und pA(x) = 3·x +5.
a)
Skizzieren Sie die beiden Funktionen in einem geeigneten Koordinatensystem.
Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge.
b)
Der Staat setzt für das Gut einen Preis von mindestens 15 GE/ME fest.
Was ist die Folge daraus? Welcher Überschuss liegt vor?
Wie groß ist der Überschuss?
c)
Der Staat setzt für das Gut einen Preis von maximal 9 GE/ME fest.
Was ist die Folge daraus? Welcher Überschuss liegt vor? Wie groß ist der Überschuss?
d)
Bei welchem Preis hört die Nachfrage auf? (Höchstpreis)
Welche Menge kann pro Zeiteinheit höchstens abgesetzt werden? (Sättigungsmenge)
Lösung:
a)
xG = 2.444
pG = 12.333
b)
xMN = 1.642
c)
xHN = 3.6698 xHA = 1.3333
d)
Höchstpreis = 22 GE/ME
Sättigungsmenge = 10.60138
xMA = 3.333
Angebotsüberhang = 1.691 ME
Nachfrageüberschuss = 2.3365
Ü12
Die Nachfragefunktion eines Monopolbetriebes lautet: pN(x) = (5- x)2·4
- Berechnen Sie das Umsatzmaximum. Bei welchem Preis ist der Umsatz maximal?
[Skizze der Funktion] (x = 1.666 ; p = 44.444 ; Emax = 74,07)
- Berechnen Sie die Elastizität bei x = 1 ME.
- In welchem Bereich ist die Nachfrage elastisch? [Intervall angeben]
- Sie wollen - ausgehend von einer Produktionsmenge x = 1 ME - den Umsatz erhöhen.
Welche Preisstrategie schlagen Sie vor? [Antwortsatz; Begründung]
(Nachfrage ist elastisch dh. durch Preissenkung erhöht sich der Umsatz.)
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