Übungen zur Vorlesung „Grundlagen der Physik“
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D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 FH Südwestfalen – Fachbereich Technische Betriebswirtschaft Übungen zur Vorlesung „Grundlagen der Physik“ September 2015 Dieter Bangert Michael Funcke Elmar Gödde Carsten Mense 1 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Liebe Studienanfänger, ein Skriptum gibt einem das gute Gefühl, den Vorlesungs- und damit auch den Prüfungsstoff in klar abgegrenzter Form parat zu haben. Denn was man „schwarz auf weiß“ hat, kann man getrost nach Hause tragen und abheften. Damit ist es jedoch nicht getan. Da das Lesen eines Textes, wie auch das Hören einer Vorlesung, nicht identisch mit dem Verstehen des Stoffes ist, kommt den Beispielen und Übungsaufgaben eine besondere Bedeutung zu. Das Lösen physikalischer Aufgaben erfordert, wie aktuelle Untersuchungen der Bildungsforschung immer wieder bestätigen, eine besondere aber erlernbare Lösungskompetenz, die nur durch selbstständiges Üben gewonnen werden kann. Die eigenständige Bearbeitung von physikalischen Übungsaufgaben bietet Gelegenheit zur Wiederholung des Stoffes und zur Überprüfung des Wissens und dient daher der Selbstkontrolle des Gelernten. Vorausgesetzt werden dabei die sichere Beherrschung der Elementarmathematik sowie anwendbare Kenntnisse der für die Hochschulreife bzw. Fachhochschulreife üblichen Grundlagen der Differentialund Integralrechnung. Die der Stoffvertiefung dienenden Übungen bieten schließlich auch die Möglichkeit zur gemeinsamen Diskussion und Lösung offener Probleme. Der Studienerfolg setzt jedoch eine gründliche Durcharbeitung der jeweiligen Lerneinheiten und eine häusliche Nacharbeit des Vorlesungsinhalts sowie eine selbstständige Bearbeitung der Übungsaufgaben zwingend voraus. Die vorliegende Einführung in die Physik hat folgende Zielsetzung: Vorstellung der Grundbegriffe der für das Ingenieurwesen mit dem Schwerpunkt Maschinenbau wesentlichen Begriffe aus angewandter Naturwissenschaft, Mechanik und Strömungslehre. Im Mittelpunkt sollen dabei Anwendungen von Reibungsphänomen und der Physik der Energiewende stehen. Denn der Einsatz von Energie stellt die Voraussetzung aller realwirtschaftlichen Wirtschaftsprozesse dar. Auch die ausgewählten Übungsaufgaben sollen sich vorrangig an realwirtschaftlichen Prozessen orientieren und setzen damit manchmal ein Metawissen voraus, welches ebenfalls erforderlich ist, um die Wirtschaftsseiten der überregionalen Tageszeitungen wie Süddeutsche Zeitung, Frankfurter Allgemeine Zeitung oder Handelsblatt verständnisvoll lesen zu können. Die vorliegende Aufgabensammlung soll Ihnen bei der Prüfungsvorbereitung helfen. Denn ein wesentlicher Teil der Prüfungsaufgaben wird dieser Aufgabensammlung entnommen werden. Bei den Klausuraufgaben können jedoch geänderte Zahlenwerte oder leicht modifizierte Fragestellungen verwendet werden. Für jede Vorlesungswoche ist dabei ein Übungsblatt vorgesehen. Die Aufgaben der jeweiligen Übungsblätter sollten Sie vor dem Übungstermin selbstständig bearbeiten und zu lösen versuchen. Dabei kann es durchaus das eine oder andere Mal vorkommen, dass sich eine Aufgabe Ihren Lösungsversuchen zu widersetzen scheint. Resignieren Sie dann nicht, sondern fühlen Sie sich herausgefordert. Am Ende des jeweiligen Übungsblattes werden zum Vergleichen die numerischen Ergebnisse (ohne Gewähr) genannt. Da wir in einer komplexen Welt leben, sollten wir nicht darüber überrascht sein, dass eine Naturwissenschaft, die über diese Welt zuverlässige Aussagen machen will, dieser realen Komplexität gerecht werden muss. In den Übungen, an denen Sie unbedingt teilnehmen sollten, werden dann die Lösungswege und Ergebnisse detailliert besprochen. Kritik am Skriptum und an den Übungsaufgaben in Form von Lob und Beschwerden, Verbesserungsvorschläge, Fehlermeldungen und sonstigen Kommentare oder Hinweise sind erwünscht. Bitte richten Sie diese an folgende E-Mail-Adresse: [email protected] Ihnen allen wünschen wir viel Freude an dem interessanten und immer neue Einsichten liefernden Studienfach Physik und besten Studienerfolg! D. Bangert et al. 2 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 0 Liebe Studentinnen und Studenten, in der vorliegenden Übung Nr. 0, einer fachhochschultypischen Besonderheit in Form einer Übung vor der ersten Vorlesung, soll es um die Kulturtechnik „Rechnen“ mit physikalischem Hintergrund gehen. Erproben Sie Ihr rechentechnisches Know-how an folgenden Fragestelllungen: A 0.1 Massenbestimmung Ein zylindrisches Messingrohr (CuZn37) besitzt folgende Eigenschaften: Dichte ρ Ms = 8440 kg / m 3 , Außendurchmesser D A = 4 cm , Masse des Rohres m = 6,2832 kg, Rohrlänge L = 3,00 m Welche Wandstärke w (gemessen in mm) weist das Rohr auf? Hinweis: Bei einem homogenen Körper ist die Masse m des Körpers proportional zu seinem Volumen V. Der Proportionalitätsfaktor ist die Dichte ρ des Körpers. A 0.2 Transzendente Gleichung Ihre Freundin / Ihr Freund studiert Mathematik für das Lehramt an Grundschulen und möchte Ihre Rechenfähigkeit als angehende/r Wirt.-Ing. testen. Gegeben sei die folgende Gleichung: x loga x = a 2 x Dabei sei a eine positive reelle Zahl und es gelte: a ≠ 1 a) Prüfen Sie, ob x = a 2 die gegebene Gleichung erfüllt! b) Zum guten Schluss mal etwas Schwieriges: Besitzt die Gleichung noch eine weitere Lösung? Hinweise: log a ist der Logarithmus zur Basis a Für die Umrechnung von Logarithmen zur Basis b in eine andere Basis a gilt: log a n = log b n log b a A 0.3 Elementarmathematik? Ja bitte! Ein Werkstudent der Fa. Budo Automotive assistiert in der Motorenentwicklungsabteilung. In der Einarbeitungsphase soll er sich mit den Grundlagen der Wärmekraftmaschinen beschäftigen. Ein zylinderförmiger Hohlraum (Zylindervolumen V) ist mit Luft gefüllt und wird oben durch einen beweglichen Kolben abgeschlossen. Der Anfangszustand wird durch das Volumen V1 = 570 cm 3 und den Gasdruck p1 = 10 5 Pa beschrieben. Dann soll der Kolben so weit nach innen geschoben werden, bis das Endvolumen V2 und der zugehörige Enddruck p2 erreicht sind. Während der Verschiebung wird am Kolben die Kompressionsarbeit WV = 287,3 J verrichtet. Welchen Endwert nimmt dabei das Volumen V2 an, wenn die Kompression adiabatisch verläuft und der zugehörige Enddruck p2 nicht bekannt ist? Geben Sie das Volumen V2 in der Einheit cm³ an! Der Werkstudent hat noch nie etwas von Thermodynamik gehört. Ihm wird daher als Hilfestellung das „Handbuch für den Maschinenbauer“ empfohlen. Dort finden sich für diese Problemstellung die folgenden beiden Formeln: WV = p 2 V2 − p 1V1 κ −1 und p1 V = ( 2 ) κ mit κ = 1,4 p2 V1 a) Stellen Sie eine analytische Berechnungsformel für das gesuchte Endvolumen V2 auf! b) Berechnen Sie damit das numerische Ergebnis für V2 3 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 1 Die Besonderheit der sich in der abendländischen Kultur erfolgreich entwickelten exakten Wissenschaften ist die Mathematisierung. Von Galilei stammt sinngemäß die Aussage: Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben. Daniela Wuensch*) schreibt: „Die erste mathematisierte Wissenschaft in unserer Kultur war die Physik. Da sich bislang die Mathematisierung als fruchtbares Modell erwiesen hat, spielt die Physik die wichtigste Rolle in der Landschaft der abendländischen Wissenschaften und zeichnet sich durch überragenden Nutzen aus, den sie besonders in der Technik entfaltete.“ Wir beginnen daher diese Einführung in die Physik mit rechentechnischen Übungen. Dabei soll es zunächst nicht um den physikalischen Hintergrund gehen. Vielmehr soll die formale Anwendung von Rechentechnik anhand von Beispielen aus Physik und Werkstoffwissenschaft im Vordergrund stehen. 1.1 Wärmedurchgangskoeffizient (U-Wert) In der Bauphysik wird der Wärmedurchgangskoeffizient U einer monolithischen Wand (Wanddicke d, Wärmeleitfähigkeit λ , Wärmeübergangskoeffizient h i (innen) und h a (außen) folgendermaßen berechnet: 1 1 d 1 = + + U hi λ ha Bestätigen oder widerlegen Sie durch eigene Rechnung folgende Berechnungsvorschrift für U: U= λh i h a λh i + dh i h a + λh a 1.2 Packungsdichte Viele Metalle (V, Cr, Mo, Ta, W) kristallisieren im kubisch-raumzentrierten Gitter (krp). Die Metallatome mit identischem Radius R A sitzen auf den Kanten eines Würfels mit der Kantenlänge a (sie wird Gitterkonstante genannt) und zusätzlich befindet sich ein Atom im Schnittpunkt der beiden Raumdiagonalen. Die Raumerfüllung oder Packungsdichte RE einer Kristallstruktur ist definiert als das Verhältnis der Volumina der in der Elementarzelle eingeschlossenen Kugelsektoren der Atome VA zum Gesamtvolumen VE der Elementarzelle, die hier aus einem Würfel besteht. RE = VA VE ________________________________ *) Der Weg der Wissenschaft im Labyrinth der Kulturen, Termessos, Göttingen 2008 4 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Der experimentierfreudige TBW-Student Fragmehr Zweifelmann baut aus 9 identischen Kugeln, jeweils vom Radius R, ein dichtgepacktes Kugelmodell der kubisch raumzentrierten Elementarzelle und löst damit folgende Aufgaben: a) Welche mathematische Relation besteht zwischen der Gitterkonstanten a und dem Atomradius (Kugelradius) R A ? b) Welche Berechnungsformel ergibt sich für die Packungsdichte RE krz ? 1.3 Brinellhärte Ein Werkstoffprüfer hat an einer Stahlprobe nach dem Brinellverfahren einen Härtewert von 140 HB gemessen, d. h. der Brinellhärtewert beträgt HB = 140. Dabei wird eine Stahlkugel mit dem Durchmesser D als Eindringkörper mittels einer Prüfkraft F in die Werkstoffprobe gedrückt und der Durchmesser d der dabei entstehenden Eindruckkalotte gemessen. h Die Prüfkraft F in N hat den Wert F = 1838 N und der in mm angegebene Kugeldurchmesser D hat den Wert D = 2,5 mm. Welcher Eindruckdurchmesser d (in mm) der Kugelkalotte wurde gemessen, wenn der Versuchsauswertung die Formel HB = 0,102 ⋅ 2 ⋅ F π ⋅ D ⋅ (D − D 2 − d 2 ) zugrunde gelegt wird? Stellen Sie zunächst durch nachvollziehbare Umformung eine allgemeine Berechnungsformel für d auf und ermitteln Sie dann das Ergebnis! Hinweis: Rein formal besitzt die Brinellhärte die Einheit N/mm². Sie ist definiert als Quotient aus dem Betrag der einwirkenden Kraft F (in N) und der Fläche A (in mm²) der nach Kraftentlastung bleibenden Eindruckkalotte. Übrigens ist die Härte keine physikalische Größe. Ihr Zahlenwert hängt vom Prüfverfahren an, welches bei einer normgerechten Härteprüfung angegeben werden muss. In der Werkstoffkunde ist es jedoch üblich, die Einheit wegzulassen und nur den Zahlenwert für HB zu verwenden. 1.4 Raumausmessung (Flächenberechnung) Bei einem ebenen Schnitt eines Drehzylinders entsteht eine Ellipse. Dabei kann ein Drehzylinder als der Ort aller Punkte definiert werden, die von einer gegebenen Graden, sie wird Achse genannt, einen festen Abstand r, Radius genannt, besitzen. Der Drehzylinder ist ein Körper, der seinen Namen einer Bewegung verdankt. Er entsteht nämlich durch Rotation einer Geraden im Abstand r um eine zu ihr parallelen Achse. Der belgische Mathematiker Germinal Pierre Dandelin (1794 – 1847) konnte beweisen, dass die Ellipse den Ort aller Punkte einer Ebene darstellt, für welche die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten, sie werden Brennpunkte F1 und F2 genannt, konstant ist. Wird ein kartesisches Koordinatensystem so gewählt, dass sein Ursprung im Figurenmittelpunkt (M = 0) einer Ellipse liegt, so erfüllen alle Ellipsenpunkte P(x;y) folgende Mittelpunktsgleichung: 5 D. Bangert et al. x2 a2 + y2 b2 Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 =1 a heißt große und b kleine Halbachse. a) Berechen Sie den Flächeninhalt A einer Ellipse, indem Sie die Fläche im 1. Quadranten (von x = 0 bis x = a) unter dem dortigen Kurvenbogen ermitteln! b) Was folgt für den Flächeninhalt, wenn a = b ist? Hinweis: Verwenden Sie die Integrationstabellen einer mathematischen Formelsammlung Ergebnisse: A 1.1 Die genannte Formel ist korrekt. A 1.2 a) a = 4 R A ; b) RE krz = 3 A 1.3 d = 1,26 mm A 1.4 a) A = πab ; b ) A = πr 2 π 3 = 0.68 8 6 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 2 In diesem Übungsblatt taucht erneut der abstrakte Begriff „Energie“ auf. Es geht hier nicht um die Frage: Was ist Energie? Diese Frage soll später beantwortet werden. An dieser Stelle genügt folgende Information: Energie ist eine skalare physikalische Größe, deren Maßeinheit das Joule (J) ist. Dabei ist oft folgende Zusatzinformation nützlich: 1 J = 1 Ws (Wattsekunde). Das Watt (W) ist die Maßeinheit der Leistung, einer weiteren skalaren physikalischen Größe. A 2.1 Physikalische Größen und ihre Zahlenwerte a) Der Radius eines Pb-208-Atomkerns beträgt R Pb = 0,0000000000 071mm . Geben Sie diesen Radius in a1) fm und a2) in Standard-Exponentialschreibweise an! b) Der deutsche Primärenergieverbrauch belief sich 2010 auf E PEV = 14,057 Trillionen Joule. Geben Sie diese Energie in b1) PJ und b2) in Standard-Exponentialschreibweise an! A 2.2 Volumina, Masse und Dichte a) In einem Labor mit rechteckiger Grundfläche von 8 m x 5 m steht nach einem Wasserrohrbruch das Wasser 10 cm hoch. Das Labor hat keinen Abfluss. Der Messtechniker Ulli Knecht will das Wasser mit einem 5-Liter-Eimer abschöpfen. Wie viele volle Eimer sind dafür rechnerisch notwendig? b) Der Messtechniker Ulli Knecht soll einen Laborkühlschrank mit einem Fassungsvermögen von V = 100 Litern bestellen. Eine englische Firma bietet einen Kühlschrank mit einem Fassungsvermögen von 3 cubic feet an. Prüfen Sie die Eignung dieses Angebots im Hinblick auf das geforderte Fassungsvermögen! 3 c) Ein Dichtungsring (O-Ring) aus Hartgummi (ρH = 1,15 kg/dm ) hat eine Masse von m = 45,76 g und einen Durchmesser D = 2· R = 11,2 cm. Wie groß ist der Radius r der Querschnittsfläche? A 2.3 Winkel im Grad- und Bogenmaß a) Geben Sie den Winkel α = 2,15136 rad im Gradmaß in Grad, Minuten und Sekunden an. Die Winkelsekunden sind dabei durch Rundung als ganze Zahlen anzugeben! b) Geben Sie den Winkel α = 123° 45 ' 20 ' ' im Bogenmaß an. c) Wie lautet der Winkel ϕ =105° im Bogenmaß? A 2.4 Kettenlinienlänge Die Längen- und Entfernungsmessung ist eine physikalische Aufgabe, die oft die Anwendung besonderer mathematischer Hilfsmittel erfordert. Dies soll am Beispiel der Längenbestimmung einer gekrümmten Kurve demonstriert werden. Die Kurve einer Funktion y = f(x) soll im Intervall a ≤ x ≤ b entlang der x-Achse durch n Punkte a = x 1 , x 2 ,..., x i ,..., x n = b in (n -1) Teilstücke zerlegt werden, welche die Längen ∆x 1 , ∆x 2 ,..., ∆x n −1 besitzen. Im i-ten Teilintervall ∆x i = x i − x i−1 zwischen den Punkten x i−1 und x i kann dann die Kurvenlänge ∆s i näherungsweise durch die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmt werden. Anwendung des pythagoräischen 7 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Satzes liefert dann: ∆s i = ∆x i2 + ∆y i2 . Die Gesamtlänge s der Kurve entspricht dann näherungsweise einem Polygon, dessen Länge gleich der Summe der einzelnen Hypotenusen entspricht: n −1 n −1 i=1 i =1 s ≈ ∑ ∆x i2 + ∆y i2 = ∑ [1 + ( ∆y i 2 ) ] ∆x i ∆x i Durch Verfeinerung der Intervallzerlegung geht die Anzahl der Intervalle gegen Unendlich und die ∆y . Die diskrete Summe geht dann über in ein Intervallbreite gegen Null. Es sei f ′( x ) = lim ∆x →0 ∆x Riemannsches Integral und man erhält schließlich folgende Berechnungsvorschrift für die gesuchte Kurvenlänge: b s = ∫ 1 + f ′( x ) 2 dx a Der/Die Fachmann/Fachfrau werden diese Berechnungsformel (ohne aufwändige Ableitung) direkt aus ihrem mathematischen Werkzeugkasten holen und anwenden. Und um Anwendungen soll es hier gehen! Ermitteln Sie die Länge s einer Kettenlinie, in den Grenzen von x = a bis x = b, die durch die e x + e −x Hyperbelfunktion y = f ( x ) = cosh x = beschrieben wird. 2 Hinweis: Nehmen Sie eine mathematische Formelsammlung zur Hilfe! Ergebnisse: A 2.1 a1) R Pb = 7,1 fm ; b1) E PEV = 14217 PJ; a2) R Pb = 7,1 ∗ 10 −15 m b2) E PEV = 1,4217 ⋅ 10 19 J A 2.2 a ) 800; b) V = 84,95 L; c) r ≈ 6 mm A 2.3 a) α = 123°15 ' 50 ' ' ; b) α = 2,15994 rad ; c) ϕ =1,8326 rad A 2.4 s = sinh b – sinh a 8 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 3 A 3.1 Steigung a) Betrachten Sie den Anstieg einer Straße mit konstanter Steigung m. Über eine horizontale Strecke l h wird dabei ein Höhenunterschied ∆h erzielt. Die zugehörige Fahrbahnlänge sei s. Dann bilden l h und ∆h die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, deren Hypotenuse s ist. Die Hypotenuse s schließt dann mit der Ankathete l h den Steigungswinkel ϕ ein und es gilt definitionsgemäß: m = tan ϕ = ∆h lh Wie groß ist der Steigungswinkel ϕ im Gradmaß, wenn über eine horizontale Länge von 400 m einen Höhenanstieg von 40 m erzielt wird? b) Deutschland weist bei einer Gesamtfläche von A = 357121 km² eine Waldfläche von A Wald = 10,19 Mio. ha auf. a) Wie viel Prozent der deutschen Gesamtfläche sind bewaldet? c) Welches Bundesland (mit Ausnahme der Stadtstaaten) ist am waldreichsten / waldärmsten? Geben Sie eine (nicht-physikalische) Schätzung ab! A3.2 Globale Erwärmung Die Antarktis besitzt eine Fläche von A Ant = 13,2 Mio. km², die von einem Eisschild (ρE = 0,90 g / cm3 ) mit der mittleren Dicke von dES = 2200 m bedeckt ist. Angenommen diese Eismasse würde infolge einer globalen Erwärmung komplett schmelzen ( ρ W = 1,0 g / cm 3 ). Um welche Höhe h würde dabei der heutige Meeresspiegel ansteigen, wenn 70,8% der Erdoberfläche von Meeren bedeckt ist und der Erdradius RE = 6,371 ⋅ 106 m beträgt? A 3.3 Volumenbestimmung Ein hohler Ringkörper (Torus) wird durch Biegung eines Stahlrohres mit der Wandstärke w hergestellt. Der Ringkörper besitzt eine Masse von m = 125 kg bei einem „mittleren“ Radius R = 0,5 m. Das ringförmig gebogene Stahlrohr ( ρ St = 7,95 g / cm 3 ) hat einen Außenradius von r A = 5 cm . Wie dick muss die Wandstärke w gewählt werden? 9 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 A 3.4 Entfernungen Von den nachstehend aufgeführten Städten sind die geographischen Daten (Breitengrad und Längengrad) angegeben. a) Carson City / NV (39°12’ N / 119°46’ W) und Kansas City / KS (39°5’ N / 94°40’ W) Nehmen Sie näherungsweise einen einheitlichen Breitengrad ϕ ≈ 39° 8 ' für die beiden Orte an und berechnen Sie die Entfernung, die ein tief fliegendes (h ≈ 0 m) Forschungsflugzeug zurücklegt, welches genau entlang des Breitengrades von Carson City nach Kansas City fliegt. b) Dünkirchen / FRA (51°2’ N / 2°20’ O) und Barcelona / ESP ( 41°21’ N / 2°10’ O) Nehmen Sie näherungsweise einen einheitlichen Längengrad für die beiden Orte an und berechnen Sie den kürzesten Abstand in Form der sog. Luftlinie! c) Die beiden Orte Jokkmokk in Schweden und Selawik in Alaska liegen ziemlich genau auf dem Nördlichen Polarkreis: Jokkmokk (66,5° N / 20° O) und Selawik (66,5° N / 160° W) Berechnen Sie die Entfernung zwischen den beiden Orten, die ein konstant h = 10 km hoch fliegendes Flugzeug zurücklegt, welches genau entlang des Nördlichen Polarkreises fliegt. d) Berechnen Sie den kürzesten Abstand (Luftlinie in h = 10 km Höhe) zwischen den beiden Orten in Aufgabenteil c) in Form der Orthodrome! Der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Kugeloberfläche liegt auf einem Großkreis, auf dessen Peripherie die beiden Orte liegen und der im Raum so orientiert ist, dass sein Mittelpunkt mit dem Erdmittelpunkt zusammenfällt. Die Länge dieses Kreisbogens wird Orthodrome genannt. Hinweis: RE = 6,371 ⋅ 106 m Ergebnisse: A 3.1 a) 5,71° ; b) 28% A 3.2 72 m A 3.3 2,0 cm A 3.4 a) 2163 km; b) 1076 km; c) 9274 km; d) 5234 km 10 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 4 A 4.1 Deutscher Primärenergieverbrauch a) Geben Sie Ihre Vermutung oder Schätzung des Anteils am deutschen Primärenergieverbrauch ab, der 2014 auf fossile Energieträger entfiel! □ 0% □ 20% □ 40% □ 60% □ 80% □ 100% b) Berechnen Sie den Anteil des deutschen Primärenergieverbrauchs, der 2014 auf fossile Energieträger entfiel! Primärenergieverbrauch in Petajoule (PJ) nach Energieträgern in Deutschland Quelle. BMWi Energiedaten Energieträger 2010 2011 2012 2013 2014 Mineralöl 4.684 4.525 4.513 4640 4577 Steinkohle 1.714 1.715 1.671 1786 1647 Braunkohle 1.512 1.564 1.645 1628 1572 Erdgas, Erdölgas 3.171 2.911 2.953 3166 2674 Kernenergie 1.533 1.178 1.085 1061 1059 254 309 242 373 275 1.160 1.153 1.341 1064 1178 Außenhandelssaldo Strom -64 -23 -83 Sonstige 254 267 278 -122 233 -128 222 14.217 13.599 13.645 13.828 13.076 Wasser- und Windkraft andere Erneuerbare Gesamtverbrauch 1) 3) 2) 11 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 A 4.2 Chemie und Physik eines Raketenantriebes a) Für die vollständige Verbrennung (Oxidation) von Alkohol ( C 2H 5 OH ) mit reinem Luftsauerstoff ( O 2 ) zu Kohlendioxid ( CO 2 ) und Wasser ( H 2 O ) soll die chemische Reaktionsgleichung aufgestellt werden. n1 ⋅ C 2H 5 OH + n 2 ⋅ O 2 → n 3 ⋅ CO 2 + n 4 ⋅ H 2 O Vervollständigen Sie die Reaktionsgleichung indem Sie vier Unbekannten n i bestimmen, bei denen es sich um die Stoffmengen der beteiligten Reaktionspartner handeln könnte! Technisch (und an dieser Stelle abseits dieser Einführung in die Physik) sind folgende Fragen von Bedeutung: b) In Raketenmotoren werden im Allgemeinen flüssige Treibstoffe eingesetzt. Welchen Vorteil könnte dies haben? c) Die A-4 (Aggregat 4) war weltweit die erste Großrakete. Ihre Treibstoffe waren flüssiger Sauerstoff und eine Alkohol-Wassermischung mit 75% Alkoholanteil. Was könnte der Grund sein, warum kein reiner Alkohol verwendet wurde? Hinweis: Bei einer chemischen Reaktion ändert sich weder die Anzahl noch die Identität der beteiligten Atome. n i (i = 1 – 4) sind bei einer Elementarreaktion natürliche Zahlen, die die Anzahl der an der Reaktion beteiligten Moleküle angeben. Im Allgemeinen handelt es sich dabei um die Stoffmengen der beteiligten Reaktionspartner. A 4.3 Molare Masse Geben Sie jeweils die molare Masse der Gase a) Helium, b) Stickstoff ( N2 ) , c) Sauerstoff ( O2 ), c) Ethan ( C2H6 ) und der Metalle e) Silber und f) Blei an. g) Die Flüssigkeit Isopren besitzt die Summenformel C 5H8 und hat eine Dichte von ρ = 0,68 g / cm 3 . Welches Volumen V (in der Einheit cm 3 ) werden von der Stoffmenge n = 5 mol eingenommen? h) Wie groß ist die molare Masse der chemischen Verbindung mit der nachfolgend dargestellten Strukturformel? Es handelt sich um Melamin, einen Stoff mit der Summenformel C3H6N6, der zur Herstellung von Aminoplasten verwendet wird. Dabei erfolgt eine Polykondensation mit Formaldehyd. A 4.4 Durchmesser eines Kohlenstoffatoms a) Geben Sie eine rechnerische Abschätzung des Durchmessers d eines C-12-Atoms an. Der Kohlenstoff soll in Form von Diamant mit der Dichte ρ Dia = 3,52 g / cm 3 vorliegen. Nehmen Sie vereinfachend an, dass jedes C-Atom sich als Kugel in einem Würfel mit der Kantenlänge d befindet. Hinweis: Nutzen Sie den Begriff der molaren Masse! b) Welche Gitterstruktur würde sich für Diamant nach der o. g. Aufbauvorschrift ergeben? 12 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Ergebnisse: A 4.1 A 4.2 a) 80%; b) 79% a) n1 = 1 , n 2 = 3 , n 3 = 2 , n 4 = 3 A 4.3 a) 4 g/mol; b)28 g/mol;c) 32 g/mol; d) 30 g/mol; e) 107,9; f) 207,2 g/mol; A 4.4 g) 500 cm 3 ; h) 126 g/mol a) 178 pm; b) kubisch-primitives Gitter 13 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 5 A 5.1 Periodensystem der Elemente und Stoffeigenschaften a) Ist die Anzahl der Atome (bzw. Ionen) in 1 kg Aluminium im Vergleich mit der entsprechenden Anzahl der Atome in 1 kg Eisen größer, kleiner oder gleich? b) Welcher Unterschied besteht zwischen den beiden stabilen Silber-Nukliden 107 47 Ag und 109 47 Ag ? c) Eine Kugel aus einer Titanlegierung mit einem Durchmesser d = 10,0 mm hat eine Masse m = 2,154 g. Welche Dichte besitzt ρ die Legierung in der Einheit kg/m³? A 5.2 Kinematik der gleichförmigen Bewegung a) Eine l1 = 35 cm lange Kerze K1 brennt in einer Stunde 2 cm ab. Ihre Abbrandgeschwindigkeit sei v1 . Eine andere l 2 = 50 cm lange Kerze K 2 brennt pro Stunde um 5 cm ab. Ihre Abbrandgeschwindigkeit sei v 2 . Beide Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Nach welcher Brenndauer t G sind beide Kerzen gleich lang? Hinweis: Sie können mit SI-fremden Einheiten rechnen! b) Eine Geländestrecke von s = 18 km besteht aus einem einfachen Teilstück der Länge s1 = 9 km und einem schwierigen Teilstück der Länge s 2 = 9 km . Ein Langstreckenläufer überwindet das gesamte Gelände mit einer konstanten Geschwindigkeit v LL = 12 km / h . Er steht im Wettbewerb mit einem Mountainbiker, der das einfache Teilstück 4 km/h schneller als der Läufer und das schwierige Teilstück 4 km/h langsamer als der Läufer zurücklegt. b1) Wer überwindet die Gesamtstrecke schneller? b2) Wie lang müsste der einfache Geländeteil sein, damit beide Sportler gleichzeitig am Ziel sind? A 5.3 Geschwindigkeiten sind Vektoren! Vanessa Schnell-Reich arbeitet als Investment-Bankerin in der Mainmetropole. Sie wohnt im Taunus und fährt mit der U-Bahn täglich zur Arbeit. Sie steigt an der U-Bahn-Haltsstelle „Hauptwache“ aus und benutzt die Rolltreppe (Länge lR ) um in die Fußgängerzone „Zeil“ zu gelangen. Wenn sie auf der Rolltreppe steht (in Ruhe), beträgt die gesamte Fahrdauer mit der konstanten Geschwindigkeit v R nach oben t R = 120 s . Wenn die Rolltreppe wegen eines elektrischen Defektes still „steht“, läuft sie die Rolltreppe mit konstanter Geschwindigkeit v L hoch und kommt nach t L = 80 s oben an. Welche Zeitdauer tRL benötigt Vanessa für den Weg (Länge lR ) nach oben, wenn sie mit v L auf der sich mit v R bewegenden Rolltreppe hoch läuft? A 5.4 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Eine Wandergruppe entdeckt in einem Heidegebiet einen alten Brunnen. Um die Tiefe sB des Brunnens abzuschätzen, lassen sie einen Stein aus der Ruhelage in den Brunnenschacht fallen. Nach t M = 3,68 s nach dem Loslassen des Steins hört man den Aufprall. a) Wie tief ist der Brunnen, wenn die Schallgeschwindigkeit unendlich groß wäre? b) Wie tief ist der Brunnen bei Berücksichtigung einer endlichen Schallgeschwindigkeit in Luft von vS = 340 m/s? 14 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Verwenden Sie folgende Abkürzungen: sB : Brunnentiefe tF: Fallzeit des Steines tS: Schall-Laufzeit vom Brunnenboden nach oben tM: Meßzeit für die Zeitdauer bis zum Aufprall Ergebnisse: A 5.1 A 5.2 A 5.3 A 5.4 a) größer; b) A und N sind verschieden; c) 4113 kg / m 3 a) 5 h; b1) Langstreckenläufer mit 1,5 h; b2) 12 km 48 s a) 66,4 m; b) 60,2 m 15 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 6 A 6.1 Sicherheit im Straßenverkehr: Überholen ohne Gegenverkehr Ein mit konstant v 2 = 60 km/h auf gerader Strecke fahrender Pkw 2 wird von einem nachfolgenden Pkw 1 überholt, der sich mit konstant v 1 = 70 km/h fortbewegt. Wie lange (Zeitdauer t Ü ) dauert der Überholvorgang, und welche Fahrstrecke ( s Ü ) muss der Überholer (Pkw 1) zurücklegen, wenn der gegenseitige Abstand vor (beim Ausscheren) und nach dem Überholen (beim Wiedereinscheren) jeweils 20 m beträgt und beide Fahrzeuge jeweils 4 m lang sind? A 6.2 Sicherheit im Straßenverkehr: Abbremsen Ein Pkw fährt auf waagrechter Straße mit v 0 = 90 km/h. Der Fahrer möchte beim Anblick einer Radarfalle schnell auf v V = 50 km/h abbremsen. Die Abbremsung erfolgt zum Zeitpunkt (t = 0) mit konstanter Gleitreibung ( µ G = 0,5). a) Wie lange dauert der Abbremsvorgang? b) Welche Strecke legt er dabei zurück? A 6.3 Energieerhaltung Ein auf horizontaler Ebene mit der Anfangsgeschwindigkeit v = 144 km/h rollender Pkw mit der Masse m Pkw = 10 3 kg rollt im Leerlauf (antriebslos) eine ebene Bergstraße mit konstanter Steigung von 5% hinauf. Reibungskräfte sollen dabei vernachlässigt werden. Welche Wegstrecke s legt er bei dieser Bergfahrt zurück? A 6.4 Sicherheit im Straßenverkehr: Bremsen bei Talfahrt im Hochgebirge Ein Auto mit der Masse m = 1600 kg und der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 72 km/h werde auf einer abschüssigen Straße mit konstantem Gefälle von 18% zum Zeitpunkt t = 0 durch Blockieren aller Räder abgebremst. Der Gleitreibungskoeffizient betrage µ G = 0,9 . a) Nach welcher Zeitdauer Schrecksekunde)? t B kommt das Auto zum Stillstand (ohne Reaktionsdauer durch b) Wie lang ist der Bremsweg s B ? A 6.5 Lageenergiespeicher Die längerfristige Speicherung des stark fluktuierenden Ökostroms stellt eine bislang ungelöste technische Herausforderung der „Stromwende“ dar. Der Furtwanger Physiker Eduard Heindl hat dafür das Konzept eines „Lageenergiespeichers entwickelt. In einem ebenen Granitgebirge wird ein zylinderförmiger Granitblock (Durchmesser d = 2r = 1 km, Höhe h = r = 500 m) „gefräst“. Dieser Block ruht auf einem unterirdischen Pumpspeichersee, der als Hubraum dient und in den bei Stromüberschuss Wasser gepumpt wird. Der Granitblock wirkt als beweglicher Kolben und wird dabei um bis zu maximal 500 m hydraulisch angehoben. Bei Strombedarf wird der Granitblockkolben langsam wieder absenkt und das verdrängte Wasser über Turbinen abgelassen. 16 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 http://www.heindl-energy.com Quelle: Deutsches Patent, Patent Nr. DE 10 2010 034 757 A1 „Energiespeicher auf Basis von Lageenergie durch hydraulische Hebung einer Felsmasse“ a) Welche Hubarbeit WH ist nur zum Anheben des Granitzylinders ( ρGr = 2,8 g / cm 3 ) um h = 500 m erforderlich? b) Welche potentielle Energie E pot in der Einheit kWh ist dann im Granitblock gespeichert? c) Wie groß ist E pot in GWh? Ergebnisse: A 6.1 t Ü = 17,28 s ; s Ü = 336 m A 6.2 A 6.3 A 6.4 A 6.5 a) 2,27 s ; b) 44,1 m 1634 m a) 2,9 s; 28,8 m a) 5,39 ⋅ 1015 J ; b) 1,5 ⋅ 10 9 kWh ; c) 1500 GWh 17 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 7 A 7.1 Braunkohle als zurzeit wichtigster heimischer Energieträger Ein Braunkohle-Großkraftwerk verbrennt täglich 36000 t Rohbraunkohle. Für den Transport des Primärenergieträgers werden spezielle großräumige Kohlewaggons mit einem Ladevolumen von 75 m³ eingesetzt. Die Schüttgutdichte der Rohbraunkohle soll ρ = 0,8 g/cm³ betragen. Wie viele voll beladene Waggons müssen täglich abgefertigt werden? Warum ist die Schüttgutdichte kleiner als die Feststoffdichte der Rohbraunkohle, die 0,9 g/cm³ bis 1,0 g/cm³ beträgt? A 7.2 Senkrechter Wurf nach oben und freier Fall Ein Projektil werde senkrecht mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 in die Luft geschossen. Die Erdbeschleunigung g sei konstant und der Luftwiderstand sei völlig vernachlässigbar. Zeigen Sie, dass das Geschoss genauso lange steigt (Steigdauer t S ), wie es benötigt, um auf seine ursprüngliche Startposition zurückzufallen (Falldauer t f ). Wie sieht seine Endgeschwindigkeit v e im Vergleich zu seiner Anfangsgeschwindigkeit v 0 aus? Zum Nachdenken: Wie ändert sich der Sachverhalt bei Berücksichtigung der Luftreibung? A 7.3 Energieerhaltung: Berechnete und gemessene Schusshöhen Ein Geschoss werde unter Vernachlässigung der Luftreibung senkrecht nach oben abgeschossen. Wie groß ist die maximale Steighöhe hmax des Geschosses, wenn die Anfangsgeschwindigkeit a) v 0 = 910 m / s (Kaliber 25 mm; Geschossmasse 0,3 kg) b) v 0 = 820 m / s (Kaliber 88 mm; Geschossmasse 9,4 kg) c) v 0 = 1070 m / s (Kaliber 94 mm; Geschossmasse 12,7 kg) betragen würde? Die Berücksichtigung des Luftwiderstandes erfolgt in A 10.2. 18 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 A 7.4 Reibung - eine hemmende oder bewegungsfördernde Kraft? a) Welche Kraft braucht man mindestens, um einen Stahlquader der Masse m = 1,5 kg auf einer waagerechten Stahlplatte in Bewegung zu setzen? b) Welche Kraft wird benötigt, um ihn gleitend zu ziehen? Daten: µ H (Stahl-Stahl) = 0,15; µ G (Stahl-Stahl) = 0,05 c) Welchen Neigungswinkel muss man einer schiefen Ebene geben, damit ein auf ihr liegender Körper ( µ H = 0,6; µ G = 0,45) gerade zu gleiten beginnt? d) Gleitet er anschließend mit konstanter Geschwindigkeit oder beschleunigt er weiter? e) Wie groß muss der Neigungswinkel sein, damit der Körper nach einem Stoß nicht mehr schneller wird? f) Spielt dabei die Masse des Körpers eine Rolle? A 7.5 Meteoriteneinschlag in Tscheljabinsk (Ural) Am 15. Februar 2013 ist im russischen Tscheljabinsk im Ural ein steinartiger Meteorit (meteoros: grch. unbestimmt, in der Luft schwebend) aus der Klasse der Chondrite mit dem Durchmesser von d M ≈ 17 m und der Masse m ≈ 10000 t in die Erdatmosphäre mit einer Geschwindigkeit von v M ≈ 64800 km / h eingetreten. Er ist dann in einer Höhe von etwa h ≈ (15 − 20 ) km über dem Erdboden detoniert. Dabei wurde seine kinetische Energie E kin,M freigesetzt. a) Nehmen Sie eine Abschätzung der Dichte des Meteoriten vor und gehen Sie dazu von einer kugelförmigen Gestalt aus. Aus welchem Material könnte demnach der Meteorit bestehen? b) Berechnen Sie E kin,M ! 19 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 c) Um das wie Vielfache übertraf die vom Meteoriten freigesetzte Energie die energetische Wirkung der Hiroshimabombe? Hinweise: Material Dichte ρ in g/cm³ Eis Bernstein Eisen Granit Iridium Nickel Quarz Silikat Titan 0,92 1,1 7,6 2,8 22,4 8,9 2,2 3,8 4,5 Die Hiroshimabombe (Long Man) war eine Uranbombe, die 600 m über dem Erdboden gezündet wurde. Ihre Sprengkraft betrug etwa 13 kT TNT. Zur Kennzeichnung der bei Kernwaffenexplosionen freiwerdenden Energie wird aus historischen Gründen die SI-fremde Einheit TNT-Äquivalent verwendet. 1 kT TNT (1 Kilotonne Trinitrotoluol) = 4,184 ⋅ 10 12 J Es handelt sich hierbei nicht um eine Masseneinheit (Abk. t oder kt), sondern um eine definierte Vergleichsgröße (Abk. T oder kT) , die als Standard zur Kennzeichnung der Energiefreisetzung nuklearer Sprengkörper dient. Ergebnisse: A 7.1 A 7.2 A 7.3 A 7.4 A 7.5 600 ve = v0 a) 42,2 km; b) 34,3 km; c) 58,4 km a) 2,2 N; b) 0,74 N; c) 30,96°; d) 24,23°; f) Nein a) 3800 kg/m³ (Silikat); b) 1,62 ⋅ 1015 J ; c) 30 20 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 8 A 8.1 Solarenergie Hier geht es primär um die Anwendung elementarer Rechentechnik am Beispiel einer Aufgabenstellung, deren physikalischer Hintergrund erst im nächsten Sommersemester in der Vorlesung „Physik und Umwelt“ detailliert behandelt wird. Unsere Sonne ist ein natürlicher Kernreaktor, der durch thermonukleare Fusionsreaktionen Strahlungsenergie erzeugt. Der Energiehaushalt der Erde wird hauptsächlich durch diese Strahlung bestimmt. Die Energie, die pro Sekunde auf einen Quadratmeter fällt, der oberhalb der Atmosphäre senkrecht zur Strahlrichtung der Sonne steht, heißt Solarkonstante. Sie wird durch das Symbol S gekennzeichnet. Im Jahresverlauf ist die am Atmosphärenrand ankommende Sonnenstrahlung nicht konstant. Es treten saisonale Variationen der Strahlungsleistung auf, deren Ursache die ellipsenförmige Umlaufbahn der Erde um die Sonne ist. Dadurch ändert sich der Abstand zwischen Erde und Sonne und infolgedessen schwankt auch die Solarkonstante. 2 Im Jahresmittel ergibt sich der Durchschnittswert S = 1368 W/m . a) Berechnen Sie die Energie E S , die die Sonne pro Sekunde isotrop in das Weltall abgibt, wenn der mittlere Abstand Erde-Sonne R E −S = 150 Mio. km beträgt. Masse stellt eine konzentrierte Form von Energie dar. Eine Masse ∆m kann bei vollständiger Umwandlung in Energie, die Strahlungsenergie E S = ∆mc 2 abgeben. c stellt dabei die Lichtgeschwindigkeit dar. b) Berechen Sie den Masseverlust ∆m , den die Sonne durch Abgabe der Energie E S pro Sekunde erleidet. Hinweis für naturwissenschaftliche Experten: Bei der vollständigen Verbrennung von Kohle (Kohlenstoff) findet folgende chemische Reaktion statt: C + O 2 → CO 2 + 4,2 eV Pro Elementarreaktion werden 4,2 eV Energie freigesetzt. 1 eV (Elektronenvolt) = 1,6 ⋅ 10 −19 J ist eine atom- und kernphysikalische Energieeinheit. 21 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Auf der Sonne laufen Kernreaktionen ab, die thermonukleare Fusionsreaktionen genannt werden, bei den die Atomkerne der Wasserstoffisotope zu Atomkernen der Heliumisotope verschmelzen. Eine typische Kernreaktion sieht folgendermaßen aus: 1 1p + 2 1H → 3 2 He + 5,49 MeV 1 MeV = 10 6 eV Bei Kernreaktionen werden somit pro Elementarreaktion im Vergleich zu chemischen Reaktionen (z. B. Oxidationen) Energien freigesetzt, die größenordnungsmäßig um den Faktor 10 6 größer sind! Die Kernkräfte, die die Nukleonen genannten Kernbausteine im Atomkern binden, sind die stärksten in der Natur bekannten Kräfte. Die für chemische Reaktionen verantwortlichen elektromagnetischen Kräfte, die zwischen den Atomen wirken, sind um einige Größenordnungen kleiner. A 8.2 Wasserkraft 3 Aus einem Stausee fließt Wasser, ρ = 1 000 kg/m , auf eine 115 m tiefer liegende Turbine, die in 3 ∆t = 60 min ein Volumen ∆V = 200 m aufnimmt und einen Wirkungsgrad von η = 82 % besitzt. Wie groß ist die Nutzleistung der Turbine bei Vernachlässigung von Reibungseffekten? A 8.3 Luftwiderstand Der Motor des VW Phaeton V10 TDI gibt eine maximale Vortriebsleistung von Pmax = 230 kW ab. Welche Höchstgeschwindigkeit v max (in km/h) kann der Pkw erreichen, wenn auf ihn als bremsende Kraft ausschließlich die Luftwiderstandskraft FW wirkt? Daten: ρ L = 1,29 kg / m 3 , Stirnfläche A = 2,35 m 2 , c W = 0,31 , m Pkw = 2,5 t A 8.4 Dieselmotor Der Dieselmotor ist eine Wärmekraftmaschine, die zyklisch eine Folge von Zustandsänderungen durchläuft. Dabei geht sie beispielsweise von einem Zustand 1, der durch die Zustandsgrößen Druck p 1 und Volumen V1 charakterisiert wird in einen Zustand 2 mit den Zustandsgrößen p 2 und V2 über. Der Dieselmotor möge hier ausschließlich als rechentechnisches Beispiel dienen. Die thermodynamischen Gesetzmäßigkeiten werden in der Wärmelehre im Rahmen der Vorlesung „Physik und Umwelt“ erst im nächsten Sommersemester besprochen. In einem Zylinder (Volumen V1 = 660 cm 3 ) eines Dieselmotors befindet sich Luft ( κ = 1,4 ) bei einem Druck p1 = 10 5 Pa . Im Verdichtungstakt wird diese Luft durch einen beweglichen Kolben auf das Volumen V2 adiabatisch, d. h. ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung, komprimiert. Dabei wird die Kompressionsarbeit (Volumenänderungsarbeit) W V = 403 J aufgewendet. a) Welchen Endwert nimmt dabei das Volumen V2 an? b) Wie groß ist das Verdichtungsverhältnis ε ? Hinweise: Für die SI-Einheit des Volumens gilt: [V] = m³ Für die Kompressionsarbeit W V gilt: WV = p1V1 V1 κ −1 [( ) − 1] κ − 1 V2 Die Konstante κ wird Adiabatenkoeffizient genannt. Für das Verdichtungsverhältnis gilt: ε = V1 V2 22 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 A 8.5 Reibungswiderstand beim Pkw-Fahren Die Reduzierung des Kraftstoffverbrauchs ist ein wichtiges Ziel der Energiepolitik. Der Ford Fiesta 1.6 Ti-VCT (Modell 2012) besitzt einen Vierzylinder-Saugmotor und gibt bei einer Drehzahl von 6000 1/min eine maximale mechanische Leistung von Pmax = 88 kW ab. Dabei erreicht der Pkw eine Höchstgeschwindigkeit auf horizontaler Fahrbahn von v max = 193 km / h . Weitere Daten gemäß Herstellerangaben: A = 2,11m2 ; c W = 0,328 und m = 1040 kg. Auf das sich auf horizontaler Fahrbahn mit Höchstgeschwindigkeit v max bewegende Fahrzeug wirke die Coulombsche Fahrwiderstandskraft FFR und die Newtonsche Luftwiderstandskraft FW ein. Welchen Zahlenwert besitzt der Fahrwiderstandskoeffizienten µF ? Ergebnisse: A 8.1 A 8.2 A 8.3 A 8.4 A 8.5 a) E S = 3,87 ⋅ 10 26 J ; b) ∆m = 4,3 ⋅ 10 9 kg = 4,3 Mio. t; 51,4 kW 284 km/h a) V2 = 3 ⋅ 10 −5 m 3 = 30 cm 3 = 0,03 L ; b) ε = 22 0,035 23 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 9 A 9.1 Braunkohle Die Vattenfall GmbH betreibt in der Niederlausitz im Bundesland Brandenburg das BraunkohleGroßkraftwerk Schwarze Pumpe. Es besteht aus zwei Kraftwerksblöcken mit einer installierten elektrischen Nettoleistung von zusammen Pel = 1500 MW. Die elektrische Bruttoleistung beträgt 2 x 800 MW = 1600 MW. Im Kraftwerk wird Rohbraunkohle (Rbk) aus dem Tagebau Welzow-Süd eingesetzt. Die Rohbraunkohle hat wegen ihres Wassergehaltes von etwa 55% nur einen spezifischen Heizwert von etwa Hu,Rbk = 2,5 kWh / kg *). Er beträgt damit etwa nur ein Drittel des Heizwertes von Steinkohle. Die Rohbraunkohle wird getrocknet und gemahlen und dann als Braunkohlestaub verfeuert. ηNetto = 41,2% der bei der Verbrennung der Braunkohle freigesetzten Wärmeleistung wird in elektrische Nettoleistung umgewandelt. Diese Größe wird Netto-Wirkungsgrad genannt. Die nicht nutzbaren Umwandlungsverluste werden als Abwärme an die Umgebung abgegeben. Die elektrische Energieerzeugung (Netto-Stromerzeugung) pro Jahr beträgt 11,6 TWh. a) Wie groß ist der jährliche Verbrauch dieses Kohlekraftwerkes an Rohbraunkohle m Rbk ? Da Braunkohlekraftwerke zur Deckung der Grundlast eingesetzt werden, soll das Kraftwerk während der Zeiten, in denen es betriebsfähig ist, unter Volllast „gefahren“ werden. Dann gibt es die installierte Betriebsbe reitschaft in h / a Nettoleistung ab. Die Verfügbarkeit f V = ist die Zeit, in der das Kraftwerk 8760 h / a betriebsbereit ist, bezogen auf z. B. ein Jahr. b) Welcher Wert ergibt sich damit für die „Volllast“-Verfügbarkeit f V des Kraftwerks Schwarze Pumpe? *) Der Heizwert der Braunkohle aus dem Lausitzer Revier schwankt je nach Wasser- und Aschegehalt zwischen 8400 und 9000 kJ/kg. Der Wassergehalt wird mit 55% angegeben. Der Aschegehalt liegt bei 5% und der Schwefelgehalt bei 1%. Nach Angaben des Bundesverbandes Braunkohle, DEBRIV, beträgt der durchschnittliche Heizwert der 2012 in Deutschland geförderten Rohbraunkohle rund 9000 kJ/kg. Dieser Wert wird auch für die Lagerstätte Welzow-Süd in Brandenburg angegeben. b) Welcher Wert ergibt sich damit für die „Volllast“-Verfügbarkeit f V des Kraftwerks Schwarze Pumpe? Einsatzweise verschiedener Kraftwerke Quelle: L. Müller, Handbuch der Elektrizitätswirtschaft, Springer Hinweis: Die Kraftwerke mit den niedrigsten variablen Kosten werden im Grundlastbereich eingesetzt. 24 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Dies sind: Wasserkraft, Kernenergie und Braunkohle Von den Erneuerbaren Energieträgern ist neben der Wasserkraft nur die Biomasse in Form von BHKW (Blockheizkraftwerken) noch grundlastfähig. Dabei sind mit Biomasse befeuerte BHKW nur dann wirtschaftlich, wenn gleichzeitig Wärme (Heizwärme oder Prozesswärme) abgegeben werden kann. Die obige Graphik gilt für einen windstillen Tag mit starker Bewölkung. Die Beiträge der Windenergie und der Photovoltaik zur elektrischen Energieversorgung sind dann vernachlässigbar! A 9.2 Pumpspeicherkraftwerke Mit zunehmendem Einsatz Erneuerbarer Energieträger wird die Lösung des Problems der Speicherung elektrischer Energie immer wichtiger. Zur kurzfristigen Bereitstellung von Regelenergie haben sich Pumpspeicherkraftwerke bewährt. Das von der Vattenfall Europe AG betriebene Pumpspeicherwerk Goldisthal in Thüringen an der Schwarza besitzt ein Oberwasser-Becken mit dem Volumen V = 12 ⋅ 10 6 m 3 . Die Turbine befindet sich 300 m tiefer auf dem Niveau des StauseeUnterbeckens. Welche mittlere elektrische Leistung Pel kann bei einem Umwandlungswirkungsgrad (mechanische Energie in elektrische Energie) von η = 86% abgegeben werden, wenn das Oberbecken mit konstanter Volumenstromstärke innerhalb von 8 h vollständig geleert wird. Hinweis: Wirkungsgrad η = el. Ausgangsle istung Nutzarbeit = Gesamtarbe it mech. Eingangsle istung Zusatzinformation: Das PSW Goldisthal am Farmdenkopf ist das größte Wasserkraftwerk Deutschlands mit einem Speicherwirkungsgrad für elektrische Energie von etwa η = 80% . A 9.3 Wintersport Ein Snowboarder (hier als Massenpunkt betrachtet) gleitet in „Schussfahrt“ einen Hang mit dem konstantem Neigungswinkel ϕ1 und der Länge s H herab. Er startet mit v 0 = 0 m / s in einer Höhe h1 = 200 m über der Talsohle ( h TS = 0 m) , die er mit der Geschwindigkeit von v TS = 108 km / h erreicht. Der Gleitreibungskoeffizient hat den konstanten Wert µ G = 0,445 .Berechnen Sie unter Ausnutzung des Energieerhaltungssatzes den Neigungswinkel ϕ1 im Gradmaß. A 9.4 Alpines Abfahrtsrennen Ein alpines Abfahrtsrennen wird an einem Hang mit konstantem Neigungswinkel ϕ durchgeführt. Der Abfahrtsläufer besitzt mit Skiausrüstung eine Gesamtmasse m. Die Bewegung des Skiläufers wird durch Gleitreibung (Gleitreibungskoeffizient µ G ) und die Luftwiderstandskraft FW gehemmt. Dafür seien die Daten A, c W und ρL gegeben. Der Skifahrer startet am Hang mit der Anfangs- geschwindigkeit v 0 = 0 . a) Geben Sie eine allgemeine Berechnungsformel für die auf den Skifahrer einwirkende Beschleunigung a an! b) Welche maximale Grenzgeschwindigkeit v max kann nicht überschritten werden? Geben Sie hierzu die Berechnungsformel für v max an! c) Welche Rolle spielt bei alpinen Abfahrtsläufern die Masse m der Sportler? Ergebnisse: A 9.1 a) m Rbk = 13,67 Mio. t; b) f V = 88,5%; A 9.2 1,05 GW; A 9.3 30°; A 9.4 a) a = g sin ϕ − µ G g cos ϕ − c W Aρ L 2 v ; b) v max = 2m c) Die maximale Grenzgeschwindigkeit nimmt mit damit beim Abfahrtslauf im Vorteil! 2mg (sin ϕ − µ G cos ϕ) c W Aρ L m zu. Schwere Athleten sind 25 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 10 A 10.1 Faktencheck: Leistung und Energie Am 26.Mai 2012 war auf SPIEGELONLINE, unter der Schlagzeile „Sonnenrekord“, folgende Nachricht zu lesen: „Über Deutschland strahlt die Sonne, und die Solaranlagen laufen auf Hochtouren. Erstmals haben sie Strom mit einer Leistung von 22.000 Megawatt produziert. Das entspricht der Leistung von rund 20 Kenkraftwerken – ein neuer Rekord.“ Laut BMWi „Energiedaten“ vom 07.08.2013 war Ende 2011 eine photovoltaische Peak-Leistung von 25039 MW installiert. Ende 2012 waren es infolge starken Zubaus 32643 MW. Die gesamte photovoltaische Energieerzeugung betrug 2012 etwa 28000 GWh. a) Berechnen Sie die auf das Jahr 2012 bezogene Volllastverfügbarkeit f VPV der solaren Stromproduktion. Gehen Sie dabei von einer gemittelten installierten Peak-Leistung aus. Hintergrund: Die in der 2. Jahreshälfte in Betrieb genommenen Anlagen konnten nur einen reduzierten Beitrag zur Jahresstromproduktion leisten. Wegen der EEG-Vorrangeinspeisung war die vollständige Einspeisung des aus erneuerbaren Energiequellen erzeugten Stromes sichergestellt. b) Berechnen Sie die pro GW installierte elektrische PV-Leistung im Jahr 2012 durch Photovoltaikanlagen (PV) produzierte Energie in der Einheit GWh/GW (PV). c) Seit Inkrafttreten der Atomgesetznovelle vom 31. Juli 2011 waren 2012 in Deutschland noch 9 Kernkraftwerke mit einer elektrischen Bruttoleistung von 12696 MW in Betrieb, die 2012 insgesamt 99460 GWh Strom erzeugten. Wie groß ist deren Volllastverfügbarkeit f VKKW ? d) Berechnen Sie die pro GW installierte elektrische KKW-Leistung im Jahr 2012 durch Kernkraftwerke (KKW) produzierte Energie in der Einheit GWh/GW (KKW). A 10.2 Ballistik Der Erfolg der exakten Naturwissenschaft Physik basiert auf ihrer Mathematisierung. Dies soll anhand von einfach vorstellbaren Sachverhalten demonstriert und rechentechnisch geübt werden. Und um den Themenkreis einzuschränken, soll erneut die Bewegung von Körpern unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes betrachtet werden. Immer wieder Reibung. Warum? Die Verminderung energiedissipierender Reibung ist ein vorrangiges Problem bei der Steigerung der Energieeffizienz. Das Gewehr G36 (Hersteller: Heckler&Koch; Kaliber: 5,56x45 mm) soll folgende Geschossdaten besitzen: Geschossdurchmesser d = 5,56 mm; Geschossmasse m = 3,56 g; c W = 0,346, Mündungsgeschwindigkeit (beim Verlassen des Gewehrlaufs) v 0 = 990 m/s. a) Berechnen Sie die (kinetische) Mündungsenergie E 0 . b) Berechnen Sie näherungsweise die Geschossenergie E100 nach s = 100 m horizontal angenommener Flugbahn. Die Berücksichtigung des Luftwiderstandes soll zunächst vereinfachend mit konstanter Geschossgeschwindigkeit v = v 0 erfolgen. Rechnen Sie dabei mit einer Luftdichte ρ L = 1,29 kg / m 3 . Welcher Wert ergibt sich damit rechnerisch für die Geschossgeschwindigkeit v 100 ? c) Ballistische Messungen ergeben folgende Resultate: E100 = 1286 J; v 100 = 850 m/s Wie erklären Sie die Abweichungen von den Rechenergebnissen aus Teil b)? d) Führen Sie eine detaillierte Berechnung von v 100 mit geschwindigkeitsabhängiger Luftwiderstandskraft durch! Hinweis: Die momentane Geschossgeschwindigkeit v(t) wird durch Einwirkung der dv Luftwiderstandskraft FW laufend reduziert. Wählen Sie folgenden Ansatz: Fw = m = −cv 2 dt 26 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 c v& = −kv 2 mit k = m Suchen Sie eine Funktion v(t), die folgende Gleichung erfüllt: v& ( t ) + kv( t ) 2 = 0 m v& = −cv 2 oder e) Laut Fußball-Weltverband (FIFA) wird im Herren-Profifußball ein kugelförmiges Spielgerät eingesetzt, dessen Umfang 68,5 - 70 cm beträgt und dessen Masse 410 - 450 g aufweist. Angegeben wurden die Mindest- und Höchstwerte. Im Folgenden soll mit den Höchstwerten gerechnet werden. Der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit des Fußballes und seiner zurückgelegten Flugstrecke s soll durch die Beziehung v(s) = v 0 e −ks mit k = c W Aρ L gegeben sein. Umfangreiche 2m Messdaten ergeben folgende Maximalwerte für Anfangsgeschwindigkeit, Flugweite und Flugdauer: v 0 = 51m / s ; smax = 75 m ; tF = 5,0 s Stellen Sie eine Berechnungsformel für die Flugdauer t F des Balles auf und geben Sie eine numerische Lösung für die Reibungskonstante k an. Berechnen Sie dann mit den angegebenen Daten den c W − Wert des Fußballs! A 10.3 Leichtathletik: Kugelstoßen Beim schrägen Wurf, bei dem beispielsweise ein Fußball vom Erdboden aus unter einem Winkel ϕ gegen die Horizontale mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 getreten wird, ist bekannt, dass die Flugweite bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit von ϕ abhängt. Die Wurfbewegung soll in der x-zEbene in Richtung der positiven x-Achse erfolgen. Die z-Achse, sie beschreibt die Flughöhe, soll senkrecht zur Erdoberfläche mit der positiven Richtung nach oben weisen. Im Falle von vernachlässigbarem Luftwiderstand handelt es sich um das Phänomen des „schrägen Wurfes“ und die maximale Wurf- oder Schussweite wird (gemäß einschlägiger Fachliteratur) für ϕ max = 45° erzielt. Beim Kugelstoßen, hier ist die Annahme der Vernachlässigbarkeit des Luftwiderstandes sicher erfüllt, verlässt die gestoßene Kugel in einer Höhe h 0 (über Bodenniveau) mit v 0 unter einem Winkel ϕ (gegen die Horizontale) die Hand des Leichtathleten. Soll dieser gemäß Schulbuchweisheit einen Winkel von ϕ = 45° wählen? a) Was raten Sie ihm sportphysikalisch? Es soll hier zunächst statt einer Berechnung eine physikalische Überlegung erfolgen. Erfahrungsgemäß gilt: Beim senkrechten Wurf nach oben, beträgt die Wurf- oder Flugweite x FW null Meter. Waagrechter Wurf ( ϕ = 0° ) heißt: Die Anfangsgeschwindigkeit besitzt nur eine horizontale Komponente : v 0 = v x,0 = konst. und v z,0 = 0 m / s . Um ein Gefühl für den Einfluss der Abwurfhöhe h 0 auf die erzielbare Wurfweite x FW zu erhalten, stellen Sie sich vor, sie stoßen eine Kugel (waagrecht), jeweils mit v 0 = v x,0 = konst. , aus dem 2. Stockwerk, aus dem 5. Stockwerk und aus dem 12. Stockwerk eines Hochhauses. Sie sind über das erwartbare Ergebnis der so erzielten Wurfweiten hoffentlich nicht überrascht. Was passiert, wenn Sie jetzt einen schrägen Wurf mit ϕ > 0° zulassen und wenn Sie die Abwurfhöhe h 0 immer weiter vergrößern könnten? A 10.4 Drehbewegungen a) Durchfährt ein Fahrzeug eine Kurve, so treten Zentrifugalkräfte auf. Welche Antwort ist richtig? Das Fahrzeug kommt dabei ins Schleudern, wenn betragsmäßig die □ □ □ □ Zentrifugalkraft die Rollreibungskraft überschreitet Haftreibungskraft die Zentrifugalkraft überschreitet Zentrifugalkraft die Gleitreibungskraft überschreitet Haftreibungskraft die Zentrifugalkraft unterschreitet b) Ein Rennwagen erreicht auf gerader Teststrecke seine Höchstgeschwindigkeit von v = 339,292 km/h. Seine Reifen haben einen Außendurchmesser von D = 60 cm. Wie 27 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 groß ist die Drehzahl n der Räder in Umdrehungen/min? c) Welches Massenträgheitsmoment J hat ein Körper, an dem ein Drehmoment von M = 600 Nm eine 2 Winkelbeschleunigung von α = 12,5 rad/s bewirkt? d) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation und die Bahngeschwindigkeit der Erdoberfläche am Äquator. Der Erdradius sei R E = 6,371 ⋅ 10 6 m e) Rekuperation ist ein technisches Verfahren zur Energierückführung. Eine rekuperative Bremse ermöglicht während der Bremsphasen eines Pkw’s eine Bremsenergie-Rückgewinnung. Die Energiespeicherung kann dabei mechanisch mithilfe eines Schwungrades erfolgen. Eine massive Kreisscheibe aus Titan ( ρ Ti = 4,5 g / cm 3 mit unbekanntem Radius R besitzt die Kreisscheibendicke s = 35,368 cm und das Massenträgheitsmoment J = 4 kg m². Die Kreisscheibe rotiert mit einer Bahngeschwindigkeit (Umfanggeschwindigkeit im Abstand R von der Drehachse) von v = 80 m/s. Berechnen Sie die Rotationsenergie Erot der Kreisscheibe! Ergebnisse: A 10.1 a) 11%; b) 971 GWh/GW; c) 89%; d) 7834 GWh/GW A 10.2 a) E 0 = 1745 J, b) E 100 = 1213 J; v 100 = 826 m/s c) Die tatsächliche Geschossgeschwindigkeit ist größer als 826 m/s! d) v 100 = 850 m / s e) c W = 0,5 A 10.3 a) ϕ max ( v 0 , h 0 ) < 45° A 10.4 a) FHR < FF ; b) 1800 U/min; c) 48 kgm 2 ; d) ωE = 7,272 ⋅ 10 −5 s −1 ; v = 463 m / s ; e) 320 kJ 28 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 11 A 11.1 Biomasse: Holzverbrennung zur Raumwärmeproduktion Etwa 500000 Jahre nachdem unsere Urahnen das Feuer gebändigt hatten, haben die Nachfahren von Prometheus im Holzfeuer die Ökoenergie entdeckt. Wie das Statistische Bundesamt mitteilt, wurden 2012 in Deutschland insgesamt 52,3 Mio. m³ Holz (= Fm) eingeschlagen (gerechnet ohne Rinde). Als Energieholz wurden 9,5 Mio. m³ und damit 18 % des gesamten Holzeinschlags genutzt. Das scheinbar CO2-neutrale Brennholz ist chic: Während im Jahr 2002 in Deutschland lediglich 4,3 Mio. m³ für energetische Zwecke verwendet wurden, verdoppelte sich der Energieholzanteil binnen eines Jahrzehnts auf 9,5 Mio. Fm im Jahr 2012. 1 Fm = 1 Festmeter = 1 m³ Hinweis: Während im Durchschnitt der Jahre 2003 bis 2012 jährlich 56,8 Mio. m³ eingeschlagen wurden, waren es im Zeitraum 1993 bis 2002 durchschnittlich nur 38,4 Mio. m³ pro Jahr. Die nachhaltig nutzbare Holzproduktion des deutschen Waldes beträgt jährlich rund 57 Mio. Fm Rohholz. a) Welcher Anteil des deutschen Raumwärmebedarfs 2012 konnte damit gedeckt werden? Der Rechnung soll lufttrockenes Buchenholz bei einer Holzfeuchte von u = 12% mit der Rohholzdichte 700 kg/m³ und dem spezifischen Heizwert von H = 4,2 kWh/kg zugrunde gelegt werden. Für Raumwärme (ohne Warmwasserbereitung) wurden 2273 PJ eingesetzt.*) b) Angenommen 2012 würde der gesamte Holzeinschlag des deutschen Waldes in Höhe von 52,3 Mio. Fm als Energieholz verwendet (Tatsächlich werden 82% als Bauholz, Industrieholz und für die Papierherstellung eingesetzt). Welcher Anteil des deutschen Raumwärmebedarfs 2012 hätte damit gedeckt werden können? Die folgende Tabelle gibt die Rohdichten in g/cm³ der Hauptbaumarten des deutschen Waldes bei einem Feuchtigkeitsgehalt von u = 12 Massenprozent an. Holzarten Fichte (Rotfichte) NB Kiefer / Douglasie NB Buche (Rotbuche) LB Eiche (Stieleiche) LB Rohdichte ρ in g / cm 3 0,47 0,51 0,70 0,69 Darrdichte in g / cm 3 0,43 0,47 0,68 0,65 Flächenanteil in % 28 24 15 10 Hinweis: Die angegebenen Dichten schwanken aufgrund unterschiedlicher botanischer Arten und je nach geografischer Herkunft. *) Gemäß BMWi, Energiedaten, Endenergieverbrauch nach Anwendungsbereichen, werden jährlich etwa 26% der Endenergie (8744 PJ) für Raumwärme (ohne Warmwasserbereitung) eingesetzt, d. h. 2273 PJ/a. Quellennachweise: BMWi, Energie in Deutschland, Februar 2013 R. Erlbeck et al., Wald- und Forstlexikon BMELV; Waldinventur A 11.2 Massenträgheitsmoment Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J einer homogenen Kugel mit der Masse M, dem Radius R und der Dichte ρ in Bezug auf eine durch den Mittelpunkt gehende Drehachse. 29 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Hinweis: Führen Sie eine Zerlegung der Kugel in parallele Kreisscheiben mit variierenden Radius r durch. Für das polare Trägheitsmoment dJ einer dünnen Kreisscheibe vom Radius r, der Dicke dx 1 und der Masse dm gilt (siehe Vorlesungsmitschrift): dJ = r 2 dm 2 . r dx RR x A 11.3 Umlaufbahn eines Satelliten Ein Satellit soll auf einer erdnahen Umlaufbahn vom Radius r die Erde umkreisen. a) Berechnen Sie dessen Bahngeschwindigkeit v als Funktion von r. Dabei sollen im Ergebnis nur RE und g als Konstanten vorkommen. b) Mit welcher Geschwindigkeit v1 (1. astronautische Geschwindigkeit) müsste er sich bewegen, damit er auf einer Kreisbahn nahe der Erdoberfläche ( r = RE ) fliegen könnte, wenn kein Luftwiderstand vorhanden wäre? A 11.4 Satellitengestützte Navigation (GPS) Die insgesamt mindestens 24 GPS-Satelliten umkreisen alle die Erde in einer Umlaufbahn, für die sie eine Umlaufdauer für eine vollständige Erdumkreisung von T = 11h 58 min benötigen. Wie groß ist ihre mittlere Flughöhe h in km? Daten: G = 6,67 ⋅ 10 −11 Nm 2 / kg 2 ; RE = 6,37 ⋅ 106 m (Erdradius); ME = 5,97 ⋅ 1024 kg (Erdmasse) A 11.5 Fluidstatik: Auftrieb Wasser- und Luftfahrzeuge (Schiffe, Zeppeline, Ballone) nutzen die Auftriebskraft aus. Dies gilt für alle schwimmenden Köper. Ein zylindrischer Holzstamm (Länge L = 5 m, Durchmesser d = 60 cm) der Dichte ρ H schwimmt in horizontaler Lage im Wasser ( ρ W = 1000 kg / m 3 ) und erfährt dabei eine Eintauchtiefe (unterhalb des Flüssigkeitsspiegels) h u = 2 r. 3 Wie groß ist seine Dichte ρ H ? 30 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Ergebnisse: A 11.1 a) 4,4%; b) 19% 2 A 11.2 J = MR 2 5 g ; b) v 1 = 7906 m / s r A 11.4 h ≈ 20200 km A 11.3 a) v = R E A 11.5 292 kg/m³ 31 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 12 A 12.1 Schweredruck a) In einem oben offenen Behälter befindet sich eine Flüssigkeit mit der Dichte ρ = 0,87 kg / L . Am Boden des Behälters wird ein Schweredruck von p S = 0,45 bar gemessen. Berechnen Sie die Höhe h der Flüssigkeitssäule. b) In einer Wasserleitung eines mehrgeschossigen Wohngebäudes „steht“ Wasser unter Druck. An der tiefsten Stelle (im Keller) wird ein Druck von p K = 8 bar gemessen. Wie groß ist der Druck p DG in der ∆h = 20 m höher gelegenen Dachgeschoßwohnung? A 12.2 Viskosimeter und das Gesetz von Stokes Die Viskosität η einer Flüssigkeit wird bei einer Temperatur von 18 °C durch die Kugelfallmethode bestimmt. Dazu lässt man eine Stahlkugel (Radius R K ) mit der Masse mK = 0,1103 g und der Dichte ρ = 7,8 kg/dm3 in der zu untersuchenden Flüssigkeit (hier: Glyzerin mit ρ = 1,26 g/cm3) sinken K Gly und misst dabei die nach einer Abbremsphase konstante Sinkgeschwindigkeit v = 2,3 cm/s. Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der dynamischen Viskosität η in Abhängigkeit von der Sinkgeschwindigkeit auf und geben Sie das numerische Resultat für η in der SI-Einheit Pa ⋅ s an! A 12.3 Volumen- und Massenstrom a) Wie viel Liter Wasser strömen bei einem Massenstrom von 2,7 t/h innerhalb von 3,5 min durch eine Rohrleitung? b) Wie groß muss der Innendurchmesser d der zylindrischen Rohrleitung aus Aufgabenteil a) gewählt werden, wenn die mittlere Strömungsgeschwindigkeit 0,0955 m/s beträgt? A 12.4 Gesetz von Hagen-Poiseuille a) In einer zylindrischen Warmwasserleitung verringert sich durch Kalkablagerungen der Rohrdurchmesser d um 25%. Berechnen Sie die prozentuale Veränderung des laminar angenommenen Volumenstroms I V . b) Durch ein l = 2 km langes, glattes Rohr mit dem Innendurchmesser d wird Wasser ( η = 0,001Pa s ) gepumpt. Das Wasser „erleidet“ über die Länge der Rohrleitung einen Druckverlust von ∆p V = 10 3 Pa . Mit welcher Geschwindigkeit v fließt das Wasser durch die Rohrleitung, wenn die Strömung durch die Reynoldszahl Re = 1000 gekennzeichnet ist? A 12.5 Strömungswiderstand und Druckverlust a) Durch ein l = 2 km langes Rohr mit dem Innendurchmesser d = 10 cm wird Wasser ( η = 1mPa s ) geleitet. Das Wasser soll am Ende der Rohrleitung mit der Volumenstromstärke I V = 10 l/s und mit einem Druck von p 2 = 2,1bar austreten. Mit welchem Anfangsdruck p1 muss das Wasser eingespeist werden? 32 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 b) Durch eine gerade Leitung aus glattem PE-Rohr (DN 50) mit Innendurchmesser d = 50 mm und einer Länge von l = 100 m strömt Erdgas H ( ρ = 0,783 kg / m 3 ; η = 10,8 ⋅ 10 −6 Pa ⋅ s ). Berechnen Sie den statischen Druckverlust ∆p V infolge Rohrreibung bei einer Strömungsgeschwindigkeit von v = 2,76 m/s. Ergebnisse: A 12.1 A 12.2 A 12.3 A 12.4 A 12.5 a) 4,56 m; b) 6 bar 1,4 Pa ⋅ s a) 157,5 L; b) 0,1 m a) 31,6% der ursprünglichen Stromstärke; b) 0,025 m/s a) 4,8 bar; b) 189 Pa 33 D. Bangert et al. Grundlagen der Physik – Übungen WS 2015/16 Übungen Nr. 13 A 13.1 Staudruck a) Welche Dichte ρ besitzt ein Gas, das mit einer Geschwindigkeit v = 40 m / s durch eine Rohrleitung strömt, wenn mit dem Prandtlschen Staurohr ein Druck von p dyn = 1,60 kPa gemessen wird? b) Ein Prandtl-Staurohr eines Flugzeugs zeigt im U-Rohr eine Höhendifferenz des Flüssigkeitsspiegels (Ethanol ρ Fl = 0,8 g / cm 3 ) von ∆h = 38,2 cm an. Die Luftdichte in Flughöhe des Flugzeugs beträgt ρ L = 0,6 kg / m 3 . Berechnen Sie die Fluggeschwindigkeit! A 13.2 Ausströmgesetz nach Bunsen Das Ventil einer mit Gas (Absolutdruck p G ) gefüllten Stahlflasche wird geöffnet. Berechnen Sie mithilfe der Bernoulli-Gleichung die Ausströmgeschwindigkeit v A des Gases, wenn der äußere Luftdruck p 0 beträgt. A 13.3 Pumpspeicherkraftwerk Das Oberbecken eines Pumpspeicherkraftwerks ist an der Stelle 1 (Einlauf: p 1, v 1, A 1, h1 ) durch eine Rohrleitung mit der ∆h = 250 m tiefer gelegenen Turbine an der Stelle 2 (Auslauf: p 2 , v 2 , A 2 , h 2 ) verbunden. Es sind: A 1 = 1,50 m 2 , v 1 = 0,8 m / s . Die Wassergeschwindigkeit am Auslauf beträgt v 2 = 20 m / s . a) Welche Druckdifferenz ∆p = p 1 − p 2 stellt sich zwischen Ein- und Auslauf ein? b) Wie groß ist die Rohrleitungsquerschnittsfläche A 2 ? Hinweis: p 1 und p 2 sind statische Drücke. A 13.4 Warum fliegen Flugzeuge? Ein Tragflügel eines Flugzeuges mit der Flügelquerschnittsfläche A werde oberhalb des Tragflügels von Luft ( ρ L ) mit der konstanten Geschwindigkeit v o und unterhalb mit der konstanten Geschwindigkeit v u umströmt (siehe LE Fluidmechanik Kap. 3.6). Dabei gilt: v o > v u . Zeigen Sie durch Anwendung der Bernoulli-Gleichung, dass dadurch auf den Tragflügel eine nach oben 1 gerichtete Auftriebskraft vom Betrag FA = ρ L A( v o2 − v u2 ) verursacht wird. 2 Ergebnisse: A 13.1 a) 2 kg/m³ ; b) 100 m/s A 13.2 v A = 2(p G − p 0 ) ρG A 13.3 a) ∆p = p 1 − p 2 = 2,25 MPa = 22,5 bar; b) 0,06 m² 34
