Variationsrechnungen zu Bose-Einstein

Variationsrechnungen zu
Bose-Einstein-Kondensaten in
PT -symmetrischen Doppelmuldenpotentialen
Masterarbeit von
Dennis Dast
25. Oktober 2012
Erster Prüfer: Prof. Dr. Günter Wunner
Zweiter Prüfer: Prof. Dr. Alejandro Muramatsu
1. Institut für Theoretische Physik
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
1.1. Motivation und Einführung in das Thema . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
2. Zeitabhängiges Variationsprinzip der Gross-Pitaevskii-Gleichung
2.1. Gross-Pitaevskii-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. GPE mit kurzreichweitiger Wechselwirkung . . . . . .
2.2. Zeitabhängiges Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Variationsprinzip nach McLachlan . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Anwendung auf gaußsche Wellenpakete . . . . . . . . .
2.2.3. Zeitentwicklung und stationäre Lösungen . . . . . . . .
2.2.4. Lineare Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. PT -Symmetrie in nichtlinearen Quantensystemen
3.1. PT -symmetrische Systeme . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Eigenschaften komplexer Potentiale . . . .
3.1.2. Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme
3.1.3. PT -Symmetrie in nichtlinearen Systemen .
3.2. Bifurkationen und exzeptionelle Punkte . . . . . .
3.2.1. Bifurkationen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Analytische Fortsetzung . . . . . . . . . .
3.2.3. Exzeptionelle Punkte . . . . . . . . . . . .
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4. PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
5. Stationäre Lösungen
5.1. Eindimensionale stationäre Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Stationäre Lösungen im linearen Fall . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Stationäre Lösungen im nichtlinearen Fall . . . . . . . . .
5.2. Dreidimensionale stationäre Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Ansatz mit Gaußfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Stationäre Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Analytische Fortsetzung der PT -symmetrischen Zustände
5.3.2. Vollständige analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . .
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iii
Inhaltsverzeichnis
5.4. Exzeptionelle Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1. Exzeptioneller Punkt im linearen Fall . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2. Bifurkation bei reellem Potential . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3. Exzeptionelle Punkte im nichtlinearen nichthermiteschen Fall .
6. Dynamik und Stabilität
6.1. Lineare Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Stabilität im linearen Fall . . . . . . . . . . . .
6.1.2. Stabilität im nichtlinearen Fall . . . . . . . . . .
6.1.3. Stabilität in der Nähe der exzeptionellen Punkte
6.2. Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Dynamik der PT -symmetrischen Zustände . . .
6.2.2. Dynamik der PT -gebrochenen Zustände . . . .
6.3. Normunabhängige Nichtlinearität . . . . . . . . . . . .
6.4. Lineare Stabilität in drei Dimensionen . . . . . . . . .
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7. Konvergenz der Lösungen
103
7.1. Konvergenz in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2. Konvergenz in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8. Zusammenfassung und Ausblick
109
A. Gaußintegrale
113
A.1. Gaußintegrale in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.2. Gaußintegrale in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Danksagung
iv
121
1. Einleitung
1.1. Motivation und Einführung in das Thema
Der Standardformalismus der Quantenmechanik basiert auf der Forderung, dass alle
physikalischen Observablen hermitesch sind (siehe z. B. [1]). Diese Forderung folgt aus
dem Postulat, dass messbare Größen die Eigenwerte von Operatoren sind, welche die
physikalischen Größen repräsentieren. Da die Messwerte physikalischer Größen reell
sind, sollten die zugehörigen Operatoren hermitesch sein. Auf den Hamiltonoperator
bezogen, werden durch die Hermitizität sowohl reelle Energieeigenwerte als auch die
Teilchenzahlerhaltung garantiert.
Nichthermitesche Hamiltonoperatoren ermöglichen jedoch eine elegante Beschreibung
offener Quantensysteme und deren Auswirkungen wie z. B. Resonanzphänomene [2]. Sie
werden verwendet, um auslaufende Randbedingungen einzuführen oder zur Erzeugung von
Gewinn- und Verlustbeiträgen durch imaginäre Potentiale. Auch wenn in den meisten Fällen die Schrödingergleichung verwendet wird, sind nichthermitesche Hamiltonoperatoren
nicht auf die lineare Quantenmechanik beschränkt. Bei der Beschreibung eines BoseEinstein-Kondensats (BEC) in der Mean-field-Näherung der Gross-Pitaevskii-Gleichung
(GPE) werden inelastische Drei-Körper-Stöße üblicherweise durch ein imaginäres Verlustpotential eingeführt. Die nichthermitesche Form der GPE ermöglicht, den Zerfall eines
Kondensats mit der Methode der komplexen Skalierung [3, 4] zu beschreiben und liefert
einen Zugang zu Transportphänomenen [5] sowie der theoretischen Untersuchung von
dissipativen optischen Gittern [6, 7]. Des Weiteren erlaubt sie die Entdeckung exzeptioneller Punkte in stationären Lösungen der GPE [8, 9] mithilfe von Effekten, die nur in
der komplexen Umgebung von physikalischen Parametern sichtbar sind [9].
Eine spezielle Klasse nichthermitescher Hamiltonoperatoren erregte in den letzten Jahren große Aufmerksamkeit. Es handelt sich um Hamiltonoperatoren, die eine Paritäts-ZeitSymmetrie besitzen, d. h. die mit dem Paritäts-Zeit-Operator vertauschen, [PT , H] = 0.
Bender und Boettcher [10] zeigten, dass diese Hamiltonoperatoren bemerkenswerte
Eigenschaften besitzen. Insbesondere fanden sie, dass für bestimmte Stärken des nichthermiteschen Beitrags rein reelle Eigenwertspektren existieren.
In jüngster Zeit gelang erstmals die experimentelle Beobachtung von PT -Symmetrie
in optischen Wellenleitern [11, 12]. Hierfür wird die Analogie der Maxwell-Gleichungen
mit der Schrödingergleichung genutzt, um ein PT -symmetrisches Quantensystem zu
simulieren. Die Analogie beruht auf der Tatsache, dass die Transversalmode einer elektromagnetischen Welle in einem Wellenleiter formal zu einem Teilchen äquivalent ist, das
1
1. Einleitung
durch die eindimensionale Schrödingergleichung mit dem Potential V (x) = −k 2 n2 (x) und
der Energie E = −β 2 beschrieben wird. Hierbei bezeichnet k = ω/c die Wellenzahl im
Vakuum, n(x) den ortsabhängigen Brechungsindex und β die Fortpflanzungskonstante.
Das PT -symmetrische Potential wird durch einen komplexen Brechungsindex realisiert,
der Gewinn und Verlust der propagierenden Welle beschreibt. Es wurde eine Reihe von
Vorschlägen für die Umsetzung eines PT -symmetrischen Wellenleiters gemacht [13–18].
Die experimentelle Realisierung gelang schließlich auf zwei verschiedene Arten. Zum einen
durch Guo et al. in einem passiven System mit einem Verlustterm auf einer Seite [11]
und zum anderen von Rüter et al. durch aktiv erzeugte Gewinn- und Verlustbeiträge in
den jeweiligen Wellenleitern [12].
Trotz des Durchbruchs, die Effekte der PT -Symmetrie in einem optischen Experiment
nachzuweisen, fehlt weiterhin der experimentelle Nachweis in einem echten Quantensystem. In dieser Arbeit wird statt eines optischen Analogons ein echtes Quantensystem in
einem realistischen PT -symmetrischen Potential untersucht. Es wird gezeigt, dass ein
BEC in einem PT -symmetrischen Potential ein vielversprechender Ansatz für ein experimentell zugängliches PT -symmetrisches Quantensystem ist. Hierfür folgen wir einem
Vorschlag von Klaiman et al. [18] und untersuchen ein BEC in einem dreidimensionalen
Doppelmuldenpotential [19], in welchem Teilchen aus der einen Mulde entfernt und in
die andere Mulde hinzugefügt werden.
Es wurde bereits gezeigt, dass eine wichtige Voraussetzung für ein solches Experiment
erfüllt ist. Um die Effekte der PT -Symmetrie beobachten zu können, muss das Kondensat
in den zwei Mulden kohärent bleiben, was eine nichttriviale Aufgabe für eine experimentelle Realisierung darstellt. Shin et al. [20] zeigten, dass es möglich ist eine bidirektionale
Kopplung zwischen BECs in einem optischen Doppelmuldenpotential zu erzeugen. Dazu
wurden kontinuierlich Atome aus den zwei räumlich getrennten Mulden mit Braggstrahlen ausgekoppelt und überlagert. Eine alternative Realisierung eines BECs in einem
Doppelmuldenpotential gelang Gati et al. [21], indem eine dreidimensionale harmonische
Falle mit einem eindimensionalen periodischen Potential mit großer Gitterkonstante
kombiniert wurde.
Bei ausreichend niedrigen Temperaturen wird ein BEC mit schwach wechselwirkenden
Bosonen in der Mean-field-Näherung gut durch die GPE [22, 23] beschrieben. Die GPE
kann als die Hartree-Gleichung für den Grundzustand verstanden werden, der aus N
wechselwirkenden identischen Bosonen in der kondensierten Phase besteht, d. h. alle
Teilchen besetzen dasselbe Einteilchen-Orbital. In der GPE kann ein Gewinn oder Verlust
von Teilchen durch ein imaginäres Potential beschrieben werden, das zu einem Anstieg
oder Abfall der Wahrscheinlichkeitsamplitude führt. Da die Norm der Wellenfunktion die
Wahrscheinlichkeit bezeichnet, das gesamte Kondensat in der Doppelmuldenanordnung
zu finden, lassen sich die Gewinn-/Verlustterme durch das komplexe Potential als kohärentes Hinzufügen oder Herausnehmen von Teilchen in das bzw. aus dem Kondensat
interpretieren.
Bei der Behandlung eines BECs in einem PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential
muss besonderes Augenmerk auf die Nichtlinearität der GPE g|ψ|2 gelegt werden. Diese
2
1.2. Aufbau der Arbeit
resultiert aus der kurzreichweitigen van der Waals-Wechselwirkung, die in einem verdünnten Gas in guter Näherung durch einen s-Wellen-Streuprozess beschrieben wird und
ist proportional zur Streulänge. Aufgrund der Nichtlinearität wird nicht alleine durch die
Wahl eines äußeren PT -symmetrischen Potentials garantiert, dass der Hamiltonoperator
selbst PT -symmetrisch ist. Die Symmetrie des Hamiltonoperators hängt zusätzlich von
dem Zustand ab, in dem sich das System befindet. Nur wenn das Betragsquadrat des
Zustands eine gerade Funktion in den Ortskoordinaten ist, bleibt die PT -Symmetrie des
Hamiltonoperators erhalten. Da für PT -symmetrische Funktionen das Betragsquadrat
eine gerade Funktion ist, besitzt der nichtlineare Hamiltonoperator der GPE grundsätzlich
eine Form, die weiterhin PT -symmetrische Eigenzustände mit reellen Energieeigenwerten
unterstützt. Trotzdem ist a priori nicht klar, ob die Effekte der PT -Symmetrie auch in
nichtlinearen Systemen beobachtet werden können.
Ziel dieser Arbeit ist es, nachzuweisen, dass BECs in einem PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential tatsächlich stationäre Zustände mit reellen Energieeigenwerten aufweisen.
Neben grundsätzlichen Betrachtungen zu PT -Symmetrie in nichtlinearen Modellen werden hierfür die zeitunabhängige und zeitabhängige GPE in drei Dimensionen mit einem
leistungsfähigen gaußschen Variationsansatz gelöst. Es schließen sich Untersuchungen zur
Dynamik und Stabilität an, um die Beobachtbarkeit der stationären Zustände zu analysieren. Insbesondere wird der Einfluss der Nichtlinearität der GPE bei unterschiedlichen
Streulängen auf das PT -symmetrische System untersucht.
Ein Modell für ein BEC in einem Doppelmuldenpotential mit Gewinn- und Verlusttermen wurde bereits von Graefe et al. [24–26] mit einem PT -symmetrischen ZweiModen Bose-Hubbard-Modell untersucht. Es konnte gezeigt werden, dass einige typische Eigenschaften beobachtbar sind, die in Anwesenheit von PT -Symmetrie erwartet werden. Darüber hinaus zeigt das idealisierte Model eines BECs in einem PT symmetrischen δ-Funktionen-Doppelmuldenpotential, dass PT -symmetrische stationäre
Lösungen mit reellen Energieeigenwerten existieren [27, 28]. Des Weiteren sind analytische
PT -symmetrische Lösungen von quantenmechanischen [17, 29] und optischen [30] Modellpotentialen mit Nichtlinearität bekannt. Wie in dieser Arbeit gezeigt wird, lässt sich
die Symmetriebrechung, die in reellen Doppelmuldenanordnungen beobachtet wird [31],
mit dem Auftauchen von PT -gebrochenen Wellenfunktionen in PT -symmetrischen Potentialen in Verbindung bringen.
1.2. Aufbau der Arbeit
Kapitel 2 beginnt mit einer kurzen Herleitung der Gross-Pitaevskii-Gleichung, die
ein Bose-Einstein-Kondensat mit kurzreichweitiger Wechselwirkung in der Mean-fieldNäherung beschreibt. Anschließend wird das zeitabhängige Variationsprinzip mit gekoppelten Gaußfunktionen beschrieben, das zur Lösung der Gross-Pitaevskii-Gleichung
verwendet wird. Es ermöglicht die numerische Berechnung von stationären Zuständen
und liefert einen direkten Zugang zu Dynamik- und Stabilitätsuntersuchungen.
3
1. Einleitung
In Kapitel 3 werden PT -symmetrische Quantensysteme behandelt, wobei überprüft
wird inwieweit sich die Eigenschaften der PT -Symmetrie in linearen Systemen auf
nichtlineare Systeme wie die Gross-Pitaevskii-Gleichung übertragen lassen. Des Weiteren
werden die für nichtlineare und nichthermitesche Systeme charakteristischen Bifurkationen
und exzeptionellen Punkte anhand einfacher Modelle untersucht.
Kapitel 4 stellt das in dieser Arbeit verwendete PT -symmetrische Doppelmuldenpotential in einer und in drei Dimensionen vor.
Die stationären Lösungen für das eindimensionale und das dreidimensionale System
werden in Kapitel 5 präsentiert. Es folgt eine analytische Fortsetzung der stationären
Zustände, die auf zwei Arten durchgeführt wird, und eine nähere Untersuchung und
Klassifizierung der im System auftauchenden exzeptionellen Punkte und Bifurkationen.
Das folgende Kapitel 6 beschäftigt sich mit der linearen Stabilität und Dynamik der
stationären Zustände, wobei insbesondere auf das Verhalten in der Nähe der exzeptionellen
Punkte eingegangen wird. Es wird eine normunabhängige Nichtlinearität für die GrossPitaevskii-Gleichung eingeführt und deren Auswirkung auf die Stabilität untersucht. Das
Kapitel endet mit einem Vergleich der Stabilität in einer und in drei Dimensionen.
In Kapitel 7 wird der Ansatz für die Wellenfunktion verbessert, indem die Zahl der
gekoppelten Gaußfunktionen erhöht wird. Für die Ergebnisse in einer Dimension erfolgt
zusätzlich ein Vergleich mit numerisch exakten Lösungen.
Die Ergebnisse dieser Arbeit werden in Kapitel 8 zusammengefasst.
4
2. Zeitabhängiges Variationsprinzip der
Gross-Pitaevskii-Gleichung
2.1. Gross-Pitaevskii-Gleichung
Die Bose-Einstein-Kondensation eines idealen Bosegases wurde in den Jahren 1924/25 von
Bose [32] und Einstein [33, 34] vorhergesagt. Man bezeichnet damit den Vorgang, dass unterhalb einer kritischen Temperatur ein Teil des Gases in den Grundzustand kondensiert.
1961 entwickelten Gross [22] und Pitaevskii [23] unabhängig voneinander die GrossPitaevskii-Gleichung (Gross–Pitaevskii equation, GPE), die ein Bose-Einstein-Kondensat
(Bose-Einstein condensate, BEC) mit Zwei-Teilchen-Wechselwirkung beschreibt. Wechselwirkungen zwischen mehr als zwei Teilchen können aufgrund der geringen Dichte in
einem BEC vernachlässigt werden. Im Folgenden wird eine kurze Herleitung der GPE
beschrieben, für eine ausführliche Behandlung sei auf [35] verwiesen.
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung des bosonischen Vielteilchensystems bestehend aus N Teilchen und mit dem Zwei-Teilchen-Wechselwirkungspotential V (ri , rj )
lautet

N 
X
~2
−
 2m ∆i
i=1

+ Vext (r, t) +
N

1X
V (ri , rj )
 Ψ(r1 , . . . , rN ) = EΨ(r1 , . . . , rN ).
2 j=1
(2.1)
j6=i
Der Faktor 1/2 im Wechselwirkungspotential ist nötig, weil in der Summe über V (ri , rj )
sowohl die Wechselwirkung von Teilchen i auf Teilchen j als auch die identische Wechselwirkung von Teilchen j auf Teilchen i berücksichtigt wird und somit jede Wechselwirkung
doppelt in der Summe auftritt.
Die exakte Lösung der Vielteilchengleichung (2.1) muss numerisch erfolgen und ist für
typische Kondensatgrößen mit 105 –106 Atomen auf heutigen Rechnern sehr schwierig
oder unmöglich. Die kondensierte Phase bei extrem niedrigen Temperaturen lässt sich
jedoch sehr gut durch eine Mean-field-Näherung beschreiben. Als Mean-field-Ansatz wird
ein Produkt identischer Einteilchenwellenfunktionen ψ(ri ) verwendet
Ψ(ri , . . . , rN ) =
N
Y
ψ(ri ).
(2.2)
i=1
Ein Produktansatz ist aufgrund des Wechselwirkungsterms keine exakte Lösung der
Schrödingergleichung. Es werden hierbei Korrelationen zwischen den Teilchen vernachlässigt, was jedoch für schwache Wechselwirkungen eine gerechtfertigte Näherung darstellt.
5
2. Zeitabhängiges Variationsprinzip der Gross-Pitaevskii-Gleichung
Im gewählten Ansatz wird außerdem angenommen, dass sich sämtliche Teilchen im
Grundzustand befinden. Diese Annahme ist für Temperaturen weit unter der kritischen
Temperatur gut erfüllt.
Die Einteilchenwellenfunktion ψ(r) wird durch Minimierung der Mean-field-Energie
Emf bestimmt. Die Mean-field-Energie ist der Erwartungswert des Vielteilchen-Hamiltonoperators H im Mean-field-Zustand (2.2)
Emf =
=
Z
Z
3
d r1 . . .
Z
"
3
d r −N
d3 rN ψ ∗ (r1 ) . . . ψ ∗ (rN ) H ψ(r1 ) . . . ψ(rN )
~2 ∗
ψ (r)∆ψ(r) + N Vext |ψ(r)|2
2m
Z
1
+ N (N − 1) d3 r0 V (r, r0 )|ψ(r0 )|2 |ψ(r)|2 .
2
(2.3)
Das Mean-field-Funktional wird nun unter Variation der
Einteilchenwellenfunktion ψ(r)
R 3
minimiert, mit der Nebenbedingung, dass die Norm d r|ψ(r)|2 = 1 erhalten bleibt.
Die Nebenbedingung geht über den Lagrange-Parameter µN in die Variation ein. Die
Funktionalableitung nach ψ ∗ (r) muss am Minimum der Mean-field-Energie verschwinden:
δ
!
Emf − µN
d3 r|ψ(r)|2 − 1 = 0.
(2.4)
∗
δψ (r)
Diese Forderung liefert zusammen mit der für große Teilchenzahlen gültigen Näherung
N ≈ N − 1 die zeitunabhängige Gross-Pitaevskii-Gleichung für beliebige Zwei-TeilchenWechselwirkungen
"
Z
#
Z
~2
−
∆ + Vext (r) + N d3 r0 V (r, r0 )|ψ(r0 )|2 ψ(r) = µψ(r).
2m
(2.5)
mf
Hierbei bezeichnet µ das chemische Potential, da es die Relation hµi = ∂E
erfüllt, und
∂N
dies für N 1 der Definition des chemischen Potentials entspricht Emf (N )−Emf (N −1) ≈
∂Emf
. Die GPE ist eine nichtlineare Schrödingergleichung, die zusätzlich zur kinetischen
∂N
und potentiellen Energie eine Wechselwirkungsenergie enthält. Die Wechselwirkungsenergie wird durch Integration über die gesamte Wellenfunktion gebildet. Es handelt sich
daher um eine Integro-Differentialgleichung.
2.1.1. GPE mit kurzreichweitiger Wechselwirkung
Die kurzreichweitige Wechselwirkung zwischen ungeladenen Atomen wird von der van der
Waals-Kraft bestimmt. Diese lässt sich beispielsweise durch das Lennard-Jones-Potential
V (r) =
Cn C6
− 6,
rn
r
oft n=12
(2.6)
beschreiben. Da die Dichte in BECs gering ist, kann die Wechselwirkung in guter Näherung durch Streuung an dem Potential beschrieben werden. Hierfür werden Methoden
6
2.1. Gross-Pitaevskii-Gleichung
der elementaren Streutheorie angewendet, die in Lehrbüchern der Quantenmechanik behandelt werden [36]. Einige elementare Beziehungen sollen hier zum besseren Verständnis
rekapituliert werden. Da die van der Waals-Wechselwirkung nur von der relativen Lage
zweier Teilchen abhängt, lässt sich der Streuprozess im Schwerpunktsystem als Streuung
eines Teilchens mit der reduzierten Masse m̃ = (1/m1 + 1/m2 )−1 am Potential V (r)
beschreiben. Ist das einlaufende Teilchen genügend weit entfernt, ist der Einfluss des
Streupotentials vernachlässigbar. Die Wellenfunktion in diesem Zustand wird als bekannt
angenommen. Die folgende zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion ist eine Überlagerung stationärer Zustände des Hamilton-Operators H = T + V (r) mit der kinetischen
Energie T = −~2 /2m̃ ∆. Die stationäre Schrödingergleichung lässt sich schreiben als
"
oder
#
~2
−
∆ + V (r) ψ(r) = Eψ(r),
2m̃
2m̃
2
∆ + k − 2 V (r) ψ(r) = 0,
~
(2.7)
mit der Energie E = ~2 k 2 /2m̃. Die Lösungen dieser Eigenwertgleichung werden stationäre
Streuzustände genannt und im Folgenden mit ψk (r) bezeichnet. Die Streuzustände müssen
in Analogie zur Wellenoptik die asymptotische Form
r→∞
ψk (r) ∼ eikz + fk (θ)
eikr
r
(2.8)
haben, welche die Relation (∆ + k 2 )ψk (r) = 0 erfüllt. Der Term eikz beschreibt den
ungestreuten Teil der Welle, also den einlaufenden und den transmittierten Teil. Der
zweite Term eikr /r beschreibt den gestreuten Teil der Welle. Dieser ist mit 1/r skaliert,
sodass der Wahrscheinlichkeitsfluss durch eine Kugelschale konstant ist. Die Funktion fk (θ)
wird als Streuamplitude bezeichnet und hängt vom Potential V (r) ab. Im vorliegenden
Fall eines Zentralpotentials hängt die Streuamplitude nur vom Polarwinkel θ ab und
lautet
∞
1X
fk (θ) =
(2l + 1)eiδl sin δl Pl (cos θ),
(2.9)
k l=0
mit den Legendre-Polynom Pl (x), der Drehimpulsquantenzahl l und der Streuphase δl .
Der gesamte Einfluss des Potentials V (r) auf ein Teilchen mit Drehimpuls l steckt in der
Streuphase δl . Die Streuphase lässt sich im asymptotischen Fall r → ∞ als die halbe
Phasenverschiebung interpretieren zwischen der unter dem Einfluss von V (r) auslaufenden
Welle und einer freien auslaufenden Welle bei verschwindendem Potential V (r) = 0.
Aus der Streuamplitude folgt direkt der differentielle Wirkungsquerschnitt
σ(θ) = |fk (θ)|2 .
(2.10)
Der totale Streuquerschnitt ist das Winkelintegral über den differentiellen Wirkungsquerschnitt
Z
∞
4π X
(2l + 1) sin2 δl .
(2.11)
σ = dΩσ(θ) = 2
k l=0
7
2. Zeitabhängiges Variationsprinzip der Gross-Pitaevskii-Gleichung
Im Allgemeinen werden zur Berechnung des Streuquerschnitts die Streuphasen zu sämtlichen Drehimpulsen l benötigt. Für Potentiale mit endlicher Reichweite und geringe
Einfallsenergien lässt sich die Summe jedoch vereinfachen. Es lässt sich zeigen, dass die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
einer freien Kugelwelle innerhalb einer Kugel mit dem
q
1
Radius ρl (k) = k l(l + 1) praktisch verschwindet. Ein Potential mit der Reichweite ρV
hat daher keinen Einfluss auf die Wellenfunktion
q wenn ρl (k) ρV gilt. Es kann somit ein
kritischer Drehimpuls lM über die Beziehung lM (lM + 1) ≈ kρV festgelegt werden. Bei
der Berechnung des Streuquerschnitts (2.11) muss nur bis zu diesem kritischen Drehimpuls lM summiert werden. Im Falle eines Bose-Einstein-Kondensates mit kurzreichweitiger
Wechselwirkung wird nur s-Wellen-Streuung (l = 0) betrachtet. Aufgrund der geringen
Temperatur wird der Streuquerschnitt im Grenzwert k → 0 berechnet. Gleichung (2.11)
lautet dann
sin δ0
σ = 4πa2 , mit a = − lim
,
(2.12)
k→0
k
wobei a die Streulänge bezeichnet.
Mit dieser Näherung lässt sich die Streuamplitude schreiben als
f (θ) = f = −
a
.
1 + iak
(2.13)
Da die Streuamplitude den Streuprozess vollständig charakterisiert, kann das van der
Waals-Potential durch ein Modellpotential ersetzt werden, das dieselbe Streuamplitude (2.13) besitzt. Das Modellpotential
V (r) = 2π~2
a 3
∂
δ (r) r
m̃
∂r
(2.14)
liefert dieselbe Streuamplitude, wie durch Einsetzen des Potentials (2.14) und der Wellenfunktion (2.8) in Gl. (2.7) überprüft werden kann:
"
#
!
∂
eikr
∆ + k − 4πaδ (r) r eikz + f (θ)
∂r
r
ikr
e
∂
= f (θ) (∆ + k 2 )
−4πaδ 3 (r) − 4πaf (θ)δ 3 (r) eikr
r}
∂r
|
{z
2
3
−4πδ 3 (r)
!
= −4π[(1 + iak)f (θ) + a]δ 3 (r) = 0
a
⇒ f (θ) = −
1 + iak
(2.15)
(2.16)
∂
Für reguläre Funktionen ψ(r) kann im Modellpotential der Term δ 3 (r) ∂r
r durch δ 3 (r)
ersetzt werden, da dann gilt
Z
8
Z
∂
d r δ (r) rψ(r) = d3 r
∂r
3
3
!
Z
∂
δ (r)ψ(r) + δ (r)r ψ(r) = d3 r δ 3 (r)ψ(r).
∂r
3
3
(2.17)
2.1. Gross-Pitaevskii-Gleichung
Wir ersetzen nun in der Gross-Pitaevskii-Gleichung (2.5) das Wechselwirkungspotential
a 3
durch das Modellpotential für reguläre Wellenfunktionen V (r, r0 ) = 4π~2 m
δ (r − r0 ) und
erhalten
"
#
~2
a
2
2
−
∆ + Vext (r) + 4π~ N |ψ(r)| ψ(r) = µψ(r).
(2.18)
2m
m
Für die weiteren Rechnungen wird die Gross-Pitaevskii-Gleichung auf eine dimensionslose Form gebracht. Wir führen eine an dieser Stelle nicht näher spezifizierte Längenskala
l ein, die durch die in Kapitel 4 eingeführte Fallenfrequenz festgelegt wird. Mit den
dimensionslosen Größen
r0 = r/l,
(2.19a)
ψ 0 (r0 ) = ψ(r)/l3/2 ,
0
Vext
(r0 ) = Vext (r)/,
µ0 = µ/,
(2.19b)
(2.19c)
(2.19d)
= ~2 /2ml2
(2.20)
wobei
die Energieskala bezeichnet, und mit der Einführung des dimensionslosen Nichtlinearitätsparameters
g = −8πN a/l
(2.21)
lautet Gl. (2.18) nach Division durch die Energieskala h
i
0
(r0 ) − g|ψ 0 (r0 )|2 ψ 0 (r0 ) = µ0 ψ 0 (r0 ).
−∆0 + Vext
(2.22)
In dieser Gleichung tauchen nun ausschließlich dimensionslose Größen auf, die durch
Striche gekennzeichnet sind. Die Striche können aus Gründen der Übersichtlichkeit
weggelassen werden,
h
i
−∆ + Vext (r) − g|ψ(r)|2 ψ(r) = µψ(r).
(2.23)
Die zeitabhängige GPE kann formal über die Zeitentwicklung der Feldoperatoren im
Heisenberg-Bild oder alternativ aus der Extremalisierung des Wirkungsfunktionals
S=
Z
"
g
∂
ψ(r, t) + |∇ψ(r, t)|2 + Vext (r)|ψ(r, t)|2 − |ψ(r, t)|4
d rdt −iψ(r, t)
∂t
2
∗
3
#
(2.24)
hergeleitet werden [35]. In beiden Fällen erhält man die zeitabhängige GPE, die in den
dimensionslosen Einheiten wie folgt lautet:
∂
ψ(r, t).
(2.25)
∂t
Im Falle von stationären Lösungen lässt sich die zeitliche Entwicklung der Kondensatwellenfunktion schreiben als
ψ(r, t) = ψ(r)e−iµt ,
(2.26)
h
i
−∆ + Vext (r) − g|ψ(r, t)|2 ψ(r, t) = i
womit man durch Einsetzen die zeitunabhängige GPE (2.23) erhält.
9
2. Zeitabhängiges Variationsprinzip der Gross-Pitaevskii-Gleichung
2.2. Zeitabhängiges Variationsprinzip
Zur Lösung der GPE wird in dieser Arbeit das zeitabhängige Variationsprinzip (timedependent variational principle, TDVP) mit gekoppelten Gaußfunktionen als Testwellenfunktionen verwendet. Im Folgenden wird die grundlegende Idee des TDVP und dessen
Anwendung mit gekoppelten Gaußfunktionen vorgestellt.
2.2.1. Variationsprinzip nach McLachlan
Die Testwellenfunktion ψ(t) wird durch einen endlichen Satz von zeitabhängigen Variationsparameter z(t) beschrieben, ψ(t) = ψ(z(t)). Der Ansatz wird im Allgemeinen die
zeitabhängige GPE iψ̇ − Hψ = 0 nicht exakt erfüllen können. Beim Variationsprinzip
nach McLachlan [37] wird das Funktional
I = ||iφ(t) − Hψ(t)||2
(2.27)
durch Variation nach φ minimiert. Anschließend wird ψ̇ ≡ φ gesetzt. Dieses Vorgehen
entspricht der Anschauung, dass zu jedem Zeitpunkt die Wellenfunktion ψ(t) als gegeben
angesehen wird und die Zeitableitung ψ̇(t) so gewählt wird, dass I minimal ist. Die
Variation von φ lässt sich schreiben als:
δ |φ(z, ż)i =
∂φ
∂z
+
· δz
∂φ
+ ∂ ż
+
· δ ż =
∂
∂ ż
!
+
+
∂ψ
∂ψ
· ż · δ ż = · δ ż .
∂z
∂z
(2.28)
Da nur Variationen nach φ bei festem ψ betrachtet werden, sind keine Variationen δz
erlaubt, da diese ψ verändern. Daher ist der Term mit δz gleich Null. Mit Gl. (2.28) folgt
für die Variation von I:
δI = δ (hφ|φi − hiφ|Hψi − hHψ|iφi + hHψ|Hψi)
= hδφ|φi + hφ|δφi − hiδφ|Hψi − hHψ|iδφi
*
=
∂ψ ψ̇ + iHψ
∂z +
*
· δ ż∗ + ψ̇
+
∂ψ
+ iHψ ∂z
!
· δ ż = 0.
(2.29)
Im Fall von reellen Parametern z sind die Variationen δ ż∗ und δ ż identisch und Gl. (2.29)
führt zu
*
+
∂ψ Re
ψ̇ + iHψ = 0.
(2.30)
∂z Für komplexe Parameter z sind die Variationen δ ż∗ und δ ż unabhängig und beide
Skalarprodukte in Gl. (2.29) müssen verschwinden,
*
10
+
∂ψ ψ̇ + iHψ = 0.
∂z (2.31)
2.2. Zeitabhängiges Variationsprinzip
2.2.2. Anwendung auf gaußsche Wellenpakete
Ein geeigneter Ansatz für die Wellenfunktion ψ ist eine Superposition aus N gaußschen Wellenpaketen [38, 39]. Bereits ein Ansatz aus einem gaußschen Wellenpaket kann
eine brauchbare Näherung liefern, da die Wellenfunktion eines BECs in einer harmonischen Falle gut mit einer Gaußfunktion übereinstimmt. Die Genauigkeit kann durch die
Hinzunahme weiterer Gaußfunktionen verbessert werden. Der allgemeine Ansatz in D
Raumdimensionen lautet
ψ(z, x) =
N
X
e−((x−q
k )Ak (x−qk )−ipk (x−qk )+ϕk )
≡
k=1
N
X
gk ,
(2.32)
k=1
mit den komplexen symmetrischen D × D Matrizen Ak , den reellen D-dimensionalen Vektoren pk und qk und dem komplexen Parameter ϕk . Die Matrix Ak legt die Ausdehnung
und die Rotation derD Gaußfunktion
im Raum fest. Der Vektor pk ist der Erwartungswert
E
∂
des Impulses pk = g k −i ∂x
g k . Der Vektor qk gibt die räumliche Verschiebung vom
D
E
Ursprung an und ist gleich dem Ortserwartungswert qk = g k xg k . Der Realteil von ϕk
bestimmt die Amplitude der Gaußfunktion, der Imaginärteil die relative Phase. Insgesamt
besitzt eine Gaußfunktion (D2 + 3D + 2) reelle Parameter. Es wurde gezeigt, dass solch
eine gaußsche Näherung präzise Lösungen der GPE liefert [40–42].
Das Variationsprinzip nach McLachlan lieferte die Gleichungen (2.30) und (2.31) für
reelle bzw. komplexe Parameter. Diese Gleichungen werden nun für den gaußschen Ansatz
ausgewertet. Zunächst wird der Term ψ̇ + iHψ untersucht. Hierfür wird die Zeitableitung
der gaußschen Funktionen benötigt, diese lautet:
ġ k =
∂g k k ∂g k k ∂g k k ∂g k k
Ȧ +
ṗ +
q̇ +
ϕ̇
∂Ak
∂pk
∂qk
∂ϕk
h
i
= −(x − qk )Ȧk (x − qk ) + iṗk (x − qk ) − ipk q̇k + 2q̇k Ak (x − qk ) − ϕ̇k g k . (2.33)
Der Hamiltonoperator wird in den kinetischen und potentiellen Teil aufgespalten H =
T + V . Die Wirkung des kinetischen Teils auf g k lautet
T g k = −∆g k
h
i
= 2 tr Ak + (pk )2 + 4ipk Ak (x − qk ) − 4(x − qk )(Ak )2 (x − qk ) g k .
(2.34)
Beide Ableitungen haben dieselbe Form, sie enthalten Terme in denen x bis zur zweiten
Potenz auftaucht, multipliziert mit dem Wellenpaket g k . Wir fassen die beiden Ausdrücke
11
2. Zeitabhängiges Variationsprinzip der Gross-Pitaevskii-Gleichung
zusammen und sortieren nach Potenzen von x
iġ k − T g k =
h
qk (4(Ak )2 − iȦk )qk + (4ipk Ak + ṗk − 2iq̇k Ak )qk − (pk )2 + pk q̇k − iϕ̇k − 2 tr Ak
+ −2qk (4(Ak )2 − iȦk ) + 2i(q̇k − 2pk )Ak − ṗk x
i
+x 4(Ak )2 − iȦk x g k
h
i
≡ v0k + v1k x + xV2k x g k .
(2.35)
Im letzten Schritt wurden die zeitabhängigen komplexen Koeffizienten v0k ∈ C, v1k ∈ CD
und V2k ∈ CD×D definiert:
V2k = 4(Ak )2 − iȦk ,
(2.36a)
v1k
v0k
(2.36b)
=
=
−2V2k qk + 2iAk (q̇k − 2pk ) − ṗk ,
qk V2k qk + (4ipk Ak + ṗk − 2iq̇k Ak )qk
− (pk )2 + pk q̇k − iϕ̇k − 2 tr Ak .
(2.36c)
k
Die Matrix V2k ist symmetrisch da Ak symmetrisch ist. Der Ausdruck Veff
(x) = v0k + v1k x +
k
xV2 x kann als effektives zeitabhängiges harmonisches Potential interpretiert werden, in
welchem sich jedes gaußsche Wellenpaket zeitlich entwickelt anstatt im zugrundeliegenden
k
externen Potential. Das Potential Veff
ist anders formuliert das Potential, zu welchem
k
das Wellenpaket g ein Eigenzustand ist. Wenn beim TDVP nur ein Wellenpaket anstatt
gekoppelter Gaußfunktionen verwendet wird, entspricht die Forderung, das Funktional
k
I (2.27) zu minimieren, der Aufgabe, das effektive Potential Veff
möglichst gut an das
zugrundeliegende Potential anzupassen. Aus den Gleichungen (2.36a)–(2.36c) folgen nach
Aufteilen von Gl. (2.36b) in Real- und Imaginärteil und Auflösen nach Ȧk , ṗk , q̇k und
ϕ̇k die Bewegungsgleichungen
Ȧk = −4i(Ak )2 + iV2k ,
(2.37a)
q̇k = 2pk + sk ,
(2.37b)
ṗk = − Re v1k − 2 Im Ak sk − 2 Re V2k qk ,
k
ϕ̇ =
iv0k
k
k 2
k k
+ 2i tr A − i(p ) − ip s +
iqk v1k
(2.37c)
+ iq
k
V2k qk ,
(2.37d)
mit der Abkürzung
1
sk = (Re Ak )−1 (Im v1k + 2 Im V2k qk ).
2
(2.38)
Um die Bewegungsgleichungen auszuwerten, müssen die Koeffizienten des effektiven
Potentials berechnet werden. Diese Koeffizienten müssen so gewählt werden, dass sie die
Gleichungen (2.30) und (2.31) erfüllen.
12
2.2. Zeitabhängiges Variationsprinzip
Nachdem der Ket-Vektor der Gleichungen (2.30) und (2.31) untersucht wurde, wird nun
der Bra-Vektor ausgewertet, der die Ableitungen der Wellenfunktion nach den gaußschen
Parametern enthält. Diese lauten:
∂g l
= −g l ,
l
∂ϕ
∂g l
= i(x − ql )g l ,
l
∂p
∂g l
= (2Al (x − ql ) − ipl )g l ,
∂ql
∂g l
= −(xα − qαl )(xβ − qβl )g l .
∂Alαβ
(2.39a)
(2.39b)
(2.39c)
(2.39d)
Nun kann Gl. (2.30) für die reellen Parameter p und q ausgewertet werden,
D
E
(2.40)
E
(2.41)
Im i(xα − qαl )g l (i∂t − H)ψ = 0,
Im
(2Alαβ (xβ − qβl ) − iplα )g l (i∂t
D
− H)ψ = 0,
mit l = 1, . . . , N und α, β = 1, . . . , D. Für die komplexen Parameter A und ϕ folgt mit
Gl. (2.31) analog
E
(2.42)
−g l (i∂t
E
(2.43)
D
−(xα − qαl )(xβ − qβl )g l (i∂t − H)ψ = 0,
D
− H)ψ = 0.
Die zwei reellen Gleichungen (2.40), (2.41) und die zwei komplexen Gleichungen (2.43),
(2.43) lassen sich zu drei komplexen Gleichungen zusammenfassen, die numerisch einfacher
zu handhaben sind. Dazu werden im ersten Schritt die Gleichungen (2.40) und (2.41)
unter Verwendung von Gl. (2.43) umgeformt
D
Im
D
Im ixα g l (i∂t − H)ψ = 0,
E
(2.44)
2Alαβ xβ g l (i∂t
E
(2.45)
− H)ψ = 0.
Aufteilen von Al in Real- und Imaginärteil Al = Alr + iAli in Gl. (2.45) liefert unter
Verwendung von (2.44)
D
E
2(Alr )αβ Re ixβ g l (i∂t − H)ψ = 0.
(2.46)
Der Realteil Alr ist proportional zum Inversen der Breite der Gaußfunktion. Da die
Gaußfunktionen normierbar sein müssen, um physikalische Lösungen darzustellen, muss
Alr positiv definit sein und daher hat Gl. (2.46) die Lösung
D
E
Re ixβ g l (i∂t − H)ψ = 0.
(2.47)
13
2. Zeitabhängiges Variationsprinzip der Gross-Pitaevskii-Gleichung
Die zwei reellen Gleichungen (2.44) und (2.47) lassen sich zu einer komplexen Gleichung
D
E
ixβ g l (i∂t − H)ψ = 0
(2.48)
zusammenfassen. Im letzten Schritt wird Gl. (2.42) umgeschrieben, dazu wird im BraVektor ausmultipliziert und die Gleichungen (2.43) und (2.48) eingesetzt
D
E
−(xα xβ )g l (i∂t − H)ψ = 0.
(2.49)
Die vier Gleichungen (2.40)–(2.43) können also durch die drei Gleichungen (2.43), (2.48)
und (2.49) ersetzt werden. Die drei Gleichungen lassen sich mit der folgenden Notation
kompakt formulieren
D
E
n l
xm
x
g
(i∂
−
H)ψ
= 0,
(2.50)
t
α β
mit l = 1, . . . , N ; α, β = 1, . . . , D und m + n = 0, 1, 2.
Wir setzen nun das in Gl. (2.35) definierte effektive Potential in Gl. (2.50) ein und
erhalten
*
+
N
X
(v0k
xα xβ g l + v1k x + xV2k x − V (x))g k
= 0.
(2.51)
k=1
Sortiert nach den Koeffizienten des effektiven Potentials lautet die Gleichung
N
X
D E
n k
+
v0k g l xm
α xβ g
k=1
=
N D N D E
E
X
X
k k
n
k k
l m n
x
xv
g
+
g
x
x
xV
g l xm
x
2 g
α β
1
α β
k=1
k=1
N
X
E
D k
n
g l xm
x
V
(x)
g
α β
(2.52)
k=1
l = 1, . . . , N ; α, β = 1, . . . , D; m + n = 0, 1, 2.
Es ist zweckmäßig dies in Form einer Matrixgleichung zu formulieren
Kv = r.
(2.53)
Der komplexe Vektor v = v0k , v1k , V2k enthält alle Koeffizienten der effektiven Potentiale.
Die Matrix K ist hermitesch und positiv definit. Sie enthält ausschließlich Integrale die
analytisch lösbar sind. Der komplexe Vektor r besteht aus Integralen, die das externe
Potential enthalten und nur in bestimmten Fällen analytisch lösbar sind, z. B. wenn das
Potential eine polynomiale, gaußförmige oder exponentielle Form hat. Bei N gekoppelten
Gaußfunktionen hat die Matrixgleichung die Dimension N (1 + D + D(D + 1)/2), da die
N komplexen Parameter ϕk zusammen N komplexe Gleichungen beitragen, die 2N D
reellen Parameter qk , pk führen auf N D komplexe Gleichungen und aus den N komplexen
symmetrischen Matrizen Ak resultieren N D(D + 1)/2 komplexe Gleichungen. In vielen
Fällen können Symmetrien ausgenutzt werden, um die Dimension zu reduzieren, z. B.
diagonale Matrizen Ak oder bei qk = 0 fixierte Gaußfunktionen. Die Lösung der Integrale
aus der Matrix K und dem Vektor r sind für eine und für drei Dimensionen Anhang A
zu finden.
14
2.2. Zeitabhängiges Variationsprinzip
2.2.3. Zeitentwicklung und stationäre Lösungen
Um die zeitliche Entwicklung eines Kondensates ausgehend von einem anfänglichen Satz
an Startparametern z(t = 0) zu berechnen, werden die Bewegungsgleichungen (2.37a)–
(2.37d) mit einem Standardintegrationsverfahren wie Runge-Kutte aufintegriert. Die
Bewegungsgleichungen sind abhängig von den Koeffizienten des effektiven Potentials,
daher muss in jedem Zeitschritt der Vektor v aus der Matrixgleichung (2.53) berechnet
werden. Dazu müssen zunächst die zum Aufstellen der Matrix K und des Vektors r
nötigen Integrale gelöst werden und anschließend muss K invertiert werden. Da K
hermitesch und positiv definit ist, kann die Cholesky-Faktorisierung verwendet werden,
um das Inverse der Matrix effizient zu berechnen [43].
Neben der zeitlichen Entwicklung ermöglicht es das TDVP stationäre Lösungen der
GPE zu finden. Bei stationären Lösungen müssen die gaußschen Parameter Ak , qk
und pk zeitunabhängig sein, d. h. ihre Zeitableitung in den Gleichungen (2.37a)–(2.37c)
muss verschwinden. Die Zeitableitung von ϕk muss für alle k gleich sein. Um letzteres
zu verstehen, betrachtet man die GPE für den Ansatz gekoppelter Gaußfunktionen
P
ψ(z) = g k :
i
N
X
ġ k = µ
k=1
N
X
gk ,
(2.54)
k=1
wegen Ȧk = q̇k = ṗk = 0 liefert nur die Ableitung nach ϕ einen Beitrag, nämlich
i
N
X
∂g k k
ϕ̇
k
k=1 ∂ϕ
(2.39a)
= i
N
X
k=1
N
X
gk .
(2.55)
ϕ̇k = iµ,
(2.56)
−g k ϕ̇k = µ
k=1
Dies wird erfüllt durch
woraus die genannte Forderung, dass ϕ̇k für alle N Gaußfunktionen identisch sein muss,
folgt. Insgesamt müssen stationäre Zustände die folgenden Gleichungen erfüllen
Ȧk = q̇k = ṗk = 0 mit k = 1, . . . , N,
k
N
(ϕ̇ − ϕ̇ ) = 0 mit k = 1, . . . , (N − 1).
(2.57a)
(2.57b)
Dies sind (Np − 2) reelle Gleichungen, wenn Np die Zahl der reellen gaußschen Parameter
bezeichnet. Um die (Np − 2) Gleichungen zu erfüllen, müssen (Np − 2) reelle Parameter
variiert werden. Zwei Parameter werden nicht variiert, da die Wellenfunktion normiert sein
muss und die GPE eine freie Wahl der Phase erlaubt. Um die nötigen Variationsparameter
zu finden, klammern wir im Ansatz für die Wellenfunktion gekoppelter Gaußfunktionen
15
2. Zeitabhängiges Variationsprinzip der Gross-Pitaevskii-Gleichung
N
in Gl. (2.32) den Term e−ϕ aus
ψ(z, x) =
N
X
e−((x−q
k )Ak (x−qk )−ipk (x−qk )+ϕk )
(2.58)
k=1
N
= e−ϕ
N
X
e−((x−q
k )Ak (x−qk )−ipk (x−qk )+(ϕk −ϕN ))
.
(2.59)
k=1
Die (Np − 2) Parameter, die zum Erfüllen der Gleichungen variiert werden lauten
Ak , qk , pk
k
mit k = 1, . . . , N,
N
(ϕ − ϕ ) mit k = 1, . . . , (N − 1).
(2.60a)
(2.60b)
Die zwei reellen Parameter Re ϕN und Im ϕN werden nicht variiert. Der Realteil von ϕN
ist kein freier Parameter, sondern durch die Forderung festgelegt, dass die Wellenfunktion
ψ normiert ist. Er ist somit eindeutig festgelegt, sobald die Variationsparameter gewählt
wurden. Der Imaginärteil von ϕN legt die globale Phase der Wellenfunktion fest und
kann beliebig gewählt werden. Die stationären Lösungen werden numerisch mit einer
(Np − 2) dimensionalen Nullstellensuche bestimmt. Hierfür wird ein modifiziertes PowellHybrid-Verfahren verwendet [44].
2.2.4. Lineare Stabilität
Nachdem auf die zuvor beschriebene Art stationäre Lösungen gefunden wurden, stellt
sich die Frage nach der Stabilität dieser Lösungen. Dies ist insbesondere wichtig, um
zu entscheiden, ob die stationären Zustände im Experiment beobachtbar sind. Instabile
Lösungen entfernen sich bei kleinen Störungen exponentiell von der ursprünglichen
Lösung und sind nicht in einem Experiment realisierbar, da Störungen in realen Systemen
unvermeidbar sind.
Da nur kleine Störungen der stationären Lösungen betrachtet werden, genügt es die
lineare Stabilität der Lösungen zu berechnen. Die lineare Stabilität kann untersucht
werden, indem die GPE für kleine Auslenkungen linearisiert wird. Dies führt auf die
Bogoliubov-de Gennes-Gleichung [35]. Im Rahmen der TDVP können die Bewegungsgleichungen direkt linearisiert werden und die Stabilität anhand der Eigenwerte der
Jacobi-Matrix an den stationären Lösungen (Fixpunkten) berechnet werden. Hierfür werden zunächst die komplexen gaußschen Parameter Ak , ϕk in ihre Real- und Imaginärteile
aufgeteilt und zusammen mit den reellen Parametern pk , qk in den reellen Vektor
z̃ ∈ RNp
(2.61)
zusammengefasst. Die Bewegungsgleichungen aus (2.37a)–(2.37d) werden als Funktion
b(z̃) geschrieben, wobei die Bewegungsgleichungen für die komplexen Parameter wieder
in Real- und Imaginärteil aufgeteilt werden,
b : RNp → RNp .
16
(2.62)
2.2. Zeitabhängiges Variationsprinzip
Die Parameter der stationären Lösungen z̃0 werden leicht ausgelenkt z̃ = z̃0 + δz̃ und die
Bewegungsgleichungen b(z̃) um z̃0 linearisiert,
b(z̃0 + δz̃) ≈ b(z̃0 ) +
∂b
(z̃0 )δz̃.
∂z̃
(2.63)
Der konstante Term b(z̃0 ) ist in allen außer 2N Einträgen gleich Null, da nach (2.56)
und (2.57a) am Fixpunkt die Zeitabhängigkeit aller gaußschen Parameter verschwindet,
mit Ausnahme des Real- und Imaginärteils von ϕ̇k . Mit b(z̃) = z̃˙ folgt weiterhin
˙
b(z̃0 + δz̃) = z̃˙ 0 + δ z̃˙ = b(z̃0 ) + δ z̃.
(2.64)
Aus (2.63) und (2.64) folgt für die Zeitentwicklung einer Störung in linearer Näherung
δ z̃˙ = Jδz̃,
(2.65)
mit der Jacobi-Matrix J ausgewertet am Fixpunkt
Jij =
∂ z̃˙i
∂bi
(z̃0 ) =
(z̃0 ).
∂ z̃j
∂ z̃j
(2.66)
Im Allgemeinen ist kein analytischer Ausdruck für die Bewegungsgleichungen bekannt,
da die Koeffizienten des effektiven Potentials numerisch berechnet werden. Daher erfolgt
die für das Aufstellen von J nötige Differentiation der Bewegungsgleichungen ebenfalls
numerisch. In der Eigenbasis der Jacobi-Matrix, d. h. δz̃(0) bezeichnet die im Allgemeinen
komplexen Eigenvektoren von J, lautet die Lösung der Differentialgleichung (2.65)
δz̃(t) = eλt δz̃(0),
(2.67)
und die Zeitentwicklung der Störung wird einzig durch die Eigenwerte λ der Jacobi-Matrix
festgelegt.
Es muss nun zwischen zwei Fällen unterschieden werden
1. Alle Eigenwerte λ sind rein imaginär oder haben einen negativen Realteil, dann ist
das System gegenüber einer Störung mit δz̃(0) stabil. Ein rein imaginärer Eigenwert
beschreibt eine Oszillation des Systems um den Fixpunkt mit der Frequenz Im λ. Ein
Eigenwert mit negativem Realteil führt zu einer exponentiell gedämpften Störung.
2. Besitzt mindestens ein Eigenwert λ einen nichtverschwindenden positiven Realteil,
so ist das System gegenüber der Störung δz̃(0) instabil. Der Realteil eines Eigenwerts
beschreibt bei positivem Vorzeichen eine exponentiell ansteigende Störung.
Die Form einer Störung lässt sich aus den Eigenvektoren δz̃ berechnen. Die gestörte
Wellenfunktion weicht um δψ von der Wellenfunktion am Fixpunkt ab. Die Abweichung
lautet in linearer Näherung
δψ = ψ(z̃0 + δz̃) − ψ(z̃0 ) ≈
∂ψ
(z̃0 )δz̃.
∂z̃
(2.68)
17
2. Zeitabhängiges Variationsprinzip der Gross-Pitaevskii-Gleichung
Für den Ansatz gekoppelter Gaußfunktionen lautet die Störung der Wellenfunktion
δψ

N
X
X

=
k=1
α,β
X
X ∂g k
∂g k
∂g k
k
k
δ
Re
A
+
δ
Im
A
+
δqαk
αβ
αβ
k
k
∂ Re Akαβ
∂
Im
A
∂q
α
α
αβ
α,β
∂g k
∂g k k
∂g k
k
+
δp
δ
Re
ϕ
+
δ Im ϕk .
∂pkα α ∂ Re ϕk
∂ Im ϕk
#
+
X
α
(2.69)
Die Ableitungen sind aus den Gleichungen (2.39a)–(2.39d) bekannt, wobei beachtet
werden muss, dass
∂g k
∂g k
∂g k
=
−i
=
,
∂ Re Akαβ
∂ Im Akαβ
∂Akαβ
(2.70a)
∂g k
∂g k
∂g k
=
−i
=
.
∂ Re ϕk
∂ Im ϕk
∂ϕk
(2.70b)
Damit lautet die Abweichung der Wellenfunktion für gekoppelte Gaußfunktionen, sortiert
nach Potenzen von x:
δψ =
N
X
g k [−x(δ Re Ak + iδ Im Ak )x
k=1
+ x(2(δ Re Ak + iδ Im Ak )qk + 2Ak δqk + iδpk )
− qk (δ Re Ak + iδ Im Ak )qk − (2qk Ak + ipk )δqk − iqk δpk − δ Re ϕk − iδ Im ϕk ].
(2.71)
18
3. PT -Symmetrie in nichtlinearen
Quantensystemen
3.1. PT -symmetrische Systeme
Ein System wird als PT -symmetrisch bezeichnet, wenn der Hamiltonoperator H mit
dem PT -Operator vertauscht:
[H, PT ] = 0.
(3.1)
Der PT -symmetrische Hamiltonoperator vertauscht jedoch im Allgemeinen nicht mit
dem Paritätsoperator P oder dem Zeitumkehroperator T allein, sondern nur mit deren
Kombination. Die Wirkung von P und T lautet:
P:
T :
x̂ → −x̂, p̂ → −p̂,
x̂ → x̂, p̂ → −p̂, i → −i.
(3.2a)
(3.2b)
Der Paritätsoperator ist ein linearer Operator:
P(λψ) = λP(ψ),
P(ψ + φ) = P(ψ) + P(φ).
(3.3a)
(3.3b)
Der Zeitumkehroperator ist aufgrund der komplexen Konjugation ein antilinearer Operator:
T (λψ) = λ∗ T (ψ),
T (ψ + φ) = T (ψ) + T (φ).
(3.4a)
(3.4b)
Es kann nun berechnet werden, welche Symmetrien ein Potential aufweisen muss, damit
der Hamiltonoperator mit dem PT -Operator vertauscht. Der Hamiltonoperator vertauscht
genau dann mit dem PT -Operator, wenn er invariant unter Wirkung des PT -Operators
ist. Die Wirkung des PT -Operators auf einen Hamiltonoperator mit komplexem Potential
V (x) lautet:
PT Ĥ = PT (
p̂2
+ V (x))
2m
p̂2
= P(
+ V ∗ (x))
2m
p̂2
=
+ V ∗ (−x).
2m
(3.5)
19
3. PT -Symmetrie in nichtlinearen Quantensystemen
Aus dieser Gleichung lässt sich die notwendige Bedingung V ∗ (−x) = V (x) ablesen,
die ein PT -symmetrisches System erfüllen muss. Aufteilen des Potentials in Real- und
Imaginärteil V (x) = Vr (x) + iVi (x) liefert die Bedingungen
Vr (x) = Vr (−x),
Vi (x) = −Vi (−x).
(3.6a)
(3.6b)
Das bedeutet der Realteil des Potentials muss eine gerade Funktion im Ort sein und der
Imaginärteil des Potentials eine ungerade Funktion.
3.1.1. Eigenschaften komplexer Potentiale
Wenn die Forderung nach Hermitizität durch die schwächere Forderung nach PT Symmetrie ersetzt wird, so müssen auch die aus der Hermitizität resultierenden gewohnten
Eigenschaften der Quantenmechanik aufgeben werden. Es existiert für nichthermitesche
Systeme im Allgemeinen keine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren und die Eigenwerte zum
Hamiltonoperator können komplex werden. Die Auswirkung komplexer Energieeigenwerte
zeigt die folgende kurze Überlegung. Sei ψ ein Eigenzustand zur zeitunabhängigen Schrödingergleichung Hψ = µψ. Die Zeitentwicklung des Zustands nach der dimensionslosen
zeitabhängigen Schrödingergleichung i∂t ψ = µψ lautet:
ψ(t) = e−iµt ψ(0),
2 Im µt
2
|ψ(t)| = e
(3.7a)
2
|ψ(0)| .
(3.7b)
Ein komplexer Eigenwert des Hamiltonoperators führt also zu einem, je nach Vorzeichen
des Eigenwerts, exponentiell ansteigenden oder abfallendem Betragsquadrat des Zustands.
Wahrscheinlichkeitserhaltung
In hermiteschen Systemen ist die Norm eines Zustands erhalten, da die Zeitentwicklung
unitär ist. Für nichthermitesche Potentiale ist dies nicht länger erfüllt, wie die folgenden
Rechnungen zeigen. Nach der Schrödingergleichung ψ̇ = −iHψ gilt für die zeitliche
Änderung der Norm
D E D E
d
hψ|ψi = ψ̇ ψ + ψ ψ̇
dt
= h−iHψ|ψi + hψ|−iHψi
D E
= i ψ H † − H ψ .
(3.8)
In hermiteschen Systemen folgt aus dieser Gleichung, dass die Norm eine Erhaltungsgröße
ist, da H † = H gilt. Für nichthermitesche Hamiltonoperatoren ist H † − H 6= 0 und die
Norm ist im Allgemeinen nicht erhalten.
20
3.1. PT -symmetrische Systeme
Im hermiteschen Fall resultiert die Erhaltung der gesamten Wahrscheinlichkeit aus
∂
ihrer lokalen Erhaltung, beschrieben durch die Kontinuitätsgleichung ∂t
ρ + div j = 0.
Für nichthermitesche Hamiltonoperatoren ist auch die lokale Wahrscheinlichkeit nicht
mehr erhalten, sondern es taucht ein zusätzlicher Quellen/Senken Term in der Kontinuitätsgleichung auf, der mit dem Imaginärteil des Potentials zusammenhängt. Dies
erlaubt eine physikalische Interpretation des komplexen Potentials. Um die Verletzung
der Kontinuitätsgleichung herzuleiten, betrachtet man die Änderung der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte ρ = |ψ|2
∂
ρ = ψ̇ ∗ ψ + ψ ∗ ψ̇ = iψH ∗ ψ ∗ − iψ ∗ Hψ.
∂t
(3.9)
Nach Einsetzen der expliziten Form des Hamiltonoperators in der Ortsdarstellung H =
−∆ + Vr (x) + iVi (x) fällt der Realteil des Potentials Vr aus der Gleichung heraus, der
Imaginärteil bleibt jedoch stehen.
∂
ρ = iψ(−∆ + Vr − iVi )ψ ∗ − iψ ∗ (−∆ + Vr + iVi )ψ
∂t
= 2Vi |ψ|2 + i(ψ ∗ ∆ψ − ψ∆ψ ∗ )
= 2Vi ρ − div j.
(3.10)
Im letzten Schritt wurde die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j = i(ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ)
eingeführt. Die Orts- und Zeitabhängigkeit der Größen wurde bisher aus Gründen der
Übersichtlichkeit unterdrückt. Mit diesen Abhängigkeiten lautet die Gleichung
∂
ρ(x, t) + div j(x, t) = 2Vi (x)ρ(x, t).
∂t
(3.11)
Die lokale Wahrscheinlichkeit ist also aufgrund des Imaginärteils im Potential nicht mehr
erhalten. Der Term Vi muss als eine lokale Quelle oder Senke von Aufenthaltswahrscheinlichkeit interpretiert werden. Ein positiver Imaginärteil entspricht hierbei einer Quelle
und ein negativer Imaginärteil einer Senke.
3.1.2. Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme
Die Eigenschaften kommutierender Observablen spielen in der hermiteschen Quantenmechanik eine wichtige Rolle. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass es zu zwei
kommutierenden Operatoren einen gemeinsamen Satz an Eigenvektoren gibt. Da der
PT -Operator kein linearer Operator ist, gibt es zunächst keinen Grund anzunehmen,
dass dies weiterhin gilt. Im Folgenden soll überprüft werden, welche Eigenschaften weiterhin für die kommutierenden Operatoren H und PT gelten. Die Aussagen in diesem
Abschnitt beziehen sich ausschließlich auf lineare Systeme. Der nichtlineare Fall wird in
Abschnitt 3.1.3 behandelt.
21
3. PT -Symmetrie in nichtlinearen Quantensystemen
Eigenwerte zum PT -Operator
Zunächst werden die möglichen Eigenwerte des PT -Operators berechnet. Sei ψ ein
Eigenzustand des PT -Operators zum Eigenwert λ. Aus den Wirkungen der P und
T Operatoren aus Gl. (3.2a) und (3.2b) folgt direkt, dass zweimaliges Anwenden des
PT -Operators den ursprünglichen Zustand wiederherstellen muss. Es gilt also
ψ = PT (PT ψ),
= PT (λψ),
= λ∗ PT ψ,
= |λ|2 ψ,
⇒ λ = eiα mit α ∈ R.
(3.12a)
(3.12b)
Jeder Eigenwert zum PT -Operator liegt auf dem Einheitskreis der komplexen Zahlen.
Durch die Wahl der globalen Phase des Zustands ψ kann der Eigenwert zum PT -Operator
beliebig angepasst werden, insbesondere kann die Phase stets so gewählt werden, dass der
Zustand exakte PT -Symmetrie erfüllt, das heißt PT ψ = ψ. Der Zustand ψ 0 unterscheide
sich vom Zustand ψ durch die globale Phase χ, ψ 0 = eiχ ψ. Die Phase χ wird so bestimmt,
dass der Zustand ψ 0 einen beliebigen Eigenwert eiβ zum PT -Operator hat:
PT ψ 0 = eiβ ψ 0 ,
iχ
iβ iχ
(3.13a)
PT e ψ = e e ψ,
(3.13b)
e−iχ PT ψ = eiχ eiβ ψ,
(3.13c)
e−iχ eiα ψ = eiχ eiβ ψ,
α−β
χ=
.
2
(3.13d)
(3.13e)
Das bedeutet, aus dem Zustand ψ zum Eigenwert eiα entsteht durch Wahl der globalen
Phase ei(α−β)/2 ein Zustand zum Eigenwert eiβ . Durch die spezielle Wahl der globalen
Phase eiα/2 wird aus einem PT -symmetrischen Zustand zum Eigenwert eiα ein Zustand
exakter PT -Symmetrie, das heißt mit Eigenwert 1.
PT -symmetrische Systeme mit nichtentarteten Energieeigenwerten
Um die Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme zu untersuchen, betrachtet man einen
Eigenvektor ψ zum PT -symmetrischen Hamiltonoperator H mit dem Eigenwert µ,
Hψ = µψ.
(3.14)
PT Hψ = PT µψ,
H(PT ψ) = µ∗ (PT ψ),
(3.15a)
(3.15b)
Anwenden von PT liefert
22
3.1. PT -symmetrische Systeme
da PT und H vertauschen. Es wird zunächst angenommen, dass µ ein nichtentarteter
Eigenwert ist. Falls µ reell ist, so gilt µ = µ∗ und der Zustand PT ψ muss kollinear zum
Zustand ψ sein. Das bedeutet ψ ist auch Eigenzustand zum PT -Operator. Ist hingegen
µ komplex, so folgt daraus, dass der Zustand PT ψ ein weiterer Eigenvektor zu H ist
mit dem komplex konjugierten Eigenwert µ∗ . Ist µ ein entarteter Eigenwert, folgt, dass
PT ψ im Eigenraum von H zum Eigenwert µ liegt. Auf den entarteten Fall wird später
gesondert eingegangen.
Umgekehrt lässt sich zeigen, dass ein PT -symmetrischer Eigenzustand zu H stets
reelle Eigenwerte hat. Diese Eigenschaft gilt auch im entarteten Fall. ψ sei wieder ein
Eigenvektor zu H zum Eigenwert µ. Zusätzlich sei der Zustand PT -symmetrisch,
PT ψ = λψ.
(3.16)
Ausgehend von (3.15b) lässt sich schreiben
µ∗ (PT ψ) = H(PT ψ)
= Hλψ
= λHψ
= λµψ
= µ(PT ψ).
(3.17)
Daraus folgt µ∗ = µ, also muss der Eigenwert µ zum Hamiltonoperator reell sein.
Im nichtentarteten Fall erhalten wir aus diesen beiden Betrachtungen die folgenden
zwei Aussagen:
• PT -symmetrische Systeme haben genau dann reelle Energieeigenwerte, wenn der
Eigenzustand selbst PT -symmetrisch ist.
• Ist ψ Eigenzustand zum Eigenwert µ, so ist PT ψ Eigenzustand zum Eigenwert µ∗ .
PT -symmetrische Systeme mit entarteten Energieeigenwerten
Ist der Energieeigenwert µ N -fach entartet, so hat der zugehörige Eigenraum E(µ)
Dimension N und es gibt N linear unabhängige Eigenzustände ψ1 . . . ψN ∈ E(µ). Aus
Gl. (3.15b) folgt, dass für einen reellen Eigenwert µ der Eigenraum E(µ) invariant unter
Wirkung des PT -Operators ist,
PT ψi ∈ E(µ).
(3.18)
In einem ersten Schritt lässt sich durch vollständige Induktion zeigen, dass sich der
Eigenraum E(µ) aus PT -symmetrischen Zuständen und Zuständen, die paarweise die
Relation ψi = PT ψj erfüllen, aufspannen lässt. Für den Induktionsanfang wählt man
einen beliebigen Zustand aus E(µ) und bezeichnet ihn mit ψ1 . Es gibt zwei Möglichkeiten
23
3. PT -Symmetrie in nichtlinearen Quantensystemen
1. ψ1 ist PT -symmetrisch, es gilt PT ψ1 = eiα1 ψ1 , α1 ∈ R.
2. ψ1 ist nicht PT -symmetrisch. Durch Anwenden des PT -Operators erhält man einen
zu ψ1 linear unabhängigen Zustand, der nach (3.18) ebenfalls im Eigenraum E(µ)
liegt. Dieser Zustand wird als ψ2 bezeichnet. Man erhält damit ein Zustandspaar,
das durch Anwenden des PT -Operators ineinander übergeht:
ψ2 = PT ψ1 ,
ψ1 = PT ψ2 .
(3.19a)
(3.19b)
Für den Induktionsschritt wird angenommen, dass bereits n − 1 linear unabhängige
Zustände konstruiert wurden. Diese sind entweder PT -symmetrisch oder sie gehören
zu einem Zustandspaar ψi , ψj mit i, j < n das durch Anwenden des PT -Operators
ineinander übergeht. Für n < N lässt sich ein Zustand ψn finden, der linear unabhängig
zu den Zuständen ψ1 . . . ψn−1 ist. Der Zustand PT ψn ist ebenfalls linear unabhängig zu
allen Zuständen ψ1 . . . ψn−1 , da sonst gilt
PT ψn =
n−1
X
ci ψi ,
(3.20a)
i=0
PT PT ψn = PT
n−1
X
ci ψi ,
(3.20b)
c∗i PT ψi .
(3.20c)
i=0
ψn =
n−1
X
i=0
Da nach Voraussetzung PT ψi für i = 1 . . . (n − 1) identisch zu einem der Zustände
ψ1 . . . ψn−1 ist, würde dies bedeuten, dass sich ψn durch eine Superposition der Zustände
ψ1 . . . ψn−1 darstellen lässt. ψn ist jedoch linear unabhängig zu allen ψi mit i < n und
folglich ist auch PT ψn linear unabhängig zu allen ψi mit i < n.
Für den Zustand ψn gibt es wieder zwei Möglichkeiten, nämlich:
1. ψn ist PT -symmetrisch, es gilt PT ψn = eiαn , αn ∈ R.
2. ψn ist nicht PT -symmetrisch. Durch Anwenden des PT -Operators erhält man
einen zu ψn linear unabhängigen Zustand, der ebenfalls im Eigenraum E(µ) liegt.
Dieser Zustand wird als ψn+1 bezeichnet. Man erhält damit ein Zustandspaar, das
durch Anwenden des PT -Operators ineinander übergeht:
ψn+1 = PT ψn ,
ψn = PT ψn+1 .
(3.21a)
(3.21b)
Durch wiederholtes Anwenden dieser Vorschrift bis n = N − 1 erhält man entweder alle
N linear unabhängigen Zustände, falls ψN als Zustandspaar zu ψN −1 gebildet wurde,
24
3.1. PT -symmetrische Systeme
oder man erhält lediglich (N − 1) linear unabhängige Zustände. Im zweiten Fall ist der
Zustand ψN dadurch festgelegt, dass er linear unabhängig zu allen Zuständen ψ1 . . . ψN −1
ist. ψN muss dann PT -symmetrisch sein, da PT ψN ebenfalls im Eigenraum E(µ) liegt
und linear unabhängig zu allen Zuständen ψ1 . . . ψN −1 ist.
Es ist nun gelungen, den Eigenraum E(µ) eines N -fach entarteten reellen Eigenwerts µ
durch N Eigenzustände aufzuspannen, die entweder PT -symmetrisch sind oder zu einem
Zustandspaar gehören, das durch Anwenden des PT -Operators ineinander übergeht. Ein
Zustandspaar hat die Eigenschaften PT ψi = ψj und PT ψj = ψi . Aus dem Zustandspaar ψi , ψj lassen sich zwei neue Zustände konstruieren, die linear unabhängig zu allen
Zuständen ψk , k 6= i, j sind:
ψij+ = ψi + ψj ,
(3.22a)
ψij− = ψi − ψj .
(3.22b)
Diese Zustände sind PT -symmetrisch zu den Eigenwerten ±1, da gilt
PT ψij+ = PT ψi + PT ψj = ψj + ψi = ψij+ ,
PT
ψij−
= PT ψi − PT ψj = ψj − ψi =
−ψij− .
(3.23a)
(3.23b)
Auf diese Weise werden sämtliche Zustandspaare in zwei PT -symmetrische Eigenzustände überführt. Der Eigenraum E(µ) lässt sich also vollständig aus PT -symmetrischen
Eigenzuständen zum Eigenwert µ aufspannen.
Die Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme mit entarteten Energieeigenwerten
lassen sich wie folgt zusammenfassen:
• Ein PT -symmetrischer Eigenzustand eines PT -symmetrischen Systems hat stets
einen reellen Energieeigenwert.
• Der Eigenraum eines reellen Eigenwerts ist invariant unter Wirkung des PT Operators. Der Eigenraum lässt sich aus linear unabhängigen PT -symmetrischen
Eigenzuständen aufspannen.
• Ist ψ Eigenzustand zum Eigenwert µ, so ist PT ψ Eigenzustand zum Eigenwert µ∗ .
3.1.3. PT -Symmetrie in nichtlinearen Systemen
In den vorhergehenden Abschnitten wurde PT -Symmetrie in linearen Systemen mit
p̂2
einem Hamiltonoperator der Form Ĥ = 2m
+ V (x) behandelt. Die Forderung, dass der
Hamiltonoperator mit dem PT -Operator vertauscht, führte zu der Bedingung, dass der
Realteil des Potentials eine gerade Funktion und der Imaginärteil des Potentials eine
ungerade Funktion des Ortes sein muss. Zur Beschreibung eines BECs mit kurzreichweitiger Wechselwirkung wird die GPE verwendet, die nach Gl. (2.23) zusätzlich einen
nichtlinearen Term der Form −g|ψ(r)|2 besitzt. Es muss daher überprüft werden, wie sich
25
3. PT -Symmetrie in nichtlinearen Quantensystemen
die zuvor getroffenen Aussagen über PT -symmetrische lineare Systeme auf nichtlineare
Systeme übertragen lassen.
Dazu wird der lineare Hamiltonoperator
Hlin
p̂2
=
+ V (x)
2m
(3.24)
um einen nichtlinearen Anteil f (ψ) erweitert, sodass der nichtlineare Hamiltonoperator
die Form
H = Hlin + f (ψ)
(3.25)
annimmt. Es zeigt sich, dass die im linearen Fall getroffenen Aussagen weiterhin gelten,
wenn man die folgenden zwei Bedingungen an die Funktion f (ψ) stellt:
PT f (ψ) = f (PT ψ),
f (ψ) = f (eiα ψ), α ∈ R.
(3.26a)
(3.26b)
Davon abgesehen darf f (ψ) eine beliebige Funktion sein. Die erste Bedingung besagt,
dass sich die Anwendung des PT -Operators auf die Wellenfunktion übertragen lässt.
Die Aussage der zweiten Bedingung ist, dass der nichtlineare Anteil unabhängig von der
Phase der Wellenfunktion ist. Dadurch lässt sich weiterhin die Phase der Wellenfunktion
frei wählen.
Diese zwei Bedingungen garantieren, dass für PT -symmetrische Zustände der nichtlineare Hamiltonoperator mit dem PT -Operator vertauscht. Es ist wichtig, dass dies
für PT -symmetrische Zustände erfüllt ist, da nur wenn PT -symmetrische Zustände zu
einem PT -symmetrischen Hamiltonoperator führen, kann überhaupt erwartet werden,
dass Effekte der PT -Symmetrie wie reelle Energieeigenwerte beobachtbar sind. Der
Kommutator des nichtlinearen Hamiltonoperators und des PT -Operators lautet
[H, PT ] = [Hlin , PT ] + [f (ψ), PT ] .
(3.27)
Das Potential erfüllt weiterhin die Bedingung V ∗ (−x) = V (x), sodass der lineare Anteil
Hlin mit dem PT -Operator vertauscht, [Hlin , PT ] = 0. Der nichtlineare Anteil f (ψ)
vertauscht mit dem PT -Operator, wenn f (ψ) invariant unter Anwendung von PT ist.
Für PT -symmetrische Zustände
PT ψ = eiα ψ,
α∈R
(3.28)
ist dies durch die Bedingungen (3.26a) und (3.26b) erfüllt,
PT f (ψ) = f (PT ψ) = f (eiα ψ) = f (ψ).
(3.29)
Für PT -gebrochenen Zustände vertauscht der nichtlineare Anteil des Hamiltonoperators
im Allgemeinen nicht mehr mit dem PT -Operator.
26
3.1. PT -symmetrische Systeme
Es lässt sich nun zeigen, dass dieselben Aussagen wie in linearen Systemen getroffen werden können, wenn die Nichtlinearität des Hamiltonoperators die Bedingungen
(3.26a) und (3.26b) erfüllt. Die Rechnungen erfolgen analog zum linearen Fall. Sei ψ ein
Eigenvektor zum nichtlinearen Hamiltonoperator mit Eigenwert µ,
(Hlin + f (ψ))ψ = µψ.
(3.30)
Anwenden des PT -Operators liefert
PT (Hlin + f (ψ))ψ = PT µψ,
(Hlin + f (PT ψ))PT ψ = µ∗ PT ψ,
(3.31)
(3.32)
da Hlin nach Vorgabe mit PT vertauscht und der nichtlineare Anteil die Bedingung
(3.26a) erfüllt. Man beachte, dass durch die Bedingung (3.26a) sichergestellt wird, dass
auf der linken Seite der Gleichung der „richtige“ nichtlineare Hamiltonoperator zum
Zustand PT ψ steht und somit PT ψ ein Eigenzustand zum Eigenwert µ∗ ist.
Wir beschränken uns zunächst auf den Fall, dass der Eigenwert µ nicht entartet ist. Ist
µ reell, sind ψ und PT ψ Eigenzustände zum gleichen Eigenwert µ. Da µ nichtentartet
ist, muss ψ Eigenzustand zum PT -Operator sein, PT ψ = eiα ψ. Gleichung (3.32) lautet
dann
(Hlin + f (eiα ψ))eiα ψ = µeiα ψ.
(3.33)
Hierbei ist wichtig, dass durch die Bedingung (3.26b) die Phase eines Eigenzustands
frei gewählt werden kann, da nur dann ψ und eiα ψ denselben Zustand beschreiben und
Gl. (3.33) in Gl. (3.30) übergeht. Wenn die Bedingung (3.26b) nicht gilt, würde dies nur
für den Fall exakter PT -Symmetrie funktionieren. Ist µ hingegen komplex, erhält man
dieselbe Aussage wie im linearen Fall, dass PT ψ ein weiterer Eigenzustand zum komplex
konjugierten Eigenwert µ∗ ist. Die PT -gebrochenen Zustände treten in Paaren auf, die
durch Anwendung des PT -Operators ineinander übergehen und komplex konjugierte
Energieeigenwerte besitzen.
Für entartete Energieeigenwerte folgt aus den Gleichungen (3.30) und (3.32) ebenfalls
die Aussage, dass PT ψ Eigenzustand zum Eigenwert µ∗ ist, wenn ψ Eigenzustand zum
Eigenwert µ ist. Für komplexe Energieeigenwerte erhält man daraus dieselbe Folgerung
wie im nichtentarteten Fall, dass Eigenzustände mit komplexen Eigenwerten stets in
Paaren auftreten, die durch Anwendung des PT -Operators ineinander übergehen. Für
reelle µ sind ψ und PT ψ zwei entartete Eigenzustände. Es lässt sich jedoch keine Aussage
über die Symmetrie der Eigenzustände treffen, da das Superpositionsprinzip nicht gilt
und daher keine PT -symmetrischen Linearkombinationen von Eigenzuständen gebildet
werden können.
Des Weiteren bleibt auch für den nichtlinearen Hamiltonoperator die Eigenschaft
erhalten, dass ein PT -symmetrischer Eigenzustand zu H stets reelle Eigenwerte hat.
Dies gilt sowohl für entartete als auch für nichtentartete Eigenwerte. Sei ψ Eigenzustand
zu H mit dem Eigenwert µ und gleichzeitig Eigenzustand zu PT mit dem Eigenwert eiα .
27
3. PT -Symmetrie in nichtlinearen Quantensystemen
Der nichtlineare Anteil des Hamiltonoperators f (ψ) erfüllt die Bedingungen (3.26a) und
(3.26b). Der lineare Anteil im Hamiltonoperator ist wie bisher PT -symmetrisch. Dann
gilt ausgehend von Gl. (3.32)
µ∗ (PT ψ) = (Hlin + f (PT ψ))PT ψ
= (Hlin + f (eiα ψ))eiα ψ
= eiα (Hlin + f (ψ))ψ
= eiα µψ
= µ(PT ψ),
(3.34)
und der Eigenwert µ ist reell.
Auch in nichtlinearen Systemen gilt daher für nichtentartete Energieeigenwerte:
• Ein nichtlineares System der Form H = Hlin +f (ψ) mit PT -symmetrischem linearen
Anteil Hlin und einem nichtlinearen Anteil, der die Bedingungen (3.26a) und (3.26b)
erfüllt, hat genau dann reelle Energieeigenwerte, wenn der Eigenzustand selbst
PT -symmetrisch ist.
• Ist ψ Eigenzustand zum Eigenwert µ, so ist PT ψ Eigenzustand zum Eigenwert µ∗ .
Für entartete Energieeigenwerte muss die erste Aussage abgeschwächt werden:
• Ein nichtlineares System der Form H = Hlin + f (ψ) mit PT -symmetrischem
linearen Anteil Hlin und einem nichtlinearen Anteil, der die Bedingungen (3.26a)
und (3.26b) erfüllt, hat reelle Energieeigenwerte, wenn der Eigenzustand selbst
PT -symmetrisch ist. Die Umkehrung gilt nicht.
• Ist ψ Eigenzustand zum Eigenwert µ, so ist PT ψ Eigenzustand zum Eigenwert µ∗ .
Nach diesen allgemein gehaltenen Betrachtungen, wird nun auf die für diese Arbeit
relevante Nichtlinearität der GPE näher eingegangen. Die Nichtlinearität der GPE hat
die Form
f (ψ) = −g|ψ(x)|2 .
(3.35)
Sie erfüllt Bedingung (3.26a) da gilt
PT |ψ(x)|2 = PT ψ(x)ψ ∗ (x) = ψ ∗ (−x)ψ(−x) = |ψ ∗ (−x)|2 = |PT ψ(x)|2 .
(3.36)
Die zweite Bedingung (3.26b) ist aufgrund der Betragsbildung offensichtlich ebenfalls
erfüllt:
|ψ(x)|2 = |eiα ψ(x)|2 , α ∈ R.
(3.37)
Da die Nichtlinearität der GPE die zwei Bedingungen erfüllt, vertauscht der nichtlineare
Hamiltonoperator für PT -symmetrische Zustände mit dem PT -Operator. Diese Eigenschaft lässt sich auch auf die etwas anschaulichere Art in Form von Symmetrien des
28
3.2. Bifurkationen und exzeptionelle Punkte
nichtlinearen Anteils formulieren. Da die Nichtlinearität der GPE reell ist, kann sie als
zusätzlicher reeller Anteil des Potentials betrachtet werden. Um einen PT -symmetrischen
Hamiltonoperator zu erhalten, muss der Realteil des Potentials eine symmetrische Funktion in den Ortskoordinaten sein. Der Hamiltonoperator ist also PT -symmetrisch, wenn
das Betragsquadrat eine symmetrische Funktion ist,
|ψ(x)|2 = |ψ(−x)|2 .
(3.38)
Dies wird von PT -symmetrischen Zuständen PT ψ = eiα ψ erfüllt, da gilt
|ψ(x)|2 = |eiα ψ(x)|2 = |PT ψ(x)|2 = |ψ ∗ (−x)|2 = |ψ(−x)|2 .
(3.39)
Für PT -gebrochene Zustände ist das Betragsquadrat im Allgemeinen nicht symmetrisch
und der Hamiltonoperator selbst verliert seine PT -Symmetrie.
Eine zusätzliche Schwierigkeit nichtlinearer Systeme entsteht bei komplexen Eigenwerten des Hamiltonoperators. Wie in Abschnitt 3.1.1 beschrieben, führt ein komplexer
Eigenwert µ zu einem exponentiellen Anstieg oder Abfall der Wellenfunktion ψ. Dies führt
zu einer zeitlichen Änderung des nichtlinearen Teils. Für die GPE lautet die Zeitabhängigkeit des nichtlinearen Anteils e2 Im µt . Dadurch ist ψ nicht länger ein Eigenzustand, da sich
der effektive Hamiltonoperator geändert hat. Formal können Lösungen mit komplexen
Eigenzuständen also die zeitunabhängige GPE erfüllen, sie sind jedoch keine Lösungen
der zeitabhängigen GPE.
3.2. Bifurkationen und exzeptionelle Punkte
Bifurkationen oder Verzweigungen treten in nichtlinearen Systemen auf und bezeichnen eine qualitative Zustandsänderung in Abhängigkeit eines Systemparameters. Die
Theorie der exzeptionellen Punkte stammt aus der Behandlung linearer nichthermitescher Operatoren. Bifurkationen in nichtlinearen Systemen können jedoch Eigenschaften
exzeptioneller Punkte aufweisen. In den folgenden Abschnitten werden die wichtigsten
Eigenschaften von Bifurkationen und exzeptionellen Punkten zusammengefasst.
3.2.1. Bifurkationen
Die zeitliche Entwicklung eines Systems im Zustand x wird durch die nichtlineare
Differentialgleichung
ẋ = F (x, µ)
(3.40)
beschrieben, die von einem Parameter µ abhängt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit
beschränken wir uns an dieser Stelle auf eindimensionale Systeme. Wenn das System für
Werte µ < µc ein qualitativ anderes Verhalten zeigt, als für µ > µc , so wird der Punkt
µc als Bifurkationspunkt bezeichnet. Eine qualitative Änderung besteht üblicherweise
in einer Änderung der Zustandszahl oder einer Änderung der Stabilität der Zustände.
29
3. PT -Symmetrie in nichtlinearen Quantensystemen
Die Stabilität einer stationären Lösung F (x0 , µ) = ẋ0 = 0 wird durch Linearisieren
der Differentialgleichung (3.40) berechnet. Dazu wird der stationäre Zustand x0 leicht
ausgelenkt zu x = x0 + δx und man erhält durch Einsetzen in die Differentialgleichung
ẋ0 + δ ẋ = F (x0 + δx, µ),
∂F
= F (x0 , µ) +
(x0 , µ)δx + O(δx2 ),
∂x
∂F
(x0 , µ)δx,
δ ẋ ≈
∂x
(3.41)
(3.42)
mit der Lösung
!
∂F
δx(t) = exp
(x0 , µ)t δx(0).
∂x
(3.43)
Abhängig vom Vorzeichen von ∂F
wird zwischen stabilen und instabilen Lösungen unter∂x
schieden. Eine negative Ableitung entspricht einer stabilen Lösung, da die Auslenkung
δx exponentiell gedämpft wird. Eine positive Ableitung beschreibt eine instabile Lösung,
da Auslenkungen der stationären Lösung exponentiell verstärkt werden.
Zwei verbreitete Bifurkationstypen sind die Tangentenbifurkation und die Heugabelbifurkation. Die Eigenschaften dieser beiden Bifurkationen lassen sich an einfachen
Differentialgleichungen untersuchen.
Tangentenbifurkation
Die Differentialgleichung
ẋ = F (x, µ) = µ − x2
(3.44)
besitzt die zwei stationären Lösungen
(1,2)
x0
√
= ± µ.
(3.45)
Für positive Werte von µ besitzt die Differentialgleichung zwei stationäre Lösungen. Am
Bifurkationspunkt µ = 0 fallen die beiden Lösungen zusammen und es existiert nur eine
stationäre Lösung. Im Bereich µ < 0 gibt es zwei rein imaginäre Lösungen. Beschränkt
man sich auf reelle Werte für die Zustände x, gibt es für negative Werte von µ keine
Lösungen. Nach Gl. (3.43) legt die Ableitung von F (x, µ) am Fixpunkt die Stabilität
fest, diese lautet
∂F
(x0 , µ) = −2x0 .
(3.46)
∂x
√
(1)
Für positive Werte von µ ist folglich die Lösung x0 = + µ stabil, da die Ableitung in
√
(2)
Gl. (3.46) negativ ist. Umgekehrt ist die Lösung x0 = − µ eine instabile Lösung, da die
Ableitung ein positives Vorzeichen hat. Negative Werte des Parameters µ führen zu rein
(1,2)
imaginären Werten von x0 . Daher ist die Ableitung in Gl. (3.46) rein imaginär und eine
Störung wird nach Gl. (3.43) um den Fixpunkt oszillieren. Das Bifurkationsdiagramm
der Tangentenbifurkation ist in Abb. 3.1a) dargestellt.
30
3.2. Bifurkationen und exzeptionelle Punkte
a)
2
1
1
0,5
0,5
0
0
−0,5
−0,5
−1
−1
−1,5
−1,5
−2
−3
−2
−1
stabil
instabil
1,5
x0
x0
1,5
2
b)
stabil
instabil
0
µ
1
2
−2
−3
3
−2
−1
0
µ
1
2
3
Abbildung 3.1.: Die reellen stationären Zustände x0 einer Tangentenbifurkation (a)
und einer Heugabelbifurkation (b) in Abhängigkeit des Systemparameters µ. Am
Bifurkationspunkt µ = 0 ändert sich die Zahl der reellen Lösungen und die Stabilität.
Heugabelbifurkation
Die Differentialgleichung
ẋ = F (x, µ) = µx − x3
(3.47)
weißt die charakteristischen Eigenschaften einer Heugabelbifurkation auf. Die stationären
Lösungen der Gleichung lauten
(1,2)
x0
√
= ± µ,
(3.48a)
(3)
x0
(3.48b)
= 0.
Der Bifurkationspunkt liegt wieder bei µ = 0. Im Vergleich zur Tangentenbifurkation
(3)
taucht die zusätzliche Lösung x0 auf, die unabhängig vom Parameter µ ist. Im Bereich
µ > 0 existieren insgesamt drei reelle Lösungen, die am Bifurkationspunkt zu einer
Lösung zusammenfallen. Für negative Werte µ < 0 gibt es die zwei rein imaginären
(1,2)
(3)
Lösungen x0 und die reelle Lösung x0 . Bei einer Beschränkung auf reelle Werte von
(1,2)
x existieren die Fixpunkte x0 nur für positive µ. Die lineare Stabilität der stationären
Lösungen lässt sich wieder am Vorzeichen der Ableitung
∂F
(x0 , µ) = µ − 3x20
∂x
(1,2)
(3.49)
(1,2)
ablesen. Für die beiden Lösungen x0 lautet die Ableitung ∂F/∂x(x0 , µ) = −2µ. Für
positive Werte von µ sind die Lösungen also stabil, wohingegen sie für negative Werte
(3)
(3)
instabil sind. Auf dem Ast x0 hat die Ableitung den Wert ∂F/∂x(x0 , µ) = µ. Diese
Lösung ist für positive µ instabil und für negative µ stabil. Abbildung 3.1b) zeigt das
Bifurkationsdiagramm der Heugabelbifurkation.
31
3. PT -Symmetrie in nichtlinearen Quantensystemen
a)
b)
1
0
−1
0
Re x
1
0
Im x
−1
1
−1
0
Re x
Im x
−1
1
Abbildung 3.2.: Realteil (a) und Imaginärteil (b) der analytisch fortgesetzten Quadratwurzelfunktion, dargestellt als Riemannsche Flächen. Bei x = 0 gibt es einen
Verzweigungspunkt. Nach einem Umlauf um den Verzweigungspunkt wechselt die
Lösung auf das jeweils andere Blatt, nach zwei Umläufen befindet sich die Lösung
wieder am Ausgangspunkt.
3.2.2. Analytische Fortsetzung
Die analytische Fortsetzung beschreibt das Erweitern des Definitionsbereich einer gegebenen analytischen Funktion. Als analytische Funktionen werden Funktionen bezeichnet, die
sich lokal durch eine konvergente Potenzreihe entwickeln lassen. Wir sind im Speziellen
an der analytischen Fortsetzung einer reellen Funktion ins Komplexe interessiert. Die
Funktion g(x), x ∈ R wird in die komplexe Ebene zu der Funktion G(x), x ∈ C erweitert,
sodass die Funktionswerte auf der reellen Achse übereinstimmen, g(x) = G(x), x ∈ R.
Die analytische Fortsetzung lässt sich berechnen, indem die Funktion g(x) an einem
Punkt x0 in einer Potenzreihe entwickelt wird und die Potenzreihe für komplexe x ausgewertet wird. Ist der Konvergenzradius der komplexen Potenzreihe unendlich, ist die
analytische Fortsetzung bereits auf der kompletten komplexen Ebene definiert. Hat die
Potenzreihe einen endlichen Radius r, wird eine neue Potenzreihe um x1 gebildet, wobei
sich x1 innerhalb des Konvergenzradius der Potenzreihe um x0 befindet. Dies wird zur
Berechnung der analytischen Fortsetzung ins Komplexe wiederholt angewendet.
Sowohl die Tangentenbifurkation als auch die Heugabelbifurkation haben Lösungen
√
(1,2)
der Form x0
= ± µ. Für positive Werte von µ erhält man zwei reelle Lösungen,
für negative Werte von µ zwei imaginäre Lösungen und beim Bifurkationspunkt µ = 0
fallen die Lösungen zusammen. Um die Struktur der Lösungen besser zu verstehen,
kann µ ins Komplexe analytisch fortgesetzt werden. Mit komplexen µ ist es möglich,
einen Pfad zu wählen, der positive reelle µ mit negativen reellen µ verbindet, ohne den
Bifurkationspunkt bei µ = 0 zu durchschreiten. Die komplexen Lösungen der Gleichung
x20 = µ sind in Abb. 3.2 dargestellt. Aufgrund der Mehrdeutigkeit der Lösung gibt
es zwei Blätter, die als Riemannsche Flächen bezeichnet werden. Bei der analytischen
32
3.2. Bifurkationen und exzeptionelle Punkte
Fortsetzung einer solchen mehrdeutigen Funktion kann man auf unterschiedlichen Wegen
unterschiedliche Funktionswerte erhalten. Bei µ = 0 vereinigen sich die Flächen und man
spricht von einem Verzweigungspunkt.
3.2.3. Exzeptionelle Punkte
Exzeptionelle Punkte tauchen in nichthermiteschen linearen Systemen auf. Der Begriff exzeptioneller Punkt wurde von Kato eingeführt [45]. Wir betrachten eine lineare Abbildung
y = M (α)x,
(3.50)
dargestellt durch eine n×n Matrix M (α), die von einem komplexen Parameter α abhängt.
Die Vektoren y und x sind n-dimensional. Die Eigenwerte λ der Matrix berechnen sich
über das charakteristische Polynom
det(M (α) − λE) = 0,
(3.51)
mit der Einheitsmatrix E. Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts entspricht der
Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom. Als geometrische Vielfachheit
wird die Dimension des Eigenraums zu einem Eigenwert bezeichnet. Die geometrische
Vielfachheit ist mindestens gleich Eins und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit.
Bei einer diagonalisierbaren Matrix ist die geometrische Vielfachheit aller Eigenwerte
gleich der algebraischen Vielfachheit.
Exzeptionelle Punkt können auftreten, wenn mehrere Eigenwerte auf verschiedenen
Blättern derselben analytisch fortgesetzten Funktion liegen. Am Verzweigungspunkt der
analytisch fortgesetzten Funktion werden die Eigenwerte gleich, dieser Punkt wird als exzeptioneller Punkt bezeichnet. Exzeptionelle Punkte weisen eine Reihe von Eigenschaften
auf [45]:
• An einem exzeptionellen Punkt des Typs EPN fallen N Eigenwerte zusammen. Die
übrigen Eigenwerte sind nichtentartet.
• An einem EPN werden ebenfalls die N zugehörigen Eigenvektoren gleich. Die
Matrix ist an diesem Punkt nicht länger diagonalisierbar, da die algebraische
Vielfachheit des Eigenwerts N ist, aber die geometrische Vielfachheit nur 1 beträgt.
• Beim Umkreisen eines exzeptionellen Punks im Parameterraum permutieren die
Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren.
Jordansche Normalform
Am exzeptionellen Punkt lässt sich die Matrix zwar nicht mehr diagonalisieren, aber sie
lässt sich über eine Ähnlichkeitstransformation auf die Jordansche Normalform bringen.
33
3. PT -Symmetrie in nichtlinearen Quantensystemen
Die Jordanform einer Matrix M hat die Form

0
J1
J=
J2





..



.


.
0
(3.52)
Jn
Auf der Diagonalen der Jordanform stehen die bidiagonalen Jordanblöcke

1








λi
λi
Jj =
0
...
...
1
λi
0





,


1
(3.53)
λi
wobei mit λi die Eigenwerte von M bezeichnet werden. Die geometrische Vielfachheit
eines Eigenwerts λi entspricht der Zahl der Jordanblöcke zu diesem Eigenwert. Die Summe
der Dimensionen aller Jordanblöcke zu einem bestimmten Eigenwert ist gleich dessen
algebraische Vielfachheit.
An einem EPN fallen wie bereits beschrieben N Eigenwerte und Eigenvektoren zusammen und die restlichen Eigenwerte sind nichtentartet. Die zugehörige Jordanform
hat einen Jordanblock der Dimension N und ansonsten ausschließlich Jordanblöcke der
Dimension 1. Die für diese Arbeit relevanten exzeptionellen Punkte der Typen EP2 und
EP3 werden im Folgenden besprochen.
EP2
Die Jordansche Normalform eines EP2 hat einen Jordanblock der Dimension 2 und
ansonsten ausschließlich eindimensionale Jordanblöcke. Im einfachsten Fall eines zweidimensionalen Systems lautet die Jordanform
!
λ 1
J=
,
0 λ
(3.54)
mit dem Eigenwert λ. Die charakteristischen Eigenschaften eines exzeptionellen Punkts
zeigen sich, wenn man eine Störung einführt und das Verhalten der Eigenwerte und
Eigenvektoren beim Umlaufen des exzeptionellen Punkts betrachtet. Wie betrachten
hierfür die Störung
!
!
λ 1
0 0
A=J +∆=
+
,
0 λ
α 0
34
(3.55)
3.2. Bifurkationen und exzeptionelle Punkte
die von dem komplexen Parameter α abhängig ist. Die Eigenwerte und Eigenvektoren
der Matrix A lassen sich leicht berechnen, sie lauten
√
a1,2 = λ ± α,
(3.56a)
!
v1,2
1
√
.
=
± α
(3.56b)
Der exzeptionelle Punkt bei α = 0 wird in Abhängigkeit des Störparameters α umlaufen.
Mit der Wahl α = eiϑ lässt sich ein Umlauf durch ϑ = 0 . . . 2π parametrisieren.√Die in den
Eigenwerten und Eigenvektoren auftauchende Quadratwurzel lautet damit α = eiϑ/2 .
In diesem einfachen Fall lässt sich direkt an der Form der Eigenwerte und Eigenvektoren
ablesen, dass nach einem Umlauf ϑ = 2π die Eigenwerte und Eigenvektoren vertauschen
und nach zwei Umläufen ϑ = 4π wieder ihren ursprünglichen Wert annehmen. Es
sollte allerdings beachtet werden, dass dies für normierte Eigenvektoren nur bis auf
eine geometrische Phase richtig ist. Die Eigenwerte in Abhängigkeit von ϑ sind in
Abb. 3.4a) gezeigt. Der Grund für dieses Verhalten ist die Mehrdeutigkeit der komplexen
Quadratwurzelfunktion, deren Riemannsche Flächen in Abb. 3.2 dargestellt sind. Man
bezeichnet dieses Verhalten, dass Eigenwerte und Eigenvektoren nach einem Umlauf
vertauschen und nach zwei Umläufen wieder die Ausgangssituation hergestellt ist, als
Quadratwurzelverhalten.
EP3,3
An einem EP3 fallen drei Eigenwerte und Eigenzustände zusammen. Abhängig von der
gewählten Störung zeigt das Umlaufen des exzeptionellen Punktes jedoch entweder das
vom EP2 bekannte Quadratwurzelverhalten oder ein Kubikwurzelverhalten, bei welchem
die Ausgangssituation bezüglich Eigenwerten und Eigenvektoren nach drei Umläufen
wiederhergestellt ist [46]. Ein EP3, der bezüglich einer Störung Kubikwurzelverhalten
zeigt, wird im Folgenden als EP3,3 bezeichnet, wohingegen bei Quadratwurzelverhalten
von einem EP3,2 gesprochen wird. Zunächst wird der Fall eines EP3,3 behandelt.
Die Jordanform am exzeptionellen Punkt besitzt einen dreidimensionalen Jordanblock
zum Eigenwert λ. Die von dem komplexen Parameter β abhängige Störung wurde so
gewählt, dass ein Kubikwurzelverhalten beobachtet wird




λ 1 0
0 0 0

 

A = J + ∆ =  0 λ 1  +  0 0 0 .
0 0 λ
β 0 0
(3.57)
Die Eigenwerte lassen sich aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen.
Im Ausdruck für die Eigenwerte tauchen die drei Lösungen der komplexen Kubikwurzel
auf:
a1,2,3 = λ +
q
β,
ak+1 = λ +
q
|β|ei(arg β+2πk)/3
3
3
(3.58a)
, k = 0, 1, 2,
(3.58b)
35
3. PT -Symmetrie in nichtlinearen Quantensystemen
a)
b)
1
−1
Re x 0
0
1
−1
1
−1
Im x
Re x 0
0
1
−1
Im x
Abbildung 3.3.: Realteil (a) und Imaginärteil (b) der analytisch fortgesetzten Kubikwurzelfunktion dargestellt als Riemannsche Flächen. Wie bei der Quadratwurzel befindet
sich bei x = 0 ein Verzweigungspunkt. Die Kubikwurzel besitzt drei Blätter und nach
drei Umläufen um den Verzweigungspunkt ist man wieder am Ausgangspunkt.
mit den zugehörigen Eigenvektoren


1
vk+1 =  |β|1/3 ei(arg β+2πk)/3 
|β|2/3 e2i(arg β+2πk)/3

, k = 0, 1, 2.

(3.59)
Ein Umlauf des exzeptionellen Punkts bei β = 0 auf dem komplexen Einheitskreis wird
durch β = eiϑ , ϑ = 0, . . . , 2π parametrisiert. Durch die Kubikwurzel taucht der Term
eiϑ/3 in den Eigenwerten und Eigenvektoren auf, der eine Periode von 6π besitzt. Man
erhält bei dem Kubikwurzelverhalten den Ausgangszustand also nach drei Umläufen um
den exzeptionellen Punkt. Die Riemannschen Flächen der Kubikwurzel sind in Abb. 3.3
dargestellt. Das Verhalten der Eigenwerte in Abhängigkeit von ϑ ist in Abb. 3.4b) zu
sehen.
EP3,2
Wie bereits beschrieben, kann ein EP3 je nach Störung Kubikwurzelverhalten oder
Quadratwurzelverhalten zeigen. Ein EP3 mit Quadratwurzelverhalten wird als EP3,2
bezeichnet. Auch dieses Verhalten lässt sich beispielhaft an einem einfachen Matrixmodell
beobachten. Eine Störung, die das Verhalten eines EP3,2 erzeugt, lautet




λ 1 0
0 0 0

 
A = J + ∆ =  0 λ 1  + γ 0 0
.
0 0 λ
0 0 0
36
(3.60)
3.2. Bifurkationen und exzeptionelle Punkte
a)
a1
a2
Im a
a1
a2
a3
Re a
Re a
1
0,5
0
−0,5
−1
b)
1
0,5
0
−0,5
−1
c)
1
0,5
0
−0,5
−1
0π
a1
a2
a3
1π
2π
3π
ϑ
4π
5π
6π
Abbildung 3.4.: Die Real- oder Imaginärteile der Eigenwerte beim Umlaufen eines exzeptionellen Punkts des Typ EP2 (a), EP3,3 (b) und EP3,2 (c). Der EP2 und EP3,2 zeigen
Quadratwurzelverhalten, d. h. die Eigenwerte sind nach einem Umlauf (ϑ = 2π) vertauscht und nehmen nach zwei Umläufen (ϑ = 4π) den Ausgangswert an. Beim EP3,2
gibt es zusätzlich einen konstanten Eigenwert. Die Eigenwerte des EP3,3 vertauschen
zyklisch, sodass nach drei Umläufen (ϑ = 6π) die Ausgangssituation wiederhergestellt
ist.
Die Eigenwerte der Matrix A berechnen sich zu
a2,3
a1 = λ,
√
= λ ± γ,
(3.61a)
(3.61b)
mit den Eigenvektoren


1


v1 =  0  ,
−γ

v2,3

1
 √ 
= ± γ  .
0
(3.62)
Die Eigenvektoren v2,3 mit den Eigenwerten a2,3 zeigen das vom EP2 bekannte Quadratwurzelverhalten. Nach einem Umlauf des exzeptionellen Punkts in der komplexen
Ebene vertauschen die beiden Eigenwerte und Eigenvektoren. Nach zwei Umläufen ist die
Ausgangssituation wiederhergestellt. Der Eigenwert a1 ist unabhängig vom Störparameter
γ, im zugehörigen Eigenvektor v1 taucht γ linear auf und daher ist v1 nach einem Umlauf
unverändert. Die Verhalten der Eigenwerte ist in Abb. 3.4c) dargestellt.
37
4. PT -symmetrisches
Doppelmuldenpotential
Wie in Abschnitt 3.1 beschrieben, ist es eine notwendige Bedingung PT -symmetrischer
Systeme, dass der Realteil des Potentials eine gerade Funktion und der Imaginärteil eine
ungerade Funktion im Ort ist. In dieser Arbeit wird das folgende Doppelmuldenpotential
mit ortsabhängigem Gewinn- und Verlustterm verwendet:
V (x) =
m 2 2 m 2 2
2
2
ωx x + ωy,z (y + z 2 ) + v0 e−σx + iΓxe−ρx .
2
2
(4.1)
Alle Parameter des Potentials sind reelle Größen. Es erfüllt die geforderte Symmetrieeigenschaft
V (x) = V ∗ (−x),
(4.2)
da der Realteil symmetrisch und der Imaginärteil antisymmetrisch ist. Das Potential
besteht aus einer dreidimensionalen harmonischen Falle mit den Fallenfrequenzen ωx und
ωy,z . Die Falle ist symmetrisch in y- und z-Richtung. In x-Richtung wird die harmonische
Falle mit einer gaußförmigen Barriere mit Höhe v0 und Breitenparameter σ überlagert,
sodass eine Doppelmulde entsteht. Der imaginäre Beitrag zum Potential ist ausschließlich
von x abhängig. Das Vorzeichen ist so gewählt, dass ein Gewinnterm in der Mulde bei
positiven x-Werten und ein Verlustterm in der Mulde bei negativen x-Werten entsteht.
Die Stärke des Gewinn- und Verlustterms ist durch den Parameter Γ bestimmt. Der
Parameter m bezeichnet die Masse eines Teilchens im Kondensat.
Analog zur GPE wird das Potential in dimensionslosen Einheiten geschrieben. Nach
Gl. (2.19) lautet das dimensionslose Potential
0
Vext
(x0 ) = Vext (x)/,
(4.3)
mit der Energieskala = ~2 /2ml2 und der Längenskala x0 = x/l. Die dimensionslosen
Größen des Potentials werden definiert als:
ωα0
v00
σ0
Γ0
ρ0
= ~ωα / = 2ωα ml2 /~ mit α = x, y, z,
= v0 /,
= σl2 ,
= Γl/,
= ρl2 .
(4.4a)
(4.4b)
(4.4c)
(4.4d)
(4.4e)
39
4. PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
9
4
Re V (x)
Im V (x)
3
7
2
6
1
5
0
4
−1
3
−2
2
−3
1
−6
−4
Im V (x)
Re V (x)
8
−4
−2
0
x
2
4
6
Abbildung 4.1.: Das PT -symmetrische Doppelmuldenpotential in einer Dimension. Der
Realteil ist eine symmetrische Funktion und der Imaginärteil eine antisymmetrische
Funktion. Der Imaginärteil führt zu einem Gewinn (Verlust) in der rechten (linken)
Mulde.
Die Längenskala l wird festgelegt durch die Fallenfrequenz in x-Richtung:
l=
q
~/2mωx .
(4.5)
Die dimensionslose Form des Potentials (4.1) nimmt mit den soeben eingeführten Größen
die folgende Form an:
1
1 2 2
2
2
V (x) = x2 + ωy,z
(y + z 2 ) + v0 e−σx + iΓxe−ρx .
4
4
(4.6)
In dieser Gleichung tauchen ausschließlich die dimensionslosen Größen auf, die zuvor mit
Strichen gekennzeichnet wurden. Die Striche können daher aus Gründen der Übersichtlichkeit weggelassen werden. Durch die Wahl
ρ=
σ
2 ln(4v0 σ)
(4.7)
fallen die Minima des reellen Doppelmuldenpotentials mit den Extrema des imaginären
Potentials zusammen.
Möchte man die Schrödingergleichung mit dem Potential (4.6) lösen, kann diese
separiert werden. Das dreidimensionale Problem lässt sich auf drei eindimensionale
Probleme reduzieren. Die Separation führt auf einfache harmonische Oszillatoren in yund z-Richtung und auf das eindimensionale PT -symmetrische Doppelmuldenpotential
in x-Richtung
2
2
V (x) = ωx2 x2 + v0 e−σx + iΓxe−ρx ,
(4.8)
40
das in Abb. 4.1 abgebildet ist. Die dimensionslosen Energieeigenwerte des harmonischen
Oszillators in y- und z-Richtung lauten
Eharm,n = ωy,z n +
1
.
2
(4.9)
Aufgrund der Nichtlinearität in der GPE (2.25) können die Eigenfunktionen des Hamiltonoperators bei Nichtlinearitätsparametern g =
6 0 nicht mehr separiert werden. Für
schwache Wechselwirkung, d. h. kleine Werte von g, kann jedoch angenommen werden,
dass eine eindimensionale Rechnung mit dem Potential (4.8) weiterhin eine sinnvolle
Näherung des dreidimensionalen Systems liefert. Insbesondere sollten alle Effekte der
PT -Symmetrie im eindimensionalen Potential beobachtbar sein, da der komplexe Anteil
des Potentials nur von x abhängt. Diese Annahme wird durch die Rechnungen in drei
Dimensionen bestätigt.
In allen folgenden Rechnungen werden für die Parameter des Potentials die Werte
v0 = 4 und σ = 0,5 verwendet. Gleichung (4.7) legt den Parameter ρ fest. Damit bleiben
als freie Parameter die Stärke der Nichtlinearität g und der Nichthermitizitätsparameter
Γ. Im dreidimensionalen Potential gibt es mit der Fallenfrequenz ωy,z einen weiteren
freien Parameter. Der Einfluss dieser Parameter auf das System wird in der vorliegenden
Arbeit untersucht.
41
5. Stationäre Lösungen
5.1. Eindimensionale stationäre Lösungen
Für die PT -Symmetrie des Potentials ist ausschließlich die x-Richtung relevant, da der
imaginäre Teil des Potentials nur von x abhängt. Daher wird zunächst die eindimensionale
Form der GPE (2.25) mit dem eindimensionalen Potential (4.8) gelöst.
Als Ansatz für die TDVP wird eine Überlagerung von gaußschen Wellenpaketen
verwendet. Die allgemeine Form von N gekoppelten Gaußfunktionen aus Gl. (2.32)
vereinfacht sich in einer Dimension zu
ψ(z, x) =
N
X
e−(A
k (x−q k )2 −ipk (x−q k )+ϕk )
.
(5.1)
k=1
In einer Dimension sind sowohl die reellen Parameter q k , pk als auch die komplexen
Parameter Ak , ϕk skalare Größen. Die Zahl der reellen Parameter reduziert sich auf
Np = 6N . Wie in Kapitel 2.2.3 beschrieben, muss für die Suche nach stationären
Lösungen eine (Np − 2) dimensionale Nullstellensuche gelöst werden. Der Ansatz für die
Wellenfunktion muss für das Doppelmuldenpotential offensichtlich aus mindestens zwei
gekoppelten gaußschen Wellenpaketen bestehen. Das Maximum des einen Wellenpakets
liegt hierbei in der linken Mulde und das des zweiten Wellenpakets in der rechten
Mulde. Mit dem Ansatz aus zwei Wellenpaketen können bereits alle Effekte des Systems
beobachtet werden. Daher wird zunächst nur der Fall mit zwei Gaußfunktionen betrachtet.
In Kapitel 7 werden Rechnungen mit mehr als zwei Gaußfunktionen behandelt und ein
Vergleich mit numerisch exakten Lösungen durchgeführt.
5.1.1. Stationäre Lösungen im linearen Fall
Bevor die nichtlineare GPE (2.25) untersucht wird, soll sichergestellt werden, dass das
gewählte Modell eines PT -symmetrischen Doppelmuldenpotentials die bekannten Effekte
linearer PT -symmetrischer Quantensysteme liefert. Es wird daher zunächst der Grenzfall
g = 0 gelöst, in dem die GPE in die lineare Schrödingergleichung übergeht. Die stationären
Lösungen mit dem eindimensionalen Ansatz (5.1) für zwei Gaußfunktionen werden wie
in Abschnitt 2.2.3 beschrieben berechnet.
Die Eigenwerte µ des Grundzustands und des ersten angeregten Zustands sind in
Abb. 5.1 dargestellt. Die Eigenwerte sind rein reell unterhalb eines kritischen Werts des
43
5. Stationäre Lösungen
Γc
Re µ
Im µ
0,06
2,52
Im µ
2,56
0
−0,06
2,44
−0,12
Re µ
2,48
−0,18
2,4
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Abbildung 5.1.: Das chemische Potential µ des Grundzustands und ersten angeregten
Zustands bei verschwindender Nichtlinearität g = 0. Unter einem kritischen Wert
Γc ist das chemische Potential rein reell. Im Bereich Γ > Γc existieren zwei komplex
konjugierte Eigenwerte.
Nichthermitizitätsparameters Γc . Nach den Überlegungen in Abschnitt 3.1.2 hat ein PT symmetrisches System genau dann reelle Eigenwerte, wenn der zugehörige Eigenzustand
selbst PT -symmetrisch ist. Um dies zu bestätigen, kann die PT -Symmetrie bei einem
festen Wert von Γ direkt an der Wellenfunktion auf die Bedingung PT ψ = eiα ψ überprüft
werden. Es können andererseits auch Bedingungen für die gaußschen Parameter formuliert
werden, an denen die PT -Symmetrie der Wellenfunktion abgelesen werden kann. Für
die Superposition von zwei gekoppelten Gaußfunktionen muss für PT -symmetrische
Funktionen mit dem gewählten Ansatz die folgende Gleichung erfüllt sein:
PT (g (1) + g (2) ) = eiα (g (1) + g (2) ),
PT e
α ∈ R,
−(A(1) (x−q (1) )2 −ip(1) (x−q (1) )+ϕ(1) )
= e−((A
+e
(5.2)
−(A(2) (x−q (2) )2 −ip(2) (x−q (2) )+ϕ(2) )
(1) )∗ (x+q (1) )2 −ip(1) (x+q (1) )+(ϕ(1) )∗ −iα)
+ e−((A
(2) )∗ (x+q (2) )2 −ip(2) (x+q (2) )+(ϕ(2) )∗ −iα)
(5.3)
.
Da die Menge der Exponentialfunktionen linear unabhängig sind, müssen die gaußschen
Wellenpakete paarweise identisch sein. Da außerdem q k =
6 0 ist, müssen die Gaußparameter
der PT -symmetrischen Zuständen die folgenden Relationen erfüllen:
Re A(1) = Re A(2) ,
(1)
Im A
44
(2)
= − Im A ,
(5.4a)
(5.4b)
q (1) = −q (2) ,
(5.4c)
p(1) = p(2) ,
(5.4d)
5.1. Eindimensionale stationäre Lösungen
Re ϕ(1) = Re ϕ(2) ,
(5.4e)
Im ϕ(1) = − Im ϕ(2) + α.
(5.4f)
Ein Zustand ist genau dann PT -symmetrisch, wenn die Gleichungen (5.4a)–(5.4e) erfüllt
sind. Der Eigenwert eiα zum PT -Operator kann aus Gl. (5.4f) berechnet werden. Die
gaußschen Parameter in Abhängigkeit des Gewinn-/Verlustparameters Γ sind in Abb. 5.2
abgebildet. Hierbei wurde die globale Phase so gewählt, dass die Wellenfunktionen exakte
PT -Symmetrie erfüllen, d. h. α = 0. Es lässt sich ablesen, dass die Zustände unterhalb
des kritischen Werts Γc im Bereich rein reeller Eigenwerte tatsächlich PT -symmetrisch
sind.
Am Wert Γc vereinigen sich der Grundzustand und der angeregte Zustand in einem
exzeptionellen Punkt. An diesem Punkt werden die Eigenwerte µ (Abb. 5.1) sowie die
gaußschen Parameter (Abb. 5.2) und damit die Wellenfunktion der beiden Zustände
gleich.
Im Bereich Γ > Γc existieren zwei Lösungen mit komplex konjugierten Eigenwerten
und die Relationen (5.4a)–(5.4e) sind nicht länger erfüllt, d. h. die Zustände sind PT gebrochen. In Abschnitt 3.1.2 wurde gezeigt, dass in PT -symmetrischen Systemen
komplexe Energieeigenwerte stets in komplex konjugierten Paaren auftreten. Außerdem
lassen sich die zugehörigen Eigenzustände durch Anwenden des PT -Operators ineinander
überführen. Das bedeutet, wenn ψ Eigenzustand zum komplexen Eigenwert µ ist, dann ist
PT ψ Eigenzustand zu µ∗ . Der gebrochene Zustand mit positivem Imaginärteil Im µ > 0
wird im Weiteren als ψp und der gebrochene Zustand mit negativem Imaginärteil Im µ < 0
als ψn bezeichnet. Aus ψp = PT ψn lassen sich die folgenden Bedingungen für die
gaußschen Parameter formulieren:
Re Akn = Re Alp ,
(5.5a)
Im Akn = − Im Alp ,
(5.5b)
qnk = −qpl ,
(5.5c)
pkn
Re ϕkn
Im ϕkn
=
plp ,
(5.5d)
=
Re ϕlp ,
(5.5e)
= − Im ϕlp + χ,
χ ∈ R.
(5.5f)
Diese Gleichungen müssen für (k, l) = (1, 2) und (2, 1) erfüllt sein, wenn man festlegt, dass
sich die Gaußfunktion g (1) stets in der rechten Mulde befindet. Der reelle Phasenparameter
χ in Gl. (5.5f) taucht aufgrund einer beliebigen Phasenwahl von ψp und ψn auf. Die
gaußschen Parameter erfüllen im Bereich Γ > Γc die Relationen (5.5a)–(5.5e), wie in
Abb. 5.2 abzulesen ist. Das bedeutet, die zwei PT -gebrochenen Lösungen erfüllen wie
erwartet die Beziehung PT ψn = ψp .
Die Wellenfunktionen der stationären Lösungen sind in Abb. 5.3 für charakteristische ΓWerte dargestellt. Die globale Phase wurde stets so gewählt, dass die PT -symmetrischen
Lösungen exakte PT -Symmetrie aufweisen. Auf die Wellenfunktionen bezogen entspricht
45
5. Stationäre Lösungen
a)
Γc
0,46
b)
(1)
Re Ag/n
0,45
(2)
Re Ag/n
(1)
Re A
(2)
Re Ae/p
0,43
Im A
Re Ae/p
0,44
0,42
0,41
0,4
0
c)
Γc
(2)
− Im Ag/n
(1)
Im Ae/p
(2)
− Im Ae/p
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Γc
d)
(1)
qg/n
2,16
(1)
Im Ag/n
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
2,18
Γc
0,01
0
−0,01
−0,02
−0,03
−0,04
−0,05
−0,06
−0,07
−0,08
0
(2)
−qg/n
2,14
(1)
−0,05
(2)
−qe/p
q
2,12
p
qe/p
2,1
(1)
−0,1
pg/n
(2)
pg/n
2,08
−0,15
(1)
pe/p
2,06
(2)
Γc
1,8
(1)
Re ϕg/n
(2)
Re ϕg/n
(1)
Re ϕe/p
(2)
Re ϕe/p
1,6
1,4
Re ϕ
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
f)
Im ϕ
0
e)
pe/p
−0,2
2,04
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Γc
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
−0,2
(1)
Im ϕg/n
(2)
− Im ϕg/n
(1)
Im ϕe/p
(2)
− Im ϕe/p
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Abbildung 5.2.: Die gaußschen Parameter der stationären Lösungen in Abhängigkeit des
Gewinn-/Verlustparameters Γ für einen Ansatz aus zwei Gaußfunktionen. Für Γ < Γc
existieren der Grundzustand ψg und der angeregte Zustand ψe als stationäre Lösungen
mit reellen Energieeigenwerten. In diesem Bereich sind die Relationen (5.4a)–(5.4e)
erfüllt, d. h. die Zustände sind PT -symmetrisch. Durch Wahl der globalen Phase
sind die Zustände exakt PT -symmetrisch und erfüllen Gl. (5.4f) mit α = 0. Am
exzeptionellen Punkt Γc werden die Parameter des Grundzustands und angeregten
Zustands gleich. Im Bereich Γ > Γc gibt es zwei stationäre Lösungen ψp mit positivem
Imaginärteil und ψn mit negativem Imaginärteil des Energieeigenwerts. Hier sind die
Relationen (5.5a)–(5.5e) erfüllt, also gilt ψp = PT ψn .
46
5.1. Eindimensionale stationäre Lösungen
a)
0,6
b)
0,4
0,4
0,2
0,2
0
0
−0,2
−0,4
−0,6
−6
c)
0,6
−0,2
Re ψg
Im ψg
Re ψe
Im ψe
−4
−2
−0,4
0
x
2
4
6
0,6
−0,6
−6
d)
0,4
0,2
0,2
0
0
−0,4
−0,6
−6
−4
−2
0
x
2
4
6
0
x
2
4
6
0,6
0,4
−0,2
Re ψg
Im ψg
Re ψe
Im ψe
−0,2
Re ψg
Im ψg
Re ψe
Im ψe
−4
−2
−0,4
0
x
2
4
6
−0,6
−6
Re ψn
Im ψn
Re ψp
Im ψp
−4
−2
Abbildung 5.3.: Wellenfunktionen des Grundzustands ψg und des angeregten Zustands
ψe bzw. der gebrochenen Zustände ψp mit positivem und ψn mit negativem Imaginärteil
des Energieeigenwerts: a) ohne Gewinn/Verlust Γ = 0, b) im PT -symmetrischen Regime
Γ = 0,02, c) nahe am exzeptionellen Punkt Γ ≈ Γc liegen die Kurven aufeinander und
d) im PT -gebrochenen Regime Γ = 0,06.
exakte PT -Symmetrie derselben Forderung, die an ein PT -symmetrisches Potential
gestellt wird, d. h. der Realteil muss eine symmetrische und der Imaginärteil eine antisymmetrische Funktion in x sein. Die Wellenfunktionen der stationären Lösungen können
im hermiteschen Grenzfall Γ = 0 noch rein reell gewählt werden, bei endlichen Γ ist dies
nicht mehr möglich. Durch die Wahl exakter PT -Symmetrie besitzt der Grundzustand ψg
bei Γ = 0 eine rein reelle symmetrische Wellenfunktion und der angeregte Zustand ψe eine
rein imaginäre antisymmetrische Wellenfunktion (Abb. 5.3a). Im Bereich 0 < Γ < Γc sind
der Grundzustand und der angeregte Zustand PT -symmetrisch und daher sind Real- und
Imaginärteil der Wellenfunktionen symmetrisch bzw. antisymmetrisch (Abb. 5.3b). Beim
Grundzustand liefert der Realteil den dominanten Beitrag, beim angeregten Zustand ist
der Imaginärteil dominant. Für größere Werte von Γ wird der Anteil des Imaginärteils
am Grundzustand und der Anteil des Realteils am angeregten Zustand größer und die
47
5. Stationäre Lösungen
beiden Zustände werden sich dadurch ähnlicher. Am exzeptionellen Punkt Γc sind die
zwei Zustände schließlich identisch (Abb. 5.3c). Für Werte Γ > Γc existieren die beiden
PT -gebrochenen Lösungen mit komplexen Energieeigenwerten. Die Wellenfunktionen
sind nicht länger PT -symmetrisch und lassen sich durch Anwenden des PT -Operators
aufeinander abbilden. Der exponentiell ansteigende Zustand mit positivem Imaginärteil
des Energieeigenwerts ψp hat eine größere Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der rechten
Mulde mit Gewinnterm. Umgekehrt ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des exponentiell
abfallenden Zustands mit negativem Imaginärteil des Energieeigenwerts ψn in der linken
Mulde mit Verlustterm größer.
5.1.2. Stationäre Lösungen im nichtlinearen Fall
Nachdem die von PT -symmetrischen Systemen bekannten Effekte im linearen Grenzfall
gefunden wurden, soll nun der nichtlineare Fall betrachtet werden. Die Nichtlinearität
der GPE wird durch den Parameter g gesteuert. Es wird der Einfluss einer attraktiven
Kontaktwechselwirkung auf die stationären Zustände des Systems untersucht. Attraktive
Wechselwirkung wird durch positive Werte von g beschrieben. Der wesentliche Unterschied
zum linearen Fall ist, dass die Symmetrie des nichtlinearen Hamiltonoperators der GPE
von der Symmetrie des Zustands abhängt. Der Hamiltonoperator ist nur dann PT symmetrisch, wenn das Betragsquadrat des Zustands eine symmetrische Funktion ist.
Die Energieeigenwerte der stationären Lösungen für g > 0 sind in Abb. 5.4 zu sehen.
Auch im nichtlinearen Fall existieren unterhalb einer kritischen Stärke des Gewinn/Verlustterms Γc2 der Grundzustand und der angeregte Zustand mit reellen Energieeigenwerten. Bei Γc2 fallen die zwei Zustände in einem exzeptionellen Punkt zusammen
und verschwinden. Daraus folgt die wichtige Erkenntnis, dass der nichthermitesche und
nichtlineare Hamiltonoperator der GPE weiterhin Eigenzustände mit reellen Eigenwerten
besitzt. Wie in Abschnitt. 3.1.3 gezeigt, gilt auch für die nichtlineare GPE, dass die Energieeigenwerte genau dann reell sind, wenn der zugehörige Eigenzustand PT -symmetrisch
ist. Die Symmetrie der Zustände lässt sich an den gaußschen Parametern in Abb. 5.5
ablesen. Hierfür wurde beispielhaft eine Nichtlinearität von g = 0,2 herausgegriffen. Der
Grundzustand und der angeregte Zustand sind erwartungsgemäß PT -symmetrisch, da
die Bedingungen (5.4a)–(5.4e) erfüllt sind. Durch die Wahl exakter PT -Symmetrie gilt
außerdem Gl. (5.4f) mit α = 0. Da PT -symmetrische Zustände nach Gl. (3.39) ein
symmetrisches Betragsquadrat besitzen, ist für diese Lösungen der Hamiltonoperator
selbst PT -symmetrisch. Es wurde bereits für das idealisierte Modell eines BECs in einem
PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential mit δ-Funktionen gezeigt [27, 28], dass der
nichtlineare Hamiltonoperator der GPE reelle Energieeigenwerte mit PT -symmetrischen
Eigenzuständen besitzt. Dieses Verhalten wird hier ebenfalls in einem räumlich ausgedehnten Doppelmuldenpotential beobachtet und bestätigt die Ergebnisse im idealisierten
Model mit δ-Funktionen.
Wie im linearen Fall tauchen auch mit Nichtlinearität zwei Eigenzustände mit komplexen Eigenwerten auf, wobei die Eigenwerte komplex konjugiert zueinander sind. Diese
48
5.1. Eindimensionale stationäre Lösungen
a)
2,52
g
g
g
g
2,5
2,48
=0
= 0,1
= 0,2
= 0,3
b)
g
g
g
g
0,06
0,04
2,46
=0
= 0,1
= 0,2
= 0,3
0,02
2,44
Im µ
Re µ
0,08
2,42
0
−0,02
2,4
2,38
−0,04
2,36
−0,06
−0,08
2,34
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Abbildung 5.4.: Real- (a) und Imaginärteil (b) des chemischen Potentials µ bei verschiedenen Nichtlinearitäten g. Unterhalb von Γc2 existieren wie im linearen Fall zwei
PT symmetrische Lösungen mit rein reellen Eigenwerten (durchgezogen). Für größere
Werte von g wird das gesamte Eigenwertspektrum zu kleineren Realteilen von µ verschoben. Die PT gebrochenen Äste mit komplexen Energieeigenwerten (gestrichelt)
werden stärker nach unten verschoben als die Äste der PT -symmetrischen Zustände.
Dadurch schneidet der gebrochene Ast nicht wie im Fall g = 0 die PT -symmetrischen
Äste bei Γc2 , sondern der gebrochene Ast spaltet nur noch vom Ast des Grundzustands
bei Γc1 < Γc2 ab. Es entsteht ein Bereich Γc1 < Γ < Γc2 , in welchem sowohl die
PT -symmetrischen als auch die PT -gebrochenen Lösungen existieren.
Zustände unterscheiden sich in ihrem Verhalten jedoch deutlich von dem im linearen Fall.
Der Ast mit komplexen Eigenwerten spaltet nicht länger bei Γc2 ab, an dem Grundzustand
und angeregter Zustand zusammenlaufen. Stattdessen spaltet der Ast nur noch vom
Grundzustand bei einem kritischen Wert Γc1 < Γc2 ab. Daraus folgt, dass in dem Bereich
Γc1 < Γ < Γc2 sowohl die Äste mit reellen, als auch die Äste mit komplexen Eigenwerten
gleichzeitig existieren. Wie in Abschnitt 3.1.3 beschrieben, müssen sich die Eigenzustände
mit komplexen Eigenwerten im nichtlinearen Fall weiterhin durch Anwenden des PT Operators ineinander überführen lassen. Diese Eigenschaft ist erfüllt, wenn die gaußschen
Parameter der Wellenfunktionen die Gleichungen (5.5a)–(5.5e) erfüllen. Die gaußschen
Parameter in Abb. 5.5 zeigen für g = 0,2, dass die Zustände mit komplexen Eigenwerten
PT -gebrochen sind und erwartungsgemäß durch Anwenden des PT -Operators ineinander übergehen. Anhand der Parameter lässt sich außerdem feststellen, dass die beiden
PT -gebrochenen Lösungen und der Grundzustand bei Γc1 identisch werden. Der Punkt
Γc1 weißt daher charakteristische Eigenschaften eines exzeptionellen Punkts EP3 auf, an
dem drei Eigenwerte und Eigenzustände zusammenfallen.
Mit größeren Nichtlinearitäten g spalten die PT -gebrochenen Lösungen bei kleineren
Werten des Gewinn-/Verlustparameters Γ vom Grundzustand ab. Für Nichtlinearitä-
49
5. Stationäre Lösungen
a)
Γc1
0,46
Γc2
b)
(1)
Re Ag/n
0,42
(2)
Re Ag/n
(1)
Re Ae/p
0,4
Im Ag/n
−0,02
Im A
Re A
(1)
(2)
Re Ae/p
0,38
(2)
− Im Ag/n
(1)
−0,03
Im Ae/p
−0,04
− Im Ae/p
(2)
−0,05
−0,06
0,36
Γc1
2,25
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Γc2
d)
(1)
qg/n
(2)
−qg/n
(1)
qe/p
(2)
−qe/p
2,2
2,15
2,1
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Γc1
0
Γc2
(1)
pg/n
−0,05
(2)
pg/n
(1)
p
0
q
Γc2
−0,01
0,44
c)
Γc1
0
pe/p
−0,1
(2)
pe/p
2,05
−0,15
2
−0,2
1,95
0
e)
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Γc1
1,8
Γc2
0
f)
1,6
1,4
(1)
Re ϕ
(2)
Re ϕg/n
(1)
Re ϕe/p
(2)
Re ϕe/p
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Im ϕ
Re ϕg/n
1,2
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Γc1
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
−0,2
Γc2
(1)
Im ϕg/n
(2)
− Im ϕg/n
(1)
Im ϕe/p
(2)
− Im ϕe/p
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Abbildung 5.5.: Die gaußschen Parameter der stationären Lösungen in Abhängigkeit des
Gewinn-/Verlustparameters Γ bei einer Nichtlinearität g = 0,2. Der Grundzustand ψg
und der angeregte Zustand ψe mit reellen Energieeigenwerten fallen bei Γc2 zusammen.
Diese Zustände sind PT -symmetrisch, da die Gleichungen (5.4a)–(5.4e) erfüllt sind.
Die PT -gebrochenen Lösungen mit positivem ψp und negativem Imaginärteil des
Energieeigenwerts ψn spalten bei Γc1 vom Grundzustand ab und es gilt ψp = PT ψn ,
da die Gleichungen (5.5a)–(5.5e) erfüllt sind.
50
5.1. Eindimensionale stationäre Lösungen
a)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
−0,1
−0,2
−0,3
−6
c)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
−0,1
−0,2
−0,3
−0,4
−0,5
−6
b)
Re ψ
Im ψ
|ψ|2
−4
−2
0
x
2
4
6
0,6
d)
Re ψ
Im ψ
|ψ|2
0,5
0,4
−4
−2
0
x
2
4
6
0
x
2
4
6
0,6
0,5
0,4
Re ψ
Im ψ
|ψ|2
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0
−0,1
−0,1
−0,2
−0,2
−6
Re ψ
Im ψ
|ψ|2
−4
−2
0
x
2
4
6
−0,3
−6
−4
−2
Abbildung 5.6.: Wellenfunktionen der stationären Zustände für g = 0,2 und Γ = 0,03.
Der PT -symmetrische Grundzustand (a) und der erste angeregte Zustand (b) besitzen reelle Energieeigenwerte. Die zwei PT -gebrochenen Zustände haben komplexe
Energieeigenwerte mit negativem (c) oder positivem Imaginärteil (d).
ten g & 0,24 existieren die PT -gebrochenen Zustände bereits bei Γ = 0 und es gibt
keinen Γ-Bereich in dem ausschließlich PT -symmetrische Eigenzustände existieren. Die
Existenz von PT -gebrochenen Lösungen bei Γ = 0 ist aus den Untersuchungen der
Symmetriebrechung in reellen Doppelmuldenpotentialen bekannt [31]. Die Zustände mit
gebrochener Symmetrie tauchen in reellen Doppelmuldenpotentialen bei ausreichend
starker Kontaktwechselwirkung auf. Sie sind identisch mit den PT -gebrochenen Lösungen
im Grenzfall Γ → 0.
Die Wellenfunktionen der stationären Zuständen sind in Abb. 5.6 dargestellt. Es gelten
im Wesentlichen dieselben Aussagen, die bereits im linearen Fall getroffen wurden. Der
Grundzustand (Abb. 5.6a) und der angeregte Zustand (Abb. 5.6b) sind durch Wahl
der globalen Phase exakt PT -symmetrisch. Dies spiegelt sich in dem symmetrischen
Realteil und dem antisymmetrischen Imaginärteil wider. Beim Grundzustand liefert
der Realteil den dominanten Beitrag, beim angeregten Zustand der Imaginärteil. Das
51
5. Stationäre Lösungen
Betragsquadrat der beiden PT -symmetrischen Zustände ist symmetrisch, sodass der
nichtlineare Hamiltonoperator der GPE selbst PT -symmetrisch ist. Die Zustände mit
komplexen Energieeigenwerten in Abb. 5.6c) und 5.6d) sind nicht PT -symmetrisch. Die
Zustände können durch Anwenden des PT -Operators ineinander übergeführt werden.
Der Zustand mit Im µ < 0 hat eine größere Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der linken
Mulde mit Verlustterm. Der Zustand mit Im µ > 0 besitzt die bei x = 0 gespiegelte
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte und hat dementsprechend eine größere Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der rechten Mulde mit Gewinnterm. Da das Betragsquadrat der
PT -gebrochenen Zustände nicht symmetrisch ist, wird auch die PT -Symmetrie des
Hamiltonoperators gebrochen.
In Abschnitt 3.1.3 wurde bereits auf die Problematik von komplexen Energieeigenwerten in nichtlinearen Systemen eingegangen. Aufgrund des nichtlinearen Anteils in der
GPE verlieren die PT -gebrochenen Zustände ihre physikalische Relevanz. Sie sind zwar
formal Eigenzustände der zeitunabhängigen GPE, jedoch verursacht der Imaginärteil des
Energieeigenwerts µ einen exponentiellen Anstieg oder Abfall der Norm mit e2 Im µt . Daher
verändern die Zustände den nichtlinearen Teil des Hamiltonoperators mit der Zeit und sie
sind folglich keine stationären Lösungen der zeitabhängigen GPE. Diese Lösungen haben
keine physikalische Relevanz im Sinne von stationären Zuständen. Aus dieser Überlegung
lässt sich schließen, dass nur die PT -symmetrischen Eigenzustände physikalisch relevante
stationäre Zustände eines BECs im PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential sind.
Eine weitere Auswirkung der Nichtlinearität, die bislang noch nicht beschrieben wurde,
ist die Verschiebung des exzeptionellen Punkts Γc2 , an dem die beiden PT -symmetrischen
Eigenzustände zusammenlaufen und verschwinden. Für größere Nichtlinearitäten g verschwinden die PT -symmetrischen Zustände bereits bei etwas kleineren Werten von
Γ.
Die bislang diskutierten Effekte wurden in Form eines „Phasendiagramms“ in Abb. 5.7
zusammengefasst. Die Grenze zwischen dem Gebiet, in dem ausschließlich die PT symmetrischen Lösungen existieren und dem Gebiet, in dem zusätzlich die gebrochenen
Lösungen auftauchen, entspricht dem Verlauf Γc1 (g). Im Bereich Γ < Γc1 existieren nur
die PT -symmetrischen Lösungen mit reellen Eigenwerten. Bei Γ = Γc1 spaltet sich der
Ast mit den PT -gebrochenen Lösungen vom Grundzustand ab und die PT -gebrochenen
Lösungen existieren im Bereich Γ > Γc1 . Mit stärkeren Nichtlinearitäten g wird Γc1
kleiner und ab g ≈ 0,24 ist Γc1 = 0, d. h. die gebrochenen Lösungen existieren bereits bei
Γ = 0. Das Gebiet, in dem ausschließlich PT -symmetrische Lösungen existieren, wird
näherungsweise von der Ellipse
g
g0
!2
Γc1
+
Γ0
!2
= 1,
(5.6)
mit g0 ≈ 0,239 und Γ0 ≈ 0,042 eingeschlossen. Die zweite Grenze im Phasendiagramm
grenzt den Bereich mit ausschließlich PT -gebrochenen Lösungen von dem Bereich mit
beiden Lösungen ab. Diese Grenze entspricht dem Verlauf von Γc2 (g). Bei Γc2 laufen der
52
5.1. Eindimensionale stationäre Lösungen
0,06
PT -gebrochen
0,05
Γ
0,04
0,03
beide Lösungen
PT -symmetrisch
0,02
0,01
0
0
0,05
0,1
0,15
g
0,2
0,25
0,3
Abbildung 5.7.: Die Gebiete in denen PT -symmetrische und/oder gebrochene Zustände
existieren sind als Phasendiagramm dargestellt. Sowohl die Nichtlinearität als auch
der Gewinn-/Verlustterm führen zur Existenz gebrochener Lösungen.
Grundzustand und der angeregte Zustand mit reellen Eigenwerten zusammen und für
größere Werte von Γ existieren nur noch PT -gebrochene Lösungen. Der Verlauf von Γc2
in Abhängigkeit von g ist in guter Näherung linear
Γc2 = ηg + Γ0 ,
(5.7)
mit einer leicht negativen Steigung η ≈ −0,0052, d. h. die Zustände mit reellen Eigenwerten verschwinden bei stärkeren Nichtlinearitäten etwas früher. Das Phasendiagramm
verdeutlicht, dass ein Gebiet mit PT -gebrochenen Lösungen sowohl durch Anpassen des
Gewinn-/Verlustparameters Γ als auch durch Anpassen des Nichtlinearitätsparameters g
erreicht werden kann. Es ist jedoch ein endlicher Gewinn-/Verlustterm nötig, um den
Punkt zu erreichen an dem die PT -symmetrischen Zustände verschwinden.
Repulsive Kontaktwechselwirkung
Die bisherigen Rechnungen beschränkten sich auf positive Werte für den Nichtlinearitätsparameter g und den Gewinn-/Verlustparameter Γ. Negative Werte für Γ bewirken, dass
aus dem Gewinnterm ein Verlustterm wird und umgekehrt. Da sich die beiden Mulden
nur durch den Gewinn-/Verlustterm unterscheiden, entspricht ein Vorzeichenwechsel von
Γ lediglich einem Vertauschen der zwei Mulden. Es ist daher nicht nötig, diesen Fall näher
zu untersuchen. Um das Eigenwertspektrum für negative Gewinn-/Verlustparameter zu
erhalten, muss dieses lediglich an der Geraden Γ = 0 gespiegelt werden.
Das Vorzeichen des Nichtlinearitätsparameters g gibt die Art der Wechselwirkung zwischen den Teilchen im Kondensat an. Ein positives Vorzeichen beschreibt eine attraktive
53
5. Stationäre Lösungen
a)
2,58
b)
0,06
2,54
0,04
2,52
g
g
g
g
=0
= −0,1
= −0,2
= −0,3
0,02
2,5
Im µ
Re µ
0,08
2,56
2,48
0
−0,02
2,46
g
g
g
g
2,44
2,42
2,4
0
=0
= −0,1
= −0,2
= −0,3
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
−0,04
−0,06
−0,08
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Abbildung 5.8.: Real- (a) und Imaginärteil (b) des chemischen Potentials für negative
Werte des Nichtlinearitätsparameters g. Der wesentliche Unterschied zum Eigenwertspektrum mit positivem g ist, dass der Realteil des chemischen Potentials zu größeren Werten verschoben wird und der PT -gebrochene Ast vom angeregten Zustand
abspaltet.
Kontaktwechselwirkung. Größere Werte von g führen daher zu einem geringeren Energieeigenwert, wobei die stärker in einer Mulde lokalisierten PT -gebrochenen Zustände auch
stärker in der Energie abgesenkt werden als die PT -symmetrischen Zustände. Negative
Werte für g entsprechen einer repulsiven Kontaktwechselwirkung. Dies führt zu größeren
Energieeigenwerten im Vergleich zum linearen Fall g = 0, wie in Abb. 5.8 zu sehen ist.
Je kleiner g gewählt wird, desto größer werden die Energieeigenwerte, wobei auch für
negative g der Einfluss auf die PT -gebrochenen Zustände größer ist als auf die PT symmetrischen. Die PT -gebrochenen Zustände mit komplexem µ spalten für negative g
vom angeregten Zustand ab. Bei ausreichend kleinen Werten der Nichtlinearität existieren
die PT -gebrochenen Zustände bereits bei Γ = 0, wobei die Energieeigenwerte über dem
des angeregten Zustands liegen. Eine repulsive Kontaktwechselwirkung führt folglich zu
ähnlichen Effekten im Eigenwertspektrum wie die attraktive Kontaktwechselwirkung, mit
dem Unterschied, dass die Eigenwerte nach oben verschoben werden anstatt nach unten.
5.2. Dreidimensionale stationäre Lösungen
Im vorigen Abschnitt wurden die stationären Lösungen des auf eine Dimension reduzierten Potentials berechnet, da bereits im eindimensionalen System alle Effekte der
PT -Symmetrie enthalten sind. Ziel dieser Arbeit ist jedoch die Beschreibung eines BECs
in einem realistischen dreidimensionalen PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential.
Daher wird in diesem Abschnitt die stationären Lösungen für das volle dreidimensionale
Potential (4.6) behandelt, wobei besonderes Augenmerk auf den Vergleich mit den eindimensionalen Lösungen gelegt wird. Das dreidimensionale Potential besitzt zusätzliche
54
5.2. Dreidimensionale stationäre Lösungen
harmonische Fallen gleicher Frequenz in die y- und z-Richtung. Dies ist jedoch nicht
der einzige Einfluss der zusätzlichen Raumrichtungen, da die Nichtlinearität der GPE
g|ψ(x)|2 für eine Kopplung der drei Raumrichtungen sorgt.
5.2.1. Ansatz mit Gaußfunktionen
Der allgemeine Ansatz (2.32) in drei Dimensionen
ψ(z, x) =
N
X
e−((x−q
k )Ak (x−qk )−ipk (x−qk )+ϕk )
,
k=1
k
3×3
A ∈C
k
k
3
(5.8)
k
; q , p ∈ R ; ϕ ∈ C,
lässt sich durch die Symmetrien des Systems vereinfachen. Die harmonischen Fallen in
y- und z-Richtung sind identisch und daher ist das externe Potential invariant unter
Drehungen um die x-Achse. Es sind außerdem keine höher angeregten Zustände des
harmonischen Oszillators von Interesse, da diese deutlich über dem betrachteten Energiebereich liegen. Aufgrund dieser Eigenschaften wird der Ansatz so konstruiert, dass
auch er invariant unter Drehungen um die x-Achse ist. Das bedeutet der Ansatz muss
folgende Relation erfüllen
!
ψ(z, x) = ψ(z, R(α)x),
(5.9)
mit der Drehmatrix


1
0
0


R(α) = 0 cos α − sin α .
0 sin α cos α
(5.10)
Mit dem allgemeinen Ansatz (5.8) liefert Gl. (5.9) die drei Bedingungen
Ak = RT (α)Ak R(α),
k
k
k
(5.11b)
k
(5.11c)
q A = q A R(α),
k
(5.11a)
k
p = p R(α).
Aus Gl. (5.11a) folgt nach einer kurzen Rechnung, dass die Breitenmatrix Ak nur Diagonaleinträge hat und die Breiten in y- und z-Richtung identisch sind,
Ak =
 k
Ax

 0
0

0
0
Aky,z
0 
.
0 Aky,z
(5.12)
Gleichung (5.11b) liefert eine Bedingung für den Vektor qk , der die Verschiebung der
Gaußfunktionen beschreibt. Man erhält
qk =
 k
qx
 
0,
(5.13)
0
55
5. Stationäre Lösungen
d. h. die Wellenpakete sind um y = 0 und z = 0 zentriert und es wird keine Verschiebung
in y- und z-Richtung zugelassen. Die Form des Impulsvektors pk wird durch Gl. (5.11c)
festgelegt
 k
px
 
k
p =  0 .
(5.14)
0
Wie bei qk verschwinden auch hier die y- und z-Komponente, sodass der Impulserwartungswert in diesen beiden Raumrichtungen gleich Null ist.
Durch die Gleichungen (5.12)–(5.14) erhält der Ansatz die vereinfachte Form
ψ(z, x) =
N
X
k
k 2 +Ak (y 2 +z 2 )−ipk (x−q k )+ϕk )
x
y,z
x
e−(Ax (x−qx )
,
(5.15)
k=1
mit ausschließlich skalaren Größen Akx , Aky,z , ϕk ∈ C und qxk , pkx ∈ R. Der Ansatz für das
dreidimensionale Potential unterscheidet sich von dem Ansatz für eine Dimension lediglich
im Term Aky,z (y 2 + z 2 ). Da Aky,z die einzigen zusätzlichen Parameter sind, ändert sich die
Zahl der reellen Parameter um 2N . Die Gesamtzahl der Parameter beträgt Np = 8N
und es muss eine (Np − 2) dimensionale Nullstellensuche gelöst werden, um stationäre
Zustände zu finden.
Dieser geringe zusätzliche numerische Aufwand bei der Erweiterung von einer Dimension zu drei Dimensionen ist ein großer Vorteil der TDVP im Vergleich zu numerisch
exakten Gitterrechnungen. Wie bereits für die stationären Zustände des eindimensionalen Potentials erfolgen die Rechnungen in diesem Abschnitt mit zwei gekoppelten
Gaußfunktionen. Ergebnisse mit mehr als zwei Gaußfunktionen sind in Kapitel 7 zu
finden.
5.2.2. Stationäre Lösungen
Um einen Zusammenhang zwischen den Energieeigenwerten in einer Dimension und
in drei Dimensionen herzustellen, betrachten wir zunächst den linearen Fall g = 0. In
diesem Fall ist der Hamiltonoperator separierbar, denn das Potential hat die Form
V (x) = V (x) + V (y) + V (z). Hierbei ist V (x) das eindimensionale PT -symmetrische
Doppelmuldenpotential. V (y) und V (z) sind die harmonischen Potentiale in y- bzw.
z-Richtung. Das dreidimensionale Problem lässt sich daher auf drei eindimensionale
Probleme reduzieren und die Schrödingergleichung ist durch einen Produktansatz lösbar
ψ3D = ψ1D (x)ψm (y)ψm (z),
(5.16)
wobei ψ1D (x) die stationären Lösungen des eindimensionalen Potentials bezeichnen und
ψm (ξ), ξ ∈ {y, z} der m-te Eigenzustand des eindimensionalen harmonischen Oszillators
in ξ Richtung ist.
56
5.2. Dreidimensionale stationäre Lösungen
Wir sind lediglich am Grundzustand ψ0 (ξ) des harmonisches Oszillators interessiert,
da der erste angeregte Zustand ψ1 (ξ) in den gewählten dimensionslosen Einheiten bereits um ∆µ = ωy,z über ψ0 (ξ) liegt. Dieser Energieunterschied ist für die betrachteten
Werte von ωy,z etwa eine Größenordnung größer als der betrachtete Energiebereich,
der durch den Grundzustand und den ersten angeregten Zustand des eindimensionalen PT -symmetrischen Doppelmuldenpotentials bestimmt ist. Die Wellenfunktion des
Grundzustands lautet für den harmonischen Oszillator in dimensionslosen Einheiten
ωy,z 1/4 −ωy,z ξ2 /4
e
, ξ ∈ {y, z}.
(5.17)
ψ0 (ξ) =
2π
Der Grundzustand hat die Energie µ = ωy,z /2. Im linearen Fall sind daher die Energieeigenwerte in drei Dimensionen durch den Beitrag der zwei harmonischen Oszillatoren in yund z-Richtung, d. h. um ∆µ = ωy,z , größer als bei den Rechnungen im eindimensionalen
Potential
µ3D = µ1D + ωy,z .
(5.18)
Im nichtlinearen Fall gilt diese Überlegung nicht mehr exakt. Durch die räumliche
Ausdehnung der Wellenfunktion in y- und z-Richtung gibt es zusätzliche Beiträge von
der Kontaktwechselwirkung. Im Folgenden wird berechnet wie der Parameter g in drei
Dimensionen skaliert werden muss, um die Ergebnisse in einer Dimension zu reproduzieren. Hierfür wird angenommen, dass sich die Wellenfunktion auch mit Nichtlinearität
näherungsweise durch den Produktansatz
ψ3D (x) ≈ ψ1D (x)ψ0 (y)ψ0 (z)
(5.19)
darstellen lässt. Dies sollte zumindest für kleine Nichtlinearitäten g eine gute Näherung
sein. Inwiefern diese Näherung auch für stärkere Nichtlinearitäten gerechtfertigt ist,
lässt sich nachträglich durch den Vergleich der Energieeigenwerte in einer und in drei
Dimensionen überprüfen. Wir fordern also, dass der Beitrag der Kontaktwechselwirkung
zum Energieerwartungswert in einer und in drei Dimensionen identisch ist:
Z
R3
!
dx dy dz g3D |ψ3D (x)|4 =
Z
dx g1D |ψ1D (x)|4 .
(5.20)
R
Für die stationären Lösungen des dreidimensionalen Potentials ψ3D (x) wird der Produktansatz (5.19) eingesetzt
Z
R3
!
dx dy dz g3D |ψ1D (x)|4 |ψ0 (y)|4 |ψ0 (z)|4 =
Z
dx g1D |ψ1D (x)|4 .
(5.21)
R
Das Integral über x ist auf beiden Seiten der Gleichung identisch und fällt heraus. Somit
erhält man den Ausdruck:
g1D = g3D
Z
R2
dy dz |ψ0 (y)|4 |ψ0 (z)|4
2
ωy,z
2
2
= g3D
dy dz 2 e−ωy,z y e−ωy,z z
2
4π
R
ωy,z
= g3D
.
4π
(5.17)
Z
(5.22)
57
5. Stationäre Lösungen
a)
g3D
g3D
g3D
g3D
4,5
=0
= 0,2π
= 0,4π
= 0,6π
b)
0,08
g3D
g3D
g3D
g3D
0,06
0,04
=0
= 0,2π
= 0,4π
= 0,6π
Im µ
Re µ
0,02
4,45
0
−0,02
4,4
−0,04
−0,06
4,35
−0,08
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Abbildung 5.9.: Real- (a) und Imaginärteil (b) des chemischen Potentials in drei Dimensionen (durchgezogen) mit ωy,z = 2. Die Lösungen in einer Dimension (gestrichelt) sind
zum Vergleich um ∆µ = ωy,z nach oben verschoben. Das entspricht dem Energiebeitrag
der zwei harmonischen Oszillatoren in den zusätzlichen Raumrichtungen y und z im
Grundzustand. Die Nichtlinearitäten des eindimensionalen und dreidimensionalen Falls
erfüllen die Relation g3D = 4πg1D /ωy,z . Dass die Eigenwerte nur leicht voneinander
abweichen zeigt, dass der Hamiltonoperator weiterhin in guter Näherung separierbar
ist.
Für einen ersten Vergleich der Lösungen in drei Dimensionen mit den Lösungen in
einer Dimension wird die Fallenfrequenz in y- und z-Richtung zu ωy,z = 2 gewählt.
Abbildung 5.9 zeigt die Energieeigenwerte des dreidimensionalen Potentials und zum
Vergleich die Lösungen für das eindimensionale Potential. Hierbei wurden die Energien
in einer Dimension um den Energiebetrag der zwei harmonischen Oszillatoren in y- und
z-Richtung, ∆µ = ωy,z = 2, nach oben verschoben. Zusätzlich erfüllen die Nichtlinearitätsparameter die Relation (5.22). Die Vergleichswerte entsprechen somit den Energien
des Produktansatz (5.19). Im linearen Fall ohne Kontaktwechselwirkung stimmen die
Energieeigenwerte für das eindimensionale und das dreidimensionale Potential exakt überein, da der Hamiltonoperator separierbar ist und exakt durch den Produktansatz lösbar
ist. Auch mit Nichtlinearität zeigt das dreidimensionale System das bekannte Verhalten
aus den Rechnungen in einer Dimension. Es gibt weiterhin mit dem Grundzustand und
dem ersten angeregten Zustand zwei PT -symmetrische Lösungen mit reellen Energieeigenwerten, die in einem exzeptionellen Punkt bei Γc2 zusammenlaufen und verschwinden.
Die zwei PT -gebrochenen Lösungen mit komplexen Eigenwerten spalten im nichtlinearen
Fall von dem Ast des Grundzustands bei Γc1 < Γc2 ab. Die Übereinstimmung zwischen
den Lösungen in einer und in drei Dimensionen ist jedoch nicht nur qualitativer Natur. Die Energieeigenwerte liegen nahezu übereinander, obwohl Nichtlinearitäten bis
g3D = 0,6π (g1D = 0,3) betrachtet werden. Das bedeutet, der Energieunterschied ist
nahezu ausschließlich durch die Beiträge der Fallen in y- und z-Richtung erklärbar. Die
58
5.2. Dreidimensionale stationäre Lösungen
4,35
Re µ
Im µ
4,3
b)
0
4,15
−0,05
ψg
ψe
ψn/p
0,54
Re Ay,z
4,2
4,1
0,58
0,56
0,05
4,25
Re µ
0,1
Im µ
a)
0,52
0,5
0,48
4,05
0,46
4
0
−0,1
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Γ
0π 0,5π 1π 1,5π 2π 2,5π 3π 3,5π 4π
g3D
Abbildung 5.10.: a) Der Realteil des chemischen Potentials in drei Dimensionen (durchgezogen) weicht für eine starke Nichtlinearität g3D = 4π/ωy,z bei ωy,z = 2 deutlich
von den Vergleichswerten in einer Dimension (gestrichelt) bei g1D = 1 ab. b) Der
Realteil der Breitenparameter in y- und z-Richtung der zwei Gaußfunktionen in Abhängigkeit der Nichtlinearität g3D für die stationären Zustände in drei Dimensionen
(ωy,z = 2). Die PT -symmetrischen Zustände ψg/e wurden bei Γ = 0,02 gerechnet
und die PT -gebrochenen Zustände ψn/p bei Γ = 0,05. Man erhält mit ansteigendem
g3D eine exponentielle Abweichung von dem im Produktansatz (5.19) verwendeten
Breitenparameter Ay,z = ωy,z /4 = 0,5.
gute Übereinstimmung der Energieeigenwerte zeigt, dass der Hamiltonoperator für die
betrachteten Nichtlinearitäten weiterhin in guter Näherung separierbar ist.
Der Unterschied zwischen den Lösungen in einer und in drei Dimensionen wird mit stärkeren Nichtlinearitäten erwartungsgemäß größer, da dann die drei Raumrichtungen stärker
gekoppelt sind und der Produktansatz eine schlechtere Näherung ist. Während man für
g = 0 noch eine exakte Übereinstimmung hat, wird die Abweichung bis g3D = 0,6π etwas
größer. Dies lässt sich insbesondere an den PT -gebrochenen Zuständen ablesen, da für
diese der Unterschied zwischen den eindimensionalen und dreidimensionalen Rechnungen
größer ist als für die PT -symmetrischen Zustände. Für sehr starke Nichtlinearitäten kann
die Wellenfunktion nicht mehr sinnvoll als Produktansatz dargestellt werden. Die Energieeigenwerte für eine Nichtlinearität von g3D = 2π (g1D = 1) bestätigen dies, wie Abb. 5.10
zeigt. Der Realteil des chemischen Potentials weicht insbesondere für die PT -gebrochenen
Lösungen deutlich von den Vergleichswerten aus den eindimensionalen Rechnungen ab.
Am Imaginärteil ist hingegen kein Unterschied sichtbar. Für Nichtlinearitäten dieser
Stärke ist der Hamiltonoperator nicht mehr separierbar und der Produktansatz führt zu
deutlich abweichenden Ergebnissen.
Eine weitere Möglichkeit, um einzuschätzen inwieweit die stationären Lösungen in
drei Dimensionen dem Produktansatz (5.19) entsprechen, ist den Parameter Ay,z in
Abhängigkeit des Nichtlinearitätsparameters g zu betrachten. Im Produktansatz wird
59
5. Stationäre Lösungen
angenommen, dass die Wellenfunktion in y- und z-Richtung durch den Grundzustand des
harmonischen Oszillators (5.17) gegeben sind. Dieser besitzt einen reellen Breitenparameter von Ay,z = ωy,z /4 = 0,5. Abbildung 5.10 zeigt, dass der Breitenparameter Re Ay,z der
tatsächlichen stationären Zustände durch Einführen einer Nichtlinearität von dem Wert
0,5 abweicht. Für den PT -symmetrischen Grundzustand ψg und den angeregten Zustand
ψe ist Re Ay,z für die zwei Gaußfunktionen in der rechten und linken Mulden identisch.
Dies muss gelten, da für PT -symmetrische Zustände auch die Breitenparameter in yund z-Richtung die Gleichungen (5.4a) und (5.4b) erfüllen müssen. Die Breitenparameter
der PT -symmetrischen Zustände entfernen sich mit größeren g3D in einem exponentiellen
Verlauf von dem im Produktansatz verwendeten Wert 0,5, wobei die Steigung für den
angeregten Zustand größer ist. Da der Breitenparameter Re Ay,z invers proportional zur
tatsächlichen Breite der Gaußfunktionen in y- und z-Richtung ist, wird das Kondensat mit größerer Nichtlinearität stärker lokalisiert. Da ein positives g eine attraktive
Kontaktwechselwirkung beschreibt, entspricht dies der Erwartung.
Bei den PT -gebrochenen Lösungen erhält man für den exponentiell ansteigenden
Zustand ψp und den exponentiell gedämpften Zustand ψn dieselben Werte für Re Ay,z .
Dies muss nach Gl. (5.5a) gelten, da die gebrochenen Zustände die Relation PT ψn = ψp
erfüllen. Bei stärkeren Nichtlinearitäten steigt Re Ay,z für die Gaußfunktion mit größerem
Gewicht exponentiell an, d. h. die Breite in y- und z-Richtung wird geringer. Für ψn ist
das die Gaußfunktion, die in der Mulde mit Verlustterm lokalisiert ist. Für den Zustand
ψp ist es die Gaußfunktion in der Mulde mit Gewinnterm. Der Breitenparameter für die
Gaußfunktion mit geringerem Gewicht nimmt zunächst zu, durchläuft ein Maximum und
fällt für stärkere Nichtlinearitäten unter 0,5 ab.
Die bisherigen Rechnungen für das dreidimensionale Potential wurden bei einer festen
Fallenfrequenz ωy,z = 2 durchgeführt. Es ist zu erwarten, dass die Fallenfrequenz einen
Einfluss darauf hat wie gut sich die stationären Lösungen des eindimensionalen Potentials
auf die Lösungen des dreidimensionalen Potentials übertragen lassen. Der Grenzfall
ωy,z → ∞ beschreibt eine unendlich schmale Falle. Die Ausdehnung der Wellenfunktion
in y- und z-Richtung muss in diesem Grenzfall verschwinden und man erhält effektiv das
eindimensionale Potential. Aus dieser Überlegung folgt, dass mit größeren Werten für
ωy,z das Verhalten im dreidimensionalen Potential besser durch das auf eine Dimension
reduzierte Potential vorhergesagt wird. Dieses Verhalten wird durch die Ergebnisse bestätigt. Abbildung 5.11 zeigt die Konvergenz der Energieeigenwerte im dreidimensionalen
Potential zu den Lösungen in einer Dimension bei Erhöhung von ωy,z . Die Rechnungen
wurden bei dem Nichtlinearitätsparameter g3D = 1,2π/ωy,z (g1D = 0,3) durchgeführt.
Zum Vergleich mit den Eigenwerten des eindimensionalen Potentials wird das Verhältnis
µ3D − ωy,z
µ1D
(5.23)
betrachtet. Es handelt sich hierbei um das chemische Potential in drei Dimensionen,
das um den Beitrag der Fallen in y- und z-Richtung ∆µ = ωy,z nach unten verschoben
und auf den Eigenwert in einer Dimension bezogen wird. Wenn sich die Lösungen in
60
5.2. Dreidimensionale stationäre Lösungen
y,z
Re µ3Dµ−ω
1D
1
0,9995
0,999
0,9985
ψg
ψe
ψn/p
0,998
0
5
10
ωy,z
15
20
Abbildung 5.11.: Der Realteil von (µ3D − ωy,z )/µ1D in Abhängigkeit der Fallenfrequenz
ωy,z für den Grundzustand ψg , den angeregten Zustand ψe und die PT -gebrochenen
Zustände ψn/p bei einer Nichtlinearität g3D = 1,2π/ωy,z (g1D = 0,3). Für tiefe Fallen in
y- und z-Richtung konvergiert das Verhältnis gegen Eins, d. h. die Übereinstimmung
zwischen den Rechnungen in einer und in drei Dimensionen wird besser. Wie bereits an
den Eigenwertspektren gesehen, ist die Abweichung für die PT -gebrochenen Zustände
größer.
drei Dimensionen exakt durch den Produktansatz (5.19) beschreiben lassen, ist das
Verhältnis gleich Eins. Tatsächlich erkennt man, dass der Ausdruck (5.23) für größere
Fallenfrequenzen ωy,z gegen Eins konvergiert. Dies entspricht der eingangs formulierten
Erwartung, dass mit tieferen Fallen in y- und z-Richtung das System besser durch das
eindimensionale Potential beschrieben wird.
Die zentrale Frage dieses Abschnitts ist, inwieweit die Rechnungen in einer Dimension
das Verhalten des Systems in dem realistischen dreidimensionalen Potential vorhersagen.
Der Vergleich zeigt, dass die Antwort auf diese Frage von der betrachteten Nichtlinearität
und der Fallenfrequenz in y- und z-Richtung abhängt. Mit einer größeren Fallenfrequenz
ωy,z gibt es eine bessere Übereinstimmung zwischen den Rechnungen in einer und in
drei Dimensionen. Für eine gute Übereinstimmung genügt jedoch bereits, wenn die
Fallenfrequenz in y- und z-Richtung größer als die in x-Richtung ist, d. h. ωy,z > 1.
Zusätzlich hat die Stärke der Nichtlinearität einen signifikanten Einfluss. Im linearen
Fall g = 0 können die Lösungen in einer Dimension exakt auf den dreidimensionalen Fall
übertragen werden, da der Hamiltonoperator separierbar ist. Durch die Nichtlinearität
der GPE gibt es eine Kopplung der drei Raumrichtungen. Die für diese Arbeit relevanten
61
5. Stationäre Lösungen
Nichtlinearitäten liegen im Bereich g1D < 0,3, da in diesem Bereich bereits sämtliche
diskutierten Effekte des Systems beobachtbar sind. Für Nichtlinearitäten dieser Stärke
konnte gezeigt werden, dass der Hamiltonoperator in guter Näherung separierbar ist
und die Rechnungen in einer Dimension nicht nur qualitativ das Verhalten in drei
Dimensionen vorhersagen, sondern auch eine sehr gute quantitative Näherung liefern.
Dies rechtfertigt, dass im weiteren Verlauf dieser Arbeit der Großteil der Rechnungen in
einer Dimension durchgeführt wird und nur an ausgewählten Stellen ein erneuter Vergleich
mit den Rechnungen in drei Dimensionen erfolgt. Die Rechnungen in einer Dimension
haben neben dem geringeren Rechenaufwand den Vorteil, dass sie mit numerisch exakten
Rechnungen aus [47] verglichen werden können.
5.3. Analytische Fortsetzung
Das nichtlineare System hat bei verschiedenen Werten des Gewinn-/Verlustparameters Γ
eine unterschiedliche Zahl von Zuständen. Im Bereich Γ < Γc1 existieren nur die zwei
PT -symmetrischen Lösungen. Bei Γc1 spalten die beiden PT -gebrochenen Lösungen vom
Grundzustand ab und im Intervall Γc1 < Γ < Γc2 existieren sowohl die PT -symmetrischen
als auch die gebrochenen Lösungen. Bei Γc2 verschwinden die zwei Lösungen mit reellen
Eigenwerten und es gibt mit den beiden PT -gebrochenen Zuständen wieder zwei Lösungen.
Die unterschiedliche Zahl an Lösungen ist von einem mathematischen Standpunkt aus
betrachtet unbefriedigend. Von linearen Systemen ist bekannt, dass die Lösungen mit
reellen Eigenwerten in einem Verzweigungspunkt zusammenlaufen, an dem zwei komplex
konjugierte Lösungen entstehen. Auch bei Bifurkationspunkten in nichtlinearen Systemen
ändert sich die Zahl der Zustände nicht. Man beobachtet lediglich einen Wechsel von
reellen zu komplexen Eigenwerten.
Die Änderung der Zahl der Lösungen lässt sich jedoch dadurch erklären, dass die
GPE (2.25) keine analytische Differentialgleichung ist. Im nichtlinearen Teil der GPE
steht das Betragsquadrat |ψ|2 . Das Betragsquadrat ist keine analytische Funktion, da
es die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen nicht erfüllt. Da jede analytische
Differentialgleichung die Zahl der Lösungen erhält, muss das beobachtete Verhalten eine
direkte Konsequenz des nichtanalytischen Betragsquadrats in der GPE sein.
Eine analytische Fortsetzung, die das Betragsquadrat zu einer analytischen Funktion macht, muss zu einer konstanten Zahl an Zuständen führen. Es wird zunächst in
Abschnitt 5.3.1 eine Form der analytischen Fortsetzung verwendet, welche die Symmetrie der PT -symmetrischen Lösungen ausnutzt und diese analytisch fortsetzt. Die
PT -gebrochenen Lösungen sind in dieser Fortsetzung nicht enthalten. In Abschnitt 5.3.2
werden die gaußschen Parametern zu bikomplexen Größen erweitert. Dies liefert eine
vollständige analytische Fortsetzung, die sowohl die PT -symmetrischen als auch die
PT -gebrochenen Zustände enthält.
62
5.3. Analytische Fortsetzung
5.3.1. Analytische Fortsetzung der PT -symmetrischen Zustände
Um eine analytische Fortsetzung der PT -symmetrischen Zustände zu erhalten, muss
das Betragsquadrat durch eine analytische Funktion ersetzt werden. Die analytische
Funktion wird so gewählt, dass sie für exakt PT -symmetrische Funktionen gleich dem
Betragsquadrat ist. Exakt PT -symmetrische Funktionen erfüllen die Relation ψ ∗ (−x) =
ψ(x). Eine analytische Fortsetzung der PT -symmetrischen Zustände erhält man, indem
die komplexe Konjugation durch eine Spiegelung bei x = 0 ersetzt wird:
ψ ∗ (x) → ψ(−x).
(5.24)
Für exakt PT -symmetrische Zustände ist ψ ∗ (x) = ψ(−x) und daher ändert sich für diese
Zustände durch die Ersetzung (5.24) nichts. Das Betragsquadrat wird mit der Ersetzung
zu einer analytischen Funktion
|ψ(x)|2 = ψ(x)ψ ∗ (x) → ψ(x)ψ(−x).
(5.25)
Die Suche nach stationären Zuständen erfolgt im Wesentlichen auf dieselbe Art wie
zuvor. Es wird weiterhin die Matrixgleichung (2.53) aufgestellt, wofür die Integrale
aus Gl. (2.52) berechnet werden. An jeder Stelle, an der die komplexe Konjugation
eines gaußschen Wellenpakets auftaucht, wird die Ersetzung (5.24) angewandt. Dies
betrifft neben dem Betragsquadrat im nichtlinearen Teil des Potentials auch sämtliche
Bra-Vektoren, die sonst komplex konjugiert in die Integrale eingehen.
Des Weiteren muss beachtet werden, dass die globale Phase der Wellenfunktion nicht
mehr frei gewählt werden kann, da eine Phase die analytische Nichtlinearität ψ(x)ψ(−x)
verändert. Es müssen daher bei dem Ansatz aus N Gaußfunktionen alle N Phasenparameter als Variationsparameter für die Nullstellensuche verwendet werden. Die Nullstellensuche für die stationären Lösungen in der analytischen Fortsetzung hat daher
einen Variationsparameter mehr. Die zugehörige zusätzliche Bedingung, die an stationäre Zustände gestellt wird, liefert die Normierung. Bislang
lieferte die Forderung nach
R
normierten Zuständen eine Bedingung, da die Norm ( dx |ψ(x)|2 )1/2 eine reelle Größe
ist. Durch die Ersetzung (5.24) ist die „Norm“
||ψ(x)|| =
sZ
dx ψ(x)ψ(−x)
(5.26)
R
im Allgemeinen komplex. Die Forderung nach normierten stationären Lösungen liefert
daher zwei reelle Bedingungen
Re ||ψ(x)|| = 1,
Im ||ψ(x)|| = 0.
(5.27a)
(5.27b)
Ein weiterer Unterschied muss bei Verwendung der analytischen Fortsetzung beachtet
werden. Die Matrix K aus Gl. (2.53) ist nicht mehr positiv definit und hermitesch. Beim
63
5. Stationäre Lösungen
a)
2,52
g
g
g
g
2,5
2,48
=0
= 0,1
= 0,2
= 0,3
b)
g
g
g
g
0,06
0,04
=0
= 0,1
= 0,2
= 0,3
0,02
Im µ
2,46
Re µ
0,08
2,44
0
2,42
−0,02
2,4
−0,04
2,38
−0,06
−0,08
2,36
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Abbildung 5.12.: Real- (a) und Imaginärteil (b) des chemischen Potentials µ der stationären Zustände mit der analytischen Fortsetzung ψ ∗ (x) → ψ(−x). Die PT symmetrischen Zustände sind durch die analytische Fortsetzung unverändert, wohingegen die PT -gebrochenen Zuständen auch mit Nichtlinearität am kritischen Punkt
Γc2 entstehen, an dem Grundzustand und angeregter Zustand zusammenlaufen. Die
Zahl der Zustände ist für alle Γ erhalten.
Invertieren muss daher ein Algorithmus zum Invertieren einer allgemeinen komplexen
Matrix Anwendung finden.
Die Energieeigenwerte in der analytischen Erweiterung sind in Abb. 5.12 dargestellt.
Da sich das Verhalten der PT -symmetrischen Zustände durch die Ersetzung (5.24)
nicht ändert, findet man exakt dieselben reellen Energieeigenwerte und zugehörigen
PT -symmetrischen Eigenzustände. Die PT -gebrochenen Lösungen, die beim Lösen der
gewöhnlichen GPE vom Grundzustand abspalten, tauchen in der analytischen Fortsetzung
nicht auf. Die gebrochenen Zustände sind in der analytischen Fortsetzung nicht enthalten
und können daher nicht gefunden werden.
Stattdessen erhält man ein Verhalten, das dem des linearen Systems ähnelt. Die beiden
Zustände mit reellen Energieeigenwerten laufen bei dem kritischen Wert des Gewinn/Verlustparameters Γc2 zusammen. An diesem Punkt verschwinden die Zustände jedoch
nicht, sondern es entstehen zwei Lösungen mit komplex konjugierten Energieeigenwerten.
Es gibt bei Γc2 einen Wechsel von zwei reellen Eigenwerten zu zwei komplexen Eigenwerten,
wie man es von Bifurkationspunkten in nichtlinearen Systemen kennt. Die Zahl der
Zustände ist für alle Γ erhalten.
Die Zustände mit komplexen Energieeigenwerten sind PT -gebrochen. Es muss jedoch
betont werden, dass diese Zustände keine physikalische Bedeutung haben. Im linearen Fall
g = 0 hat das Eigenwertspektrum mit analytischer Fortsetzung zwar eine vergleichbare
Form wie bei den Rechnungen ohne analytische Fortsetzung. Trotzdem unterscheiden sich
auch im linearen Fall die PT -gebrochenen Lösungen. Dies ist nicht weiter verwunderlich,
da durch die Ersetzung ψ ∗ (x) → ψ(−x) nicht nur die Nichtlinearität der GPE verändert
64
5.3. Analytische Fortsetzung
wird, sondern auch sämtliche zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen verwendeten
Integrale und die Norm.
5.3.2. Vollständige analytische Fortsetzung
Für die vollständige analytische Fortsetzung, die sowohl die PT -symmetrischen als auch
die PT -gebrochenen Zustände enthält, werden die gaußschen Parameter zu bikomplexen
Zahlen erweitert.
Erweiterung zu bikomplexen Zahlen
Bei den bikomplexen Zahlen handelt es sich um vierdimensionale kommutative hyperkomplexe Zahlen [48]. Im Gegensatz zu den von Hamilton entwickelten Quaternionen,
deren Multiplikation nicht kommutativ ist, bilden die bikomplexen Zahlen einen Körper.
Wir betrachten eine komplexe Zahl
t = a + ib,
(5.28)
mit a, b ∈ R und der imaginären Einheit i2 = −1. Nun werden Realteil a und Imaginärteil
b wiederum zu komplexen Zahlen erweitert, jedoch mit der imaginären Einheit j
t = (w + jx) + i(y + jz),
(5.29)
wobei w, x, y, z ∈ R, i2 = −1 und j2 = −1. Mit der Definition k = ij lässt sich eine
bikomplexe Zahl schreiben als
t = 1w + jx + iy + kz.
(5.30)
Die Rechenregeln für die Multiplikation lassen sich in Form einer symmetrischen Multiplikationstafel zusammenfassen:
×
1
i
j
k
1
i
j k
1
i
j
k
i −1
k −j
j
k −1 −i
k −j −i
1
(5.31)
Für die analytische Fortsetzung werden nun sämtliche gaußschen Parameter in bikomplexe Zahlen umgeschrieben. Hierbei muss zwischen den komplexen Parametern A, ϕ
und den reellen Parametern q, p unterschieden werden. Die Erweiterung zu bikomplexen
Zahlen erfolgt wie von Gl. (5.28) zu (5.29) beschrieben. Man ersetzt Real- und Imaginärteil der gewöhnlichen komplexen Zahl jeweils durch komplexe Zahlen zur imaginären
65
5. Stationäre Lösungen
Einheit j. Aus den komplexen Parametern wird dadurch eine bikomplexe Zahl mit vier
Einträgen,
A = A1 + jAj + iAi + kAk ,
ϕ = ϕ1 + jϕj + iϕi + kϕk .
(5.32a)
(5.32b)
Bei den reellen Parameter wird lediglich der Realteil durch eine komplexe Zahl mit der
imaginären Einheit j ersetzt und man erhält bikomplexe Zahlen mit zwei Einträgen,
q = q1 + jqj ,
p = p1 + jpj .
(5.32c)
(5.32d)
Rechenregeln für bikomplexe Zahlen
Im Folgenden werden die benötigten Rechenoperationen für bikomplexe Zahlen zusammengestellt. Hierfür betrachten wir zwei bikomplexe Zahlen
a = (a1 + jaj ) + i(ai + jak ) ≡ aR + iaI ,
b = (b1 + jbj ) + i(bi + jbk ) ≡ bR + ibI ,
(5.33a)
(5.33b)
mit aR , aI , bR , bI ∈ Cj , wobei Cj die Menge der komplexen Zahlen zur imaginären Einheit
j bezeichnet. Da j2 = −1 gelten für Rechenoperationen zwischen diesen Zahlen die
gewöhnlichen Rechenregeln für komplexe Zahlen. Dies lässt sich ausnutzen, um die
Rechenoperationen für bikomplexe Zahlen kompakt darzustellen, da diese nun dieselbe
Form annehmen wie die Rechenregeln für gewöhnliche komplexe Zahlen.
• Addition:
a + b = (aR + bR ) + i(aI + bI )
(5.34)
a − b = (aR − bR ) + i(aI − bI )
(5.35)
ab = (aR bR − aI bI ) + i(aR bI + aI bR )
(5.36)
a
aR b R + aI b I
aI b R − aR b I
=
+i 2
2
2
b
bR + bI
bR + b2I
(5.37)
• Subtraktion:
• Multiplikation:
• Division:
Bei der Berechnung der Integrale in Gl. (2.52) wird die komplexe Konjugation der
bikomplexen Wellenfunktionen benötigt. Hierbei ist zu beachten, dass dies nur als
komplexe Konjugation bezüglich i zu verstehen ist.
• Komplexe Konjugation:
a∗ = aR − iaI
66
(5.38)
5.3. Analytische Fortsetzung
Weitere mathematische Funktionen, die zum Ausführen des TDVP auf bikomplexe Zahlen
übertragen werden müssen, sind im Folgenden aufgeführt.
• Exponentialfunktion:
ea = (eaR cos aI ) + i(eaR sin aI )
(5.39)
• Betrag:
q
a2R + a2I
(5.40)
|a| + aR
aI
+ iq
,
2
2(|a| + aR )
(5.41)
|a| =
• Wurzelfunktion:
√
s
a=
Stationäre Zustände
Um die Bewegungsgleichungen des TDVP für die bikomplexen gaußschen Parameter
aufzustellen, muss zunächst die Matrixgleichung
Kv = r
(2.52)
umformuliert werden. Durch die bikomplexen gaußschen Parameter sind die Einträge in
der Matrix K ebenfalls bikomplex. Zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen muss K
invertiert werden. Um für das Invertieren weiterhin Standardalgorithmen für komplexe
Zahlen verwenden zu können, muss diese Gleichung in Real- und Imaginärteil bezüglich i
aufgespalten werden. Aufspalten der Matrix K und der Vektoren v, r liefert
K = KR + iKI ,
v = vR + ivI ,
r = rR + irI ,
(5.42a)
(5.42b)
(5.42c)
×3N
mit KR , KI ∈ C3N
; vR , vI , rR , rI ∈ C3N
j
j . Damit lässt sich die Gleichung als eine
Matrixgleichung der doppelten Dimension schreiben,
KR −KI
KI KR
!
!
!
vR
r
= R .
vI
rI
(5.43)
Zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen muss nun eine (zur imaginären Einheit j)
komplexe Matrix der Dimension 6N invertiert werden. Ohne die bikomplexe Erweiterung
hatte die Matrix die halbe Dimension und war positiv definit und hermitesch, sodass
optimierte Algorithmen zum Invertieren verwendet werden konnten. Im bikomplexen
Fall gilt dies im Allgemeinen nicht mehr und es muss ein Algorithmus zum Invertieren
einer allgemeinen komplexen Matrix Anwendung finden. Nach dem Invertieren können
67
5. Stationäre Lösungen
Γc1
2,47
2,46
2,45
2,44
2,43
2,42
2,41
2,4
2,39
2,38
Γc1
0,08
Γc2
0,06
0,04
0,02
0
−0,02
−0,04
−0,06
−0,08
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Γc1
0,08
Γc2
0
d)
0,06
0,006
0,004
0,02
0,002
0
Γc1
Γc2
0
−0,02
−0,002
−0,04
−0,004
−0,06
−0,006
−0,08
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
0,008
0,04
µk
µi
b)
ψg/e
ψp/n
ψc1
ψc2
0
c)
Γc2
µj
µ1
a)
−0,008
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Abbildung 5.13.: Das chemische Potential µ = µ1 + jµj + iµi + kµk der stationären
Lösungen mit bikomplexer Erweiterung bei einer Nichtlinearität von g = 0,2. Die
Zustände ψg/e mit reellen und ψp/n mit gewöhnlichen komplexen Eigenwerten sind
durch die komplexe Erweiterung unverändert. Es tauchen zwei zusätzliche Äste ψc1
und ψc2 auf, sodass die Zahl der Zustände für alle Γ gleich ist. Dies ist insbesondere
für µ1 gut sichtbar, da hier alle Eigenwerte verschieden von Null sind.
die komplexen Vektoren vR und vI berechnet werden und zu dem bikomplexen Vektor v
zusammengefügt werden. Damit können die Bewegungsgleichungen (2.37a)–(2.37d) für
die bikomplexen Gaußparameter aufgestellt und stationäre Zustände wie zuvor über eine
nichtlineare Nullstellensuche in den Bewegungsgleichungen berechnet werden. Durch die
Erweiterung auf bikomplexe Zahlen hat sich die Zahl der Parameter und die Zahl der
Bedingungen verdoppelt. Für zwei Gaußfunktionen beträgt die Zahl der reellen Parameter
Np = 12N , die Nullstellensuche hat die Dimension (Np − 2).
Die Eigenwerte der GPE mit der bikomplexen Erweiterung sind in Abb. 5.13 für eine
Nichtlinearität g = 0,2 abgebildet. Das chemische Potential wird nach Gl. (2.56) aus der
Zeitableitung von ϕ berechnet. Da ϕ eine bikomplexe Zahl ist, wird auch µ bikomplex.
68
5.3. Analytische Fortsetzung
Das chemische Potential setzt sich wie folgt zusammen:
µ = µ1 + jµj + iµi + kµk = (µ1 + jµj ) + i(µi + jµk ).
(5.44)
Es ist zu erkennen, dass es nun unabhängig von Γ stets vier Zustände gibt. Die Zahl der
Zustände bleibt also wie erwartet konstant. Die bereits bekannten PT -symmetrischen
und PT -gebrochenen Zustände tauchen in der komplexen Erweiterung unverändert auf.
Bei den PT -symmetrischen Zuständen mit reellen Energieeigenwerten ist der Wert von
µ1 gleich dem gewöhnlichen Realteil von µ der nicht bikomplex erweiterten stationären
Zustände. Die weiteren Komponenten des Energieeigenwerts verschwinden, µj = µi =
µk = 0. Die Zustände mit reellen Eigenwerten laufen wie bisher in einem exzeptionellen
Punkt bei Γc2 zusammen. Sie verschwinden jedoch an diesem Punkt nicht, sondern
setzen sich in zwei Zustände fort, die nur in der komplexen Erweiterung existieren. Bei
diesen zusätzlich auftretenden Zuständen ist neben µ1 auch µj von Null verschieden, das
chemische Potential ist also von der Form µ = (µ1 + jµj ). Das entspricht einer bikomplex
erweiterten reellen Größe.
Bei Γc1 spaltet vom Grundzustand der Ast mit den bekannten PT -gebrochenen
Zuständen ab. Das chemische Potential dieser Zustände hat die Form µ = µ1 + iµi . Auf
diesem Ast ist das chemische Potential eine gewöhnliche komplexe Zahl, da die nur
in bikomplexen Zahlen auftauchenden Koeffizienten µj und µk verschwinden. Da sich
auch am exzeptionellen Punkt bei Γc1 die Zahl der Zustände nicht ändert, taucht in
der komplexen Erweiterung im Bereich 0 < Γ < Γc1 ein zusätzlicher Ast auf, der den
PT -gebrochenen Ast zu Γ-Werten kleiner als Γc1 fortsetzt. Die Eigenwerte auf diesem
Ast besitzen die Form µ = µ1 + kµk .
Die Wellenfunktionen auf den nur in der bikomplexen Erweiterung auftauchenden
Ästen sind in Abb. 5.14 dargestellt. Abbildung 5.14a) und 5.14b) zeigen die zwei Lösungen auf dem Ast, der im Bereich 0 < Γ < Γc1 existiert. Auf diesem Ast sind die
Komponenten ψ1 und ψk symmetrische Funktionen, während die Komponenten ψj und
ψi antisymmetrische Funktionen sind. Die beiden Zustände lassen sich durch Anwenden
des PT -Operators aufeinander abbilden, wenn man für T die in Gl. (5.38) definierte
komplexe Konjugation verwendet, welche nur auf i wirkt. Die komplexe Konjugation
bewirkt eine Multiplikation der Komponenten ψi und ψk mit −1. Es handelt sich um
PT -gebrochene Lösungen, die nun in der bikomplexen Erweiterung auch im Bereich
0 < Γ < Γc1 auftauchen. Die Eigenschaft, dass sich zwei Lösungen durch Anwenden des
PT -Operators aufeinander abbilden lassen, ist von den PT -gebrochenen Lösungen mit
komplexen Eigenwerten bekannt. Der Ast mit komplexen Eigenwerten wird also in der
Erweiterung mit bikomplexen Parametern in den Bereich Γ < Γc1 fortgesetzt, wobei
die Eigenschaft erhalten bleibt, dass die Zustände PT -gebrochen sind und sich durch
Anwenden des PT -Operators aufeinander abbilden lassen. Es gibt jedoch einen entscheidenden Unterschied. Der PT -gebrochene Ast im Bereich Γ > Γc1 hat asymmetrische
Wellenfunktionen, wohingegen die Wellenfunktionen auf dem bikomplex erweiterten Ast
im Bereich Γ < Γc1 zwar ebenfalls PT -gebrochen sind, aber die einzelnen Komponenten
trotzdem symmetrisch oder antisymmetrisch sind.
69
5. Stationäre Lösungen
0,2
b)
0,1
0
0
−0,1
−0,1
−0,2
−0,2
−0,3
−0,3
−0,4
−0,6
−6
−4
−2
0
x
2
4
−0,6
−6
6
0,4
d)
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0
−0,1
−4
−2
0
x
2
4
6
−2
0
x
2
4
6
0,4
0,3
−0,1
−0,2
−0,2
ψ1
ψj
ψi
ψk
−0,3
−0,4
−6
ψ1
ψj
ψi
ψk
−0,5
ψ
ψ
−0,4
ψ1
ψj
ψi
ψk
−0,5
c)
0,2
0,1
ψ
ψ
a)
−4
ψ1
ψj
ψi
ψk
−0,3
−2
0
x
2
4
6
−0,4
−6
−4
Abbildung 5.14.: Die Wellenfunktionen auf den analytisch fortgesetzten Äste bei einer
Nichtlinearität g = 0,2 und einem Gewinn-/Verlustterm von 0,01 (a,b) bzw. 0,05 (c,d).
Auf dem Ast ψc1 , der in den exzeptionellen Punkt bei Γc1 mündet, lassen sich die
Wellenfunktionen durch Anwenden des PT -Operators ineinander überführen (a,b).
Die Wellenfunktionen des zweiten bikomplex erweiterten Asts ψc2 , der bei Γc2 entsteht,
sind PT -symmetrisch (c,d).
In den Abbildungen 5.14c) und 5.14d) sind die Wellenfunktionen auf dem Ast gezeigt,
der am exzeptionellen Punkt bei Γc2 entsteht. Hier sind die Komponenten ψ1 und ψj
symmetrisch und die Komponenten ψi und ψk antisymmetrisch. Beide Wellenfunktionen
sind PT -symmetrisch, wenn T als komplexe Konjugation wie in (5.38) interpretiert
wird, die ψi und ψk mit −1 multipliziert. In der bikomplexen Erweiterung existieren
folglich für alle Werte von Γ PT -symmetrische Lösungen. Im Bereich Γ < Γc2 gibt
es mit dem Grundzustand und dem angeregten Zustand die zwei PT -symmetrischen
Lösungen mit reellen Eigenwerten. In der bikomplexen Erweiterung schließen sich an
den exzeptionellen Punkt zwei Lösungen an, die weiterhin PT -symmetrisch sind. Da die
Lösungen PT -symmetrisch sind, ist auch das Betragsquadrat im nichtlinearen Teil der
GPE eine symmetrische Funktion und der Hamiltonoperator selbst ist PT -symmetrisch.
70
5.4. Exzeptionelle Punkte
Das Betragsquadrat lautet in der bikomplexen Erweiterung nach Gl. (5.40)
|ψ(x)|2 = (ψ1 (x) + jψj (x))2 + (ψi (x) + jψk (x))2 .
(5.45)
In dieser Darstellung lässt sich direkt ablesen, dass das Betragsquadrat auch für die
bikomplexen PT -symmetrischen Zustände symmetrisch ist, da für diese ψ1 und ψj
symmetrisch sind während ψi und ψk antisymmetrisch sind.
Abschließend soll noch einmal betont werden, dass die Methode der analytischen
Fortsetzung ausschließlich ein besseres mathematisches Verständnis der Lösungen und
insbesondere der exzeptionellen Punkte ermöglicht, die in der nichtlinearen nichtanalytischen GPE auftauchen. Die zusätzlichen Zustände, die nur durch die Erweiterung zu
bikomplexen Zahlen existieren, haben keinerlei physikalische Bedeutung.
5.4. Exzeptionelle Punkte
Anhand der stationären Zustände zeigt sich, dass es im Eigenwertspektrum zwei Kandidaten für exzeptionelle Punkt gibt. Das ist zum einen der Punkt bei Γc1 , an dem die
PT -gebrochenen Zustände vom Grundzustand abspalten und zum anderen der Punkt
bei Γc2 , an dem Grundzustand und angeregter Zustand zusammenfallen. Diese Punkte
wurden in den vorherigen Abschnitten bereits als exzeptionelle Punkt bezeichnet, ohne
diese genauer zu spezifizieren. Dies soll in diesem Abschnitt nachgeholt werden. Das Ziel
ist, diese Punkte den in Abschnitt 3.2 beschriebenen Bifurkationen oder exzeptionellen
Punkte zuzuordnen. Die charakteristischen Eigenschaften von exzeptionellen Punkten
werden durch Umlaufen des Punktes mit einem komplexen Parameter bestimmt. Dies ist
offensichtlich nur möglich, wenn sich die Zahl der Zustände beim Umlaufen des exzeptionellen Punkts nicht ändert. Aus diesem Grund wird weiterhin die in Abschnitt 5.3.2
beschriebene vollständige analytische Fortsetzung mit bikomplexen Zahlen verwendet,
wodurch die Zahl der Zustände erhalten bleibt. Bevor auf die exzeptionellen Punkte
des vollständigen Problems mit komplexem Potential und Nichtlinearität eingegangen
wird, werden zunächst die beiden Grenzfälle mit reellem Potential (Γ = 0) und ohne
Nichtlinearität (g = 0) behandelt.
5.4.1. Exzeptioneller Punkt im linearen Fall
Das Eigenwertspektrum in Abhängigkeit des Gewinn-/Verlustparameters Γ wurde für
den linearen Fall in Abschnitt 5.1.1 bereits ausführlich beschrieben. Unterhalb von Γc
existieren der Grundzustand und der angeregte Zustand mit reellen Eigenwerten µ, bei Γc
fallen die beiden Zustände zusammen und es entstehen zwei PT -gebrochene Zustände mit
komplexen Eigenwerten. Im linearen Fall ist auch ohne die analytische Fortsetzung die
Zahl der Zustände erhalten. Für den linearen Fall ist es daher nicht nötig, die analytische
Fortsetzung zu verwenden. Um den kritischen Punkt bei Γc zu umlaufen, wird der reelle
71
5. Stationäre Lösungen
a)
2,51
2,5
0,04
2,49
0,02
2,48
0,01
2,47
0
2,46
−0,01
2,45
−0,02
2,44
−0,03
2,43
0π
1π
2π
ϑ
3π
ψn
ψp
0,03
Im µ
Re µ
b)
ψn
ψp
4π
−0,04
0π
1π
2π
ϑ
3π
4π
Abbildung 5.15.: Realteil (a) und Imaginärteil (b) des chemischen Potentials beim
Umlaufen des exzeptionellen Punkts bei Γc im linearen Fall g = 0. Der Umlauf erfolgt
nach Gl. (5.46) mit komplexen Γ. Der Startpunkt bei ϑ = 0 liegt im Bereich der PT gebrochenen Zustände mit positivem (ψp ) und negativem (ψn ) Imaginärteil von µ. Nach
einem Umlauf bei ϑ = 2π sind die Eigenwerte vertauscht, nach zwei Umläufen ϑ = 4π
ist die Ausgangssituation wiederhergestellt. Dies entspricht dem charakteristischen
Verhalten eines EP2.
Parameter Γ zu einer komplexen Zahl erweitert. Ein Umlauf mit dem Radius r wird auf
die folgende Art parametrisiert
Γ = Γc + reiϑ ,
ϑ = 0, . . . , 2π.
(5.46)
Das Verhalten der Energieeigenwerte in Abhängigkeit von ϑ ist in Abb. 5.15 dargestellt.
Der Umlauf startet bei ϑ = 0 und Γ = Γc + r, also auf dem Ast der beiden PT gebrochenen Lösungen mit komplexen Energieeigenwerten. Die Energieeigenwerte haben
hier denselben Realteil, aber einen positiven bzw. negativen Imaginärteil. Bei ϑ = π ist
Γ wieder ein rein reeller Wert, jedoch befindet man sich nun bei Γ = Γc − r und somit
auf der anderen Seite des exzeptionellen Punkts auf dem Ast der PT -symmetrischen
Lösungen mit rein reellen Energieeigenwerten. Nach einem kompletten Umlauf bei ϑ = 2π
sind die Zustände im Vergleich zum Beginn in den jeweils anderen übergegangen. Nach
zwei kompletten Umläufen ϑ = 4π ist die Ausgangssituation wiederhergestellt. Dies
entspricht dem Quadratwurzelverhalten eines EP2.
Eine weitere charakteristische Eigenschaft von exzeptionellen Punkten ist das Auftreten
von Stabilitätswechseln. Die Stabilität der am exzeptionellen Punkt beteiligten Zuständen
kann im linearen Fall bei Kenntnis der stationären Lösungen des Systems direkt angegeben
werden. Die möglichen Störungen eines beliebigen Zustands können durch die im System
vorhandenen Eigenzustände ausgedrückt werden. Die Dynamik der Eigenzustände ist
nach der Schrödingergleichung durch den Energieeigenwert µ bestimmt, ψ(t) = ψ(0)e−iµt .
Im Intervall Γ < Γc existieren der Grundzustand und der angeregte Zustand mit jeweils
reellen Energieeigenwerten. Da in diesem Bereich nur Zustände mit reellen Eigenwerten
72
5.4. Exzeptionelle Punkte
existieren, sind beide Zustände stabil, da kleine Störungen der stationären Zustände ein
oszillatorisches Verhalten zeigen. Anders verhält es sich im Bereich Γ > Γc . Hier existiert
ein exponentiell ansteigender Zustand ψp und ein exponentiell abfallender Zustand ψn .
In jeder Superposition dieser zwei Zustände wird der exponentiell abfallende Zustand
mit der Zeit keine Rolle mehr spielen und nur der exponentiell ansteigende Zustand
übrigbleiben. Der Zustand mit positivem Imaginärteil ist also stabil, da Störungen dieses
Zustands exponentiell abfallen, während der Zustand mit negativem Imaginärteil instabil
ist. Der exponentiell ansteigende Zustand wird als Senke bezeichnet, da sich sämtliche
Superpositionen zu diesem Zustand entwickeln und der exponentiell abfallende Zustand
als Quelle.
Bei Γc findet man also auch die für exzeptionelle Punkte charakteristischen Stabilitätswechsel. Bei Γ < Γc gibt es zwei stabile oszillatorische Zustände, wohingegen im Bereich
Γ > Γc eine stabile und eine instabile Lösung existieren.
5.4.2. Bifurkation bei reellem Potential
Nachdem der lineare Fall mit komplexem Potential behandelt wurde, soll nun die Bifurkation im reellen Potential untersucht werden, die allein durch Erhöhung der Nichtlinearität
g erreicht wird. Das Eigenwertspektrum in Abhängigkeit von g ist für Γ = 0 in Abb. 5.16a)
dargestellt. Unterhalb von g0 ≈ 0,24 existieren der symmetrische Grundzustand und der
antisymmetrische angeregte Zustand. Bei g = g0 spalten die zwei gebrochenen Lösungen
vom Grundzustand ab und koexistieren für g > g0 mit den PT -symmetrischen Lösungen.
Die gebrochenen Lösungen haben bei Γ = 0 ebenfalls rein reelle Eigenwerte, da diese erst
bei endlichen Werten von Γ komplex werden.
Da es eine Änderung der Zustandszahl bei g0 gibt, muss zum Umlaufen des Bifurkationspunkts die analytische Fortsetzung mit bikomplexen Parametern verwendet werden.
Zur Parametrisierung eines Umlaufs wird der Nichtlinearitätsparameter auf folgende Art
zu einer bikomplexen Zahl erweitert
g = g0 + r(cos ϑ + j sin ϑ),
ϑ = 0, . . . , 2π.
(5.47)
Die Vertauschung der Zustände kann auf diesem Pfad nicht an den Energieeigenwerten
abgelesen werden, da die beiden gebrochenen Zustände bei Γ = 0 entarten. Stattdessen
(1)
wird in Abb. 5.16b) mit A1 der reelle Teil des Breitenparameters der rechten Gaußfunktion in Abhängigkeit des Winkels ϑ betrachtet. Die Vertauschung lässt sich auch an
(1)
einem beliebigen anderen Gaußparameter ablesen, der Parameter A1 wurde lediglich
beispielhaft herausgegriffen. Es ist zu erkennen, dass die zwei gebrochenen Zustände nach
einem Umlauf des Bifurkationspunkts vertauschen und nach einem zweiten Umlauf die
Ausgangssituation wiederhergestellt ist. Die gebrochenen Zustände zeigen ein Quadratwurzelverhalten. Der Grundzustand nimmt an der Vertauschung nicht teil, sondern ist
nach einem Umlauf weiterhin derselbe Zustand.
Der Bifurkationspunkt weist die Eigenschaften einer Heugabelbifurkation auf. Ohne die
Erweiterung auf bikomplexe Parameter spaltet der Grundzustand am Bifurkationspunkt
73
5. Stationäre Lösungen
g0
a)
b)
2,5
0,425
ψg
ψn
ψp
0,42
2,45
(1)
A1
Re µ
0,415
2,4
0,41
ψe
ψg
ψn
ψp
2,35
2,3
0
0,405
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
g
0,4
0π
1π
2π
ϑ
3π
4π
Abbildung 5.16.: a) Das Eigenwertspektrum in Abhängigkeit von g mit reellem Potential
(1)
(Γ = 0). b) Der gaußsche Parameter A1 beim Umlaufen des Bifurkationspunkts g0 auf
dem Pfad (5.47). Die zwei gebrochenen Lösungen ψp,n zeigen Quadratwurzelverhalten,
wohingegen der Grundzustand ψg keine Vertauschung zeigt. Dieses Verhalten ist
charakteristisch für eine Heugabelbifurkation.
in drei Zustände auf. Der Grundzustand selbst existiert vor und nach dem Bifurkationspunkt, im Bereich g > g0 gibt es zusätzlich die zwei gebrochenen Lösungen, die
ein Quadratwurzelverhalten zeigen. Der Bifurkationspunkt zeigt außerdem die für eine
Heugabelbifurkation charakteristischen Stabilitätswechsel, wie die Untersuchungen zur
Stabilität im nachfolgenden Kapitel 6 zeigen. Der Grundzustand zeigt einen Stabilitätswechsel am Bifurkationspunkt. Für g < g0 ist er stabil und für g > g0 instabil. Die zwei
gebrochenen Zuständen, die bei g0 entstehen, sind im hier betrachteten reellen Potential
beide stabil.
5.4.3. Exzeptionelle Punkte im nichtlinearen nichthermiteschen Fall
Im nichtlinearen und nichthermiteschen Fall tauchen zwei exzeptionelle Punkte auf. Das
ist zum einen der exzeptionelle Punkt bei Γc2 an dem Grundzustand und angeregter
Zustand zusammenlaufen und zum anderen der exzeptionelle Punkt bei Γc1 an dem die
PT -gebrochenen Zustände vom Grundzustand abspalten. Zur Charakterisierung der
exzeptionellen Punkte werden diese umlaufen, wobei mit der vollständigen analytischen
Fortsetzung gerechnet werden muss, da sich sonst an beiden Punkten die Zahl der
Zustände ändert.
Zunächst wird der exzeptionelle Punkt bei Γc2 untersucht. Ein Umlauf um den
exzeptionellen Punkt erfolgt mit einem zu bikomplexen Zahlen erweiterten Gewinn/Verlustparameter
Γ = Γc2 + r(− cos ϑ + j sin ϑ),
74
ϑ = 0, . . . , 2π.
(5.48)
5.4. Exzeptionelle Punkte
a)
2,47
b)
ψg
ψe
2,46
0,03
0,02
2,44
µj
2,43
2,42
0,01
0
−0,01
2,41
−0,02
2,4
−0,03
2,39
0π
ψg
ψe
0,04
2,45
µ1
0,05
1π
2π
ϑ
3π
4π
−0,04
0π
1π
2π
ϑ
3π
4π
Abbildung 5.17.: Die Komponenten µ1 (a) und µj (b) des Energieeigenwerts beim Umlaufen des kritischen Punkts bei Γc2 , an dem Grundzustand ψg und angeregter Zustand
ψe zusammenlaufen. Der Nichtlinearitätsparameter beträgt g = 0,2. Der Pfad ist in
Gl. (5.48) parametrisiert. Die Eigenwerte zeigen das für einen EP2 charakteristische
Quadratwurzelverhalten.
Der Pfad beginnt bei Γ = Γc2 − r also im Bereich der rein reellen Eigenwerte. Nach
einem halben Umlauf (ϑ = π) ist Γ = Γc2 + r wieder rein reell, jedoch oberhalb des
exzeptionellen Punkts. In diesem Bereich existieren die zwei nur in der bikomplexen
Erweiterung auftauchenden Zustände, deren Energieeigenwerte zusätzlich zu µ1 eine
endliche µj Komponente besitzen. Auf dem gesamten Umlauf sind die zwei weiteren
Komponenten µi und µk gleich Null. Wie in Abb. 5.17 zu sehen ist, vertauschen die
Eigenwerte und zugehörigen Eigenzustände nach einem Umlauf und nach zwei Umläufen
ist die Ausgangssituation wiederhergestellt. Das entspricht dem für einen EP2 typischen
Quadratwurzelverhalten.
Am exzeptionellen Punkt bei Γc1 werden drei Eigenwerte und die zugehörigen Eigenzustände gleich. Dieser exzeptionelle Punkt wird auf zwei verschiedene Arten umlaufen. Zum
einen kann der exzeptionelle Punkte mit einem bikomplexen Nichtlinearitätsparameter
umlaufen werden,
g̃ = g + G ≡ g + r(cos ϑ + j sin ϑ),
ϑ = 0, . . . , 2π,
(5.49)
mit der gewöhnlichen reellen Nichtlinearität g und der bikomplexen Größe G = r(cos ϑ +
j sin ϑ). Für die zweite Möglichkeit den exzeptionellen Punkt zu umkreisen, wird der
Gewinn-/Verlustparameter auf folgende Art zu einer bikomplexen Größe erweitert
Γ̃ = Γ + α ≡ Γ + r(i cos ϑ + k sin ϑ),
ϑ = 0, . . . , 2π,
(5.50)
wobei Γ wie zuvor der reelle Gewinn-/Verlustparameter ist. Die bikomplexe Größe
α = r(i cos ϑ + k sin ϑ) muss aufgrund der endlichen αi Komponente als ein Beitrag zum
75
5. Stationäre Lösungen
a)
b)
0,02
ψg
ψn
ψp
0,015
0,01
0,01
µi
0,005
µi
0
0
−0,005
−0,01
−0,04−0,02
0
Gj
0,02 0,04
−0,04
−0,02
0 G
1
0,02
0,04
c)
−0,01
−0,015
0π
d)
1π
2π
ϑ
3π
0,03
4π
ψg
ψn
ψp
0,02
0,02
0,01
µk
µk
0
0
−0,02
0,01
0,005
αk 0
0
−0,005
−0,005
−0,01
−0,01
0,01
0,005
αi
−0,01
−0,02
0π
1π
2π
3π
ϑ
4π
5π
6π
Abbildung 5.18.: Das Verhalten der Energieeigenwerte beim Umlaufen des exzeptionellen Punkts bei Γc1 bei einer Nichtlinearität g = 0,2. Das Umlaufen mit der in Gl. (5.49)
definierten bikomplexen Nichtlinearität führt zu der charakteristischen Vertauschung
eines EP3,2 (a,b). Das Verhalten eines EP3,3 kann beim Umlaufen mit dem Asymmetrieparameter aus Gl. (5.50) beobachtet werden (c,d). In den rechten Bilder ist
der Verlauf der Eigenwertkomponente auf dem im linken Bild eingezeichneten Pfad
dargestellt, wobei die drei Startpunkte übereinander auf je einer der drei Flächen
liegen.
reellen Potential angesehen werden, da α nach Gl. (4.8) auf folgende Art in das Potential
eingeht:
2
2
Vα (x) = iαxe−ρx = −r(cos ϑ + j sin ϑ)xe−ρx .
(5.51)
Der Parameter α bricht die Symmetrie des reellen Potentials, da der symmetrische
Realteil des Potentials durch Vα (x) einen asymmetrischen Anteil proportional zu r cos ϑ
erhält. Der Parameter α wird daher als Asymmetrieparameter bezeichnet.
Das Umlaufen des exzeptionellen Punkts mit der bikomplex erweiterten Nichtlinearität
aus Gl. (5.49) ist in Abb. 5.18a) und 5.18b) zu sehen. Abbildung 5.18a) zeigt die
Komponente µi des Energieeigenwerts der drei am exzeptionellen Punkt beteiligten
76
5.4. Exzeptionelle Punkte
stationären Zustände in Abhängigkeit der bikomplex erweiterten Nichtlinearität G. Auf
der mittleren Fläche ist µi = 0, es handelt sich hierbei um den Grundzustand mit rein
reellem Eigenwert. Die obere Fläche entspricht demnach der PT -gebrochenen Lösung
mit komplexem Eigenwert und positivem Imaginärteil µi , während die untere Fläche
zu der PT -gebrochenen Lösung mit negativem Imaginärteil gehört. Auf den Flächen
ist ein Umlauf um den exzeptionellen Punkt bei G = 0 eingezeichnet. Der Verlauf der
Eigenwertkomponente µi auf diesem Pfad ist in Abb. 5.18b) für einen Startwert auf
der oberen Fläche ψp , auf der unteren Fläche ψn und einen Startwert auf der mittleren
Fläche ψg dargestellt. Alle Startwerte liegen bei ϑ = 0 übereinander. Man erkennt,
dass der auf dem Grundzustand startende Pfad die Ebene des Grundzustands nicht
verlässt, d. h. der Grundzustand vertauscht beim Umlaufen des exzeptionellen Punkts
nicht mit einem anderen Zustand. Folgt man dem Verlauf des Pfades auf den Flächen der
gebrochenen Zustände, so erkennt man nach einem Umlauf einen Wechsel von der oberen
auf die untere Fläche und umgekehrt. Die zwei PT -gebrochenen Lösungen zeigen also ein
Quadratwurzelverhalten. Ein exzeptioneller Punkt, an dem drei Zustände zusammenfallen,
wobei zwei Zustände Quadratwurzelverhalten zeigen und ein Zustand beim Umlaufen
unverändert bleibt, wird, wie in Abschnitt 3.2.3 beschrieben, als EP3,2 bezeichnet.
Ein anderes Verhalten kann beobachtet werden, wenn der exzeptionelle Punkt mit
dem in Gl. (5.50) definierten Asymmetrieparameter α umlaufen wird. Die Eigenwertkomponente µk der drei beteiligten Zustände in Abhängigkeit des Asymmetrieparameters
ist in Abb. 5.18c) gezeigt. Der Verlauf von µk auf dem eingezeichneten Pfad ist in
Abb. 5.18d) für drei übereinander liegende Startpunkte auf je einer der drei Flächen
dargestellt. Beginnt man bei ϑ = 0 auf der untersten Fläche, so befindet man sich nach
einem Umlauf auf der obersten Fläche, nach einem weiteren Umlauf auf der mittleren
Fläche und nach insgesamt drei Umläufen ist man wieder am Ausgangspunkt angelangt.
Dies entspricht einem Kubikwurzelverhalten. Wird der exzeptionelle Punkt mit dem
Asymmetrieparameter umlaufen, zeigt er also nach der Definition in Abschnitt 3.2.3 das
Verhalten eines EP3,3.
Das einfache Matrixmodell für einen EP3 in Abschnitt 3.2 zeigte, dass ein EP3 bezüglich
unterschiedlicher Parameter beim Umlaufen des exzeptionellen Punkts entweder EP3,2oder EP3,3-Verhalten zeigen kann. Beide Fälle konnten im vorliegenden System nachgewiesen werden. Ein Umlaufen des exzeptionellen Punkts mit dem Asymmetrieparameter
α zeigt EP3,3-Verhalten, während ein Umlaufen mit dem bikomplexen Nichtlinearitätsparameter G EP3,2-Verhalten zeigt.
77
6. Dynamik und Stabilität
6.1. Lineare Stabilität
In Abschnitt 5.1.2 wurden die stationäre Zustände der GPE für ein PT -symmetrisches
Doppelmuldenpotential berechnet. Es stellt sich die Frage, ob diese Zustände in einem
Experiment beobachtbar sind. Eine notwendige Bedingung für die experimentelle Realisierung ist die Stabilität der Zustände gegenüber kleinen Auslenkungen. Im Folgenden
wird die lineare Stabilität der Zustände, wie in Abschnitt 2.2.4 beschrieben, anhand
der Eigenwerte der Jacobimatrix untersucht. Wie bereits bei der Behandlung der stationären Zustände und der exzeptionellen Punkte wird zunächst der einfachere lineare Fall
untersucht und im Anschluss der Einfluss der Nichtlinearität auf die Stabilität behandelt.
6.1.1. Stabilität im linearen Fall
Im linearen Fall g = 0 scheint die Stabilität zunächst trivial zu sein. Jedoch hängen die
Bewegungsgleichungen (2.37a)–(2.37d) der Variationsparameter aufgrund der gaußschen
Näherung nichtlinear von den gaußschen Parametern ab. Eine Untersuchung der linearen
Stabilität ist daher notwendig. Da aufgrund des Superpositionsprinzips Störungen nur
durch andere Eigenzustände der Schrödingergleichung hervorgerufen werden können,
ist das erwartete Verhalten bekannt. Die Stabilitätseigenwerte entsprechen der Energiedifferenz des untersuchten Zustands zum Eigenzustand, der die Störung beschreibt.
Der lineare Fall kann daher genutzt werden, das Verfahren zu testen. Die Eigenwerte
der Jacobimatrix sind in Abb. 6.1 dargestellt. Da die Jacobimatrix reell ist, treten die
Eigenwerte stets in komplex konjugierten Paaren auf. Von jedem Paar wird aus Gründen
der Übersichtlichkeit nur entweder der Eigenwert mit positivem oder der mit negativem
Imaginärteil gezeigt.
Die Abbildungen 6.1a) und 6.1b) zeigen unterhalb von Γc die Stabilitätseigenwerte des
Grundzustands ψg . Man erkennt, dass alle Eigenwerte der Jacobimatrix rein imaginär
sind. Rein imaginäre Eigenwerte beschreiben eine oszillatorische Störung, da die zeitliche
Entwicklung einer Störung zum Eigenwert λ proportional zu eλt ist. Wird der Grundzustand leicht gestört, führt dies zu einer Oszillation um den Grundzustand und somit zu
einem stabilen Verhalten.
Im linearen Fall entspricht jeder Eigenwert einer Störung durch einen Eigenzustand
des Systems. Die Störung lässt sich nach Gl. (2.71) aus dem zugehörigen Eigenvektor
berechnen. Es gibt einen Eigenwert der Jacobimatrix, bei dem Realteil und Imaginärteil
79
6. Dynamik und Stabilität
a)
Γc
Γc
0,16
ψg
ψn
0,14
b)
0
0,12
−1
0,08
Im λ
Re λ
0,1
0,06
0,04
−2
−3
0,02
0
−4
−0,02
0
c)
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
0,02
d)
0
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
0
−0,02
−1
−0,06
Im λ
Re λ
−0,04
−0,08
−0,1
−2
−3
−0,12
ψe
ψp
−0,14
−0,16
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
−4
Abbildung 6.1.: Real- und Imaginärteil der Stabilitätseigenwerte der vier stationären
Lösungen im linearen Fall g = 0. a) und b) zeigen unterhalb von Γc den Grundzustand
ψg und oberhalb den PT -gebrochenen Zustand ψn mit Im µ < 0. c) und d) zeigen
unterhalb von Γc den angeregten Zustand ψe und oberhalb den PT -gebrochenen
Zustand ψp mit Im µ > 0. Der Zustand ψn ist instabil, alle anderen Zustände sind
stabil.
unabhängig von Γ gleich Null sind. Dies entspricht der Störung durch den Zustand selbst,
also in diesem Fall dem Grundzustand. Dies führt natürlich zu keiner Oszillation und
daher verschwindet der zugehörige Eigenwert. Der Eigenwert mit dem größten negativen
Imaginärteil beschreibt eine Störung des Grundzustands durch den ersten angeregten
Zustand ψe . Da die Energieeigenwerte des ersten angeregten Zustands bekannt sind, lässt
sich an diesem Stabilitätseigenwert bestätigen, dass der Imaginärteil des Stabilitätseigenwerts tatsächlich der reellen Energiedifferenz von Grundzustand zu angeregtem Zustand
entspricht. Dies liefert die Bestätigung, dass das Verfahren funktioniert. Es werden noch
vier weitere Stabilitätseigenwerte mit kleinerem negativen Imaginärteil gefunden, die
Störungen des Grundzustands durch höher angeregte Zustände darstellen. Es handelt
sich hierbei um den zweiten bis fünften angeregten Zustand, wobei die Eigenwerte mit
80
6.1. Lineare Stabilität
kleinerem negativem Imaginärteil zu den höheren angeregten Zuständen gehören.
Bei Γ = 0 ist die Symmetrie der höher angeregten Zustände abwechselnd symmetrisch
und antisymmetrisch. Der zweite angeregte Zustand besitzt zwei Knoten und die Knotenzahl steigt mit jeder höheren Anregung um Eins an. Es ist auf den Ansatz bestehend aus
zwei Gaußfunktionen zurückzuführen, dass nur Störungen bis zum fünften angeregten
Zustand gefunden werden. Tatsächlich besitzt das System unendlich viele höher angeregte
Zustände, deren Störungen man betrachten könnte. Da jedoch bereits der zweite bis
fünfte angeregte Zustand nur stabile Störungen des Grundzustands beschreiben, ist nicht
zu erwarten, dass weitere höher angeregte Zustände einen Einfluss auf die Stabilität des
Grundzustands haben. Die Imaginärteile der Eigenwerte werden mit steigendem Γ größer.
Der größte negative Eigenwert, der die Störung durch den ersten angeregten Zustand
beschreibt, wird bei Γc gleich Null. Dies ist notwendig, da am exzeptionellen Punkt bei
Γc der Grundzustand und der angeregte Zustand identisch sind.
Eine analoge Aussage kann über die Stabilität des angeregten Zustands ψe getroffen
werden, dessen Stabilitätseigenwerte in Abb. 6.1c) und 6.1d) zu sehen sind. Der Zustand
ist stabil, da alle Eigenwerte der Jacobimatrix rein imaginär sind und somit eine Störung
des angeregten Zustands zu einer Oszillation um diesen führt. Man findet wieder einen
Eigenwert mit verschwindendem Real- und Imaginärteil, der eine Störung durch den angeregten Zustand selbst beschreibt. Der Eigenwert mit dem kleinsten positiven Imaginärteil
beschreibt die Störung durch den Grundzustand. Der Imaginärteil dieses Eigenwerts geht
am exzeptionellen Punkt Γc auf Null zurück, da hier der angeregte Zustand und der
Grundzustand zusammenfallen. Die Eigenwerte mit negativen Imaginärteilen entsprechen
wieder den Störungen durch den zweiten bis fünften angeregten Zustand.
Im Bereich Γ > Γc existieren die zwei PT -gebrochenen Lösungen. Die Stabilitätseigenwerte des Zustands ψn mit negativem Imaginärteil des Energieeigenwerts sind in
Abb. 6.1a) und 6.1b) zu sehen. Es tauchen Stabilitätseigenwerte auf, die einen positiven
Realteil besitzen. Da die Zeitentwicklung der Störungen proportional zu eλt ist, beschreibt
ein positiver Realteil eine exponentiell ansteigende Störung. Der gebrochene Zustand mit
Im µ < 0 ist folglich instabil. Die instabilen Stabilitätseigenwerte lassen sich anhand des
Realteils in zwei Gruppen einteilen. Es gibt eine Gruppe von vier Eigenwerten, die einen
kleineren Realteil hat und eine Gruppe aus zwei Eigenwerten bei einem größeren Realteil.
Die Gruppe bei kleinerem Realteil gehört zu den Störungen durch den zweiten bis fünften
angeregten Zustand, die einen negativen Imaginärteil besitzen. Die Eigenwerte der zweiten
Gruppe bei höheren Realteilen sind rein reell, wobei die Störungen eine Form haben, die
näherungsweise der des PT -gebrochenen Zustands mit Im µ > 0 entspricht. Zusätzlich
findet man auch für die PT -gebrochenen Zustände einen Eigenwert, der identisch Null
ist und die Störung durch den Zustand selbst beschreibt.
Die Stabilitätseigenwerte des zweiten PT -gebrochenen Zustands ψp mit positivem
Imaginärteil des chemischen Potentials besitzen ebenfalls einen endlichen Realteil. Jedoch
ist der Realteil der Stabilitätseigenwerte negativ, wie Abb. 6.1c) und 6.1d) zeigen. Der
negative Realteil sorgt dafür, dass Störungen exponentiell gedämpft werden und daher
handelt es sich bei ψp um einen stabilen Zustand. Die Stabilitätseigenwerte lassen sich
81
6. Dynamik und Stabilität
a)
0,08
0,06
g = 0,10
0,05
g = 0,15
0,14
Re λ
Im λ
0,12
0,1
0,08
0,04
λ
λ
0,07
b)
Re λ
Im λ
g = 0,05
0,06
0,03
g = 0,20
0,04
0,02
g = 0,25
0,02
0,01
0
0
0
0,01
0,02
Γ
0,03
0,04
0
0,01
0,02
Γ
0,03
0,04
Abbildung 6.2.: Die Stabilitätseigenwerte des Grundzustands (a) und des ersten angeregten Zustands (b). Der Imaginärteil beschreibt die Oszillationsfrequenz der Störung.
Der Realteil zeigt, dass der Grundzustand im Bereich Γc1 . Γ < Γc2 instabil ist,
wohingegen der angeregte Zustand bis Γ ≈ Γc2 stabil bleibt.
wieder in zwei Gruppen unterteilen. Die Gruppe aus vier Eigenwerten mit größerem
Realteil beschreibt Störungen durch den zweiten bis fünften angeregten Zustand. Die
Störungen der Gruppe bestehend aus zwei rein reellen Eigenwerten bei kleineren Realteilen
haben näherungsweise die Form von ψn .
6.1.2. Stabilität im nichtlinearen Fall
Der Einfluss der Nichtlinearität auf die Stabilitätseigenwerte des Grundzustands und
des angeregten Zustands kann in Abb. 6.2 abgelesen werden. Für den Grundzustand
ist in Abb. 6.2a) der Eigenwert mit dem betragsmäßig kleinsten nichtverschwindenden
Imaginärteil dargestellt, da nur dieser einen Stabilitätswechsel zeigt. Da sämtliche Eigenwerte aufgrund der reellen Jacobimatrix in komplex konjugierten Paaren auftreten,
gibt es denselben Eigenwert auch mit negativem Imaginärteil. Zusätzlich findet man
ein weiteres komplex konjugiertes Paar, dessen Realteil denselben Betrag besitzt, aber
negativ ist. Es handelt sich bei dem betrachteten Eigenwert um diejenige Störung, die im
linearen Fall in die Störung durch den ersten angeregten Zustand übergeht. Alle weiteren
Stabilitätseigenwerte sind unabhängig von Γ rein imaginär und beschreiben daher stabile
Störungen.
Die bei Nichtlinearitäten von g = 0,05 bis g = 0,20 berechneten Stabilitätseigenwerte
des Grundzustands sind von Γ = 0 bis zu einem Wert Γs rein imaginär. Die Imaginärteile der Eigenwerte nähern sich mit größeren Werten von Γ dem Wert Null an und
verschwinden schließlich bei Γs . Das bedeutet die Oszillationsfrequenz der zugehörigen
Störung wird geringer und ist bei Γs gleich Null. Bei Γs gibt es einen Stabilitätswechsel,
da aus dem rein imaginären Eigenwert ein rein reeller Eigenwert wird. Der abgebildete
82
6.1. Lineare Stabilität
Eigenwert besitzt für Γ > Γs ein positives Vorzeichen und beschreibt daher eine exponentiell ansteigende und somit instabile Störung. Wie bereits erwähnt, gibt es einen
weiteren Eigenwert mit negativem Realteil, der eine exponentiell gedämpfte Störung
beschreibt. Das Auftreten eines einzigen positiven reellen Eigenwerts zeigt aber bereits
die Instabilität des stationären Zustands an.
Die Stabilität eines Zustands ändert sich typischerweise an exzeptionellen Punkten.
Tatsächlich ergeben die Rechnungen, dass der Stabilitätswechsel zwar in der Nähe,
jedoch nicht genau am exzeptionellen Punkt Γc1 erfolgt, an dem die PT -gebrochenen
Zustände vom Grundzustand abspalten. Auf dieses Verhalten wird in Abschnitt 6.1.3
näher eingegangen. Für stärkere Nichtlinearitäten g verschiebt sich der exzeptionelle
Punkt Γc1 zu kleineren Werten. Der Stabilitätswechsel folgt dem Verhalten von Γc1 und
erfolgt daher für größere Werte von g ebenfalls bei kleineren Γ. Im Bereich g ≥ 0,24
existieren die PT -gebrochenen Zustände auch ohne Gewinn-/Verlustparameter. Daher
sind die Stabilitätseigenwerte in Abb. 6.2a) für den Fall g = 0,25 bereits bei Γ = 0 rein
reell. Der Grundzustand ist in diesem Bereich für alle Werte von Γ instabil.
Die Stabilitätseigenwerte des angeregten Zustands in Abb. 6.2b) zeigen keinen Stabilitätswechsel. Auch für den angeregten Zustand ist nur der Eigenwert mit dem kleinsten
Imaginärteil gezeigt, da die Eigenwerte mit größeren Imaginärteilen, wie beim Grundzustand, stets rein imaginär sind und somit stabile Störungen beschreiben. Der Eigenwert
mit kleinstem Imaginärteil beschreibt die Störung, die im linearen Fall in die Störung
durch den Grundzustand übergeht. Im Gegensatz zur Stabilitätsanalyse des Grundzustands ist bei dem angeregten Zustand auch der Eigenwert mit kleinstem Imaginärteil
für alle Γ-Werte rein imaginär und der angeregte Zustand ist folglich unabhängig von
Γ stabil. Der Eigenwert geht in der Nähe des exzeptionellen Punkts bei Γc2 , an dem
Grundzustand und angeregter Zustand zusammenlaufen, auf Null zurück. Eine genauere
Betrachtung des Verhaltens am exzeptionellen Punkt erfolgt in Abschnitt 6.1.3. Für
stärkere Nichtlinearitäten wird Γc2 kleiner, d. h. der angeregte Zustand verschwindet
bereits bei kleineren Werten von Γ. Dies erklärt, weshalb der Stabilitätseigenwert für
größere g ebenfalls bei kleineren Γ-Werten verschwindet.
Bislang wurde die lineare Stabilität der zwei PT -symmetrischen Zustände mit reellen
Energieeigenwerten untersucht. Dies sind auch die einzigen Kandidaten für experimentell
beobachtbare stationäre Zustände. Die zwei PT -gebrochenen Zustände mit komplexen
Energieeigenwerten sind zwar Lösungen der zeitunabhängigen GPE, aber keine stationären Lösungen der zeitabhängigen GPE. Die nur in der analytischen Fortsetzung
auftauchenden Zustände haben keinerlei physikalische Bedeutung. Es ist trotzdem sinnvoll die Stabilitätseigenwerte dieser Zustände zu betrachten, da sie insbesondere für das
Verhalten an den exzeptionellen Punkten ein besseres Verständnis liefern. Die Realteile
der Stabilitätseigenwerte sind für die zwei PT -gebrochenen Zustände, sowie die vier
Zustände, die nur in der analytischen Fortsetzung auftauchen, in Abb. 6.3 dargestellt.
Die zwei PT -gebrochenen Zustände mit komplexen Energieeigenwerten existieren für
Γ > Γc1 . In Abb. 6.3a) sind die Stabilitätseigenwerte des Zustands ψn mit Im µ < 0 zu
sehen und in 6.3b) die Stabilitätseigenwerte des Zustands ψp mit Im µ > 0. Beide Zustände
83
6. Dynamik und Stabilität
c)
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
−0,02
−0,04
0,02
b)
Re λ
Re λ
a)
0,03
0,04
0,05
Γ
0,06
0,07
0,08
0,2
d)
0,15
0,1
Re λ
Re λ
0,05
0
−0,05
−0,1
−0,15
−0,2
0,04
0,05
0,06
Γ
0,07
0,08
0,04
0,02
0
−0,02
−0,04
−0,06
−0,08
−0,1
−0,12
−0,14
−0,16
0,02
0,03
0,04
0,05
Γ
0,06
0,07
0,08
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
−0,01
−0,02
−0,03
−0,04
−0,05
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
Γ
Abbildung 6.3.: Die Realteile der Stabilitätseigenwerte bei g = 0,2 der PT -gebrochenen
Zustände mit negativem (a) und positivem (b) Imaginärteil des Energieeigenwerts,
sowie der analytisch fortgesetzten Zustände, die bei Γc2 entstehen (c) und der analytisch
fortgesetzten Zustände, die in Γc1 zusammenlaufen (d).
haben, wie bereits im linearen Fall g = 0, Stabilitätseigenwerte mit endlichem Realteil.
Die Realteile der Stabilitätseigenwerte von ψn und ψp unterscheiden sich lediglich im
Vorzeichen. Im Unterschied zum linearen Fall gibt es für beide PT -gebrochenen Zustände
einen Stabilitätseigenwert mit abweichendem Vorzeichen im Realteil. So sind die Realteile
der Stabilitätseigenwerte von ψn nicht alle positiv, sondern es gibt einen Eigenwert mit
negativen Realteil. Umgekehrt hat der Zustand ψp nicht mehr ausschließlich Eigenwerte
mit negativen Realteilen, sondern besitzt einen Eigenwert mit positivem Vorzeichen. Das
bedeutet zum PT -gebrochenen Zustand ψn gibt es im nichtlinearen Fall eine Störung die
exponentiell gedämpft wird und zum Zustand ψp gibt es eine exponentiell anwachsende
Störung.
Der Stabilitätseigenwert mit abweichendem Vorzeichen wird im linearen Fall gleich
Null, d. h. er beschreibt dann eine Störung durch den Zustand selbst. Im nichtlinearen
Fall hat die Störung zu dem Eigenwert mit abweichendem Vorzeichen eine ähnliche Form
84
6.1. Lineare Stabilität
wie der Zustand selbst, nur ist die Störung stärker symmetriegebrochen. Das bedeutet
für den Zustand ψp , der ein größeres Gewicht in der rechten Mulde mit Gewinnterm
hat, dass der Stabilitätseigenwert mit positivem Realteil eine Störung beschreibt, die
noch stärker in der rechten Mulde lokalisiert ist. Analog dazu beschreibt für den Zustand
ψn der Stabilitätseigenwert mit negativem Realteil eine stärker als der Zustand selbst
lokalisierte Störung in der linken Mulde. Des Weiteren fällt auf, dass der größte und der
kleinste Eigenwert bei Γc1 nicht auf Null zurückgehen. Dies ist kein numerischer Fehler,
wie eine genauere Betrachtung der Stabilität in der Nähe der exzeptionellen Punkte in
Abschnitt 6.1.3 zeigt. Da mit endlicher Nichtlinearität beide PT -gebrochenen Zustände
mindestens einen Eigenwert mit positivem Realteil haben, sind nun beide Zustände
instabil. Im linearen Fall war der Zustand mit Im µ > 0 noch stabil.
Abbildung 6.3c) zeigt die Realteile der Stabilitätseigenwerte der zwei bikomplex erweiterten Zustände, die am exzeptionellen Punkt bei Γc2 entstehen, an dem der Grundzustand
und der angeregte Zustand zusammenlaufen. Die Stabilitätseigenwerte sind für die beiden
Zustände komplett identisch und daher in einer Abbildung zusammengefasst. Außerdem
tauchen die Eigenwerte stets als Paare mit positiven und negativen Realteilen auf. Wie
bereits bei den PT -gebrochenen Zuständen, gehen der Eigenwert mit dem größtem und
der Eigenwert mit dem kleinstem Realteil am exzeptionellen Punkt bei Γc2 nicht auf Null
zurück.
Eine ähnliche Struktur zeigt die Stabilitätsanalyse der zwei weiteren nur in der analytischen Fortsetzung auftauchenden Zustände in Abb. 6.3d). Es handelt sich hierbei um
die Zustände, welche die PT -gebrochenen Zustände in den Bereich Γ < Γc1 fortsetzen.
Auch für diese beiden Zuständen sind die Stabilitätseigenwerte identisch und daher in
einer Abbildung dargestellt. Die Zustände besitzen je einen positiven und einen negativen
von Null verschiedenen Realteil, die restlichen Eigenwerte sind rein imaginär. Die zwei
Eigenwerte mit endlichem Realteil unterscheiden sich nur im Vorzeichen und gehen beim
exzeptionellen Punkt bei Γc2 nicht vollständig auf Null zurück.
6.1.3. Stabilität in der Nähe der exzeptionellen Punkte
Die Stabilitätsanalyse zeigt ein auffälliges Verhalten in der Umgebung der zwei exzeptionellen Punkte bei Γc1 und Γc2 . In Abb. 6.4a) sind die Realteile der Stabilitätseigenwerte
aller am exzeptionellen Punkt Γc1 beteiligten Zustände in einer kleinen Umgebung um
Γc1 dargestellt. In dieser Darstellung lässt sich erkennen, dass der Stabilitätswechsel
des Grundzustands ψg nicht am exzeptionellen Punkt erfolgt, sondern bereits bei einem
kleineren Gewinn-/Verlustparameter Γs < Γc1 . Am exzeptionellen Punkt selbst stimmt
jeder Eigenwert von ψg mit jeweils einem Stabilitätseigenwert aller drei anderen am
exzeptionellen Punkt beteiligten Zustände identisch überein, da an diesem Punkt die
Zustände identisch sind. Dies erklärt, weshalb bei den Stabilitätseigenwerten des analytisch fortgesetzten Zustands ψc1 und der beiden PT -gebrochenen Zustände ψp und ψn
stets ein Eigenwertpaar beobachtet wurde, das am exzeptionellen Punkt nicht auf Null
zurückgeht.
85
6. Dynamik und Stabilität
a)
Γc1
0,04
ψg
ψc1
Γc2
0,04
ψg
ψe
ψc2
0,03
0,02
0,02
0,01
0,01
0
0
−0,01
−0,01
−0,02
−0,02
−0,03
−0,03
−0,04
0,022
c)
ψp
ψn
Re λ
Re λ
0,03
b)
0,0222 0,0224 0,0226 0,0228
Γ
−0,04
0,0406
0,023
0,0006
d)
0,0005
0,0407
0,0408
Γ
0,0409
0,041
2,0 · 10−5
1,6 · 10−5
0,0004
1,2 · 10−5
δΓ
δΓ
0,0003
0,0002
8 · 10−6
0,0001
4 · 10−6
0
−0,0001
0
0
0,05
0,1
0,15
g
0,2
0,25
0
0,05
0,1
0,15
g
0,2
0,25
0,3
Abbildung 6.4.: Die Stabilitätseigenwerte in der Nähe der exzeptionellen Punkte. Der
Grundzustand ψg wird bereits vor dem exzeptionellen Punkt Γc1 instabil (a) und der
angeregte Zustand ψe wird vor dem exzeptionellen Γc2 instabil (b). Die Differenz δΓ
zwischen exzeptionellem Punkt und Stabilitätswechsel des Grundzustands (c) und des
angeregten Zustands (d) hängt von der Nichtlinearität g ab.
Die Tatsache, dass der Stabilitätswechsel des Grundzustands nicht bei Γc1 stattfindet ist überraschend. Die Stabilitätswechsel eines Zustands treten gewöhnlich an den
exzeptionellen Punkten auf. Die Beschreibung eines BECs in einem PT -symmetrischen
Doppelmuldenpotential durch ein nichthermitesches Bose-Hubbard-Modell zeigt das gewohnte Verhalten, dass der Stabilitätswechsel des Grundzustands exakt am exzeptionellen
Punkt stattfindet [26].
Um ein besseres Verständnis dieses ungewöhnlichen Stabilitätswechsels zu erlangen,
wird die Differenz aus Γc1 und Γs für verschiedene Nichtlinearitäten g berechnet. Die
Größe dieser Differenz in Abhängigkeit von g ist in Abb. 6.4c) dargestellt. Man erkennt,
dass die Differenz im linearen Fall g = 0 verschwindet. Im linearen Fall gibt es keinen
Stabilitätswechsel des Grundzustands, da die instabilen PT -gebrochenen Zustände nicht
gleichzeitig mit den PT -symmetrischen Zuständen existieren. Mit größeren Nichtlinea-
86
6.2. Dynamik
ritäten steigt die Differenz δΓ = Γc1 − Γs zunächst an und erreicht ein Maximum bei
etwa g ≈ 0,16. Bei g0 ≈ 0,239 fallen Stabilitätswechsel und exzeptioneller Punkt wieder
zusammen und die Differenz verschwindet. g0 entspricht der Nichtlinearität, ab der die
PT -gebrochenen Zustände bereits bei Γ = 0 existieren. Bei g0 liegt der exzeptionelle
Punkt sowie der Stabilitätswechsel bei Γ = 0. Für g > g0 gibt es den exzeptionellen Punkt
nicht länger, da der Ast der PT -gebrochenen Lösungen den Ast des Grundzustands nicht
schneidet.
Die Stärke der Nichtlinearität ist jedoch nicht der einzige Parameter, der einen Einfluss auf die Differenz δΓ hat. Auch das reelle Doppelmuldenpotential beeinflusst den
Stabilitätswechsel entscheidend. Bei einer geringeren Barrierenhöhe v0 = 2 tritt der
Stabilitätswechsel beispielsweise erst nach dem exzeptionellen Punkt auf. Die Differenz
δΓ ist in diesem Fall negativ.
Der angeregte Zustand ψe zeigt am exzeptionellen Punkt Γc2 ein ähnliches Verhalten wie der Grundzustand bei Γc1 . Die Stabilitätsanalyse des angeregten Zustand im
vorhergehenden Abschnitt 6.1.2 lieferte das Ergebnis, dass alle Stabilitätseigenwerte
unabhängig von Γ rein imaginär sind und der angeregte Zustand daher für alle Γ-Werte
stabil ist. Tatsächlich zeigt auch der angeregte Zustand bei genauerer Betrachtung einen
Stabilitätswechsel in der Nähe des exzeptionellen Punkts. Abbildung 6.4b) zeigt die
Stabilitätseigenwerte der am exzeptionellen Punkt beteiligten Zustände in der direkten
Umgebung von Γc2 . Man erkennt in dieser Darstellung, dass kurz vor dem exzeptionellen
Punkt bei Γc2 , an dem der angeregte Zustand verschwindet, ein Eigenwertpaar reell
wird und somit der angeregte Zustand instabil wird. Da direkt bei Γc2 die beteiligten
Zustände gleich werden, sind dort die Stabilitätseigenwerte identisch. Die beteiligten
Zustände haben daher bei Γc2 alle ein Stabilitätseigenwertpaar, dessen Realteil nicht
auf Null zurückgeht. Die Differenz δΓ zwischen dem exzeptionellem Punkt Γc2 und dem
Stabilitätswechsel des angeregten Zustand ist in Abb. 6.4d) dargestellt. Die Differenz
verschwindet bei g = 0 aus den gleichen Gründen wie beim Grundzustand. Mit größeren
Nichtlinearitäten steigt die Differenz an, wobei die Steigung der Kurve immer weiter
abflacht. Es gibt im Gegensatz zum Stabilitätswechsel des Grundzustands keine obere
Grenze für g bei der die Differenz wieder verschwindet. Dies ist auch nicht zu erwarten,
da der exzeptionelle Punkt bei Γc2 für beliebige Nichtlinearitäten existiert, während es
den exzeptionellen Punkt bei Γc1 nur im Bereich g < g0 gibt.
Die Ursache für die Differenzen δΓ zwischen exzeptionellen Punkten und Stabilitätswechseln wird in Abschnitt 6.3 genauer untersucht. Im folgenden Abschnitt 6.2 wird
zuerst gezeigt, wie sich dieser Versatz in der Dynamik bemerkbar macht.
6.2. Dynamik
Das zeitabhängige Variationsprinzip ermöglicht einen direkten Zugang zur Dynamik
von Zuständen, die durch den Ansatz gekoppelter Gaußfunktionen ausgedrückt werden.
Hierfür werden die Bewegungsgleichungen (2.37a)–(2.37d) in jedem Zeitschritt aufgestellt
87
6. Dynamik und Stabilität
und mit dem Runge-Kutta-Verfahren aufintegriert. Zunächst wird die Dynamik der
PT -symmetrischen Zustände untersucht, wobei für diese insbesondere das Verhalten in
der Nähe der exzeptionellen Punkte von Interesse ist. Anschließend wird auf die Dynamik
der PT -gebrochenen Zustände eingegangen.
6.2.1. Dynamik der PT -symmetrischen Zustände
Die lineare Stabilitätsanalyse der PT -symmetrischen Zustände liefert einen Stabilitätswechsel des Grundzustands in der Nähe des exzeptionellen Punkts Γc1 . Der angeregte
Zustand hingegen bleibt nahezu bis zum zweiten exzeptionellen Punkt Γc2 stabil, an dem
die PT -symmetrischen Zustände verschwinden. Die Stabilität der Zustände sollte sich
in der Dynamik widerspiegeln. In diesem Abschnitt werden die Aussagen der linearen
Stabilitätsanalyse durch die Dynamikrechnungen überprüft.
Da die Dynamik in einem nichthermiteschen Potential betrachtet wird, ist die Norm
der Wellenfunktion keine Erhaltungsgröße. Nach Gl. (3.8) lautet die zeitliche Änderung
des Normquadrats
Z
D
E
d
2
hψ(t)|ψ(t)i = i ψ(t)H † − H ψ(t) = 2Γ dx |ψ(x, t)|2 xe−ρx .
dt
R
(6.1)
2
Da xe−ρx eine ungerade Funktion ist, verschwindet das Integral wenn |ψ(x, t)|2 eine
gerade Funktion ist. Dies ist beispielsweise für alle PT -symmetrischen Wellenfunktionen
der Fall. Die Norm ist daher für Funktionen erhalten, die für alle Zeiten ein symmetrisches
Betragsquadrat besitzen. Betrachtet man jedoch die zeitliche Entwicklung der Norm
einer beliebigen Funktion, die zum Zeitpunkt t0 ein symmetrischem Betragsquadrat
besitzt, kann lediglich die Aussage getroffen werden, dass sich die Norm in einem ersten
infinitesimalen Zeitschritt nicht ändert. Die Symmetrie der Wellenfunktion wird sich
jedoch im Allgemeinen ändern und somit ist im weiteren zeitlichen Verlauf auch die
Norm nicht erhalten.
Aufgrund der Nichtlinearität in der GPE hat eine Änderung der Norm weitreichende
Konsequenzen. Die Nichtlinearität der GPE lässt sich schreiben als
g|ψ(x, t)|2 = g||ψ(x, t)||2
|ψ(x, t)|2
= g(t)|ψ̃(x, t)|2 ,
||ψ(x, t)||2
(6.2)
mit
||ψ(x, t)|| =
sZ
dx |ψ(x, t)|2 ,
(6.3a)
R
g(t) = g||ψ(x, t)||2 ,
ψ(x, t)
ψ̃(x, t) =
.
||ψ(x, t)||
88
(6.3b)
(6.3c)
6.2. Dynamik
a)
0,9996
1
0,9992
0,98
0,9988
0,96
0
10000
20000
30000
t
40000
Γ = 0,0224
Γ = 0,0226
Γ = 0,0228
Γ = 0,023
1,04
1,02
||ψ||2
1
||ψ||2
b)
Γ = 0,0222
Γ = 0,02221
Γ = 0,02222
Γ = 0,02223
1,0004
50000
0
5000
10000
15000
20000
25000
t
Abbildung 6.5.: Die Zeitentwicklung des Normquadrats für den Grundzustand bei einer
Nichtlinearität von g = 0,2. Durch numerische Fehler werden kleine Abweichungen des
stationären Zustands betrachtet. Der in der linearen Stabilitätsanalyse gefundene Stabilitätswechsel bei Γs ≈ 0,02221 wird durch die Dynamik bestätigt (a). Der exzeptionelle
Punkt Γc1 ≈ 0,02265, an dem die PT -gebrochenen Zustände abspalten, hat für die
Dynamik des Grundzustands keine Bedeutung (b). Auslenkungen des Grundzustands
zu einer Norm kleiner Eins führen zu wiederkehrenden Schwankungen, wohingegen
Auslenkungen zu einer Norm größer Eins eine Divergenz der Norm hervorrufen.
Diese Schreibweise ermöglicht die folgende Interpretation. Ein Zustand mit zeitlich
veränderlicher Norm (||ψ(x, t)||)1/2 hat nach der GPE dieselbe Dynamik wie ein normierter
Zustand ψ̃(x, t) mit der zeitabhängigen Nichtlinearität g(t). Wenn man die Dynamik
beschreibt und durch das Eigenwertspektrum erklären will, ist es daher nicht ausreichend
das Spektrum bei einer festen Nichtlinearität g zu betrachten. Durch die veränderliche
Norm, kann ein Zustand beliebig viele Eigenwertspektren durchwandern.
In Abb. 6.5 ist die zeitliche Entwicklung der Norm für den Grundzustand bei einer
Nichtlinearität von g = 0,2 für verschiedene Stärken des Gewinn-/Verlustparameters
Γ gezeigt. Als Startwellenfunktion für die Dynamik wurde der als stationäre Lösung
gefundene Grundzustand ohne zusätzliche Auslenkung der gaußschen Parameter verwendet. Bei einer stationären Lösung sind, abgesehen vom Phasenparameter, alle gaußschen
Parameter der Wellenfunktion zeitlich konstant. Der Grund, weshalb trotzdem eine
echte Dynamik des Zustands beobachtet wird, lässt sich allein auf numerische Fehler
zurückführen, welche sich in jedem Integrationsschritt kumulativ vergrößern. In diesem
Fall ist das jedoch ein gewünschter Effekt, um die Dynamik der stationären Lösung unter
kleinstmöglichen Auslenkungen zu untersuchen.
Für den Nichtlinearitätsparameter g = 0,2 wird durch die lineare Stabilitätsanalyse
ein Stabilitätswechsel bei Γs ≈ 0,02221 vorhergesagt. Der exzeptionelle Punkt, an dem
die PT -gebrochenen Zustände vom Grundzustand abspalten, liegt bei Γc1 ≈ 0,02265.
Abbildung 6.5a) zeigt, dass die Norm für Γ-Werte unterhalb von Γs konstant bei Eins
89
6. Dynamik und Stabilität
bleibt. Der Grundzustand ist in diesem Bereich erwartungsgemäß stabil. Eine Erhöhung
des Gewinn-/Verlustparameters auf Γs bestätigt den von der linearen Stabilitätsanalyse
vorhergesagten Stabilitätswechsel. Die Norm zeigt deutliche Schwankungen hin zu Werten
kleiner Eins. Die Abweichungen zu kleineren Normen kehren periodisch wieder, wobei
Frequenz und Amplitude der Abweichung mit größeren Γ ansteigen.
Die in Abb. 6.5a) behandelten Gewinn-/Verlustparameter sind alle kleiner als Γc1 . Die
Zeitentwicklung der Norm bis in den Bereich Γ > Γc1 ist in Abb. 6.5b) dargestellt. Es
ist zu erkennen, dass bei weiterer Erhöhung von Γ die periodischen Abweichungen zu
kleineren Normen weiter in Amplitude und Frequenz ansteigen. Für Γ > Γc1 existieren
PT -gebrochene Lösungen als „stationäre“ Zustände. Die Dynamik zeigt jedoch beim
Überschreiten von Γc1 kein auffälliges Verhalten. Dieser Punkt ist für die Dynamik des
Grundzustands ohne erkennbare Bedeutung.
Abbildung 6.5b) zeigt neben den Abweichungen zu geringeren Normen zwei divergierende Zeitentwicklungen. Der Grundzustand entwickelt sich in diesen Fällen zu dem
exponentiell ansteigenden PT -gebrochenen Zustand mit Im µ > 0. Dies kann auch passieren, wenn die PT -gebrochenen Zustände für das gewählte g und Γ noch gar nicht als
Eigenzustände existieren. Dieses Verhalten lässt sich durch eine zeitlich ansteigenden
Norm erklären. Wenn die numerischen Fehler der Integration dafür sorgen, dass die
Norm leicht über den Wert Eins ansteigt, entspricht das nach Gl. (6.2) einer Erhöhung
der Nichtlinearität. Eine stärkere Nichtlinearität sorgt schließlich dafür, dass die PT gebrochenen Zustände bereits bei geringeren Gewinn-/Verlustparametern Γ existieren.
Es ist des Weiteren keine spezielle Eigenschaft der Zeitentwicklungen bei Γ = 0,0224
und Γ = 0,023, dass ausgerechnet diese divergieren. Sämtliche Zeitentwicklungen im
Bereich Γ ≥ Γs divergieren früher oder später. Wenn die durch zufällige numerische
Ungenauigkeiten hervorgerufene Störung zu einer anfänglich leicht abfallenden Norm
führt, lassen sich die wiederkehrenden Schwankungen zu Normen kleiner Eins beobachten.
Wenn die Norm jedoch zu einem beliebigen Zeitpunkt den Wert Eins überschreitet,
divergiert diese. Es kann daher auch passieren, dass direkt zu Beginn der Zeitentwicklung
die Norm den Wert Eins überschreitet und sofort divergiert.
Eine weitere Herangehensweise die Dynamik und Stabilität des Grundzustands zu
untersuchen ist in Abb. 6.6 dargestellt. Hierfür wurden die Amplitudenparameter Re ϕ
ausgehend vom stationären Grundzustand leicht ausgelenkt und die zeitliche Entwicklung
der Wellenfunktion berechnet. Aufgetragen ist die Amplitude der rechten Gaußfunktion
(1)
(2)
e− Re ϕ gegen die Amplitude der linken Gaußfunktion e− Re ϕ . Für den normierten
Grundzustand betragen die Amplituden der Gaußfunktion je etwa 0,5. Die Rechnungen
wurden wieder bei der Nichtlinearität g = 0,2 durchgeführt, sodass der Stabilitätswechsel
bei Γs ≈ 0,02221 stattfindet.
Im Bereich Γ < Γs ist der Grundzustand stabil und kleine Auslenkungen der Amplitudenparameter führen zu einem periodischen Umlaufen des Fixpunkts. Die Umlaufrichtung
erfolgt stets gegen den Uhrzeigersinn. Neben den periodischen Bahnen um den Grundzustand ist bei größeren Amplituden die Struktur eines instabilen Fixpunkts zu erkennen.
Dieser Punkt liegt bei größeren Amplituden und daher hat die Wellenfunktion an dieser
90
6.2. Dynamik
a)
0,52
b)
Γ = 0,02
(2)
e− Re ϕ
e− Re ϕ
Γ = 0,021
0,51
(2)
0,51
0,52
0,5
0,5
0,49
0,49
0,48
0,48
0,48
0,49
0,5
0,51
0,52
0,48
0,49
− Re ϕ(1)
e
c)
0,52
d)
Γ = 0,022
0,52
0,5
(1)
e− Re ϕ
0,51
0,52
0,5
(1)
e− Re ϕ
0,51
0,52
Γ = 0,023
(2)
e− Re ϕ
(2)
e− Re ϕ
0,52
0,51
0,5
0,5
0,49
0,49
0,48
0,48
0,48
0,52
0,49
0,5
(1)
e− Re ϕ
0,51
0,52
0,48
f)
Γ = 0,024
0,52
0,49
Γ = 0,025
0,51
e− Re ϕ
(2)
(2)
0,51
e− Re ϕ
0,51
e
0,51
e)
0,5
− Re ϕ(1)
0,5
0,5
0,49
0,49
0,48
0,48
0,48
0,49
0,5
(1)
e− Re ϕ
0,51
0,52
0,48
0,49
k
Abbildung 6.6.: Die zeitliche Entwicklung der Amplituden e− Re ϕ der rechten und linken
Gaußfunktion bei leichter Auslenkung vom Grundzustand für eine Nichtlinearität
von g = 0,2. Der Gewinn-/Verlustparameter Γ wird von a) nach f) von 0,02 auf
0,025 in Schritten von 0,001 erhöht. In den Abbildungen a)–c) ist der Grundzustand
stabil. Zusätzlich zum normierten Grundzustand bei Amplituden von etwa 0,5 ist die
Struktur eines hyperbolischen Fixpunkts bei größeren Amplituden erkennbar, der dem
instabilen Grundzustand bei einer größeren effektiven Nichtlinearität entspricht, die
durch die erhöhte Norm hervorgerufen wird. In den Abbildungen d)–f) ist der normierte
Grundzustand instabil.
91
6. Dynamik und Stabilität
Stelle eine erhöhte Norm. Eine größere Norm entspricht nach Gl. (6.2) einer größeren
effektiven Nichtlinearität bei normierter Wellenfunktion. Bei größeren Nichtlinearitäten
erfolgt der Stabilitätswechsel bereits bei kleineren Werten von Γ. Tatsächlich ist an
dem instabilen Fixpunkt die effektive Nichtlinearität weit genug angestiegen, sodass der
zugehörige normierte Grundzustand bei dem aktuellen Γ instabil ist. Man sieht also
zwei Fixpunkte aus zwei unterschiedlichen Systemen. Einmal den stabilen Grundzustand
bei g = 0,2 und zusätzlich den instabilen Grundzustand bei einem größeren effektiven
Wert von g, hervorgerufen durch die angestiegene Norm. Man könnte nun vermuten,
dass der Stabilitätswechsel des Grundzustands genau bei der am instabilen Fixpunkt
vorherrschende Norm erfolgt und der Grundzustand für alle kleineren Normen noch stabil
ist. Tatsächlich zeigt sich, dass dies nicht der Fall ist. Die Norm am instabilen Fixpunkt
ist größer als die minimale Norm, ab welcher der Grundzustand instabil wird.
Für Γ → Γs bewegt sich der instabile Fixpunkt auf den stabilen Grundzustand zu.
Bei Γ = 0,022, also knapp unterhalb von Γs , fallen der Grundzustand und der instabile
Fixpunkt nahezu zusammen. Es ist zu erkennen, dass der Grundzustand hier nur noch
für sehr kleine Auslenkungen stabile Oszillationen zeigt. Bei Γ = Γs tritt der instabile
Fixpunkt an die Stelle des vormals stabilen Grundzustands und der Grundzustand ist
für Γ ≥ Γs instabil. Die instabilen Trajektorien sind auf der Seite geringerer Amplituden geschlossen. Dies entspricht den Abweichungen zu geringeren Normen, die bei
der zeitlichen Entwicklung der Norm beobachtet wurden. Da die Umlaufrichtung stets
gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, entwickeln sich alle instabilen Trajektorien zu einem
(1)
(2)
Zustand mit größerer Amplitude in der rechten Mulde (eRe ϕ > eRe ϕ ) mit Gewinnterm.
Dies entspricht dem PT -gebrochenen Zustand mit Im µ > 0, dessen Norm exponentiell
ansteigt. Die andere Seite der instabilen Trajektorien entspricht dem PT -gebrochenen
Zustand mit Im µ < 0, der eine größere Amplitude in der linken Mulde mit Verlustterm
aufweist.
Bislang wurde die Dynamik des Grundzustands untersucht. Die lineare Stabilitätsanalyse des angeregten Zustands in der Nähe des exzeptionellen Punkts bei Γc2 zeigt, dass
auch der angeregte Zustand einen Stabilitätswechsel aufweist. Der angeregte Zustand
wird bei Γ-Werten knapp unterhalb von Γc2 instabil. Dieser Stabilitätswechsel lässt
sich analog zum Stabilitätswechsel des Grundzustands ebenfalls anhand der zeitlichen
Entwicklung der Norm in Abb. 6.7 nachvollziehen. Die Vorgehensweise ist dabei dieselbe
wie für die Dynamikrechnungen des Grundzustands. Es werden kleine Auslenkungen vom
angeregten Zustand betrachtet, die durch numerische Fehler entstehen. Für die Rechnung
wurde der Nichtlinearitätsparameter g = 0,2 gewählt. Der exzeptionelle Punkt, an dem
die PT -symmetrischen Zustände verschwinden, liegt bei Γc2 ≈ 0,0408007. Die lineare
Stabilitätsanalyse sagt einen Stabilitätswechsel bei Γs2 ≈ 0,040782 voraus. Die Dynamikrechnungen bestätigen den Stabilitätswechsel. Bei Γ < Γs2 bleibt die Norm konstant
gleich Eins. Im Bereich Γ ≥ Γs2 sind wiederkehrende Schwankungen zu kleineren Normen
beobachtbar, die in Frequenz und Amplitude mit Γ zunehmen und instabiles Verhalten
charakterisieren. Sobald die Norm im instabilen Bereich den Wert Eins überschreitet,
divergiert diese im weiteren zeitlichen Verlauf.
92
6.2. Dynamik
Γ = 0,04078
Γ = 0,040785
Γ = 0,04079
Γ = 0,040795
Γ = 0,0408
1,04
1,02
||ψ||2
1
0,98
0,96
0,94
0,92
0
2000
4000
6000
8000
10000
t
Abbildung 6.7.: Die Zeitentwicklung des Normquadrats für den angeregten Zustand
bei einer Nichtlinearität von g = 0,2. Durch numerische Fehler werden kleine Abweichungen des stationären Zustands betrachtet. Die lineare Stabilitätsanalyse sagt einen
Stabilitätswechsel bei Γs2 ≈ 0,040782 voraus. Dies wird durch die Dynamikrechnungen
bestätigt.
6.2.2. Dynamik der PT -gebrochenen Zustände
Die PT -gebrochenen Zustände besitzen einen komplexen Energieeigenwert µ. Der Imaginärteil von µ sorgt für einen exponentiellen Verlauf der Norm. Für einen bei t = 0
normierten Zustand lautet das zeitabhängige Normquadrat
||ψ(x, t)||2 = e2 Im µt ||ψ(x, 0)|| = e2 Im µt .
(6.4)
Da die Norm des Zustands je nach Vorzeichen von Im µ exponentiell ansteigt oder abfällt,
handelt es sich zwar formal um einen stationären Zustand der zeitunabhängigen GPE,
aber bereits einen infinitesimalen Zeitschritt später hat sich der nichtlineare Anteil der
GPE verändert und der Zustand ist nicht länger Eigenzustand des Systems. Es ist daher
zu erwarten, dass der zeitliche Verlauf nur für kleine Zeiten durch Gl. (6.4) beschrieben
wird.
Die tatsächliche zeitliche Entwicklung der Norm ist für den PT -gebrochenen Zustand
mit positivem Imaginärteil des Energieeigenwerts ψp in Abb. 6.8a) und für den Zustand
mit negativem Imaginärteil ψn in Abb. 6.8b) dargestellt. Erwartungsgemäß ist die
Übereinstimmung mit dem exponentiellen Verlauf nach Gl. (6.4) nur für kleine Zeiten
bis etwa t ≈ 15 gegeben. Im weiteren Verlauf steigt die Norm von ψp steiler an als
der exponentielle Verlauf. Die Norm von ψn zeigt für kleine Zeiten den erwarteten
exponentiellen Abfall, erreicht dann aber ein Minimum und beginnt anzusteigen. Der
Zustand ψn hat bei t = 0 ein größeres Gewicht in der Mulde mit Verlustterm. Im
zeitlichen Verlauf verlagert sich das Gewicht immer weiter in die Mulde mit Gewinnterm.
93
6. Dynamik und Stabilität
a)
5
b)
||ψp (t)||2
e2 Im µt
4,5
||ψn (t)||2
e2 Im µt
||ψp (t − t1 )||2
3
4
2,5
||ψ||2
3,5
||ψ||2
3,5
3
2,5
2
1,5
1
2
0,5
1,5
1
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
20
t
40
60
80
100
t
Abbildung 6.8.: Die zeitliche Entwicklung des Normquadrats für den PT -gebrochenen
Zustand mit positivem Imaginärteil des Energieeigenwerts ψp (a) und mit negativem
Imaginärteil ψn (b) bei g = 0,2 und Γ = 0,03. Für kleine Zeiten bis t ≈ 15 hat die Norm
beider Zustände den vom Energieeigenwert vorgegebenen exponentiellen Verlauf. Die
Norm von ψn steigt nach dem anfänglichen Abfall wieder an und erreicht bei t1 ≈ 72
wieder den Wert Eins. Zu diesem Zeitpunkt ist der Zustand gleich dem exponentiell
ansteigenden Eigenzustand ψn (t1 ) = ψp (0) und die weitere zeitliche Entwicklung ist
folglich identisch zu diesem.
Zu dem Zeitpunkt t1 an dem der Zustand wieder Norm Eins erreicht, entspricht die
Wellenfunktion genau derjenigen des exponentiell ansteigenden Zustands ψp . Die weitere
zeitliche Entwicklung für t > t1 ist daher identisch und es gilt ψn (t) = ψp (t − t1 ).
6.3. Normunabhängige Nichtlinearität
In der linearen Stabilitätsanalyse wurden Stabilitätswechsel des Grundzustands und des
angeregten Zustands in der Nähe der exzeptionellen Punkte bei Γc1 bzw. Γc2 gefunden.
Durch die Dynamikrechnungen konnte dieses ungewöhnliche Verhalten bestätigt werden.
Es stellt sich dennoch die Frage, weshalb in dem vorliegenden System nicht das gewöhnliche Verhalten beobachtet wird, bei dem Stabilitätswechsel an exzeptionellen Punkten
erfolgen. Es ist hierfür hilfreich, einen Vergleich mit dem bereits erwähnten nichthermiteschen Bose-Hubbard-Modell zur Beschreibung eines BECs in einem PT -symmetrischen
Doppelmuldenpotential durchzuführen [26]. In diesem Modell findet der Stabilitätswechsel
des Grundzustands am exzeptionellen Punkt Γc1 statt und der angeregte Zustand bleibt
bis exakt Γc2 stabil.
Ein grundsätzlicher Unterschied zwischen dem Bose-Hubbard-Modell und dem vorliegenden System ist, dass im Bose-Hubbard-Modell keine höher angeregten Zustände
betrachtet werden. Die lineare Stabilitätsanalyse zeigt jedoch, dass die höher angeregten
Zustände keinen Einfluss auf die Stabilität von Grundzustand und erstem angeregtem
94
6.3. Normunabhängige Nichtlinearität
Zustand haben. Es ist daher unwahrscheinlich, dass dies der Grund für die ungewöhnlichen Stabilitätswechsel ist. Ein zweiter wesentlicher Unterschied ist die verwendete
Nichtlinearität des Bose-Hubbard-Modells, die im Gegensatz zur Nichtlinearität der GPE
normunabhängig ist. In diesem Abschnitt wird eine normunabhängige Nichtlinearität für
die GPE eingeführt und die Rechnungen zur linearen Stabilitätsanalyse wiederholt.
Die GPE mit normunabhängiger Nichtlinearität lautet
"
#
|ψ(x, t)|2
∂
−∆ + Vext (x) − g
ψ(x, t) = i ψ(x, t).
2
||ψ(x, t)||
∂t
(6.5)
Der Unterschied zur GPE besteht darin, dass der nichtlineare Term durch die Norm
dividiert wird. Für normierte Wellenfunktionen geht Gl. (6.5) in die GPE über. Die
Gleichung mit normunabhängiger Nichtlinearität besitzt daher dieselben stationären
Lösungen wie die GPE. Die Dynamik ändert sich jedoch entscheidend. Es kann sich
zwar aufgrund der Nichthermitizität des Potentials die Norm eines Zustands weiterhin
ändern, aber dies hat keinen Einfluss auf die Dynamik, da die Nichtlinearität nicht mehr
von der Norm abhängt. Dies hat zur Folge, dass sich ein Zustand mit beliebiger Norm
genauso verhält wie der normierte Zustand. Die Einführung der normunabhängigen
Nichtlinearität hat außerdem einen Einfluss auf die Stabilität der Zustände. Die lineare
Stabilität beachtet Störungen, die die Norm der Wellenfunktion ändern und somit über
die Nichtlinearität Einfluss auf das System selbst nehmen.
Die Rechnungen zur linearen Stabilitätsanalyse wurde für die normunabhängige Nichtlinearität wiederholt. Abbildung 6.9 zeigt die Realteile der Stabilitätseigenwerte in der
Nähe der exzeptionellen Punkte Γc1 und Γc2 . Es handelt sich hierbei um denselben
Ausschnitt, der in Abb. 6.4 für die gewöhnliche Nichtlinearität der GPE dargestellt ist.
Tatsächlich fällt der Stabilitätswechsel des Grundzustands in Abb. 6.9 durch die
normunabhängige Nichtlinearität mit dem exzeptionellen Punkt Γc1 zusammen. Im
Bereich Γ < Γc1 sind sämtliche Stabilitätseigenwerte rein imaginär und beschreiben
stabile Störungen des Grundzustands. Oberhalb des exzeptionellen Punkts Γ > Γc1
besitzt der Grundzustand zwei Stabilitätseigenwerte mit endlichem Realteil, die bis auf
ihr Vorzeichen identisch sind. Der Eigenwert mit positivem Realteil entspricht einer
exponentiell ansteigenden und somit instabilen Störung. Der Grundzustand ist bei
Verwendung der normunabhängigen Nichtlinearität also stabil, solange im System nur
die PT -symmetrischen Zustände existieren. Sobald die PT -gebrochenen Zustände vom
Grundzustand abspalten, wird dieser instabil.
Die Stabilitätseigenwerte der zwei analytisch fortgesetzten Zustände ψc1 und der zwei
PT -gebrochenen Zustände ψp , ψn haben ebenfalls eine veränderte Form. Die Realteile der
Stabilitätseigenwerte dieser Zustände geht nun bei Γc1 auf Null zurück. Dies folgt bereits
direkt aus der Beobachtung, dass der Grundzustand bis Γc1 stabil ist, da am exzeptionellen Punkt bei Γc1 die Zustände zusammenfallen und somit auch alle Stabilitätseigenwerte
gleich sein müssen. Für die zwei PT -gebrochenen Zustände ändert sich eine weitere
Eigenschaft. Der Zustand ψp mit Im µ > 0 besitzt ausschließlich Stabilitätseigenwerte
95
6. Dynamik und Stabilität
a)
0,015
0,01
Γc1
ψg
ψc1
b)
ψp
ψn
Γc2
0,04
ψg
ψe
ψc2
0,03
0,02
0,01
Re λ
Re λ
0,005
0
0
−0,01
−0,005
−0,02
−0,01
−0,015
0,022
−0,03
0,0222 0,0224 0,0226 0,0228
Γ
0,023
−0,04
0,0406
0,0407
0,0408
Γ
0,0409
0,041
Abbildung 6.9.: Die Realteile der Stabilitätseigenwerte in der Nähe der exzeptionellen
Punkte Γc1 (a) und Γc2 (b) bei Verwendung der normunabhängigen Nichtlinearität (6.5)
mit g = 0,2. Im Vergleich zu Abb. 6.4 wechselt die Stabilität des Grundzustands ψg
am Bifurkationspunkt Γc1 und der angeregte Zustand ψe bleibt stabil bis er bei Γc2
verschwindet. Des Weiteren haben die PT -gebrochenen Zustände ψp und ψn nun
Stabilitätseigenwerte mit ausschließlich negativem bzw. positivem Realteil.
mit einem negativen Realteil und der Zustand ψn mit Im µ < 0 besitzt dieselben Stabilitätseigenwerte mit positivem Vorzeichen. Die lineare Stabilität mit der gewöhnlichen
Nichtlinearität der GPE liefert für die Zustände ψp und ψn je einen Stabilitätseigenwert,
dessen Realteil sich von den anderen im Vorzeichen unterscheidet. Diese Eigenwerte
tauchen mit der normunabhängigen Nichtlinearität nicht auf. Der Zustand ψp ist eine
Senke, denn sämtliche Störungen des Zustands werden exponentiell gedämpft. Umgekehrt
ist der Zustand ψn eine Quelle, da alle Störungen exponentiell ansteigen.
Die Stabilität der Zustände in der Nähe des exzeptionellen Punkts bei Γc2 wird durch
die normunabhängige Nichtlinearität auf ähnliche Weise beeinflusst wie die Stabilität am
exzeptionellen Punkt Γc1 . Bei der Stabilitätsanalyse mit der gewöhnlichen Nichtlinearität
wird der exzeptionelle Punkt bei einem Γ-Wert instabil, der etwas kleiner ist als Γc2 . Bei
Verwendung der normunabhängigen Nichtlinearität zeigt der angeregte Zustand keinen
Stabilitätswechsel. Der angeregte Zustand ist stabil bis er bei Γc2 verschwindet. Des
Weiteren gehen durch die normunabhängige Nichtlinearität die Realteile der Stabilitätseigenwerte des Grundzustands ψg und der analytisch fortgesetzten Zustände ψc2 am
exzeptionellen Punkt auf Null zurück.
Alle diese Ergebnisse zeigen, dass der Versatz zwischen Stabilitätswechseln und exzeptionellen Punkten eine Eigenschaft der Form der Nichtlinearität der GPE ist. Dass er
sich in Abschnitt 6.2 exakt so in der Dynamik zeigte, wie es die lineare Stabilitätsanalyse
der GPE in Abschnitt 6.1 vorhersagte, zeigt die Bedeutung dieses Versatzes. Dadurch
erkennt man, wie wichtig die korrekte Form der Nichtlinearität ist. Eine normunabhängige
Nichtlinearität, wie sie in Gl. (6.5) eingeführt wurde, reicht nicht aus, um die Dynamik
96
6.4. Lineare Stabilität in drei Dimensionen
von BECs vollständig zu erfassen.
6.4. Lineare Stabilität in drei Dimensionen
Die stationären Zustände des dreidimensionalen Potentials wurden in Abschnitt 5.2
berechnet. Die lineare Stabilität dieser Zustände wird explizit untersucht, um zu überprüfen, ob in drei Dimensionen zusätzlichen Effekte auftreten. Genau wie bei der linearen
Stabilitätsanalyse in einer Dimension erfolgt die Untersuchung anhand der Eigenwerte
der Jacobimatrix. Es ist darauf zu achten, dass für den Ansatz in drei Dimensionen
aus Gl. (5.15) die Symmetrie des Systems in y- und z-Richtung ausgenutzt wurde, um
die Zahl der Parameter zu reduzieren. Dadurch konnte die Zahl der Parameter von im
Allgemeinen 20N auf 8N reduziert werden, wobei N die Zahl der Gaußfunktionen im
Ansatz bezeichnet. Um die Stabilität zu untersuchen, muss jedoch der volle Satz an
Parametern verwendet werden, da von Interesse ist wie sich die Zustände unter beliebigen Auslenkungen verhalten. Es werden daher beispielsweise auch Verschiebungen der
Gaußfunktionen in y- und z-Richtung betrachtet, welche bei der Suche nach stationären
Zuständen gleich Null gesetzt wurden.
Da der Ansatz für die Wellenfunktion in drei Dimensionen mehr Freiheiten bietet als
der Ansatz für eine Dimension, erhält man eine größere Zahl an Stabilitätseigenwerten.
Tatsächlich erhält man überhaupt nur eine endliche Zahl an Stabilitätseigenwerten,
da das TDVP den erreichbaren Funktionenraum einschränkt. Eine exakte lineare Stabilitätsanalyse mit der Bogoliubov-de Gennes-Gleichung würde eine unendliche Zahl
an Stabilitätseigenwerten liefern. Im Folgenden wird lediglich der Stabilitätseigenwert
mit dem betragsmäßig kleinsten nichtverschwindenden Imaginärteil betrachtet. Alle
Eigenwerte mit größerem Imaginärteil sind stets rein imaginär und beschreiben stabile
Auslenkungen der Zustände.
Stabilität des Grundzustands
Zunächst wird die Stabilität des Grundzustands untersucht. Wie bei den Rechnungen
im eindimensionalen Potential zeigt der Grundzustand einen Stabilitätswechsel. Der
Stabilitätswechsel erfolgt in der Nähe des exzeptionellen Punkts Γc1 an dem die PT gebrochenen Zustände vom Grundzustand abspalten. Dieses Verhalten wurde auch im
eindimensionalen Fall beobachtet und konnte auf die normabhängige Nichtlinearität der
GPE zurückgeführt werden. Ersetzt man die Nichtlinearität der GPE durch die in Abschnitt 6.3 beschriebene normunabhängige Nichtlinearität, erfolgt der Stabilitätswechsel
sowohl in einer als auch in drei Dimensionen direkt bei Γc1 . Die Stabilitätsanalyse des
Grundzustands in drei Dimensionen liefert also qualitativ dasselbe Verhalten wie die
Rechnungen in einer Dimension.
Wie bereits bei den Energieeigenwerten ist die Übereinstimmung jedoch nicht nur
qualitativer Natur. Abbildung 6.10a) zeigt den Stabilitätseigenwert mit kleinstem Imagi-
97
a)
0,08
Re λ
Im λ
g1D = 0,05
0,07
b)
0,06
|λ|
6. Dynamik und Stabilität
0,03
λ
0,06 g1D = 0,10
0,05 g = 0,15
1D
0,04 g1D = 0,20
0,03
ωy,z
ωy,z
0,05 ωy,z
ωy,z
0,04
= 0,1
= 0,2
=1
=2
0,02
0,02 g = 0,25
1D
0,01
0,01
0
0
0
0,01
0,02
Γ
0,03
0,04
0
0,01
0,02
Γ
0,03
0,04
Abbildung 6.10.: a) Die Stabilitätseigenwerte des Grundzustands in drei Dimensionen
(durchgezogen) für verschiedene Nichtlinearitäten bei einer Fallenfrequenz ωy,z = 2.
Die Stabilitätseigenwerte stimmten gut mit den Ergebnissen in einer Dimension (gestrichelt) überein, wobei die Übereinstimmung für größere Nichtlinearitäten schlechter
wird. b) Die Stabilitätseigenwerte bei g3D = 0,8π/ωy,z für verschiedene Fallenfrequenzen ωy,z . Für größere Fallenfrequenzen wird eine bessere Übereinstimmung mit dem
eindimensionalen Vergleichswert bei g1D = 0,2 (gestrichelt) erzielt.
närteil für unterschiedliche Stärken der Nichtlinearität bei einer festen Fallenfrequenz in
y- und z-Richtung ωy,z = 2. Für den Vergleich mit den eindimensionalen Lösungen muss
der Nichtlinearitätsparameter in drei Dimensionen gemäß Gl. (5.22) zu g3D = 4πg1D /ωy,z
gewählt werden. Es ist zu erkennen, dass die Stabilitätseigenwerte in einer und in drei
Dimensionen gut übereinstimmen. Der Unterschied wird mit stärkerer Nichtlinearität
größer, da dann die zwei zusätzlichen Raumrichtungen stärker gekoppelt sind. Dieses
Verhalten konnte bereits bei den Energieeigenwerten der stationären Zustände beobachtet
werden.
In drei Dimensionen steht mit der Fallenfrequenz ωy,z ein zusätzlicher Systemparameter
zur Verfügung. Der Einfluss von ωy,z auf die Stabilitätseigenwerte ist für g3D = 0,8π/ωy,z
(g1D = 0,2) in Abb. 6.10b) zu sehen. Wie bereits bei den Energieeigenwerten der stationären Zuständen führt eine größere Fallenfrequenz zu einer besseren Übereinstimmung
mit den Ergebnissen aus einer Dimension. Eine gute Übereinstimmung mit den eindimensionalen Rechnungen wird erzielt, wenn die Fallenfrequenz in y- und z-Richtung größer
ist als diejenige in x-Richtung, d. h. ωy,z > 1. Je kleiner ωy,z ist, desto früher wird der
Grundzustand instabil, da die PT -gebrochenen Zustände ebenfalls früher existieren. Bei
ωy,z = 0,1 ist bereits der Fall eingetreten, dass die PT -gebrochenen Zustände auch bei
Γ = 0 existieren und der Grundzustand ist für alle Γ-Werte instabil.
98
6.4. Lineare Stabilität in drei Dimensionen
0,14
Re λ
Im λ
0,12
0,1
λ
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
0,01
0,02
0,03
0,04
Γ
Abbildung 6.11.: Die Stabilitätseigenwerte mit kleinstem Imaginärteil für den angeregten
Zustand bei einer Fallenfrequenz von ωy,z = 3 und den in Abb. 6.10a) angegeben Nichtlinearitäten. Zum Vergleich sind die Ergebnisse aus einer Dimension gezeigt (gestrichelt).
Die Fallenfrequenz wurde ausreichend groß gewählt, sodass die Stabilitätseigenwerte
nahezu mit den eindimensionalen Vergleichswerten übereinstimmen.
Stabilität des angeregten Zustands
Für den angeregten Zustand liefert die lineare Stabilitätsanalyse in einer Dimension bis
kurz vor den exzeptionellen Punkt Γc2 , an dem der Zustand verschwindet, rein imaginäre
Stabilitätseigenwerte. Der Stabilitätswechsel in der Nähe von Γc2 konnte auf die Normabhängigkeit der Nichtlinearität in der GPE zurückgeführt werden. Abgesehen von dem
Verhalten in unmittelbarer Nähe von Γc2 ist der angeregte Zustand im eindimensionalen
Potential unabhängig von Γ stabil. Für ausreichend große Fallenfrequenzen ωy,z erhält
man auch in der dreidimensionalen Stabilitätsanalyse dieses Verhalten.
Abbildung 6.11 zeigt die Stabilitätseigenwerte mit dem kleinsten nichtverschwindenden
Imaginärteil bei verschiedenen Nichtlinearitäten und einer festen Fallenfrequenz ωy,z = 3.
Zum Vergleich sind die Rechnungen im eindimensionalen Potential aufgetragen, wobei
die Nichtlinearität in einer und drei Dimensionen die Relation g3D = 4πg1D /ωy,z erfüllen.
Wie bereits bei den vorherigen Vergleichen von eindimensionalen und dreidimensionalen
Rechnungen, nimmt die Übereinstimmung für stärkere Nichtlinearitäten ab. Je steiler die
Falle in y- und z-Richtung gewählt wird, desto besser beschreiben die Rechnungen in
einer Dimension den dreidimensionalen Fall. Bei der gewählten Frequenz von ωy,z = 3 ist
die Übereinstimmung bereits sehr gut.
Bei kleineren Fallenfrequenzen ωy,z zeigt die Stabilitätsanalyse des angeregten Zustands
in drei Dimensionen ein gänzlich neues Verhalten. Es entstehen Stabilitätswechsel, die in
Abhängigkeit des Nichtlinearitätsparameter g und der Fallenfrequenz ωy,z stark variieren.
Im Folgenden werden zwei solcher Strukturen beschrieben.
99
6. Dynamik und Stabilität
a)
0,006
ωy,z
ωy,z
ωy,z
ωy,z
ωy,z
0,005
0,006
0,004
0,003
0,002
0,001
0,001
0
0
0,01
0,02
Γ
0,03
0,04
= 2,013
= 2,017
= 2,02
= 2,021
= 2,022
0,003
0,002
0
ωy,z
ωy,z
ωy,z
ωy,z
ωy,z
0,005
Re λ
Re λ
0,004
b)
=2
= 2,0105
= 2,011
= 2,012
= 2,013
0
0,01
0,02
Γ
0,03
0,04
Abbildung 6.12.: Die Realteile der Stabilitätseigenwerte des angeregten Zustands bei
einer Nichtlinearität von g3D = 0,2π/ωy,z (g1D = 0,05). Bei ωy,z = 2 existiert zunächst
ein instabiler Bereich bei Γ > 0,04. Mit größeren Fallenfrequenzen taucht ein zusätzlicher instabiler Bereich bei Γ = 0 auf. Die beiden instabilen Bereiche vereinen sich und
wandern zum oberen Ende der Γ-Skala, an welcher der instabile Bereich schließlich
verschwindet. Für noch größere ωy,z bleibt der angeregte Zustands stabil.
Abbildung 6.12 zeigt den Realteil der Stabilitätseigenwerte des angeregten Zustands für
unterschiedliche Fallenfrequenzen ωy,z bei einer Nichtlinearität g3D = 0,2π/ωy,z (g1D =
0,05). Die abgebildeten Eigenwerte sind die einzigen mit einem endlichen Realteil, alle
weiteren Stabilitätseigenwerte sind rein imaginär. Sämtliche Eigenwerte tauchen sowohl
mit positivem als auch mit negativem Realteil auf. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind
nur Eigenwerte mit positivem Realteil dargestellt, die instabile Störungen beschreiben.
Wie in Abb. 6.12a) erkennbar, ist der angeregte Zustand bei ωy,z = 2 stabil bis zu
einem Gewinn-/Verlustterm von Γ ≈ 0,04. Es schließt sich ein Bereich an in dem der
Zustand instabil ist, jedoch wird der Realteil des Stabilitätseigenwerts bereits vor dem
exzeptionellen Punkt Γc2 , an dem der Zustand verschwindet, wieder Null. Bei etwas
größeren Fallenfrequenzen bildet sich von Γ = 0 kommend ein zusätzlicher Bereich, in
dem der angeregte Zustand instabil ist. Eine weitere Erhöhung der Fallenfrequenz führt zu
einer Verschiebung dieses instabilen Bereichs hin zu größeren Γ-Werten bei gleichzeitiger
Vergrößerung des instabilen Bereichs. Zusätzlich vergrößert sich der instabile Bereich
am oberen Ende der Γ-Skala. Die beiden instabilen Bereiche bewegen sich aufeinander
zu und vereinigen sich schließlich, wie Abb. 6.12b) zeigt. Bei weiterer Erhöhung der
Fallenfrequenz wandert der instabile Bereich zu größeren Γ und verschwindet schließlich
gänzlich. Für noch stärkere Fallenfrequenzen ωy,z & 2,025 ist der angeregte Zustand,
abgesehen von der direkten Umgebung des exzeptionellen Punkts Γc2 , überall stabil und
die lineare Stabilitätsanalyse in drei Dimensionen entspricht den Ergebnissen in einer
Dimension.
Die Instabilitäten des angeregten Zustands, die bei kleinen ωy,z auftreten, haben für
100
6.4. Lineare Stabilität in drei Dimensionen
a)
0,012
ωy,z
ωy,z
ωy,z
ωy,z
ωy,z
0,01
0,016
ωy,z
ωy,z
ωy,z
ωy,z
ωy,z
0,014
0,012
0,01
0,006
Re λ
Re λ
0,008
b)
= 1,47
= 1,471
= 1,472
= 1,474
= 1,476
0,004
= 1,476
= 1,482
= 1,488
= 1,5
= 1,7
0,008
0,006
0,004
0,002
0,002
0
0
0
c)
0,014
0,01
ωy,z
ωy,z
ωy,z
ωy,z
ωy,z
0,012
0,01
0,02
Γ
0,03
0
0,04
d)
= 1,7
=2
= 2,01
= 2,012
= 2,014
ωy,z
ωy,z
ωy,z
ωy,z
ωy,z
0,012
0,01
0,02
Γ
0,03
0,04
0,03
0,04
= 2,014
= 2,018
= 2,022
= 2,025
= 2,03
0,008
Re λ
0,008
Re λ
0,014
0,01
0,006
0,006
0,004
0,004
0,002
0,002
0
0
0
0,01
0,02
Γ
0,03
0,04
0
0,01
0,02
Γ
Abbildung 6.13.: Die Realteile der Stabilitätseigenwerte des angeregten Zustands bei
einer Nichtlinearität von g3D = 0,8π/ωy,z (g1D = 0,2). Mit größeren Fallenfrequenzen
ωy,z dehnt sich der instabile Bereich zunächst zu kleineren Γ aus (a). Anschließend
wird der instabile Bereich wieder kleiner und verschiebt sich zu großen Γ (b). Weitere
Erhöhung von ωy,z führt zu einer erneuten Ausdehnung (c) und Verkleinerung (d) des
instabilen Bereichs. Für größere ωy,z ist der angeregte Zustand für alle Γ stabil.
verschiedene Werte des Nichtlinearitätsparameters g eine stark unterschiedliche Struktur.
In Abb. 6.13 sind die Realteile der Stabilitätseigenwerte für eine stärkere Nichtlinearität
g3D = 0,8π/ωy,z (g1D = 0,2) dargestellt. Sämtliche Eigenwerte existieren auch mit
negativem Realteil. In Abb. 6.13a) ensteht zunächst bei Γ ≈ 0,04 ein instabiler Bereich,
der sich mit zunehmender Fallenfrequenz ωy,z zu kleineren Γ-Werten ausdehnt, bis der
angeregte Zustand schließlich für alle Γ instabil ist. Eine weitere Erhöhung von ωy,z führt
dazu, dass sich der instabile Bereich wieder verkleinert und lediglich am oberen Ende der
Γ-Skala Instabilitäten auftreten (Abb. 6.13b). Dieses Verhalten wiederholt sich, wenn
ωy,z weiter erhöht wird. Zunächst wird der instabile Bereich größer (Abb. 6.13c) bis
der angeregte Zustand für alle Γ instabil ist. Anschließend verkleinert sich der instabile
Bereich und verschwindet letztendlich für noch größere Fallenfrequenzen (Abb. 6.13d).
101
6. Dynamik und Stabilität
Eine weitere Erhöhung von ωy,z führt zu keinen neuen Stabilitätswechseln und somit ist
das in einer Dimension beobachtete Verhalten wiederhergestellt.
Die lineare Stabilitätsanalyse in drei Dimensionen zeigt für kleine Fallenfrequenzen
ωy,z ein deutlich abweichendes Verhalten von den eindimensionalen Rechnungen. Es
entstehen Instabilitäten, deren Struktur von der Stärke der Kontaktwechselwirkung g
abhängt und empfindlich auf kleine Änderungen von ωy,z reagiert. Abhängig von den
Parametern kann der angeregte Zustand für alle Γ-Werte stabil oder instabil sein. Da die
Instabilitäten im eindimensionalen Potential nicht auftauchen, handelt es sich hierbei
um Störungen, die mit Anregungen in y- und z-Richtung zusammenhängen, wie auch die
entsprechenden Komponenten der Eigenvektoren nahelegen. Die Stabilitätseigenwerte,
die instabiles Verhaltes des angeregten Zustands beschreiben, sind des Weiteren keine rein
reellen Eigenwerte, sondern besitzen zusätzlich einen nichtverschwindenden Imaginärteil.
Dies steht im Gegensatz zum Stabilitätswechsel des Grundzustands, an dem ein rein
imaginärer Eigenwert zu einem rein reellen Eigenwert wird. Für ein besseres Verständnis
der Stabilität des angeregten Zustands in drei Dimensionen ist eine Untersuchung der
höher angeregten stationären Zustände im System nötig. Die wichtige Erkenntnis der
Stabilitätsanalyse ist jedoch, dass durch ausreichend große Fallenfrequenzen in y- und
z-Richtung, das aus einer Dimension bekannte Verhalten wiederhergestellt wird und der
angeregte Zustand, abgesehen von der direkten Umgebung des exzeptionellen Punkts Γc2 ,
stabil ist. Es wurde gezeigt, dass dies bei den betrachteten Nichtlinearitäten für ωy,z ≥ 3
der Fall ist.
102
7. Konvergenz der Lösungen
In den vorhergehenden Kapiteln wurden sämtliche Rechnungen mit einem Ansatz aus
zwei Gaußfunktionen durchgeführt. Der Ansatz aus zwei Gaußfunktionen ist keine exakte
Lösung für die Wellenfunktion eines BECs in dem PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential. Die Genauigkeit der Lösungen kann verbessert werden, indem die Zahl der
Gaußfunktionen N im Ansatz erhöht wird. Tatsächlich wurde gezeigt, dass bereits sehr
wenige gekoppelte Gaußfunktionen ausreichen, um an numerisch exakte Verfahren heranzureichen oder sie in mehreren Dimensionen sogar zu übertreffen [40–42, 49]. In diesem
Abschnitt wird der Ansatz auf N = 4 Gaußfunktionen erweitert, wobei je zwei Gaußfunktionen ihr Maximum in der linken und der rechten Mulde haben. Eine weitere Erhöhung
auf N = 6 konnte nicht erfolgreich durchgeführt werden, da in dieser Konfiguration die
Nullstellensuche zum Berechnen der stationären Zustände versagte.
Es ist prinzipiell auch ein Ansatz aus N = 3 Gaußfunktionen denkbar. Um PT symmetrische Wellenfunktionen darzustellen, müssten zwei Wellenpakete symmetrisch
in je einer Mulde lokalisiert sein und die dritte Gaußfunktion bei x = 0. Bei PT gebrochenen Lösungen darf sich das Maximum der dritten Gaußfunktion in eine der
Mulden verschieben. Der Schritt auf drei Gaußfunktionen wurde jedoch übersprungen
und direkt Rechnungen mit vier Gaußfunktionen durchgeführt.
7.1. Konvergenz in einer Dimension
Die eindimensionalen Lösungen des TDVP werden mit numerisch exakten Lösungen des
PT -symmetrischen Doppelmuldenpotentials aus [47] verglichen. Die numerisch exakten
Lösungen lassen sich in einer Dimension mit einem angemessenem Aufwand berechnen.
Zur Berechnung der numerisch exakten stationären Zustände wird die GPE von x =
0 ausgehend in positive und negative Richtung mit dem Runge-Kutta-Algorithmus
aufintegriert. Hierbei werden die Startwerte |ψ(0)| ∈ R, ψ 0 (0) ∈ C und µ ∈ C so gewählt,
dass die Wellenfunktion die Bedingungen ψ(∞) → 0, ψ(−∞) → 0 und ||ψ|| = 1 erfüllt.
Die numerisch exakten Vergleichswerte zu der linearen Stabilitätsanalyse werden auf
analoge Weise aus den Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen berechnet.
Um die Genauigkeit der Lösungen zu beurteilen, werden als erstes Real- und Imaginärteil des chemischen Potentials µ für verschiedene Nichtlinearitäten g anhand der
Abbildungen 7.1a) und 7.1b) betrachtet. Durch die Erhöhung der Anzahl der Gaußfunktionen von N = 2 auf N = 4 wird der Realteil des chemischen Potentials leicht nach
unten korrigiert. Die Korrektur ist für den angeregten Zustand und die PT -gebrochenen
103
7. Konvergenz der Lösungen
a)
2,52
b)
N =2
N =4
exakt
2,5
2,48
Im µ
Re µ
0,02
2,44
2,42
0
−0,02
2,4
2,38
−0,04
2,36
−0,06
2,34
0
0,01
0,02
0,03
Γ
0,04
0,05
0,08
0,06
0,06
0
d)
N =2
N =4
exakt
0,07
0,01
0,02
0,03
Γ
0,04
0,05
0,06
0,14
N =2
N =4
exakt
0,12
0,1
0,05
0,08
0,04
λ
λ
N =2
N =4
exakt
0,04
2,46
c)
0,06
0,06
0,03
0,04
0,02
0,02
0,01
0
0
0
0,01
0,02
Γ
0,03
0,04
0
0,01
0,02
Γ
0,03
0,04
Abbildung 7.1.: Real- (a) und Imaginärteil (b) des chemischen Potentials für die Nichtlinearitäten g = 0 bis 0,3 (vgl. Abb. 5.4) und Stabilitätseigenwerte des Grundzustands
(c) und des angeregten Zustands (d) für die Nichtlinearitäten g = 0,05 bis 0,25 (vgl.
Abb. 6.2). Die Ergebnisse mit N = 2 Gaußfunktionen liefern bereits eine sehr gute
Näherung und die Ergebnisse mit N = 4 Gaußfunktionen sind von den numerisch
exakten Lösungen aus [47] nicht zu unterscheiden.
größer als für den Grundzustand. Sowohl der exzeptionelle Punkt bei Γc2 , an dem der
Grundzustand und der angeregte Zustand zusammenlaufen, als auch der exzeptionelle
Punkt bei Γc1 liegt für die Rechnungen mit vier Gaußfunktionen bei etwas kleineren
Werten von Γ. Die PT -gebrochenen Lösungen existieren also bereits bei etwas kleineren
Γ-Werten und die Lösungen mit reellen Energieeigenwerten verschwinden bereits früher
als die Rechnungen mit zwei Gaußfunktionen zeigen. Ein Einfluss des Nichtlinearitätsparameters g auf die Unterschiede zwischen N = 2 und N = 4 kann im Realteil von µ
für die PT -symmetrischen Lösungen nicht festgestellt werden. Auf den PT -gebrochenen
Ästen wird Re µ jedoch für größere Nichtlinearitäten stärker nach unten korrigiert.
Der Imaginärteil des chemischen Potentials in Abb. 7.1b) zeigt ebenfalls den bereits erwähnten Effekt, dass durch die Erhöhung auf N = 4 Gaußfunktionen die PT -gebrochenen
104
7.1. Konvergenz in einer Dimension
Zustände mit komplexen Eigenwerten bereits bei kleineren Werten von Γ existieren. Im
Fall g = 0,3 liegt Im µ für zwei und vier Gaußfunktionen praktisch aufeinander.
Der Vergleich mit den numerisch exakten Werten zeigt, dass sowohl im Realteil als auch
im Imaginärteil des chemischen Potentials in der gewählten Darstellung kein Unterschied
zwischen den Rechnungen mit vier Gaußfunktionen und den numerisch exakten Lösungen
erkennbar ist. Wichtiger als die quantitativen Unterschiede zwischen den Rechnungen
mit zwei und vier Gaußfunktionen ist jedoch, dass das qualitative Verhalten des Systems
bereits mit N = 2 vollständig wiedergegeben wird. Sowohl die Verschiebung von Γc2
mit höheren Nichtlinearitäten zu leicht geringeren Γ-Werten, als auch der Effekt, dass
die gebrochenen Zustände durch den Einfluss der Nichtlinearität bei Γc1 < Γc2 vom
Grundzustand abspalten und bei genügend großer Nichtlinearität bereits bei Γ = 0
existieren, konnten im Ansatz mit zwei Gaußfunktionen beobachtet werden.
Für den nächsten Vergleich zwischen den Rechnungen mit zwei und vier Gaußfunktionen
werden die Eigenwerte der Jacobimatrix in der linearen Stabilitätsanalyse betrachtet.
Die Stabilitätseigenwerte mit kleinstem Imaginärteil sind für den Grundzustand in
Abb. 7.1c) und für den angeregten Zustand in Abb. 7.1d) dargestellt. Auch hier liefern
die Rechnungen mit vier Gaußfunktionen nur kleine Korrekturen zum Fall N = 2. Der
Stabilitätswechsel des Grundzustands erfolgt bereits bei kleineren Werten von Γ. Der
Grund hierfür ist, dass der Stabilitätswechsel in der Nähe des exzeptionellen Punkts
Γc1 erfolgt und dieser Punkt für N = 4 bei kleineren Γ-Werten liegt. Wie bereits beim
chemischen Potential sind die Ergebnisse mit vier Gaußfunktionen und die numerisch
exakten Ergebnisse praktisch identisch. Der Ansatz mit zwei Gaußfunktionen beinhaltet
bereits sämtliche Stabilitätseigenschaften des Systems und liefert darüber hinaus eine
sehr gute quantitative Näherung.
Der Grund für die gute Übereinstimmung der numerisch exakten Lösungen mit den
Ergebnissen des TDVP ist die Form der Wellenfunktionen, die sich gut durch Gaußfunktionen darstellen lassen. Die Abbildungen 7.2a) und 7.2b) zeigen die Wellenfunktionen des
PT -symmetrischen Grundzustands und angeregten Zustands, für zwei und vier Gaußfunktionen, verglichen mit den numerisch exakten Wellenfunktionen. In den Abbildungen 7.2c)
und 7.2d) ist der Vergleich für die beiden PT -gebrochenen Wellenfunktionen zu sehen. Die
numerisch exakten Eigenzustände des PT -symmetrischen Doppelmuldenpotentials lassen
sich bereits durch zwei Gaußfunktionen sehr gut darstellen, wobei die Übereinstimmung
für die PT -symmetrischen Wellenfunktionen größer ist, als für die PT -gebrochenen.
Die Übereinstimmung lässt sich durch den Ansatz mit vier Gaußfunktionen nochmals
sichtbar verbessern. Die Wellenfunktion mit vier gekoppelten Gaußfunktionen ist von
den numerisch exakten Wellenfunktionen nicht zu unterscheiden.
Die ausgezeichnete Übereinstimmung mit vier Gaußfunktionen liefert eine Erklärung,
weshalb mit sechs gekoppelten Gaußfunktionen die Nullstellensuche zum Auffinden der
stationären Lösungen nicht erfolgreich war. Da der Ansatz aus vier Gaußfunktionen bereits
eine hervorragende Übereinstimmung zeigt, liefern zusätzliche Gaußfunktionen keine
Verbesserung mehr, sondern erzeugen Redundanzen, die eine erfolgreiche Nullstellensuche
verhindern.
105
7. Konvergenz der Lösungen
a)
0,5
b)
0,4
0,3
0,1
ψe
ψg
0,2
0
−0,1
N =2
N =4
exakt
−0,2
−0,3
−6
c)
−4
−2
0
x
2
4
6
0,6
d)
N =2
N =4
exakt
0,5
0,4
−4
−2
0
x
2
4
6
0
x
2
4
6
0,6
N =2
N =4
exakt
0,4
ψp
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0
−0,1
−0,1
−0,2
−6
N =2
N =4
exakt
0,5
0,3
ψn
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
−0,1
−0,2
−0,3
−0,4
−0,5
−6
−4
−2
0
x
2
4
6
−0,2
−6
−4
−2
Abbildung 7.2.: Real- und Imaginärteile des Grundzustands (a), des angeregten Zustands
(b), des PT -gebrochenen Zustand mit negativem (c) und positivem (d) Imaginärteil
von µ bei g = 0,2 und Γ = 0,03 (vgl. Abb. 5.6). Die numerisch exakten Eigenzustände
aus [47] lassen sich bereits sehr gut durch N = 2 Gaußfunktionen darstellen. Bei N = 4
Gaußfunktionen ist kein Unterschied zu den exakten Wellenfunktionen erkennbar.
Die Ergebnisse in diesem Abschnitt zeigen, dass das vorliegende System eines BECs
in einem PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential bereits durch den Ansatz aus zwei
Gaußfunktionen sehr gut beschrieben wird. Mit zwei Gaußfunktionen wird das vollständige
qualitative Verhalten des Systems korrekt wiedergegeben. Die Rechnungen mit vier
Gaußfunktionen und die numerisch exakten Lösungen zeigen keine zusätzlichen Effekte.
Der Ansatz mit zwei gekoppelten Gaußfunktionen liefert jedoch nicht nur ein qualitativ
korrektes Verhalten des Systems, sondern auch eine sehr gute quantitative Näherung
der untersuchten Größen. Dies rechtfertigt nachträglich, dass sämtliche Ergebnisse in
dieser Arbeit mit dem Ansatz aus zwei Gaußfunktionen erzeugt wurden. Die quantitative
Übereinstimmung kann durch eine Erweiterung des Ansatzes auf vier Gaußfunktionen
verbessert werden, sodass die numerisch exakten Rechnungen und die Ergebnisse des
TDVP praktisch übereinstimmen.
106
7.2. Konvergenz in drei Dimensionen
a)
5,52
b)
5,5
N =2
N =4
N1D = 2
N1D = 4
0,04
5,48
5,46
0,02
5,44
Im µ
Re µ
0,06
5,42
0
−0,02
5,4
5,38
−0,04
5,36
−0,06
5,34
0
0,01
0,02
0,03
Γ
0,04
0,05
0,06
0
0,01
0,02
0,03
Γ
0,04
0,05
0,06
Abbildung 7.3.: Real- (a) und Imaginärteil (b) des chemischen Potentials im dreidimensionalen Fall für die Nichtlinearitäten g1D = 0 bis 0,3. Zum Vergleich sind die
eindimensionalen Lösungen für zwei und vier Gaußfunktionen gestrichelt eingezeichnet.
Es zeigt sich, dass die zwei zusätzlichen Gaußfunktionen in drei Dimensionen zu einer
ähnlichen Korrektur führen wie in einer Dimension.
7.2. Konvergenz in drei Dimensionen
Für die Rechnungen im dreidimensionalen Potential wurde ebenfalls eine Erhöhung der
Anzahl gekoppelter Gaußfunktionen von N = 2 auf 4 durchgeführt. Im dreidimensionalen
Fall stehen jedoch keine numerisch exakten Vergleichswerte zur Verfügung. Es werden
lediglich die Energieeigenwerte betrachtet, auf einen Vergleich der Stabilitätseigenwerte
und Wellenfunktionen wird verzichtet.
Abbildung 7.3 zeigt das chemische Potential der stationären Lösungen im dreidimensionalen Potential für die Rechnungen mit N = 2 und mit N = 4 gekoppelten
Gaußfunktionen. Die Fallenfrequenz wurde zu ωy,z = 3 gewählt. Zum Vergleich sind die
Energieeigenwerte des eindimensionalen Potentials für zwei und vier Gaußfunktionen
eingezeichnet. Wie in Abschnitt 5.2.2 beschrieben wird der Energieeigenwert in einer Dimension für den Vergleich um ∆µ = ωy,z nach oben verschoben und die Nichtlinearitäten
erfüllen die Beziehung g3D = 4πg1D /ωy,z .
Die Erweiterung von zwei auf vier Gaußfunktionen hat in drei Dimensionen analoge
Auswirkungen wie in einer Dimension. Der Realteil des chemischen Potentials wird leicht
nach unten korrigiert, wobei die Korrektur für die PT -gebrochenen Zustände größer
ist als für die PT -symmetrischen Zustände. Der Vergleich mit den eindimensionalen
Ergebnissen zeigt, dass die Korrektur durch die zwei zusätzlichen Gaußfunktionen für das
dreidimensionale Potential etwa gleich groß ist wie im eindimensionalen Fall. Die Lösungen
in einer Dimension wurden mit numerisch exakten Rechnungen verglichen und es konnte
gezeigt werden, dass die Ergebnisse für N = 4 praktisch mit den numerisch exakten
Ergebnissen übereinstimmen. Die Tatsache, dass die Erhöhung auf vier Gaußfunktionen
107
7. Konvergenz der Lösungen
in drei Dimensionen eine vergleichbare Korrektur liefert wie in einer Dimension und die
gute Übereinstimmung der eindimensionalen und dreidimensionalen Lösungen legen nahe,
dass die Ergebnisse des TDVP in drei Dimensionen eine ähnlich gute Näherung darstellt
wie in einer Dimension.
108
8. Zusammenfassung und Ausblick
In dieser Arbeit wurde ein BEC in einem PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential
untersucht und gezeigt, dass es sich hierbei um einen vielversprechenden Kandidaten für
die experimentelle Realisierung eines echten quantenmechanischen PT -symmetrischen
Systems handelt. Es wurde ein BEC mit kurzreichweitiger Wechselwirkung untersucht,
das in der Mean-field-Näherung durch die nichtlineare GPE beschrieben wird. Die GPE
wurde numerisch mit dem TDVP und einem Ansatz aus gekoppelten Gaußfunktionen
gelöst.
PT -Symmetrie wurde bislang hauptsächlich in linearen Quantensystemen untersucht,
sodass nicht klar war inwieweit sich die bekannten Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme auf nichtlineare Systeme wie die GPE übertragen lassen. Es konnte gezeigt werden,
dass, wenn der nichtlineare Anteil f (ψ) des Hamiltonoperators die zwei Bedingungen
PT f (ψ) = f (PT ψ),
f (ψ) = f (eiα ), α ∈ R,
erfüllt, die bekannten Eigenschaften im Wesentlichen weiterhin gelten. Insbesondere gilt
im nichtentarteten Fall weiterhin, dass Energieeigenwerte genau dann reell sind, wenn
der zugehörige Eigenzustand PT -symmetrisch ist. Die zwei Bedingungen garantieren
weiterhin, dass für PT -symmetrische Zustände der nichtlineare Hamiltonoperator selbst
PT -symmetrisch ist.
Die Nichtlinearität der GPE erfüllt die geforderten Eigenschaften und tatsächlich konnte für einen Gewinn-/Verlustterm unterhalb eines kritischen Werts PT -symmetrische
stationäre Zustände mit rein reellen Energieeigenwerten gefunden werden. Es wurden
der PT -symmetrische Grundzustand und der erste angeregte Zustand untersucht, die
bei dem kritischen Gewinn-/Verlustterm in einem exzeptionellen Punkt zusammenlaufen
und verschwinden. Im linearen Grenzfall ohne Kontaktwechselwirkung entstehen an
dem exzeptionellen Punkt zwei PT -gebrochene Zustände mit komplexen Energieeigenwerten. Mit einer endlichen Nichtlinearität existieren die PT -gebrochenen Zustände
bereits vor dem exzeptionellen Punkt bei einem kleineren Gewinn-/Verlustparameter. Für
attraktive Kontaktwechselwirkung spalten die PT -gebrochenen Zustände vom Grundzustand ab, wohingegen sie für repulsive Kontaktwechselwirkung vom angeregten Zustand
abspalten. Da der Unterschied zwischen attraktiver und repulsiver Wechselwirkung
im Wesentlichen darin besteht, dass Grundzustand und angeregter Zustand die Rollen tauschen, wird im Weiteren nur der Fall attraktiver Wechselwirkung beschrieben.
Durch den Einfluss der Nichtlinearität entsteht ein Parameterbereich in dem sowohl die
109
8. Zusammenfassung und Ausblick
PT -symmetrischen als auch die PT -gebrochenen Zustände gleichzeitig existieren. Mit
stärkeren Nichtlinearitäten spalten die PT -gebrochenen Zustände bei immer kleineren
Werten des Gewinn-/Verlustparameters vom Grundzustand ab. Bei ausreichend starker
Nichtlinearität existieren die PT -gebrochenen Zustände sogar ohne komplexen Anteil im
Potential.
Durch die Verschiebung der PT -symmetrischen Zustände aufgrund der Nichtlinearität,
enstehen abhängig vom Gewinn-/Verlustparameter Bereiche, in denen es eine unterschiedliche Zahl von stationären Zuständen gibt. Dies ist eine direkte Folge der Nichtanalytizität
der GPE. Eine analytische Fortsetzung der PT -symmetrischen Zustände, welche die
Symmetrie der Zustände ausnutzt, führt zu einer konstanten Zahl an Lösungen, jedoch sind in dieser Fortsetzung die PT -gebrochenen Lösungen nicht enthalten. Eine
vollständige analytische Fortsetzung, in der die Zahl der Lösungen konstant ist und
sowohl die PT -symmetrischen als auch die PT -gebrochenen Lösungen enthalten sind,
wurde durchgeführt, indem die komplexe Wellenfunktion zu einer bikomplexen Größe
erweitert wurde. In der vollständigen analytischen Fortsetzung existieren unabhängig
vom Gewinn-/Verlustparameter stets zwei PT -symmetrische und zwei PT -gebrochene
Lösungen.
Weiterhin ermöglicht die vollständige analytische Fortsetzung eine nähere Untersuchung
und Klassifizierung der zwei exzeptionellen Punkte des Systems. Bei dem exzeptionellen
Punkt, an dem der Grundzustand und der angeregte Zustand zusammenlaufen und
verschwinden, handelt es sich um einen EP2. Der exzeptionelle Punkt, am dem die
PT -gebrochenen Zustände vom Grundzustand abspalten, ist ein EP3. Umkreist man
den exzeptionellen Punkt mit einem bikomplexen Nichtlinearitätsparameter zeigt er
EP3,2-Verhalten, d. h. zwei Eigenzustände vertauschen nach einem Umlauf und der dritte
Eigenzustand bleibt unverändert. Durch Umkreisen mit einem Asymmetrieparameter
konnte ein EP3,3-Verhalten nachgewiesen werden, bei dem alle drei Eigenzustände
zyklisch vertauschen.
Für eine experimentelle Realisierung ist es notwendig, dass die stationären Zustände
stabil gegenüber kleinen Störungen sind. Die lineare Stabilitätsanalyse zeigt, dass der
angeregte Zustand nahezu bis zum exzeptionellem Punkt stabil bleibt, an dem der Zustand
verschwindet. Der Grundzustand hingegen wird in der Nähe des exzeptionellen Punkts,
an dem die PT -gebrochenen Zustände von ihm abspalten, instabil. Das bedeutet, der
Grundzustand ist bereits bei kleineren oder sogar ohne Gewinn-/Verlustbeiträge instabil.
Die Symmetriebrechung des angeregten Zustands kann in einem Experiment beobachtet
werden, indem der Gewinn-/Verlustparameter bis zum exzeptionellen Punkt erhöht
wird, an dem die PT -symmetrischen Zustände zusammenlaufen. Die PT -Symmetrie des
Grundzustands kann hingegen sowohl durch eine Erhöhung des Gewinn-/Verlustbeitrags
als auch durch eine stärkere Nichtlinearität gebrochen werden.
Das ungewöhnliche Verhalten, dass Stabilitätswechsel nicht direkt an den exzeptionellen
Punkten, sondern nur in deren Nähe, auftreten, konnte durch Dynamikrechnungen
bestätigt werden. Bei dem Versatz zwischen Stabilitätswechsel und exzeptionellem Punkt
handelt es sich um einen echten Effekt des betrachteten Systems. Die Untersuchungen
110
zur Dynamik verdeutlichen weiterhin eine Schwierigkeit des nichthermiteschen und
nichtlinearen Systems. Durch die Nichthermitizität kann sich die Norm eines Zustands
zeitlich ändern, was sich als eine zeitabhängige effektive Nichtlinearität interpretieren
lässt. Diese Eigenschaft konnte für die ungewöhnlichen Stabilitätswechsel verantwortlich
gemacht werden, wie durch die Einführung einer veränderten Nichtlinearität gezeigt wurde,
die zwar dieselben stationären Zustände liefert wie die GPE, aber normunabhängig ist.
Bei Verwendung der normunabhängigen Nichtlinearität finden die Stabilitätswechsel
exakt an den exzeptionellen Punkten statt. Dies zeigt, wie wichtig die korrekte Form der
Nichtlinearität der GPE ist. Eine normunabhängige Nichtlinearität kann die Dynamik
eines BECs nicht vollständig erfassen.
Für den Großteil der Rechnungen in dieser Arbeit wurde das dreidimensionale Doppelmuldenpotential auf eine Dimension reduziert. Dies ist gerechtfertigt, da für die
betrachteten Nichtlinearitäten gezeigt wurde, dass der Hamiltonoperator mit dem dreidimensionalen Potential in guter Näherung separierbar ist, solange die Falle in die zwei
zusätzlichen Raumrichtungen ausreichend stark gewählt wird. Die eindimensionalen
Rechnungen beschreiben dann das Verhalten in drei Dimensionen nicht nur qualitativ
korrekt, sondern stellen zusätzlich eine gute quantitative Näherung dar. Des Weiteren
wurde nachgewiesen, dass sich die untersuchten stationären Zustände sehr gut durch
den gewählten Ansatz aus gekoppelten Gaußfunktionen darstellen lassen. Bereits mit
einem Ansatz aus zwei Gaußfunktionen können sämtliche Eigenschaften des Systems
gefunden werden. Eine Erweiterung des Ansatzes auf vier Gaußfunktionen liefert nur
kleine Korrekturen und der Vergleich mit numerisch exakten Rechnungen zeigt, dass
die Lösungen mit vier Gaußfunktionen bereits konvergiert sind. Die numerisch exakten
Lösungen liegen jedoch nur für den eindimensionalen Fall vor.
Es wäre daher interessant in einer zukünftigen Arbeit numerisch exakte Gitterrechnungen für das dreidimensionale Potential durchzuführen. Dies ist besonders für die
Stabilitätsuntersuchungen bei kleinen Fallenfrequenzen interessant, da hier scheinbar der
Einfluss höher angeregter Zustände sichtbar wird. Eine mögliche Erweiterung des Themas
ist, nicht nur kurzreichweitige Wechselwirkungen zu betrachten, sondern zusätzlich den
Einfluss der langreichweitigen Dipol-Dipol-Wechselwirkung zu untersuchen, die oftmals
zu völlig neuen Effekten führt [50]. Von einem theoretischen Standpunkt aus betrachtet,
ist außerdem ein besseres Verständnis der Abspaltung PT -gebrochener Lösungen von
dem PT -symmetrischen Ast wünschenswert. Hierfür wäre die Untersuchung in einem
einfachen Modell denkbar, das analytische Lösungen ermöglicht.
Des Weiteren könnte eine detailliertere mikroskopische Behandlung der Gewinn- und
Verlustterme in der GPE zu einem besseren Verständnis der Gewinn- und Verlustprozesse
führen. Mögliche Ansatzpunkte sind die Untersuchungen zum Übergang eines nichthermiteschen Bose-Hubbard-Modells in die Mean-field-Näherung von Graefe et al. [24–26]
oder die Arbeiten zu kohärent ausgekoppelten Atomdichten [20].
111
A. Gaußintegrale
Für das Aufstellen der Matrixgleichung (2.53) des TDVPs müssen die Integrale der
Matrix K und des Vektors r gelöst werden. Die analytischen Lösungen der benötigten
Gaußintegrale sind im Folgenden für eine und für drei Dimensionen aufgeführt.
A.1. Gaußintegrale in einer Dimension
Gaußfunktion:
g k = e−(A
k (x−q k )2 −ipk (x−q k )+ϕk )
(A.1)
Ak , q k , pk , ϕk ∈ C
Gaußintegrale mit Polynom:
D
E
g k xn g l =
Z ∞
2 +bx+c
dx xn eax
(A.2)
−∞
für n gerade
s
=
n/2
X
−b2
π
n
exp
+c
2i
−a
4a
i=0
!
!
b
2a
!2i
(n−2i)/2
(−2a)(2i−n)/2
Y
(2j − 1)
(A.3)
j=1
für n ungerade
√
−b2
+c
= − 2π exp
4a
! (n−1)/2
X
i=0
n
2i + 1
!
b
2a
!2i+1
(n−2i−1)/2
(2i−n)/2
(−2a)
Y
(2j − 1)
j=1
(A.4)
mit
a = −(Ak )∗ − Al
k ∗ k
(A.5)
k
l l
b = 2(A ) q − ip + 2A q + ip
k ∗
k 2
k k
l
k ∗
(A.6)
l
l 2
l l
c = −(A ) (q ) + ip q − (ϕ ) − A (q ) − ip q − ϕ
l
(A.7)
113
A. Gaußintegrale
A.2. Gaußintegrale in drei Dimensionen
Gaußfunktion:
g k = e−((x−q
k )Ak (x−qk )−ipk (x−qk )+ϕk )
Ak ∈ C3×3 ; qk , pk ∈ R3 ; ϕk ∈ C
(A.8)
Gaußintegrale mit Polynom:
D
g
x
E
g
k m n o l
y z
=
Z
R3
d3 x xm y n z o e−xAx+bx+c
(A.9)
(m) (n) (o)
= ∂bx ∂by ∂bz D
(A.10)
mit
s
π3
1
exp bA−1 b
det A
4
A = (Ak )∗ + Al
c
D=e
(A.11)
(A.12)
b = 2(Ak )∗ qk − ipk + 2Al ql + ipk
(A.13)
c = qk ((Ak )∗ qk − ipk ) + (ϕk )∗ + ql (Al ql + ipl ) + ϕl
(A.14)
Anwendung der verallgemeinerten Kettenregel (Formel von Faà di Bruno):
(n)
∂bρ D = D
X
(i1 ,i2 )∈Tn
n!
(K1ρ )i1 (K2ρρ )i2
i1 !i2 !
(A.15)
mit
Tn = {(i1 , i2 ) ∈ N2 : i1 + 2i2 = n}
1 −1
−1
K1ρ =
Aρρ bρ + A−1
b
+
A
b
ρσ σ
ρτ τ
2
1
K2ρρ = A−1
2 ρρ
(A.16)
mit ρ 6= σ 6= τ
(A.17)
(A.18)
Die folgenden Integrale werden für das TDVP benötigt:
∂bρ D =K1ρ D
2
∂b2ρ D =(K1ρ
+ K2ρρ )D
(A.19)
(A.20)
3
∂b3ρ D =(K1ρ
+ 3K1ρ K2ρρ )D
(A.21)
2
2
4
∂b4ρ D =(K1ρ
+ 6K1ρ
K2ρρ + 3K2ρρ
)D
(A.22)
∂bσ ∂bρ D =(K2ρσ + K1ρ K1σ )D
114
(A.23)
A.2. Gaußintegrale in drei Dimensionen
2
+ K2ρρ ) + 2K1ρ K2ρσ D
∂bσ ∂b2ρ D = K1σ (K1ρ
(A.24)
2
3
+ K2ρρ ) D
+ 3K1ρ K2ρρ ) + 3K2ρσ (K1ρ
∂bσ ∂b3ρ D = K1σ (K1ρ
2
2
2
+ K2ρρ ) + K1σ
(K1ρ
+ K2ρρ )
∂b2σ ∂b2ρ D = K2σσ (K1ρ
(A.25)
(A.26)
+2K2ρσ (2K1ρ K1σ + K2ρσ ) D
(A.27)
∂bτ ∂bσ ∂bρ D = (K1ρ K1σ K1τ + K1τ K2ρσ + K1σ K2ρτ + K1ρ K2στ ) D
2
K1τ + K2ρρ K1τ + 2K1ρ K2ρτ )
∂bτ ∂bσ ∂b2ρ D = K1σ (K1ρ
(A.28)
(A.29)
2
+ K2ρρ ) D
+2K2ρσ (K1ρ K1τ + K2ρτ ) + K2στ (K1ρ
(A.30)
115
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condensates with long-range interaction. Diplomarbeit, Universität Stuttgart (2010).
[50] T. Lahaye, C. Menotti, L. Santos, M. Lewenstein und T. Pfau. The physics of
dipolar bosonic quantum gases. Rep. Prog. Phys. 72, 126401 (2009).
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Danksagung
Während meines Studiums und insbesondere während der Anfertigung meiner Masterarbeit erhielt ich Unterstützung von zahlreichen Personen, bei denen ich mich an dieser
Stelle bedanken möchte.
Ich bedanke mich bei Prof. Dr. Günter Wunner für die Übernahme des Hauptberichts
und die Möglichkeit meine Masterarbeit in diesem interessanten Thema anzufertigen.
Des Weiteren gilt mein Dank Prof. Dr. Alejandro Muramatsu für die Übernahme des
Mitberichts. Im Besonderen möchte ich mich bei Dr. Holger Cartarius für die hervorragende Betreuung während der Masterarbeit, viele hilfreiche Diskussionen und das
Korrekturlesen bedanken.
Weiter danke ich Daniel Haag für die gute Zusammenarbeit und gemeinsam mit Andreas
Wünsch für die gute Büroatmosphäre. Allen weiteren Mitarbeitern des 1. Instituts für
Theoretische Physik danke ich für die freundliche Aufnahme und das angenehme Arbeitsklima.
Nicht zuletzt bedanke ich mich bei meiner Familie, die mir dieses Studium ermöglichte.
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Ehrenwörtliche Erklärung
Ich erkläre,
• dass ich diese Masterarbeit selbständig verfasst habe,
• dass ich keine anderen als die angegebenen Quellen benutzt und alle wörtlich oder
sinngemäß aus anderen Werken übernommenen Aussagen als solche gekennzeichnet
habe,
• dass die eingereichte Arbeit weder vollständig noch in wesentlichen Teilen Gegenstand eines anderen Prüfungsverfahrens gewesen ist,
• dass ich die Arbeit weder vollständig noch in Teilen bereits veröffentlicht habe, es
sei denn, der Prüfungsausschuss hat die Veröffentlichung vorher genehmigt
• und dass das elektronische Exemplar mit den anderen Exemplaren übereinstimmt.
Stuttgart, den 25. Oktober 2012
Dennis Dast