Aufgaben - IAP TU

Klausur zur Vorlesung
09.07.2004
Theoretische Physik IV:
Statistische Physik
Prof. Dr. G. Alber
Dr. O. Zobay
Bitte auf jedem Blatt N AMEN und M ATRIKELNUMMER angeben (LESERLICH !).
Die Aufgaben werden zur Korrektur getrennt. Fangen Sie daher bitte jede Aufgabe auf einem
NEUEN B LATT an!
1. Der in Abb. 1 dargestellte Kreisprozess wird mit einem elektromagnetischen Feld ausgeführt.
Abb. 1. Diesel-Kreisprozess. Die Schritte B→C sowie D→A werden isentrop (adiabatisch) ausgeführt.
(a) Bestimmen Sie ausgehend von der entropischen Fundamentalrelation des elektromagnetischen Feldes
3/4
U
4 1/4
S(U, V ) = b V
3
V
die Zustandsgleichungen (dabei ist b die Stefan-Boltzmann-Konstante).
2P.
(b) Berechnen Sie die Temperaturen Ti , i = 1, . . . , 4 an den Punkten A, B, C und D in
Abhängigkeit des Druckes p1 und der Volumina V1 , V2 und V3 . Bestimmen Sie zusätzlich die Drücke p3 und p4 an den Punkten C und D.
5P.
(c) Berechnen Sie die Arbeit, die jeweils in den Prozessschritten A→B, B→C, C→D und
D→A vom System verrichtet wird.
3P.
(d) Ermitteln Sie die Wärmen, die in den vier Prozessschritten vom System aufgenommen
bzw. abgegeben werden.
2P.
(e) Bestimmen Sie den Wirkungsgrad η dieses Kreisprozesses, und zeigen Sie, dass die Beziehung 0 < η < 1 erfüllt ist.
3P.
2. Gegeben sei ein ideales Gas von strukturlosen Spin- 12 Teilchen in einer dreidimensionalen isotropen harmonischen Teilchenfalle mit Frequenz ω.
(a) Wie lauten die Einteilchenenergien und der Hamiltonoperator dieses Systems in zweiter
Quantisierung? Wievielfach sind die Einteilchenenergien entartet?
2P.
(b) Zeigen Sie, dass die großkanonische Zustandssumme im Kontinuumlimes, der durch N →
∞, ω → 0, N ω 3 = konst., kB T ~ω charakterisiert ist, die Gestalt
Z ∞
x3
1
dx
ln ZG (λ1 , λ2 ) =
3(~ωλ1 )3 0
exp(x + λ2 ) + 1
besitzt.
3P.
(c) Vereinfachen Sie die allgemeine Zustandssumme aus (b) für den Fall eines klassischen
idealen Gases und bestimmen Sie daraus die mittlere Teilchenzahl N (T, µ) und die innere Energie U (T, N ). Welche Bedingung müssen die Teilchenzahl und die Temperatur
erfüllen, damit die Näherung eines klassischen idealen Gases anwendbar ist?
5P.
(d) Betrachten Sie den entarteten Fall des nicht wechselwirkenden Spin- 21 Systems. Vereinfachen Sie die allgemeine Zustandssumme aus (b) im Grenzfall extremer Entartung, d.h.,
T → 0. Bestimmen Sie die mittlere Teilchenzahl N (T, µ), das chemische Potenzial
µ(T, N ) und die innere Energie U (T, N ) in diesem Grenzfall.
5P.
3. Gegeben sei ein ideales Gas von Bosonen mit Spin J im ultrarelativistischen Grenzfall vernachlässigbarer Ruhemasse, das in einem Behälter mit Volumen V eingeschlossen ist. Betrachten Sie im Folgenden den thermodynamischen Limes dieses Systems.
(a) Zeigen Sie, dass die großkanonische Zustandssumme oberhalb der kritischen Temperatur
Tc für Bose-Einstein-Kondensation durch
ln ZG (λ1 , λ2 ) = (2J + 1)
8πV
g4 (e−λ2 )
3
(2π~λ1 c)
gegeben ist.
3P.
(b) Ermitteln Sie mit Hilfe der großkanonischen Zustandssumme die innere Energie U , den
Druck p, die Teilchenzahl N sowie die Entropie als Funktion von T , V und µ.
6P.
(c) Bestimmen Sie Tc in Abhängigkeit von der Teilchendichte.
3P.
(d) Wie hängt die relative Anzahl N0 /N der Teilchen im Kondensat von der skalierten Temperatur T /Tc ab?
3P.
Formelsammlung
• Bose-Einstein-Funktionen
−λ2
gα (e
1
) =
Γ(α)
Z
∞
0
xα−1
dx x+λ2
e
−1
∂
gα (e−λ2 ) = −gα−1 (e−λ2 )
∂λ
• Gamma-Funktion
Z
∞
Γ(n + 1) =
dxxn e−x = n!
(n ∈ N)
0
• Fermi-Dirac-Funktionen
−λ2
fα (e
Z
) =
∞
dx
0
xα−1
ex+λ2 + 1