AUFGABEN GEOMETRIE (1) Löse das folgenden

AUFGABEN GEOMETRIE
F. LEMMERMEYER
(1) Löse das folgenden Gleichungssystem ohne und mit GTR.
x1 + x2 + x3 = 1
4x1 − 3x2 + x3 = 3
2x1 + x2 + 3x3 = −1
(2) Löse das folgenden Gleichungssystem ohne und mit GTR.
2x1 − x2 + x3 = 3
3x1 − 2x2 + 3x3 = 8
x1 − x2 + 2x3 = 5
(3) Löse das folgenden Gleichungssystem ohne und mit GTR.
2x1 − x2 + x3 = 3
3x1 − 2x2 + 3x3 = 8
2x1 − 2x2 + 4x3 = 3
(4) Prüfe, ob die Punkte A, B, C, D ein Parallelogramm bilden.
(a) A(2|3), B(5|2), C(7|6), D(4|7);
(b) A(1|2|3), B(6| − 3|2), C(2| − 4|3), D(−3|1|5).
(5) Gegeben sind die Punkte (A(0| − 5| − 9), B(−2| − 4| − 5) und C(4| − 8| − 1).
(a) Zeige, dass das Dreieck ABC in B einen rechten Winkel hat.
(b) Bestimme D so, dass ein Rechteck ABCD entsteht.
(c) Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.
(6) Gegeben sind die Punkte A(1|1|1), B(5|9| − 3) und D(7|4|4).
(a) Bestimme C so, dass ABCD ein Parallelogramm ist.
(b) Bestimme die Längen der Diagonalen von ABCD.
(c) Bestimme den Schnittpunkt der Diagonalen.
(7) Untersuche die folgenden Vektoren auf lineare Unabhängigkeit.
(a)
     
3
4
2
 2  , 3 , −2 .
−1
2
3
(b)

    
3
4
1
 2  , 3 , 1 .
−1
2
3
1
2
F. LEMMERMEYER
(8) Für welchen Wert von a sind die Vektoren
 
 
 
1
−3
11
~a = 4 , ~b =  1  , ~c =  5 
2
a
−8
linear abhängig?
(9) Stelle den Vektor ~v als Linearkombination der Vektoren ~a, ~b und ~c dar.
 
 
 
 
1
3
−2
−7
~a =  2  , ~b = −2 , ~c =  1  , ~v =  9  .
−2
4
2
−2
2
6
(10) Gegeben sind die Vektoren ~a = 4 und ~b = x .
3
5
(a) Bestimme x so, dass ~a und ~b gleich lang sind.
(b) Die Vektoren ~a und ~b spannen von (1|1|1) aus eine Raute auf. Bestimme
die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte.
(c) Zeige, dass die Diagonalen orthogonal sind und bestimme ihren Schnittpunkt.
(d) Bestimme den Flächeninhalt der Raute.
(11) Ein Flugzeug bewegt sich auf geradliniger Bahn. Von der Bodenstation
B(0|0|0) aus wird es zunächst im Punkt P1 (−1|3|2) und 5 sec später im
Punkt P2 (0|4|2, 5) geortet (1 Einheit ' 1 km)
(a) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit des Flugzeugs auf der Strecke
P1 P 2 .
(b) Berechne den Winkel ∠P1 BP2 .
(c) Berechne die Koordinaten des Punktes P3 der Flugbahn, in welchem
das Flugzeug die Höhe 4, 5 km erreicht.
(12) Bestimme den Schnittpunkt von g und E.

   
 
 
3
1
2
1
E : ~x − 1 · −3 = 0.
g : ~x = −2 + t 4 ;
1
3
1
−1
(13) Zeige, dass die Gerade g senkrecht auf die Ebene E steht, und bestimme
den Schnittpunkt:
 
 

   
0
−1
0
1
g : ~x = 3 + t ·  3  ,
E : ~x − 3 · −3 .
2
−2
2
2
(14) Gib die Gleichung einer Ebene E in Koordinatenform an, welche P (1|2|4)
enthält und orthogonal zur Geraden g ist:
 
 
1
2
g : ~x =  3  + t · −1 .
−1
3
AUFGABEN GEOMETRIE
3
(15) Bestimme den Schnittwinkel und die Schnittgerade der Ebenen
 
 
 
6
2
3
E : ~x =  3  + r · 3 + s · −1 ,
−1
1
6


 
 
4
3
2
F : ~x = −11 + r · −5 + s · 1 .
7
6
1
(16) Bestimme die Schnittgerade der beiden Ebenen : 2x1 + 2x2 − x3 = 4 und
F : 2x1 − x2 + 3x3 = 7.
(17) Bestimme den Abstand von A(2|2|4) von der Ebene E : x1 −2x2 +2x3 = 12.
(18) Bestimme die Schnittpunkte der Geraden g : ~x =
3
3
−1
+r·
1
2
−1
mit den
Koordinatenebenen (x1 x2 -, x1 , x3 - und x2 x3 -Ebene).
(19) Zeige, dass die beiden Ebenen
 
 
 
1
3
1
E : ~x = 1 + r · 2 + s · −2 ,
1
4
2
 
 
 
2
2
1
F : ~x = −4 + r · 0 + s · 2
1
3
1
parallel sind und bestimme ihren Abstand.
(20) Spiegle den Punkt P (6|4|5) an der Geraden
 
 
1
2
g : ~x = 2 + r · −1 .
3
3
(21) Spiegle den Punkt P (0| − 5|1, 5) an der Ebene E : −2x1 + 2x2 − x3 = 2.
(22) Gegeben sind die Geraden
 
 
−4
3



−1
g : ~x =
+r· 2 
4
−2


 
−6
−5



6
h : ~x =
+ r · 2 .
9
1
Zeige, dass die Geraden windschief sind und bestimme ihren Abstand.
(23) Die Punkte A(12|0|0), B(−12|0|0) und C(0|c|0) bilden die Grundfläche eines
regelmäßigen Tetraeders mit der Spitze D(d1 |d2 |d3 ).
(a) Ermittle die fehlende Koordinate c mit c > 0.
(b) Ermittle die Koordinaten der Spitze D mit d3 > 0.
(c) Welchen Winkel schließen die Seitenflächen dieses Tetraeders miteinander ein?
4
F. LEMMERMEYER
Lösungen
(1) (2|1| − 2)
(2) (−2 + t| − 7 + 3t|t)
(3) keine Lösung
−→
−→
(4) In beiden Fällen ist AB = DC; also sind beide Vierecke Parallelogramme.
√
(5) a) Skalarprodukt oder √
Pythagoras.√b) D(6| − 9| − 5); c) A = 1869
(6) a) C(11|12|0); b) e = 222, f = 78; c) M (6|6, 5|0, 5) (Mittelpunkt von
AC).
(7) a) linear unabhängig; b) linear abhängig (1, −1, 1).
(8) a = 4.
(9) ~v = 2~a − ~b + 3~c.
(10) a) x = 0; b) B(3|5|6); D(7|1|4); C(9|5|9); c) M (5|3|5).
(11) a) v = 300 m/s; b) α ≈ 15, 6◦ ; c) P3 (4|8|4, 5).
(12) S(3|2|4).
(13) Richtungsvektor und Normalenvektor sind Vielfache voneinander; S(1|0|4).
(14) E : 2x
1 − x2 + 3x4 = 12.
(15) ~x =
(16) ~x =
(17)
(18)
(19)
(20)
4
−11
37 −1
0
−1
+ r · −7 . Schnittwinkel α ≈ 18, 66◦ .
−54 +r· 8 .
6
d = 2.
D12 (2|1|0), D13 (1, 5|0|0, 5), D23 (0| − 3|2).
√
Normalenvektoren sind parallel. d = 11/ 53.
E : 2x1 − x2 + 3x3 = 23 ist die Ebene durch P senkrecht zu g. Schnittpunkt
−→
−→
−→
von g und E ist S(3|1|6). OP + 2P S = OP 0 gibt P 0 (0| − 2|7).
(21) Schnittpunkt S(−3| − 2|0); Spiegelpunkt P 0 (−6|1| − 1, 5).
(22) d = 7
√
√
√
(23) a) Grundseite a = 24, Höhe h = 21 a 3, also C(0|12 3 |0). b) S(0|4 3 |0) ist
√ √
√
Schwerpunkt der Grundfläche. Körperhöhe h = 8 6, also D(0|4 3 |8 6 ),
c) α ≈ 70, 5◦ .