Aufgabe 1 Aufgabe 2

TM II SS 11
Prof. Ostermeyer
Übungsblatt 4. Woche
Aufgabe 1
Das skizzierte System – bestehend aus den Massen , und – soll sich
unter Einwirkung der Gewichtskraft in Bewegung setzen.
Die Massen und sind mittels eines idealen Seils miteinander verbunden.
Bestimmen Sie die Masse so, dass
a)
sich das System in Bewegung setzt,
b)
die Masse nicht anfängt zu rutschen.
, , glatt
Gegeben: , , , , , , .
Aufgabe 2
Eine Auto der Masse und der Antriebsleistung fährt auf einer Rampe mit dem Neigungswinkel aus dem Stillstand.
Zwischen der Rampe und den Rädern herrscht reines Rollen. Bestimmen Sie die maximal
erreichbare Geschwindigkeit des Autos.
Nach welcher Zeit hat das Auto die Hälfte der maximalen Geschwindigkeit erreicht?
Gegeben: , , , .
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Aufgabe 3
ω
Eine punktartige Masse , die an einer Feder befestigt ist,
gleitet reibungsfrei in einem mit der konstanten Winkelge-
e2
c
α
m
e1
schwindigkeit ω rotierendem Rohr. Die Feder ist in der gezeichneten Lage spannungslos.
e3
xo
Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung in
der skizzierten körperfesten Basis.
Gegeben: , , , α , .
Aufgabe 4
Ein als punktförmig idealisierter Körper der Masse ist mittels einer starren Stange der Länge l gelenkig
gelagert und führt durch den Luftwiderstand behindert
eine Pendelbewegung im Erdschwerefeld aus. Die
Punktmasse m wird während der Bewegung von einem
Wind mit konstanter Geschwindigkeit seitlich angeblasen und hat den Luftwiderstandsbeiwert .
eϕ
ex
ey ϕ
er
g
l
m
vW
a) Stellen Sie mit dem Prinzip von d´Alembert die Bewegungsgleichung auf.
k
b) Berechnen Sie die statische Auslenkung ϕs des Pendels und die Stangenkraft S für diesen Fall.
Gegeben: , , , , .
Aufgabe 5
Auf einer rauhen, schiefen Ebene (µ) befindet
sich unter dem Winkel α eine Punktmasse m im
Erdschwerefeld, die vom Wind mit .
wie eingezeichnet angeblasen wird. An der Masse
wirkt wie dargestellt eine Kraft F0.
v0
g
m
ey
F0
x
ex
a) Stellen Sie mit dem Prinzip von d´Alembert die
Bewegungsgleichung auf.
µ
α
k
b) Berechnen Sie die Kraft für den Fall, dass sich für die Masse eine konstante Geschwindigkeit x& 0 eingestellt hat.
Gegeben: α, µ, , , , , Richtung von (wie eingezeichnet)
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Aufgabe 6
eϕ
ey
Ein als punktförmig idealisierter Körper der
Masse m ist mittels einer linearen Feder mit der
Federsteifgkeit und der ungedehnten Länge l0
gelenkig gelagert und führt eine Pendelbewegung im Erdschwerefeld aus. Die Punktmasse m
befindet sich während der Bewegung vollständig
unter Wasser. Die Ausschläge werden durch die
Viskosität des Wassers gedämpft. Die Dämpungskonstante ist .
ex ϕ
er
g
c
b
m
a) Stellen Sie mit dem Prinzip von d´Alembert dieBewegungsgleichungen auf.
b) Berechnen Sie die statischen Auslenkungen und ϕ des Pendels.
Gegeben: , , , , .
Aufgabe 7
Auf einer rauen, schiefen Ebene (µ) unter Wasser befindet sich unter dem Winkel α eine
Punktmasse im Erdschwerefeld. Die einsetzende Bewegung wird durch die Viskosität des
Wassers gedämpft !. Die Geschwindigkeit der
Masse bei Beginn der Bewegung ist Null, bei
Verlassen der schiefen Ebene gleich .
a) Stellen Sie mit dem Prinzip von d´Alembert
die Bewegungsgleichung auf.
b) Berechnen Sie die Zeit " , zu der die
Masse die schiefe Ebene verlässt.
Gegeben: l, α, µ, , , , .
b
ex
g
m
µ
l
α
x
ey
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Kurzlösungen:
Aufgabe 1
a) b) -
Aufgabe 2:
#$ %#& !'(
)*+ ,
#$ %#& ! '$( %'!
)*+ ,.'$(
1.) v max =
2.) t1 =
P
mg sin(α )
v max ⋅ [ln(2) − 0,5]
g sin(α )
Aufgabe 3:
c
c
&x& +  − ω 2 sin 2 α  x = g cos α + x0
m
m

Aufgabe 4: a)
g
k
&& + sinϕ +
( lϕ& + v w cosϕ) v w 2 + l2ϕ& 2 + 2lϕ& v w cosϕ = 0
ϕ
l
ml
 k

v w2 
b) ϕS = arc tan −
 mg

2
 
kv w 2 

S = mg cosϕS1 + 
mg  



Aufgabe 5
2
&& + k( x& + v 0 ) sign( x& + v 0 ) = F0 − mg( sinα + µ cosα sign( x& ) )
a) mx
b) F0 = 4kv 02 + mg( sinα + µ cosα)
______________________________________________________________________
Aufgabe 6
a)
&&r − rϕ& 2 +
b)
rs = l 0 +
b
c
c
&r + r − g cosϕ = l0
m
m
m
mg
c
2
b
g
&& + &rϕ& + ϕ& + sinϕ = 0
ϕ
r
m
r
ϕs = 0
Aufgabe 7
a)
&&x +
b
x& = g( sinα − µ cosα)
m
b
l
m
*
b) t =
g( sinα − µ cosα)
v0 +