Teil A 3 version 21.04.12

Was ist die Taylorentwicklung von
(1+x)2, wenn x klein ist?
A
B
C
D
E
1+x
1+2x
1+x/2
x
1+3x
Was passiert mit der mechanischen
Energie, wenn ein Pendel im Wasser
gedämpft wird?
A
B
C
D
Epot des Wassers erhöht sich
Ekin der Wassermoleküle erhöht sich
Epot der Kugel erhöht sich
Ekin von Strömungen im Wasser
5. Wärme und Entropie
Wir wollen uns jetzt mit Phänomenen
befassen, bei denen Dissipation, sprich
Reibung auftritt. Dabei müssen wir
beachten, was mit der jeweiligen
gerichteten kinetischen Energie, bzw.
der potentiellen Energie passiert.
Die ungeordnete kinetische Energie,
die Temperatur ist mit der Wärme
gekoppelt. Was ist Temperatur genau?
Sehen wir uns an, was ein Druck ist und
woher er kommt.
Das heisst für viele Teilchen erhalten wir
Oder in drei Dimensionen:
In einem Gasgemisch mit konstanter
Temperatur, was hat die höhere
kinetische Energie?
A
B
C
D
Wasserstoff
Sauerstoff
Kohlendioxid
alle gleich
Was passiert mit dem Druck wenn
ich das Volumen halbiere?
A
B
C
D
wird halbiert
bleibt gleich
wird verdoppelt
kann so nicht gesagt werden
Was passiert mit der Temperatur,
wenn ich den Druck erhöhe?
A
B
C
wird reduziert
bleibt gleich
wird erhöht
Ein Vergleich mit dem idealen Gasgesetz
zeigt, dass also
m<v2> = 3 kB T
<Ekin> = 3/2 kB T
Dies gilt ganz allgemein – es gibt einen
engen Zusammenhang zwischen der
Temperatur und der mittleren kinetischen
Energie.
Welcher Körper hat eine höhere
Temperatur?
A
B
C
D
Metall
Holz
Glas
alle gleich
Spezifische Wärme – wieviel Wärme
kann ein Körper aufnehmen bei
gegebener Temperaturänderung?
Dazu müssen wir betrachten auf
wieviele Arten der Energie die Wärme
verteilt werden kann. Boltzmann’sches
Äquivalenzprinzip:
½ kBT pro mögliche Energieart oder
Freiheitsgrad
Betrachten wir einen Random-Walk –
wie weit kommt das Kind?
Um dies zu beschreiben betrachten
wir die Wahrscheinlichkeit an einem
Ort zu sein
P(x,t+t) = ½ P(x-x,t) + ½ P(x+x,t)
Im Kontinuumslimit
∂/∂t P(x,t) = D (∂/∂x)2 P(x,t)
wobei D = x2/2t
Daraus sehen wir auch, dass <x2> = 2Dt
Diese Diffusions-Gleichung müssen
wir lösen und erhalten für die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit als
Funktion des Ortes eine GaussVerteilung in Ort und Zeit.
Welche Einheit hat die Temperatur
im idealen Gasgesetz?
A
B
C
D
Celsius
Joule
Kelvin
Fahrenheit
Was passiert mit Molekülen die
thermisch angeregt werden, aber
ständig durch Viskosität gebremst
werden?
<v2> = kT/m
t = 2m/f
D = x2/2t
Die “Einstein Beziehung” verbindet die Stärke der
Dissipation mit der Diffusivität. Was uns interessiert
ist mit welcher Geschwindigkeit ein Teilchen
zwischen zwei Steuungen transportiert wird.
Diffundierende Teilchen sind immer so klein, dass
die Reynolds Zahl klein ist – die Reibung ist also
direkt durch die Viskosität bestimmt. Für eine Kugel
mit Radius a gilt dann also für den
Diffusionskoeffizienten:
Was passiert wenn Stoffe diffundieren?
Neben Diffusion wird der Stoff auch
abgebrochen.
ergibt einen stationären Zustand, wenn
...oder (Gleichung lösen)
Ein solcher exponentieller Gradient wird
zum Beispiel beim Morphogen Bicoid im
frühen Drosophila Embryo beobachtet.
Das Protein wird von der Mutter an einer
Seite deponiert und definiert so vorne
und hinten
Was passiert mit dem Druck in der
Zelle wenn aussen Helium ist?
A
B
C
er steigt
er sinkt
er bleibt gleich
Was können Sie über die Diffusion
verschiedener Teilchen in
verschiedenen Medien sagen?
A
B
C
je grösser das Teilchen desto
schneller die Diffusion
je zäher die Flüssigkeit, desto
schneller die Diffusion
je höher die Temperatur desto
schneller die Diffusion
Alles was wir bei der Diffusion
betrachtet haben war, dass es eine
ungeordnete Bewegung gibt, die durch
einen Zufallsprozess beschrieben wird.
Wir haben gesehen, dass Temperatur
die ungeordnete kinetische Energie ist.
Wärmetransport kann also durch die
gleiche Gleichung beschrieben werden
Wie hoch ist der Luftdruck an der
Decke des Hörsaals?
A
B
C
höher als am Boden
tiefer als am Boden
gleich hoch wie am Boden
Wie nimmt der Druck mit der Höhe
ab?
wird durch Gleichgewicht von Diffusion und Sinken aufrechterhalten -> Einstein Beziehung
Boltzmann Verteilung!
Was ist die Breite der Geschwindigkeitsverteilung in einem Gas?
A
B
C
D
kBT/m
m/kBT
(kBT)2
(kBT)1/2
Können wir Genaueres zur Verteilung
der Energien, bzw. Geschwindigkeiten
sagen? Betrachten wir ein ideales Gas.
Wir haben gesehen, dass die Teilchen
einer Gauss-Verteilung folgen und
dass die mittlere kinetische Energie die
Temperatur ist. Also:
Was ist die Wahrscheinlichkeit für
einen Zustand mit Energieanregung
E?
A
B
C
D
E
exp(kBT/E)
exp(-E/kBT)
exp(E/kBT)
E/kBT
kBT/E
Betrachten wir als Beispiel die Diffusion
in einem Festkörper. Zwischen den
Positionen des Atoms gibt es eine
Energiebarriere.
Um diese Barriere zu überwinden gibt es
thermisch die Wahrscheinlichkeit der
Boltzmann-Verteilung:
p = exp(-E/kBT)
Die Diffusionskonstante folgt
damit der
gleichen
Abhängigkeit
Gleiches gilt
für chemische
Reaktionen:
Arrhenius-Plot
Bei Prozessen mit Reibung gilt die
mechanische Energieerhaltung nicht
mehr. Wir brauchen eine neue Grösse,
die die ungeordnete Bewegungs- und
Bindungsenergie beschreibt.
Dies ist die Wärme und wir müssen die
Energieerhaltung erweitern mit der ins
System gesteckten (oder gewonnenen)
Wärme:
dU = dW + dQ
Was passiert mit dem Gewicht wenn
das Gummiband erwärmt wird?
A
B
C
es steigt
es bleibt
es sinkt
Das können wir experimentell sehen:
Das erwärmte Gummiband leistet Arbeit
Genauso umgekehrt – ein Gas zu
komprimieren gibt Wärme ab, wie bei
der Velopumpe.
Wieviel wird frei wenn wir das Volumen
halbieren?
Was ist die Wärme die in ein ideales
Gas gesteckt werden muss?
Q
Welche Aussage ist richtig?
A
B
C
D
Epot ist immer gleich Ekin
Epot + Ekin ist immer konstant
Wärme ist eine Energieform
Bei Prozessen mit Reibung wird
Energie vernichtet
Wärme hat also etwas mit Temperatur
zu tun, ist aber nicht dasselbe – sie ist
eine Energieform, muss also die Einheit
Joule haben.
Ausserdem muss die kombinierte
Wärme von zwei Körpern summiert
werden können. Wahrscheinlichkeiten
würde man multiplizieren.
Andererseits hat die Wärme etwas mit
der Verteilung der mikroskopischen
Energien zu tun.
Wir suchen also ein Mass für die
Wahrscheinlichkeitsverteilung eines
Zustandes. Dazu müssen wir die
Zustände unterscheiden können.
Das Mass muss zudem additiv sein, also
für zwei Körper zusammen die Summe
ergeben.
Betrachten wir spezifisch die Verteilung
von Atomen in einem Gas mit zwei Hälften
Quantitativer Zugang zur Entropie:
W ist die Zahl der
mikroskopischen
Zustände, die
makroskopisch
gleich sind, d.h. die
Wahrscheinlichkeit
einer spezifischen
mikroskopischen
Realisierung eines
makroskopischen
Zustandes
Betrachten wir das konkret beim idealen
Gas das expandiert – die
Wahrscheinlichkeit in einem Bestimmten
Volumen zu sein ist:
und damit die Entropie nach Boltzmann:
multiplizieren mit T ergibt die Wärme
Was passiert mit der Entropie wenn
Sie das Volumen verdoppeln?
A
B
C
D
E
sie verdoppelt sich
sie halbiert sich
sie bleibt gleich
sie steigt um kBln(2)
sie sinkt um kBln(2)
Was passiert mit der Entropie wenn
Sie die Anzahl Teilchen verdoppeln?
A
B
C
D
sie verdoppelt sich
sie halbiert sich
sie bleibt gleich
sie steigt sich um kBln(2)
Möglichkeiten zur Entropieerhöhung
Was ist Entropie?
• Zahl der Mikrozustände für einen
Makrozustand
• Symmetrie
• Information
• Unordnung
Überlegen wir uns nocheinmal das
ideale Gas:
Wenn wir das Volumen verringern
wollen, müssen wir Arbeit leisten gegen
den Druck. Diese Arbeit entspricht einer
entropischen Kraft.
Entropische Wechselwirkungen:
In der Verarmungszone
kann es keine kleinen
Teilchen haben
2r
r
2R
Mischung von grossen
und kleinen Teilchen
Verarmungswechselwirkung
= Anziehung zwischen den
grossen Teilchen
Genauso beim Gummiband:
Rg
Die Kraft die nötig ist um das Band zu strecken
Fp : freie Energie der Kette. Wenn
keine Bindungen vorhanden sind, gibt
es nur entropische Beiträge.
Damit können wir auch die BoltzmannVerteilung verstehen:
pi = const*exp(-Ei/kBT)
Aus der Boltzmann Entropie folgt dies
direkt, wenn wir die Entropie TaylorEntwickeln und die Definition der
Temperatur betrachten, dass dS/dE = 1/T
kB ln(p) = S (E0 –E) = S(E0) – dS/dE E = S(E0) - E/T
Wenn zusätzlich potentielle Energien,
sprich Bindungen vorhanden sind,
müssen diese auch mitgenommen
werden.
Eine potentielle Energie kann der
Entropie entgegen arbeiten und somit
den Wahrscheinlichsten Zustand
ändern – denken Sie an das
Gummiband.
Was ist die spezifische Wärme eines
einatomigen, idealen Gases?
A
B
C
D
E
F
NkBT
3/2 NkB
3/2 NkBT
5/2 NkB
NkB
5/2 NkBT
Mechanisch wird die Energie minimiert,
thermodynamisch die Entropie
maximiert.
Um diese beiden Aussagen zu verbinden
wird die “freie Energie” eingeführt.
F = U - TS
Minimierung der freien Energie führt zum
Grundzustand.
Beispiele für die Minimierung der
freien Energie: Phasenübergänge
Was passiert mit der Temperatur
wenn wir die Luft wegwedeln?
A
B
C
sie steigt
sie sinkt
sie bleibt gleich
Es gibt sehr viele Arten von
Phasenübergängen:
Fest - Flüssig
Flüssig - Gasförmig
Normalleitend - Supraleitend
Magnetisch - Nichtmagnetisch
Fest – Gasförmig
Bei Allen gibt es eine kritische
Temperatur, bei der der Zustand
ändert. Alle sind ein Zusammenspiel
von Entropie und Wechselwirkung
Das Verhalten bei Phasenübergängen
wird in einem Phasendiagramm
zusammengefasst
Phasenübergänge können
durch das van
der Waals Gas
beschrieben
werden.
Hier gibt es
einen kritischen
Punkt
Zustände ausserhalb des
Gleichgewichtes: Konvektion
Sehr häufig werden Sie es mit Nichtgleichgewichtszuständen zu tun bekommen
Was passiert mit den Teilchen wenn
geschüttelt wird?
Was passiert mit den Teilchen wenn
geschüttelt wird?
A
B
C
nichts – es vermischt
alle Teilchen gehen nach rechts
alle Teilchen gehen nach links