Laborpraktikum 6 – Einfache RC

19. Februar 2016
Elektrizitätslehre II
Martin Loeser, Martin Weisenhorn
Laborpraktikum 6 – Einfache RC-Schaltungen
1
Lernziele
Bei diesem Versuch werden verschiedene Anwendungen des RC-Glieds untersucht
und quantitativ beschrieben.
• Sie können die Funktionsweise eines RC-Gliedes als Integrator erläutern und
die Bedingungen angeben, unter denen diese Funktionsweise zustande kommt.
• Sie können den zeitlichen Verlauf der magnetischen Flussdichte in einem ferromagnetischen Material messtechnisch erfassen und damit die magnetische
Hysterese dieses Materials darstellen.
• Sie können die Funktionsweise eines CR-Gliedes als Differentiator erläutern
und die Bedingungen angeben, unter denen diese Funktionsweise zustande
kommt.
• Sie können den Vorgang der DC-Entkopplung mit einem in Serie geschalteten
Kondensator erläutern und die Bedingungen angeben, unter denen sie zustande
kommt. Dieses Beispiel können Sie mit dem Superpositionsprinzip erklären.
• Sie können messtechnisch den Entkopplungkondensator eines KO im AC-Modus
bestimmen.
• Sie können das Verhalten einer RC-Schaltung an einem Funktionsgenerator mit
Matlab modellieren und für diverse vorgegebene Spannungsverläufe numerisch
berechnen. Sie sind in der Lage dieses Simulationsmodell durch Vergleich von
theoretischen mit messtechnischen Ergebnissen unter Berücksichtigung der systematischen Einflüsse der Innenwiderstände von Quelle oder Messgerät (KO)
zu validieren.
Laborpraktikum 6 – Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II
2
2
Einleitung
2.1 RC-Glied als Integrator
In diesem Abschnitt wird gezeigt wie auf einfachste Weise ein Integrator realisiert
werden kann, dessen Ausgangsspannung u2 (t) das Integral einer Eingangsspannung
u1 (t) ist. Dazu betrachten wir die Bauteilgleichung der Kapazität in integraler
Form
Z
1 t
iC (ψ) dψ.
uC (t) =
C −∞
Nun fehlt noch eine Schaltung die für einen Strom iC (t) sorgt der proportional zur
Eingangsspannung u1 (t) ist. In Formeln lautet der Zusammenhang
iC (t) = α u1 (t),
wobei α eine vorerst beliebige Proportionaliätskonstante ist. Am einfachsten wird die
Proportionalität durch die in Abb. 1 dargestellte Schaltung erreicht, allerdings nur
näherungsweise und umso genauer, je kleiner der Betrag von u2 (t) gegenüber dem
Betrag von uR (t) ist. Dann nämlich ist uR (t) ≈ u1 (t) und damit iC (t) ≈ u1 (t)/R.
uR (t)
iC (t)
R
u1 (t)
u2 (t)
C
Abbildung 1: RC-Glied als Integrator
Das RC-Glied funktioniert um so genauer wie ein Integrator, je grösser das
Verhältnis des Betrags der Eingangsspanung zum Betrag der Ausgangsspannung ist.
Als Richtwert wollen wir festlegen, dass der Betrag der Eingangssapnnung etwa zehn
mal grösser sein soll als der Betrag der Ausgangsspannung. Für diesen Fall gilt die
Näherung
u2 (t) =
1
C
Z t
−∞
iC (t) dt ≈
1
RC
Z t
Dabei ist RC = τ die Zeitkonstante des RC-Gliedes.
−∞
u1 (t) dt.
Laborpraktikum 6 – Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II
3
2.1.1 Sinusförmige Signale am RC-Glied.
Die oben erarbeitete Bedingung unter der das RC-Glied als Integrator arbeitet lässt
sich für sinförmige Eingangsspannungen
u1 (t) = û1 sin(2πf t)
als eine Bedingung an die Freqeuenz ausdrücken, die häufig sehr nützlich ist.
Vorbereitung. Wir betrachten die Kapazität an einer sinusförmigen Spannung:
iC (t)
uC (t) = ûC sin(2πf t)
C
Für den Strom iC (t) folgt mit hilfe der Bauteilgleichung
iC (t) = C
duC (t)
= ûC 2πf C cos(2πf t),
| {z }
dt
îC
wobei îC der Scheitelwert des Stromes ist. Der Verlauf von Spannung und Strom
lässt sich graphisch darstellen, siehe Abb. 2. Man erkennt eine zeitliche VerschieûC
îC
T
t
Abbildung 2: Verlauf von Spannung und Strom an einer Kapazität.
bung zwischen Spannung und Strom. Deshalb sind im Unterschied zu einem Widerstand die Momentanwerte von Spannung und Strom nicht proportional zueinander
sondern lediglich die Scheitelwerte. Deren Verhältnis wird bei einer Kapazität als
Blindwiderstand Xc bezeichnet:
XC :=
ûC
ûC
1
=
=
.
uˆC 2πf C
2πf C
îC
Für einen Widerstand R gilt übrigens auch
R=
ûR
uR
=
.
iR
îR
Laborpraktikum 6 – Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II
4
Überlegung. Nun kommen wir zurück zur Schaltung aus Abb. 1, um uns die genannte Bedingung an die Frequenz zu überlegen. Wie bereits diskutiert, funktioniert
das RC-Glied näherungsweise als Integrator, wenn der Strom îC (t) proportional zur
Eingangsspannung u1 (t) ist. Dies gilt nie exakt aber näherungsweise wenn
R XC ⇔
1
R
⇔
2πf C
1
f
2πτ
Als Richtwert wollen wir festlegen, dass f > 1/τ sein muss, wobei τ = RC die
Zeitkonstante des RC-Glieds ist.
Mit ähnlichen Überlegungen findet man, dass für kleine Signalfrequenzen f 1/τ
Ausgangs- und Eingangssignal ungefähr gleich sind.
Das RC-Glied funktioniert um so genauer wie ein Integrator, je mehr die
Signalfrequenz f den Wert 1/τ überragt.
2.1.2 Integrator mit OPV
Das RC-Glied arbeitet nur dann als Integrator, solange die Eingangsspannung am
RC-Glied betragsmässig deutlich grösser ist als der Betrag der Ausgangsspannung,
das ist nicht der Fall wenn z.B. u1 (t) den Wert von 1 V durchschreitet. Für sinusförmige Eingangssignale muss die Signalfrequenz f grösser als 1/τ sein.
Die genannten Einschränkungen werden durch die Schaltung in Abb. 3 behoben.
Die Forderung, dass iC (t) proportional zu u1 (t) ist, wird durch den virtuellen Nullpunkt am Knoten 2 erfüllt, indem er dafür sorgt dass der Strom durch den Widerstand gleich iC (t) = u1 (t)/R ist. Dies gilt unabhängig von der grösse der Eingangsspannung. Allerdings ist die Proportionslitätskonstante des Integrators nun gleich
(−1/RC) also negativ.
Fazit
• Das RC-Glied funktioniert um so genauer wie ein Integrator, je grösser das
Verhältnis des Betrags der Eingangsspanung zum Betrag der Ausgangsspannung ist.
• Bei sinusförmigem Eingangssingal funktioniert das RC-Glied um so genauer
wie ein Integrator, je mehr die Signalfrequenz f den Wert 1/τ überragt.
• Bei sinusförmigen Eingangssingalen mit Signalfrequenzen f 1/τ sind Eingangsund Ausgangssignal identisch.
Laborpraktikum 6 – Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II
5
iC (t)
C
R
2
iC (t)
u1 (t)
u2 (t)
1
Abbildung 3: Invertierender Integrator mit Operationsverstärker.
2.2 RC-Glied als Differenzierer
Einen Differenzierer erhält man mit der in Abb. 4 gezeigten Anordnung. Verglichen
mit Abb. 1 sind einfach der Widerstand und die Kapazität miteinander vertauscht.
uC (t)
iC (t)
C
u1 (t)
u2 (t)
R
Abbildung 4: CR-Glied als Differenzierer.
Damit die Schaltung tatsächlich als ein Differenzierer arbeitet muss der Betrag
der Ausgangsspannung u2 (t) klein gegenüber dem Betrag der Eingangsppanunng
sein. Dann nämlich ist die Spannung uC (t) an der Kapazität etwa gleich der Eingangsspannung u1 (t), damit folgt entsprechend der Bauteilgleichung der Kapazität
iC (t) = Cdu1 (t)/dt. Dieser Strom durch den Kondensator verursacht im Widerstand
wie gewünscht einen Spannungsabfall
u2 (t) = R iC (t) ≈ RC
d u1 (t)
dt
der proportional zur Ableitung der Eingangsspannung ist. Dabei ist RC = τ die
Zeitkonstante des CR-Gliedes.
Laborpraktikum 6 – Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II
6
Das CR-Glied funktioniert um so genauer wie ein Differnzierer, je grösser
das Verhältnis des Betrags der Eingangsspanung zum Betrag der Ausgangsspannung ist.
Für sinusförmige Eingangssignale erhält man mit einer zu Abschnitt 2.1.1 analogen
Überlegung die folgende Bedingung:
Das CR-Glied funktioniert um so genauer wie ein Differenzierer, je mehr die
Signalfrequenz f den Wert 1/τ unterschreitet.
Mit ähnlichen Überlegungen findet man, dass für hohe Signalfrequenzen f 1/τ
Ausgangs- und Eingangssignal ungefähr gleich sind.
Fazit
• Das CR-Glied funktioniert um so genauer wie ein Differnzierer, je grösser das
Verhältnis des Betrags der Eingangsspanung zum Betrag der Ausgangsspannung ist.
• Bei sinusförmigem Eingangssignal funktioniert das CR-Glied um so genauer
wie ein Differenzierer, je mehr die Signalfrequenz f den Wert 1/τ unterschreitet.
• Bei sinusförmigen Signalfrequenzen f 1/τ sind Ausgangs- und Eingangssignal ungefähr gleich.
3
Versuchsdurchführung – Messaufgaben
3.1 RC-Glied als Integrator
Für die Durchführung dient die Schaltung, die in Abbildung 1 dargestellt ist.
(a) In Abb. 5 sind zwei verschiedene Spannungsverläufe für u1 (t) angegeben. Überlegen Sie sich welche Form die Ausgangsspannung u2 (t) jeweils besitzt und zeichnen Sie diese in das darunterliegende Koordinatensystem ein.
(b) Zeigen Sie mit mittelwertfreien, periodischen sinus-, dreieck- und rechteckförmigen Eingangsignalen u(t), dass die Schaltung als Integrator wirkt, wenn die Periodendauer T der Signale viel kleiner als die Zeitkonstante τ = RC der Schaltung
ist. Quantifizieren Sie „viel kleiner” gegebenenfalls für jede Signalform separat.
Laborpraktikum 6 – Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II
u1 (t)
7
u1 (t)
0
0
t
T
u2 (t)
t
T
u2 (t)
0
0
t
t
Abbildung 5: Spannungen am Integrator.
Versuch 2.7
2/5
b) Wie verhält sich die Schaltung bei einem mittelwertbehafteten Signal, wie z. B. dem Mischsignal
(c)7.2?Wie
verhält
sich die Schaltung
bei einem mittelwertbehafteten Signal, wie z. B.
gemäss Figur
Hinweis:
Überlagerungssatz
verwenden.
einem Rechteck-Signal wie in Abbildung 6? Hinweis: Überlagerungssatz verwen-
Simulieren Sie das Verhalten der Schaltung mit Matlab/Simulink und zeigen Sie, dass nach Abklingen
einer transienten den.
Phase die Schaltung ihre Funktion erfüllt.
u1(t)
U0
0V
Figur 7.2 Periodische Mischspannung
Versuch 2.7
t
2/5
b) Wie verhält
die Schaltung
einem
Signal, wieMaterial
z. B. dem Mischsignal
c) Benutzen Sie den Integrator
um diesich
magnetische
Flussdichte
B(t)mittelwertbehafteten
in einem mit
Ferromagnetischen
Abbildung
6: bei
Rechteck-Signal
Gleichanteil
gemäss Figur
Hinweis:
Überlagerungssatz
messtechnisch zu bestimmen.
Damit7.2?
kann
auch die
Hysteresekurveverwenden.
dieses Materials mit einem KO im
xy-Betrieb dargestellt Simulieren
werden (siehe
Messchaltung
Figur
Sie das
Verhalten dergemäss
Schaltung
mit7.3).
Matlab/Simulink und zeigen Sie, dass nach Abklingen
einer transienten Phase die Schaltung ihre Funktion erfüllt.
Signalgenerator
(d) Simulieren Sie das Verhalten der Schaltung mit Matlab und zeigen Sie, dass nach
R
Abklingen
einer transienten Phaseudie
ihre Funktion erfüllt. Benutzen
1(t) Schaltung
i1 (t)
Sie dazu den Programmcode aus dem Laborpraktikum 2 - Kondensator und
uy (t) ∝ B(t)
C
N
R 1 N1
Kapazität.
U0 2
(e) Benutzen Sie den Integrator um die
magnetische Flussdichte B(t) in einem fer0V
ux (t) ∝ H(t)
t
romagnetischen
messtechnisch zu bestimmen. Damit kann
auch die
Figur 7.2 PeriodischeMaterial
Mischspannung
Hysteresekurve
Materials
mitferromagnetischen
einem
KOB(t)
imMaterials
dargestellt
werFigur 7.3 Messchaltung
Darstellung
der
BH-Hysterese
eines
c) zur
Benutzen
Sie dendieses
Integrator
um die magnetische
Flussdichte
inxy-Betrieb
einem Ferromagnetischen
Material
messtechnisch
zu
bestimmen.
Damit
kann
auch
die
Hysteresekurve
dieses
Materials
mit
einem
KO
im
den.xy-Betrieb
Die entsprechende
Messschaltung ist in Abbildung 7 dargestellt. Dabei gilt
dargestellt werden (siehe Messchaltung gemäss Figur 7.3).
Für H(t) gilt: H ( t ) =
N1 i1 ( t )
RC
N
uy ( t )
= 1 ux ( t ) und für B(t): B( t ) =
lFe
lFe R1
N 2 AFe
• Die Frequenz
€
R
i1 (t)
Wichtige Bemerkungen:
SignaldesgeneSignalgenerators
rator
uy (t) ∝ B(t)
C
N1€
N2
R 1 Messung
sollte je nach
zwischen 50 und 150 Hz
liegen.
• Der Messwiderstand R1 zur Bestimmung der Stromstärke i 1 ( t ) wird stark belastet! 5 W
Widerstände benutzen und nur kurzzeitig ubelasten.
x (t) ∝ H(t)
• Die Wahl von R und C beeinflusst den Pegel des Signals uy (t). Gegebenenfalls Werte anpassen,
Figur 7.3
zur Darstellung
der
BH-Hysterese
ferromagnetischen
Materials
um einen akzeptablen
PegelMesschaltung
mit einer7:dennoch
grossenzur
Zeitkonstante
zueines
erhalten.
Typische Werte:
Abbildung
Schaltung
Bestimmung
der
Hysterese-Kurve.
C zwischen 680 und 1000 nF, R zwischen 100 und 1000 kΩ.
Für H(t) gilt: H ( t ) =
N1 i1 ( t )
=
N1
ux ( t ) und für B(t): B( t ) =
RC
uy ( t )
lFe allzulFe
R1 zu belasten, bzw. zu zerstören,
N 2 AFe sollte
• Um die Primärwicklungen der Messobjekte nicht
stark
die Hysterese nur bis zum Erreichen der Sättigung betrieben werden.
Wichtige Bemerkungen:
• Die Frequenz
zwischen 50 und 150 Hz liegen.
€ des Signalgenerators sollte je nach Messung
€
• Der Messwiderstand R1 zur Bestimmung der Stromstärke i 1 ( t ) wird stark belastet! 5 W
Widerstände benutzen und nur kurzzeitig belasten.
Laborpraktikum 6 – Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II
H(t) =
8
N1
N1
i1 (t) =
ux (t)
lF e
lF e RL
und
B(t) =
RC
uy (t)
N2 AF e
Wichtige Bemerkungen
• Die Frequenz des Signalgenerators sollte je nach Messung zwischen 50 und
150 Hz liegen.
• Der Messwiderstand R1 zur Bestimmung der Stromstärke i1 (t) wird stark belastet! Er sollte desshalb in der Grössenordnung von nur etwa 1 bis 2 Ω liegen,
5 W vertragen und nur kurzzeitig belastet werden.
• Die Wahl von R und C beeinflusst den Pegel des Signals uy (t). Gegebenenfalls Werte anpassen, um einen akzeptablen Pegel mit einer dennoch grossen
Zeitkonstante zu erhalten. Typische Werte: C zwischen 680 und 1000 nF, R
zwischen 50 kΩ und 500 kΩ.
• Um die Primärwicklungen der Messobjekte nicht allzu stark zu belasten, bzw.
zu zerstören, sollte die Hysterese nur bis zum Erreichen der Sättigung betrieben
werden.
3.2 RC-Glied als Differenzierer
Für die Durchführung dient die Schaltung, die in Abbildung 4 dargestellt ist.
(a) Zeigen Sie mit mittelwertfreien, periodischen sinus-, dreieck- und rechteckförmigen Eingangsignalen u(t), dass die Schaltung als Differenzierer wirkt, wenn
die Periodendauer T der Signale viel grösser als die Zeitkonstante τ = RC der
Schaltung ist. Quantifizieren Sie „viel grösser” gegebenenfalls für jede Signalform
separat.
(b) Simulieren Sie das Verhalten der Schaltung mit Matlab und zeigen Sie, dass
nach Abklingen einer transienten Phase die Schaltung ihre Funktion erfüllt. Sie
können dazu den Programmcode aus Abschnitt 3.1 Aufgabenpunkt (d) modifizieren. Verwenden Sie den Maschensatz, um aus uR (t) aus u1 (t) und u2 (t) zu
bestimmen.
Laborpraktikum 6 – Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II
9
3.3 DC-Entkopplung
Versuch 2.7
4/5
Bei sogenannten Mischsignalen besteht die Spannung u1 (t) aus einer mittelwertfreien, zeitlich veränderlichen Spannung uq (t) und einem konstanten Gleichanteil
3 DC-Entkopplung
Uq0 . Möchte man nun den zeitlich veränderlichen Anteil der Spannung u1 (t) isoliert
Bei sogenannten Mischsignalen bei denen zusätzlich zu einer periodischen, mittelwertfreien
(das nennt man
kann man dafür die nachfolgend abge1 U DC-Entkopplung)
Wechselspannung u1wbetrachten
(t) ein Gleichspannungsanteil
1 0 enthalten ist (u1 (t) = U1 0 + u 1 W(t)), wünscht man
gelegentlich nur den Wechselspannungsanteil
ohne die Gleichspannung
betrachten (DC-Entkopplung).
bildete Schaltung verwenden.
Sofern diezuFrequenzen
des Wechselanteils hoch genug
Dies kann mit folgender Schaltung erreicht werden:
Ri
uq(t)
C
u1(t)
i(t)
R
u2(t)
Uq0
Figur 7.5 DC-Entkopplung mit Kondensator
Sofern die Frequenz hoch genug ist (T « τ),Abbildung
wird der Wechselanteil
des Kondensator-Ladestroms
8: Schaltung
zur DC-Entkopplung.der
Wechselspannung u1w(t) zeitlich folgen und am Widerstand R ein entsprechendes Signal u2 (t) ≈ u1w(t)
erzeugen. Der Gleichspannungsanteil U1 0 hingegen wird über dem Kondensator "hängen", da für tiefe
Frequenzen2 der Aufladevorgang
dem zeitlichen
Signalverlauf
folgen kann.sichtbar,
Die
sind (ωτ des
1) Kondensators
wird dieser Anteil
am Ausgang
der Schaltung
während der
getrennte Betrachtungsweise für beide Spannungskomponenten ist wegen der Linearität der Schaltung3
erlaubt (Superpositionsprinzip).
Gleichanteil, wie im Theorieteil erklärt, nicht übertragen wird.
Messaufgaben
(a) Bestimmen Sie für sinusförmige Mischsignale ab welcher Frequenz die DC-Entkopplung
• Bestimmen Sie für sinusförmige
Mischsignale
ab Eingangswelcher Frequenz
die DC-Entkopplung
wirkt.
wirkt. Stellen
Sie dazu
und Ausgangssignal
für verschiedene
FrequenVerwenden Sie auch andere Formen als sinusförmige für den Wechselanteil des Signals (z. B. Rechteck,
zen in einer gemeinsamen Figur dar. Verwenden Sie auch andere Formen als
Dreieck).
sinusförmige für den Wechselanteil des Signals (z. B. Rechteck, Dreieck)
Simulieren Sie das Verhalten der Schaltung mit Matlab/Simulink und zeigen Sie, dass nach Abklingen
einer transienten Phase die Schaltung ihre Funktion erfüllt.
(b) Beim Kathodenstrahloszillograph wird im AC-Modus eine DC-Entkopplung nach
• Beim Kathodenstrahloszillograph
wird8 im
AC-Modus eine
DC-Entkopplung
nachkann
demman
obenden Wert des Entdem in Abb.
beschriebenen
Prinzip
realisiert. Wie
beschriebenen Prinzip realisiert. Wie kann man den Wert des Entkopplungskondensators des KO
kopplungskondensators C und des Innenwiderstandes R des Oszilloskops mesmesstechnisch bestimmen?
stechnisch bestimmen? Hinweis: Rechteckspannung im DC- und im AC-Modus
betrachten und Frequenz verändern.
Hinweis: Rechteckspannung im DC- und im AC-Modus betrachten und Frequenz verändern.
3.4 Benötigte Laborausrüstung
• Funktionsgenerator (HM 8030)
• Multimeter (HM8011)
1
2
3
Der Gleichspannungsanteil eines (periodischen) Mischsignals x(t) entspricht dem linearen
1
• Kathodenstrahloszillograph
(Hameg HM 1507) mit 2 Sonden (10:1 Tastkopf)
Mittelwert dieses Signals:
X0 = ∫ x(t ) dt .
TT
• LC-Meter
(HM T8018),
nicht
an allender
Messplätzen
vorhanden
Das Integral ist dabei über
die Periodendauer
zu bilden
und entspricht
Fläche unter der
Kurve
x(t) zwischen den Abszissenwerten t0 und t0 +T. Zieht man den linearen Mittelwert von einem
Mischsignal ab, so erhält
ein mittelwertfreies, rein wechselstromartiges Signal.
• man
Widerstandsdekaden
Gleichstrom hat die Frequenz Null.
Die Schaltung besteht nur aus linearen Elementen wie Widerstände und Kondensatoren.
ZHAW, School of Engineering
12. Mai 2009, © M. Schlup
Laborpraktikum 6 – Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II
10
3.5 Messobjekte
• Schnittbandkern Schnittbandkern (nach DIN 41309: SG 108/19, nach IEC: Q
9.1; Banddicke 0.33 mm) aus TRAFOPERM N2 mit zwei Wicklungen und
einstellbarem Luftspalt (Abstandspapier: 0.05 mm / 0.1 mm), lF e = 25.9 cm,
AF e = 2.87 cm2 , Wicklungen: N1 = N2 = 100, RCu = 0.2 Ω
• Schnittbandkern(Dynamoblech) (lF e = 13 cm, AF e = 1.7 cm2 , N1 = N2 =
100)
• ToroidausPermalloy F (lF e = 100 mm, AF e = 40 mm2 , N1 = N2 = 20, RCu =
0.1 Ω, Imax = 2 A)