Kapitel 7

Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II
Teil 1: Elektrizitätslehre, Elektrodynamik
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Elektrische Ladung und elektrische Felder
Kapazität
Elektrischer Strom
Magnetostatik
Elektrodynamik
Schwingkreise und Wechselstrom
Teil 2: Optik
7. Elektromagnetische Wellen
8. Optik
345
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7 Elektromagnetische Wellen
7.1 Wiederholung: Mechanische
Schwingungen
Der harmonische Oszillator ist die einfachste Form einer
Schwingung. Beim Federpendel ist die rücktreibende Kraft:
F ( A) = − D A
D
A(t)
Das zweite Newtonsche Gesetz liefert
dann die Bewegungsgleichung:
F(A)
m
FT
d 2 A(t )
d 2 A(t ) D
= − DA(t ) ⇔
+ A(t ) = 0
m
2
2
dt
dt
m
oder in Kurzschreibweise
&& + D A = 0
A
m
346
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Allgemeine Lösung der Schwingungs(differential-) gleichung (DGL) sind
harmonische Funktionen
A(t) = A0 cos(ωt) +
A&0
ω
sin(ωt)
Spezielle Anfangsbedingungen:
A(0) = A0
& (0) = A& = 0
Startgeschwindigkeit: A
0
Startamplitude:
Eine Schwingung ist ein zeitlich periodischer Vorgang.
A(t), A& (t)
x
A(x,t)
A0
T
A& (t)
A&0 = 0
t
A(t)
A(t)
t
347
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.2 Wellen - 1D Betrachtung
Eine Welle beschreibt einen zeitlich
und räumlich periodischen Vorgang.
Die Auslenkung A einer Welle hängt
also von zwei Variablen ab:
A = A( x, t )
Für einen festen Ort x soll A eine
Schwingungs-DGL erfüllen, also:
∂2 A
2
ω
A=0
+
2
∂t
Dabei ist
2π
ω=
T
die (Kreis-) Frequenz und T die
Schwingungsdauer.
A( x , t )
x = const.
A(x,t1)
t
t1
T
Für eine feste Zeit t soll A einen räumlich periodischen Vorgang beschreiben.
Für die Variable x muss also die folgende DGL gelten:
∂2 A
2
+
k
A=0
2
∂x
348
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Die beiden DGL's für A(x,t) lauten
A( x, t )
∂2 A
2
+
k
A=0
2
∂x
t = const.
A(x1,t)
x
x1
λ
Dabei ist
k=
2π
λ
die Wellenzahl mit der Wellenlänge λ,
die
die
räumliche
Periodenlänge
beschreibt.
∂2 A
2
+
ω
A=0
2
∂t
und lassen sich zusammenfassen als
1 ∂2 A
A=− 2 2
ω ∂t
∂2 A k 2 ∂2 A
⇒ 2 − 2 2 =0
∂x
ω ∂t
349
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Wir werden später sehen, dass der Quotient v = ω/k die (Phasen-) Geschwindigkeit
der Welle beschreibt. Damit ergibt sich für die Auslenkung A die folgende Gleichung:
∂ 2 A( x, t ) 1 ∂ 2 A( x, t )
− 2
=0
2
2
v
∂x
∂t
Bemerkungen:
ƒ Dies ist die eindimensionale Wellengleichung.
ƒ Jede Lösung A(x,t) der obigen DGL wird als Welle bezeichnet.
ƒ Die Wellengleichung ist eine lineare, partielle DGL 2. Ordnung mit
ƒ konstanten Koeffizienten.
ƒ Die Größe v ist hierbei die sog. „Phasengeschwindigkeit“ der Welle.
Anschaulich gibt sie an, mit welcher Geschwindigkeit sich eine
Auslenkung bewegt. Dies ist zu unterscheiden von der sog.
„Gruppengeschwindigkeit“ einer Welle, die die Geschwindigkeit der
räumlichen Ausbreitung beschreibt.
ƒ In einer Welle findet kein Materie- sondern Energietransport statt.
350
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.3 Wellen - 3D Betrachtung
Die Auslenkung A einer Welle hängt jetzt von den drei räumlichen Koordinaten und
der Zeit ab:
r
A = A( x, y, z , t ) = A(r , t )
Wenn die gleiche Überlegung wie im 1D Fall in allen drei Raumrichtungen
durchgeführt wird, dann ergibt sich als Wellengleichung für eine sich zeitlich und
räumlich periodisch ausbreitende Auslenkung:
r
r
r
r
2
2
2
∂ A(r , t ) ∂ A(r , t ) ∂ A(r , t ) 1 ∂ A(r , t )
+
+
− 2
=0
2
2
2
2
v
∂x
∂y
∂z
∂t
2
Dies lässt sich mit dem Laplace-Operator zusammenfassen zu:
r
1 ∂ A(r , t )
r
ΔA(r , t ) − 2
=0
2
v
∂t
2
⎧ ∂2 ∂2 ∂2 ⎫
Δ=⎨ 2 , 2 , 2⎬
⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭
Dabei ist v der Betrag der Phasengeschwindigkeit in 3D.
351
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: 1D-Wellen auf Wasseroberflächen
352
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: 2D-Wellen auf Membranen
353
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: 1D-Wellen auf einem Seil
354
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Schallwellen
p(x,t)
⇒ Schallwellen sind longitudinale Druckschwankungen der Luft:
p( x, t ) = pLuft + p0 cos(kx − ωt ), cSchall = ω k
355
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Schallgeschwindigkeit in Luft: cSchall = 340 m/s
Lichtgeschwindigkeit:
cLicht = 300000000 m/s
⇒ cLicht >> cSchall
Entfernung x eines Gewitters:
x ≈ cSchall Δt = cSchall 3s ≈ 1 km/s
x [km] ≈ Δt [s] / 3
Dabei ist Δt die Zeit zwischen dem Sehen des Blitzes
und dem Hören des Donners.
x=?
Δt
356
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Schallgeschwindigkeit
in unterschiedlichen Medien
357
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Klingel unter Vakuum
Wenn die Luft aus der Glocke
gepumpt wird, dann ist die Klingel
nicht mehr zu hören.
Bei einer mechanischen Welle wird
immer ein Medium zur Übertragung
benötigt.
358
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Die „Schallmauer“
359
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Wanne zur Erzeugung von Wasserwellen
Motor
Halterung
Wanne mit Wasser
An die Halterung werden verschiedene Wellenerreger befestigt, mit denen sich
z.B. Kreiswellen und ebene Wellen erzeugen lassen.
360
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.4 Lösungen der Wellengleichung
Die einfachste Lösung der 1D-Wellengleichung
∂ 2 A( x, t ) 1 ∂ 2 A( x, t )
− 2
=0
2
2
∂x
∂t
v
ist eine monochromatische harmonische
ebene Welle:
A( x, t ) = A0 cos ( k x − ω t )
mit
k=
2π
λ
, ω=
2π
T
Dabei wird der Ausdruck (kx – ωt) als
die „Phase“ der Welle bezeichnet.
∂ 2 A( x, t )
2
=
−
k
A0 cos ( k x − ω t )
2
∂x
∂ 2 A( x, t )
2
ω
A0 cos ( k x − ω t )
=
−
2
∂t
Einsetzen in die Wellengleichung ergibt:
⎛ 2 ω2 ⎞
⎜ − k + 2 ⎟ A0 cos ( k x − ω t ) = 0
v ⎠
⎝
⇒ −k +
2
ω2
v
2
=0⇒v=
ω
k
Hier ist v ist die Phasengeschwindigkeit.
Durch Einsetzen zeigt man leicht, dass
dies eine Lösung ist:
361
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Für Werte konstanter Phase gilt:
k x − ω t = const.
An zwei Punkten (x1,t1) und (x2,t2) mit
gleicher Phase ist dann:
k x1 − ω t1 = const.
k x2 − ω t2 = const.
⇒ k ( x1 − x2 ) − ω (t1 − t2 ) = 0
x1 − x2 Δx ω
⇒v=
=
=
Δt k
t1 − t2
Hier soll auch gleich wieder an die
komplexe Schreibweise erinnert werden. Deswegen wird auch die Funktion
A( x, t ) = A0 exp ( i (k x − ω t ) )
mit
2π
2π
k=
, ω=
λ
T
als Welle bezeichnet. Physikalisch sinnvoll ist natürlich wieder nur der Realteil:
A( x, t ) = Re ( A0 exp ( i (k x − ω t ) ) )
= A0 cos ( k x − ω t )
Dies ist nicht die einzige Lösung der
Wellengleichung in 1D. Beispielsweise
wäre auch
A( x, t ) = A0 sin ( k x − ω t )
eine Lösung. Die Wellengleichung hat
viele Lösungen.
362
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Der Zusammenhang der Phasengeschwindigkeit v einer Welle und ihrer Wellenlänge
und Frequenz ergibt sich einfach aus der Darstellung mit der Wellenzahl k und der
Kreisfrequenz ω zu:
ω
2π
2π
= 2π f
v=
mit k =
, ω=
k
λ
T
⇒ v=λ f
A(x,t)
T
A(t)
v=
λ
T
x
363
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Orte konstanter Phase breiten sich in der Zeit t = T um die Strecke x = λ aus.
364
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Dies lässt sich einfach für 3D-Wellen
verallgemeinern. So erhält man als
Lösung der 3D-Wellengleichung
r
1 ∂ A(r , t )
r
ΔA(r , t ) − 2
=0
2
v
∂t
2
eine ebene, monochromatische, harmonische Welle der Form:
r r
r
A(r , t ) = A0 cos k ⋅ r − ω t
(
)
⎛ kx ⎞
r ⎜ ⎟ r 2π
mit k = ⎜ k y ⎟ , k =
λ
⎜k ⎟
⎝ z⎠
r r
Dabei ist der Ausdruck k ⋅ r − ω t wieder
die Phase der Welle.
Jetzt ist:
r r
r
2
Δ A ( r , t ) = − k A0 cos k ⋅ r − ω t
(
)
k 2 = k x2 + k y2 + k z2
r
2
r r
∂ A(r , t )
2
= − ω A0 cos k ⋅ r − ω t
2
∂t
mit
(
)
Einsetzen in die Wellengleichung ergibt:
r r
⎛ 2 ω2 ⎞
⎜ − k + 2 ⎟ A0 cos k ⋅ r − ω t = 0
v ⎠
⎝
(
⇒ −k +
2
⇒v=
ω
k
ω2
v
=
2
)
=0
ω
k x2 + k y2 + k z2
365
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Eine ebene Welle der Form
r r
r
A(r , t ) = A0 cos k ⋅ r − ω t
(
)
⎛k ⎞ ⎛k ⎞
r ⎜ x⎟ ⎜ x⎟
k = ⎜ ky ⎟ = ⎜ 0 ⎟
⎜k ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ z⎠ ⎝ ⎠
kann durch das Bild rechts veranschaulicht werden. Die Ausbreitungsrichtungr der Welle ist durch den
Vektor k gegeben. Dieser Vektor steht
senkrecht auf den Wellenfronten.
⎛ kx ⎞ ⎛ x ⎞
r r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
k ⋅ r = ⎜ 0 ⎟ ⋅ ⎜ y ⎟ = kx x
⎜ 0 ⎟ ⎜z⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Komplexe Schreibweise:
r r
r
A(r , t ) = A0 exp i (k ⋅ r − ωt )
(
y
)
x
366
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Eine Kugelwelle
durch
ist
beispielsweise
r
A(r , t ) = A0 cos ( k r − ω t )
gegeben. Mit
⎛k ⎞
r
r ⎜ x⎟
r
k = ⎜ ky ⎟ = k
r
⎜k ⎟
⎝ z⎠
r = x2 + y2 + z 2
kann man leicht zeigen, dass diese
Funktion die Wellengleichung erfüllt.
Die Ausbreitungsrichtung ist nun radial
nach Außen, also:
r
r r
r
r
r
k = k r r ⇒ k ⋅ r = (k r r )⋅ r = kr
Die komplexe Schreibweise lautet hier
r
A(r , t ) = A0 exp ( i (k r − ωt ) )
367
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.5 Überlagerung von Wellen: Schwebungen
Wir betrachten nun zwei 1D-Wellen mit gleicher Amplitude A0 aber unterschiedlicher
Wellenlänge und Frequenz:
A1 ( x, t ) = A0 cos(k1 x − ω1t )
A2 ( x, t ) = A0 cos(k2 x − ω2t )
Dann gilt für die Überlagerung beider Wellen:
A12 ( x, t ) = A1 ( x, t ) + A2 ( x, t )
= A0 cos(k1 x − ω1t ) + A0 cos(k2 x − ω2t )
Da die Wellengleichung linear ist, ist die Superposition zweier Wellen wieder eine
Lösung der Wellengleichung.
Ganz allgemein gilt der folgende Zusammenhang:
⎛ a +b ⎞ ⎛ a −b ⎞
cos(a) + cos(b) = 2cos ⎜
⎟cos ⎜
⎟
2
2
⎝
⎠ ⎝
⎠
368
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Damit folgt für die Überlagerung der beiden Wellen:
A12 ( x, t ) = A0 cos( k1 x − ω1t ) + A0 cos( k2 x − ω2t )
⎛ ( k1 + k 2 ) x − (ω1 + ω2 )t ⎞
⎛ ( k1 − k 2 ) x − (ω1 − ω2 )t ⎞
= A0 2cos ⎜
⎟ cos ⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
Dies lässt sich mit den Definitionen
k1 + k2
k1 − k2
ω1 + ω2
ω1 − ω2
k =
, ω=
, Δk =
, Δω =
2
2
2
2
folgendermaßen schreiben:
A12 ( x, t ) = 2 A0 cos ( Δk x − Δω t ) cos ( k x − ω t )
= A% 0 ( x, t )cos ( k x − ω t )
Dies ist eine Welle mit der mittleren Frequenz
einer orts- und zeitabhängigen Amplitude
ω
und der mittleren Wellenzahl
A% 0 ( x , t ) .
k und
369
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
A12 ( x, t ) = 2 A0 cos ( Δk x − Δω t ) cos ( k x − ω t )
Die Amplitude
= A%0 ( x, t )cos ( k x − ω t )
A%0 ( x, t ) = 2 A0 cos ( Δk x − Δω t )
hüllt die Welle ein, da Δk und Δω kleine Frequenzen und Wellenzahlen sind.
370
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.6 Stehende Wellen
Wir betrachten jetzt die Überlagerung zweier 1D Wellen mit gleicher Amplitude aber
entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung:
A1 ( x, t ) = A0 cos(+ kx − ωt ),
A2 ( x, t ) = A0 cos(− kx − ωt )
⇒ A( x, t ) = A1 ( x, t ) + A2 ( x, t )
= A0 cos(+ kx − ωt ) + A0 cos(− kx − ωt )
⇒ A( x, t ) = A0 ( cos(kx) cos(ωt ) + sin(kx) sin(ωt )
+ cos(kx) cos(ωt ) − sin(kx) sin(ωt ) )
⇒ A( x, t ) = 2 A0 cos(kx) cos(ωt )
Das ist eine sog. „stehende Welle“, bei der an jedem festen Ort x eine harmonische
Schwingung mit der Amplitude 2A0cos(kx) stattfindet.
371
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Die Überlagerung einer hin- und rücklaufenden Welle ergibt also eine stehende Welle mit raumfesten Knotenpunkten:
hinlaufend
Beispiel: Schwingung einer Saite
rücklaufend
Wellenbäuche kx = nπ ⇒ x = nλ/2
Knotenpunkte bei
reflektierende
kx = nπ + π/2
Wand
⇒ x = nλ/2 + λ/4
372
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.7 Elektromagnetisches Spektrum
700
600
500 nm 400
sichtbares
Licht
Frequenz
v [ Hz]
Mikro- Infrarotwellen strahlung
Licht
Lang- Mittel- UKW
welle & Kurz- und
welle Fernsehen
Radar
104 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 1023
UltraRöntgenviolettstrahlung
strahlung
Gammastrahlung
104 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-1010-1110-1210-1310-14
λ [ m]
Wellenlänge
c
λ=
v
m
mit c = 2.997925 ⋅10
s
8
373
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Historische Erzeugung von Radiowellen durch Hochspannungsfunken
Die hohe Spannung baut ein entsprechend hohes E-Feld auf. Schlägt der
Funken über, bricht innerhalb von
Nanosekunden das Feld zusammen.
Dabei werden die Ladungen stark
beschleunigt und strahlen. Heute wird
der primitive Funken durch aktive Bauelemente (Transistoren) ersetzt.
Erzeugung von Licht durch eine Glühbirne
Durch hohe Temperaturen werden die Ladungen in den Molekülen so stark zu thermischen Bewegungen
(Beschleunigung) angeregt, dass sie elektromagnetische Wellen
aussenden.
Weißes Licht enthält Wellen verschiedener Frequenzen = „Farben“
Glühdraht
Prisma
374
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Erzeugung von Röntgenstrahlung
Elektron
Kristall
Atomkern
einige 10 - 100 kV
Die Elektronen werden im Kristall stark abgebremst (d.h. negativ beschleunigt) und
strahlen dabei kurzwellige Strahlung ab („Bremsstrahlung“).
375
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Typisches Röntgenspektrum aus Brems- und charakteristischer Strahlung
376
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Erzeugung von Gammastrahlung
Im Prinzip wie bei der Röntgenröhre durch Bremsstrahlung. Die Elektronenenergie
ist allerdings wesentlich höher. Sie wird durch Teilchenbeschleuniger (z.B. „LINAC“)
erzeugt.
DELTA-LINAC
SLAC in Kalifornien, USA
6.4 m
E Elektron = 75 MeV
3 km
E Elektron = 50 GeV
377
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Experimenteller Nachweis elektromagnetischer Wellen
Heinrich Rudolf Hertz
(1857-1894)
Nachweis elektromagnetischer Wellen
in den Jahren 1885 bis
1889 an der Universität
in Karlsruhe.
378
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Erzeugung elektromagnetischer Wellen mittels Funkeninduktor
379
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Durch den Funkeninduktor werden in der Antenne hochfrequente Wechselspannungen erzeugt
Empfänger
Funkeninduktor
Antennen
Verstärker
Antenne
Sendestation
hochfrequentes
Signal
empfangenes
Signal
380
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.8 Elektromagnet. Wellengleichung
Die vier Maxwell-Gleichungen lauten
r r ρ
∇⋅E =
ε0
r r
∇⋅B = 0
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r r
⎛r
∂E ⎞
∇ × B = μ0 ⎜ j + ε 0
⎟
t
∂
⎝
⎠
Aus diesen Gleichungen folgt direkt
eine Wellengleichung, wie man folgendermaßen sieht:
Im materiefreien Raum verschwinden
sowohl die Ladungs- als auch die Stromdichte, also:
r
r r
j (r , t ) = 0,
r
ρ (r , t ) = 0
Dann lautet die vierte Maxwell-Gleichung:
r
r r
∂E
∇ × B = μ 0ε 0
∂t
Diese Gleichung wird nun nach der Zeit
abgeleitet:
r
r
2
r ∂B
∂ E
∇×
= μ 0ε 0 2
∂t
∂t
381
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
r
r
2
r ∂B
∂ E
∇×
= μ 0ε 0 2
∂t
∂t
Im materiefreien Raum gilt wegen der
1. Maxwell-Gleichung:
r r ρ
∇⋅E = = 0
ε0
Die 3. Maxwell-Gleichung besagt aber:
r
r r
∂B
= −∇ × E
∂t
Damit folgt:
r r r
r
∇ × ∇ × E = −ΔE
(
)
Einsetzen in die linke Seite ergibt:
r
r r r
∂ E
−∇ × ∇ × E = μ0ε 0 2
∂t
(
)
2
Dies eingesetzt in die linke Seite der
Gleichung vorher ergibt:
r
r
∂ E
ΔE = μ0ε 0 2
∂t
2
Nun gilt für ein beliebiges Vektorfeld:
r r r
r r r
r
∇ × ∇ × E = ∇ ∇ ⋅ E − ΔE
(
)
(
)
382
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Es ergibt sich also die folgende Gleichung für das elektrische
Feld im materiefreien Raum:
r
r 1 ∂2E
ΔE − 2 2 = 0 mit c =
c ∂t
1
μ 0ε 0
James Clerk Maxwell
(1831-1879)
Bemerkungen:
• Dies ist eine Wellengleichung. Neben der trivialen Lösung E = 0 für das Feld im
Vakuum gibt es also noch „wellenförmige“ Lösungen der Maxwell-Gleichungen.
• Diese Gleichung gilt für jede Komponente des elektrischen Feldes. Es sind also
genau genommen drei (3D) Wellengleichungen.
• Die Phasengeschwindigkeit c dieser Wellen ist durch die Feldkonstanten
gegeben. Sie ist damit eine universelle Naturkonstante.
• Es ist zu beachten, dass das elektrische Feld allein aber nicht ausreicht, um eine
solche Welle zu generieren. Bei der Herleitung wurde das Induktionsgesetz
verwendet.
383
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Hertzscher Dipol als Sender und
Empfänger
HF-Generator mit Röhrenverstärker
Senderdipol
Verstärkerröhre
Empfangsdipol
Auskoppelschleife
Die von hochfrequentem Wechselstrom durchflossene Auskoppelschleife erzeugt ein magnetisches
Wechselfeld, das in dem Dipol eine
HF-Spannung induziert. Der Strom
in dem Empfangsdipol bringt die
Glühbirne zum Leuchten.
384
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Den besten Wirkungsgrad hat ein Dipol,
wenn seine Länge L = λ/2 beträgt. Dann
kann sich eine stehende Welle optimal
ausbilden.
Spannung
Strom
starkes
Signal
L =
λ
2
Dipol
λ
2
L
Ein optimal abgestimmter Dipol ist
gleichermaßen gut zum Senden wie
zum Empfangen von elektromagnetischen Wellen geeignet.
385
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Ausbreitung elektromagnetischer Wellen
Das elektrische und magnetische Feld
schwingt jeweils nur in einer Ebene.
Eine solche Welle wird als „linear
polarisiert“ bezeichnet.
In einer elektromagnetischen Welle
stehen elektrisches und magnetisches
Feld senkrecht aufeinander. Beide
Felder sind senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle orientiert. Die Welle
ist damit transversal.
z
r
B
Die Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen ergibt:
((
((
r r
r
E1 = xˆ E0 exp i k ⋅ r − ωt
r r
r
E2 = zˆ E0 exp i k ⋅ r − ωt
r
r r
⇒ Eges = E1 + E2
r
k
r
E
))
))
x
r
r
B⊥E
r r
r
r
B ⊥ k, E ⊥ k
λ
y
Beide Wellen sind in Phase, d.h. es
ist Δϕ = 0. Es ergibt sich wieder eine
linear polarisierte Welle, aber mit
gedrehter Polarisationsebene.
386
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
z
((
((
Welle E1
Welle E2
Δϕ = 0
x
z
))
r r
r
E1 = xˆ E0 exp i k ⋅ r − ωt
r r
r
E2 = zˆ E0 exp i k ⋅ r − ωt + Δϕ
r
r r
⇒ Eges = E1 + E2
Δϕ = 0
y
z
Welle E1
x
Δϕ =
))
π
2
Welle E2
r
r r
Eges = E1 + E2
x
y
Bei einer Phasenverschiebung der
beiden sich überlagernden Wellen um
Δϕ = π/2 erhält man eine zirkular
polarisierte Welle, d.h. der elektrische
Feldvektor läuft auf einem Kreis.
y
r
r r
Eges = E1 + E2
387
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.9 Rotierender Dipol: Retardierung
Das Entstehen einer elektromagnetischen Welle kann qualitativ mit dem
Beispiel eines schnell rotierenden Dipols
erläutert werden.
Beim ruhenden Dipol sieht ein Beobachter in der Entfernung r eine feste Feldrichtung. Führt der Dipol schnell eine volle
Umdrehung aus, so merkt der Beobachter zunächst nichts. Die Information
kommt verzögert (retardiert) nach der Zeit
r
t=
v
r
r
v=c
im Abstand r an.
Durch die endliche Laufzeit entsteht also
eine „Wellenbewegung“ im Feld.
r
r
388
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Auch das Magnetfeld breitet sich mit c
aus. Bei schneller Rotation des
Magneten „hinkt“ das weiter entfernt
gemessene Feld hinterher; es entsteht
in größerem Abstand eine Kugelwelle.
Das ist das Prinzip der extrem starken
Abstrahlung eines Neutronensterns.
Rotation 0 Hz
Frage: Kann man einen Stabmagneten
mit der Frequenz f = 10 kHz rotieren
lassen?
ω
m
Rotation 200 Hz
Bereich 800×800 km2
Rotation 2000 Hz Rotation 10000 Hz
r
Sei r = 5 cm und der Polbereich habe
die Masse m = 50 g, dann ist die
Zentrifugalkraft:
FZ = m r ω 2
(
= 0.05 ⋅ 0.05 ⋅ 2π ⋅10
4
)
2
kgm
s2
≈ 107 N
⇒ entspricht 1000 Tonnen (!)
389
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.10 Hertzscher Dipol
In einem elektrischen Schwingkreis
oszilliert die Energie periodisch zwischen
elektrischem und magnetischem Feld.
Der Hertzsche Dipol als einfacher
Schwingkreis ist das Standardbeispiel, an dem die Abstrahlung elektromagnetischer Wellen diskutiert wird.
EL EC EL EC EL EC
EL EC
EL EC
Oszillierende Ladungen und Ströme
erzeugen entsprechende elektrische
und magnetische Felder:
EL EC EL EC EL EC
390
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Das Feld eines statischen elektrischen
Dipols war (siehe Abschnitt 1.5):
r r
E (r ) =
mit
1
4πε 0
r
r r
er =
r
r r r r
3 ( p ⋅ er ) er − p
r3
und
r
r
p = qd
r
p
Wenn Abstand d = d(t) zeitlich veränderlich ist, so gilt auch p = p(t). Dann
verändert sich auch das E-Feld zeitlich,
d.h. nach der 4. Maxwell-Gleichung
wird ein Magnetfeld induziert: der Dipol
strahlt elektromagnetische Wellen ab.
Eine etwas längere Rechnung ergibt für
das Fernfeld (r >> d) eines Dipols mit dem
r
zeitlich veränderlichen Dipolmoment p(t ) :
r
r r
μ0 &&r r
B(r , t ) =
p×
4π c r
r
r r r
r r
μ0 ⎛ &&p ⋅ r r &&r ⎞
E (r , t ) =
⋅ − p⎟
⎜
4π r ⎝ r r
⎠
Dabei ist im Argument des Dipolmomentes
wegen der endlichen Lichtgeschwindigkeit
c nicht die Zeit t selbst, sondern der sog.
„retardierte Zeitpunkt“ t – r/c einzusetzen:
r r⎛ r ⎞
p = p⎜t − ⎟ =
⎝ c⎠
r⎞ r
r⎛
p ⎜ ωt − ω ⎟ = p (ωt − kr )
c⎠
⎝
391
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Es gilt offensichtlich:
r r
r r
r r
r r
r
⇒ B(r , t ) ⋅ E(r , t ) = 0 ⇒ B(r , t ) ⊥ E(r , t ) ⊥ r r
r
r r
r r
r r
r r r
⇒ B(r , t ) = × E(r , t ) ⇒ E(r , t ) = c B(r , t )
cr
r r
Wegen p = p (ωt − kr )
strahlt der Dipol
elektromagnetische Wellen in radialer
Richtung ab („Kugelwellen“) mit den
Beträgen der Felder:
r r
r r
E (r , t ) ∝ B(r , t ) ∝
r
r
Wegen
p(t ) = qd (t )
r
&&r
&&
folgt:
p(t ) = qd (t )
r
&&
p (ωt − kr )
r
Nur eine beschleunigte Ladung in einem
Dipol strahlt elektromagnetische Wellen
ab.
q
r
r (t )
Teilchenbahn
Auch eine einzelne Ladung hat bzgl.
eines festen Raumpunktes immer
ein Dipolmoment:
r
r
p(t ) = qr (t )
r
r
&&
&&
p(t ) = qr (t )
Dann gilt für die abgestrahlten Felder:
r r
r r
r
E (r , t ) ∝ B(r , t ) ∝ &&
r
d.h. beschleunigte Ladungen strahlen
immer elektromagnetische Wellen ab.
392
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.11 Abgestrahlte Leistung
Wir hatten für die Energiedichte im
elektromagnetischen Feld gefunden:
dW 1
1 2
w=
B
= ε0E2 +
dV 2
2 μ0
Es gilt für elektromagnetische Wellen:
r
r rr
E = cB ×
r
Einsetzen in den Ausdruck für die
Energiedichte führt auf:
1 ε 0c 2 r r 2
1 2
w=
B×r +
B
2
2 r 123 2 μ0
1
1 2
2
2
w = ε 0c B +
B
{
2 =1 μ
2 μ0
0
1 2
1 2
B +
B
=
2 μ0
2 μ0
⇒ w=
1
μ0
B2 = ε 0 E 2
Die abgestrahlte Energie pro Volumen
steckt also zur Hälfte im elektrischen
und zur anderen Hälfte im magnetischen
Feld. Wir berechnen nun die abgestrahlte Leistung pro Fläche.
=r 2 B2
393
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
r
S
r
r
r
Dipol: p (t )
r
dA
r
Der Vektor S ist der sog. Poynting-Vektor. Sein Betrag gibt die Strahlungsleistung an, die durch die Fläche dA tritt;
seine Richtung ist die Richtung des
Energieflusses.
Für die Energie W, die durch die Fläche
dA tritt, gilt:
dW
dW
dW
w=
=
⇒
= wdr
dV drdA
dA
Damit folgt für die abgestrahlte Energie
pro Fläche und Zeit, also für die
Leistung pro Fläche:
John Henry Poynting
(1852-1914)
r c 2 rr
dW
dr c 2
= w
= B ⇒S= B
S=
{
μ0 r
dtdA
dt μ0
B2 {
=
2 μ0
=c
394
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Wir betrachten den Ausdruck
Abstrahlung des Hertzschen Dipols
1 r r 1 c r r r
E×B =
B×r × B
μ0
μ0 1
r424
3
r
(
)
r
B
=E
r
E
c ⎡⎢ r r r r r r ⎤⎥
B⋅ B r − B⋅ r B
=
{ ⎥
μ0 r ⎢
=0
⎣
⎦
r
c 2r
= B
μ0 r
(
) (
)
Der Poynting-Vektor kann also auch
folgendermaßen ausgedrückt werden:
r 1 r r
S=
E×B
μ0
Dieses Resultat gilt allgemein für jede
e.m. Welle. Der Poynting-Vektor ist das
Vektorprodukt aus E und B und zeigt in
Ausbreitungsrichtung.
r
B
r
E
r
S
S = 0, da hier das
elektrische Feld in
Richtung der Ausbreitung verläuft: ϑ = 0
S = Smax, da hier das elektrische Feld
senkrecht zur Ausbreitung ist: ϑ = 90°
395
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.12 Intensität und Strahlungsdruck
Wir definieren zunächst den Begriff der
Intensität einer elektromagnetischen
Welle. Die Intensität I ist die mittlere
übertragene Leistung pro Fläche, also:
r
I= S
t
= w tc
Hierbei ist S der schon eingeführte
Poynting-Vektor und ⟨w⟩t die über die Zeit
gemittelte Energiedichte des elektromagnetischen Feldes.
Beispiel: Intensität einer ebenen Welle
r
r
ˆ 0 cos(ωt − kx) B = zB
ˆ 0 cos(ωt − kx)
E = yE
r
r r
−1
S = μ0 E × B = xˆμ0−1E0 B0 cos2 (ωt − kx)
Nun muss der Betrag des PoyntingVektors gebildet und über die Zeit
gemittelt werden:
r
S = xˆ μ0−1 E0 B0 cos 2 (ωt − kx)
r
⇒ S = μ0−1E0 B0 cos2 (ωt − kx)
r
⇒ I = S = μ0−1E0 B0 cos2 (ωt − kx)
t
1442443t
=1 2
=
1
2 μ0
E0 B0 =
1 E0 B0
1
Eeff Beff
=
μ0 2 2 μ 0
Die zeitlich gemittelte Energiedichte ist:
wt=
r2
B
μ0
B02 B0 E0 c 1 E0 B0 I
=
=
=
=
2μ0
2μ0
c 2μ0 c
396
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Wir betrachten nun eine Ladung q mit
der Masse m, die vom elektrischen
Feld der Welle in y-Richtung beschleunigt wird. Die Geschwindigkeit
vy und die kinetische Energie W der
Ladung nach der Zeit Δt ist:
qE
Δt
m
1 2 1 q2E 2
W = mv y =
(Δt ) 2
2
2 m
r
zB
r
E
r
k
y
v y = aΔt =
Die Welle hat die Energie W auf das
Teilchen übertragen.
q
FE = qE
x
Da sich die Ladung im Magnetfeld der
Welle in y-Richtung bewegt, wird sie
durch die Lorentz-Kraft in x-Richtung
abgelenkt. Für einen beliebigen Zeitpunkt t gilt:
FL , x
q2 E B
= qv y B =
t
m
397
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Der auf das Teilchen wirkende Kraftstoß
ist gleich dem Impuls px, der von der
Welle auf das Teilchen übertragen wird:
Δt
Δt
q 2 EB
q2 E B
(Δt )2
px = ∫ FL , x dt = ∫
t dt =
2m
m
0
0
Wegen B = E/c ergibt sich:
2
2
2
q EB
11q E
W
2
2
px =
(Δt ) =
(Δt ) =
2m
c2 m
c
Der von der elektromagnetischen Welle
übertragene Impuls ist also gleich der
übertragenen Energie W dividiert durch die
Ausbreitungsgeschwindigkeit c.
Die Intensität I einer Welle ist die
übertragene Energie pro Zeit und
Fläche. Wegen p = W/c ist I/c also ein
Impuls pro Zeit und Fläche, also eine
Kraft pro Fläche, d.h. ein Druck.
Somit erhält man den Strahlungsdruck PS einer elektromagnetischen
Welle:
I 1 r
PS = =
S
c c
= w
t
t
Beispiel: Strahlungsdruck ebene Welle
r
E = yˆ E0 cos(ωt − kx)
r
B = zˆB0 cos(ωt − kx)
I = E0 B0 /(2 μ 0 )
⇒ PS = E0 B0 /(2cμ 0 )
398
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Radiometer
Beispiel: Strahlungsdruck Sonne-Erde
Mittlere Intensität der Sonnenstrahlung:
I ≈ 1400
Lichtwellen, die auf die reflektierende
Seite treffen übertragen den doppelten Impuls im Vergleich zu Lichtwellen, die auf die absorbierende
Seite treffen.
In der Praxis dreht sich das Radiometer aber genau anders herum.
Warum?
Watt
1400 Watt
−6 N
⇒
P
≈
=
⋅
5
10
S
m2
3 ⋅108 m s m2
m2
(vgl. Luftdruck PL ≈ 1000 hPa = 105 N/m2)
Auf die ganze Erde wirkt dann die Kraft:
N
2
⋅
⋅
3.14
(6400km)
m2
≈ 6.4 ⋅108 N ≈ 65000 Tonnen × g !!!
2
F = PS π RErde
≈ 5 ⋅10−6
399