Grundwissen-Mathematik-10.Jahrgangsstufe Geometrie G9 1 • Kreis

Grundwissen-Mathematik-10.Jahrgangsstufe
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Kreis
Flächeninhalt:
Umfang:
A = r²π
u = 2rπ
Geometrie
G9
(r: Kreisradius)
Kreisteile:
Fläche des Sektors:
Bogenmaß:
Beispiele:
•
α
α⋅r ⋅π
⋅ u Kreis =
(α: Mittelpunktswinkel)
360°
180°
α
α ⋅r2 ⋅ π 1
= b⋅r
A=
⋅ A Kreis =
360°
360°
2
b=
Bogenlänge:
α⋅π
180°
π
α = 30° ⇒ x =
6
x = 1 ⇒ α ≈ 57,3°
x=
Zylinder, Kegel, Kugel
Zylinder:
G: Grundflächeninhalt, h: Höhe, r: Radius der Grundfläche
Volumen:
V = G ⋅ h = r2πh
Mantelfläche: M =2rπh
Oberfläche:
O = 2r2π + 2rπh = 2rπ(r + h)
Kegel:
G: Grundflächeninhalt, h: Höhe, r: Radius der Grundfläche
1
1
Volumen:
V = G⋅h = r2πh
3
3
Mantelfläche:
Oberfläche:
M = rπm (m ist die Mantellinie: m = r 2 + h 2 )
O = r2π + rπm = rπ(r + m)
Kugel:
r: Radius
Volumen:
Oberfläche:
4 3
rπ
3
O = 4r2π
V=
1
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Geometrie
G9
Sinus, Kosinus, Tangens
Im rechtwinkligen Dreieck gilt (0° < α < 90°):
sin α =
Gegenkathete von α
Hypotenuse
cos α =
Ankathete von α
Hypotenuse
tan α =
Gegenkathete von α
Ankathete von α
Für alle Winkel α gilt:
sin(90° – α) = cosα
cos(90° – α) = sinα
sin(–α) = – sinα
cos(–α) = cosα
tan(–α) = – tanα
(sin α)² + (cos α)² = 1
tanα =
sinα
; α ≠ (2k+1) ⋅ 90°
cosα
(k ∈ ℤ)
sin(180° – α) = sinα
cos(180° – α) = – cosα
sin α = – sin(180° + α)
cos(180° + α) = – cosα
sin(360° – α) = – sinα
cos(360° – α) = cosα
sin(α + k⋅360°) = sinα
(k∈ℤ)
tan(α + k⋅180°) = tanα
(k∈ℤ)
cos(α + k⋅360°) = cosα
(k∈ℤ)
Beispiele:
sin210° = sin(180° + 30°) = – sin30° = – 0,5
cos α = 0,5 ⇒ α = 60° oder α = 300° ⇒ L = {60° + k⋅360°, 300° + k⋅360°}, k ∈ℤ
•
m = tan α
Steigung einer Geraden
y
y
g
α
α
x
x
g
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Geometrie
Beziehungen im beliebigen Dreieck
a sinα
a sinα
b sinβ
Sinussatz: =
;
=
;
=
b sinβ
c sinγ
c sinγ
Kosinussatz:
G9
C
γ
b
a² = b² + c² – 2bc⋅cosα
b² = a² + c² – 2ac⋅cosβ
c² = a² + b² – 2ab⋅cosγ
A
a
β
α
B
c
Mit diesen beiden Sätzen lassen sich fehlende Seiten und Winkel in Dreiecken berechnen.
Beispiel:
Im Dreieck ABC möge gelten: α = 38° , b = 8,3cm , a = 5,6cm. Berechne c.
a sinα
b ⋅ sinα
8,3cm ⋅ sin38°
=
=
= 0,912...
;
sinβ =
b sinβ
a
5,6cm
⇒ β1 = 65,9° oder β 2 = 114,1°
⇒ γ1 = 76,1° oder γ 2 = 27,9°
⇒ c1 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cosγ1 = (5,6cm ) + (8,3cm ) − 2 ⋅ 5,6cm ⋅ 8,3cm ⋅ cos76,1° ≈ 77,99cm 2
2
2
2
⇒ c1 ≈ 8,8cm
Ebenso : c 2 ≈ 4,2cm
•
Trigonometrische Funktionen
Sinusfunktion:
x a sin x ; D = ℝ; W = [–1;1]
Der Graph ist punktsymmetrisch zu (0 | 0),
Nullstellen: x = k⋅π, k∈ℤ
Kosinusfunktion:
x a cos x ; D = ℝ; W = [–1;1]
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y–Achse, Nullstellen: x = (2k+1)⋅
π
, k∈ℤ
2
Tangensfunktion:
π
}, k∈ℤ ,
2
Der Graph ist punktsymmetrisch zu (0 | 0),
x a tan x ; D = ℝ\{(2k+1)⋅
W=ℝ
Nullstellen: x = k⋅π, k∈ℤ
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Geometrie
G9
Die allgemeine Sinusfunktion
 
c 
x a a⋅sin(bx + c) + d = a ⋅ sin b x +  + d ; a, b ≠ 0
b 
 
a: Dehnung in y-Richtung
2π
b: Dehnung in x-Richtung; die Periode wird
b
c
c
: Verschiebung nach links für
>0
b
b
c
Verschiebung nach rechts für
<0
b
d: Verschiebung nach oben für d > 0
Verschiebung nach unten für d < 0
4