Variationsprinzip einheitliche Theorie

DPG-07 MP 3.3: Einheitliche Theorie / V 21.12.08
<http://peter-ostermann.de> – 6. März 2007 15:00
Das Variationsprinzip einer einheitlichen Theorie von
Elektrodynamik, Gravitation und Quantenmechanik
Peter Ostermann
Die Grundgleichungen einer einheitlichen Skalar-Vektor-Tensor-Theorie von Elektrodynamik, Gravitation
und Quantenmechanik werden aus einem konsistenten Wirkungsprinzip abgeleitet.
Aus der vollständigen Variation fließen dabei: a) die Maxwellschen Gleichungen in quantisierter
Form; b) die Lorentz-Kraft als reine Wechselwirkung verschiedener Teilchen; c) der physikalische
Zusammenhang zwischen Viererstromdichte und Viererpotential; d) die Einsteinschen Gravitationsgleichungen; e) der zugehörige Energie-Impuls-Tensor der atomaren Materie; f) die Klein-GordonGleichung für spinfreie Teilchen; g) die Energie-Frequenz-Beziehung für Photonen bei Übergängen im
elektrischen Feld.
Als wohlbegründete Näherungen außerdem: h) die konventionelle Lorentzsche Elektrodynamik mit der
Hamilton-Jacobi-Gleichung für geladene Teilchen; i) der herkömmliche Energie-Impuls-Tensor des
elektromagnetischen Feldes; j) die klassische Mechanik samt den Idealisierungen von Massenpunkt und
potentieller Energie; k) der phänomenologische Energie-Impuls-Tensor der allgemeinen Relativitätstheorie; l) Einsteins Bewegungsgleichungen im Gravitationsfeld; m) die fundamentale SchrödingerGleichung mit den Ehrenfestschen Sätzen; n) die Vielteilchen-Wellengleichung im Konfigurationsraum.
Die neue deduktive Quantenmechanik steht einschließlich der Unschärferelationen im Einklang mit
bewährten Prinzipien der relativistischen Physik – allerdings nicht mehr als Punktmechanik, sondern
als Theorie ausgedehnter Teilchen veränderlicher Gestalt.
<[email protected]>
You will find some more necessary aspects – as well as useful references and the detailed notation, too – in the underlying e-print
[*] "Skizze einer offenen Theorie von Elektrodynamik, Gravitation, Quantenmechanik" (2006) peter-ostermann/060915
(Principles and aspects of an open theory of electrodynamics, gravitation, quantum mechanics), 115 pages, in German, 2 tables, 10 figures;
a download is available from on my website (s. header line above).
In all cases of doubt which seem almost unavoidable because of the limited space and time of this talk,
please use the e-print just mentioned as the valid expression of my approach.
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Notation
Abgesehen von der wohlbekannten Landau-Lifschitz Notation – wo insbesondere gilt i, k, l ... = 0, 1, 2, 3 und α, β ... = 1, 2, 3 – oder zusätzlichen
selbsterklärenden Abkürzungen und Naturkonstanten wie e, c, h , κ ≡ 8π γ /c 4, mögen hier lediglich einige ausgewählte Symbole explizit aufgelistet
werden. Die detaillierte Notation (sowie eine wesentlich ausführlichere Begründung, Darstellung und Diskussion des gesamten Konzepts) findet sich
in "Skizze einer offenen Theorie von Elektrodynamik, Gravitation, Quantenmechanik" (115 Seiten, 2 Tafeln, 10 Abbildungen).
Die durch kursive Großschreibung wie in A i oder bei der Vierergeschwindigkeit U i gekennzeichneten Symbole bezeichnen makroskopisch bzw.
statistisch geglättete Größen (im Unterschied zu ihren kleingeschriebenen mikroskopischen Gegenstücken wie in a iK oder u iK ).
der Wirkungsskalar, wobei z. B. s i ≡ ∂ i s ≡ ∂ s / ∂ x i, das Symbol Φ steht für die Wirkungsdichte
die Gestaltsfunktion (bzw. der Formskalar), wobei q l ≡ ∂ l q ≡ ∂ q / ∂ x l
die elektromagnetischen Potentiale, wobei A i k ≡ ∂ i A k ≡ ∂A k / ∂ x i
r
die elektromagnetische Stromdichte, z. B. j k ≡ ( ρ , 1c j )
die elektromagnetischen Feldstärken
der Fundamentaltensor mit der Signatur (+ – – – ), wobei z. B. g l i k ≡ ∂ l gi k ≡ ∂ g i k / ∂ x l
g
die Wurzel der negativen Determinante g, wobei gelten soll X .... ≡ g X.... wie z. B. Φ ≡ g Φ oder j k ≡ g j k
E i k ≡ R i k – ½ g i k R sind die kovarianten Komponenten des Einstein-Tensors (wobei R i k für den Ricci-Tensor steht und R für dessen Spur)
T i k , τ i k – die kovarianten Komponenten des Energie-Impuls-Spannungs-Tensors
Pi , pi – die kovarianten Komponenten des Viererimpuls-Vektors
dσ – das Linienelement der allgemeinen Relativitätstheorie [bzgl. σ K s. Text vor (45)]
c dΩ ≡ c dt dV, wobei dV ≡ dx dy dz
~
Eine Tilde wie in den erweiterten makroskopisch geglätteten Viererpotentialen Ai ≡ A i + c /e 0⋅ ∂ i S , wobei A k; k = 0, oder in ~
s K ≡ s iK + e K / c ⋅ a K
S, s
Q, q
Ai, ai
J k, j k
Fi k , f i k
g ik
–
–
–
–
–
–
–
i
kennzeichnen eine Kombination unterschiedlicher Komponenten.
i
A, B, C ... (nicht-kursiv) sind explizite Partikelindizes, wobei K, L (unterschiedliche Anordnungen von) Summanden in symbolischen Summen
bezeichnen sollen. Die Indizes K, L (Nicht-K, Nicht-L) verlangen dagegen eine sofortige Summierung über alle Teilchen außer K, L.
m K , eK , µ K , ρ K ≡ m0 , e0 , µ 0 , ρ 0 ≡ Ruhemasse, Ladung und ihre Dichten in Bezug auf Teilchen K [bzgl. der Dichten s. aber auch (31), (32)] .
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I) Die dynamischen Paradoxa der speziellen Relativitätstheorie
als Prototypen der Quantenmechanik
z
Das Energie-Impuls-Postulat
!
Ti0 dV = Pi = constant i | SRT
(1)
∂ k Ti k = 0 .
verlangt in der SRT die Erhaltungssätze
(2)
K 2'
Die (lokale) Relativität der
Gleichzeitigkeit
in abgeschlossenen
Systemen,
hier bezüglich S (blau)
und dem bewegten S' (rot)
S
K2
K 1'
S'
K1
1) Teilchen im Kasten
2) Rotator
3) Oszillator
Im Schwerpunktsystem S werden die Umkehrpunkte von je zwei Teilchen (blau) gleichzeitig erreicht.
Obwohl sie aber bezüglich S' (rot) vorübergehend beide nach links zu fliegen scheinen (Relativität
der Gleichzeitigkeit), ist das Energie-Impuls-Postulat (1) nicht verletzt, wenn nur das betreffende
Gesamtsystem (einschließlich Kasten/Faden/Feder) die Erhaltungssätze (2) erfüllt (mit Standardbedingungen von Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrabilität). – Weil makroskopische
Objekte letztlich aus geladenen Partikeln bestehen, sind derartige Prozesse immer auch Gegenstand
der Elektrodynamik. Aus (2) folgen bei Einsetzung des bisher nur phänomenologisch kombinierten
k
Energie-Impuls-Tensors
e
Ti (conventional ) ≡ − Fil F
bekanntlich die Bewegungsgleichungen
kl
j
lm
k
+ 41 δ ik Flm F
+ µ 0 c 2 Ui U
d Ui
Fil J l = µ 0 c 2
dσ
.
(3)
(4)
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II) Die Beziehung zwischen der Stromdichte und den elektromagnetischen Potentialen
als Schlüssel zu einer notwendigen Erweiterung der Elektrodynamik
J l = ρ 0U l ,
~
~
Fil ≡ ∂ i Al − ∂ l Ai
Lorentz' Ausdruck für die Stromdichte:
Definition des Feldstärketensors:
d
~
~
(5)
,
(6)
i
ρ 0 U l ∂ i Al − ∂ l Ai = µ 0 c 2 U l ∂ l U i
(5), (6) → (4):
ρ0
Mit dem denkbar einfachsten Ansatz
:=
e0
.
(7)
µ0
≡ e0 Q 2
m0
(8)
ist ein Skalar Q definiert, der im Falle eines einzelnen Teilchens offenbar dessen Gestalt bestimmt.
Dieser Formskalar (die Verteilungsfunktion) wird im folgenden eine entscheidende Rolle spielen.
~ ! m c2
A i = − 0 Ui ,
e0
Mit (8) ist die Lösung von (7) nun
l
l
weil U ∂ i U l = 0 (wegen U U l = 1). (9) → (5):
Jl = −
e0
m0 c2
(9)
~l
ρ0 A
.
(10)
Ohne die bekannte 'Eichinvarianz' (die lange Zeit die physikalische Irrelevanz der elektromagnetischen Potentiale zu beweisen schien) wäre diese Relation (10) ganz inakzeptabel.
Doch mit den erweiterten Potentialen
~
A i ≡ A i + ec ∂i S
0
e
folgt aus (10) nun die Beziehung
FG
H
e
J l = −m 0 c Q 2 ∂ l S + c0 A l
0
(11)
IJ
K
zwischen Stromdichte und Viererpotential als Schlüssel zu einem konsistenten Variationsprinzip.
(12)
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III) Ein erstes konsistentes Variationsprinzip von
Elektrodynamik, Gravitation und Quantenmechanik
Das erste konsistente Variationsprinzip, aus dem die Grundgleichungen der einheitlichen Skalar-VektorTensor-Theorie fließen, ist
δ
bestehend aus
)
ΦK ≡
1 lm K
f f
4 K lm
ze
(
)
Φ + ∑Φ K dΩ = 0 ,
FH
e
− 1 qK2 sKl + cK a lK
2mK
wobei der Index K (non-K) definiert ist durch
sowie Einsteins
(
2κ Φ
:=
G ≡
j
K
IK FH sl
.. K ≡
K
e
(13)
IK
2
..( N ) ,
Σ
N≠K
n
K
l
+ cK a lK + 1 mK c 2 q K2 − h q K
ql
2
2 mK
g g um g sv g rw Γv ,ur Γw,ms − Γv ,um Γw,sr
,
(14)
(15)
s
.
(16)
Der dem Teilchen K zugeordnete Anteil der Wirkungsdichte (14) enthält einen auf Anhieb wohlvertraut scheinenden Skalar des elektromagnetischen Feldes, der sich hier allerdings ausschließlich
aus Produkten von Feldstärken verschiedener Teilchen zusammensetzt. Diese rein wechselseitige
Kombination vermeidet alle Probleme von Selbstenergie bzw. Renormalisierung. Doch der eigentliche
Grund für diesen Ansatz liegt darin, daß es anders nicht möglich ist, einen konsistenten EnergieImpuls-Tensors zu erhalten, der bzgl. lokaler Inertialsysteme die Erhaltungssätze (2) erfüllt.
Der zweite Anteil von (14) wird sich als Produkt aus Vierer-Stromdichte und den erweiterten
elektromagnetischen Potentialen herausstellen, wobei hier vom Schlüssel (12) Gebrauch gemacht ist.
Der dritte Anteil repräsentiert die Dichte der gebundenen Ruhemasse [gemäß (44), wohingegen die
Dichte der freien Ruhemasse eines Teilchens K in (32) auftritt].
Der letzte Bestandteil ist als denkbar einfachster Ausdruck hinzugefügt, der überhaupt zu einer
Gleichung für das Verhalten eines veränderlichen Formskalars q K führen kann.
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III.1) Ableitung der quantisierten Maxwellschen Gleichungen
durch Variation nach den mikroskopischen elektromagnetischen Potentialen a i
OP
LM e e
j
Q
N
O
Le
e
+ a +...j + c s l P − m1 q 2 M e a
c
Q
N
...
)
F ∂ Φ ... I = ∂ f kl + f kl + ...
∂k G
H ∂ akl JK k
)
F
∂ Φ ... I
= ∂ k f kl + f kl + ...
∂k G
J
H ∂a K
LM e ea
c
N
∂a l
)
∂ Φ ...
L e ea
= − m1 q 2 M
Nc
∂a l
)
∂ ΦABC...
A
= − m1 q B2
2
B
2
A
2
A
2
ABC
B
B
A
l
A
l
B
l
C
A
ABC
B
A
2
C
2
C
C
B
+ a lB
C
(18)
C
K
K
(19)
FH
1
sl
mK c K
+
(17)
C
C
e
e
~
∂ k f Kkl ≡ j l = − K c qK2 sKl + cK a l
K
K
mK
FG
H
l
A
...
K
e
~l
j ≡ − K c q K2 ~s Kl ≡ − eK qK2
K
mK
e
fik ;l + f kl ;i + fli ;k ≡ 0
1. Paar als Identität per Definition:
wobei
A
ABC
A
kl
2. Paar durch Variation:
OP
Q
O
e
+...j + c s l P + ...
Q
j
2
e
l
+ a Cl +... + cB sBl − m1 q C2 C2 a A
+ a lB +... + cC sCl + ...
c
C
eK
mKc 2
a
l
K
IJ
K
2
e
l
IK
≡ eK q K u K + w
,
l
K
j
(20)
r
l
~
1~
~
≡ ρ u ≡ (ρ , c j ) .
K K
K
K
In den quantisierten Maxwellschen Gleichungen (20) tritt nicht das elektromagnetische Potential des
jeweiligen Teilchens K auf, sondern die Potentiale aller anderen Teilchen K .
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III.2) Ableitung der kovarianten Wellengleichung
durch Variation nach der Gestaltsfunktion q K
K
K
Mit
)
∂ ΦK
K
K
K
K
h2q ; l
K; l
= qK
K
K
K
K
LM FH s l + ec al IK FH sl
N
K
K
K
(22)
2
K
K
folgt aus
(21)
K
∂q K
und
die reelle Wellengleichung
)
)
∂Φ I
∂Φ
F
∂l G
H ∂ ql JK = ∂ q
= − q L m1 ~
MN s l ~sl − m c2OPQ
)
∂Φ I
F
∂l G
= − mh ∂ l ql
J
H ∂ ql K
K
e
(23)
IK
+ cK a lK − mK2 c 2
OP
Q
(24)
für die Gestaltfunktion q K in kovarianter Form. Mit h → 0 geht diese Wellengleichung über in die
konventionelle Hamilton-Jacobi-Gleichung für geladene Teilchen im äußeren elektromagnetischen Feld.
Die Verteilung eines willkürlich herausgegriffenen Teilchens K bleibt unverändert, solange gilt
q& K = 0 ,
(25)
!
und ein konstanter Parameter
s&K = constant | t : = − ε K
existiert. Die Beziehungen (25), (26) definieren also mögliche stationäre Zustände von Teilchen,
sofern entsprechende stetige und differenzierbare Lösungen existieren.
(26)
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III.3) Ableitung der Kontinuitätsgleichung für Ruhemasse und Ladung
durch Variation nach dem mikroskopischen Wirkungsskalar s K
)
∂ ΦK
∂s K
Mit
und
)
∂
Φ
R
|
∂l S
|T ∂ sl
K
K
= 0
(27)
U| = − 1 ∂ R q 2 F s l + e al I U
V| m l ST H c K VW
W
K
K
K
K
K
~
~l
jK ; l ≡ 1 ∂ l j Kl = 0
g
folgt die Kontinuitätsgleichung
(28)
(29)
in kovarianter Form. Diese gilt nicht nur für die Ladung, sondern entsprechend auch für die
Ruhemasse, weil deren Dichten in (8) als direkt proportional vorausgesetzt wurden. Es ist von
weitreichender Bedeutung, daß dieselbe Kontinuitätsgleichung (29) auch bereits aus dem
2. Paar (20) der Maxwellschen Gleichungen resultiert.
Die natürliche Normierung
bedeutet
und mit Rücksicht auf (8) zugleich
−
1
m Kc 2
z
z
e
j
q K2 s& K + eK a 0K d V =! 1
(30)
~ d V =! e ≡ ± e
ρ
K
K
(31)
~ d V =!
µ
mK
K
(32)
z
.
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III.4) Ableitung der Einsteinschen Gleichungen und ein quantisierter Energie-Impuls-Tensor
durch Variation nach dem Fundamentaltensor g i k
∂G
Der neue [*] Variationsausdruck
∂g
ik
= − 2κ
)
∂Φ
∂ g ik
(33)
Eik ≡ R ik − 1 R gik = κ Tik
2
ergibt Einsteins Gleichungen
mit einem Quanten-Tensor der Materie
wobei
F ∂ G IJ
+ gia g kb ∂ l G
H ∂ glab K
Tik ≡
∑ TikK
K
(34)
,
(35)
LM
N
O
e j PQ
;l
2
2
K K
K
TikK = − 1 fimK f kK m+ fkm
f i Km + m1 qK2 ~
si K ~s kK + mh qi q k + 1 g ik f Klm flmK − mh q K2
4
2
K
K
;l
K
e
j
.
(36)
Die Ableitung der Einsteinschen Gleichungen bringt also zugleich eine konsistenten Vervollständigung
durch den quantisierten Energie-Impuls-Tensor (35) mit sich. Dieser geht für neutrale Materie
( fikK = 0) mit h → 0 näherungsweise in den bisherigen phänomenologischen über [s. (52)], der nicht
länger nachträglich 'angeklebt' werden muß. Demzufolge impliziert das Variationsprinzip (13) nun auch
mit
e
j
Eik; k = κ Ti ;kk ≡ κ ∂k Tik − 1 T lmgilm = 0
2
g
für neutrale Materie wegen
die 'geodätischen' Bewegungsgleichungen
e
j
∂k µ K u~Kk = 0
d u~iK
− 1 u~Kk u~Kl ∂i g k l = 0 .
2
dσ
(37)
(38)
(39)
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IV) Ableitung von Klein-Gordon-Gleichung und Schrödinger-Gleichung
in ihrer komplexen Form
Eine Substitution in (23), (28) von
qK ≡
ψ Kψ K*
(40)
und
s K ≡ − i h ln (ψ K /ψ K* )
2
(41)
FH i h ∂l − ec al IK FH i h ∂ l − ec al IK ψ
K
K
K
K
ergibt die Klein-Gordon-Gleichung
K
= mK2 c 2 ψ K
ψ K ≡ qK e i sK h .
in kovarianter Form für
(42)
(43)
Bei Verwendung als Resubstitution ist es mit (43) auch sehr einfach, diese umgekehrt durch
nachträgliche Ableitung der Grundgleichungen (24), (29) aus der komplexen Klein-Gordon-Gleichung
(42) zu verifizieren.
Laues Theorem impliziert hier
z
(stationary) 2
dV
Kν
ψ
ε Kν
!
=
mK
c2
≡ 1+
∆ ε Kν
mK c 2 .
(44)
Daraus ist sofort ersichtlich, daß der komplexe Quantenskalar ψ K der Klein-Gordon-Gleichung einer
von 1 verschiedenen, unkonventionellen Normierung unterliegt. Die zu (44) äquivalente Normierung in
Form von (31), (32) wird sich als einzige herausstellen, die exakt zu Plancks Energie-FrequenzBeziehung für Übergänge im elektrischen Feld führt [s. dazu (57) → (58)].
r
Eine alternative Substitution gemäß χ K ≡ QK e i σ K h , wobei s K ≡ − mK c2 t + σ K t , r , führt näherungsweise mit
c → ∞ und 1 / c 2 |σ& K + eKϕ K | << m K sofort zur fundamentalen
b g
Schrödinger-Gleichung
b i h ∂t − e ϕ g χ
K
K
K
−
1
2 mK
FHi h∇r + ec ar IK 2χ
K
K
K
≈ 0.
(45)
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V) Nachweis der Konsistenz des Energie-Impuls-Spannungs-Tensor
und dessen Skalar-, Vektor- und Tensor-Anteile
L
TikL ≡ Lik
+ MikL + QikL
Die natürlichen Bestandteile von
L
L lm
Lik
≡ − fimL f kL m + 41 gik f lm
fL
sind der Tensor-Anteil
der Vektor-Anteil
{Feldstärken},
FH
IK FH
IK
LMq q − 1 g eq 2 j; lOP
N i k 4 ik ; l Q
e
e
≡ m1 q L2 siL + cL a iL s kL + cL a kL
L
MikL
2
und der Skalar-Anteil
(46)
QikL ≡ mh
L
(47)
{erweiterte Potentiale}, (48)
L L
L
{Gestaltsfunktion}.
(49)
Der Skalar-Anteil (49) des Energie-Impuls-Tensors beinhaltet offensichtlich Beiträge, die auf die
veränderliche Gestalt des jeweiligen ausgedehnten Teilchens L (bzw. K) zurückzuführen sind. Es sind
gerade diese inneren Beiträge, die sich bei 'klassischer' Voraussetzung fiktiver Punktteilchen als
Heisenbergs 'Unschärfen' oder z. B. auch als Nullpunktsenergie bemerkbar machen.
Eine direkte SRT-Berechnung
e
∂ k Ti kL = 1 f Lkm ∂k fimL − f Lkm ∂k fimL
2
beweist die (paarweise) Gültigkeit von
Mit h → 0 gilt phänomenologisch
∂k
∑ Ti kL/ K
L/ K
TikStaub ≈ MikStaub ≈
∑ m1
L
L
= 0
j
.
q L2 SiL SkL =
(50)
(51)
∑ µ Lc2 UiLU kL .
L
(52)
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VI) Identifizierung der Elektronenenergie mit dem Stationaritäts-Parameter ε K
durch Berechnung aus dem Energie-Impuls-Tensor des H-Atoms
Tik( H) = Ti k( e ) + Ti k( p )
Energie-Impuls-Tensor des H-Atoms:
bg bg
bg
T 0( p )
r
r
=
1
∇ϕ e∇ϕ p
2
0
(stationary)
E (H )
≡
z
p
(stationary)
(H )
p
z
(stationary)
Weil lim ∫ .. dV → 0:
E (H ) ∞
p→
(stationary)
E (H ) ∞
d
dε
2
+ e ε e − ee ϕ p + 1 h ∆ qe2 ,
4 me
e
p
(stationary)
Die Energiedichten (36):
~
ρ
e
(55)
i
e j
~
r r
ρ
1
= ∇ϕ e∇ϕ + e
− e ϕ e i + 1 h ∆ e q2j .
4 m
2
~
~
ρ
ρ
O
L
0
e
T0
d V = ε e e dV + M e d ε p − ep ϕ e iP dV
e
Q
N
~
ρ
2
= ε e + m p c + lim
∆ ε − ep ϕ e i dV
e d p
m
∞
(stationary)
T 0( e )
0
Mit ε p ≡ m p c + ∆ε p :
(54)
spatial r
r − i ε (e, p) ν t / h + i s(e,
(r ) / h
p) ν
ψ(e, p)ν ≡ q(e, p)ν r e
.
Stationäre KG-Lösungen:
2
(53)
r
a pl = ϕ P = +re , 0 ,
r r r
a el = ϕ e r , a e r .
Potentiale (ohne Spin):
Energie des H-Atoms:
.
2
p
z
p
p
z
(56)
p
p
p
.
(57)
p
p
= ε eν + m p c 2
.
.
(58)
(59)
Am Beispiel des H-Atoms ist also der in (26) definierte, bisher mysteriös gebliebene StationaritätsParameter ε K als Energie-Integral eines gebundenen Teilchens K erwiesen.
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VII) Die Energie-Frequenz-Beziehung für das H-Atom
und ein photonenkompatibles Konzept elektromagnetischer Wellen
Die Energie-Frequenz-Beziehung ist nun unter Einbeziehung einer Erkenntnis Schrödingers leicht
zu verstehen, der seinerzeit allerdings nicht auf die hier abgeleitete Identität des StationaritätsParameters mit dem Energie-Integral zurückgreifen konnte.
ψ (e ) ≡ ψ 1 + ψ 2
Eine zeitweilige Überlagerung
bedeutet eine Ladungsdichte
~
~ +
ρ
= ρ
(e)
(e)
r
−e
m ec 2
ε( e)1 + ε (e)2 + 2 eϕ ( p) q1q2 cos ω 12 t + δ 21 (r )
(61)
(62)
h
ε 12 = ε(e)1 − ε (e) 2
oszilliert, wobei der Ausdruck
,
ε 12
ω 12 ≡
die offensichtlich mit einer Frequenz
(60)
(63)
nach (59) als Energie-Differenz erwiesen ist – fertig! Das bisherige Konzept elektromagnetischer
Wellen ist also dahingehend zu modifizieren, daß a) ein Energiequantum der Strahlung durch deren
Frequenz determiniert ist, und daß b) das Feld eines einzelnen Teilchens allein weder Energie noch
Impuls tragen kann (virtuelle Photonen). Letzteres ist unmittelbar aus dem Feldstärken-Anteil des
e
p
Energie-Impuls-Tensors
kl
k
p
Lki (H) = − fil f ekl − fil f p + 21 δ i f elm flm
erkennbar, wobei im Falle des H-Atoms mit
p
m
e
≈ me f
ik
p ik
f
(64)
(65)
die überlagerten Felder von Elektron und Proton die Energie und den Impuls tragen (reale Photonen),
weil ihre Ladungsverteilungen während der Übergänge in Phase oszillieren (Bestätigung durch
Verwendung der reduzierten e-Masse). Nach geeigneter Definition effektiver (geometrisch gemittelter)
Feldstärken fi k ergibt sich zuletzt näherungsweise der übliche Ausdruck Li k = − f il f kl + 1/4 δi k f lm f lm.
DPG-07 MP 3.3: Einheitliche Theorie / V 21.12.08
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<http://peter-ostermann.de> – 6. März 2007 15:00
Entwicklung und Perspektive im Überblick:
Schritte zu einem konsistenten Variationsprinzip von Feld und Materie
S =
Larmor (1900):
S =
Weyl/a (1918):
Weyl/b (1918):
S =
Hier (2006):
z
S =
Hilbert (1915):
z
z
z
1
4
z
1
4
1
4
K
K
K
(66)
F lm Flm + Al j l + κ1 R dΩ
,
(67)
F lm Flm + Al j l + µ 0 c 2 + κ1 G dΩ ,
S = 41 Fik Fik d Ω +
[ ∑ FH 14 f lm flm
F lm Flm + Al j l dΩ ,
∑
e0
c
z
Ai d x i +
∑ m0 c
z
(68)
z
d s + κ1 G d Ω
IK
2
~
l K
+ 1 a~lK j Kl + 1 µ Kc 2 − h q K
ql + 1 G
2
2
2 mK
2κ
,
] dΩ
(69)
,[s. (13)].
(70)
Als nächstliegende Erweiterung dieses erstmalig konsistenten Variationsprinzips zur zusätzlichen Erfassung von Polarisationseffekten und Eigendrehimpulsen (Dirac-Gleichung) bietet sich an:
S =
mit
z
{∑ [ e
K
1
2
j
2
~l
eµ
µ
µ
lm 1 lm
pK
+ 2 f K flmK − 1 j Kν β µν a~l K + 1 mK c 2 q Kν β µν q K − h q l β µν q
Kν
l
2
2
2m
K
e
e h
p Kl m ≡ i mK ΨKγ lγ m ΨK − ΨK γ mγ l ΨK
4 K
j
.
] + 21κ G} dΩ
(71)
(72)
Doch der zugehörige Energie-Impuls-Tensor, der die Erhaltungssätze von Energie und Impuls erfüllt,
scheint dann nicht mehr mit demjenigen übereinzustimmen, der sich aus der Variation nach den gi k
ergibt [*]. Dies wirft neue Fragen auf (z. B. mikroskopisches Äquivalenzprinzip vs. Windungstensor).