Zusammenfassung: Quantenphysik

LGÖ Ks
Ph 13 4-stündig
09.04.2012
Zusammenfassung: Quantenphysik
Fotoeffekt und Planck’sches Wirkungsquantum
Kurzwelliges Licht löst Elektronen aus einem Metall heraus, langwelliges Licht nicht: Das nennt man
den Fotoeffekt (genauer: den äußeren fotoelektrischen Effekt).
Experimentell kann man dies zeigen, indem man eine
negativ geladene Metallplatte mit einem Elektroskop
verbindet und mit Licht (bzw. UV-Strahlung) verschiedener
Wellenlänge beleuchtet. Bei Beleuchtung mit genügend
kurzwelligem Licht geht der Elektroskopausschlag zurück,
bei Beleuchtung mit längerwelligem Licht bleibt der
Elektroskopausschlag.
negativ geladene
Metallplatte
Licht
Elektroskop
Für Experten: Beleuchtet man eine elektrisch neutrale Metallplatte mit kurzwelligem Licht, dann
werden einige Elektronen ausgelöst und die Metallplatte dadurch positiv geladen. Diese Aufladung ist
aber so schwach, dass sie mit einem Elektroskop nicht nachweisbar ist.
Um ein Elektron aus einem Metall herauszulösen, braucht man eine (vom Material abhängige)
Ablöseenergie WA . Da Licht (wie jede elektromagnetische Welle) Energie transportiert, ist es
einleuchtend, dass Licht Elektronen aus einem Metall auslösen kann.
Die klassische Physik kann aber nicht erklären, warum der Fotoeffekt bei langwelligem Licht nicht
eintritt, und zwar auch nicht bei beliebig langer Beleuchtung mit beliebig hoher Lichtintensität.
Einstein fand 1905 die quantenphysikalische Erklärung, wofür er 1921 den Nobelpreis erhielt:
Licht enthält (wie jede elektromagnetische Welle) Energie in unteilbaren „Energieportionen“, den
Photonen (Lichtquanten). Die Energie Wph eines Photons hängt (nur) von der Frequenz f des Lichts
ab; es gilt
Wph = h ⋅ f
mit einer Naturkonstanten h, dem Planck’schen Wirkungsquantum. Da immer nur ein Photon seine
Energie an ein Elektron abgeben kann, tritt der Fotoeffekt nur ein, wenn die Energie eines Photons
mindestens so groß ist wie die Ablöseenergie WA eines Elektrons, wenn also gilt:
Wph ≥ WA ,
also wenn
hf ≥ WA
f ≥
WA
h
die Frequenz f mindestens so groß ist wie die Grenzfrequenz f g =
f =
c
λ
WA
bzw. wenn ( c = λ f , also
h
)
WA
λ
h
ch
λ≤
WA
c
≥
die Wellenlänge λ höchstens so groß ist wie die Grenzwellenlänge λg =
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ch
.
WA
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Eine Fotozelle besteht aus einem evakuierten
Glaskolben, in dem sich eine Kathode K
(beispielsweise aus Kalium oder Cäsium) und
eine ringförmigen Anode A (beispielsweise aus
Platin) befinden.
Fällt Licht mit einer Frequenz f, die größer als die
Licht
Grenzfrequenz f g des Kathodenmaterials ist, auf
die Kathode, dann werden aus der Kathode
Elektronen herausgelöst. Diese sog. FotoBlende
elektronen haben höchstens die Energie
Wel = Wph − WA = hf − WA .
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K
A
(„höchstens“ deshalb, weil die Elektronen eventuell einen Teil ihrer Energie innerhalb der Kathode
wieder abgeben, was zu einer leichten Erwärmung der Kathode führt.) Ein Teil dieser Elektronen
gelangt auf die Anode.
Es gibt verschiedene Schaltungen einer Fotozelle:
1. Lässt man die Anschlüsse offen (so dass kein Strom fließt) oder
schaltet man ein hochohmiges Spannungsmessgerät (so dass nur
ein vernachlässigbarer Strom fließt) zwischen Anode und
Kathode, dann lädt sich die Anode negativ und die Kathode
U
positiv auf, und zwischen Anode und Kathode entsteht ein
elektrisches Feld und eine Spannung.
Es gelangen so lange Elektronen von der Kathode zur Anode, bis die Elektronen nicht mehr gegen
das elektrische Feld bzw. die Spannung anlaufen können. Dann gilt für die Energie Wel der
W
schnellsten Elektronen und für die Spannung U ( U = , also W = qU ):
q
Wel = eU .
Die (Foto-)Spannung U
Wph − WA hf − WA h
W
W
• U = el =
=
= ⋅ f − A hängt linear von der Frequenz f des Lichts
e
e
e
e
e
ab;
• ist unabhängig von der Intensität des Lichts.
2. Schaltet man ein Strommessgerät zwischen Anode und Kathode
(so dass ungehindert Strom fließen kann), dann fließen die
Elektronen von der Anode zurück zur Kathode.
Der (Foto-)Strom I ist umso größer, je größer die Intensität des
Lichts ist. Er ist aber nicht proportional zur Lichtintensität, weil
nicht alle aus der Kathode ausgelösten Elektronen zur Anode
gelangen.
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I
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3. Schaltet man eine (genügend große) „Saugspannung“ zwischen
Anode und Kathode, dann gelangen alle aus der Kathode ausgelösten Elektronen zur Anode und fließen durch den Stromkreis
wieder zurück zur Kathode.
Der (Foto-)Strom I ist proportional zur Intensität des Lichts.
Anwendung: Helligkeitsmessung
U
4. Schaltet man eine variable Gegenspannung U G zwischen Anode
und Kathode und vergrößert sie von Null an, dann sinkt die
Stromstärke I. Sie wird Null, wenn die Gegenspannung einen Wert
U G, max erreicht, bei dem die Energie Wel der schnellsten
I
I
Elektronen nicht mehr genügt, um gegen diese Spannung anlaufen
zu können; dann gilt analog zu 1.:
Wel = e ⋅ U G, max .
UG
Beachte: Man hat bei 4. wie bei 1. eine Spannung und ein elektrisches Feld zwischen der Anode und
der Kathode, gegen das die Elektronen anlaufen müssen. Der Unterschied ist: Bei 4. wird die
Spannung von der variablen Spannungsquelle erzeugt, während bei 1. die Elektronen, die auf die
Anode gelangen und dort bleiben, das Feld bzw. die Spannung erzeugen.
Trifft Licht der Frequenz f > f g auf ein Metall mit der Ablöseenergie WA , dann haben die
schnellsten herausgelösten Elektronen die Energie
Wel = Wph − WA = hf − WA .
Wel
Diese Abhängigkeit der Energie Wel von der Frequenz f
heißt die Einstein-Gleichung, und das Wel ( f ) -Schaubild
Steigung h
heißt die Einstein-Gerade. Sie hat die Steigung h und den
y-Achsenabschnitt −WA . Aus der Umformung
Wel = hf − WA = hf − hf g = h ( f − f g ) sieht man, dass die
Schnittstelle der Geraden mit der x-Achse die Grenzfrequenz f g ist.
−WA
fg
f
Bestimmung des Planck’schen Wirkungsquantums h:
1. Beleuchte eine Fotozelle nacheinander mit Licht verschiedener Frequenzen f ( f > f g ),
beispielsweise mit einer Quecksilberdampflampe und Farbfiltern.
2. Miss mit Schaltung 1 bzw. Schaltung 4 für jede Frequenz f die Spannung U bzw. U G, max mit
einem hochohmigen Voltmeter (mit Messverstärker) und berechne die Energie Wel der
schnellsten Fotoelektronen: Wel = eU bzw. Wel = eU G, max .
3. Berechne h.
einfachste Möglichkeit:
Wenn man zwei Wertepaare f1 Wel, 1 und f 2 Wel, 2 hat:
(
Wel, 1 = hf1 − WA
I
Wel, 2 = hf 2 − WA
II
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)
(
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II − I : Wel, 2 − Wel, 1 = hf 2 − WA − ( hf1 − WA ) = hf 2 − WA − hf1 + WA = h ( f 2 − f1 )
h=
Wel, 2 − Wel, 1
f 2 − f1
=
∆Wel
∆f
besser:
Wenn man mehrere Wertepaare hat:
Trage die Wertepaare in ein Schaubild (Rechtsachse: f; Hochachse: Wel ) ein und bestimme die
Regressionsgerade durch die Punkte; ihre Steigung ist h.
Ergebnis: Das Planck’sche Wirkungsquantum ist h = 6, 63 ⋅ 10−34 Js .
Achtung:
1. Die Ablöseenergie WA des Kathodenmaterials der Fotozelle darf nicht als bekannt
angenommen werden darf!
2. Man kann h nicht mit einem Wertepaar ( f Wel ) bestimmen!
W W
=
folgt
q
e
Wel [in eV ] = h [in eVs ] ⋅ f − WA [in eV ] .
Für Experten: Aus Wel = h ⋅ f − WA und U =
Trägt man auf der Hochachse Wel in eV auf (was dasselbe wie die Spannung U bzw. U G, max in V ist),
dann ist die Steigung der Regressionsgeraden das Planck’sche Wirkungsquantum in eVs.
Ergebnis: h = 4,14 ⋅ 10−15 eVs
Grenzwellenlänge der Röntgenbremsstrahlung:
Die Erzeugung von Röntgenstrahlung in einer Röntgenröhre ist gewissermaßen die Umkehrung des
Fotoeffekts:
In einer Röntgenröhre treffen Elektronen auf ein
Beim Fotoeffekt treffen Photonen auf ein
Metall und erzeugen Röntgenstrahlung bzw.
Metall und lösen Elektronen aus:
Photonen:
Werden Elektronen mit vernachlässigbarer Anfangsgeschwindigkeit in einer Röntgenröhre mit der
Spannung U beschleunigt, dann treffen sie mit der Energie W = eU auf die Anode. Da immer nur ein
Elektron seine Energie bzw. einen Teil seiner Energie an ein Photon abgeben kann, ist diese Energie
die maximale Energie Wph eines emittierten Photons. Also hat die Röntgenstrahlung die maximale
Frequenz f max mit hf max = eU bzw. die minimale Wellenlänge (Grenzwellenlänge) λmin =
c
f max
.
Quantenobjekte
Quantenobjekte (Mikroobjekte) sind Objekte, die sich nicht mit der klassischen Physik beschreiben
lassen, sondern zu deren Beschreibung man das Planck’sche Wirkungsquantum braucht.
Quantenobjekte sind
• Elektronen, Protonen und Neutronen;
• Atome bzw. Ionen und Moleküle;
• Photonen
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in mikroskopischen Anordnungen, wo sie Beugung und Interferenz zeigen. Dagegen lassen sich diese
Objekte in makroskopischen Anordnungen, beispielsweise Elektronen in einer Braun’schen Röhre,
mit der klassischen Physik beschreiben.
Merke: Quantenobjekte zeigen Teilcheneigenschaften und Welleneigenschaften.
1. De-Broglie-Wellenlänge
Haben Quantenobjekte die Masse m und die Geschwindigkeit v, also den Impuls
p = mv ,
dann kann man ihnen die De-Broglie-Wellenlänge
h
λ=
p
(h: Planck’sches Wirkungsquantum) zuordnen.
Experimentell kann man dies mit einer Elektronenbeugungsröhre zeigen, in der Elektronen aus einer
Glühkathode austreten, von einer Spannung beschleunigt werden und auf eine Folie aus polykristallinem Graphit treffen. Auf einem Leuchtschirm sieht man den Debye-Scherrer-Ring
1. Ordnung. Die Elektronen werden also an den Netzebenen der Kriställchen reflektiert, wenn die
Bragg’sche Reflexionsbedingung erfüllt ist, ganz analog zum Debye-Scherrer-Verfahren bei
Röntgenstrahlung. Bei diesem Experiment verhalten sich die Elektronen
• bei der Reflexion an den Kriställchen wie Wellen, weil sie nur unter solchen Winkeln
reflektiert werden, die der Bragg’schen Reflexionsbedingung genügen;
• beim Beschleunigen und beim Auftreffen auf den Leuchtschirm wie Teilchen.
Für Experten: Tatsächlich sieht man zwei Debye-Scherrer-Ringe, weil Graphit zwei Scharen von
Netzebenen mit unterschiedlichem Netzebenenabstand hat.
2. Quantenobjekte am Doppelspalt
a) Treten klassische Teilchen (beispielsweise Kugeln)
durch einen Einzelspalt, dann fliegen sie (abgesehen
von Stößen an den Rändern und von gegenseitigen
Stößen) geradlinig durch die Öffnung, und man erhält
nebenstehende Trefferverteilung.
Treten Teilchen durch einen Doppelspalt, dann
addieren sich die Treffer der Durchgänge durch die
Einzelspalte, und man erhält nebenstehende Trefferverteilung.
b ) Tritt eine Welle (beispielsweise Licht) durch einen
Doppelspalt, dann interferieren die von den Spalten
ausgehenden Elementarwellen, und man erhält den aus
der Optik bekannten Intensitätsverlauf.
Nimmt man idealisierend an, dass die Einzelspalte
unendlich schmal sind, dann erhält man nebenstehende
Intensitätsverteilung.
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Trefferanzahl
Trefferanzahl
Intensität
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c) Tritt ein einzelnes Quantenobjekt (beispielsweise ein Elektron oder ein Photon) durch einen
Doppelspalt, dann trifft es an einer Stelle auf (und ist nicht etwa über einen größeren Bereich
verschmiert); dies zeigt den Teilchencharakter des Quantenobjekts.
Der Auftreffort des Quantenobjekts lässt sich nicht vorhersagen. Wiederholt man den Vorgang,
dann trifft das Quantenobjekt im Allgemeinen an einem anderen Ort auf.
Man kann die Wahrscheinlichkeit für das Auftreffen
an einem Ort vorhersagen: Die WahrscheinlichkeitsWahrscheinverteilung entspricht der aus der Optik bekannten
lichkeit
Intensitätsverteilung beim Doppelspalt.
Nimmt man idealisierend an, dass die Einzelspalte
unendlich schmal sind, dann erhält man nebenstehende
Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Dazu sagt man ironisch:
„Das Quantenobjekt interferiert mit sich selbst.“
d) Treten viele gleichartige Quantenobjekte durch einen
TrefferDoppelspalt, dann entspricht die Trefferverteilung der
anzahl
aus der Optik bekannten Intensitätsverteilung beim
Doppelspalt.
Nimmt man idealisierend an, dass die Einzelspalte
unendlich schmal sind, dann erhält man nebenstehende
Trefferverteilung.
Es spielt keine Rolle, ob die Quantenobjekte gleichzeitig oder nacheinander den Doppelspalt
durchqueren.
Durchqueren die Quantenobjekte nacheinander den Doppelspalt, dann baut sich das Interferenzmuster aus den einzelnen Treffern auf.
Bei vielen Quantenobjekten ist das Ergebnis also (bis auf stochastische Schwankungen) vorhersagbar. Wiederholt man den Vorgang, dann erhält man (bis auf stochastische Schwankungen)
dasselbe Ergebnis.
e) Quantenobjekte, falls man entscheiden kann, welchen
WahrscheinSpalt sie passieren:
lichkeit
Die Interferenz wird zerstört. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Auftreffort entspricht dann wie
bei klassischen Teilchen der Addition der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden Einzelspalte, und man
erhält nebenstehende Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Merke: Weginformation und Interferenz schließen sich aus.
Dabei kommt es nicht darauf an, ob man tatsächlich misst, welchen der Spalte die Quantenobjekte
passieren; für die Zerstörung der Interferenz genügt es, dass man dies messen kann.
Experimentell kann man dies zeigen, indem man Photonen durch einen Doppelspalt treten lässt,
bei dem sich vor beiden Spalten drehbare Polarisatoren befinden.
• Sind deren Polarisationsrichtungen parallel zueinander, dann kann man nicht entscheiden,
durch welchen Spalt ein Photon gelangt ist. Also tritt Interferenz auf, d. h. die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Auftreffort entspricht der aus der Optik bekannten
Intensitätsverteilung beim Doppelspalt.
• Sind die Polarisationsrichtungen orthogonal zueinander, dann kann man (mit einem
Polarisator hinter den Spalten) entscheiden, durch welchen Spalt ein Photon gelangt ist.
Also wird die Interferenz zerstört, d. h. die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Auftreffort entspricht der Addition der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden Einzelspalte.
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•
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Sind die Polarisationsrichtungen orthogonal zueinander und bringt man einen Polarisator
zwischen den Doppelspalt und den Schirm, dessen Polarisationsrichtung symmetrisch zu
den Polarisationsrichtungen der beiden Polarisatoren vor den Spalten ist, dann kann man
nicht mehr entscheiden, durch welchen Spalt ein Photon gelangt ist. Also tritt Interferenz
auf, d. h. die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Auftreffort entspricht der aus der
Optik bekannten Intensitätsverteilung beim Doppelspalt.
f) Bei Versuchen mit materiellen Quantenobjekten (also mit allen Quantenobjekten mit Ausnahme
von Photonen) ist die De-Broglie-Wellenlänge λ bei sinnvollen Geschwindigkeiten immer kleiner
als der Spaltabstand g. Damit der Winkel α1 mit sin α1 =
λ
g
zu den beiden Maxima 1. Ordnung
hinreichend groß ist, muss
• der Spaltabstand g hinreichend klein sein;
h
h
• die De-Broglie-Wellenlänge λ = =
hinreichend groß sein. Also muss die
p mv
Geschwindigkeit hinreichend klein sein.
Damit das Interferenzmuster scharf ausgeprägt ist, müssen die Quantenobjekte alle die gleiche
De-Broglie-Wellenlänge, also die gleiche Geschwindigkeit haben.
Alle Überlegungen zum Durchgang von Quantenobjekten durch einen Doppelspalt gelten sinngemäß
auch für den Durchgang durch einen Mehrfachspalt bzw. ein Gitter bzw. einen Einzelspalt.
Beim Durchgang von Quantenobjekten durch einen Doppelspalt bzw. einen Mehrfachspalt bzw. ein
Gitter muss der Einfluss der endlichen Spaltbreite der Einzelspalte berücksichtigt werden.
Bei makroskopischen Körpern ist die De-Broglie-Wellenlänge bei sinnvollen Geschwindigkeiten so
klein, dass Beugungseffekte vernachlässigbar sind.
3. Beschreibung von Quantenobjekten
Ein Quantenobjekt beschreibt man mit einer Wellenfunktion (oder Zustandsfunktion oder Wahrscheinlichkeitswelle), die im Allgemeinen vom Ort und der Zeit abhängt. Die Wellenlänge ist die
dem Quantenobjekt zugeordnete De-Broglie-Wellenlänge. Den Wert der Funktion (an einem
bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit) stellt man sich als einen (zweidimensionalen) Zeiger vor.
Für Experten: Der Wert der Funktion ist eine komplexe Zahl, und eine komplexe Zahl kann man sich
als einen (zweidimensionalen) Zeiger vorstellen.
Die Funktion selbst (anschaulich: der Zeiger selbst) hat keine anschauliche Bedeutung. Das Quadrat
der Amplitude der Funktion (anschaulich: das Quadrat der Länge des Zeigers) ist ein Maß für die
Antreffwahrscheinlichkeit für das Quantenobjekt, d. h. für die Wahrscheinlichkeit, das Quantenobjekt
an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit anzutreffen.
Für Experten: Man kann nicht die Antreffwahrscheinlichkeit für einen einzelnen Ort, sondern nur für
einen bestimmten Raumbereich angeben.
Zu jeder im klassischen Sinn denkbaren Möglichkeit, die ein Quantenobjekt hat, gehört eine Wellenfunktion. Solange man nicht entscheiden kann, welche Möglichkeit das Quantenobjekt realisiert,
beschreibt man das Quantenobjekt durch die Überlagerung (anschaulich: durch die vektorielle
Addition der Zeiger) der zu den verschiedenen Möglichkeiten gehörenden Wellenfunktionen. Dann
ist es objektiv unbestimmt, welche Möglichkeit das Quantenobjekt realisiert.
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Wenn man (durch eine Messung) entscheiden kann, welche Möglichkeit das Quantenobjekt realisiert,
dann wird das Quantenobjekt ab diesem Moment nur durch die Wellenfunktion beschrieben, die
dieser Möglichkeit entspricht. Die Messung legt das Quantenobjekt auf diese Möglichkeit fest. Misst
man anschließend erneut, welche Möglichkeit das Quantenobjekt realisiert, dann erhält man dasselbe
Ergebnis.
Die Wellenfunktionen mehrerer Quantenobjekte können sich überlagern.
Beispiel: Bewegen sich gleichartige Quantenobjekte mit gleicher Geschwindigkeit gegeneinander,
dann ergibt die Überlagerung der Wellenfunktionen eine stehende Welle (eigentlich: eine Funktion,
die eine stehende Welle beschreibt). Die Knoten dieser stehenden Welle sind Orte, an denen die
Wellenfunktion den Wert Null hat, d. h. an diesen Orten befinden sich die Quantenobjekte nie. Die
Bäuche dieser stehenden Welle sind Orte, an denen das Quadrat der Wellenfunktion maximal ist, d. h.
an diesen Orten ist die Antreffwahrscheinlichkeit für die Quantenobjekte am größten.
Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation
Qualitativ besagt die Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation (UBR):
Bei Quantenobjekten gibt es Paare von Größen, die nicht gleichzeitig genau bestimmt werden
können, beispielsweise Ort und Impuls (genauer: eine Ortskomponente und die zugehörige Impulskomponente).
Beispiel: Durchquert ein Quantenobjekt einen Einzelspalt, dann kann man nicht gleichzeitig den Ort
(genauer: die Ortskomponente in der Spaltebene senkrecht zur Spaltrichtung) und den Impuls
(genauer: die Impulskomponente in derselben Richtung) beliebig gut bestimmen, weil eine bessere
Bestimmung des Orts, d. h. eine Verkleinerung des Spalts, aufgrund der Beugung eine schlechtere
Bestimmung des Impulses bewirkt.
In der klassischen Physik kann man von der Bahn eines Körpers reden, beispielsweise beim waagrechten Wurf. Das bedeutet, dass man für jeden Zeitpunkt den Ort des Körpers angeben kann. Dann
kann man für jeden Zeitpunkt die Geschwindigkeit und den Impuls des Körpers berechnen.
Beispiel: Kennt man bei einer eindimensionalen Bewegung eines Körpers die Bahn, dann kennt man
•
das Weg-Zeit-Gesetz s ( t ) . Dann kann man das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v ( t ) = s ( t ) und das
•
Impuls-Zeit-Gesetz p ( t ) = m ⋅ v ( t ) = m ⋅ s ( t ) berechnen.
Aufgrund der Heisenberg’schen Unbestimmtheitsrelation ist dies bei Quantenobjekten nicht möglich;
also kann man bei Quantenobjekten nicht von einer Bahn reden.
Quantitativ besagt die Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation (am Beispiel der Größen Ort und
Impuls):
Für die Ortsunschärfe ∆x und die Impulsunschärfe ∆px eines Quantenobjekts gilt
∆x ⋅ ∆px ≈ h ;
(h: Planck’sches Wirkungsquantum); genauer gilt
h
∆x ⋅ ∆px ≥
.
4π
Bei makroskopischen Körpern ist die Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation bedeutungslos.
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Für Experten: Die Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation gilt auch für andere Paare von Größen,
beispielsweise für die Energie und die Zeit:
h
∆W ⋅ ∆t ≥
.
4π
Für Experten
Knallertest:
Ein Fabrikant für Scherzartikel füllte Glaskugeln mit einem Gas, das schon von einem Photon zur
Explosion gebracht werden kann. Leider vermischte er diese sensiblen Knaller mit leeren Kugeln. Mit
Hilfe der Quantenphysik kann er einen Teil der Knaller erkennen, ohne sie dabei zu zerstören:
Eine Quelle sendet einzelne Photonen in eine
Detektor
Anordnung analog zum Michelson-Interferometer; anstelle des Schirms befindet sich
ein Detektor für Photonen. Die Photonen
treffen auf die Teilerplatte, die mit einer
Quelle
schwach reflektierenden Silberschicht so
Spiegel
?
belegt ist, dass dem Photon beide Pfade mit
Teiler
50 % Wahrscheinlichkeit offen stehen. Die
1
λ
.
2
2
In Pfad 2 wird eine leere Kugel gebracht. In
Pfad 1 wird eine Kugel gebracht, von der man
nicht weiß, ob sie leer oder ein Knaller ist.
Spiegel
Nun gibt es zwei Möglichkeiten:
1) Ist die Kugel leer, dann sind beide Pfade gleichberechtigt, und es tritt Interferenz auf. Wegen des
Pfade haben einen Wegunterschied von
Wegunterschieds
λ
besteht destruktive Interferenz für den Weg zum Detektor; dort kommt nie
2
ein Photon an (jedes kehrt am Teiler nach links zur Quelle zurück).
2) Ist die Kugel ein Knaller, dann sind die Pfade für das Photon unterscheidbar. Zerstört es den
Knaller (und sich selbst), so hat es Pfad 1 „gewählt“ (50 % aller Fälle). Bleibt der Knaller heil, so
hat es Pfad 2 „gewählt“ (auch 50 %). Das Photon gelangt nun in 25 % aller Fälle vom Teiler nach
oben zum Detektor und in 25 % der Fälle zurück zur Quelle.
Wenn der Detektor anspricht, dann handelt es sich bei der Kugel im Pfad 1 um einen Knaller (denn
bei einer leeren Kugel in Pfad 1 gelangt ja nie ein Photon in den Detektor).
Der Fabrikant kann also 25 % seiner Knaller erkennen.
Der Knallertest ist ein Beispiel dafür, dass die Quantenphysik eine nichtlokale Theorie ist, denn man
bestimmt mithilfe eines Photons die Eigenschaft „Knaller“, ohne dass das Photon mit dem Knaller in
Berührung kommt. Man spricht von „berührungsfreier Quantenmessung“.
Exakte Formulierung der Heisenberg’schen Unbestimmtheitsrelation:
Ein Ensemble von Objekten ist eine Menge gleichartiger Objekte. Beispielsweise ist ein Lichtstrahl
ein Ensemble von Photonen.
Präparation einer bestimmten Größe an einem Ensemble von Objekten bedeutet, diese Größe festzulegen. Bei einer Messung dieser Größe an den Objekten ergibt sich also immer derselbe Wert (im
Rahmen der Messgenauigkeit).
Beispiel: Nach dem Durchqueren einer Polarisationsfolie ist Licht linear polarisiert. Anders gesagt:
Die Photonen sind auf die Größe „Polarisationsrichtung“ präpariert. Misst man anschließend die
Polarisationsrichtung der Photonen, dann ergibt sich immer dieselbe Richtung.
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Die Güte der Präparation einer Eigenschaft kann man anhand der Streuung der Messwerte bei einer
Testmessung beurteilen. Je kleiner die Standardabweichung der Messwerte ist, umso besser ist die
Eigenschaft präpariert.
In der klassischen Physik kann man an einem Ensemble von Objekten zwei Größen (jedenfalls im
Prinzip) gleichzeitig beliebig gut präparieren.
Beispiel: Mit einer Abschussvorrichtung kann man Kugeln an einem genau definierten Ort mit einem
genau definierten Impuls abschießen.
Quantitativ besagt die Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation (am Beispiel der Größen Ort und
Impuls):
Misst man bei einem Ensemble identisch präparierter Quantenobjekte bei einem Teil den Ort und
gleichzeitig bei einem anderen Teil den Impuls, dann gilt für die Standardabweichung ∆x der Ortswerte und die Standardabweichung ∆px der Impulswerte (h: Planck’sches Wirkungsquantum):
h
∆x ⋅ ∆px ≥
.
4π
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