3p atommodell

ALLGEMEINE und
ANORGANISCHE CHEMIE
(770.100; 2 Std)
2. Einheit
Welle-Teilchen-Dualismus,
Atomspektren, Orbitale,
Wasserstoffatom
Welle-Teilchendualismus der Materie
Charakteristika elektromagnetischer Strahlung
Quanten und Photonen
Welle –Teilchen-Dualismus der Materie
Die Heisenberg‘sche Unschärferelation
Wellenfunktionen und Energiezustände
Atommodelle
Atomspektren und das Bohr‘sche Atommodell
Energiezustände von Elektronen - Hauptquantenzahl
Atomorbitale – Bahndrehimpuls-Quantenzahl,
Magnetquantenzahl
s-Orbitale, p-Orbitale, d-Orbitale, f-Orbitale
Elektronenspin
Das Wasserstoffatom
Auswahlregeln
Welle-Teilchendualismus der Materie
Charakteristika elektromagnetischer Strahlung
Atome absorbieren bzw. emittieren elektromagnetische Strahlung
unter bestimmten Umständen. Das Studium dieser Strahlung
(Spektroskopie) gibt wichtige Hinweise auf den Atombau.
Elektromagnetische Strahlung besteht aus
oszillierenden elektrischen und
magnetischen Feldern, die im Vakuum mit
Lichtgeschwindigkeit den Raum
durchqueren.
Lichtgeschwindigkeit c = 3,00  108 m.s-1
bzw. 300 000 km.s-1
Das magnetische und elektrische Feld einer
Strahlung oszilliert in der Stärke und in der
Richtung (oszillieren bedeutet die
Veränderung von Eigenschaften mit der
Zeit).
Oszillierendes elektrisches Feld
Die Frequenz () gibt die Zahl der Zyklen pro Sekunde an. Die
Einheit der Frequenz, 1 Hertz (1 Hz) ist definiert als 1 Zyklus pro
Sekunde:
1 Hz = 1 s-1
Die Frequenz einer bestimmten elektromagnetischen Strahlung
bestimmt deren Eigenschaften und Verwendung.
Beispiel:
Sichtbares Licht, also jenes Licht, das vom menschlichen Auge
wahrgenommen wird, hat eine Frequenz von etwa 1015 Hz. Die
exakte Frequenz des sichtbaren Lichtes bestimmt dessen Farbe:
Blaues Licht:
6,4  1014 Hz
Gelbes Licht:
5,2  1014 Hz
Rotes Licht:
4,3  1014 Hz
Eine elektromagnetische Welle ist durch die
Amplitude und die Wellenlänge () eindeutig
charakterisiert. Die Amplitude bestimmt die
Intensität („Helligkeit“) der Strahlung.
Wellenlänge und Frequenz hängen zusammen:
Wellenlänge  Frequenz = Lichtgeschwindigkeit
=c
Kleine Wellenlänge, hohe Frequenz
bzw.
c 
Große Wellenlänge, niedrige Frequenz
Elektromagnetische
Strahlung
Frequenz
(1014 Hz)
Wellenlänge
(nm = 10-9 m)
Energie pro
Photon (10-19 J)
X- und -Strahlen
 103
3
 103
Ultraviolett
8,6
350
5,7
Violett
7,1
420
4,7
Blau
6,4
470
4,2
Grün
5,7
530
3,8
Gelb
5,2
580
3,4
Orange
4,8
620
3,2
Rot
4,3
700
2,8
Infrarot
3,0
1000
2,0
Mikrowellen und
Radiowellen
 10-3
 3  106
 10-3
Vergleiche: Typischer Atomdurchmesser ist 0,2 nm (2 Å)!
Beispiel:
Kalkulieren Sie die Wellenlänge
von Licht mit einer Frequenz von
6,4  1014 Hz.
Es gilt:
1 Hz = 1 s-1 und  = c / 
d.h.
 = 3,00  108 m.s-1 / 6,4  1014 s-1
= 4,7  10-7 m = 470 nm
Gebräuchliche Einheiten der Wellenlänge elektromagnetischer
Strahlung
Einheit
Symbol
Länge (m)
Strahlungsart
Ångström
Å
10-10
Röntgenstrahlung
Nanometer
nm
10-9
ultraviolett, sichtbar
Mikrometer
µm
10-6
infrarot
Millimeter
mm
10-3
infrarot
Zentimeter
cm
10-2
Mikrowellen
Meter
m
1
TV, Radiowellen
Welle-Teilchendualismus der Materie
Quanten und Photonen
Ende des 19. Jh. wurde das Verhalten von Licht mit dem
Wellenmodell erklärt. Man konnte aber bald in einigen Experimenten
Eigenschaften des Lichts beobachten, die mit diesem Modell nicht
erklärbar waren. Drei dieser Experimente sind für das Verständnis der
Wechselwirkung zwischen elektromagnetischer Strahlung und
Atomen besonders wichtig und trugen zum Verständnis des
Atombaus wesentlich bei:
(1) Lichtemission heißer Objekte (= Strahlung eines schwarzen Körpers)
(2) Photoelektrische Effekt
(3) Emissionsspektren angeregter Gase
Strahlung schwarzer Körper (heißer Objekte)
In der Physik heißt eine Fläche, die alle auftreffende
Strahlung (alle Frequenzen) absorbiert, schwarz
(schwarz, weil keine Wellenlänge gegenüber einer
anderen ausgezeichnet ist).
Ein Schwarzer Körper nimmt auftreffende elektromagnetische Strahlung, etwa
Licht, vollständig auf (Absorption). Er lässt weder Strahlung durch sich
hindurch (Transmission), noch spiegelt oder streut er sie zurück (Reflexion). In
der Realität können diese idealen Eigenschaften nur angenähert auftreten.
Aufgrund seiner thermischen Energie (Temperatur) gibt der Schwarze Körper
aber natürlich auch Strahlung einer bestimmten Intensität und spektralen
Verteilung wieder ab (Emission).
Nach dem Kirchhoff‘schen Strahlungsgesetz ist für jeden Körper bei jeder
Wellenlänge und in jeder Richtung das Emissionsvermögen für thermische
Strahlung proportional zu seinem Absorptionsvermögen.
Nach dem Kirchhoff’schen Strahlungsgesetz ist
für jeden Körper bei jeder Wellenlänge und in
jeder Richtung das Emissionsvermögen für
thermische Strahlung proportional zu seinem
Absorptionsvermögen.
Da das Absorptionsvermögen des Schwarzen Körpers bei jeder Wellenlänge den
größtmöglichen Wert annimmt, nimmt auch sein Emissionsvermögen bei allen
Wellenlängen den maximalen Wert an.
Ein beliebiger realer Körper kann bei keiner Wellenlänge mehr thermische
Strahlung aussenden als ein Schwarzer Körper, der daher eine ideale thermische
Strahlungsquelle darstellt. Da sein Spektrum außerdem von keinen anderen
Parametern als der Temperatur abhängt, insbesondere von keinen
Materialeigenschaften, stellt er eine für zahlreiche theoretische und praktische
Zwecke nützliche Referenzquelle dar.
Ein Schwarzer Körper lässt sich
experimentell nicht realisieren, da es keine
Materialien gibt, welche elektromagnetische
Wellen frequenzunabhängig vollständig
absorbieren. Die Herstellung eines Körpers,
der dem Ideal des Schwarzen Körpers
nahekommt, ist schwierig. Eine berußte
Oberfläche genügt für einfache Zwecke. Da in der Regel nur die
Absorptions- und Emissionseigenschaften der Strahlungsquelle von Belang
sind, kann jedoch anstelle eines physisch vorhandenen Körpers die Öffnung
eines Hohlraumstrahlers verwendet werden, mit der sich die gewünschten
Eigenschaften leichter realisieren lassen.
In einem Hohlraum mit Wänden aus beliebigem nichttransparentem Material,
die auf einer konstanten Temperatur gehalten werden, geben die Wände
Wärmestrahlung ab und es wird sich nach einiger Zeit ein thermischer
Gleichgewichtszustand einstellen.
Die elektromagnetische Strahlung, die im Gleichgewichtszustand den Hohlraum
erfüllt, nennt man Hohlraumstrahlung.
Bringt man in der Hohlraumwand eine Öffnung
an, die klein genug ist, um das thermische
Gleichgewicht nicht merklich zu stören, so
kann durch die Öffnung
Hohlraumstrahlung nach außen treten.
Die von der Öffnung ausgehende Strahlung
hat dieselben Eigenschaften wie die Strahlung
des Schwarzen Körpers. Eine solche Öffnung
ist auch ein fast idealer Absorber, denn von
außen in den Hohlraum einfallende Fremdstrahlung wird bei kleiner Öffnung erst
vielfach im Innern hin und herreflektiert und dabei zum größten Teil absorbiert.
Solche Öffnungen erscheinen daher praktisch völlig schwarz; zur Unterstützung
der Absorption werden die Hohlraumwände in der Regel schwarz eingefärbt.
Spektrale Intensitätsverteilung der
Schwarzen Strahlung
Die Wellenlängenverteilung
dieser Hohlraumstrahlung
wurde nun intensiv untersucht.
Die Hohlraumstrahlung ist
nicht materialspezifisch und
zeigt ein charakteristisches
Spektrum (Intensität der
Strahlung als Funktion der
Wellenlänge).
Beobachtung:
Erhöhung der Temperatur führt
zur
• drastischen Erhöhung der
abgestrahlten Gesamtenergie
(Fläche unter Kurven) und
• zur Verschiebung des
Intensitätsmaximums zu
niedrigeren Wellenlängen
Josef Stefan (1879) und
Wilhelm Wien (1873) konnten
folgende Gesetzmäßigkeiten
beschreiben:
Die Gesamtintensität der von einem Schwarzen Körper
abgegebenen Strahlung steigt mit der vierten Potenz der
Temperatur, T (Stefan-Boltzmann‘sches Gesetz)
Leistung (Watt) / Oberfläche (m2) = Strahlungsdichte =
Konstante  T4
mit empirisch ermittelter Konstante = 5,67  10-8 W. m-2. K-4
Die Wellenlänge des Emissionsmaximums ist verkehrt
proportional zur Temperatur, d.h.
T  max = Konstante
(Wien Gesetz)
Empirisch ermittelte Konstante = 2,88  10-3 K.m
Beispiel:
Berechnen Sie mit Hilfe des Wien Gesetzes die Temperatur der
Sonne, indem Sie diese als Schwarzen Körper betrachten. Die
maximale Intensität hat Sonnenstrahlung der Wellenlänge 490 nm.
Welche Temperatur hat die Sonne an der Oberfläche?
Es gilt:
T  max = Konstante mit Konstante = 2,88  10-3 K.m
T = Konstante / max = 2,88  10-3 K.m / 4,9  10-7 m = 5,88  103 K
Bei der Beschäftigung mit dem Schwarzen Körper wurde bald
klar, dass die Beobachtungen mit den Gesetzen der klassischen
Physik nicht erklärt werden konnten. Raleigh und Jeans
versuchten die experimentell beobachteten Spektren der
Hohlraumstrahler und ihre Abhängigkeit von der Temperatur mit
den Mitteln der klassischen
Physik zu beschreiben, die sagt, dass
jedes Teilchen (Atom, Elektron) als
Oszillator betrachtet werden kann und
jede Frequenz ist möglich:
Evib = kBT mit kB = Boltzmann
Konstante = 1,38 × 10-23 JK-1:
Rayleigh-Jeans-Gesetz
Energiedichte (Strahlungsleistung, P)
P (= (8kBT)/4
Stimmt nur bei großen  mit Experiment
überein!
Energie
dichte
P (= (8kBT)/4
Bei großen Frequenzen (kleinen
Wellenlängen) zeigt sich eine sehr
deutliche Abweichung zum
Experiment. Für den Grenzfall
  0 () geht die
Energiedichte nach dem RayleighJeans-Gesetz gegen unendlich im
Widerspruch zur experimentell
bestimmten Energiedichte, die
dabei gegen Null geht.
Das Rayleigh-Jeans-Gesetz besagt also, dass sehr viele Teilchen (Elektronen) in
den Wänden des Hohlraumstrahlers schon bei Zimmertemperatur zu hohen
Frequenzen (sehr kleinen Wellenlängen) angeregt sein müssten, dass also enorm
viel Energie im hochfrequenten Bereich des Spektrums emittiert wird. Dieses
Resultat wird als Ultraviolett-Katastrophe bezeichnet.
Nach der klassischen Elektrodynamik müssten sogar kalte Gegenstände im
sichtbaren, ultravioletten und sogar Röntgen- und Gamma-Bereich strahlen, sie
würden also im Dunkeln glühen. Würde dieses absurde Ergebnis gelten, gäbe es
überhaupt keine Dunkelheit. Die Pflanzen- und Tierwelt der Erde hätte sich unter
der dauernden Einwirkung der UV- und Gamma-Strahlung gar nicht entwickeln
können.
Wie findet man eine Strahlungsformel, die für alle Frequenzen gilt? Dafür
mussten Annahmen gemacht, die auf den ersten Blick mit der klassischen Physik
nicht vereinbar sind:
Die Energie eines elektromagnetischen Oszillators mit einer
bestimmten Frequenz ist keine kontinuierliche Größe!
Sie ist auf diskrete (= durch endliche Intervalle voneinander
getrennte) Werte beschränkt.
Nach Max Planck kann ein Oszillator die Energie nur in diskreten
Paketen aufnehmen oder abgeben, und zwar als ganzzahlige
Vielfache von h  :
E = n  h   mit der ganzen Zahl n = 0, 1, 2, 3, ...
und der Proportionalitätskonstanten h, die
heute als Plancksches Wirkungsquantum
bezeichnet wird (h = 6,63  10-34 J.s)
Das kleinste Energie-Intervall zwischen zwei Oszillatoren
derselben Frequenz beträgt also exakt h   . Dies ist auch die
kleinste Energie-Menge, sog. Quantum/Quant, die ein Oszillator
absorbieren oder emittieren kann.
Diese Formel wird auch oft als die "Grundgleichung der
Quantentheorie" bezeichnet.
Max Planck (1890): Der Austausch von
Energie zwischen Materie und
Strahlung passiert in Quanten (oder
Paketen von Energie).
Max Planck (1858-1947)
Seine Entdeckung des
Wirkungsquantums löste eine
Revolution in den
Naturwissenschaften aus.
Die Quantelung oder Quantisierung
der Energie ermöglichte Max Planck
die Anpassung der Spektralverteilungsfunktion an die experimentellen Daten.
Der Wert der Proportionalitätskonstante h musste dabei so gewählt
werden, dass die angepasste Funktion
alle realen Spektralverteilungen
wiedergibt (h = Plank’sches
Wirkungsquantum = 6,62 × 10-34 Js).
Die aus dem klassischen Blickwinkel einwandfreie Formel für
die Schwingungsenergie eines (linearen) Oszillators Evib= kBT
wurde von Planck korrigiert. Er setzte für die mittlere
Schwingungsenergie eines Oszillators des schwarzen Körpers
folgenden Ausdruck:
Evib = h/(eh/k T – 1) = (hc/× (1 / ehc/k T – 1)
B
B
Wie bei vielen Naturgesetzen taucht hier eine Exponentialfunktion
auf. Die Plank’sche Strahlungsformel lautet
Raleigh-Jeans (E = kBT):
Plank:
P(, T) = (8kBT)/4
P(, T) = (2hc2/5)  (1 / ehc/kBT-1)
Nähert sich  dem Wert Null, so geht hc/kT und daher auch
ehc/kT gegen unendlich  P(, T) geht gegen Null.
Die Plank’sche Strahlungsformel gibt die experimentell
ermittelte Spektralverteilung eines schwarzen Körpers richtig
wieder. Bei kleinen Frequenzen (großen Wellenlängen) geht die
Plancksche Funktion in die Rayleigh-Jeans-Funktion über.
Wie kann man den Misserfolg der klassischen Denkweise und den
Erfolg der Planckschen Hypothese erklären ?
Nach der klassischen Physik wird die Energie in gleichen Portionen
auf Oszillatoren aller Frequenzen verteilt, d. h., die Elektronen eines
schwarzen Körpers sind zu Schwingungen aller Frequenzen
angeregt, auch zu den höchsten Frequenzen. Die Strahlung dieser
hochfrequenten Oszillatoren führt zur Ultraviolett-Katastrophe.
Nach Planck können die Oszillatoren allerdings nur dann angeregt
werden, wenn sie einen Mindestenergiebetrag von h erhalten. Das
bedeutet aber, dass die hochfrequenten ( klein,  groß)
Oszillatoren nicht angeregt werden, weil die Wände für sie nicht
genügend Wärmeenergie liefern können.
Der photoelektrische Effekt
Die von Planck postulierte Diskontinuität des Energieaustausches
zwischen Objekten konnte schließlich durch den sog. photoelektrischen Effekt demonstriert werden. Auf Metall auftreffendes
Licht vermag Elektronen freizusetzen. Beobachtungen:

Es werden keine Elektronen
emittiert, wenn die einfallende
Strahlung nicht eine bestimmte
Frequenzstärke erreicht.

Diese Frequenz ist typisch für
jedes Metall.

Die kinetische Energie der
Elektronen ändert sich linear mit
der Frequenz des einstrahlenden
Lichtes. Sie ist aber unabhängig
von der Intensität der Strahlung.
Licht
Metall
Ek = h. - 
mit
Ek = kinetische Energie der emittierten Elektronen
h. = Energie des einstrahlenden Lichtes
= Austrittsarbeit
Mit h. < erfolgt kein Photoeffekt.
Einstein:
Elektromagnetische Strahlung besteht aus
Partikeln (später Photonen genannt).
Die Energie eines Photons hängt von der
Frequenz der Strahlung ab (E = h.Photonen
aus blauem Licht sind also energiereicher als
Photonen aus rotem Licht.
Beispiel:
Blaues Licht hat die Frequenz  = 6,4  1014 Hz.
Welche Energie hat ein „blaues“ Photon?
E=
(6,63  10-34 J.s)  (6,4  1014 s-1) =
4,2  10-19 J
Erklärung des photoelektrischen
Effektes:
Licht
Metall

Ein Elektron wird nur dann vom Metall emittiert, wenn es
durch die Kollision mit einem Photon genügend Energie
() erhält

Wird  überschritten, so hat das emittierte Photon die
Energie Ek = h. - 
Der photoelektrische Effekt unterstreicht also die korpuskulare
Natur der elektromagnetischen Strahlung.
Beispiel:
In einer Sekunde emittiert eine Schreibtischlampe (100 W) 25 J
Energie in Form von gelbem Licht (580 nm). Der Rest der Energie
wird als Licht unterschiedlichster Farben und als Infrarotstrahlung
emittiert. Wieviele Photonen von gelbem Licht werden in 1 Sekunde
emittiert?
Es gilt:
 = c / und EPhoton = h. = h.c / 
Die Gesamtzahl an Photonen ist daher
Anzahl an Photonen = Etotal/EPhoton = Etotal/(h.c / ) = Etotal./ (h.c) =
[(25 J)  (5,8  10-7 m)] / [(6,63  10-34 J.s)  (3,0  108 m.s-1)] =
= 7,3  1019
Andere Phänomene von Strahlung (z.B. Beugung) wiederum sind
nur mit der Wellennatur der Strahlung erklärbar.
Wenn Licht zwei eng benachbarte Spalten passiert, kann ein
Interferenzmuster beobachtet werden. Konstruktive und destruktive
Interferenz wird beobachtet. Erklärung durch Wellenmodell!
Konstruktive
Interferenz
Destruktive
Interferenz
Elektromagnetische Strahlung hat also eine duale Natur.
Welle-Teilchen-Dualismus der Materie
Welle –Teilchen-Dualismus der Materie
Je nach experimentellen Bedingungen
scheint Strahlung sich also entweder als
Welle oder Teilchen (Photon) zu
verhalten.
Diese Vorstellung wurde von Louis de
Broglie 1927 wesentlich erweitert:
Wenn Strahlungsenergie sich unter
geeigneten Bedingungen wie ein
Teilchenstrom verhalten kann, dann
können sich auch Teilchen unter
bestimmten Bedingungen als Welle
verhalten!
Louis de Broglie
(geb. 1892)
Hypothese zur Wellennatur
von Elektronen
Welle-Teilchen-Dualismus der Materie
Welle –Teilchen-Dualismus der Materie
de Broglie: Man kann dem Elektron während seiner Bewegung um
den Kern eine bestimmte Wellenlänge zuordnen. Diese Wellenlänge
hängt vom Impuls (p), also der Masse (m) und der Geschwindigkeit
(v) des Elektrons, ab:
× p = h bzw.  = h / p
mit p = m × v
de Broglie-Beziehung
(p = Impuls)
 = h / (m × v)
de Broglie verwendete zur Beschreibung der Welleneigenschaften der
Materie den Ausdruck Materiewellen.
In der Alltagserfahrung, d.h. für makroskopische Objekte, spielt die
de Broglie‘sche Beziehung ( = h / m.v) keine Rolle.
Beispiel:
Welche Wellenlänge hätte ein Körper der Masse 1 g, wenn er sich
mit einer Geschwindigkeit von 1 m.s-1 bewegt?
Es gilt:
 = h / p = h / m.v =
[(6,63  10-34 J.s)] / [(1  10-3 kg)  (1 m.s-1)]
mit 1 J = 1 kg.m2.s-2 [aus Energie = Kraft  Weg und
Kraft = Masse  Beschleunigung]
= 7  10-31 kg.m2.s-1 / kg.m.s-1 = 7  10-31 m
Diese Wellenlänge ist nicht detektierbar.
Der Wellencharakter von Elektronen wurde 1925 durch Clinton
Davisson und Lester Germer experimentell bestätigt.
Es wurde ein Nickelkristall mit Elektronen beschossen. Durch die
Anordnung der Atome im Kristall (Abstand etwa 250 pm) wirkten
diese wie ein Gitter, an dem die Elektronen gebeugt wurden. Ein
typisches Beugungsmuster mit konstruktiven und destruktiven
Interferenzen wurde
erhalten.
Beugungsmuster
Elektronen haben also
ebenfalls duale
(= Welle- und Teilchen-)
Eigenschaften (wichtig für
Verständnis des Atombaus!).
Elektronenbeugung ist heute
eine wichtige Methode
(Elektronemikroskopie: Erzeugung
von Bildern sehr kleiner Objekte)
durch Beschuß
eines
Nickelkristalls
mit Elektronen
Welle-Teilchen-Dualismus der Materie
Die Heisenberg‘sche Unschärferelation
Klassische Physik: Von einem Teilchen, das sich entlang einer Bahn
(Trajektorie) bewegt, kann jederzeit der Impuls und der Ort exakt
bestimmt werden.
Moderne Physik: Elementarteilchen haben auch Welleneigenschaften.
Eine Welle dehnt sich im Raum aus, ihr Ort ist daher nicht genau
definiert!
Der deutsche Physiker Werner Heisenberg stellte die Hypothese auf,
dass sich aus dem Welle-Teilchendualismus der Materie eine
fundamentale Begrenzung dafür ergibt, wie präzise Ort und Impuls
eines Objekts gleichzeitig dargestellt werden können:
Heisenberg‘sche Unschärferelation
Heisenberg formulierte eine
mathematische Beziehung zwischen
der Unschärfe des Aufenthaltsortes,
(x), der Unschärfe des Impulses,
(mv), und einer Größe, die das
Planksche Wirkungsquantum
enthält:
Komplementarität von Ort und
Impuls
p.x  h / 4
Werner Heisenberg
(1901-1976)
h / 4 = /2
 = 1,054  10-34 J.s
Heisenberg‘sche
Unschärferelation:
p.x   / 2
Aussage:
Ist die Unsicherheit des
Ortes gering (x ist klein)
ist die Unsichertheit des
Impulses (p) groß und
vice versa.
Ort und Impuls eines Teilchens sind komplementär und können
NICHT gleichzeitig präzise bestimmt werden.
Beispiel: Bestimmen Sie die minimale Unsicherheit
(a)
in der Position einer Kugel der Masse 1 g. Die
Geschwindigkeit der Kugel kann auf  1 mm.s-1 genau
bestimmt werden;
(b)
die minimale Unsicherheit der Geschwindigkeit eines
Elektrons, das sich irgendwo in einem Atom des Durchmessers
200 pm aufhält.
Es gilt:
p.x   / 2
p = m.v
und
 = h / 21,054  10-34 J.s
(a)
x =  /2m.v =
(1,054  10-34 J.s) / [2  (1  10-3 kg)  (2  10-3 m.s-1)] =
2,6  10-29 m
(b)
v = p / m =  /2m.x =
(1,054  10-34 J.s) / [2  (9,109  10-31 kg)  (2  10-10 m)] =
2,89  105 m.s-1
Welle-Teilchen-Dualismus der Materie
Wellenfunktionen und Energiezustände
Elementarteilchen haben Welleneigenschaften. Sie können daher
nicht als punktförmige Objekte beschrieben werden, die sich auf
konkreten Bahnen bewegen.
Schrödinger schlug 1926 eine Gleichung
vor, die sowohl das wellenartige als auch
das teilchenartige Verhalten von Elektronen
beschreibt (Schrödingergleichung):
Quantenmechanik, Wellenmechanik
Die Schrödingergleichung ist eine
Differentialgleichung, die nur in sehr
einfachen Fällen exakt lösbar ist.
Das qualitative Verständnis der erhaltenen
Ergebnisse ist für diese VO ausreichend.
Erwin Schrödinger (1887-1961)
Die Lösung der Schrödingergleichung führt zu einer Reihe
mathematischer Funktionen, den sog. Wellenfunktionen, mit
denen das Elektron beschrieben wird.
Wellenfunktionen werden durch das Symbol  griech. psi
charakterisiert.
Die Wellenfunktion selbst hat keine
unmittelbare physikalische Bedeutung.
Gemäß der Unschärferelation kann
man den Aufenthaltsort eines
Elektrons um den Kern nicht exakt
angeben. Jedoch liefert der Betrag des
Quadrats der Wellenfunktion, ‫׀‬‫׀‬
Informationen über den Aufenthaltsort
des Elektrons in einem erlaubten
Energiezustand.
In der Wellenmechanik betrachtet man die Wahrscheinlichkeit, mit
der sich ein Elektron zu einem bestimmten Zeitpunkt in einem
bestimmten Bereich aufhält.
Der Betrag des Quadrats der
Wellenfunktion, ‫׀‬‫׀‬gibt nun die
Wahrscheinlichkeit an, mit der sich
ein Elektron an diesem Ort aufhält.
‫׀‬2‫ ׀‬heißt daher Wahrscheinlichkeitsdichte oder Elektronendichte.
Großes ‫׀‬‫׀‬
Hohe Elektronendichte
Kleines ‫׀‬‫ ׀‬Geringe Elektronendichte.
‫ ׀‬ ‫ = ׀‬0
Knoten; Elektronendichte ist Null ( = 0)
Modell des Teilchens (Elektron) in
einem eindimensionalen Kasten:
Annahme: Ein Teilchen der Masse m
sei in einem eindimensionalen Kasten
der Länge L eingesperrt. Die Wände
sind undurchdringbar.
Teilchen ist als Welle zu betrachten. Es
verhält sich wie eine stehende Welle
(ähnlich einer schwingenden Saite).
Dann sind nur bestimmte
Wellenlängen möglich.
Mathematische Form:
n(x) = (2/L)1/2sin (nx/L)
mit n = 1, 2,...... (Quantenzahl)
x
L
Mathematische Form:
n(x) = (2/L)1/2sin (nx/L)
mit n = 1, 2,...... (Quantenzahl)
für n = 1
1(x) = (2/L)1/2sin (x/L)
x=0
1(x) = (2/L)1/2sin () = 0
x = L/2
1(x) = (2/L)1/2sin (/2) = (2/L)1/2
x=L
1(x) = (2/L)1/2sin () = 0
x
L
n(x) = (2/L)1/2sin (nx/L)
mit n = 1, 2,...... (Quantenzahl).
Die Quantenzahl ist ganzzahlig, markiert
quasi die Wellenfunktion und erlaubt die
Berechnung der Eigenschaften des
Systems.
Berechnung der erlaubten Energiezustände:
Annahme:
Die Energie setzt sich nur aus kinetischer
Energie des Teilchens zusammen, d.h.
Ek = mv2/2 = p2/2m = h2/2m2
(aus p = mv und
p. = h bzw. p = h/)
x
L
Ek = mv2/2 = p2/2m = h2/2m2
Nur ganzzahlige Vielfache von /2
sind erlaubt, wobei die Dimension L
des eindimensionalen Kastens die
jeweilige Wellenlänge
folgendermaßen festlegt:
L = /2, , 3/2 ... = n  (/2)
mit n = 1,2, ...
Die erlaubten Wellenlängen sind
daher
 = 2L/n mit n = 1,2, ...
Einsetzen in Ek = h2/2m2 ergibt
En = n2h2 / 8mL2
x
L
En = n2h2 / 8mL2
Besonderheit:
 Energie ist quantisiert, d. h. sie kann nur
diskrete Werte (sog. Energieniveaus)
annehmen.
Der Abstand zwischen zwei benachbarten
Energieniveaus mit den Quantenzahlen n
und n + 1 ist
En+1 - En = [(n + 1)2h2 / 8mL2] [n2h2 / 8mL2] =
(2n + 1)h2 / 8mL2
x
L
En+1 - En = (2n + 1)h2 / 8mL2
d. h. je größer L oder m
werden (d. h. je mehr
makroskopische Verhältnisse
realisiert werden), desto
geringer werden die Abstände
zwischen den Energieniveaus.
Daher merkt man in der
Alltagserfahrung nichts von
der Quantisierung der Energie.
L klein
L groß
Beispiel: Man betrachte ein Wasserstoffatom als eine eindimensionale
Schachtel der Ausdehnung 150 pm. Das Wasserstoffatom enthält ein
Elektron. Berechnen Sie die Wellenlänge der emittierten Strahlung,
wenn das Elektron vom ersten (angeregten) Energieniveau auf das
unterste Energieniveau zurückfällt.
Es gilt:
En+1 - En = (2n + 1)h2 / 8mL2
und n = 1
Masse des Elektrons: 9,109  10-31 kg
Lösung:
h = E2 - E1 = (2 + 1)h2 / 8.meL2 und
 = 3h / 8.meL2
 = c /  = 8.mecL2 / 3 h =
[8  (9,109  10-31 kg)  (2,997  108 m.s-1)  (1,5  10-10 m)2] / [3  (6,626  10-34 J.s]
2,47  10-8 m = 24,7 nm
Experimentell: 122 nm (Realität: dreidimensionales Modell)
=
En = n2h2 / 8mL2
Besonderheit:

Die Energie des Teilchens kann niemals
Null sein.
Die niedrigste Energie, die sog.
Nullpunktsenergie (n = 1), ist h2 / 8mL2.
Unschärferelation: Die Unsicherheit der
Position des Teilchens kann nicht größer
als L sein, d.h. die Position ist niemals
total unsicher, was aufgrund der Beziehung
p.x   / 2 aber bedeutet, dass der Impuls
x
nie exakt bestimmbar ist und daher das Teilchen niemals
komplett still steht, die Energie also nie Null wird!
L
En = n2h2 / 8mL2
Besonderheiten:
 n = 1,
Wellenfunktion 1
E1 = h2 / 8mL2
Höchste
Wahrscheinlichkeitsdichte, ‫׀‬12‫׀‬, ist im
Zentrum der Box
 n = 2,Wellenfunktion 2, E2 = h2 / 2mL2
Höchste Wahrscheinlichkeitsdichte,‫׀‬22‫׀‬, zwischen
Zentrum und Wände usw.
Übungsbeispiel: Berechnen Sie die Wellenlänge von Licht mit der
Frequenz von 4,3  1014 Hz.
Lösung:
Es gilt: 1 Hz = 1 s-1
und
=c
 = c /   108 m.s-1 / 4, 3  1014 s-1 = 7,00  10-7 m =
= 700 nm
Übungsbeispiel: 1965 wurde entdeckt, dass das Universum von
elektromagnetischer Strahlung durchflutet wird, die ihr Maximum
im Mikrowellenbereich hat, exakt bei 1,05 mm? Frage: Welche
Temperatur hat der „leere“ Raum?
Es gilt:
T  max = Konstante mit Konstante = 2,88  10-3 K.m
T = Konstante / max = 2,88  10-3 K.m / 1,05  10-3 m = 2,74 K
Übungsbeispiel: Welche Energie hat ein Photon der Frequenz
5,2  1014 Hz (gelbes Licht)?
Es gilt:
E = h.
E = (6,63  10-34 J.s)  (5,2  1014 s-1) = 3,4  10-19 J
Übungsbeispiel: Eine Lampe produziere nur blaues Licht (470
nm) mit der Energie von 5 J pro Sekunde. Wieviele Photonen
werden von dieser Lampe in 8,5 Sekunden produziert?
Es gilt:
 = c / und EPhoton = h. = h.c / 
Lösung:
Anzahl an Photonen = Etotal/EPhoton = Etotal/(h.c / ) = Etotal./ (h.c)
=
[(5 J)  (4,7  10-7 m)] / [(6,63  10-34 J.s)  (3,0  108 m.s-1)] =
= 1,18  1019 Photonen pro Sekunde bzw.
1,0  1020 Photonen in 8,5 Sekunden
Übungsbeispiel: Berechnen Sie die Wellenlänge (a) eines Protons,
das mit 1/100 der Lichtgeschwindigkeit bzw. (b) einer Kugel der
Masse 5 g, die mit 1 m.s-1 unterwegs ist!
Es gilt:
de Broglie-Beziehung
 = h / p = h / m.v
Masse eines Protons
1,673  10-27 kg
Lichtgeschwindigkeit
2,998  108 m.s-1
Lösung:
(a)
[(6,63  10-34 J.s)] / [(1,673  10-27 kg)  (2,998  106 m.s-1)]
= 1,32  10-13 m (= 0,132 pm) (Atomdurchmesser: 200 pm)
(b)
[(6,63  10-34 J.s)] / [(5,0  10-3 kg)  (1,00 m.s-1)]
= 1,33  10-31 m
Übungsbeispiel: Ein Proton wird in einem Cyclotron zu einer sehr
hohen Geschwindigkeit beschleunigt, die bis auf 3,0  102 km.s-1
genau bestimmt werden kann. Wie groß ist die minimale
Unsicherheit bezüglich des Ortes des Protons?
Es gilt:
Heisenberg‘sche Unschärferelation: p.x   / 2
mit  = h / 21,054  10-34 J.s
p = m.v
Masse eines Protons: 1,673  10-27 kg
Lösung:
x =  /2m.v =
(1,054  10-34 J.s) / [2  (1,673  10-27 kg)  (3  105 m.s-1)]
= 1,05  10-13 m.
Übungsbeispiel: Rote Giganten sind sterbende Sterne. Die von
ihnen emittierte Strahlung zeigt die maximale Intensität bei 700 nm.
Das zeigt, dass sich die Roten Giganten beim Absterben abkühlen.
Wie groß ist tatsächlich ihre Oberflächentemperatur?
Es gilt:
T  max = Konstante mit Konstante = 2,88  10-3 K.m
T = Konstante / max = 2,88  10-3 K.m / 7,00  10-7 m = 4114 K
Übungsbeispiel: Berechnen Sie die Wellenlänge eines Elektrons,
das mit 1/1000 der Lichtgeschwindigkeit unterwegs ist.
Es gilt die
de Broglie’sche Beziehung  = h / (mv)
Masse des Elektrons ist 9,109  10-31 kg
Lichtgeschwindigkeit c = 3  108 m/s
Plank‘sches Wirkungsquantum h = 6,63  10-34 J.s
= h / (mv) = 6,63  10-34 J.s / [(9,109  10-31 kg)  (3  105 m/s)]
 = 2,43  10-9 m = 2,43 nm
Übungsbeispiel: Ein 2000 kg schweres Automobil wird auf der
Autobahn von der Polizei beobachtet. Die Polizei kann den Ort des
Wagens auf  1 m angeben. Berechnen Sie die minimale
Unsicherheit in der Bestimmung der Geschwindigkeit des Autos!
Es gilt:
Heisenberg‘sche Unschärferelation: p.x   / 2
mit  = h / 21,054  10-34 J.s
p = m.v
Masse Autos: 2000 kg
Ortsungenauigkeit x = 2 m (aus  1 m)
p =  /2x = m.v
v =  /(2m  x) =
(1,054  10-34 J.s) / [2  2000 kg  2 m] = 1,31  10-38 m/s
Übungsbeispiel: An geschmolzenem Eisen kann man das Wien’sche
Gesetz überprüfen. Der Schmelzpunkt des Eisens liegt bei 1540°C.
Wo wird das Intensitätsmaximum der emittierten Strahlung liegen?
T  max = Konstante mit Konstante = 2,88  10-3 K.m
Wichtig:
Angabe der Temperatur in Kelvin!
0°C entspricht 273,15 K bzw.
100°C entspricht 373,15°C
Eisen schmilzt bei 1813,15 K
max = Konstante /  = 2,88  10-3 K.m / 1813,15 K = 1,5  10-6 m
= 1590 nm = 1,59 µm
Übungsbeispiel: Der photoelektrische Effekt wird am Metall
Rubidium getestet. Die Austrittsarbeit von Rubidium beträgt
2,09 eV (Elektronenvolt). Es gilt: 1 eV = 1,60  10-19 J.
Kann blaues Licht der Wellenlänge 470 nm Elektronen aus diesem
Metall freisetzen?
Lösung:
Die kinetische Energie der freigeschlagenen Photonen hängt nur
von der Energie der Lichtquanten und der Austrittsarbeit ab:
Ek = h. - 
h. = (h  c) /  = [(6,63  10-34 J.s)  (3  108 m.s-1)] / (4,7  10-7 m)
= 4,23  10-19 J.
D.h. = 3,34  10-19 J < h.
Die Energie reicht aus um Elektronen aus Rubidium freizuschlagen.
Atommodelle
Atomspektren und das Bohr‘sche Atommodell
Die meisten herkömmlichen Strahlungsquellen (Glühbirnen oder
Sterne), erzeugen eine Strahlung, die aus verschiedenen
Wellenlängen besteht. Wenn diese Strahlung auf ein Prisma trifft,
entsteht ein kontinuierliches sichtbares Spektrum:
Die verschiedenen Farben gehen ineinander über (Regenbogen).
Nicht alle Strahlungsquellen erzeugen jedoch ein kontinuierliches
Spektrum. Wenn man verschiedene Gase bei erniedrigtem Druck in
eine Röhre einschließt und an diese eine hohe Spannung anlegt,
emittieren die Gase Licht verschiedener Farben. Neonlampen z.B.
glühen rotorange oder Natriumdampflampen glühen gelb.
Lichtquelle
Wenn Licht aus Neon- oder Natriumdampflampen mit einem Prisma
aufgespalten wird, entsteht ein Linienspektrum, d.h. eine begrenzte
Zahl von scharfen farbigen Linien:
Atomspektren sind Linienspektren und lieferten weitere
experimentelle Hinweise, dass die Energie von Elementarteilchen
tatsächlich quantisiert ist.
Wasserstoff z.B. leuchtet rot, weil die intensivste Linie im sichtbaren
Bereich eine Wellenlänge von 656 nm hat.
Infrared
Das gesamte Spektrum von atomarem Wasserstoff. Angeregte Atome emittieren
nicht nur sichtbares Licht, sondern auch ultraviolette und infrarote Strahlung. Die
spektralen Linien werden zu Gruppen zusammengefasst, die nach ihren Entdeckern
benannt sind.
Die Tatsache, dass nur Licht ganz
bestimmter Frequenz von
angeregten Atomen abgestrahlt
wird, bedeutet, dass Elektronen
nur diskrete Energieniveaus
einnehmen können.
Wechselt ein Elektron von einem
höheren in ein niedrigeres
Energieniveau, wird diese Energie
als Strahlung abgegeben.
E = Ehöher - Eniedriger = h
Bohr‘sche Frequenzbedingung
Jede spektrale Linie stammt also von einem konkreten elektronischen
Übergang.
Die Analyse des Spektrums gibt also Rückschlüsse auf die möglichen
Energieniveaus eines Elektrons.
Zusammenhang zwischen Elektronenübergängen im Wasserstoff und den
beobachtbaren Linien im Spektrum
Johann Rydberg (schwedischer
Spektroskopiker) konnte die
Spektrallinien des Wasserstoffs
mit Hilfe der folgenden einfachen
(empirischen) Formel berechnen:
 = R  [(1 / n12) - (1 / n22)]
mit n1 = 1, 2, .....
und
n2 = n1+1, n3 = n1+2, ....
R = Rydbergkonstante
= 3,29  1015 Hz (empirisch)
Damit im Zusammenhang stehen
die Werte der Energieniveaus
(aus E = h): En = - h R / n2
Spektrum des Wasserstoffs
Beispiel: Berechnen Sie die Wellenlänge der emittierten Strahlung von
angeregtem Wasserstoff, wenn sie von einem Übergang zwischen den
Niveaus n2 = 3 und n1 = 2 stammt. Identifizieren Sie die Strahlung im
Spektrum:
Infrared
Es gilt:
 = R  [(1 / n12) - (1 / n22)] = R  [(1 / 22) - (1 / 32)] = 5R/36
R = 3,29  1015 Hz
 = c /  = [36  (3  108 m.s-1)] / [5  (3,29  1015 s-1)] =
6,57  10-7 m = 657 nm (Linie der Balmer Serie)
Aufgrund des beobachteten
Linienspektrums von Wasserstoff
entwickelte Niels Bohr 1913 eine
Theorie zur Elektronenstruktur von
Wasserstoff (Bohr-Atommodell):
1.
2.
Das Elektron des Wasserstoffs
kann sich nur auf bestimmten
(stationären) Kreisbahnen um den
Kern (1 Proton) bewegen. Die
Bahnen werden auch als
Energieniveaus, Energiezustände,
Energieterme oder Schalen
bezeichnet..
Niels Bohr
(1885-1962)
Publiziert
wurde
dieses Modell
1913: “On the constitution of atoms
and molecules”
Die Bahnen sind konzentrisch um den Atomkern angeordnet
und werden mit K, L, M, N .... oder einer Zahl
n = 1, 2, 3, 4..... bezeichnet (Planetenmodell; nicht korrekt!).
3.
Jede Bahn hat eine bestimmte diskrete Energie. Um das
Elektron auf eine äußere Bahn zu bewegen ist Energie
nötig.
4.
Ist das Elektron auf der innersten Bahn, spricht man vom
Grundzustand. Gelangt das Elektron auf eine höhere
Bahn, ist es im angeregten Zustand.
5.
Fällt das Elektron von einem angeregten Zustand in einen
weniger angeregten bzw. in den Grundzustand zurück,
dann wird die Energiedifferenz als Strahlung diskreter
Frequenz abgegeben (Ursache der Linienspektren).
Bohr berechnete mit Hilfe von klassischen Gleichungen zur
Bewegung („Planetenmodell“) und zur Wechselwirkung von
elektrischen Ladungen die Energien, die den erlaubten
Umlaufbahnen der Elektronen in Wasserstoffatomen entsprechen:
E = -(h.R)(1/n2)
h (Plank‘sches Wirkunsquantum)
R (Rydbergkonstante)
E = -(h.R)(1/n2)
Die ganzzahlige Zahl n kann einen Wert
von 1 bis unendlich annehmen und wird
Hauptquantenzahl genannt.
Jede Umlaufbahn entspricht einem
bestimmten Wert von n und der Radius der
entsprechenden Umlaufbahn nimmt mit
steigendem n zu.
Das Elektron des Wasserstoffatoms kann
sich auf jeder erlaubten Umlaufbahn
befinden.
Das Elektron hat bei allen Werten von n
eine negative Energie. Die Energie ist am
niedrigsten (negativsten), wenn n = 1
(Grundzustand).
n =2 oder höher: angeregte Zustände
Was geschieht mit dem Radius der
Umlaufbahn und der Energie, wenn n
unendlich groß wird?
n 
E = -(h.R)(1/n2)
Elektron vollständig
vom Kern
gelöst
Dieser Zustand ist der Referenzzustand bzw. Energiezustand des
Wasserstoffatoms mit der Energie
Null (E = 0).
Bohr’scher Radius (n = 1): 0,529 Å
Das Bohr’sche Atommodell
(Planetenmodell: Das Elektron des
Wasserstoffatoms kann sich auf diskreten
Bahnen (entsprechend n = 1, 2, 3 … usw)
bewegen.
Die Grenzen des Bohr’schen Atommodels
Bohr behauptete, dass das Elektron auf seinen stationären (diskreten)
Bahnen keine Energie abstrahle (zunächst dramatischer Widerspruch
zur klassischen Physik). Energieabstrahlung oder – absorption
erfolge nur bei Übergängen zwischen den „erlaubten“ Bahnen.
Das Bohr‘sche Modell berücksichtigt zwar schon die Quantisierung
der Energie, doch wird das Elektron als Partikel betrachtet. In der
Quantenmechanik ist das Elektron als Welle zu betrachten. Es gilt
die Unschärferelation: Das Elektron bewegt sich nicht auf diskreten
Kreisbahnen!
Das Modell konnte schon viele, aber nicht alle experimentellen
Daten des Wasserstoffatoms gut reproduzieren.
Arnold Sommerfeld gelang 1915 die Verallgemeinerung.
Bohr-Sommerfeld’sches Atommodell (1915):
Elektronen bewegen sich nicht auf Kreisbahnen, sondern auf
elliptischen Bahnen.
Ein zweiter Satz von Quantenzahlen ist zur Beschreibung nötig.
Er lässt sich mit dem (Bahn-)drehimpuls des Elektrons assoziieren
(und mit der kleinen Halbachse der Ellipse). Die Hauptquantenzahl
bestimmt die Energie des Elektrons (und die Hauptachse der
Ellipse).
Die Bohr-Sommerfeld-Theorie bewährte sich vor allem bei der
Erklärung wasserstoffähnlicher Spektren.
Erklärung zum Begriff Drehimpuls aus der klassischen Physik:
Bei einer Kreisbewegung kann man sich den Drehimpuls in Bezug auf das
Zentrum des Kreises als Pfeil vorstellen, dessen Richtung die Drehachse der
Bewegung angibt. Seine Länge gibt den Schwung der Drehung an. Je länger der
Pfeil, desto größer der Drehimpuls. Der Drehimpuls wächst mit höherer
Geschwindigkeit, größerer Masse sowie größerem Abstand zur Drehachse.
Bei einer Kreisbewegung steht der Drehimpuls
senkrecht auf der Ebene, in der sich die Masse
bewegt, sofern sich der Bezugspunkt des
Drehimpulses ebenfalls in dieser Ebene
befindet. Seine Länge ist gleich dem Produkt
Orts- und Bahnimpulsvektor ändern die
Richtung, während die des
aus Masse, Radius und Geschwindigkeit.
Drehimpulsvektors gleich bleibt
In mathematischer Beschreibung ist der
Drehimpuls eines Massenpunktes das Kreuzprodukt seines Ortsvektors mit seinem
Impuls L = r × p = r × m.v (L, r, p, v sind Vektoren).
Drehimpulserhaltung: Aus der Tatsache, dass die physikalischen Gesetze nicht von
der Orientierung im Raum abhängen, folgt, dass der Drehimpuls eine
Erhaltungsgröße (wie die Energie) ist, d.h. der Drehimpuls eines isolierten
physikalischen Systems bleibt unverändert.
Atommodelle
Energiezustände von Elektronen - Hauptquantenzahl
Die Lösung der Schrödingergleichung führt zu einer Reihe
mathematischer Funktionen, den sog. Wellenfunktionen, mit
denen das Elektron des Wasserstoffatoms beschrieben wird. Zu
jeder Wellenfunktion gehört ein definierter Energiezustand und
eine Aussage über die Elektronendichte.
Wellenfunktionen werden Orbitale genannt (von orbit,
Umlaufbahn).
Jedes Orbital beschreibt eine besondere Verteilung der
Elektronendichte im Raum, die durch die Wahrscheinlichkeitsdichte des Orbitals gegeben ist.
Jedes Orbital hat eine charakteristische Energie und Form.
Für die Energieniveaus des
Elektrons im Wasserstoffatom
liefert die Schrödingergleichung folgende Lösung:
En = - (hR / n2)
mit n = 1, 2, ... und
R = Rydbergkonstante
Selbe Form wie die empirisch
gefundene Rydberg‘sche
Formel oder Ableitung von
Bohr!
Triumpf der Wellenmechanik!
En = - (hR / n2)
mit n = 1, 2, ......
Warum Minus?
Weil das im Atom gebundene
Elektron eine geringere
Energie hat (Anziehung durch
Kern) als das freie Elektron.
n=1
n=2
n=3
usw.
n
E = - hR
E = - hR
E = - hR
E=0
Ionisierung
Atommodelle
Atomorbitale
Wellenfunktionen von Elektronen heißen Atomorbitale.
Die Lösung der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom
ist naturgemäß komplizierter als für das Teilchen im
eindimensionalen Kasten (Sinusfunktion).
Im Bohr‘schen Atommodell wurde eine Quantenzahl eingeführt, mit
der die Umlaufbahnen der Elektronen beschrieben wurden.
Im dreidimensionalen quantenmechanischen Modell werden zur
Beschreibung eines Orbitals nun drei Quantenzahlen verwendet.
Für das chemische Verständnis ist wieder ‫׀‬‫׀‬die
Elektronendichte wichtig. Sie gibt für jeden Punkt um den
Kern die Wahrscheinlichkeit an, das Elektron dort anzutreffen.
Mathematisch wird die Lage des
Elektrons um den Atomkern am
besten durch Polarkoordinaten
(r) beschrieben
(, theta; , phi).
(r, )
Um die wirkliche Verteilung der
Elektronen innerhalb eines Atoms
besser anschaulich zu machen,
separiert man im allgemeinen die
Wellenfunktion in eine radiale Wellenfunktion R(r) und eine
winkelabhängige Wellenfunktion Y().
 (r, ) = R(r)Y()
Wellenfunktion für das Wasserstoffatom im Grundzustand
 (r, ) = [(2e-r/ao) / (ao3/2)]  [1/(21/2)] = (e-r/ao) / [(ao3)1/2]
R(r)
Y(
R(r)
exponentieller Abfall gegen 0 bei Vergrößerung
von r
Y()
in diesem Fall winkelunabhängig
 (r, ) = (e-r/ao) / [(ao3)1/2]
mit ao = (4o2) / (mee2) = 52,9 pm (= 0,529  10-10 m)
Im Bohr’schen Atommodell ist a0 der Radius der Elektronenbahn
im Grundzustand (n = 1). Der Abstand 0,529 Å wird daher häufig
als Bohr’scher Radius bezeichnet.
 (r, ) = (e-r/ao) / [(ao3)1/2]
‫׀‬‫( ׀‬r, ) = (e-2r/ao) / (ao3)
Die radiale Elektronendichte
gibt die Wahrscheinlichkeit an,
mit der sich ein Elektron in
einer bestimmten Entfernung
vom Kern aufhält.
Für das Elektron im Grundzustand
ist die Verteilung sphärisch
symmetrisch, d.h. unabhängig
von den Winkelkoordinaten 
und 
Beachte: ‫׀‬2‫ ׀‬wird nie exakt 0! Allerdings ist die Wahrscheinlichkeitsdichte bei r > 3 Å schon vernachlässigbar klein.
Außerhalb von 3 Å ist es unwahrscheinlich das Elektron im
Grundzustand (n = 1) anzutreffen.
Wellenfunktion für das Wasserstoffatom im Grundzustand (n = 1)
 (r, ) = [(2e-r/ao) / (ao3/2)]  [1/(21/2)] = (e-r/ao) / [(ao3)1/2]
Es gibt eine unendlich große Zahl von Wellenfunktionen
(Orbitalen) für das Wasserstoffatom.
Ein Elektron kann zu einer bestimmten Zeit aber nur eine dieser
Funktionen besetzen.
Ab n > 2 werden die mathematischen Ausdrücke für die
Wellenfunktionen (Atomorbitale) immer komplexer.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Elektron im
Wasserstoffatom im Grundzustand an einem bestimmten Punkt
(r, ) ist gegeben durch ‫׀‬‫( ׀‬r, ) = (e-2r/ao) / (ao3)
Beispiel:
Wie groß ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in der
Entfernung ao vom Kern im Vergleich zu seiner Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Ort des Kerns?
‫׀‬‫( ׀‬ao, ) / ‫׀‬‫( ׀‬0, ) = [(e-2ao/ao) / (ao3)] / [1/ao3] =
= [(e-2) / (ao3)] / [1/ao3] = e-2 = 0,143
d.h. die Wahrscheinlichkeit das Elektron in
einer kleinen Region um den Abstand ao
anzutreffen, ist nur 14% der
Wahrscheinlichkeit es in einer gleich
großen Region um den Kern anzutreffen.
Die Wellenfunktionen des Elektrons im Wasserstoffatom sind durch
drei Quantenzahlen (n, l, ml) festgelegt, wie es für ein dreidimensionales System zu erwarten ist (für das Teilchen im
eindimensionalen Kasten war eine Quantenzahl, n, ausreichend):

HAUPTQUANTENZAHL, n. Bestimmt die Energie des
Elektrons entsprechend
En = - (hR / n2)
Im Wasserstoffatom haben alle Wellenfunktionen (Orbitale)
mit gleicher Hauptquantenzahl n idente Energie (gehören
entsprechend dem Bohr‘schen Atommodell zur selben
„Schale“).

NEBENQUANTENZAHL, l. Sie wird auch als
BAHNDREHIMPULS-QUANTENZAHL oder
Drehimpuls-Quantenzahl bezeichnet. Sie legt den
Bahndrehimpuls des Elektrons fest. Jede „Schale“ mit der
Hauptquantenzahl n kann in n „Unterschalen“ unterteilt
werden. Die Nebenquantenzahl, l, spezifiziert nun ein
Orbital weiter und kann die Werte l = 0, 1, 2, .. n - 1
annehmen. Diese Werte charakterisieren die innerhalb eines
Energieniveaus möglichen „Unterschalen“.
n=1
l=0
1 Unterschale
n=2
l = 0, l = 1
2 Unterschalen
n=3
l = 0, l = 1, l =2
3 Unterschalen
n=4
l = 0, l = 1, l =2, l = 3
4 Unterschalen
n=5
l = 0, l = 1, l =2, l = 3, l = 4
5 Unterschalen
usw.

MAGNET-QUANTENZAHL, ml . Die MagnetQuantenzahl legt den Drehimpuls des Elektrons um eine
bestimmte Achse fest. Weitere Spezifizierung von
Orbitalen. Sie kann die Werte l, l - 1, ..., -l annehmen.
Für eine bestimmte Nebenquantenzahl l existieren also
(2l + 1) verschiedene Magnetquantenzahlen.
l=1
ml = +1, 0, -1
(2l + 1) = 3
l=2
ml = +2, +1, 0, -1, -2
(2l + 1) = 5
l=3
ml = +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3
(2l + 1) = 7
usw.
Die Magnetquantenzahl charakterisiert nun eindeutig eine
bestimmte Unterschale.
Das Elektron des Wasserstoffatoms im Grundzustand hat also die
Elektronenkonfiguration
n = 1, l = 0 und ml = 0
Terminologie für Atomorbitale:
Orbitale mit l = 0 heißen
s-Orbitale
Orbitale mit l = 1 heißen
p-Orbitale
Orbitale mit l = 2 heißen
d-Orbitale
Orbitale mit l = 3 heißen
f-Orbitale
Namen stammen aus Spektroskopie für Linienformen: sharp, principal, diffuse,
und fundamental.
n=3
l=2
d
l=1
p
l=0
s
l=1
p
l=0
s
l=0
s
n=2
n=1
Wie stellt man Orbitale
(„Elektronenwolken“)
graphisch (anschaulich) dar?
Prinzipiell werden die Umrisse
der Oberfläche
(Grenzflächendiagramme,
Konturendarstellung)
dargestellt, innerhalb der die
Wahrscheinlichkeit, das
s-Orbital
Teilchen anzutreffen, 90%
beträgt.
Grenzflächendiagramme von s-Orbitalen haben also eine Kugelform.
s-Orbitale zeigen Kugelsymmetrie, d.h. dass bei einer bestimmten
Entfernung zum Kern die Elektronendichte immer gleich groß ist,
unabhängig davon, in welcher Richtung man sich vom Kern entfernt.
Alle anderen s-Orbitale (2s, 3s, 4s usw.) sind ebenfalls
kugelsymmetrisch.
Mit zunehmender Energie (bzw.
1s
2s
‫׀ ׀‬
3s
‫׀ ׀‬
2
2
Knoten
Hauptquantenzahl n) wird die radiale
Wellenfunktion komplizierter. Es treten
sog. Knoten (hier Radialknoten) auf. An
Knotenpunkten ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit Null. Für ein
bestimmtes n gibt es stets (n - 1) Knoten.
n=1
(1s)
0 Radialknoten
n=2
(2s)
1 Radialknoten
n=3
(3s)
2 Radialknoten
‫׀ ׀‬
2
Knoten
1s
2s
3s
r
r
r
Knoten (engl.
node)
Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen (radiale Elektronendichte)
der 1s-, 2s- und 3s-Orbitale als Funktion des Abstands vom Kern
Alle s-Orbitale haben eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit für
das Elektron am Ort des Atomkerns! Mit zunehmendem n wird der
durchschnittliche Abstand vom Kern größer. Die Größe des Orbitals
nimmt also mit steigendem n zu (wie im Bohr‘schen Atommodell).
Eine Unterschale mit l = 1 besteht aus drei p-Orbitalen. p-Orbitale
sind nicht kugelsymmetrisch. p-Orbitale haben hantelförmige Gestalt.
p-Orbitale höherer Hauptquantenzahl (3p, 4p) haben ähnliche Gestalt,
jedoch weiter vom Kern entfernt liegende größte Ladungsdichten.
Die Grenzflächendiagramme der drei p-Orbitale (n > 1)
Die Elektronendichte konzentriert sich auf zwei Seiten des Kerns.
l=1
ml = -1, 0, +1
(drei p-Orbitale)
Alternative
Bezeichnung:
px, py, pz
Durch den Atomkern geht eine
ebene Knotenfläche (nodal
plane). Auf jeder Seite der
Knotenfläche ist ein Bereich
höherer Ladungsdichte.
Eine Unterschale mit l = 2 besteht aus fünf d-Orbitalen
AufenthaltsDie fünf
wahrscheinlichkeit
ensprechend ml = 2, 1, 0, -1, -2.
d-Orbitale
am Kern ist Null!
(n > 2,
l = 2)
Die Grenzflächendiagramme der fünf d-Orbitale (n > 2)
Eine
Unterschale
mit einer
l = 3 besteht
aus
Die sieben
f-Orbitale
„Schale“
(nsieben
> 3, l =f-Orbitalen
3)
ensprechend ml = 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3.
5z3-3zr2
ist Null!
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Grenzflächendiagramme am
derKern
sieben
f-Orbitale (n > 3)
n=3
l=2
d
l=1
p
l=0
s
l=1
p
l=0
s
l=0
s
n=2
n=1
Beispiel:
Wie lautet die allgemeine Formel für die Gesamtzahl an Orbitalen
einer Schale der Hauptquantenzahl n?
n=1
l=0
1 Orbital
n=2
l = 0, l = 1
4 Orbitale (ein s-Orbital und
drei p-Orbitale)
n=3
l = 0, l = 1, l = 2
9 Orbitale (ein s-Orbital, drei
p-Orbitale und fünf
d-Orbitale)
n2
Atommodelle
Elektronenspin
Zur vollständigen Beschreibung
eines Elektrons wird eine vierte
Quantenzahl, die sog.
SPINMAGNET-QUANTENZAHL
(s) benötigt (auch als
Spinquantenzahl bezeichnet).
Anschauliche Beschreibung des Elektrons als sich um die eigene
Achse drehendes Teilchen. Diese Eigenschaft heißt Spin („Drall“).
Das Elektron trägt eine Ladung, folglich resultieren aus dieser
Rotation magnetische Eigenschaften.
Der Spin ist dem Elektron eigen und kann weder verändert noch
entfernt werden (ebensowenig wie seine Masse oder seine Ladung).
Er ist ein rein quantenmechanisches Phänomen und besitzt keine
klassische Analogie.
In der Chemie sind hauptsächlich
2 Eigenschaften des Elektronenspins
von Interesse.
•
Der Elektronenspin s ist auf den
einzigen, unveränderlichen Wert
½ für jedes Elektron festgelegt.
•
Die Richtung des ElektronenDrehimpulses kann entweder im oder entgegen dem
Uhrzeichersinn verlaufen. Diese beiden Zustände
werden durch die Quantenzahl ms
unterschieden, die nur die Werte -1/2 oder +1/2
annehmen kann.
ms = + 1/2
ms = - 1/2
(oder  oder )
(oder  oder )
Beweis der Existenz des
Elektronenspins durch Otto Stern
und Walter Gerlach (1920).
Ein Strahl Silberatome wurde im
Vakuum durch ein Magnetfeld
geschickt und detektiert.
Silberatome (47Ag):
47 Elektronen, davon 23 mit
-Spin und 23 mit -Spin
(d.h. diese Spins kompensieren
sich; wird später begründet!) und
eines mit - oder -Spin.
Beobachtung: Der Atomstrahl wird im Magnetfeld aufgespalten.
Experimentelle Technik: Elektronenspinresonanz-Spektroskopie
(ESR) (oder electron paramagnetic resonance, EPR)
Man beachte: Auch andere Elementarteilchen haben charakteristische
Spins.
So gehören Protonen und Neutronen ebenfalls zu den Spin-1/2Teilchen, haben also einen unveränderlichen, permanenten Spin
mit s = ½. Da die Masse eines Protons oder eines Neutrons viel
größer ist als die eines Elektrons, rotieren (nach der klassischen
Vorstellung) Protonen und Neutronen wesentlich langsamer als
Elektronen rotieren.
Einige Elementarteilchen haben s = 1 und damit einen höheren
immanenten Drehimpuls als das Elektron. Das wichtigste Spin-1Teilchen ist das Photon. Generell gilt:
Teilchen, die die Materie bilden haben einen halbzahligen
Spin s = ½.
Teilchen, die Kräfte zwischen Materieteilchen übertragen
(und z.B. Atome oder Kerne zusammenhalten) haben einen
ganzzahligen Spin s = 1.
Atommodelle
Das Wasserstoffatom
Zusammenfassung
1. Die häufigste Atomsorte (Isotop) des Elements Wasserstoff besteht aus
einem Kern und einem Elektron.
2. Die Verteilung des Elektrons um den Kern wird durch Wellenfunktionen
beschrieben, die jeweils durch die drei Quantenzahlen n, l und ml
charakterisiert sind. Verschiedene Wertekombinationen
dieser Quantenzahlen beschreiben unterschiedliche Verteilungen des
Elektrons. Der Spin des Elektrons wird durch eine vierte Quantenzahl
ms festgelegt.
3. Der Zustand niedrigster Energie ist der eines Elektrons in einem
1s-Orbital. Das Elektron hat dabei den Bahndrehimpuls l = 0.
Wasserstoffatom im Grundzustand:
n = 1, l = 0, ml = 0 und ms = +1/2 oder -1/2
4. Das Elektron kann Orbitale höherer Energie besetzen, und zwar in
Schalen mit höherer Hauptquantenzahl n. Hier sind unterschiedlich
große Bahndrehimpulse möglich (bestimmt durch l). Unabhängig
davon, wie groß der Bahndrehimpuls des Elektrons ist, bleibt sein
Spin-Drehimpuls stets konstant.
z.B. Anregung in n = 2: Elektron kann sich in einem der vier
Orbitale gleicher Energie aufhalten (entweder in einem
2s Orbital und in einem der drei 2p Orbitale). Bei n = 2 ist der
durchschnittliche Abstand vom Kern größer als bei n = 1.
Beispiel: Für das Wasserstoffelektron sind die drei Quantenzahlen
n = 4, l = 2, und ml = -1. In welchem Orbital ist das Elektron zu
lokalisieren?
Hauptquantenzahl
n = 4 (4. Schale)
Nebenquantenzahl
l = 2 (d-Orbitale)
Das Elektron ist in einem der fünf 4d Orbital anzutreffen.
Ändert sich die Verteilung des Elektrons um den Kern, spricht man
von einem Übergang zwischen den Orbitalen. Die Übergänge sind
verantworlich für das Auftreten von Atomspektren.
Es stellt sich allerdings heraus, dass nicht alle Übergänge zwischen
den verfügbaren Orbitalen wirklich möglich sind. So kann ein
Elektron in einem 3d-Orbital nicht in ein 1s-Orbital übergehen.
Es gibt also ERLAUBTE ÜBERGÄNGE, die Spektrallinien
erzeugen können, sowie VERBOTENE ÜBERGÄNGE, die
spektroskopisch nicht zu beobachten sind.
Ursache liegt im Gesetz von der Erhaltung des Drehimpulses und
darin, dass Photonen einen immanenten Spin-Drehimpuls mit
s = 1 besitzen. Wird während eines Überganges ein Photon mit
s = 1 erzeugt, so muss sich der (Bahn)drehimpuls
(Nebenquantenzahl!) eines Elektrons um den Wert 1 ändern, so dass
der mit dem Photon aus dem Atom entfernte Drehimpuls
kompensiert wird.
Eine AUSWAHLREGEL ist eine Aussage darüber, welche
Übergänge erlaubt sind. Die Auswahlregeln für das
Wasserstoffatom sind
l =  1
ml = 0
oder
ml =  1
Ein s-Elektron kann also nicht in ein anderes s-Orbital
übergehen!, denn hierbei träte wegen l = 0 keine
Drehimpulsänderung auf, die den Drehimpuls 1 eines
abzugebenden Photons aufbringen könnte.
Beispiel: Zu welchen Orbitalen kann ein 4d-Elektron unter
Abgabe oder Aufnahme eines Photons übergehen?
Lösung: l = 2, d.h. das zu erreichende Orbital muss l =1 oder l = 3
haben. Ein 4d-Elektron kann in jedes np-Orbital und jedes nfOrbital übergehen solange ml = 0 oder ml =  1 gilt.
Ein Übergang in ein ns- oder nd-Orbital ist nicht erlaubt.
Anhand der
Auswahlregeln kann
dann ein sog. GrotrianDiagramm erstellt
werden. Es enthält die
Energien der Zustände
und die erlaubten
Übergänge zwischen
ihnen. Die Stärke der
Linien deutet ihre relative
Intensität im Spektrum
an.
Beachte:
Wellenzahl ’
(Angabe meist in cm-1)
’ = 1 /  =  / c
GrotrianDiagramm des
Wasserstoffspektrums
Übungsbeispiel: Berechnen Sie die Wellenlänge der emittierten
Strahlung von angeregtem Wasserstoff, wenn sie von einem Übergang
zwischen den Niveaus n = 4 und n = 2 stammt. Identifizieren Sie die
Strahlung im Spektrum:
Infrared
Es gilt:
 = R  [(1 / n12) - (1 / n22)] = R  [(1 / 22) - (1 / 42)] = 3R/16
R = 3,29  1015 Hz
 = c /  = [16  (3  108 m.s-1)] / [3  (3,29  1015 s-1)] =
4,86  10-7 m = 486 nm (Linie der Balmer Serie)
Übungsbeispiel: Wie lautet die Gesamtzahl an Orbitalen der
Schale mit der Hauptquantenzahl 4?
n=4
l = 0, 1, 2, 3
n2 = 16
ein s-Orbital
drei p-Orbitale
fünf d-Orbitale
sieben f-Orbitale
Übungsbeispiel: Die drei Quantenzahlen für ein Elektron des
Wasserstoffatom seien n = 3, l = 1, und ml = -1. In welchem
Orbital ist das Elektron lokalisiert?
n=3
3. Schale
l=1
p-Orbital
ml = -1
px-Orbital
Das Elektron befindet sich im 3px Orbital.
Übungsbeispiel: Wieviele Unterschalen sind für n = 2 und
n = 3 möglich und welche Werte kann die Nebenquantenzahl l für
n = 3 annehmen?
Lösung:
n = 2 l = 0, 1, 2, … n-1
l = 0, 1
2 Unterschalen
n = 3 l = 0, 1, 2, … n-1
l = 0, 1, 2
3 Unterschalen
Übungsbeispiel: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit ein Elektron
in einem 1s Orbital in einer kleinen Region im Abstand 0.25 ao vom
Atomkern anzutreffen im Verhältnis zu jener Wahrscheinlichkeit es am
Ort des Kerns anzutreffen!
Lösung:
r = 0,25 ao
bzw.
r = 0 (Elektron am Ort des Kerns)
Für das Elektron des Wasserstoffatoms im Grundzustand gilt
folgender Ausdruck für die Wahrscheinlichkeitsdichte:
 (r, ) = (e-2r/ao) / (ao3)
sodass das Verhältnis folgendermaßen ausgedrückt werden kann
{(e- 0.5 ao/ao) / (ao3)} / {(e-0 / (ao3)} = e-0.5 = 0.61
Die Wahrscheinlichkeit das Elektron in einer kleinen Region um den
Abstand 0,25 ao anzutreffen, ist nur 61% der Wahrscheinlichkeit es in
einer gleich großen Region um den Kern anzutreffen.
Übungsbeispiel: Berechnen Sie die Energieänderung, wenn ein
Natriumatom ein gelbes Photon der Wellenlänge 589 nm
emittiert? In diesem Zusammenhang wird oft von der D-Linie des
Natriums gesprochen.
Lösung:
E = h   = (h  c) / 
c = 3  108 m.s-1
h = 6,63  10-34 J.s
  10-7 m
E = {[(6,63  10-34 J.s)]  [(3  108 m.s-1)]} / ( 10-7 m) =
3,37  10-19 J
Übungsbeispiel: Welche der folgenden Unterschalen können in
einem Atom nicht existieren?
2d, 4d, 4g, 6f
Lösung:
Es gilt
l = 0, 1, 2 … n-1
d Orbital:
l =2
f Orbital:
l=3
g Orbital:
l=4
Antwort:
2d (n =2 , l = 0, 1)
4g (n = 4, l = 0, 1, 2, 3)
Übungsbeispiel: Zu welchen Orbitalen kann ein 4s-Elektron unter
Abgabe oder Aufnahme eines Photons übergehen?
Lösung:
l=0
Auswahlregeln:
l =  1
ml = 0
oder
ml =  1
Übergang nur zu l = 1 (entspricht p-Orbital) gestattet.
Es sind nur Übergänge zu np-Orbitalen gestattet.
Weitere typische Prüfungsfragen:
Frage: Ergänzen Sie die Lücken der folgenden Tabelle:
Symbol
52Cr
Protonen
25
Neutronen
30
Elektronen
Massenzahl
82
64
48
86
222
207
Frage: Können folgende Kombinationen von
Quantenzahlen existieren? Und wenn nicht, warum nicht?
n = 4, l = 2, ml = -1 und ms = ½
n = 4, l = 4, ml = -1 und ms = ½
Frage: Berechnen Sie die Wellenlänge von Licht mit der Frequenz
von 4,3  1014 Hz. Welche Energie hat ein Photon dieser Frequenz?
(h = 6,63  10-34 J.s)
Frage: Welche der folgenden Unterschalen können in einem Atom
nicht existieren und warum?
2d
4d
4g
6f
Frage: Die drei Quantenzahlen für ein Elektron in einem
Wasserstoffatom eines bestimmten Zustandes seien
n = 4, l = 2 und ml = -1
In welchem Orbital findet man das Elektron?