6 Statische Spiele mit unvollständiger In

Spieltheorie (Winter 2009/10)
6-1
Prof. Dr. Ana B. Ania
6 Statische Spiele mit unvollständiger Information
Literaturhinweise zu Kapitel 6:
Osborne (2004), Kapitel 9
Gibbons (1992), Kapitel 3
Osborne (2004), Kapitel 9
MasColell, Whinston, Green (1995), Kapitel 8E+F
Fudenberg und Tirole (1991), Kapitel 6 und 7
6.1 Einleitung
Bisher haben wir angenommen, dass alle Spieler vollständig
über die Struktur des Spiels informiert sind. Insbesondere
weiß jeder Spieler, was die Auszahlungsfunktion seines Gegenspielers ist. In diesem Kapitel werden wir diese Annahme
abschwächen und zeigen, wie Spiele mit asymmetrischer Information modelliert und analysiert werden können.
Als einführendes Beispiel betrachten wir das folgende
(simultane) Marktzutrittsspiel:
Klaus M. Schmidt 2007
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Spieler 1 (der bisherige Monopolist) entscheidet, ob er
eine neue Fabrik zur Kapazitätserweiterung baut oder
nicht.
Spieler 2 entscheidet, ob er in den Markt eintritt.
Spieler 1 kennt die Kosten einer Kapazitätserweiterung,
nicht aber Spieler 2. Dieser weiß nicht, ob die Kosten 3
oder 0 sind. Er glaubt, dass die Wahrscheinlichkeit hoher
Kosten p1 ist.
Die Profitabilität des Marktzutritts für Spieler 2 hängt
von der Kapazitätserweiterung und damit indirekt von
deren Kosten ab:
2
@
1@
Zutritt
Kein Z.
Investition
0, -1
Keine I.
2, 1
@
2
@
1@
Zutritt
Kein Z.
2, 0
3, -1
5, 0
3, 0
2, 1
3, 0
Hohe Inv.-Kosten
für Spieler 1
@
Niedrige Inv.-Kosten
für Spieler 1
Abb. 6.1: Marktzutrittsspiel (Variante 1)
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Analyse des Spiels
Spieler 1 hat eine dominante Strategie:
– “Investiere nicht”, falls die Kosten hoch sind;
– “Investiere”, falls sie niedrig sind.
Spieler 2 wird zutreten, wenn p1 > 12 .
Spieler 2 ist indifferent, wenn p1 = 12 . Dann ergibt jede Zutrittswahrscheinlichkeit von Spieler 2 ein Gleichgewicht.
Beachten Sie, dass wir das Spiel durch iterierte Elimination
von strikt dominierten Strategien lösen konnten.
Das Spiel wird etwas komplizierter, wenn die niedrigen Kosten 32 statt 0 betragen:
2
@
1@
Zutritt
Kein Z.
Investition
0, -1
2, 0
3
2,
Keine I.
2, 1
3, 0
2, 1
@
Hohe Inv.-Kosten
für Spieler 1
2
@
1@
@
Zutritt
-1
Kein Z.
7
2,
0
3, 0
Niedrige Inv.-Kosten
für Spieler 1
Abb. 6.2: Marktzutrittsspiel (Variante 2)
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Analyse des Spiels
Wenn Spieler 1 hohe Kosten hat, hat er wieder die dominante Strategie, nicht zu investieren.
Wenn Spieler 1 niedrige Kosten hat, hat er keine dominante Strategie mehr. Seine optimale Strategie hängt
jetzt von der Wahrscheinlichkeit y e ab, die er dem Ereignis zuordnet, dass Spieler 2 zutritt. Er wird investieren,
falls
3 e 7
y + (1 − y e) > 2 y e + 3 (1 − y e).
2
2
Sei x die Wahrscheinlichkeit mit der Spieler 1 investiert.
Seine Beste-Antwort-Korrespondenz ist dann
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
1
falls y e < 1/2
x∗(y e) = ⎪⎪⎪ [0, 1] falls y e = 1/2
⎪
⎪
⎩
0
falls y e > 1/2.
Was wird Spieler 2 tun? Sei xe die Wahrscheinlichkeit,
die Spieler 2 dem Ereignis zuordnet, dass Spieler 1 investiert, gegeben, dass Spieler 1 niedrige Kosten hat.
(Wenn er hohe Kosten hat, wird er nie investieren). Spieler 2 wird zutreten, falls
p1 + (1 − p1) [−xe + (1 − xe)] > 0.
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Also ist die Beste-Antwort-Korrespondenz von Spieler 2
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
1
1
falls xe < 2(1−p
1)
1
e
∗ e
y (x ) = ⎪⎪⎪ [0, 1] falls x = 2(1−p1)
⎪
⎪
⎪
1
⎪
⎪
falls xe > 2(1−p
.
⎩0
1)
Ein (Bayesianisches) Nash-Gleichgewicht in diesem
Spiel ist ein Paar (x, y) von wechselseitig besten Antworten,
d.h. x = x∗(y) und y = y ∗(x).
Fallunterscheidung:
1
2(1−p1)
< 1 ⇔ p1 <
1
2
p1 > 12 . Dann wählt Spieler 2 stets y ∗ = 1. Das eindeutige Gleichgewicht ist ((0, 0), 1), d.h., “Keine Investition
bei hohen und niedrigen Kosten, Marktzutritt”. Warum
ist das auch intuitiv sofort einleuchtend?
p1 < 12 . Hier gibt es drei Gleichgewichte:
1) ((0, 0), 1): Keine Investition bei hohen und niedrigen
Kosten, Marktzutritt.
2) ((0, 1), 0): Keine Investition bei hohen Kosten, Investition
bei niedrigen
Kosten, kein Marktzutritt.
1
, 12 : Keine Investition bei hohen Kosten,
3) 0, 2(1−p
1)
ansonsten gemischte Strategien.
p1 = 12 . Dieser Fall ergibt unendlich viele Gleichgewichte: ((0, 0), 1) wie oben, und ((0, 1), y) mit 0 ≤ y ≤ 12 .
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y
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rrr
rrrrrrrr
rr
rrr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
x
Abb. 6.3: Beste-Antwort-Korrespondenzen
6.2 Typen und Beliefs über Typen
Im allgemeinen kann sich unvollständige Information auf viele verschiedene Aspekte des Spiels beziehen:
die Auszahlungsfunktion der Gegenspieler;
die Strategienräume der Gegenspieler;
die Informationslage der Gegenspieler.
Harsanyi (1967) hat eine allgemeine Methode vorgeschlagen, die es ermöglicht, all diese Informationsunvollständigkeiten auf dieselbe Weise sehr elegant zu modellieren.
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Dazu fassen wir die private Information von Spieler i in
seinem “Typ” ti ∈ Ti zusammen. Ti ist die Menge der
möglichen Typen (Typenraum) von Spieler i. Die Auszahlungsfunktion von Spieler i hängt jetzt nicht nur von den
gewählten Strategien aller Spieler, sondern auch von seinem
Typ ab:
ui = ui(ai, a−i, ti).
Etwas formaler heißt das ui : Ai × A−i × Ti → R.
Was ist ein “Typ”? Beispiele:
Spieler i hat private Information über seine Auszahlungen, z.B. über seine Kostenfunktion, seine Zahlungsbereitschaft für ein öffentliches Gut, etc.
Spieler i hat private Information über seine möglichen
Strategien. Sei Ai der Aktionenraum aller grundsätzlich
wählbaren Aktionen. Wenn einem bestimmten “Typ” t̂i
von Spieler i eine Aktion âi ∈ Ai nicht zur Verfügung
steht, können wir einfach annehmen, dass
ui(âi, a−i, t̂i) = −∞ ∀ a−i ∈ A−i .
Spieler i ist mit positiver Wahrscheinlichkeit “irrational”
und wählt immer eine bestimmte Aktion a∗i , auch wenn
diese seine Auszahlung nicht maximiert. Dann existiert
mit positiver W. ein Typ t∗i , dessen Auszahlungsfunktion
so ist, dass a∗i eine dominante Strategie ist.
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Beachten Sie: Die Auszahlungsfunktion von Spieler i hängt
nur von seinem eigenen Typ ti ab, nicht vom Typenprofil
seiner Gegenspieler. Allerdings beeinflusst das Typenprofil
der Gegenspieler deren Strategien und damit indirekt die
Auszahlung von Spieler i.
Harsanyis Idee war die folgende:
Es gibt einen zusätzlichen Spieler: die “Natur”.
Bevor das eigentliche Spiel beginnt, zieht die “Natur” eine Typenrealisierung für jeden Spieler gemäß einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über alle möglichen Typenprofile.
Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung ist common knowledge.
Jeder Spieler erfährt seinen eigenen Typ (aber nicht den
der anderen), bevor das eigentliche Spiel beginnt.
Der geniale Trick bei Harsanyis Idee ist, dass er aus einem Spiel mit unvollständiger Information ein Spiel mit
vollständiger, aber unvollkommener Information macht. Wie
ein solches Spiel analysiert werden kann, wissen wir bereits!
Im Beispiel des Marktzutrittsspiels können wir Harsanyis
Idee durch den folgenden Spielbaum darstellen:
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N
qqqq
qqqqqx
qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqq1 − p
p1 qqqqqqqqqqqqqqqqqq
1
qqqqqqq
qqqqqqq
qqqqqq
q
q
q
qqqqqqq
q
q
q
q
q
q
qqqqqqq
q
q
q
q
q
qqqqqqq
qqqqqqq
qqqqqqq
qqqqqqq
qqqqqqq
q
q
q
q
q
q
qx
qqqqq
x
q
q
q
qqq qqqqq
q qqqq
q
q
q
qqqq
qqqq qqqqqqq
q
q
q
q
q
q
q
qqqKeine
q
qqqKeine
q
q
I.qqqqqqq
I.
I.
I.
qqqq
q
qqqq
q
qqqq
qqqq
qqqq
qq
qqqq
qqqq
qqqq
qqqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqq
qqqq
qq
qq
qqqq
qqqq
qqqq
qqqq
qqqq
qqqq
qqqq
qqqq
qqqx
qqqx
qqq
qqqqq
qqqqq
qx
q
q
qq qx
q qq
qq qq
qq q qqq
qq q qqq
qq qqq
qq q qqqqq
qq qqq
qq qqq
qq qqq
q
q
q
qq
qqq
qqq
qqq
qqq
q
q
q
qqq
qqq Kein Z.
qqq
Z. qqq
qqq
qq
qq
qq
qqq
qqq
qqq
qq
qq
qqq
qq
qq
qqq
qqq
qq
qq
qqq
qq
qqq
q
q
qq q
q
qqq
qqq
qqq
qq q
qq q
qq q
qqq
qq
q
q
qq
q
qq
qq
qq
q
q q q
0
7/2
3/2
2
3
2
2
3
−1
0
−1
1
0
0
1
0
1
1
2
Abb. 6.4: Spielbaum mit unvollkommener Information
Betrachten wir Spiele mit asymmetrischer Information nun
etwas formaler. Wir benötigen folgende Notation:
t = (t1, t2, . . . , tn) ist ein Vektor der realisierten Typen
der Spieler 1 bis n.
T = T1 × T2 × . . . × Tn ist der Typenraum für alle
Spieler.
p(t) ist eine n-dimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der möglichen Typenprofile.
pi(t−i|ti) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Spieler i über die Typen der Gegenspieler {−i}, gegeben
sein eigener Typ ti. Somit ist pi(t−i|ti) eine (n − 1)dimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung.
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Bemerkungen:
Beliefs: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung pi(t−i|ti) eines Spielers über die Typen seiner Gegenspieler wird
Spieler i’s “belief” genannt. Beliefs werden als bedingte
Wahrscheinlichkeiten berechnet:
p(t−i, ti)
pi(t−i|ti) =
p(ti)
Wichtig ist die Annahme, dass alle Spieler von derselben ex-ante-Wahrscheinlichkeitsverteilung p(t)
ausgehen, mit der die Natur die Typen auswählt. Dies
gewährleistet, dass die beliefs miteinander kompatibel
sind (z.B. halten alle Spieler dieselben Eriegnisse für
möglich) und dass es common knowledge ist, welche
beliefs Spieler i mit Typ ti hat.
Die Wahrscheinlichkeiten der Typen der verschiedenen
Spieler können miteinander korreliert sein. Dann lernt
ein Spieler, wenn er seinen eigenen Typ erfährt, auch
etwas über die Typen seiner Gegenspieler (Beispiel: Auktion um Schürfrechte).
Meistens werden wir jedoch den Fall stochastisch unabhängiger Typen betrachten. Dann gilt:
p(t−i) · p(ti)
pi(t−i|ti) =
= p(t−i) ∀ti ∈ Ti
p(ti)
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In diesem Fall sind die beliefs eines jeden Spielers also
unabhängig von seinem Typ.
Wegen der Bedeutung von Bayes’ Regel (siehe unten)
in der Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten werden Spiele mit unvollständiger Information auch Bayesianische Spiele genannt.
Nach diesen Vorbereitungen können wir nun die Normalform
eines Spieles mit unvollständiger Information definieren:
Definition 6.1 Die Normalform eines Bayesianischen Spiels
G = {A1 , . . . , An ; T1, . . . , Tn, p1, . . . pn, u1, . . . , un}
spezifiziert
1) die Menge der Spieler, {1, . . . , n};
2) die Aktionenräume A1, . . . , An;
3) die Typenräume T1, . . . , Tn der Spieler;
4) die beliefs p1, . . . , pn, wobei
p(t−i, ti)
pi(t−i|ti) =
p(ti)
durch Bildung bedingter Erwartungswerte aus der
gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung p(t)
abgeleitet werden kann, nach der die Natur die
Typen aller Spieler auswählt;
5) die Nutzenfunktionen u1, . . . , un.
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6.3 Bayesianisches Nash-Gleichgewicht
Unterschiedliche Typen eines Spielers können unterschiedliche Aktionen wählen. Darum müssen wir den Strategiebegriff etwas erweitern:
Definition 6.2 Eine reine Strategie von Spieler i
ist eine Funktion si : Ti → Ai, die jedem möglichen
Typ von Spieler i eine Aktion ai ∈ Ai zuordnet. Entsprechend ordnet eine gemischte Strategie jedem
Typen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung σi(ti) über
die möglichen Aktionen zu.
Bemerkung:
Eine Strategie muss für alle Typen spezifiert sein, auch
für die, die von der Natur nicht gezogen worden sind.
Begründung: Spieler i’s optimale Strategie hängt ab von
den Strategien seiner Gegenspieler. Diese hängen wiederum von den Strategien aller Typen von Spieler i ab.
Also muss sich Spieler i zur Vorhersage der Strategien
seiner Gegenspieler Gedanken darüber machen, was er
tun würde, wäre er ein anderer möglicher Typ.
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Nach der Erweiterung des Strategienbegriffs kommen wir
nun zu den erwarteten Auszahlungen der Spieler.
Betrachten wir Spieler i und ein reines Strategienprofil s−i =
(s1, . . . , si−1, si+1, . . . , sN ) seiner Kontrahenten.
Ist sein Typ ti, so erwartet Spieler i, dass das Aktionenprofil
s−i(t−i) = (s1(t1), . . . , si−1(ti−1), si+1(ti+1), . . . , sN (tN ))
mit Wahrscheinlichkeit p(t−i|ti) gespielt wird.
Wenn Spieler i mit Typ ti die Aktion ai wählt, so erhält er
also mit Wahrscheinlichkeit p(t−i|ti) die Auszahlung
ui(ai, s−i(t−i), ti).
Insgesamt ist seine erwartete Auszahlung daher
ūi(ai, s−i, ti) =
t−i ∈T−i
pi(t−i|ti) ui(ai, s−i(t−i), ti).
Dies führt uns zu der folgenden Gleichgewichtsdefinition.
Definition 6.3 Ein Strategientupel s∗ = (s∗1 , . . . , s∗n )
ist ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht eines Spiels mit unvollständiger Information, wenn für
alle i = 1, . . . , n und alle ti ∈ Ti die Aktion ai =
s∗i (ti) die erwartete Auszahlung ūi(ai, s∗−i, ti) maximiert.
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Bemerkungen:
1) Die Idee ist genau dieselbe wie beim Nash-Gleichgewicht:
Gegeben die Strategien der Gegenspieler muss jeder Spieler eine beste Antwort wählen. Hinzu kommt lediglich,
dass dies für jeden Typ eines Spielers gelten und dass
der Erwartungswert über die Typen der anderen Spieler
gebildet werden muss.
2) Bei gemischten Strategien muss zusätzlich für jedes Typenprofil t−i der anderen Spieler der Erwartungswert
über die Aktionsprofile a−i gebildet werden. Sei σk (ak |tk )
die Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler k vom Typ tk die
Aktion ak wählt. Ist das Typenprofil t−i, wird a−i mit der
Wahrscheinlichkeit σ−i(a−i|t−i) = k=i σk (ak |tk ) gespielt. Die erwartete Auszahlung ūi(ai, σ−i, ti) für Spieler i vom Typ ti, wenn er ai wählt, ist somit
t−i ∈T−i
pi(t−i|ti)
a−i ∈A−i
σ−i(a−i|t−i) ui(ai, a−i, ti).
3) σi ist genau dann eine beste Antwort auf σ−i, wenn für
alle ti ∈ Ti jede Aktion ai mit σi(ai|ti) > 0 die erwartete Auszahlung ūi(ai, σ−i, ti) maximiert.
4) In endlichen Spielen mit unvollständiger Information existiert stets ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht, eventuell in gemischten Strategien. Der Beweis ist fast identisch mit demjenigen bei vollständiger Information.
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6.4 Purifizierung gemischter Strategien
Wir hatten in Kapitel 2 bereits angedeutet, dass man ein
Gleichgewicht in gemischten Strategien eines Spiels mit vollständiger Information als Gleichgewicht in reinen Strategien
eines Spiels mit unvollständiger Information interpretieren
kann.
Der entscheidende Punkt eines Gleichgewichts in gemischten Strategien ist in der Tat nicht, dass beide Spieler randomisieren, sondern dass jeder Spieler unsicher darüber ist,
welche Aktion sein Gegenspieler wählen wird.
Betrachten Sie erneut den “Kampf der Geschlechter”. Allerdings kennen nun beide Spieler die Auszahlungsfunktion
ihrer Gegenspieler nicht genau:
Spieler 2 weiß nicht genau, welche Auszahlung Spieler 1
erhält, wenn beide zum Boxen gehen. Sie glaubt, dass
seine Auszahlung 2 + t1 ist, wobei t1 gleichverteilt im
Intervall [0, x] ist.
Spieler 1 weiß nicht genau, welche Auszahlung Spieler
2 erhält, wenn beide zum Ballett gehen. Er glaubt, dass
ihre Auszahlung 2 + t2 ist, wobei t2 wieder gleichverteilt
im Intervall [0, x] ist.
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2
@
@
@
@
@
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Boxen
Ballett
Boxen
2 + t1 , 1
0, 0
Ballett
0, 0
1, 2 + t2
1
Abb. 6.5: Kampf der Geschlechter
Wir werden ein Gleichgewicht in reinen Strategien konstruieren, in dem
Spieler 1 genau dann zum Boxen geht, wenn t1 ≥ c1;
Spieler 2 genau dann zum Ballett geht, wenn t2 ≥ c2.
In diesem Gleichgewicht ist
die Wahrscheinlichkeit, die Spieler 2 dem Ereignis zu1
ordnet, dass Spieler 1 zum Boxen geht, gleich x−c
x ;
die Wahrscheinlichkeit, die Spieler 1 dem Ereignis zu2
ordnet, dass Spieler 2 zum Ballett geht, gleich x−c
x .
Wie groß müssen die Werte von c1 und c2 sein, damit diese
Strategien ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht bilden?
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Spieler 1 wird Boxen vorziehen, falls:
E(u1|Bo) ≥ E(u1|Ba)
(1 −
x − c2
x − c2
) · (2 + t1) ≥
·1
x
x
x
t1 ≥
− 3 ≡ c1
c2
Spieler 2 wird Ballett vorziehen, falls:
E(u2|Ba) ≥ E(u2|Bo)
(1 −
x − c1
x − c1
) · (2 + t2) ≥
·1
x
x
x
t2 ≥
− 3 ≡ c2
c1
Daraus folgt für c1 und c2:
c1 = c2 = c und c2 + 3c − x = 0
Auflösen nach c:
9 + 4x
3 c=− +
2
4
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Daraus ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler
1 Boxen bzw. Spieler 2 Ballett wählt:
√
9 + 4x − 3
x−c
=1−
x
2x
Was passiert, wenn die unvollständige Information sehr klein
wird, d.h., wenn x → 0?
√
√
√
9 + 4x − 3
( 9 + 4x − 3)( 9 + 4x + 3)
√
= lim
lim
x→0
x→0
2x
2x( 9 + 4x + 3)
9 + 4x − 9
√
= lim
x→0 2x( 9 + 4x + 3)
1
2
= lim √
=
x→0
9 + 4x + 3 3
Fazit: Wir können
das Gleichgewicht in gemischten
2 1
Strategien 3 , 3 des Spiels mit vollständiger Information als Gleichgewicht in reinen Strategien eines
Spiels mit unvollständiger Information interpretieren,
bei dem die Informationsunvollständigkeit sehr klein
ist.
Harsanyi (1973) hat gezeigt, dass diese “Purifizierung” von
Gleichgewichten in gemischten Strategien bei (fast) allen
Spielen möglich ist.
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6.5 Auktionen
Ein Objekt soll versteigert werden.
Es gibt zwei Bieter mit den Zahlungsbereitschaften v1 ≥
0 und v2 ≥ 0. Diese Zahlungsbereitschaften sind private
Information.
Wir nehmen an, dass v1 und v2 stochastisch unabhängig
voneinander sind (“independent private values”).
Sei p der zu zahlende Preis. Dann ist die Auszahlung
von Spieler i
⎧
⎪
⎨
ui = ⎪⎩
vi − p falls er das Gut erhält,
0
falls er das Gut nicht erhält.
6.5.1 Zweitpreis-Auktion
Regeln der Auktion (sealed-bid second-price auction):
Beide Spieler schreiben simultan ihre Gebote bi auf einen
Zettel.
Der Spieler mit dem höheren Gebot bekommt das Gut
zum Preis des zweithöchsten Gebotes.
Bei identischen Geboten erhält jeder Bieter das Gut mit
Wahrscheinlichkeit 12 .
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Die Zweitpreis-Auktion ist strategisch äquivalent zu einer
offenen englischen Auktion mit den folgenden Regeln:
Bei 0 beginnend, hebt der Auktionator den Preis kontinuierlich an.
Beide Bieter “gehen mit”, solange sie sich an der Auktion beteiligen wollen.
Wenn einer der beiden als erster “aussteigt”, erhält der
andere das Gut zum Preis p, bei dem der erste aufgibt.
Bei gleichzeitiger Aufgabe erhält jeder Bieter das Gut
mit Wahrscheinlichkeit 12 .
Warum sind diese beiden Auktionen äquivalent?
Gilt das auch, wenn “common values” vorliegen?
Beachten Sie das in der Zeitpreisauktion das Gebot bi von
Spieler i keinen Einfluss auf den Preis hat, den i zahlen
muss, falls er die Auktion gewinnt. Dieser wird allein durch
bj bestimmt. Aber das Gebot bi beeinflusst, ob i die Auktion
gewinnt.
Satz 6.1 In der Zweitpreis-Auktion ist es für jeden
Spieler eine schwach dominante Strategie, seine
tatsächliche Zahlungsbereitschaft zu bieten.
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Beweis: Sei bj das höchste Gebot aller übrigen Bieter. Angenommen Spieler i bietet bi < vi:
Falls bj ≥ vi ist es egal, ob Spieler i bi oder vi geboten
hat, da seine Auszahlung in beiden Fällen 0 ist.
Falls bj < bi ist es auch egal, ob Spieler i bi oder vi
geboten hat, da er in beiden Fällen die Auktion gewinnt
und bj zahlen muss.
Wenn aber bi ≤ bj < vi hätte Spieler i mit dem Gebot
vi die Auktion gewonnen und die Auszahlung vi −bj > 0
bekommen, während er mit dem Gebot bi die Auktion
verliert und die Auszahlung 0 bekommt.
Also dominiert das Gebot vi alle Gebote bi < vi schwach.
Nehmen wir jetzt an, Spieler i bietet bi > vi.
Falls bj ≥ bi ist es egal, ob Spieler i bi oder vi geboten
hat, da seine Auszahlung in beiden Fällen 0 ist.
Falls bj < vi ist es auch egal, ob Spieler i bi oder vi
geboten hat, da er in beiden Fällen die Auktion gewinnt
und bj zahlen muss.
Wenn aber vi ≤ bj < bi hätte Spieler i mit dem Gebot vi die Auktion verloren und eine Auszahlung von 0
bekommen, während er mit dem Gebot bi die Auktion
gewinnt und den Verlust vi − bj ≤ 0 macht.
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Also dominiert das Gebot vi auch alle Gebote bi > vi
schwach.
Q.E.D.
Also existiert in der Zweitpreis-Auktion ein Bayesianisches
Nash-Gleichgewicht, in dem beide Spieler ihre wahre Zahlungsbereitschaft bieten.
Im Spezialfall, dass die Zahlungsbereitschaften vi auf dem
Intervall [0, 1] gleichverteilt sind, ist die erwartete Auszahlung von Spieler i mit Typ vi in diesem Gleichgewicht der
Zweitpreis-Auktion
⎡
⎤
1 2⎥vj =vi 1 2
vi
⎢
E[ui|vi] = 0 [vi − vj ]dvj = ⎣vivj − vj ⎦
= vi .
2 vj =0
2
Dieses Gleichgewicht ist das einzige symmetrische Gleichgewicht. Es gibt aber auch andere, asymmetrisch Bayesianische Nash-Gleichgewichte. Zum Beispiel ist es ein Gleichgewicht, wenn ein Bieter einen Preis bietet, der höher ist
als die höchstmögliche Zahlungsbereitschaft aller anderen
Bieter und die anderen Bieter bieten alle 0.
Zeigen Sie, dass das tatsächlich ein Bayesianisches NashGleichgewicht ist.
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6.5.2 Erstpreis-Auktion
Regeln der Auktion (sealed-bid first-price auction):
Beide Spieler schreiben simultan ihre Gebote bi auf einen
Zettel.
Der Spieler mit dem höheren Gebot bekommt das Gut
zum Preis seines, d.h. des höchsten Gebotes.
Bei identischen Geboten erhält jeder Bieter das Gut mit
Wahrscheinlichkeit 12 .
Die Erstpreis-Auktion ist äquivalent zu einer holländischen
Auktion mit den folgenden Regeln:
Bei einem sehr hohen Preis beginnend, senkt der Auktionator den Preis kontinuierlich, bis ein Bieter zugreift.
Bei gleichzeitigem Zugreifen erhält jeder Bieter das Gut
mit Wahrscheinlichkeit 12 .
Warum sind diese beiden Auktionen äquivalent?
Gilt das auch, wenn “common values” vorliegen?
Bei dieser Auktion ist offenbar keine schwach dominante
Strategie, seine tatsächliche Zahlungsbereitschaft zu bieten.
Warum?
Im Gleichgewicht, wird jeder Bieter etwas weniger als seine
Zahlungsbereitschaft bieten. Wieviel weniger hängt von der
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Anzahl der Bieter und der Verteilung der möglichen Zahlungsbereitschaften ab. Für ein einfaches Beispiel können
wir das Gleichgewicht ausrechnen.
Satz 6.2 Sind die Zahlungsbereitschaften vi auf dem
Intervall [0, 1] gleichverteilt, so ist es ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht in der Erstpreis-Auktion,
dass jeder Spieler i den Betrag bi = vi/2 bietet.
Beweis:
Auszahlung von Spieler i mit Typ vi in Abhängigkeit von
bi, gegeben dass Spieler j den Betrag bj = vj /2 bietet:
⎧
⎪
⎨
ui = ⎪⎩
vi − bi falls bi > vj /2
0
falls bi < vj /2
(Warum können wir den Fall bi = vj /2 vernachlässigen?)
Aufgrund der Gleichverteilung von vj über [0, 1] ergibt
das:
E[ui|vi] = (vi − bi) · W (vj < 2bi)
= (vi − bi) · 2bi
Dies ist maximal, wenn bi = vi/2.
Q.E.D.
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Bemerkungen:
Es ist nicht trivial, dieses Gleichgewicht zu finden. Für
einen Ansatz siehe Gibbons, 3.2.B. Sehr viel ausführlicher ist Fudenberg-Tirole, Example 6.6.
Hier bietet jeder Spieler weniger als seine Zahlungsbereitschaft: Das optimale Gebot löst den Trade-off
zwischen einer möglichst hohen Rente und einer möglichst hohen Wahrscheinlichkeit, die Auktion zu gewinnen.
Wenn es mehr als zwei Bieter gibt, die Zahlungsbereitschaften aber immer noch statistisch unabhängig und gleichverteilt sind, ist es ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht,
wenn jeder Spieler
1
bi = (1 − )v
n
bietet. Je größer n, um so näher ist das Gebot an der
tatsächlichen Zahlungsbereitschaft und um so größer ist der
erwartete Erlös des Auktionators.
Übungsaufgabe: Vergleichen Sie den erwarteten Erlös des
Auktionators im symmetrischen Gleichgewicht der ZweitpreisAuktion mit seinem erwarteten Erlös im symmetrischen Gleichgewicht der Erstpreis-Auktion. In beiden Fällen gibt es zwei
Bieter und der Auktionator weiß nur, dass beide Zahlungs-
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bereitschaften unabhängig gleichverteilt sind. Zeigen Sie,
dass der erwartete Erlös in beiden Auktionen gleich ist.
Das “Erlös-Äquivalenz Theorem” (revenue equivalence theorem) besagt, dass bei risikoneutralen Bietern, die stochastisch unabhängige Signale über ihre Zahlungsbereitschaften
bekommen, die symmetrischen Gleichgewichte der Ersthängigund Zweitpreis-Auktion immer denselben erwarteten Erlös
erzielen.
Diese beiden Auktionsformen maximieren die Erlöse des Auktionators jedoch nicht. In unserem einfachen Beispiel wird
der erwartete Erlös des Auktionators durch eine Erstpreisauktion mit Mindestgebot maximiert. Diese Auktion ist aber
nicht effizient, weil das Gut mit positiver Wahrscheinlichkeit
nicht verkauft wird.
Welche Auktionsform bei komplizierteren Problemen erlösmaximierend oder effizient ist, ist eine wichtige Frage der Theorie des Mechanismen-Designs.
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6.5.3 Ein Beispiel mit “common valuations”
Es gibt zwei Bieteri = {1, 2}, von denen jeder vor Beginn
der Auktion ein unabhängiges Signal ti ∈ [0, 1] über den
Wert des Gutes bekommen hat. Die Zahlungsbereitschaft
von Bieter i hängt nicht nur von seinem eigenen Signal,
sondern auch vom Signal des anderen Bieters ab:
vi = αti + γtj ,
mit α ≥ γ ≥ 0 Beachten Sie:
Wenn α = 1 und γ = 0, sind wir wieder im Fall mit
independent private values.
Wenn α = γ sind die Zahlungsbereitschaften beider Bieter immer identisch. (Beispiel: Schürfrechte für Ölfeld)
Wenn α > γ > 0 sind die Zahlungsbereitschaften zwar
verschieden, aber positiv miteinander korreliert.
Satz 6.3 Bei einer Zweitpreis-Auktion gibt es ein
eindeutiges symmetrisches Bayesianisches Nash-Gleichgewicht,
in dem jeder Bieter
bi = (α + γ)ti
bietet.
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Beweis: Angenommen Spieler 2 benutzt diese Bietstrategie.
Wenn Spieler 1 das Gebot b1 macht, gewinnt er die Auktion,
wenn b1 > (α + γ)t2 . Da t2 auf dem Interval [0, 1] gleichverteilt ist, gewinnt das Gebot b1 mit Wahrscheinlichkeit
b1
α+γ .
Wenn b1 > b2 und das Gebot b1 gewinnt, bezahlt Spieler 1
den Preis b2, der auf dem Interval [0, b1] gleichverteilt ist.
Beachten Sie, dass wir hier die bedingte Verteilung von b2
betrachten, gegeben, dass b2 < b1. Also ist der erwartete
Preis, den Bieter 1 im Erfolgsfall zahlen muss 12 b1.
Jetzt berechnen wir die erwartete Auszahlung von Spieler
1, wenn er b1 bietet.
b1
Mit Wahrscheinlichkeit α+γ
gewinnt er die Auktion und
1
bezahlt im Erwartungswert 2 b1.
Der Erwartungswert des Signals von Bieter 2, gegeben,
b1
. [Bedass Bieter 2 die Auktion verloren hat, ist 2(α+γ)
b2
achten Sie, dass t2 = α+γ
. Das erwartete Gebot von
Bieter 2, gegeben, dass er die Auktion verliert, ist 12 b1.
b1
.]
Also ist das erwartete Signal 2(α+γ)
Also ist der erwartete Gewinn von Bieter 1, gegeben,
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dass er die Auktion gewinnt
1
b1
αt1 + γ
− b1
2(α + γ) 2
Mit der Restwahrscheinlichkeit verliert Bieter 1 die Auktion und bekommt eine Auszahlung von 0.
Also ist seine erwartete Auszahlung beim Gebot b1
⎡
⎤
1 ⎥⎥
b1 ⎢⎢
b1
− b1 ⎦
EU1(b1 | t1) =
⎣αt1 + γ
α+γ
2(α + γ) 2
αb1(2(α + γ)t1 − b1)
=
2(α + γ)2
Bieter 1 wählt sein Gebot b1 so, dass dieser Ausdruck maximiert wird. Wenn wir nach b1 ableiten bekommen wir die
BEO
2α(α + γ)t1 − 2αb1
dEU1(b1 | t1)
=
=0
db1
2(α + γ)2
bzw.
b1 = (α + γ)t1 .
Also ist die vorgeschlagene Bietstrategie für Bieter 1 optimal, wenn Bieter 2 sich an diese Strategie hält. Wegen
der Symmetrie des Spiels muss auch das umgekehrte gelten. Also liegt hier tatsächlich ein Bayesianisches NashGleichgewicht vor.
Q.E.D.
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Bemerkungen:
Ein naiver Bieter 1 würde sagen, dass das erwartete Signal des anderen Bieters 12 ist. Also ist seine Zahlungsbereitschaft αt1 + γ · 12 . Da es eine Zweitpreisauktion ist,
sollte er auch genau diesen Betrag bieten.
Diese Argumentation ist aber falsch, weil sie nicht berücksichtigt, dass Bieter 1 die Auktion nur dann gewinnt,
wenn das Signal von Bieter 2 niedriger als sein eigenes
Signal ist. Er gewinnt also nur dann, wenn das Gut für
ihn relativ wenig wert ist.
Im Gleichgewicht berücksichtigt Bieter 1 diesen Effekt.
Wenn sein eigenes Signal niedrig ist bietet er weniger,
weil er weiß, dass er die Auktion nur dann gewinnt, wenn
das Signal seines Gegenspielers noch niedriger und das
Gut darum nur wenig wert ist. Wenn sein eigenes Signal
dagegen hoch ist, bietet er mehr als der naive Bieter.
Übungsaufgabe: Zeigen Sie, dass es bei einer Erstpreis-Auktion
in diesem Beispiel ein Gleichgewicht ist, wenn jeder Bieter
t bietet.
bi = α+γ
2 i