Übungen zur Vorlesung „Aufbau technischer Werkstoffe“

Institut für Werkstofftechnik – Lehrstuhl für Materialkunde und
Werkstoffprüfung
Prof. Dr.-Ing. Hans-Jürgen Christ
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Übungen zur Vorlesung
„Aufbau technischer Werkstoffe“
Aufgabe 1:
a) Gegeben seien ein Lithiumchlorid- (LiCl) sowie ein Calciumsulfidmolekül (CaS).
Bestimmen Sie die Elektronenkonfiguration der angegebenen Atome sowie den
Elektronenübergang zur Bildung des jeweiligen Moleküls. Das folgende Beispiel
verdeutlicht die Vorgehensweise.
Bsp. NaCl: Na11: 1s22s22p63s1[1s22s22p6]++eCl17: 1s22s22p63s23p5+e-[1s22s22p63s23p6]b) Welchem Bindungstyp ist das Lithiumchlorid- (LiCl) sowie das Calciumsulfidmolekül (CaS) zuzuordnen?
Aufgabe 2:
Ein Gefäß mit V=2 l Inhalt wird bei der Temperatur T=22 °C evakuiert und anschließend mit Helium gefüllt, bis sich gegenüber dem äußeren Luftdruck p L=1016 hPa der
Überdruck pÜ=2,0 bar eingestellt hat. Wie groß sind die Teilchenanzahl N, die Stoffmenge n und die Masse m des Gases?
Hinweise: Zustandsgleichung der idealen Gase:
Avogadro-Konstante:
Boltzmann-Konstante:
Aufgabe 3:
Wie groß ist die Coulombenergie EC für ein eindimensionales unendliches Gitter an
Ionen, deren Ladungen ± 1×e im Abstand r0 alternieren?
Hinweis: Berechnen Sie die Madelung-Konstante M durch Aufsummieren über alle
Bindungen, die ein bestimmtes Ion mit allen anderen Ionen eingeht.
Aufgabe 4:
Berechnen Sie für NaCl (Eges = 8 eV, r0 = 0,28 nm) den Exponenten n des BornLande Potentials. Berechnen Sie unter Verwendung dieses Ergebnisses die Kompressibilität κ.
Aufgabe 5:
Leiten Sie den Ausdruck für die Bindungsenergie E ges eines Ionenkristalls unter Verwendung eines abstoßenden Potentials nach Born-Mayer ab.
Berechnen Sie für KBr (Eges = 6,8 eV, r0 = 0,33 nm) die Konstanten A und ρ.
Aufgabe 6:
a) Erklären Sie anhand einer Skizze die Anordnung der Atome in der CsCl- Struktur
(Elementarzelle, dichtest gepackte Richtung).
b) Berechnen Sie den Mindestwert des Radienverhältnisses von Kation zu Anion (im
Modell der harten Kugeln), der notwendig ist, damit ein Kation zwischen den benachbarten Anionen nicht „klappert“.
Aufgabe 7:
a) Wie groß ist der Anteil der Coulomb- Energie EC an der gesamten Bindungsenergie Eges in einem MgO-Kristall, wenn folgende Daten gelten:
Hinweise: M (Madelung-Konstante) = 1,748
r0 (Ionenabstand) = 2,102×10-1 nm
Beachten Sie bitte die Zweiwertigkeit der Ionen.
b) Welchen Einfluss hat das Abstoßungspotential?
Setzen Sie das Abstoßungspotential mit
an und substituieren Sie A durch r0
mit Hilfe einer Betrachtung des Kräftegleichgewichts.
Wie groß ist die gesamte Gitterenergie Eges des MgO-Kristalls, wenn gilt:
p = 0,345×10-1 nm?
Aufgabe 8:
Die spezifische Wärmekapazität der Festkörper entspricht bei tiefen Temperaturen dem
Debyeschen T3 – Gesetz c = konst.T3. Für Zink gilt Cm = 1,76 Jmol-1K-1 (T = 20 K). Welche
Wärme muss einem Bauteil der Masse m = 200 g entzogen werden, wenn es von T 2 = 20 K
auf T1 = 4,2 K abgekühlt werden soll?
Aufgabe 9:
Berechnen Sie die Entropie von 1 Mol O2-Gas bei a) T = 150 °C und b) p = 150 atm!
Gegeben:
–
Aufgabe 10:
Berechnen Sie die Änderung der Gesamtentropie bei dem reversiblen Schmelzvorgang des Eisens bei Atmosphärendruck!
Gegeben: Schmelzpunkt T(s l)
= 1809 K
Schmelzenthalpie H(s l) = 13765 Jmol-1
Aufgabe 11:
Berechnen Sie die Schmelztemperatur von Eisen bei einem Druck von p = 21 atm!
Gegeben: T(s l) = 1809 K (bei 1 atm)
H(s l) = 371 kJmol-1
ρ(l)
= 7,01 gcm-3
ρ(s)
= 7,87 gcm-3
M(Fe) = 55,8 gmol-1
Aufgabe 12:
Berechnen Sie, unter Verwendung der tabellarisierten Werte (Tabelle 1), die Reaktionswärme ∆H298 für folgende Reaktion:
Aufgabe 13:
a) Berechnen Sie mit Hilfe des Heßschen Satzes die Bildungswärme von < Al4C3 >.
Hinweis: Roth hat die Verbrennungswärme von < Al4C3 > entsprechend der folgenden Gleichung gemessen und einen Wert ∆H298 = -1035,5 ± 7,5 kcal/mol
ermittelt:
b) Lässt sich durch diese Berechnungsweise eine Beeinflussung der errechneten
Bildungswärme erkennen?
Aufgabe 14:
Für exakte Berechnungen muss auch die Änderung der Reaktionswärme mit der
Temperatur berücksichtigt werden.
Erläutern Sie die Abhängigkeit am Beispiel der folgenden Reaktion:
Aufgabe 15:
Berechnen Sie die Verdampfungsenthalpie von Bismut!
Gegeben: Dampfdrücke von Bismut bei zwei verschiedenen Temperaturen:
T1 = 1500 K;
p1 = 35 mbar
T2 = 1800 K;
p2 = 394,3 mbar
R = 8,314 Jmol-1K-1
Aufgabe 16:
Kupfer – Zinn – Schmelze
Ermitteln Sie graphisch die Werte der partiellen molaren freien Mischungsenthalpie
und
!
Gegeben: Für eine Kupfer – Zinn – Schmelze ist die molare Gibbssche Mischungsenergie in Abhängigkeit von der Zusammensetzung gegeben (T=1400 K):
0,1
ΔG (M) Jmol-1 8042
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
11857 13368 13807 13251 12088 10389 8104
Verlauf der freien Mischungsenthalpie im System Kupfer-Zinn (T = 1400 K)
0,9
5004
Aufgabe 17:
Berechnen Sie die Aktivitätsverläufe aCu und aSn in Abhängigkeit von der Zusammensetzung und tragen Sie diese Verläufe in ein Aktivitätsschaubild ein!
Aufgabe 18:
Berechnung der Aktivitäten in Blei – Bismut – Schmelzen
Bei 746 K verändert sich der Aktivitätskoeffizient von Blei in Blei – Bismut – Schmelzen mit der Zusammensetzung wie folgt:
ln
= -0,74 (1 -
)2
Ermitteln Sie die korrespondierende Gleichung für die Veränderung von
Zusammensetzung für diese Temperatur!
mit der
Aufgabe 19:
Berechnen Sie die Aktivität des Bleis für
= 0,5 bei 746 K und bei 1000 K!
Aufgabe 20:
Wir betrachten ein Phasendiagramm bestehend aus zwei Komponenten. Zeigen Sie
für eine binäre Legierung, dass aus einem linearen Verhalten der Komponente 1,
resultierend aus dem Raoultschen Gesetz ein nach dem Henry Gesetz abzuleitendes
Verhalten der Komponente 2 folgt.
Aufgabe 21:
Gegeben ist eine Zink-Cadmium-Lösung bei einer Temperatur von 723 K. Berechnen
Sie die Wechselwirkungsparameter ω, die Aktivitätskoeffizienten γZn und γCd sowie
die Aktivitäten aZn und aCd mit Hilfe der vorgegebenen Wertetabelle.
Gegeben: Für eine Zink-Cadmium-Lösung seien die molaren Mischungsenthalpien
für die dazugehörigen Molenbrüche bei T = 723 K gegeben.
0,0596
0,1527
0,3716
0,7625
0,8659
0,9517
493
1126
1985
1585
1039
423
Aufgabe 22:
Gegeben ist der Verlauf der freien Enthalpie von Kristall und Schmelze einer binären
Legierung mit völliger Mischbarkeit bei verschiedenen Temperaturen. Erstellen Sie
mit Hilfe dieser Informationen schematisch das Zustandsdiagramm.
Aufgabe 23:
Gegeben sind eine kubisch-flächenzentrierten (kfz) und eine kubisch-raumzentrierte
(krz) Elementarzelle.
a) Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des von Ionen besetzten Volumens einer
kfz-Elementarzelle.
Kubisch-flächenzentrierte Elementarzelle
b) Bestimmen Sie analog zu Aufgabenteil a) den prozentualen Anteil des von Ionen
besetzten Volumens einer krz-Elementarzelle.
c) Bestimmen Sie zeichnerisch die Koordinationszahlen von einer kfz- sowie einer
krz-Elementarzelle.
Aufgabe 24:
Die Dichte von Kupfer beträgt ρ = 8,93 g/cm³ und sein Atomradius rCu = 128 pm.
Liegt das Metall eher in der kubisch-flächenzentrierten oder kubisch-raumzentrierten
Struktur vor?
Aufgabe 25:
Bei Molekülen treten oft Kombinationen von kovalenten und ionischen Bindungen
auf. In welcher der gegenübergestellten Verbindungen jedes Paares ist der ionische
Charakter der Bindungen stärker ausgeprägt?
a) HCl oder HI
b) P4O10 oder PCl3
c) CO2 oder CS2
Aufgabe 26:
Zwischen Edelgasatomen wirkt aufgrund einer Van-der-Waals-Bindung das LennardJones-Potential:
Zeigen Sie durch eine nähere mathematische Behandlung obiger Beziehung:
a) welche Bedeutung der Abstand σ im E(r)-Verlauf hat,
b) wie groß das Verhältnis von Gleichgewichtsabstand r0 zu σ ist
c) und welche Energie die Größe ε darstellt.
Aufgabe 27:
Die spezifische Wärmeleitfähigkeit je Volumeneinheit lässt sich für freie Elektronen
durch folgenden Term beschreiben:
Hier ist ne die Elektronendichte, C die spezifische Wärme (
) pro Elektron, vD die
Elektronendriftgeschwindigkeit und l die mittlere freie Weglänge.
Zeigen Sie, dass für das Verhältnis der Wärmeleitfähigkeit zur elektrischen Leitfähigkeit gilt:
(Wiedemann-Franz Gesetz)
Aufgabe 28:
Man berechne die Driftgeschwindigkeit vD der Leitungselektronen in einem Kupferdraht, zwischen dessen Enden eine elektrische Feldstärke von E=1 V/m herrscht.
Gegeben: Leitfähigkeit von Kupfer: 
Dichte der Leitungselektronen:
Aufgabe 29:
Gehen Sie von der Zustandsdichte g(E) der freien Elektronen aus.
a) Zeigen Sie, dass die mittlere Energie der Leitungselektronen
(EF: Fermi-Energie) ist.
b) Betrachten Sie ergänzend zu a) die Elektronen als einatomiges klassisches Gas
mit der Energie
. Welche Temperatur müssten die Teilchen eines solchen
klassischen Gases besitzen, wenn sie die Energie Ē (vgl. Aufgabenteil a)) enthalten sollen. Wie groß wäre diese Temperatur im Falle des Kupfers (EF=7 eV)?
Aufgabe 30:
a) Zeigen Sie, dass der Beitrag der freien Elektronen zur spezifischen Wärme:
ausgedrückt werden kann als
b) Vergleichen Sie diesen Ausdruck mit der spezifischen Wärme eines einatomigen
Gases gemäß der klassischen Theorie der Gaskinetik, Cklass. .
Zeigen Sie, dass
c) Berechnen Sie dieses Verhältnis für Kupfer (EF=7 eV) bei Raumtemperatur.
Aufgabe 31:
Wie breit ist der Energiebereich, in dem die Fermi-Dirac-Verteilung von Natrium von
Raumtemperatur (300 K) von 90 % auf 10 % abnimmt?
Gegeben: Parameter des Fermi-Niveaus verschiedener Metalle.
Element
Li
Na
K
Cu
Ag
Fermi-Energie EF [eV]
4,7
3,1
2,1
7,0
5,5
Aufgabe 32:
Welche Besetzungswahrscheinlichkeit hat ein Quantenzustand, dessen Energie um
a) 0,10 eV oberhalb oder b) 0,10 eV unterhalb der Fermi-Energie liegt? Die Temperatur betrage T=800 K.
Aufgabe 33:
a) Leiten Sie den Ausdruck zur Bestimmung der Fermi-Energie bei T=0 K über die
Integration der Dichte der besetzten Zustände her.
Dichte der besetzten Zustände für Kupfer am absoluten Nullpunkt
b) Bestimmen Sie für Silber (Ag) die Anzahl n der Leitungselektronen pro Volumeneinheit. Die dazugehörige Fermi-Energie ist Aufgabe 31 zu entnehmen.
Aufgabe 34:
Berechnen Sie die Grenzflächenenthalpie γS für eine (111)-Fläche und eine (100)Fläche in Ni, wenn die Sublimationsenergie LS=2088 kJ/mol beträgt und der Atomdurchmesser etwa 3×10-1 nm ist.
Aufgabe 35:
a) Nach Glühung bei hoher Temperatur stellt sich an den Korngrenzentripelpunkten
die folgende Gleichgewichtskonfiguration ein:
Korn 1
Θ1
Θ3
Korn 3
Θ2
Korn 2
Man zeige, dass folgende Bedingung gilt:
b) Was geschieht nach dem Glühen mit den an der Oberfläche austretenden Korngrenzen?
Berechnen Sie die Korngrenzenenergie γB, wenn der an der Oberfläche gebildete
Winkel 147° beträgt und die Oberflächenenergie γS bei 1,089 J/m² liegt.
Aufgabe 36:
Leiten Sie mit Hilfe des Massenwirkungsgesetzes und dem ersten und zweiten
Hauptsatz der Thermodynamik über die Gibbssche Freie Enthalpie die Gleichgewichtskonstante bei Standardbedingungen ∆G=0 her.
Aufgabe 37:
Erläutern Sie die Unterschiede zwischen der Schottky- und der FrenkelFehlerordnung und bestimmen Sie jeweils die dazugehörige Gleichgewichtskonstante.