Modell der Quantenphysik Übersicht

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◮ Quantenphysik | Modell der Quantenphysik
Skript
Modell der Quantenphysik
Übersicht
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1 Einführung
1
2 Der Zufall in der Quantenphysik
1
3 Mach-Zehnder-Interferometer
2
4 Unterschiedliche Darstellung von Quantenobjekten
4
5 Nichtlokalität
5
6 Verhalten bei der Messung
5
7 Komplementarität und Quantenradierer
6
8 Heisenbergsche Unschärferelation
8
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1 Einführung
Existiert auf der Welt eigentlich ein echter Zufall? Fallen
die Würfel im Casino wirklich immer zufällig oder könnte man die gewinnbringenden Zahlen vielleicht im Voraus berechnen? Oder sind Zufallszahlen eines Computers wirklich zufällig?
Zufallszahlen eines Computers sind trotz des Namens
nicht zufällig, da sie schlichtweg von einem Rechenalgorithmus berechnet werden. Und die Augenzahlen eines Würfels? Die klassische Physik geht davon aus, dass
Abbildung 1: Wie
wenn man die Anfangsposition des Würfels, die Drehung
der Hand, Luftbewegung und -widerstand sowie alle an-
die
Würfel
fallen,
hängt in der klassischen
Physik nur von den Gegebenheiten ab und kann
deren Einflussfaktoren nur schnell genug berechnen könnte, so könnte man die Augenzahl des Würfels noch wäh-
theoretisch
vollständig
berechnet werden.
rend der Würfel fällt vorhersagen. Diese Eigenschaft der
klassischen Physik nennt man deterministisch.
pixabay.com – kungmats (public domain)
Doch gilt dies auf für Experimente der Quantenphysik? Könnte man theoretisch vorhersagen, durch welchen Spalt ein Photon beim Doppelspaltversuch fliegt?
2 Der Zufall in der Quantenphysik
Ein Strahlteiler teilt Strahlen von Photonen, Elektronen oder anderen Quantenobjekten, indem sie teilweise durchgelassen oder reflektiert werden. Hinter dem Strahlteiler können
die Objekte schließlich auf beiden Wegen nachgewiesen werden. Ein solcher Strahlteiler ist
beispielsweise eine Fensterscheibe. An ihr wird ein Teil des Lichts reflektiert und ein anderer Teil wird durchgelassen. Wenn die Scheibe in geeignetem Maße verspiegelt ist, so geht
genau die Hälfte des Lichts durch und die andere Hälfte wird zurück geworfen. Wir nennen
so etwas einen 50-% Strahlteiler.
Strahlteiler
Betrachten wir das in Abbildung 2 dargestellte Experiment, bei dem einzelne Quantenobjekte auf einen solchen 50-% Strahlteiler treffen. Die Quanten gehen ent-
Quelle
Detektor A
weder durch den Strahlteiler hindurch oder werden an
ihm in eine andere Richtung reflektiert. Am Ende dieser
beiden Wege sind zwei Detektoren zum Nachweis der
Quantenobjekte angebracht.
Bei der Durchführung des Experiments kannst du feststellen, dass die Quantenobjekte immer nur von einem
Detektor und nie von beiden gleichzeitig nachgewiesen
Detektor B
Abbildung 2: Das Quantenobjekt wird
am
Strahlteiler
entweder durchgelassen oder
reflektiert.
werden. Führst du das Experiment mit genügend Quanten durch, so kannst du feststellen,
dass etwa die Hälfte der Quantenobjekte von Detektor A bzw. Detektor B registriert werden.
Welcher Detektor allerdings anspricht ist völlig zufällig. Ob ein einzelnes Quant also durch
den Strahlteiler geht oder an ihm reflektiert wird, entscheidet der Zufall.
Versuchsergebnisse in der Quantenphysik werden vom Zufall bestimmt.
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Das ist vergleichbar mit dem Münzwurf. Hier ist ebenfalls nicht vorhersagbar, ob „Kopf“
oder „Zahl“ fallen wird. Die Wahrscheinlichkeit für beide ist jeweils 50 %. Quantenobjekte
verhalten sich also stochastisch. Es gilt also für die Wahrscheinlichkeit P ein Quantenobjekt an einem der beiden Detektoren anzutreffen:
P(A) = P(B) = 0, 5
Strahlteiler
Um einen solchen Strahlteiler mit dem Teilchenmodell
zu erklären, könnte man annehmen, dass das unteil-
Quelle
A
bare Quant mit 50 %-iger Wahrscheinlichkeit durchgelassen oder reflektiert wird. Das durchgelassene Quant
müsste demnach eine Eigenschaft „Ich werde durchgelassen!“ tragen und in unserem zweiten Experiment
mit zwei Strahlteilern, wie in Abbildung 3 dargestellt,
auch durch den Weiteren gehen. Demnach würden alle
B
C
Abbildung 3: Das Quantenobjekt trifft auf
zwei Strahlteiler.
Quanten die am ersten Strahlteiler durchgelassen werden auch durch den zweiten gehen und am Detektor C würde kein Quant ankommen.
Es müsste also gelten:
P(A) = P(B) = 0, 5 und P(C) = 0
Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung kannst du allerdings in Wirklichkeit nicht beobachten.
Sondern das Messergebnis kann folgendermaßen angegeben werden:
P(B) = 0, 5 und P(A) = P(C) = 0, 25
Dies bedeutet also, dass ein Quant keine Eigenschaft „Ich werde durchgelassen!“ trägt,
sondern an jedem Strahlteiler der Zufall entscheidet, ob das Quantenobjekt durchgelassen
oder reflektiert wird.
3 Mach-Zehnder-Interferometer
Erweitern wir die Versuchsanordnung aus Abbildung 2 um zwei Spiegel, so kreuzen sich
die möglichen Wege zu den Detektoren zwar, aber das Versuchsergebnis bleibt das gleiche. Durch Hinzufügen eines weiteren Strahlenteilers erhalten wir ein so genanntes MachZehnder-Interferometer, das in Abbildung 4 dargestellt wird. Was erwartest du bei einem
solchen Versuch?
Am 1. Strahlteiler St 1 werden jeweils 50 % der
Quantenobjekte durchgelassen bzw. reflektiert. Die
Quelle
St 1
S1
durchgelassenen Quanten werden schließlich am
1. Spiegel S 1 reflektiert am 2. Strahlteiler St 2
erneut geteilt. Damit erreichen jeweils 25 % der
Quantenobjekte die Detektoren A und B über den
braunen Weg. Gleiches scheint für den blauen Weg
der Quanten zu gelten. Damit müssten also die
Detektoren mit je 50 %-iger Wahrscheinlichkeit die
Quantenobjekte nachweisen und es müsste gelten:
St 2
S2
A
B
Abbildung 4: Das Quantenobjekt in einem MachZehnder-Interferometer.
P(A) = P(B) = 0, 5
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In Wahrheit sieht das Messergebnis allerdings anders aus. Alle Quantenobjekte kommen
am Detektor A an und es folgt damit:
P(A) = 1 und P(B) = 0
Dies lässt sich damit erklären, dass Reflexion an Spiegeln, wie im Skript Reflexion bei Querwellen erklärt, einen Phasensprung um π erzeugen. Bei der Reflexion an Strahlteilern
hängt der Phasensprung von der Orientierung der Beschichtung ab. Trifft ein Quantenobjekt auf die Beschichtung (schwarz markiert) wird ebenfalls ein Phasensprung um π erzeugt,
trifft er hingegen auf die weiße Seite, so erfolgt kein Phasensprung. Betrachten wir mit diesem Wissen die Wege zu den Detektoren getrennt:
Zum Detektor A gelangen wir entweder durch Reflexion an S 1 und St 2 oder durch Reflexion an St 1 und S 2. Für beide Wege erfolgt also jeweils ein Phasensprung um 2 π:
1. Weg :
φ1 =
2. Weg :
φ2 =
St 1
→
S1
→
St 2
0
+
π
+
π
St 1
→
S2
→
St 2
π
+
π
+
=
2π
0
=
2π
δ
=
0
Für beide Wege ergibt sich ein identischer Phasensprung und daher herrscht bei A kein
Gangunterschied und es kommt zu konstruktiver Interferenz.
Für den Weg zum Detektor B ergibt sich jedoch folgendes:
1. Weg :
φ1 =
2. Weg :
φ2 =
St 1
→
S1
→
St 2
0
+
π
+
0
St 1
→
S2
→
St 2
π
+
π
+
=
π
0
=
2π
δ
=
π
Wir erhalten für die Wege zum Detektor B keinen einheitlichen Phasensprung, sondern
einen Gangunterschied von δ = π und damit kommt es zu destruktiver Interferenz.
Die Zustände interferieren also konstruktiv für den Detektor A und destruktiv für B. Demzufolge kommen alle Quanten am Detektor A an.
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4 Unterschiedliche Darstellung von Quantenobjekten
Quantenobjekte sind weder Kugeln, noch Wellen, noch Wolken, noch irgendetwas das wir
aus der Erfahrung unseres Alltags kennen. Es gibt also kein Bild oder Modell mit dem wir
sie uns mit allen ihren Eigenschaften bildlich vorstellen können. Daher wäre es am konsequentesten, wenn wir würden uns überhaupt kein Bild von Quantenobjekten machen. Da
wir uns aber alle die Quanten in unseren Köpfen vorstellen, werden dir hier drei verschiedene Darstellungen vorgestellt, die je nachdem, welche Experimente beschrieben werden,
unterschiedliche Stärken haben.
◮ Teilchenmodell
Das Teilchenmodell ist immer dann sinnvoll, wenn das
Körnige von Quanten im Vordergrund steht. Dies ist
zum Beispiel dann der Fall, wenn der äußere photoelektrische Effekt oder die Messung in einem Detektor beschrieben werden soll. Auch der Nachweis von Radioaktivität als „Klicks“ in einem Zählrohr wird am besten
über den Teilchencharakter beschrieben.
Abbildung 5: Das Teichenmodell.
◮ Wolke
Die Farbe und damit die Dichte der Wolke an einem bestimmten Ort ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich es
große Wahrscheinlichkeit
ist, das Quantenobjekt an diesem Ort  anzutreffen.
Die Dichte der Wolke bezeichnet damit auch, stellvertretend für die Bornschen Deutung, das Betragsquadrat der Wahrscheinlichkeitsfunktion.
kleine Wahrscheinlichkeit
Abbildung 6: Das Wolkenmodell.
◮ Wellenpakete
Soll bei der Beschreibung eines Experiments das Wellenartige eines Quantenobjekts im Vordergrund stehen,
so kannst du dir das Quantenobjekt als Wolke mit eingeschriebenem Wellenpaket vorstellen. Dieses kann mit
anderen interferieren und somit die typischen wellenartigen Phänomene der Quantenphysik hervorrufen.
Abbildung 7: Das abgewandelte Wellenmodell.
Stellst du dir also ein Quantenobjekt als Wolke vor, die sich ausbreiten, reflektiert und geteilt
werden kann, so besitzt sie aber auch zwei Eigenschaften, die eine normale Wolke nicht
aufweist:
1. Wird das Quantenobjekt nachgewiesen, etwa mithilfe eines Detektors, so zieht sich
die Wolke schlagartig auf Detektorgröße zusammen.
2. Treffen die Teile einer vorher aufgeteilten Wolke wieder aufeinander und durchdringen
sich, so kann es zu Verdichtungen und Verdünnungen, also Interferenz, kommen.
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5 Nichtlokalität
Teilt sich ein Quantenobjekt an einem Strahlteiler, so bewegt sich die eine Hälfte der Wolke
in die Richtung von Detektor A und die andere Hälfte in Richtung Detektor B. Trotz der
Teilung bildet das Quantenobjekt nach wie vor noch eine Einheit. Dies wird deutlich, wenn
das Objekt in einem Detektor registriert wird. Dabei ziehen sich beide Hälfte auf die Größe
des Detektors zusammen, da es sich ja in dessen Raum mit 100 %-iger Wahrscheinlichkeit
befindet. Es wird also immer nur als Ganzes von Detektor A oder B nachgewiesen. Von
welchem der beiden bleibt jedoch, wie wir bereits gelernt haben, völlig zufällig.
Der Ort eines Quantenobjektes ist also nur bei dessen Entstehung und dessen Nachweis
bekannt. Dazwischen ist das Quant delokalisiert. Du kannst nur mit einer bestimmten
Wahrscheinlichkeit sagen, wo es sich befinden könnte. Da sich diese Wahrscheinlichkeit,
als Wolke dargestellt, aufteilen kann, kann das Quant in deutlich voneinander getrennte
Raumbereiche verfrachtet werden und über große Distanzen delokalisiert sein. Es ist also,
anders als ein kleines Kügelchen, nicht nur an einem bestimmten Ort zu finden.
A
B
A
A
B
B
Abbildung 8: Das Quantenobjekt ist delokalisiert bis es sich beim Nachweis im Detektor zusammenzieht.
6 Verhalten bei der Messung
Misst man mit einem Thermometer die Lufttemperatur
in einem abgeschlossenen Raum, so wird etwas Wärme
der Luft auf das Thermometer abgegeben. Diese Wärme
wird dazu benutzt, die Flüssigkeit des Thermometers zu
erwärmen, wodurch diese sich ausdehnt und die Lufttemperatur anzeigt. Dadurch, dass die Luft etwas Wärme an das Temperatur abgibt, sinkt die Lufttemperatur
ganz leicht. Die Temperaturmessung an sich hat also eine Auswirkung auf den zu messenden Stoff. Dennoch
ist es in der klassischen Physik meist möglich die Auswirkungen einer solchen Messung beliebig klein zu machen. In unserem Beispiel könnte man beispielsweise
Abbildung 9: Die Messung mit einem
Thermometer verändert
die zu messende Temperatur ganz leicht.
pixabay.com – PublicDomainPictures
(public domain)
die Temperatur der Luft auch anhand der Wärmestrahlung messen. Dies hätte keine Auswirkung auf die Lufttemperatur selbst.
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In der Quantenphysik hingegen hat der Messvorgang eine gravierende Auswirkung auf den
Zustand des Quantenobjekts. Bewegt sich ein delokalisiertes Quantenobjekt durch eine
Messapparatur, ohne dass eine Messung an ihm vorgenommen wird, so ist die zeitliche
Entwicklung der Wolke so eindeutig bestimmt, wie eine Bewegung in der klassischen Mechanik. Ihre Bewegung lässt sich mit den klassischen Gesetzen beschreiben. Dies gilt auch
dann, wenn die Wolke an einem Strahlteiler geteilt wird. Beide Wolken beschreiben mit
ihren Dichten die Wahrscheinlichkeit, das Quantenobjekt an einem Ort  anzutreffen.
Misst du das vormals delokalisierte Quantenobjekt nun
Messung
in einem Detektor, so zieht sich dieses auf Detektorgröße zusammen, da es sich mit 100 %-iger Wahrscheinlichkeit in diesem aufhält. Es ist nun nicht mehr delokalisiert und sein Zustand hat sich schlagartig und
stark geändert. Von welchem Detektor das Quantenobjekt jedoch registriert wird ist zufällig.
Abbildung 10: Bei der Ortsmessung zieht
sich das Quant zusammen.
7 Komplementarität und Quantenradierer
Trifft ein Quantenobjekt auf einen Doppelspalt, so stel-
Doppelspalt
len wir uns vor, dass sich die Wolke des Quantenobjekts mit eingeschriebenem Wellenpaket in zwei Teil-
Intensität
wolken halbiert. Diese verdeutlichen zwei verschiedene Zustände des Objekts. Die eingeschriebenen Wellenpakete der Wolken interferieren im Raum zwischen
Spalt und Schirm. Man spricht auch davon, dass das
Quantenobjekt mit sich selbst interferiert. Daraufhin trifft
es scheinbar wahllos am Schirm auf. Erst wenn genug
andere Quanten auf den Schirm treffen, entsteht das
Abbildung 11: Ein Quantenobjekt interferiert am Doppelspalt mit
sich selbst.
berühmte Interferenzbild aus Abbildung 11.
In dieser Versuchsanordnung ist es unmöglich zu wissen, welchen Spalt das Quantenobjekt passiert hat. Für jeden Spalt liegt die Wahrscheinlichkeit bei 50 %. Doch wäre es auch
möglich zu erfahren, welchen Spalt das Quantenobjekt genommen hat? Lässt es sich markieren?
Viele Interferenzversuche kann man so abwandeln, dass die zu den Detektoren bzw. zum
Schirm führenden Wege unterschieden werden können. Man erhält dadurch eine sogenannte „Welcher-Weg-Information“, also eine Information darüber welchen Weg das Quantenobjekt genommen hat. Ein solche Information kann man mithilfe von drehbaren Polarisationsfiltern erhalten. Die eingeschriebene Wellenfunktion des Quants wird, je nachdem
welchen Spalt es passiert, unterschiedlich polarisiert.
Sind die Polarisationsfilter hinter jedem Spalt parallel
Doppelspalt
eingestellt, so kannst du durch Messung der Polarisation nicht herausfinden, welchen Spalt das Quantenob-
Intensität
jekt passiert hat. Die beiden Zustände des Quants interferieren erneut mit sich selbst und es entsteht das
bekannte Intensitätsmuster des Doppelspalts.
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Abbildung 12: Versuch mit parallel eingestellten Polarisationsfiltern.
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Stellst du nun einen der beiden Filter senkrecht zum
Doppelspalt
anderen, also um 90◦ verdreht, ein, könntest du durch
eine Messung der Polarisationsrichtung eindeutig fest-
Intensität
stellen, welches Quantenobjekt, welchen Weg zurück
gelegt hat. Die Quanten erhalten dabei eine „WelcherWeg-Information“. Man musst hierzu nicht einmal die
Messung wirklich durchführen. Allein die Tatsache, dass
die „Welcher-Weg-Information“ im Versuchsaufbau vorhanden ist, verändert hiermit den eigentlichen Zustand
der Quantenobjekte. Dies führt dazu, dass es nicht mehr
Abbildung 13: Versuch mit senkrecht eingestellten Polarisationsfiltern.
zu einer Interferenz der Wellenfunktionen kommt und
du am Schirm die Summe der Intensitätsmuster der jeweiligen Einzelspalte erkennen
kannst. Manche Physiker sprechen dabei von einem „Kollaps der Wellenfunktion“, doch
quantenmechanisch ist dieses Phänomen bis heute noch nicht richtig verstanden.
Demnach gilt in der Quantenmechanik das sogenannte Komplementaritätsprinzip:
Je mehr „Welcher-Weg-Information“ das Experiment enthält, desto schwächer ist das
Interferenzmuster und umgekehrt.
Bringst du folglich einen weiteren Polarisationsfilter, welcher um 45◦ gedreht ist, hinter die
zwei anderen Filter ein, so wird die Information, welchen Weg das Quantenobjekt genommen hat „ausradiert“ und es entsteht wieder das Intensitätsmuster des Doppelspalts.
Eine solche experimentelle Anordnung nennt man auch „Quantenradierer“.
Doppelspalt
Intensität
Abbildung 14: Beim „Quantenradierer“-Experiment wird die „Welcher-Weg-Information“ aus dem Versuchsaufbau entfernt.
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8 Heisenbergsche Unschärferelation
Werner Heisenberg verallgemeinerte das oben genannte
Komplementaritätsprinzip auf die Messung von Ort und
Impuls eines Quantenobjekts und stellte damit seine berühmte Heisenbergsche Unschärfe- bzw. Unbestimmtheitsrelation auf. Sie ist bis heute eine der fundamentalen Aussagen der Quantenmechanik.
Diese möchten wir uns im Folgenden stark vereinfacht
herleiten.
Hierzu betrachten wir den in Abbildung 16 dargestellten
Versuch an einem Einzelspalt.
Abbildung 15: Werner Heisenberg.
wikipedia.org – Taxiarchos228
(public domain)
x
1. Minimum
Δx
Δp x
α
y
py
Abbildung 16: Trifft das Quantenobjekt auf einen Einzelspalt geringer Breite, so gibt die Beugung den Quanten
unbestimmte Richtungen bzw. erzeugt die Querimpulse py .
Zunächst besitzt ein einzelnes Quantenobjekte den Impulsbetrag py und dessen Wahrscheinlichkeitswolke bewegt sich auf den Einzelspalt zu. An diesem wird die Wolke auf den
Ort Δ eingeengt und gebeugt. Die Quantenobjekte erhalten durch die Beugung eine unbestimmte Richtung bzw. eine Unschärfe im Querimpuls py , welche nun abgeschätzt werden
soll. Hierzu nutzen wir die Formeln des Einzelspalts.
Für das Minimum 1. Ordnung gilt am Einzelspalt der Spaltbreite Δ:
sin(α) =
λ
Δ
Für den Zusammenhang von Gegenkathete Δpy und Ankathete py folgt:
tn(α) =
©
Δp
py
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Für kleine Winkel (< 5◦ ) gilt die Näherung sin(α) = tn(α). Setzt du also obige Formeln
gleich, erhältst du:
tn(α) ≈
Δp
py
≈
Δp · Δ ≈
sin(α)
λ
| ·py
Δ
· Δ
und
λ · py
Für die Wellenlänge λ des Quantenobjekts gilt nach der Beziehung der de-Broglie-Wellenlänge:
λ=
h
py
Setzt du diese in obige Gleichung ein, erhältst du:
Δp · Δ ≈
Δp · Δ ≈
λ · py
h
py
mit
λ=
h
py
·py
Die von uns hergeleitete Gleichung entspricht der auf der Briefmarke angegebenen Heisenbergschen Unschärferelation:
Δp · Δ ≈ h
Für die rechte Seite der Gleichung wirst du, je nach Quelle, häufig andere Werte finden.
Dies ist allerdings nicht entscheidend. Wichtig ist nur, dass das Produkt aus den Unschärfen von Ort und Impuls nicht beliebig klein werden kann. Das bedeutet wiederum, dass du
Ort und Impuls nicht gleichzeitig beliebig genau messen kannst. Denn je genauer
du z.B. den Ort messen willst, also je kleiner die Ortsunschärfe sein soll, desto größer wird
die Impulsunschärfe.
Mit anderen Worten kann man auch sagen, dass die gleichzeitige Bestimmung von Ort und
Impuls eines Teilchens nur dann möglich ist, wenn für beide Größen eine bestimmte Unschärfe akzeptiert wird.
Diese Unschärfe wird häufig mit folgender Ungleichung quantifiziert:
Δ · Δp ≥
©
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h
4π
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