Mechanik - Dynamik

Compendio „Mechanik“ - Teil C: Dynamik
Aufgaben
1) Evi stösst ihre kleine Schwester, die 35 kg wiegt, auf deren Fahrad (mVelo = 7.5 kg) aus
dem Ruhestand an. Sie übt dabei eine Kraft von 200 N aus. Welche Beschleunigung
erfährt die kleine Schwester ?
2) Autounfall: Ein Auto fährt mit 20 m/s frontal in einen Baum. Der Motorenraum wird dabei
60 cm gestaucht (= Bremsweg, Knautschzone). Berechne die Bremszeit,
Bremsbeschleunigung und die Bremskraft auf einen 80 kg schweren Fahrer.
3) Welche Masse und welche Gewichtskraft hätte das Urkilogramm auf dem Mond und
dem Planeten Jupiter ?
4) Eine Gewichtheberin kann der Erde 100 kg stemmen. Welche Masse könnte sie auf
dem Mond noch hochheben ?
5) Ein Massestück von 100 gr wird an einen Kraftmesser mit der Federkonstanten 80 N/m
auf dem Mond angehängt. Berechne die Längenzunahme der Feder. Um wie viel würde
sich die Feder auf dem Jupiter verlängern ?
6) Ein Auto (950 kg) steht auf einer trockenen ebenen Strasse. Mit welcher Kraft musst Du
das Auto bei angezogener Handbremse mindestens stossen, damit es zu gleiten
beginnt ? Welche Kraft reicht nach dem Anstossen aus, um die Bewegung aufrecht zu
erhalten ?
7) Ein Bobfahrer (m1 = 75 kg) stösst seinen Kollegen (m2 = 80 kg) im Bob (m3 = 500 kg).
Welche Kraft muss er beim Anstossen überwinden ? Was muss der „Anstosser“ bei
seinem Schuhwerk beachten ? Spielt die Masse des „Anstossers“ eine Rolle ?
8) Zähle je einige Beispiele auf, bei denen die Reibung zwischen Gegenständen
erwünscht/ nicht erwünscht ist.
9*) Schlittenaufgabe: Ein Schlitten mit einem Kind wird mit einer Reibungszahl µ = 0.4 im
Schnee gezogen. Die Masse des Schlittens mit dem Kind zusammen beträgt 30 kg.
Wir betrachten zwei verschiedene Fälle des Ziehens: Das Zugseil schliesst mit der
Horizontalen einen Winkel α = 0° resp. 20° ein.
Mit welcher Kraft F muss in beiden Fällen gezogen werden, damit sich der Schlitten
auf ebener Strecke mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (g = 10 m/s2) ?
10) Eine Holzkugel (Masse 300 g) wird an einer 80 cm langen Schnur rotiert. Die
Holzkugel führt 12 Umdrehungen in 5 s aus. Wie gross sind Frequenz, Kreisfrequenz
(Winkelgeschwindigkeit) und die Geschwindigkeit der Kugel ?
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11) Ein Karussell (Durchmesser 6 m) dreht sich in 4 s einmal um seine eigene Achse. Ein
Kind (Masse 40 kg) sitzt ganz aussen am Karussell auf einem „Rössli“. Wie gross ist
die Geschwindigkeit des Kindes ? Welche Kraft wirkt auf das Kind ? Wie gross ist die
Frequenz ?
12) Ein Bob fährt mit 90 km/h in eine Steilwandkurve (Radius 15 m). Wie gross ist die
Zentripetalbeschleunigung aZ ?
13) Bestimme in der nebenstehenden Figur
die Richtung, in der sich der Körper
unter dem Einfluss der vier angreifenden
Kräfte bewegt.
F2
F3
14) Drei Kräfte wirken auf eine Masse m = 15 kg.
Die Kraft F1 betrage 50 N.
Bestimme grafisch die resultierende
Kraft. Wie gross ist sie ?
Welche Beschleunigung erfährt die
Masse ?
F1
F4
m
15) Bestimme geometrisch und rechnerisch die Resultierende zweier Kräfte von 4N und
3N, die an einem Punkt O angreifen und einen Winkel von 90° zueinander bilden.
16) Ein Junge zieht mit einer Kraft von 20 N an dem Schlitten. Das Seil bildet einen Winkel
von 30° zum Boden. Bestimme die Komponente der Kraft, die den Schlitten am Boden
entlang zieht, sowie die Komponente, die den Schlitten nach oben heben will.
17) Experiment: Böschungswinkel α eines Sandhaufens:
Aus einem Trichter lasse man Sand auf
den Boden auslaufen. Es bildet sich ein
h
kegelförmiger Haufen. Dessen Böschungsα
r
winkel α ist unabhängig von der Höhe des
Sandhaufens.
Bestimme formal aus dem Radius r und der Höhe h des Sandhaufens (oder dem
Böschungswinkel) den Haftreibungskoeffizienten von Sand.
Tip: Haftreibungskraft FR = parallele Gewichtskraft FG⇐ (Fres = 0)
18) Du gleitest auf einem Skihang (Neigungswinkel 30°, Höhenunterschied h = 5 m, Hanglänge l = 10 m) ins Tal runter. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt µG = 0.1.
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Berechne deine Beschleunigung, die Fahrzeit und die Endgeschwindigkeit unten am
Hang.
19) Maturaufgabe Typus C: Zwei Schlitten sind mit einem Seil zusammengehängt und
werden parallel zur schiefen Ebene von der Kraft F gezogen. Die Schlitten haben
unterschiedliche Gleitreibungskoeff. µ1 bzw. µ2. a) Zeichne alle wirkenden Kräfte ein.
b) Berechne die Beschleunigung der Schlitten.
F
m1
m2
α
m1 = 15 kg
m2 = 20 kg
µ1 = 0.07
µ2 = 0.3
F = 350 N
α = 40°
g = 9.81 m/s2
Zusatz: Trägheitskräfte
20) Du stehst im Bus. a) Plötzlich fährt dieser ruckartig an. Was passiert mit Dir ? (Skizze).
b) Der Bus fährt gleichmässig. Plötzlich muss er bremsen. Was passiert jetzt mit Dir ?
Erklärung ? Wie beschreibt ein ruhender Beobachter die Situationen ?
21) Du fährst als BeifahrerIn in einem Auto mit. In einer Linkskurve spürst du einen Druck
von der Autotür. Erkläre den Vorgang; wie erklärt es ein ruhender Beobachter ?
22) Du stehst auf der Schwarzwasserbrücke. Diese stehe genau in der Nord-SüdRichtung. Du lässt einen Stein fallen. Der Stein landet nicht dort, wo ein Senkblei
hinzeigen würde. Wo landet der Stein bezüglich des Lotes ?
Lösungen/Lösungswege:
1) a = F/m = 4.7 m/s2
2) Beschleunigung a berechnen aus: v 2 = v 0 2 + 2 ⋅ a ⋅ (s − s 0 ) mit v =0 und s0 = 0
→ a = -333.3 m/s2; aus a = ∆v/t = (0-v0)/t → t = 0.06 s; Kraft F =m⋅a = -26'666.7 N
3) m = 1 kg (konstant), FG = 1.62 N (Mond), FG = 25.9 N (Jupiter)
4) Kraft bleibt konstant → Kraft F auf Erde berechnen → F = m⋅gMond → m = 605.5 kg
5) FG = m ⋅ g = FF = D ⋅ y ,
mit
entsprechenden
Fallbeschleunigungen
(Fundamentum:
gMond = 1.622 m/s2, gJupiter = 2.64⋅9.81 m/s2) → yMond = 0.2 cm, yJupiter = 3.2 cm
6) Haftreibung F = Freib = µH⋅FN = µH⋅FG = 9319.5 N; Gleitreibung F = µG⋅FG = 5591.7 N
7) F = Freib = µ⋅FG = µ⋅ (m2+m3)⋅g = 153.6 N; Anstösser muss genügend Reibung am
Bodenerzeugen (Schuhwerk mit Spikes); Masse des Anstossers spielt eine Rolle: Bei
zu kleiner Masse ist die Reibungskraft zu klein, der Anstosser kann den Bob nicht
anstossen, er gleitet aus
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9) Fres = 0 → F0° =Freib = µ⋅FN → F0° = 120 N
Freib = Fll → µ⋅FN = F20°⋅cosα mit FN = FG - F⊥ (F⊥ = F20°⋅sinα) → F20° = 111.5 N
10) Einsetzen in Gleichungen → f = 2.4 Hz, ω = 15.1 s-1, v = 12.1 m/s
11) v = 2⋅r⋅π/T = 4.7 m/s; F = m⋅v2/r = 296.1 N; f = 0.25 Hz
12) aZ = v2/r = 41.7 m/s2 = 4.2 g !! (4.2 fache Erdbeschleunigung)
14) Fres zeichnen → Durch Abmessen: Fres = 107 N und ares = Fres/m = 7.1 m/s2
15) Mit Pythagoras → Fres = 5 N
16) Fll = F⋅cosα = 17.3 N, F⊥ = F⋅sinα = 10 N
G
G
G G
G
17) Fres = FG + FR + FN = m ⋅ ares = 0 → i) FG⇓ − FN = 0 und ii) FG ⇐ − FR = 0
Aus ii) folgt: FG ⇐ − FR = FG ⇐ - µH ⋅ FN = FG ⋅ sinα − µH ⋅ FG ⋅ cosα = 0 → sinα − µH ⋅ cosα = 0
h
→ µH = sinα / cosα = tanα =
r
18) Die senkrechten Kräfte heben sich auf (FG⇓ − FN = 0 ).
→ Fres = m ⋅ ares = FG ⇐ − FR = FG ⋅ sinα − µG ⋅ FN = FG ⋅ sinα − µG ⋅ FG ⋅ cosα
→ ares = g ⋅ sinα − µG ⋅ g ⋅ cosα = 0.41 g = 4.06 m/s2
Fahrzeit aus: s = 12 ⋅ ares ⋅ t 2 mit s = l = 10m → t = 2.2 s
v = ares⋅t = 9 m/s
19) a) Kräfte: Gewichtskräfte FG, Fadenkräfte FF, Reibungskräfte FR, Normalkräfte FN
b) Für beide Schlitten die resultierende Kraft berechnen: FN und FG⇑ heben sich auf
i) Fres1 = F − FF − FR1 − FG1⇐ = F − FF − µ1 ⋅ cosα ⋅ FG1 − sinα ⋅ FG1 = m1 ⋅ a
ii) Fres2 = FF − FR2 − FG2 ⇐ = FF − µ2 ⋅ cosα ⋅ FG2 − sinα ⋅ FG2 = m2 ⋅ a
i) + ii) → a = ... = 2.18 m/s2 (Fadenkraft FF fällt raus)
20) a) Du sagst: Ich falle nach hinten. Es wirkt eine Trägheitskraft gegen das Busende;
Beobachter sagt: Bus beschleunigt, Passagier ist träge und macht Bewegung nicht
sofort mit.
b) analog
21) Du sagst: Ich werde an die Seite gedrückt. Auf mich wirkt die Zentrifugalkraft.
Beobachter sagt: Passagier behält geradlinige Bewegung bei, es drückt ihn an die
Wand
22) Der Stein landet etwas östlich vom Lot (Corioliskraft).
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