Auszug - Didaktik der Physik

Auszug aus dem Skript zur Vorlesung
Ergänzung zur Einführung in die Physik 2
Udo Backhaus, Universität Duisburg-Essen
Version Sommersemester 2007
e
+
Elektrische Feldlinien und die Richtung der elektrischen Kraft auf einen positiv
geladenen Körper
Lageenergie, Bewegungsenergie und Gesamtenergie eines hüpfenden Balles
Inhaltsverzeichnis
1 Mechanik
1.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Die Beschreibung von Bewegungen im Raum . . . . . . .
1.1.2 Bewegungsanalyse mit Viana . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Beispiel 1: Die Schwingung eines Schraubenfederpendels
1.1.4 Beispiel 2: Der schiefe Wurf . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Hausaufgaben 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Die Newton’schen Gesetze der Mechanik . . . . . . . . .
1.2.2 Mechanische Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Der Kraftbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Hausaufgaben 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Die Kraft als Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Trägheitssatz und Kräftegleichgewicht . . . . . . . . . .
1.2.7 Übungen zu Kräftegleichgewicht und -addition (nach [6])
1.2.8 Hausaufgaben 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Der Energiebegriff
2.1 Elektromagnetische Induktion und Energieprinzip . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Elektromotor und Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Induktion und Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Hausaufgaben 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Energiemessungen und thermische Energie . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Thermische Energie und ihre Messung . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Die spezifische Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Hausaufgaben 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Wärmekapazität und Schmelzwärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Die spezifische Wärmekapazität von festen Stoffen . . . . . . . .
2.3.2 Energieerhaltung beim Temperaturausgleich . . . . . . . . . . .
2.3.3 Hausaufgaben 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Die spezifische Schmelzwärme von Eis . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Die spezifische Verdampfungswärme von Wasser . . . . . . . . .
2.3.6 Hausaufgaben 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Energieumwandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Lageenergie und thermische Energie: Das Joule’sche Experiment
2.4.2 Freier Fall: Umwandlung von Lageenergie in Bewegungsenergie .
2.4.3 Bewegungsenergie beim Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4
Kontinuierliche“ Messung durch Videoanalyse mit Viana . . .
”
2.4.5 Hausaufgaben 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literatur
[1] Tipler, Physik für Naturwissenschaftler und Ingenieure
i
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1
1
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11
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21
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24
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29
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36
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38
39
40
40
41
41
44
47
48
51
[2] U. Backhaus et al.: Physik plus, Gymnasium, Klasse 6, Nordrhein-Westfalen, Volk
und Wissen: Berlin 1999
[3] U. Backhaus, L.-H. Schön: Physik plus, Gymnasium, Klasse 8, Nordrhein-Westfalen,
Volk und Wissen: Berlin 2001
[4] U. Backhaus et al.: Physik plus, Gymnasium, Klasse 9/10, Nordrhein-Westfalen, Volk
und Wissen: Berlin 2002
[5] U. Backhaus, Das 3. Newton’sche Gesetz und der physikalische Kraftbegriff, Naturwissenschaften im Unterricht/Physik 49/5 (2001)
[6] U. Backhaus, Die Kraft ist ein Zwillingspaar, Beispiele zur Einführung des Wechselwirkungsprinzips in der Schule, Naturwissenschaften im Unterricht/Physik 49/5
(2001)
ii
1
Mechanik
1.1
1.1.1
Kinematik
Die Beschreibung von Bewegungen im Raum
• Voraussetzung für die physikalische Beschreibung von Bewegungen sind ein räumliches Koordinatensystem und eine Uhr. Zur Festlegung des Koordinatensystems
gehören
1. die Festlegung eines Ursprungs 0,
2. die Festlegung dreier vom Ursprung ausgehender Raumachsen und ihrer Richtungen und
3. die Festlegung von Maßstäben auf den drei Achsen.
Da wir in dieser Veranstaltung nur zweidimensionale (ebene) Bewegungen untersuchen werden, reichen im Folgenden zwei Raumachsen.
• Der Ort eines Körpers im Raum wird durch einen Vektor, seinen so genannten
Ortsvektor,
~r = (x, y) = x~ex + y~ey
beschrieben (Abb. 1), der von einem vorher gewählten Ursprung aus zum Körper
zeigt. Die Komponenten x und y dieses Ortsvektors beziehen sich auf die beiden
festgelegten Achsen.
• Wenn sich der Körper bewegt, sich sein Ort also mit der Zeit ändert, ändert sich
auch sein Ortsvektor, und damit dessen Komponenten, mit der Zeit:
~r = ~r(t) = (x(t), y(t))
• Wenn sich der Körper in der Zeitspanne ∆t = t2 − t1 von ~r1 (t1 ) nach ~r2 (t2 ) bewegt,
dann ist seine Ortsveränderung der Vektor, der von ~r1 nach ~r2 zeigt:
∆~r = ~r2 (t2 ) − ~r1 (t1 ) = (x2 − x1 , y2 − y1 )
Die Länge dieses Vektors gibt an, wie weit sich der Körper in dieser Zeitspanne vom
Ausgangspunkt entfernt hat (nicht: welche Strecke er zurückgelegt hat!). Die Richtung des Vektors beschreibt die Richtung, in der der Endpunkt vom Anfangspunkt
aus gesehen liegt.
• Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Körpers im Zeitintervall ∆t ist der Quotient aus Ortsveränderung und zugehöriger Zeit:
~v =
∆~r
1
=
∆~r
∆t
∆t
1
(1)
y-Achse
v (t1 )
}~
~v
∆~r
~r(t1 )
}
~v (t2 )
~r(t2 )
1m
~ey
0
x-Achse
~ex
1m
Abbildung 1: Ort ~r(t), Durchschnittsgeschwindigkeit ~v und Momentangeschwindigkeit
~v (t) eines geworfenen Balles
2
Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist ein Vektor, der vom Anfangsort zum Endort
gerichtet ist. Ihr Betrag ist ein Maß dafür, wie schnell sich der Abstand zum Startpunkt geändert hat.
• ACHTUNG Die Geschwindigkeit ist also in der Physik ein Vektor! Sie unterscheidet sich damit deutlich von dem, was man außerhalb des Physikraumes unter
Geschwindigkeit versteht:
– Die Geschwindigkeit kann in der Physik (im Falle einer linearen Bewegung)
positive und negative Werte annehmen.
– Die Geschwindigkeit kann sich ändern, obwohl sich die Schnelligkeit der Bewegung nicht ändert, z. B. bei der Fahrt durch eine Kurve.
– Die Durchschnittsgeschwindigkeit in einem Zeitintervall kann null sein, obwohl
sich der Körper ständig schnell bewegt hat.
– Im täglichen Leben meint man mit Geschwindigkeit“ in der Regel Tempo“,
”
”
Schnelligkeit“ oder Tacho-Anzeige“, also den Betrag der (physikalischen) Ge”
”
schwindigkeit |~v|.
• Die Momentangeschwindigkeit des Körpers ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit für ein genügend kleines Zeitintervall1
d~r(t)
dx dy
∆~r
−→
=( , )
∆t
dt
dt dt
Die Ableitung nach der Zeit wird in der Physik oft durch einen Punkt über der
entsprechenden Funktion gekennzeichnet:
~v
∆t klein
=
~v(t) = ~r˙ (t) = (ẋ(t), ẏ(t))
Die Richtung des Vektors ~v ist immer tangential zur Bahnkurve des Körpers. Sie
zeigt die Richtung an, in die sich der Körper gerade bewegt.
• Ganz entsprechend wird der Begriff der Beschleunigung ~a mit Hilfe der Geschwindigkeit definiert:
∆~v
~v (t2 ) − ~v (t1)
=
∆t
t2 − t1
d
~a(t) =
~v (t) = ~v˙ (t) = (v̇x (t), v̇y (t), v̇z (t))
dt
d2
=
~r(t) = ~¨r(t) = (ẍ(t), ÿ(t), z̈(t))
dt2
~a =
(2)
(3)
(4)
Auch die Beschleunigung ist also ein Vektor. Die Richtung der Durchschnittsbeschleunigung stimmt mit der Richtung von ∆~v = ~v2 − ~v1 überein.
1
Genügend klein“ ist das Zeitintervall, wenn sich einerseits währenddessen die Geschwindigkeit (für
”
das benutzte Messverfahren) nicht merkbar ändert, es aber andererseits nicht zu klein ist, damit die
Fehler durch die Quotientenbildung nicht zu groß werden.
3
Abbildung 2: Logo des Programms Viana
• ACHTUNG Auch hier einige Hinweise zum Vektorcharakter:
– In einem Zeitintervall kann die Durchschnittsgeschwindigkeit null sein, obwohl
der Körper während der ganzen Zeit seine Geschwindigkeit geändert hat (z. B.
nach dem vollständigen Durchlauf einer Kreisbahn).
– Die Richtungen von Geschwindigkeit und Beschleunigung brauchen nicht übereinzustimmen. An der Schreibweise
~v2 = ~v1 + ~a∆t
kann man erkennen:
∗ Die Richtung der Bewegung ändert sich nicht, wenn ~v und ~a dieselbe Richtung haben.
∗ Die Bewegung wird langsamer, wenn ~v und ~a entgegengesetzte Richtung
haben (genauer: . . . , wenn der Winkel zwischen den beiden Vektoren größer
als 90◦ ist).
∗ Immer wenn ~v und ~a nicht dieselbe Richtung haben, hat die Endgeschwindigkeit nach einem Zeitintervall eine andere Richtung als die Anfangsgeschwindigkeit. Die Bewegung durchläuft eine Kurve“.
”
1.1.2
Bewegungsanalyse mit Viana
Solange man Orte und Zeiten bei Bewegungen mit Hand, Stoppuhr, Lichtschranken
usw. misst, erhält man nur wenige Messwerte und kann Veränderungen nur schwer messend erfassen. Eine komfortable Alternative bietet das Videoanalyse-Programm Viana,
das von Thomas Kersting in Essen entwickelt wurde und im Internet frei verfügbar ist
(http://www.didaktik.physik.uni-due.de/viana/).
Die Idee von Viana ist folgende: Eine Bewegung wird mit einer Videokamera aufgenommen. Dadurch erhält man 25 Bilder in jeder Sekunde. Auf jedem dieser Bilder ist der
sich bewegende Körper abgebildet. Jedes Videobild besteht aus einzelnen Punkten (Pixeln), und die Kanten des Bildes legen zwei Raumrichtungen fest. Nullpunkt und Maßstab
können aber noch frei gewählt (bzw. bestimmt) werden. Auf jedem Bild kann die Position
4
des Körpers (die Nummer des Pixels“), genauer die seines geeignet definierten Mittel”
punktes, bestimmt werden, auf dem der Körper gerade abgebildet ist. Diese Bestimmung
kann entweder am Monitor für jedes Bild per Hand vorgenommen oder, wenn sich der
Körper farblich deutlich von der Umgebung abhebt, automatisch durch das Programm
durchgeführt werden.
Das Programm kann die Messwerte selbst grafisch darstellen, sie aber auch als ExcelTabelle exportieren, sodass beliebige weitere Berechnungen damit angestellt und Diagramme erstellt werden können (wenn man mit Excel umgehen kann!).
Dabei benutzt das Programm die folgenden Algorithmen, die man auch von Excel
ausführen lassen kann:
t in m x in m y in m
...
...
...
ti−2
xi−2
yi−2
ti−1
xi−2
yi−1
ti
xi
yi
ti+1
xi+1
yi+1
ti+2
xi+2
yi+2
...
...
...
vx in
...
m
s
vy in ms ax in sm2 ay in sm2
...
...
...
vxi−1
vxi
vxi+1
vyi−1
vyi
vyi+1
axi
ayi
...
...
...
...
(5)
mit
xi+1 − xi−1
ti+1 − ti−1
yi+1 − yi−1
= vy (ti ) =
ti+1 − ti−1
vxi+1 − vxi−1
= ax (ti ) =
ti+1 − ti−1
vyi+1 − vyi−1
= ay (ti ) =
ti+1 − ti−1
vxi = vx (ti ) =
(6)
vyi
(7)
axi
ayi
(8)
(9)
Im Folgenden werden die Begriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung anhand der
Analyse zweier Bewegungen eingeübt. Zwei weitere Bewegungen sind Gegenstand der
Übungen.
1.1.3
Beispiel 1: Die Schwingung eines Schraubenfederpendels
Eine an einer Schraubenfeder aufgehängte Kugel schwingt in vertikaler Richtung auf und
ab (Federpendel.avi, Abb. 3). Da es sich um eine lineare Bewegung handelt, reicht
zur Beschreibung eine Achse aus, die parallel zur Bewegung gerichtet ist. Der Nullpunkt
wurde ungefähr in die Gleichgewichtsposition des Pendels gelegt, die Achse ist nach oben
gerichtet. Die zugehörige Excel-Tabelle heißt Federpendel.xls. Sie enthält auch die
folgenden Auswertungen und Diagramme.
Mit Excel kann ein y(t)- Diagramm, ein vy (t)-Diagramm und ein ay (t)-Diagramm
gezeichnet werden (Abb. 4).
Den Diagrammen entnimmt man folgende Eigenschaften:
5
Abbildung 3: Das Schraubenfederpendel
• Das Pendel schwingt (näherungsweise) periodisch um die Gleichgewichtslage. Dabei
treten positive und negative Koordinatenwerte auf (wenn sich das Pendel über bzw.
unter der Gleichgewichtslage befindet).
• Auch die Geschwindigkeit nimmt positive und negative Werte an: Die Geschwindigkeit ist positiv, wenn die Koordinatenwerte größer werden, sich der Körper also in
Richtung der Koordinatenachse bewegt (d.h. hier: nach oben!). (z. B. zu den Zeiten
t = 1s und t = 2s in Abbildung 4). Entsprechend gilt: Die Geschwindigkeit ist
negativ, wenn die Koordinatenwerte kleiner werden, sich der Körper also entgegen
der Richtung der Achse bewegt. (z. B. zur Zeit t = 4s in Abbildung 4).
• Auch die Beschleunigung
a=
v(t2 ) − v(t1 )
∆v
=
∆t
t2 − t1
nimmt positive und negative Werte an: Die Beschleunigung ist positiv, wenn die
Geschwindigkeit größer wird. Wenn die Geschwindigkeit gerade positiv ist, wird
ihr Betrag dadurch größer (der Körper wird also schneller) (z. B. zur Zeit t = 2s in
Abbildung 4). Wenn sie aber gerade negativ ist, wird sie dadurch weniger negativ“,
”
ihr Betrag also kleiner (der Körper wird also langsamer!) (z. B. zur Zeit t = 4s in
Abbildung 4; leider ist das aber wegen der Messfehler kaum zu erkennen!).
• ACHTUNG Die oft zu lesende Bemerkung, Bremsen bedeute negative Beschleunigung, ist also im Allgemeinen falsch!
An Beispielen mache man sich klar:
Die Bewegung wird immer dann langsamer (d. h.: gebremst), wenn Geschwindigkeit und Beschleunigung unterschiedliche Vorzeichen haben.
6
Abbildung 4: Auslenkung (oben), Geschwindigkeit (Mitte) und Beschleunigung (unten)
eines Schraubenfederpendels als Funktion der Zeit, aufgenommen mit Viana und gezeichnet mit Excel
7
Abbildung 5: Eine Wurfbewegung
1.1.4
Beispiel 2: Der schiefe Wurf
Ein kleiner Ball wird schräg nach oben rechts geworfen (Wurf150705 2.avi, Abb. 5). Der
Nullpunkt wurde auf den Boden gelegt, die x-Achse ist nach rechts, die y-Achse nach
oben gerichtet. Die zugehörige Excel-Tabelle heißt Wurf150705.xls. Auch sie enthält die
folgenden Auswertungen und Diagramme.
Den Diagrammen in Abbildung 6 sieht man die folgenden Aussagen an (bzw. man
kann sie rechnerisch prüfen):
• Die Bahnkurve (ganz oben) ist in guter Näherung eine Parabel.
• Die x-Koordinate wächst linear mit der Zeit. Die Horizontalgeschwindigkeit vx ist
also (fast) konstant (vgl. das vx (t)-Diagramm).
• Die y-Koordinate ändert sich quadratisch mit der Zeit, die Vertikalgeschwindigkeit
vy = dy
nimmt also linear mit der Zeit ab (vgl. das vy (t)-Diagramm).
dt
• Da sich die Horizontalgeschwindigkeit nicht ändert, ist die Horizontalbeschleunigung
ax = dvdtx gleich null (nicht dargestellt).
• Da sich die Vertikalgeschwindigkeit linear mit der Zeit ändert, ist die Vertikalbeschleunigung ax = dvdtx (negativ) konstant. Dem Diagramm kann man entnehmen:
ay ≈ −9.1 sm2 .
• Der Vektor der Beschleunigung ~a = (ax , ay ) ist also während der ganzen Bewegung senkrecht nach unten gerichtet und immer gleich groß. Daraus folgt nach dem
2. Newton’schen Gesetz (s. (10), S. 13), dass auf den Körper eine konstante Kraft
nach unten wirkt: die Erdanziehungskraft!
Machen Sie sich diese Aussagen anhand möglichst vieler Zeitpunkte gründlich klar!
8
Bahnkurve y(x)
x(t)
y(t)
vx (t)
vy (t)
ay (t)
Abbildung 6: Viana-Analyse eines schiefen Wurfs: Bahnkurve (oben Mitte), Horizontalbewegung (links) und Vertikalbewegung (rechts)
9
Die folgenden Eigenschaften der Wurfbewegung sind ziemlich erstaunlich, weil sie dem
alltäglichen Verständnis von Geschwindigkeit und Beschleunigung widersprechen:
Die Beschleunigung der Bewegung ist (vektoriell!) konstant. Trotzdem ist weder die Bewegung nicht geradlinig, noch ändert sich die Schnelligkeit (das
Tempo) der Bewegung gleichmäßig: Die Bewegung wird zu Beginn immer langsamer, nach ihrem Scheitelpunkt aber immer schneller.
1.1.5
Hausaufgaben 11
1. Ein Auto bewegt sich auf der dargestellten Bahn. Dabei wird es auf dem halbkreisförmigen Teil der Bahn zwischen A und B von |~v1 | = 10 ms auf |~v2 | = 12 ms
gleichmäßig immer schneller.
Machen Sie für diesen Abschnitt der Bewegung qualitative und (wenn möglich)
quantitative Aussagen über
A
2m
B
(a) die Durchnittsgeschwindigkeit und
(b) die Durchnittsbeschleunigung des Autos.
2. Im Internet finden Sie einen kurzen Film (SpringenAusschnitt.avi), der einen
hüpfenden Ball zeigt, und die zugehörigen, mit Viana aufgenommenen, Messwerte
(AufgabeSpringen.xls). Die Darstellung der Ortskurve ergibt das folgende Bild:
10
(a) Überlegen Sie sich, entsprechend der im Vorlesungsskript enthaltenen Analyse
einer Wurfbewegung, das qualitative Aussehen der folgenden Diagramme:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x(t)-Kurve,
y(t)-Kurve,
vx (t)-Kurve,
vy (t)-Kurve,
ax (t)-Kurve,
ay (t)-Kurve,
Ekin (t)-Kurve,
EL (t)-Kurve und
Eges (t)-Kurve.
(b) Versuchen Sie, einige dieser Diagramme mit Excel zu erzeugen:
i. y(t)-Diagramm,
ii. vy (t)-Diagramm und
iii. ay (t)-Diagramm.
(c) Was können Sie aus diesen Diagrammen ablesen?
1.2
Dynamik
In der Dynamik wird der Zusammenhang zwischen Kräften und Bewegungen untersucht.
1.2.1
Die Newton’schen Gesetze der Mechanik
Der zentrale physikalische Begriff der Dynamik ist der Kraftbegriff. Es ist einer der schwierigsten Begriffe der klassischen Physik. Der wesentliche Grund für die Schwierigkeiten, die
Lernende mit dem Kraftbegriff haben, liegt darin begründet, dass in der Physik der Kraftbegriff ganz anders verwendet wird als im täglichen Leben.
11
Was in der Physik unter Kraft verstanden wird, wird im Wesentlichen durch die drei
Newton’schen Gesetze beschrieben. Diese Gesetze werden deshalb zunächst zusammengefasst und kurz erläutert, bevor die zugrunde liegenden Ideen ausführlicher erläutert
werden.
• Das 3. Newton’sche Gesetz ist das Wechselwirkungsprinzip:
3. Newton’sches Gesetz:
Immer wenn ein Körper A auf Körper B eine Kraft ausübt, übt
umgekehrt Körper B auf A eine Kraft aus. Die beiden Kräfte
sind gleich groß und haben entgegengesetzte Richtung.
Das Besondere an diesem Gesetz ist, dass es keinen Unterschied zwischen den beiden
beteiligten Körpern macht: Es unterscheidet nicht zwischen einem aktiven“ und
”
einem passiven“ Körper, bezeichnet keinen der beiden Körper als Ursache“ für
”
”
die Kraft. Körper wechselwirken miteinander; sie können gar nicht anders. Und sie
tun das in völlig symmetrischer Weise2 . Und: Da Kräfte die Wechselwirkung(WW)
zwischen Körpern beschreiben, treten sie immer zwischen verschiedenen Körpern
auf: Körper können keine Kräfte auf sich selbst ausüben.
• Das 1. Gesetz macht eine Aussage über das Kräftegleichgewicht bei einem Körper:
1. Newton’sches Gesetz:
Ein Körper im Kräftegleichgewicht (bei dem die (Vektor-) Summe der angreifenden Kräfte null ist), ruht oder bewegt sich
geradlinig mit konstanter Schnelligkeit.3
Das Besondere an diesem Gesetz ist, dass zwischen Ruhe und geradlinig gleichförmiger Bewegung nicht unterschieden wird. Es war das große Verdienst Galileo Galileis,
dass er die Frage Warum bewegt sich dieser Körper?“ durch die Frage Warum be”
”
wegt sich der Körper nicht mit konstanter Geschwindigkeit?“ ersetzt hat. Man muss
nicht nach der Ursache einer Bewegung suchen, sondern nach der Ursache dafür,
dass ein Körper (z.B.) schneller oder langsamer wird.
• Das 1. Newton’sche Gesetz ist eine Idealisierung der Erfahrungen, die man mit
abnehmender Reibung machen kann:
– Ein durch einen Stoß in Bewegung gesetzter Körper kommt mehr oder weniger
schnell zur Ruhe. Das täte er ohne äußere Einflüsse (im Weltraum) nicht. Also
muss er durch Wechselwirkung mit einem anderen Körper gebremst werden
(z.B. durch Reibung mit der Unterlage oder durch Luftreibung).
2
genauer: Wenn ein solcher Vorgang unsymmetrisch ist, dann ist der Kraftbegriff nicht geeignet, diese
Unsymmetrie zu beschreiben.
3
Meist wird dieses Gesetz folgendermaßen formuliert: Ein kräftefreier Körper . . .“ oder Ein Körper,
”
”
auf den von außen keine Kraft wirkt, . . .“. Die hier gewählte Formulierung ist deutlich allgemeiner.
12
– Man kann versuchen, diesen äußeren Einfluss immer weiter zu reduzieren (durch
Gleitmittel, windschnittige Form, . . . ). Dann dauert es immer länger, bis der
Körper zur Ruhe kommt. Könnte man die Reibung völlig verhindern, käme der
Körper gar nicht mehr zur Ruhe.
– Wenn sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, obwohl er durch
Wechselwirkung mit einem anderen Körper gebremst wird, dann muss es einen
weiteren Körper geben, der eine Kraft nach vorn auf ihn ausübt. Beispiel:
Horizontales Ziehen eines Wagens
• Das 2. Newton’sche Gesetz wird auch als Grundgesetz der Mechanik bezeichnet:
2. Newton’sches Gesetz:
Wenn die Gesamtkraft auf einen Körper, d. h. die (Vektor-)
Summe der auf ihn einwirkenden Kräfte, konstant ist, ist seine Beschleunigung konstant. Diese Beschleunigung ist proportional zur einwirkenden Gesamtkraft und hat dieselbe Richtung. Die Proportionalitätskonstante heißt die (träge) Masse
des Körpers
~ges = m~
F
a
(10)
Das Besondere an diesem Gesetz ist, dass es nicht einen Zusammenhang zwischen
der auf einen Körper aufgeübten Kraft und seiner Geschwindigkeit herstellt, sondern
zwischen Kraft und Beschleunigung: Ein Körper ändert durch eine auf ihn ausgeübte
Kraft seine Bewegung, er wird beschleunigt.
Erläuterungen:
– Die Beschleunigung eines Körpers ist (bei konstanter Masse) proportional zur
(Gesamt-) Kraft, die auf ihn ausgeübt wird.
– Die Beschleunigung eines Körpers ist (bei konstanter (Gesamt-) Kraft) umgekehrt proportional zu seiner Masse.
– Die Beschleunigung eines Körpers hat dieselbe Richtung wie die (Gesamt-)
Kraft, die auf ihn ausgeübt wird! (Machen Sie sich diese Aussage klar!)
– Die Kraft, die einem Körper der Masse m = 1kg die Beschleunigung a = 1 sm2
erteilt, hat die Größe F = 1N:
1N = 1kg
13
m
s2
(11)
Abbildung 7: Gewicht und Gewichtheber verformen sich gegenseitig.
1.2.2
Mechanische Wechselwirkungen
Das WW-Prinzip, das oft erst am Ende des Abschnittes über den Kraftbegriff behandelt
wird, macht deutlich, was in der Physik mit dem Begriff Kraft“ gemeint ist: Mit diesem
”
Begriff werden Wechselwirkungen zwischen Körpern beschrieben. Immer wenn ein Vorgang mit dem Kraftbegriff beschrieben wird, müssen (mindestens) zwei Körper beteiligt
sein! Die Konsequenzen und die dadurch entstehenden Unterschiede zu der alltäglichen
Verwendung dieses Wortes werden in der PP-Präsentation Wechselwirkung.ppt durch
Bilder aus Schulbüchern veranschaulicht (siehe auch [5] und [6], die auch in den Vorlesungsmaterialien im Internet enthalten sind).
• Die Bilder betonen einen Aspekt mechanischer Vorgänge, der oft übersehen wird:
Wenn ein Körper einen anderen beeinflusst, dann wird er seinerseits von dem anderen beeinflusst:
– Wenn ein Fußballspieler einen Ball mit dem Kopf aus seiner Bewegung ablenkt,
dann muss auch sein Kopf eine ganze Menge aushalten.
– Wenn sich die Stange eines Gewichtes durchbiegt, weil ein Gewichtheber es in
die Höhe stößt, dann wird der Sportler seinerseits durch das Gewicht (fast)
zusammengedrückt (Abb. 7).
– Wenn ein Kind an einem Hund zieht, zieht auch der Hund an dem Kind.
– ...
• Es scheint aber auch Gegenbeispiele zu geben, bei denen nur ein Körper verformt,
beschleunigt oder abgelenkt wird – z. B. wenn ein Auto gegen eine Wand fährt, ein
Pkw und ein Lkw zusammenstoßen, ein Kind sich an einem harten Gegenstand den
Kopf stößt, . . .
In allen diesen Fällen kann man aber, u. U. erst bei sehr genauem Hinsehen, bemerken, dass auch der zweite Körper eine (evtl. sehr kleine) Änderung erfährt: Er wird
etwas verformt, etwas aus seiner Bahn abgelenkt, . . . .
14
Abbildung 8: Kann sich Münchhausen selbst aus dem Sumpf ziehen?
• Verallgemeinerung:
Körper wechselwirken miteinander: Immer wenn ein Körper
einen anderen beeinflusst, beinflusst umgekehrt auch der andere den einen.
Gemeint sind mechanische Wechselwirkungen, die an Verformungen oder Beschleunigungen erkennbar sind.
• Dieser Satz unterscheidet nicht zwischen lebenden und unbelebten Partnern (Kind
stößt sich von Geländer ab.), nicht zwischen aktiven und passiven Partnern (Karatekämpfer zerschlägt Holzstapel.).
• Da es sich immer um eine Wechselwirkung zwischen verschiedenen Partnern handelt,
– kann sich Münchhausen nicht selbst aus dem Sumpf ziehen (Abb. 8),
– kann sich die Lokomotive Emma“ 4 nicht an einem mit ihr verbundenen Ma”
gneten vorwärts (oder gar in die Höhe!) ziehen lassen.
• Arten von Wechselwirkung:
– bei Berührung: Stoß, Reibung
– bei Entfernung mittels Seilen, Stangen, . . .
– ohne Hilfsmittel bei Entfernung: Gravitation, elektromagnetische Wechselwirkung
4
M. Ende, Jim Knopf und Lukas der Lokomotivführer
15
1.2.3
Der Kraftbegriff
• Die Kraft ist die physikalische Größe, mit der beschrieben wird, wie heftig zwei
Körper miteinander wechselwirken:
– Je stärker sich zwei Körper gegenseitig verformen,
– je schneller sie gegenseitig ihren Bewegungszustand verändern,
desto größer ist die Kraft, die sie gegenseitig aufeinander ausüben.
• Sprechweisen:
– Körper A und B wechselwirken mit einer Kraft F.
– Körper A und B üben wechselseitig eine Kraft F aufeinander aus.
– A übt eine Kraft auf B aus, und B übt eine Kraft auf A aus.
• Kräfte zwischen zwei Körpern können mit Schraubenfedern gemessen werden (Federkraftmesser).
Was zeigt eine gedehnte Schraubenfeder zwischen zwei Körpern A und B an, was
misst ein Kraftmesser?
– die Kraft, die A auf B ausübt, oder
– die Kraft, die B auf A ausübt, oder
– die Stärke, mit der die beiden wechselwirken?
Ohne B könnte A die Feder nicht zusammendrücken, ohne A könnte B das aber
auch nicht!
• Verschiedene Sprechweisen:
– B übt auf A eine Kraft aus.
– Auf A wird eine Kraft ausgeübt.
– Auf A wirkt eine Kraft; an A greift eine Kraft an.
Diese Formulierungen meinen alle dasselbe, aber die in dem 3. Newton’schen Gesetz
zum Ausdruck kommende Symmetrie wird zunehmend undeutlicher: In der letzten
Sprechweise kommt der andere Körper überhaupt nicht mehr vor.
• Für die im Wechselwirkungsprinzip vorkommenden WW-Kräfte gilt:
WW-Kräfte
– treten immer gleichzeitig auf.
– sind immer von derselben Art (Gravitationskräfte, elektromagnetische Kräfte, Kontaktkräfte).
– greifen immer an unterschiedlichen Körpern an.
– sind immer gleich groß.
– sind immer entgegengesetzt gerichtet.
Zu jeder Kraft gibt es einen WW-Partner.
16
1.2.4
Hausaufgaben 12
1. Informieren Sie sich über das Wechselwirkungsprinzip! Lesen Sie dazu im Tipler und
die beiden Aufsätze Das 3. Newton’sche Gesetz und der physikalische Kraftbegriff“
”
([5]) und Die Kraft ist ein Zwillingspaar“ ([6]), die Sie im Internet finden.
”
2. Finden Sie (scheinbare) Gegenbeispiele zum WW-Prinzip!
3. Ein Kind zieht mit einem Seil an einem Baum. Mit einem Kraftmesser wird dabei
die Kraft gemessen, mit der das Kind zieht. Anschließend löst ein zweites Kind das
Seil vom Baum, sodass das erste Kind weiterhin gleich stark ziehen kann. Was zeigt
der Kraftmesser an?
4. Ein Pferd weigert sich, einen Karren zu ziehen. Es argumentiert folgendermaßen:
Nach dem WW-Prinzip führt jede Kraft, mit der ich den Karren ziehe, zu einer
”
gleich großen und entgegengesetzt gerichteten Gegenkraft, mit der der Karren mich
zurückzieht. Damit ist die Gesamtkraft null, und ich habe gar keine Chance, den
Karren in Bewegung zu setzen.“ Was ist an dieser Argumentation falsch?
5. Ein Schlitten wird von einem Hund mit konstanter Geschwindigkeit über das Eis
gezogen.
(a) Fertigen Sie eine Zeichnung an, und zeichnen Sie Pfeile für alle auf den Schlitten
wirkenden Kräfte.
(b) Zeichnen Sie zu jeder dieser Kräfte die WW-Kraft.
6. Geben Sie Beispiele für Wechselwirkungen an, bei denen
(a) beide Partner ihre Bewegung ändern,
(b) beide Körper verformt werden,
(c) ein Körper sowohl verformt wird als auch seine Bewegung ändert,
(d) nur einer der Körper seine Bewegung ändert.
17
7. Eine Kraft F~0 beschleunige einen Körper der Masse m mit einer Beschleunigung
von a = 5 sm2 . Bestimmen Sie die Größe und die Richtung der Beschleunigung des
Körpers, wenn
(a) eine zweite gleich große Kraft im rechten Winkel zu der ersten
(b) eine zweite doppelt so große Kraft im Winkel von 45◦ zu der ersten
an dem Körper angreift.
1.2.5
Die Kraft als Vektor
• Der Kraftvektor hat einen Angriffspunkt und eine Richtung, die die Richtung der
Einwirkung auf einen Körper beschreibt. Der Anfang des Vektors (nicht seine Spitze!) sollte in Zeichnungen immer an die Stelle des Körpers gezeichnet werden, an
der ein anderer Körper an ihm zieht oder drückt. Gegen diese Regel wird in Bildern
häufig verstoßen!
• Die gemeinsame Wirkung zweier Kräfte, die an demselben (!) Körper angreifen,
ergibt sich durch Vektoraddition der beiden Teilkräfte.
Beispiele:
1. Das Halten eines Körpers an zwei Seilen (Abb. 9),
2. Wagen auf schiefer Ebene (Abb. 10)
18
Abbildung 9: Je größer der Winkel ist, den zwei an demselben Körper angreifenden Kräfte
miteinander bilden, desto größer müssen sie sein, um dieselbe Gesamtwirkung zu erzielen.
Abbildung 10: Auf einen Körper auf einer schiefen Ebene wirken zwei Kräfte: die Erdanziehungskraft und die Kraft, die die Unterlage auf den Körper ausübt. Letztere steht
senkrecht auf der Ebene, wenn es zwischen Körper und Ebene keine Reibung gibt.
19
Die Wirkungen zweier Kräfte, die an einem Punkt eines Körpers angreifen, lässt sich auch mit einer einzigen Kraft erreichen. Diese Kraft heißt die Resultierende der beiden Kräfte.
Richtung und Größe der Resultierenden ergeben sich durch
Vektoraddition der Einzelkräfte (Parallelogrammregel).
ACHTUNG Die Resultierende sollte immer in einer anderen Farbe gezeichnet
werden, um den Eindruck zu vermeiden, es griffe eine zusätzliche kraft an dem
Körper an.
• Vorgehen bei der Analyse von Kräften bei bekannter Bewegung des Körpers:
1. Bewegt sich der betrachtete Körper mit konstanter Geschwindigkeit?
– wenn ja, muss die Summe der angreifenden Kräfte null sein,
– wenn nein, muss die Resultierende die Richtung der Beschleunigung haben.
2. Einzeichnen der bekannten Kräfte auf den Körper: Welcher andere Körper übt
diese Kraft aus?
3. Wenn die Resultierende noch nicht richtig ist: Mit welchen weiteren Körpern
wechselwirkt der betrachtete Körper?
4. Kräfte auf unterschiedliche Körper mit verschiedenen Farben!
5. Resultierende mit anderer Farbe als die Einzelkräfte!
1.2.6
Trägheitssatz und Kräftegleichgewicht
• Der Trägheitssatz ist ein Spezialfall des 1. Newton’schen Gesetzes:
Ein Körper, auf den keine Kraft ausgeübt wird, bewegt sich
geradlinig gleichförmig. (Trägheitssatz)
Er bezieht sich auf einen Körper, an dem gar keine Kräfte angreifen.
• Kräftegleichgewicht
Scheinbar muss als Umkehrung des Trägheitssatzes gelten: Jeder Körper, auf den
eine Kraft ausgeübt wird, ändert seine Bewegung. Das gilt aber nicht, wenn weitere
Körper im Spiel sind.
Immer wenn ein Körper seine Bewegung nicht ändert, obwohl eine Kraft
auf ihn ausgeübt wird, müssen weitere Körper mit ihm wechselwirken.
Man sagt: Die auf den Körper ausgeübten Körper befinden sich
im Gleichgewicht. Oder: Der Körper befindet sich im Kräftegleichgewicht.
• Beispiele und Erläuterungen:
20
Abbildung 11: Beim Start wird das Auto von der Straße angeschoben“. (Muckenfuß)
”
– Wenn Kinder auf Schlittschuhen sich gegenseitig stoßen, oder wenn ein Kind
das andere stößt (das läuft auf dasselbe hinaus!), fahren sie auseinander, es sei
denn, sie können sich an einer Bande oder durch Querstellen eines Schlittschuhs
festhalten – durch WW mit einem dritten Körper!
– Zum Fahren mit konstanter Geschwindigkeit ist fast immer eine Kraft in Bewegungsrichtung erforderlich. Ursache: Durch WW mit einem anderen Körper
(Untergrund, Luft: Reibung) würde sonst die Bewegung gebremst.
– Körper in Ruhe auf einem Tisch oder an einer Aufhängung: Der Körper bleibt
in Ruhe, obwohl er von der Erde nach unten gezogen wird (Schwerkraft). Er
muss also ebenso stark nach oben gedrückt (durch Tisch) oder gezogen (durch
Aufhängung) werden.
• Reibung als WW zwischen zwei Körpern:
– Reibung als Ursache für Abbremsung (Experiment: Kraft auf Unterlage kann
nachgewiesen werden: Bei schwerem Gewicht rutscht der Tisch. Leichter nachweisbar bei zwischengelegtem Papier)
– Reibung als Ursache des Anfahrens: Auto wird von Straße nach vorn gescho”
ben“, dafür wird die Straße vom Auto nach hinten gedrückt (Abb. 11).
• Vergleich zwischen Gleichgewichtspaaren (nach Newton 1) und WW-Paaren (nach
Newton 3):
Gleichgewichts-Kraftpaare
gleich groß.
entgegengesetzt gerichtet.
meist von unterschiedlicher Art
greifen immer an demselben Körper an
1.2.7
WW-Kraftpaare
gleich groß.
entgegengesetzt gerichtet.
immer von derselben Art
greifen immer an verschiedenen Körpern an
Übungen zu Kräftegleichgewicht und -addition (nach [6])
• Kräftegleichgewicht und WW-Prinzip beim Tauziehen (Abb. 12): Wenn zwei Personen über ein Seil aneinander ziehen, sind die Kräfte, die sie aufeinander ausüben,
21
Abbildung 12: Welche Mannschaft zieht stärker an der anderen?
Abbildung 13: Zieht der Trecker den Anhänger oder der Anhänger den Trecker?
grundsätzlich gleich groß (WW-Prinzip) – unabhängig davon, wer gewinnt“. Ob
”
dabei eine Person umfällt, hängt davon ab, ob es ihr gelingt, aufgrund einer Kraft,
die der Boden ausübt, im Kräftegleichgewicht zu bleiben.
• Kräftegleichgewicht und WW-Prinzip bei Trecker und Anhänger (Abb. 13):
– Wenn das Gespann ruht oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt,
befinden sich Trecker und Anhänger im Kräftegleichgewicht. Die Summe der
an ihnen angreifenden Kräfte muss also null sein.
– Da Trecker und Anhänger über die Wagendeichsel aneinander ziehen, muss der
Boden auf beide je eine weitere Kraft ausüben: eine Kraft nach vorn auf den
Trecker, eine Kraft nach hinten auf den Hänger. Diese beiden Kräfte beruhen
auf Reibung zwischen Boden und Reifen.
– Im Falle des Kräftegleichgewichts sind alle diese Kräfte gleich groß.
– Wenn das Gespann beschleunigt (sich gerade in Bewegung setzt), muss sowohl
auf Trecker als auch auf Anhänger insgesamt eine Kraft nach vorm wirken.
Beim Trecker muss die Reibungskraft also größer sein als die vom Hänger auf
ihn ausgeübte Kraft. Beim Hänger muss die Reibungskraft kleiner sein als die
Zugkraft des Treckers.
22
1.2.8
Hausaufgaben 13
1. Die Gravitationskraft, die von der Erde auf einen Körper ausgeübt wird, der sich in
der Höhe h über der Erdoberfläche befindet, ist
Fg = mg
2
RE
(RE + h)2
Darin ist RE R ≈ 6370km der Erdradius und g die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche.
(a) Welche Gewichtskraft wirkt auf einen Mann der Masse m = 80kg an der Erdoberfläche?
(b) Wie groß ist seine Gewichtskraft in einer Höhe h = 300km über der Erde?
(c) Wie groß ist dort seine Masse?
2. In den folgenden Bildern sind Körper mit Federkraftmessern verbunden. Was zeigen
die Federkraftmesser in den Fällen a) bis d) an, wenn man die Masse der Seilstücke
und die Reibung der Rollen und der schiefen Ebene vernachlässigt?
3. Force-Concept-Inventory- (FCI-) Test (im Netz): Fragen 2, 5, 11, 13, 14, 18, 19, 20,
28, 29
23
2
Der Energiebegriff
2.1
2.1.1
Elektromagnetische Induktion und Energieprinzip
Elektromotor und Generator
• Symmetrie von Elektromotor und Generator:
– Experiment: Der Handgenerator kann sowohl als Generator, als auch als Motor betrieben werden.
– Experiment: Ein Generator-/Motor-Demonstrationsgerät wirkt als Generator, wenn sich die Spule mit dreht, (Abb. 14, oben links und unten Mitte)
und als Motor, wenn es an ein Gleichspannungsnetzgerät angeschlossen wird
(Abb. 14, oben Mitte).
– Experiment: Das Vorderrad eines Fahrrades kann mit dem Dynamo als Motor angetrieben werden, wenn der Dynamo an eine Wechselspannungsquelle
angeschlossen und das Rad angeworfen“ wird (Abb. 15).
”
• Analyse:
– In dem Generator-Modell (Abb. 14) bewegen sich Spulen in der Nähe von
Dauermagneten.
– Experiment: Durch heftige Bewegung eines Dauermagneten in einer Spule
mit 600 Windungen kann ein kleines Lämpchen zum Aufleuchten gebracht werden (Abb. 16). Wird umgekehrt ein Strom durch die Spule geschickt, wird sie
von einem Pol des Dauermagneten angezogen, bzw. bei anderer Stromrichtung
abgestoßen.
– Information:
Eine Spule wird zu einem Magneten, wenn ein elektrischer Strom hindurchfließt. Der Magnet ist umso stärker, je größer die Stromstärke
ist. Wenn die elektrischen Anschlüsse vertauscht werden, der elektrische Strom also seine Richtung ändert, dann wird aus dem Nordpol
ein Südpol und umgekehrt.
Umfasst man die Wicklungen einer Spule so mit den Fingern der rechten Hand, dass die Finger in Richtung des
elektrischen Stromes zeigen, dann zeigt der Daumen zum
magnetischen Nordpol der Spule.
– Generator und Motor können weiter vereinfacht werden, indem die Spule durch
einige Kabelwindungen und schließlich durch eine einzige Kabelschlinge ersetzt
werden (siehe die letzte Vorlesung Einführung in die Physik 1“ des Winterse”
mesters!): Bei Bewegung zeigt ein empfindliches Messgerät einen Ausschlag, bei
Stromfluss wird die Schlinge von einem Magnetpol angezogen oder abgestoßen.
• Wenn durch eine Kabelschlinge ein elektrischer Strom fließt wird sie zu einem Magneten. Durch geeignetes Ein- und Abschalten des Stromes kann dadurch in der
Nähe eines Magneten Bewegung erzeugt werden ( Motorprinzip“)
”
24
Abbildung 14: oben: Mit dem Generator (links) wird ein Motor (Mitte) betrieben. unten:
Der laufende Motor (Mitte) wird durch Umlegen eines Schalters zum Generator und
betreibt eine Zeitlang eine Glühlampe (rechts).
25
Abbildung 15: Der Fahrraddynamo als Hilfsmotor
Abbildung 16: Ein sehr einfacher Generator“
”
26
Abbildung 17: Bei Annäherung des Magneten wird der Aluminiumring abgestoßen.
• Wenn eine Kabelschlinge in der Nähe eines Magneten bewegt wird, wird in ihr (durch
so genannte elektromagnetische Induktion) ein elektrischer Strom erzeugt ( in”
duziert“) ( Generatorprinzip“).
”
2.1.2
Induktion und Energieerhaltung
• Experiment: Einem beweglich aufgehängtem Ring aus Aluminium wird ein Stabmagnet mit einem Pol genähert (Abb. 17).
Beobachtung: Bei Annäherung wird der Ring abgestoßen, bei Entfernung wird er
angezogen.
Erklärung: Durch die Annäherung des Magnetpoles wird in dem Ring ein elektrischer
Strom induziert. Der dadurch entstandene Magnet ist offensichtlich so gepolt, dass
er sich mit dem sich nähernden Dauermagneten abstößt. Anders kann es auch nicht
sein: Mit dem Strom in dem Ring kann (im Prinzip) eine Lampe oder ein Motor
betrieben werden. Wenn sich Magnet und Ring anziehen würden, würde die nur
wenig angestoßene Bewegung von allein immer heftiger werden: Am einen Ende
des Stromkreises würde eine Lampe zum Leuchten gebracht, am Ende ein Motor
betrieben: Wir hätten ein Perpetuum mobile5 .
• Der Versuch ist also ein Ausdruck der Tatsache, dass Energie nicht aus dem Nichts
entsteht, sondern dass sie nur von einem anderen Körper übertragen werden kann:
Man muss sich anstrengen, um die Lampe zum Leuchten zu bringen!
Aus historischen Gründen wird dieser Ausdruck des Energieprinzips oft noch als
Lenz’sche Regel bezeichnet:
5
Eine Vorrichtung, die ständig Energie liefert, ohne dass ihr Energie zugeführt wird, nennt man in der
Physik ein Perpetuum mobile 1. Art.
27
Stromrichtung
Stromrichtung
Drehrichtung
Drehrichtung
Abbildung 18: Anwendung von Polregel und Lenz’scher Regel auf Elektromotor (links)
und Generator (rechts)
Bei der elektromagnetischen Induktion ist der induzierte elektrische Strom
stets so gerichtet, dass durch ihn die Bewegung, die ihn hervorruft, gebremst wird.
• Mit diesen Erkenntnissen lassen sich sowohl Elektromotor als auch Generator besser
verstehen:
– Beim Elektromotor muss die sich drehende Spule stets so gepolt sein, dass
sich ihre Magnetpole in der Nähe gleichnamiger Pole eines anderen Magneten
befinden und dadurch abgestoßen werden (Abb. 18 links). Wenn sich die Spule
so weit gedreht hat, dass sich ihre Pole den ungleichnamigen gegenüber stehen,
muss der Strom in der Spule die Richtung ändern oder zumindest abgeschaltet
werden.
– Beim Generator fließt der induzierte Strom immer so, dass die Pole des entstandenen Elektromagneten von den Polen des Dauermagneten angezogen werden
(Abb. 18 rechts). Dadurch muss Energie aufgewendet werden, um die Spule zu
drehen.
2.1.3
Hausaufgaben 6
1. Erläutern Sie anhand einiger Skizzen die prinzipielle Funktion eines Gleichstrommotors!
2. Erläutern Sie anhand einiger Skizzen die prinzipielle Funktion eines Wechselstromgenerators!
28
3. (Tipler, S. 925, Aufgabe 28.1) Zwei Leiterschleifen sind parallel zueinander angeordnet. In der (linken) Schleife A fließt, von links gegen die Ebenen der Schleifen
gesehen, ein Strom entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn. In welcher Richtung fließt
der Strom in der Schleife B, wenn
(a) die Schleife A der Schleife B genähert wird?
(b) die Stromstärke in Schleife A zunimmt?
(c) die Stromstärke in Schleife A abnimmt?
Geben Sie jeweils an, ob die Schleifen einander abstoßen oder anziehen!
4. Stellen Sie aufgrund Ihres Ergebnisses in Teil a) der vorangehenden Aufgabe eine
Hypothese über die Kraftwirkung zwischen zwei stromdurchflossenen Kabeln auf,
die in der kommenden Vorlesung experimentell überprüft werden kann!
2.2
2.2.1
Energiemessungen und thermische Energie
Thermische Energie und ihre Messung
• Wenn elektrische Geräte betrieben werden, wird Energie von der Quelle zum Gerät
übertragen. Bei vielen Vorgängen ist die Energie weg“, wenn das Gerät ausgeschal”
tet wird, z.B. bei Lampen. In anderen Fällen dagegen hinterlässt die Energie eine
leicht zu bemerkende Spur“, z.B. beim Erwärmen von Wasser. In diesen Fällen kann
”
man versuchen, noch nachträglich zu bestimmen, wieviel Energie von der Quelle bezogen worden ist.
• Am Beispiel der Erwärmung von Wasser kann dieses Problem in eine der folgenden
Fragen gefasst werden:
– Wie sieht“ man dem Wasser an“, wie viel Energie ihm zugeführt worden ist?
”
”
– Wie viel Energie ist nötig, um Wasser zu erwärmen?
– Wie ist der Zusammenhang zwischen der zugeführten Energie ∆E, der Temperaturerhöhung ∆ϑ des Wassers und der Menge des erwärmten Wassers (gemessen als Masse m)?
• Experiment: Zur Untersuchung dieser Frage wird Wasser mit einem Tauchsieder
erwärmt. Die Temperatur wird mit einem Temperaturfühler mit elektronischer Digitalanzeige, die zugeführte Energie mit einem Elektrizitätszähler gemessen, indem
die Zahl n der Umdrehungen seiner Scheibe gezählt wird.
U
Der Zähler hat eine Zählerkonstante von 600 kWh
, das bedeutet: Eine Umdrehung
1
1
der Zählerscheibe zeigt eine Energie von 600 kW h = 600
3600kJ = 6kJ an.
1. Zunächst wird Wasser der Masse m = 2.0kg erwärmt.6
6
Die Temperatur ϑ wird in Grad Celsius (◦ C) gemessen. Temperaturänderungen ∆ϑ werden dagegen
in Kelvin (K) angegeben. Temperaturdifferenzen haben in ◦ C und in K denselben Zahlenwert.
29
ϑ in ◦ C
6
x
x
x
40
x
x
x
30
x
20 x
x
10
- ∆E
in kJ
100
200
Abbildung 19: Die Temperatur ϑ von 2 Liter Wasser als Funktion der zugeführten Energie
∆E
n t in s ϑ in ◦ C
0
0
20.0
5
30
22.1
10
60
26.1
15
90
30.0
20 120
33.3
25 150
36.7
30 180
40.5
35 210
43.4
40 240
46.8
∆E in kJ
∆ϑ in K
30
60
90
120
150
180
210
240
2.1
6.1
10.0
13.3
16.7
20.5
23.4
26.8
∆E
∆ϑ
in
kJ
K
14.3
9.8
9.0
9.0
8.9
8.8
9.0
9.0
Die grafische Darstellung der Temperatur über der zugeführten Energie ergibt
in sehr guter Näherung eine Gerade (Abb. 19): Der Zusammenhang zwischen
Temperatur und zugeführter Energie ist linear.
Trägt man statt der Temperatur ϑ die Temperaturänderung ∆ϑ = ϑ − ϑAnf ang
über der zugeführten Energie auf (Abb. 20), dann ergibt sich eine Gerade durch
den Ursprung:
Die Temperaturzunahme des Wassers ist proportional zur zugeführten
Energie, d.h. der Quotient aus Energiezufuhr und Temperaturzunahme
hat immer denselben Wert.
⇐⇒
30
∆ϑ ∼ ∆E
∆E
= const.
∆ϑ
(12)
(13)
∆ϑ in K
6
x
x
x
x
20
x
x
x
x
10
x
x
x
x
x
- ∆E
x
in kJ
100
200
Abbildung 20: Die Temperaturerhöhung ∆ϑ von 2 Liter (3 Liter) Wasser als Funktion der
zugeführten Energie ∆E. Die gegenüber Abb. 19 größere Steigung der blauen Kurve ist
die Folge eines geänderten Maßstabes.
Diese Konstante nennt man die Wärmekapazität C. Für die untersuchte
Wassermenge hat die Wärmekapazität den Wert
C=
kJ
240kJ
= 9.0 .
26.8K
K
2. Die Erwärmung von m = 3.0kg Wasser führt zu folgenden Ergebnissen:
n t in s ϑ in ◦ C
0
0
21.9
10
60
26.0
20 120
31.1
30 180
35.1
40 240
40.4
50 300
44.5
∆E in kJ
∆ϑ in K
60
120
180
240
300
4.1
9.2
13.2
18.5
22.6
∆E
∆ϑ
in
kJ
K
14.6
13.0
13.6
13.0
13.3
Ergebnis: Wieder sind Temperaturerhöhung und zugeführte Energie proportional zueinander. Allerdings hat die Wärmekapazität diesmal einen anderen
Wert:
C=
300kJ
kJ
= 13.3
22.6K
K
3. Die Wärmekapazität der größeren Wassermenge ist größer als die der kleineren. (Das ist klar: Um mehr Wasser zu erwärmen, ist mehr Energie nötig.)
Anscheinend ist sie proportional zur Masse:
31
C
m
C in kJ
K
9.0
13.3
m in kg
2.0
3.0
kJ
in kg·K
4.5
4.4
Das bedeutet: Bei der doppelten Wassermenge benötige ich doppelt so viel
Energie, um dieselbe Temperaturerhöhung zu erzielen. Das konnte auch erwartet werden: Mit dem Tauchsieder könnte zunächst die eine Wassermenge und
dann noch einmal dieselbe Wassermenge erwärmt werden. Beides dauert sicher
gleich lange (weil der Tauchsieder gleichmäßig Energie abgibt). Es wird also
insgesamt doppelt so viel Energie abgegeben.
Die Wärmekapazität ist proportional zur Masse des erwärmten Stoffes, der
Quotient aus Wärmekapazität und Masse ist also unabhängig von der Menge
des erwärmten Stoffes.
C ∼ m
C
= const.
m
⇐⇒
2.2.2
(14)
(15)
Die spezifische Wärmekapazität
• Die Proportionalitätskonstante c in (15) heißt die (für einen bestimmten Stoff) spezifische Wärmekapazität. Sie hängt nur von der Art des erwärmten Stoffes, nicht
aber von seiner Masse ab.
C
=: c
m
⇐⇒
C = mc
(16)
Für die spezifische Wärmekapazität von Wasser hat sich im Experiment der folgende
Wert ergeben:
cW asser = 4.45
kJ
kg · K
Dieser Wert ist etwas zu groß, weil nicht alle Energie im Wasser bleibt, sondern an
die Umgebung abgegeben wird. Dadurch muss mehr Energie zugeführt werden, um
eine bestimmte Temperaturerhöhung zu erreichen.
Der wirkliche Wert für die spezifische Wärmekapazität von Wasser ist
cW asser = 4.19
kJ
kg · K
• Damit ist das zu Beginn gestellte Problem gelöst:
32
(17)
Für Wasser (wie für andere Stoffe auch) wird der Zusammenhang zwischen Energiezufuhr und Temperaturerhöhung durch
die folgende Gleichung beschrieben:
∆E = mc∆ϑ
(18)
Dabei ist c die so genannte spezifische Wärmekapazität des
erwärmten Stoffes.
• Mit Hilfe dieser Beziehung sieht“ man einem Topf Wasser (durch Temperaturmes”
sung!) an“, wie viel Energie ihm zugeführt worden ist. Sie gibt Antworten auf (z.
”
B.) die folgenden Fragen:
1. Wie viel Energie muss man einer bestimmten Menge Wasser zuführen, damit
die Temperatur um einen vorgegebenen Betrag steigt?
2. Wie viel Energie kann man einer bestimmten erwärmten Wassermenge entnehmen, bis ihre Temperatur auf Umgebungstemperatur abgenommen hat?
3. Oder zusammengenommen: Wie viel mehr (oder weniger) Energie enthält eine
bestimmte Menge Wasser, wenn sich seine Temperatur um ∆ϑ geändert hat?
Die Energiezufuhr ändert deshalb die Energie, die in dem Wasser enthalten ist. Das
ist der Grund für die bereits verwendete Schreibweise:
∆E = EEnde − EAnf ang (= EA − EE = E2 − E1 )
(19)
• Information: Wenn man entsprechende Experimente mit anderen Flüssigkeiten
macht, erhält man ganz entsprechende Ergebnisse – nur mit anderen Werten für die
spezifische Wärmekapazität:
Flüssigkeit
Wasser
Alkohol
Glycerin
Petroleum
Quecksilber
kJ
c in kg·K
4.19
2.40
2.39
2.00
0.14
Auffällig an diesen Werten ist, dass Wasser mit deutlichem Abstand die größte
spezifische Wärmekapazität hat.
• Beispiel: Wie viel Energie ist für die Erwärmung von Badewasser erforderlich?
Wieviel kostet also ein Vollbad?
Antwort: Für ein Bad müssen 200 Liter Leitungswasser der Temperatur ϑ1 = 15◦ C
auf Badewassertemperatur ϑ2 = 38◦ C erwärmt werden. Die erforderliche Energie ist
also
33
∆E = 200kg · 4.19
kJ
kJ
(38◦ C − 15◦ C) = 838
= 19274kJ = 5.35kW h
kg · K
K · 23K
Da eine Kilowattstunde etwa 15 Cent kostet, kostet das Vollbad etwa 80 Cent.
2.2.3
Hausaufgaben 7
1. Wie groß war die Leistung des in der Vorlesung benutzten Tauchsieders?
2. Ein Wasserkocher hat eine Leistung von 1750W. Wie lange braucht er, um ein Liter
Wasser von 10◦ C zum Sieden zu bringen?
3. Ein Durchlauferhitzer erhöht die Temperatur des fließenden Wassers von 15◦ C auf
60◦ C.
(a) Welche thermische Leistung muss er besitzen, damit pro Minute 10 Liter heißes
Wasser gezapft werden können?
(b) Wieviel Energie (in kJ und in kWh) gibt der Durchlauferhitzer pro Minute an
das Wasser ab?
4. Ein Liter Wasser wird auf einer Elektroherdplatte mit der Leistung 1500W erwärmt.
(a) Zeichnen Sie das zugehörige Temperatur-Zeit-Diagramm.
(b) Zeichnen Sie in das Diagramm zusätzlich den Verlauf der Kurven
i. für die doppelte Wassermenge und
ii. für eine Herdplatte doppelter Leistung
ein.
5. 1 Liter Wasser der Temperatur ϑ1 = 20◦ C werden mit 1.5 Liter Wasser der Temperatur ϑ2 = 70◦ C gemischt.
(a) Welche Endtemperatur stellt sich ein?
(b) Wieviel Energie wird zwischen den beiden Wassermengen ausgetauscht?
Tipp: Nehmen Sie an, dass bei dem Versuch keine Energie an das Gefäß oder die
Umgebung abgegeben wird, sondern dass nur Energie von dem heißen an das kalte
Wasser abgegeben wird.
Ihr Ergebnis wird in der kommenden Vorlesung experimentell überprüft
werden!
6. Ein Gewichtstück aus Eisen mit der Masse mF e = 1kg wird einige Zeit in siedendem
Wasser untergetauscht. Anschließend wird es schnell vollständig in mW asser = 700g
Wasser der Temperatur ϑ = 20◦ C eingetaucht. Welche Temperatur wird sich schließlich in dem Gefäß mit Wasser und Gewichtstück einstellen?
34
Tipp: Diese Frage geht etwas über den in der Vorlesung bereits behandelten Stoff
hinaus. Informieren Sie sich deshalb über die spezifische Wärmekapazität fester Stoffe!
Auch das Ergebnis dieser Aufgabe wird in der kommenden Vorlesung
experimentell überprüft werden!
35
2.3
2.3.1
Wärmekapazität und Schmelzwärme
Die spezifische Wärmekapazität von festen Stoffen
• Information: Auch für feste Stoffe ergibt sich der gleiche Zusammenhang zwischen
Temperaturänderung und erforderlicher Energiezufuhr.
• Problem: Wie kann die spezifische Wärmekapazität fester Stoffe gemessen werden?
• Möglichkeit 1: Wenn Körper aus festem Material, z.B. aus Eisen, mit Wasser
bedeckt werden, dann haben der Körper und das Wasser (nach ausreichend langer
Zeit) schließlich dieselbe Temperatur. Das kann man sich folgendermaßen zunutze
machen: Man erwärmt das Wasser gemeinsam mit dem untergetauchten Körper.
Durch die zugeführte Energie werden also Wasser und Körper erwärmt. Die zum
Erwärmen des Wassers benötigte Energie ist aber bekannt!
Die spezifische Wärmekapazität des Feststoffes kann aus einem solchen Experiment
im Prinzip folgendermaßen bestimmt werden:
=⇒
∆Eges = ∆EW asser + ∆EF K
mF K cF K ∆ϑ = ∆Eges − mW asser cW asser ∆ϑ
∆Eges − mW asser cW asser ∆ϑ
=⇒ cF K =
mF K ∆ϑ
• Information: Dabei ergeben sich spezifische Wärmekapazitäten wie die folgenden7 :
Feststoff
Aluminium
Stein
Eisen
Blei
Gold
Eis
kJ
c in kg·K
0.90
ca. 0.75
0.45
0.13
0.13
2.06
• Die spezifischen Wärmekapazitäten fester Stoffe sind wesentlich kleiner als die von
Flüssigkeiten. Obige Experimente sind deshalb in Wirklichkeit nur schwierig auszuwerten.8
7
Das Experiment am 30.5.2007 ist leider fehlgeschlagen: Bei der gemeinsamen Erwärmung von mW =
1.5kg Wasser und mF e = 1.0kg Eisen ergaben sich die folgenden Messwerte:
E in kW h
1.034
1.074
1.115
ϑ in ◦ C
21.3
40.0
60.0
∆E in kJ
0
144
292
∆ϑ in K
0
18.7
30.7
∆E
∆ϑ
in
kJ
K
7.7
7.6
kJ
kg · K
Die Ursache für diese große Abweichung vom Literaturwert konnte nicht gefunden werden.
8
An der Energiezufuhr ist kaum zu bemerken, dass ein anderer Körper im Wasser miterwärmt wird.
=⇒
cF e = 1.26
36
2.3.2
Energieerhaltung beim Temperaturausgleich
• Bei Hausaufgabe 4 der letzten Woche ergibt sich unter der Annahme, dass beim
Mischen von 1.0 Liter kaltem Wasser (ϑ1 = 20◦ C) mit 1.5 Liter heißem Wasser
(ϑ2 = 70◦ C) nur Energie vom heißen an das kalte Wasser abgegeben wird, eine
Mischungstemperatur von ϑm = 50◦ C.
• Ein Experiment führt zu folgendem Ergebnis9 : 1.0 Liter Wasser mit ϑ1 = 19.8◦ C
und 1.5 Liter Wasser mit ϑ2 = 69.8◦ C ergeben 2.5 Liter Wasser mit ϑm = 48.7◦ C.
Wenn man berücksichtigt, dass Energie nicht nur an das kalte Wasser, sondern auch
an das Gefäß und an die Umgebungsluft abgegeben wird, stimmt dieses Ergebnis
befriedigend mit der Vorhersage überein.
• Folgerung: Beim Mischen von heißem und kaltem Wasser gilt ungefähr10 :
⇐⇒
∆Eauf
∆Eauf
+ ∆Eab
∆Eges
Eges
=
=
=
=
−∆Eab
0
0
const
Beim Mischen von kaltem und heißem Wasser, allgemeiner:
beim Temperaturausgleich zwischen Körpern unterschiedlicher
Anfangstemperatur, geht so lange Energie vom heißen auf den
kälteren Körper über, bis beide Körper dieselbe Temperatur angenommen haben. Dabei ändert sich die Gesamtenergie (bis
auf kleine Verluste) nicht (Energieerhaltung).
Die Übereinstimmung des experimentellen Ergebnisses mit der Vorhersage ist also
ein experimenteller Nachweis der Energieerhaltung.
• Die Energieerhaltung bei Temperaturausgleichsvorgängen kann man nutzen, um die
spezifische Wärmekapazität fester Stoffe zu bestimmen:
Möglicheit 2 zur Messung der spezifischen Wärmekapazität von Feststoffen: Ein
Körper aus dem zu untersuchenden festen Stoff wird in siedendem Wasser auf eine
Anfangstemperatur von ϑF K = 100◦C gebracht und anschließend (schnell!) in kaltes Wasser bekannter Anfangstemperatur ϑW asser geworfen“. Die sich einstellende
”
9
In der Vorlesung am 30.5.2007 ergaben sich die folgenden Messwerte:
mK = 1.0kg, ϑK = 22.2◦ C, mH = 1.5kg, ϑH = 74.3◦ C, ϑm = 54.5◦ C.
Wenn man unter Annahme der Energieerhaltung die Mischungstemperatur berechnet, ergibt sich ϑm =
53.6◦ C. Es scheint, als sei nach dem Experiment mehr Energie in dem Gefäß als in beiden Gefäßen vor
dem Experiment zusammen. Ein Ursache könnte sein, dass das erwärmte Glas zusätzlich Energie an das
Wasser abgegeben hat.
10
Zugeführte Energiemengen werden gemäß ∆E = EEnde −EAnf ang positiv, abgegebene Energiemengen
negativ gezählt.
37
Mischungstemperatur ϑm wird gemessen. Unter der Voraussetzung der Energieerhaltung kann man dann die vom Festkörper abgegebene Energie und daraus die
spezifische Wärmekapazität des Feststoffes berechnen:
=⇒
−∆Eab = ∆Eauf
mF K cF K (ϑF K − ϑm ) = mW asser cW asser (ϑm − ϑW asser )
mW asser cW asser (ϑm − ϑW asser )
=⇒ cF K =
mF K (ϑF K − ϑm )
(20)
Experimente: In der Vorlesung am 30.5.2007 ergaben sich folgende Messwerte:
1. Messung der spez. Wärmekapazität von Eisen:
mF e = 1.008kg, ϑF e = 100◦ C, mW = 1.0kg, ϑW = 22.2◦ C, ϑm = 30.2◦ C
kJ
=⇒ cF e = 0.43 kg·K
2. Messung der spez. Wärmekapazität von Aluminium:
mAl = 1.010kg, ϑAl = 100◦ C, mW = 1.0kg, ϑW = 22.2◦ C, ϑm = 35.0◦ C
kJ
=⇒ cAl = 0.83 kg·K
• Bei Hausaufgabe 5 der letzten Woche ergibt sich nach dieser Methode mit cF E =
kJ
0.45 kg·K
eine Mischungstemperatur von ϑm = 30.8◦ C.
Experiment: 0.7l Wasser der Temperatur ϑW asser = 20.2◦ C werden durch ein Gewichtstück aus mF e = 1.0kg Eisen der Temperatur ϑF e = 100◦ C auf eine Endtemperatur ϑm = 30.7◦ C erwärmt – in vorzüglicher Übereinstimmung mit der Vorhersage!
Auch beim Temperaturausgleich zwischen Flüssigkeiten und festen Stoffen ist die Gesamtenergie konstant, d.h. Energie wird
lediglich ausgetauscht zwischen Körpern unterschiedlicher Temperatur.
2.3.3
Hausaufgaben 8
1. Kupferschrot der Masse mCu = 100g wird aus siedendem Wasser in 200cm3 Wasser
der Temperatur ϑW asser = 15◦ C gefüllt, in dem sich schließlich eine Endtemperatur ϑm = 18.5◦ C einstellt. Berechnen Sie aus diesem Messergebnis die spezifische
Wärmekapazität cCu von Kupfer. Wird der so erhaltene experimentelle Wert zu groß
oder zu klein sein?
2. Welche Mischungstemperatur ϑm wird sich einstellen, wenn man mP b = 500g Bleischrot der Temperatur ϑP b = 100◦ C in 1l Wasser der Temperatur ϑW asser = 10◦ C
füllt?
3. Vergleichen Sie Wasser, Aluminium, Stein und Blei hinsichtlich ihrer Wärmekapazität:
38
(a) Vergleichen Sie die für eine bestimmte Temperaturerhöhung ∆ϑ erforderlichen
Energiemengen.
(b) Vergleichen Sie die Temperaturänderungen ∆ϑ, die sich durch dieselbe Energiezufuhr ∆E erzielen lassen.
4. Arbeiten Sie im Tipler den Abschnitt über “Phasenübergänge und latente Wärme“
durch!
5. Ein mit 1l Wasser gefüllter Aluminiumtopf der Masse mAl = 500g wird auf einer
Elektroherdplatte erwärmt. Dabei steigt die Temperatur zunächst um 19.0K/min.
(a) Wie groß ist die Leistung der Herdplatte?
(b) Wenn das Wasser zu sieden beginnt, steigt die Temperatur nicht weiter.
i. Wo bleibt die weiterhin zugeführte Energie?
ii. Wie schnell wird das Wasser im Topf weniger?
2.3.4
Die spezifische Schmelzwärme von Eis
Frage: Warum kühlt man Getränke mit Eis statt mit eiskaltem Wasser?
• Experiment, nahe an der gestellten Frage: Je 100g Wasser und Eis der Temperatur
0◦ C, beides aus Eiswasser (einer Mischung von Eis und Wasser, die lange Zeit zuvor bereitet wurde) entnommen, kühlen ein lauwarmes Getränk“ (m = 500g, ϑ ≈
”
25◦ C). Die Endtemperatur wird gemessen (im Falle des Eises: wenn alles Eis geschmolzen ist!)
Ergebnis: Das mit Eis gekühlte Getränk“ wird viel kälter.
”
Folgerung: Wenn man mit Eis kühlt, muss man das Getränk viel weniger verdünnen“
”
als bei Kühlung mit kaltem Wasser!
• messendes Experiment11 : 250g Eis der Temperatur ϑEis = 0◦ C wird in 250g
siedendes Wasser gegeben. Die Endtemperatur wird gemessen, wenn alles Eis geschmolzen ist. Es stellt sich eine Endtemperatur von ϑm = 14◦ C ein.
Aus dem Messergebnis kann die spezifische Schmelzwärme von Eis
λS :=
∆E
m
berechnet werden:
∆Eauf =
∆Eschmelzen + ∆Eerwärmen =
mEis λS + mEis cW asser (ϑm − 0◦ C) =
mEis λS =
−∆Eab
∆Eabkühlen =⇒
mW asser cW asser (100◦ C − ϑm ) =⇒
(mW asser cW asser (100◦ C − ϑm ) − mEis cW asser (ϑm − 0◦ C))
11
In der Vorlesung am 13. Juni 2007 wurden folgende Messwerte erhalten: Mit mEis = 288g Eis wurden
mW = 647g Wasser von ϑ1 = 64◦ C auf ϑ2 = 25.3◦ C, also um ∆ϑ = −38.7K, abgekühlt. Daraus ergibt
sich die spezifische Schmelzwärme von Eis zu λS = 273 kJ
kg .
39
Mit dem Messergebnis ϑm = 14◦ C ergibt sich daraus für die erforderliche Schmelzwärme mEis λS = 75.5kJ. Da dieser Wert natürlich proportional zur Eismenge ist (so
haben wir ihn schon geschrieben!), gilt für die zum Schmelzen von Eis erforderliche
Energiemenge
∆Eschmelzen = mEisλS .
(21)
λS heißt die spezifische Schmelzwärme von Eis. Aus unserer Messung ergibt sich
λS = 302 kJ
.
kg
Der korrekte Wert beträgt
λS = 335
2.3.5
kJ
kg
(spezifische Schmelzwärme von Eis)
(22)
Die spezifische Verdampfungswärme von Wasser
Experiment: Wasser wird auf einer Elektroplatte zum Sieden gebracht. Während es
siedet (dabei steigt die Temperatur des Wassers nicht weiter!), wird die zugeführte Energie
mit einem Zähler und die Abnahmme der Masse des Wassers auf einer Waage gemessen.
Interpretation: Die zugeführte Energie, die nicht zu einer Temperaturzunahme führt,
muss mit dem Dampf entwichen sein.
Messwerte: Die Masse von Topf und Wasser nahm von m1 = 999g auf m2 = 751g
ab, während ∆E = 1.742kW h − 1.561kW h = 0.181kW h = 651kJ von der Platte auf den
Topf übertragen wurde.
∆ED = mDampf λD.
(23)
λD heißt die spezifische Verdampfungswärme von Wasser. Aus unserer Messung ergibt sich λS = 2627 kJ
.
kg
Der korrekte Wert beträgt
λD = 2260
2.3.6
kJ
kg
(spezifische Verdampfungswärme von Wasser)
(24)
Hausaufgaben 9
1. (a) Wieviel Energie muss von Eis der Masse m = 720g aufgenommen werden, um
es von einer Temperatur ϑ = −10◦ C in Wasser der Temperatur ϑ = 15◦ C
zu überführen? (Information: Die spezifische Wärmekapazität von Eis beträgt
cEis = 2.22 kJ
.)
kg
(b) Angenommen, wir führen dem Eis nur eine Energie von ∆E = 210kJ zu.
Welcher Endzustand stellt sich dann ein?
40
2. Wie viel Energie ist nötig, um 1.5kg Eis der Temperatur ϑEis = −20◦ C in Wasserdampf zu überführen?
3. Ein 2-l-Krug mit Limonade stand bei einer Temperatur von 33◦ C den ganzen Tag
auf einem Gartentisch im Schatten. Sie gießen nun 0, 24kg der Limonade in einen
Styroporbecher und geben zwei Eiswürfel hinein, die jeweils 0.025kg schwer sind
und eine Temperatur von 0◦ C haben.
(a) Welche Temperatur hat die Limonade im Becher, nachdem sich thermisches
Gleichgewicht eingestellt hat? Nehmen Sie dabei an, dass keine Energie an die
Umgebung abgegeben wird.
(b) Wie hoch wird die Endtemperatur sein, wenn Sie sechs Eiswürfel in den Becher
geben?
2.4
Energieumwandlungen
Ausgangspunkt für Energiemessungen war der Zähler, mit dem in Haushalten die vom
Elektrizitätswerk bezogene Energie gemessen wird. Durch Umwandlung der elektrisch bezogenen Energie in thermische Energie, z. B. bei der Erwärmung von Wasser mit einem
Tauchsieder, ist es gelungen, den Energieinhalt von Wasser mit einem Thermometer messen zu können (siehe Kapitel 2.2.1, insbesondere Gleichung (18)).
Der Versuch, auf die entsprechende Weise herauszufinden, wie mechanische Energie,
zum Beispiel die Lageenergie eines hoch gehobenen Körpers, von der Höhe abhängt, ist
zwar prinzipiell richtig, scheitert aber praktisch, weil sich die Zählerscheibe kaum oder
gar nicht bewegt, wenn ein Gewichtstück mit einem Elektromotor hoch gehoben wird: Die
dafür benötigte Energie ist zu klein. Historisch gelang die Messung erstmals dem Physiker
Joule um 184012 , indem er Wasser umrührte“, also umgekehrt mechanische Energie in
”
thermische Energie umwandelte und diese maß. Das Experiment war schwierig (und ist
es heute noch), weil die Temperaturerhöhung sehr klein ist, auch wenn anscheinend viel
mechanische Energie umgesetzt wird.
2.4.1
Lageenergie und thermische Energie: Das Joule’sche Experiment
• Ein Gewichtstück der Masse m = 5kg hängt an einem Faden, der so um einen
mit Wasser (m = 67mg) gefüllten Kupferzylinder gewickelt ist, dass der Fall des
Gewichtstückes durch Reibung zu einem langsamen Hinabsinken gebremst wird.
Dabei wird der Zylinder samt Wasser erwärmt (Abb. 21, unten).
• Da die freie Fallhöhe nicht reicht, um das Wasser messbar zu erwärmen, wird stattdessen mit einer Kurbel der Zylinder so gedreht, dass das Gewichtstück in konstanter Höhe bleibt, obwohl das andere Ende des Fadens nicht festgehalten wird. Eine
Umdrehung entspricht dann einem Absinken“ um den Zylinderumfang.
”
• Diese Höhenänderung wird gemessen, indem das Gewichtstück mit 4 Kurbelumdrehungen hochgezogen wird:
12
Etwas mehr Einzelheiten findet man in [4].
41
Abbildung 21: Joule’s Experiment zur Umwandlung mechanischer in thermische Energie
(oben) und die entsprechende moderne Praktikumsversion
42
∆h(4 Umdrehungen) = 58cm
=⇒
∆h0 =
∆h
= 14.5cm
4
(bei einer Umdrehung)
• Messung: Die Temperatur ϑ des Wassers wird in Abhängigkeit von der Anzahl n
der Kurbelumdrehungen, also von der durchfallenen Höhe“ ∆h = n∆h0 gemes”
sen13 :
n ϑ in ◦ C
0
29.5
50
30.7
100
31.5
150
32.6
200
33.5
250
34.3
300
35.2
∆ϑ in K
1.2
2.0
3.1
4.0
4.8
5.7
∆h in m ∆Emech in J
0.725
1.450
2.175
2.900
3.625
4.350
356
711
1067
1422
1778
2154
∆Eth in J
∆Eth
∆Emech
385
642
995
1284
1541
1830
Mittelwert:
1.10
0.90
0.93
0.90
0.87
0.86
0.93
Dabei wurde die mechanische Energie gemäß ∆Emech = mg∆h, die thermische
Energie gemäß ∆Eth = (mW cW + mCu cCu )∆ϑ = (CW + CCu )∆ϑ berechnet, wobei
J
CW = mW cW = 281 K
die Wärmekapazität des Wassers und CCu = 40 KJ (aus
Geräteblatt) die des Kupferzylinders ist.
• Ergebnisse:
1. Die Temperatur des Wassers steigt mit zunehmender Anzahl der Kurbeldrehungen.
2. Die Temperatur steigt ungefähr gleichmäßig, d.h. linear, d.h. zwischen n und
∆ϑ besteht ein proportionaler Zusammenhang.
• Schlussfolgerungen:
1. Der Vorgang kann interpretiert werden als Umwandlung der Lageenergie des
Gewichtstückes in thermische Energie des Wassers und des Kupfers.
2. Anscheinend kommt selbst bei Berücksichtigung der Wärmekapazität des Kupferzylinders nicht alle Energie im Zylinder an. Mögliche Fehlerquellen sind die
Erwärmung des Fadens und der Umgebungsluft.
3. Aber: Ein Fehler von nur 7% ist für ein so einfaches Experiment sehr befriedigend.
• Interpretation:
13
In der Vorlesung am 13. Juni 2007 wurden folgende Werte gemessen: Mit 300 Kurbeldrehungen wurde
eine Temperaturerhöhung um 6K erreicht. Die gesamte Wärmekapazität von Wasser und Kupfer betrug
J
J
CW + CCu (284 + 40) K
. Damit ergibt sich aus mg∆h = −∆Eth der folgende Wert: g = 8.9 kg·m
, und
damit eine Abweichung vom Literaturwert von etwa 10%.
43
– Wenn man noch nicht weiß, wie mechanische Energie gemessen werden kann14 ,
ergibt sich aus diesem Experiment der Umrechnungskurs“ zwischen thermi”
scher und mechanischer Energie15 :
∆Emech = mg∆h mit g = 9.12
J
kg · m
– Kann man aber Lageenergie bereits messen (mit dem richtigen Wert der Konstanten g), dann zeigt sich in dem Versuchsergebnis ein Energieverlust von
etwa 7%.
2.4.2
Freier Fall: Umwandlung von Lageenergie in Bewegungsenergie
• Wenn ein Körper nach unten fällt, verringert sich seine Lageenergie. Dafür aber
wird er schneller. Dass dabei (fast) keine Energie verloren geht, kann man dadurch
demonstrieren, dass im Idealfall (Flummy auf Steinboden, Stahlkugel auf Glas) der
Körper nach dem Aufprall auf dem Boden näherungsweise die Ausgangshöhe wieder
erreicht.
Beim Wurf senkrecht nach oben wird Lageenergie in Bewegungsenergie
umgewandelt.
• Der freie Fall bietet also eine Gelegenheit zu untersuchen, wie die Bewegungsenergie
des fallenden Körpers von seiner Geschwindigkeit abhängt16 :
Experiment: Ein rechteckiges Brett der Länge l wird aus einer Anfangshöhe h2
fallen gelassen. Seine Geschwindigkeit kurz vor dem Auftreffen auf dem Boden wird
dadurch bestimmt, dass die Zeit ∆t gemessen wird, die das Brett eine Lichtschranke
unterbricht, die sich in der Höhe h0 über dem Boden befindet.
14
Der Zahlenwert der Konstanten g wurde in der Vorlesung Einführung in die Physik 2“ lediglich
”
J
.
mitgeteilt : g = 9.81 kg·m
15
In dieser Beziehung könnte man, ganz entsprechend der spezifischen Wärmekapazität (18), den Faktor
g als spezifische Lageenergie aller Körper bezeichnen. Diese Bezeichnung ist aber völlig unüblich.
16
In der Vorlesung Einführung in die Physik 2“ wurde dieser Zusammenhang bei Kugeln untersucht,
”
die einen Hang hinabrollten.
44
6 6
6
l
?
∆h
∆h = h2 − h1 = h2 − (h0 + 2l )
h2
6
Lichtschranke
?
6
h1
h0
? ? ?
• Messergebnisse:
h2 in m
1.00
1.00
1.00
1.25
1.25
1.25
1.25
1.50
1.50
1.50
∆t in ms
46.3
45.8
46.5
39.7
37.8
36.5
36.1
34.0
34.7
32.5
∆t in ms
v in
m
s
∆h in m
v 2 in
m2
s2
v2
∆h
in
m
s2
46.8
3.25
-0.575
10.56
-18.37
37.9
3.96
-0.825
15.68
-19.01
33.4
4.49
-1.075
20.16
-18.75
Mittelwert:
-18.7
• Auswertungen:
– Je größer die Starthöhe h2 ist, desto kürzer ist die Zeit ∆t, die die Lichtschranke
verdunkelt wird, desto schneller bewegt sich also das Brett.
– Die Fallgeschwindigkeit v des Brettes17 lässt sich aus der Verdunklungszeit ∆t
l
.
und der Länge l des Brettes berechnen: v = ∆t
– Die Geschwindigkeit wächst nicht proportional zur Fallstrecke: Sonst müsste
der 3. Geschwindigkeitswert etwa doppelt so groß wie der erste sein.
2
v
– Quadriert man die Geschwindigkeiten, ergibt sich konstanter Quotient c = ∆h
:
Das Quadrat der Fallgeschwindigkeit ist proportional zur durchfallenen Strecke.
17
Genau genommen handelt es sich um die mittlere Geschwindigkeit des Brettes während der Verdunklungszeit.
45
– Das Ergebnis lässt sich folgendermaßen formulieren:
v 2 = c∆h
=⇒
1 2
mv = −mg∆h
2
Dabei ist g = 2c = 9.35 sm2 . Der richtige Wert ist g = 9.81 sm2 .
∆h ist negativ, weil die Höhe zu Beginn größer ist als am Ende. Deshalb kann
die letzte Gleichung auch folgendermaßen geschrieben werden:
1 2
mv + mg∆h = 0
2
oder noch besser, da zu Beginn die Geschwindigkeit null ist,
1
m∆(v 2 ) + mg∆h
2
∆Ekin + ∆EL
m 2
=⇒
v + mgh1
2 1
m 2
=⇒
v + mgh
2
=⇒ Ekin + EL
= 0
= 0
m 2
=
v + mgh2
2 2
= const
= const
– Damit hat sich mit hinreichender Genauigkeit ergeben:
1. Für die Bewegungsenergie Ekin eines Körpers der Masse
m, der sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, gilt:
Ekin =
m
2
v2
(25)
2. Beim freien Fall ist die Summe aus Lageenergie EL und
Bewegungsenergie Ekin konstant.
– Der Zusammenhang zwischen Starthöhe und Geschwindigkeit erweist sich in
vielen Experimenten18 als unabhängig von der Masse des fallenden Körpers.
Das bedeutet: Alle Körper fallen in gleicher Weise. Diese Aussage kann nicht
aus einem einzigen Experiment mit nur einem Fallkörper geschlossen werden.
Sie muss mit vielen anderen Körpern überprüft werden. Dabei erweist sie sich
(wegen des Luftwiderstandes) in dieser Allgemeinheit als falsch!
Sehr viel vorsichtiger könnte man formulieren:
Kleine kompakte Körper fallen ungefähr in derselben Weise, solange ihre Geschwindigkeit nicht zu groß wird.
18
wenn Luftreibung keine wesentliche Rolle spielt, d. h. bei kleinen kompakten Körpern mit nicht zu
hoher Geschwindigkeit
46
Abbildung 22: Überprüfung der Energieerhaltung beim Fadenpendel
2.4.3
Bewegungsenergie beim Pendel
• Ein schwingendes Pendel erreicht nach jeder Schwingung nahezu seine Ausgangsposition wieder und hat dann näherungsweise wieder dieselbe Lageenergie.
Problem: Wie kann man experimentell untersuchen, ob auch während der Schwingung eines Fadenpendels die Gesamtenergie, also die Summe aus Lage- und Bewegungsenergie, konstant bleibt?
• Experiment: Bei einem Fadenpendel wird für verschiedene Auslenkungen die Geschwindigkeit am tiefsten Punkt der Bewegung bestimmt, indem die Zeit gemessen
wird, die eine Lichtschranke durch den Pendelkörper verdunkelt wird (Abb. 22).
• Messbeispiel aus der Vorbereitung zur Vorlesung: Ein Pendel der Länge l = 89.7cm
wird um ∆x = 500mm ausgelenkt. Das entspricht einer Höhenänderung von ∆h =
130mm19 . Der zylinderförmige Pendelkörper mit einem Durchmesser von 38mm
verdunkelt die Lichtschranke ∆t = 24.1ms.
38mm
m
= 1.57
24.1ms
s
v2
m
g =
= 9.5 2
2∆h
s
v =
=⇒
• Gemeinsame Messungen durch TeilnehmerInnen in der Vorlesung (Abb. 22) ergaben
folgende Ergebnisse:
dP = 3.8cm, h2 = 24cm,
19
(∆x)2 + (l − ∆h)2 = l2
=⇒
∆h = l −
p
l2 − (∆x)2
47
Abbildung 23: Ortskurve des schwingenden Fadenpendels
h1 in m
0.334
0.374
0.287
0.300
t in ms
29.0
23.6
41.3
35.0
2
v 2 in ms2
1.7
2.6
0.8
1.18
2g(h1 − h2 ) in
1.8
2.6
0.9
1.18
m2
s2
2g∆h
v2
1.06
1.00
1.13
1.00
2.4.4
Kontinuierliche“ Messung durch Videoanalyse mit Viana
”
Damit ist gezeigt, dass die Energie des Pendels im tiefsten Punkt seiner Bewegung ebenso
groß ist wie an seinen Umkehrpunkten: Es hat seine Lageenergie vollständig in Bewegungsenergie umgewandelt. Gilt eine entsprechende Aussage auch für beliebige Punkte
der Bewegung? Ist auch dort die Summe aus Lage- und Bewegungsenergie gleich groß?
Diese Frage ist mit einer Lichtschranke nur schwer zu beantworten. Deshalb wird die
Bewegung des Pendels mit dem Programm Viana aufgenommen und ausgewertet, das in
Abschnitt 1.1.2 (S. 4ff) genauer beschrieben wird.
• Demonstration: Die Bewegung eines schwingenden Fadenpendels wird mit einer
Videokamera aufgenommen. Anschließend wird der Film in das Programm Viana
importiert. Nachdem dem Programm der Körper mitgeteilt worden ist, dessen Bewegung verfolgt werden soll, misst es selbstständig alle Positionen dieses Körpers
aus und stellt sie anschließend grafisch dar. Dabei sind Darstellungen u.a. als Ortskurve (y(x)-Diagramm, Abb. 23) oder als Zeitdiagramme (x(t), Abb. 24, oder y(t),
Abb. 25) möglich.
• Messvorbereitung:
– Die Kamera muss möglichst genau senkrecht zu der aufzunehmenden Bewegung
ausgerichtet sein.
48
Abbildung 24: Horizontalauslenkung als Funktion der Zeit
Abbildung 25: Vertikalauslenkung als Funktion der Zeit
49
Abbildung 26: Die Gesamtenergie des Pendels als Funktion der Horizontalauslenkung
– Die Farbe des zu verfolgenden Körpers sollte sich möglichst deutlich vom Hintergrund abheben und im Bildfeld nicht noch einmal vorkommen.
– Die Bewegung sollte das ganze Bildfeld ausnutzen, um Messfehler möglichst
klein zu halten.
– Die Beleuchtung sollte so gut sein, dass kurze Belichtungszeiten ausreichend
sind.
• Wenn mit den Messwerten weitere Berechnungen angestellt werden sollen, müssen
sie nach Excel exportiert werden.
• In Excel kann z.B. gemäß
vi2 =
(xi+1 − xi−1 )2 + (yi+1 − yi−1 )2
(ti+1 − ti−1 )2
die Geschwindigkeit des Körpers und gemäß
m 2
v + mgy
2
seine Gesamtenergie berechnet und grafisch dargestellt werden (Abb. 26).
Eges =
Damit kann man zeigen, dass nicht nur in den Extrempunkten (höchste und tiefste
Stelle), sondern an jedem Punkt der Bahn die Gesamtenergie ungefähr denselben
Wert hat. Allerdings erkennt man deutlich, dass die Energie des Pendels abnimmt
– ein Umstand, den man auch mit bloßen Augen an der abnehmenden Amplitude
des Pendels erkennen kann.
• Die vollständige Excel-Tabelle mit allen Daten und Diagrammen dieses Beispiels
heißt Fadenpendel.xls und befindet sich auf der Materialseite zu dieser Vorlesung
im Internet.
50
2.4.5
Hausaufgaben 10
1. Auswertung einer durch Videoanalyse gewonnenen Messtabelle
Bei den Internetmaterialien finden Sie eine Excel-Tabelle AufgabeFadenpendel.xls20 .
Sie enthält die mit dem Videoanlyseprogramm Viana gewonnenen und gemittelten
Ortskoordinaten einer Schwingung des in der Vorlesung untersuchten Fadenpendels.
(a) Stellen Sie die Ortskurve y(x) grafisch dar.
(b) Berechnen Sie das Quadrat der Geschwindigkeit vi2 des Pendelkörpers zur Zeit
ti gemäß
vi2 =
(xi+2 − xi−2 )2 + (yi+2 − yi−2 )2
(ti+2 − ti−1 )2
und daraus die Gesamtenergie des Pendelkörpers gemäß
Eiges ∼
vi2
+ ghi
2
(c) Stellen Sie die so gewonnenen Werte als Funktion der Zeit t und als Funktion
der Horizontalauslenkung x grafisch dar.
2. (Tipler, S. 197, Aufgabe 7.7)
Ein Pendel der Länge l mit einem Pendelkörper der Masse m wird so weit zur
Seite gezogen, dass der Pendelkörper eine Höhe 4l über der Gleichgewichtslage hat.
Daraufhin wird der Pendelkörper losgelassen. Mit welcher Geschwindigkeit schwingt
der Pendelkörper durch die Gleichgewichtslage?
3. (Tipler, S. 198, Aufgabe 7.9)
Das in der Abbildung gezeigte System ist anfangs in Ruhe. Nun wird der Faden
zerschnitten. Wie schnell sind beide Gewichte, wenn sie die gleiche Höhe haben?
Die Rolle sei reibungsfrei und ihre Masse vernachlässigbar.
20
TeilnehmerInnen, die mit einem anderen Programm als Excel, oder per Hand, auswerten wollen,
finden dort auch eine Textdatei AufgabeFadenpendel.txt, die dieselben Daten enthält.
51
52