Aufgabe 1 Aufgabe 2

Fachgebiet Geodäsie und Ausgleichungsrechnung an der TU Berlin
Prof. Dr.-Ing. Lothar Gründig
Semesterklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS 96
8. Juli 1996
Zeit: 2 Stunden
Alle Hilfsmittel sind zugelassen
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Eine Funktion y = f(x) soll durch ein Polynom zweiten Grades approximiert
werden. Der Ansatz für das Polynom lautet:
In einem Dreieck sind zwei Winkel und deren gegenüberliegende Seiten
gemessen worden.
y = a⋅x + b⋅x
2
γ
Die folgenden Wertepaare der Funktion sind bekannt:
b
x
1
3
5
7
y = f(x)
-0,5
-0,7
0,1
1,4
Die x-Werte sind fehlerfrei. Die y-Werte wurden gleichgenau bestimmt und
sind voneinander unabhängig.
1. Bestimmen Sie die ausgeglichenen Koeffizienten des Approximationspolynoms durch Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen.
2. Wie groß ist der mittlere Fehler eines Funktionswertes y = f(x), der mit
den ausgeglichenen Polynomkoeffizienten für den Wert x = 10
berechnet wird.
a
α
β
Beobachtungen:
a
b
α
β
=
=
=
=
247,320
211,210
55,0000
45,0000
m
m
gon
gon
ma =
mb =
mα =
mβ =
±1
±1
±2
±2
cm
cm
mgon
mgon
1. Berechnen Sie die ausgeglichenen Meßwerte durch einen Ansatz nach
bedingten Beobachtungen.
2. Berechnen Sie den mittleren Fehler des ausgeglichen Winkels γ.
Fachgebiet Geodäsie und Ausgleichungsrechnung an der TU Berlin
Prof. Dr.-Ing. Lothar Gründig
Semesternachklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS 96
28. Oktober 1996
Zeit: 2 Stunden
Alle Hilfsmittel sind zugelassen
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Von einem Streckenmeßistrument soll die Additionskonstante bestimmt
werden. Zu diesem Zweck wurden vier Punkte auf einer Geraden vermarkt,
zwischen diesen Punkten wurde eine Streckenmessung in allen
Kombinationen durchgeführt. Die Beobachtungen sind voneinander
unabhängig und gleichgenau.
In einem Dreieck wurden die Seiten b und c sowie die Richtungen rAC und
rAB beobachtet. Aus einer vorangegangenen Berechnung ist die Fläche A
des Dreiecks sowie deren mittlerer Fehler bekannt. Die Beobachtungen sind
voneinander unabhängig und gleichgenau.
C
s1
s2
b
s3
A
s4
rAC
s5
s6
A
Es wurden folgende Werte beobachtet:
s1 =
s2 =
s3 =
s4 =
s5 =
s6 =
a
hc
rAB
c
B
Es wurden folgende Werte beobachtet:
11,963m
50,654m
97,477m
38,648m
85,466m
46,787m
b=
c=
rAC =
rAB =
A=
59,960
62,103
63,548
103,924
1103,1
m
m
gon
gon
m2
mb = ± 3 mm
mc = ± 3 mm
mrAC = ± 1 mgon
mrAB = ± 1 mgon
mA = ± 0,1 m2
a) Handelt es sich um ein lineares oder um ein nichtlineares
Ausgleichungsproblem? Begründen Sie Ihre Aussage.
(2)
a) Berechnen Sie die ausgeglichenen Meßwerte durch einen Ansatz (30)
nach bedingten Beobachtungen.
b) Berechnen Sie die ausgeglichene Additionskonstante a durch
einen Ansatz nach vermittelnden Beobachtungen.
(18)
b) Wie groß ist der mittlere Fehler der ausgeglichenen Höhe hc ?
c) Wie groß ist der mittlere Fehler einer mit dem gleichen
Instrument gemessenen Strecke s7 nachdem die
Additionskonstante angebracht wurde?
(11)
(16)
Fachgebiet Geodäsie und Ausgleichungsrechnung an der TU Berlin
Prof. Dr.-Ing. Lothar Gründig
Semesterklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS 97
10. Juli 1997
Zeit: 2 Stunden
Alle Hilfsmittel sind zugelassen
Aufgabe 1
Aufgabe 2
In einem Viereck wurden die Seitenlängen und zwei gegenüberliegende
Winkel gemessen.
Für ein elektronisches Tachymeter errechne sich der Betrag des mittleren
Fehlers einer Streckenmessung nach der Formel:
ms = a + b ⋅ s
c
α
b
d
β
a=
114,72 m
b=
167,65 m
c=
80,03 m
d=
150,79 m
α=
109,808 gon
β=
85,937 gon
Hierin ist a der konstante und b⋅s der streckenabhängige Fehleranteil. Um
die Koeffizienten a und b für ein bestimmtes Instrument zu ermitteln, wurde
mit diesem auf einer Prüfstrecke gemessen die als fehlerfrei betrachtet
wird.
Dabei wurden die folgenden Werte erhalten:
a
Der mittlere Fehler der Winkelbeobachtungen beträgt mα = mβ = ± 4 mgon.
Der mittlere Fehler einer Streckenbeobachtung errechnet sich nach der
Formel: ms = ± 0.01 ⋅ s 100 m .
a) Bestimmen Sie die Redundanz dieses Ausgleichungsproblems.
s (fehlerfrei) [m]
s (gemessen) [m]
s1
50.000
49.995
s2
100.000
99.999
s3
200.000
199.996
s4
400.000
399.996
s5
800.000
799.992
s6
1600.000
1599.996
s7
3200.000
3200.010
(2)
b) Berechnen Sie die ausgeglichenen Meßwerte durch Ausgleichung (50)
nach bedingten Beobachtungen.
a) Berechnen Sie die Koeffizienten a und b durch Ausgleichung
nach vermittelnden Beobachtungen.
(30)
c) Berechnen Sie den mittleren Fehler der gemessenen Strecke b.
(15)
b) Wie groß ist der mittlere Fehler einer Strecke von 1000m die mit
diesem Instrument beobachtet wird ?
(10)
d) Überprüfen Sie das Ergebnis der Ausgleichung nichtlinear.
(10)
Fachgebiet Geodäsie und Ausgleichungsrechnung an der TU Berlin
Prof. Dr.-Ing. Lothar Gründig
Nachklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS 97
7. November 1997
Zeit: 2 Stunden
Alle Hilfsmittel sind zugelassen
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Bei der Digitalisierung einer Flurkarte wurden die Koordinaten von drei
Gebäudeecken gleich genau beobachtet.
Punkt
x [m]
y [m]
1
185.74
89.96
2
98.45
137.91
3
190.01
294.57
Es ist bekannt, daß die Gebäudeseiten 1-2 und 2-3 einen rechten Winkel
einschließen, daher sollen die beobachteten Koordinaten durch
Homogenisierung verbessert werden.
Für ein Auto soll der Kraftstoffverbrauch pro 100km in Abhängigkeit von der
Geschwindigkeit ermittelt werden. Hierfür wurde bei verschiedenen
Geschwindigkeiten der Verbrauch gemessen.
Geschwindigkeit v[km/h] Verbrauch k[liter/100km]
30
7.15
60
5.95
90
6.10
120
7.45
150
9.76
Die Werte der Geschwindigkeit können als fehlerfrei betrachtet werden. Die
Messungen des Verbrauches sind gleich genau. Die funktionale
Abhängigkeit läßt sich mit folgender Funktion beschreiben:
k = a + bv +cv2
a)
Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems
(2)
b)
Berechnen Sie die verbesserten Koordinaten der Punkte 1 bis 3
durch Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen.
(26)
c)
Verproben Sie das Ergebnis nichtlinear.
(10)
d)
Bestimmen Sie den mittleren Punktfehler des beobachteten
Punktes 2.
(6)
e)
Bestimmen Sie den mittleren Punktfehler des ausgeglichenen
Punktes 2.
(12)
Hinweis: Als Ansatz eignet sich z.B. das Skalarprodukt.
a)
Bestimmen Sie die ausgeglichenen Funktionsparameter.
(15)
b)
Bei welcher Geschwindigkeit ist der Verbrauch minimal ?
(5)
c)
Welchen mittleren Fehler besitzt die unter b) ermittelte
Geschwindigkeit ?
(19)
Fachgebiet Geodäsie und Ausgleichungsrechnung an der TU Berlin
Prof. Dr.-Ing. Lothar Gründig
Semesterklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS 98 13. Juli 1998
Zeit: 2 Stunden
Alle Hilfsmittel sind zugelassen
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Die Strecken zwischen den, in einer Gerade liegenden, Punkten A, B, C und
D sind in allen Kombinationen gemessen worden.
Für die Bestimmung der Koordinaten des Neupunktes 4 sind zwei Winkel
und eine Strecke beobachtet worden (siehe Skizze).
A
B
C
D
S1
S2
S3
S4
S5
S6
s1
s2
s3
s4
s5
s6
Si [m]
111,133
300,009
704,040
188,871
592,920
404,042
1
α
β
4
S34
Alle Streckenbeobachtungen sind gleich genau und unabhängig
voneinander.
3
a)
Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems.
(2)
b)
Stellen Sie die Verbesserungsgleichungen für eine
Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen auf.
(10)
c)
Stellen Sie die Bedingungsgleichungen für eine
Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen auf.
(10)
d)
Berechnen Sie die ausgeglichenen Strecken durch eine
Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen.
(10)
e)
Berechnen Sie den mittleren Fehler der ausgeglichenen
Strecke AB.
(10)
2
Festpunkte
Punkt X [m]
Y [m]
1
255,642 90,836
2
267,855 183,616
3
112,967 130,267
Neupunkt Näherungskoordinaten
X0 [m]
Y0 [m]
4
198,5
140,3
Beobachtungen
gemessen Mittlerer fehler
62,9412 gon
α
± 1 mgon
56,1300 gon
β
± 1 mgon
S34
86,0806 m
± 1 cm
a)
Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems.
(20)
b)
Berechnen Sie die ausgeglichen Koordinaten des
Neupunktes 4 durch Ausgleichung nach vermittelnden
Beobachtungen in einem Iterationsschritt und überprüfen
Sie die Linearisierung.
(44)
c)
Berechnen Sie die mittleren Fehler der ausgeglichenen
Koordinaten des Punktes 4 mx und my.
(10)
d)
Bestimmen Sie die ausgeglichene Fläche des Dreieckes
1,2,4 und deren mittleren Fehler.
(20)
Fachgebiet Geodäsie und Ausgleichungsrechnung an der TU Berlin
Prof. Dr.-Ing. Lothar Gründig
Nachklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS 98
3. Dezember 1998
Zeit: 2 Stunden
Alle Hilfsmittel sind zugelassen
Aufgabe 1
Für die Bestimmung der Koordinaten des Neupunktes N1 wurden die Richtungen von N1 zu
den Festpunkten F1 bis F4 beobachtet. Außerdem wurde im gleichen Richtungssatz die
Richtung sowie die Strecke zum Punkt N2 beobachtet.
Die Näherungskoordinaten des Punktes N1 sind bekannt.
F4
F1
N2
N1
F3
Beobachtungen und Koordinaten
Pkt
x [m]
N1
≈2461,3
3771,428
F1
1101,203
F2
1512,007
F3
3615,988
F4
N2
F2
y [m]
r [gon]
s [m]
≈3002,7 (Näherungskoordinaten)
4347,222
104,9497
4775,012
195,7945
1852,708
310,1905
1352,693
392,9966
79,8494
664,214
a)
Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems.
(2)
b)
Berechnen Sie die Ausgeglichenen Koordinaten des Punktes N1.
(50)
c)
Überprüfen sie das Ergebnis Ihrer Berechnungnichtlinear.
(14)
d)
Berechnen Sie die mittleren Fehler der Koordinaten des Punktes N1.
(4)
e)
Berechnen Sie den mittleren Fehler einer beobachteten Richtung.
(4)
f)
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes N2.
(2)
g)
Ermitteln Sie die mittleren Fehler der Koordinaten des Punktes N2
unter der Voraussetzung, daß der mittlere Fehler der
Streckenbeobachtung ±5mm beträgt.
(24)
Fachgebiet Geodäsie und Ausgleichungsrechnung an der TU Berlin
Prof. Dr.-Ing. Lothar Gründig
Semesterklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS 99 21. Juli 1999
Alle Hilfsmittel sind zugelassen
Aufgabe 2
Aufgabe 1
Von einem Entfernungsmesser
sollen Additionskonstante und
Maßstabskonstante
bestimmt
werden. Zu diesem Zweck wurde
eine Vergleichsstrecke AD in drei
Teilstrecken unterteilt. Nur die
Strecke AD ist fehlerfrei bekannt.
Die Teilstrecken wurden in allen
Kombinationen beobachtet.
Zeit: 2 Stunden
A
B
D
C
S1
S2
S3
S4
S5
S6
Alle Streckenbeobachtungen sind gleich genau und unabhängig voneinander.
1
a)
Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems.
(5)
b)
Stellen Sie die Verbesserungsgleichungen für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen auf.
(10)
Stellen Sie formal A-Matrix, l-Vektor, P-Matrix und
x-Vektor auf.
(5)
d)
Geben Sie den Rechenweg für die Berechnung der Unbekannten und deren mittlerer Fehler an.
e)
Geben Sie den Rechenweg für die Berechnung des mittleren Fehlers einer Strecke an, die mit dem selben Instrument beobachtet wird.
c)
ζ2
Horizontalstrecke S12
Horizontalwinkel α und β
Zenitwinkel ζ1 und ζ2
Die Standardabweichungen der Beobachtungen sind ebenfalls bekannt.
Hinweis zum Ansatz für die Maßstabskonstante: m = (1+∆m)
N
Die Höhe des Neupunktes N soll
durch trigonometrische Höhenbestimmung mit horizontalem Hilfsdre ieck ermittelt werden. Die Höhen der
Standpunkte 1 und 2 sind fehlerfrei
bekannt. Die folgenden Größen wurden beobachtet:
ζ1
β
α
2
S12
a)
Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems.
(5)
b)
Stellen Sie die Bedingungsgleichung(en) für eine Ausglei- (10)
chung nach bedingten Beobachtungen auf.
c)
Stellen Sie formal BT-Matrix, w-Vektor und P-1-Matrix auf.
(5)
d)
Geben Sie die Formeln für die Berechnung der Elemente (10)
der BT-Matrix und des w-Vektors an.
(10)
e)
Geben Sie den Rechenweg für die Berechnung der ausge- (10)
glichenen Höhe des Punktes N und deren mittleren Fehler
an.
(5)
Fachgebiet Geodäsie und Ausgleichungsrechnung an der TU Berlin
Prof. Dr.-Ing. Lothar Gründig
Nachklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS 99
29. November 1999
Zeit: 2 Stunden
Alle Hilfsmittel sind zugelassen
Aufgabe 1
Für die Bestimmung des HöhenB
A
unterschiedes zwischen den Punkten 1 und 2 ∆h12 wurde das abgebildete Nivellementsnetz gemessen. Beobachtet wurden die Höhenunterschiede ∆h1A, ∆h1B, ∆h2A
und ∆h2B. Der Höhenunterschied
∆hAB ist fehlerfrei bekannt.
Es ist bekannt, daß die Standar- 1
2
dabweichung einer Lattenablesung
beim Nivellement σl = ± 1 mm beträgt. Die Strecke zwischen zwei Lattenstandpunkten betrug 50 m.
Aufgabe 2
∆hAB = 2,909 m (fehlerfrei)
a)
Wählen sie einen geeigneten Satz von Unbekannten für eine
Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen aus.
(5)
b)
Stellen Sie die ursprünglichen Verbesserungsgleichungen auf.
(10)
c)
Stellen Sie die linearisierten Verbesserungsgleichungen auf.
Geben Sie dabei die partiellen Ableitungen nach den Unbekannten an und vereinfachen Sie diese soweit als möglich.
(10)
d)
Stellen Sie ohne Zahlenwerte die A-Matrix, den l -Vektor und
den x-Vektor auf.
(5)
e)
Geben Sie den Rechenweg für die Berechnung der Unbekannten und deren mittleren Fehler an.
(5)
f)
Geben Sie den Rechenweg für die Berechnung des mittleren
Fehlers der Fläche FS an.
(5)
Beobachtungen:
Beob.
-3,977
m
∆h1A =
-1,068
m
∆h1B =
∆h2A = -1,891 m
∆h2B = 1,018 m
Strecke
1,8 km
2,5 km
2,0 km
1,3 km
a)
Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems.
(5)
b)
Berechnen Sie die Standardabweichung eines Höhenunterschiedes mit einem Nivellementsweg von 1 km.
(10)
c)
Berechnen Sie die ausgegelichenen Meßwerte mit einem
Ansatz nach bedingten Beobachtungen.
(10)
d)
Bestimmen Sie den ausgeglichenen Höhenunterschied
∆h12 und seinen mittleren Fehler.
(10)
In einem Kreissektor wurden folgende
Elemente beobachtet:
Radius
Bogenlänge
Sehnenlänge
Zentriwinkel
b
r
b
s
α
s
r
Gesucht ist die ausgeglichene Fläche FS
des Kreissektors.
α
~