4. Übungsblatt zur Vorlesung Physik I Aufgabe 12: Kräfte und Arbeit

4. Übungsblatt zur Vorlesung Physik I
http://t1.physik.tu-dortmund.de/kierfeld/teaching/Physik1_0910/
Wintersemester 2009/2010
Abgabe bis 13.11.2009, 13:00
Prof. Dr. Shaukat Khan
Prof. Dr. Jan Kierfeld
Aufgabe 12: Kräfte und Arbeit
(5 Punkte)
Ein Körper wird durch ein Kraftfeld F~ (~r) vom Ausgangsort ~rA zum Ort ~rB bewegt. Dann ist die an ihm
verrichtete Arbeit WA→B durch ein Linienintegral entlang des gewählten Weges gegeben und im Allgemeinen vom
gewählten Weg abhängig. Gegeben ist das Kraftfeld F~1 (x, y, z) = (anxn−1 + c, bmy m−1 , 0)T mit den Konstanten
a, b, c ∈ R und m, n > 0 ∈ N.
a) Berechnen Sie die Arbeit WA→B entlang der beiden Wege Γ1 und Γ2 , die die Orte ~rA = (0, 0, 0)T und
~rB = (1, 1, 0)T in der x-y-Ebene verbinden, für das Kraftfeld F~1 (~r). Der Weg Γ1 verläuft entlang der
y-Achse bis (0, 1, 0) und dann parallel zur x-Achse bis ~rB . Der Weg Γ2 hingegen verläuft entlang der
Parabel, die in der x-y-Ebene durch die Funktionsgleichung y = x2 gegeben ist. Fertigen Sie eine Skizze
der Integrationswege Γ1 und Γ2 in der x-y-Ebene an.
b) Berechnen Sie für die Kraft aus Aufgabe a) wenn möglich ein Potential Φ. Ist diese Wahl eindeutig?
Berechnen Sie dann mit Hilfe des Potentials die Arbeit WA→B für die Wege Γ1 und Γ2 .
c) Gegeben sei nun das Kraftfeld F~2 (x, y, z) = (αxz − y, −x, βx2 ). Wie müssen α und β gewählt werden,
damit die Kraft konservativ ist? Geben sie für diesen Fall die Arbeit an, die verrichtet wird, wenn man
den Körper auf einer Ellipse (große Halbachse a = 5, kleine Halbachse b = 2) in der x-y-Ebene einmal
komplett herum bewegt. Der Startpunkt sei ~r = (5, 0, 0)T .
Aufgabe 13: Differentialgleichungen
(5 Punkte)
a) Separation der Variablen
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen erster Ordnung mittels Separation der
Variablen:
ẋ = x2 , ẋ = 1 + x2 , ẋ = x2/3 , ẋ = (1 + x2 )1/2 .
Wie lauten die jeweiligen Lösungen für eine Anfangsbedingung x(0) = 1?
b) Bewegungsgleichung
Lösen Sie die Bewegungsgleichung mẍ = F (x) = kx für eine eindimensionale Bewegung mittels Energieerhaltung.
Wie könnte man eine Kraft F (x) = kx realisieren?
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Aufgabe 14: Energieerhaltung
(5 Punkte)
Ein Massepunkt der Masse m gleite reibungsfrei eine schiefe Ebene hinab, die stetig in eine kreisförmige Schleife
(Looping) mit den Radius R übergeht (siehe Abbildung).
Abbildung 1: Loopimg
a) Von welcher Höhe h muss der Massepunkt starten, damit er den oberen Scheitelpunkt S des Loopings
gerade noch erreicht ohne den Kontakt zur Bahnoberfläche zu verlieren?
b) Der Massepunkt wird aus der Höhe h = 6R losgelassen. Berechnen Sie die horizontale Kraftkomponente
auf den Massepunkt im Punkt Q.
Aufgabe 15: Häschen hüpf!
(5 Punkte)
Ein Wagen (Masse M = 150 kg) rollt kräftefrei mit der Geschwindigkeit v0 = 8 m/s. Ihm entgegen laufen zwei
Hasen, die nacheinander auf den Wagen aufspringen. Masse und Geschwindigkeit eines jeden Häschens seien
m = 3 kg und vH = 2 m/s.
a) Wie ändert sich die Geschwindigkeit des Wagens?
b) Wie viele Häschen müssen aufspringen, damit der Wagen stehen bleibt?
c) Die beiden Häschen aus a) springen gleichzeitig so vom Wagen herunter, dass sie mit Geschwindigkeit Null
relativ zum Erdboden auf diesen auftreffen. Mit welcher Geschwindigkeit vW fährt der Wagen weiter?
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