K2 MATHEMATIK KLAUSUR Aufgabe PT WTA WTGS Darst
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K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26. 02. 2015 Aufgabe Punkte (max) Punkte Notenpunkte PT 28 WTA 15 WTGS Darst. Gesamtpunktzahl 15 2 60 PT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max) 2 2 3 5 4 3 3 4 2 Punkte WT Ana P. (max) Punkte A.1a) 6 WT Geo G.a) P. (max) 4 Punkte b) c) d) Summe 4 3 2 15 b) 3 c) 3 S Summe 5 15 GTR und Formelsammlung dürfen erst nach Abgabe des Pflichtteils abgeholt werden. Von den beiden Formpunkten ist einer für die Darstellung und einer für die ausreichende Dokumentation der Rechenwege und Überlegungen. 1 2 26. 02. 2015 Pflichtteil (1) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f (x) = 1 + 2x · sin x. (2) Zeigen Sie, dass G(x) = (x + 2)e−2x eine Stammfunktion von f (x) = −(2x + 3)e−2x ist, und bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f mit F (0) = 1. (3) Lösen Sie die Gleichung 3x3 − 2x = x−1 . (4) Das Schaubild der Funktion f mit f (x) = x3 − 3x2 besitzt einen Wendepunkt. Die Normale im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. (5) Für die Funktion f gilt für alle x mit 1 ≤ x ≤ 4: • f (x) > 0 • f 0 (x) < 0 • f 00 (x) < 0 Welche Eigenschaften hat demnach der Graph von f ? Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen von f . 26. 02. 2015 3 (6) Gegeben sind die Ebenen E : 3x1 + 2x2 − 3x3 = 6 und F : 2x1 + 2x2 − 3x3 = 0. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat diese Gerade? (7) Die Gerade g verläuft parallel zur x1 -Achse durch den Punkt P (0|2|0). Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an. Bestimmen Sie einen möglichen Punkt C auf g so, dass das Dreieck ABC mit A(6|4|0) und B(1|4|0) bei C einen rechten Winkel hat. (8) In einem Behälter befinden sich 2 rote und 4 blaue Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln rot ist. b) Wie viele rote Kugeln hätten sich in dem Behälter befinden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine rote Kugel zu ziehen, 0,84 betragen hätte? (9) Gegeben sind die beiden Vektoren ~a = 10 und ~b = 12 . Alle Punkte X mit den Ortsvektoren ~x = r · ~a + s · ~b; 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ s ≤ 1 bilden eine Figur F . Stellen Sie die Vektoren ~a und ~b, sowie die Figur F in einer Skizze dar, und geben Sie den Flächeninhalt von F an. 4 26. 02. 2015 Wahlteil Analysis Die folgende Tabelle zeigt die Entwicklung einer Mäusepopulation in einem Lagerhaus für 200 Tage: Zeit in Tagen 0 10 20 30 40 50 100 150 200 Anzahl der Mäuse 50 80 132 215 350 540 2.990 4.720 4.980 a) In einer ersten Modellierung soll exponentielles Wachstum mit der Funktion f mit f (t) = a · ekt angenommen werden (t in Tagen und f (t) in Anzahl der Mäuse zum Zeitpunkt t). Bestimmen Sie die Parameter a und k mithilfe der Daten für t = 0 und t = 40. (Kontrollergebnis: a = 50 und k ≈ 0, 04865) Berechnen Sie, wie viele Mäuse nach 100 Tagen im Lagerhaus leben und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Tabellenwert. Bestimmen Sie den Tag, in dessen Verlauf die Anzahl von 1000 Mäusen überschritten wird. Ermitteln Sie den Tag, an dem die momentane Zuwachsrate erstmalig größer als 10 Mäuse pro Tag ist. Erläutern Sie die Grenzen dieser Modellierung im Sachzusammenhang. b) In einer zweiten Modellannahme wird die Anzahl der Mäuse beschrieben durch die Funktion g mit 5 000 g(t) = . 1 + 100 · e−0,05t Wie viele Mäuse werden langfristig im Lagerhaus leben? Skizzieren Sie das Schaubild von g und die Asymptote. Welche Bedeutung hat die Funktion d(t) = f (t)−g(t) im Sachzusammenhang? c) Bestimmen Sie die Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate von g mit der durchschnittlichen Änderungsrate von g zwischen t = 0 und t = 200 übereinstimmt. d) Die Anzahl der Mäuse soll mit Hilfe einer Funktion B modelliert werden, die der Differentialgleichung des beschränkten Wachstums B 0 (t) = k(S − B(t)) genügt. Dabei soll die Schranke wie in b) und der Anfangsbestand wie in der angegebenen Tabelle gewählt werden, und die Proportionalitätskonstante soll gleich 0, 02 sein. Geben Sie die Differentialgleichung an, der B(t) genügt, sowie einen Funktionsterm von B. 26. 02. 2015 5 Wahlteil Geometrie Gegeben sind die Punkte A(1| − 1|1), B(−3| − 3|4), C(3| − 3| − 2). a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, die A, B und C enthält. Die Schnittpunkte S1 , S2 , S3 der Ebene mit den Koordinatenachsen bilden ein Dreieck. Zeichnen Sie dieses Dreieck in ein Koordinatensystem. (Teilergebnis: E : 2x2 − x2 + 2x3 = 5). b) Zeigen Sie, dass das Dreieck S1 S2 S3 gleichschenklig ist. Dieses Dreieck bildet die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S(3, 5| − 3|3, 5). Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide. c) Die Gerade g enthält die Punkte A und C. Zeigen Sie, dass der Punkt P (0|5|2) nicht auf g liegt. Der Punkt P rotiert um die Achse g. Der dabei entstehende Kreis ist Grundkreis eines Kegels, dessen Spitze in A liegt. Bestimmen Sie das Volumen dieses Kegels. Stochastik. Bei der maschinellen Herstellung von Wurfpfeilen (Darts) in einer Firma sind 95 % aller Pfeile fehlerfrei. Fehler treten nur als Material- oder Montagefehler auf. Am Ende des Produktionsprozesses werden die Wurfpfeile zufällig in Sets zu je drei Pfeilen verpackt. a) Der laufenden Produktion werden zufällig 60 Wurfpfeile entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A: Von den entnommenen Wurfpfeilen sind mindestens 50, aber höchstens 55 fehlerfrei. B: Von den entnommenen Wurfpfeilen sind mehr fehlerfrei, als man erwarten kann. Wie viele Wurfpfeile müssen der laufenden Produktion entnommen werden, damit darunter genau 6 fehlerhafte Wurfpfeile zu erwarten sind? b) Berechnen Sie, wie viele Sets ein Kontrolleur mindestens der Produktion entnehmen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 98 % mindestens ein Set mit mindestens zwei fehlerhaften Wurfpfeilen zu erhalten.
