Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 3.5

Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 1/16
3.5 Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen
3.5.1 Dipolstrahlung
Ein elektrischer LC-Schwingkreis kann kontinuierlich in eine lineare Anordnung überführt werden,
die man als Hertzschen Dipol bezeichnet.
Die Induktivität der Spule geht über in die Induktivität der Leiterschleife (b). Durch Ausbiegen der
Schleife wird die Kapazität immer kleiner und geht über in die eines geraden Leiters mit zwei
Endplatten (c). Lässt man diese auch noch weg, gelangt man zum einfachen geraden Draht.
Der LC-Kreis ist zu einem Dipol verkümmert.
C
L
C+L
   
L und C werden zunehmend kleiner
1
0 
wird zunehmend größer
LC
Schwingkreis
Dipol
 Kapazität und Induktivität räumlich getrennt
 L und C nicht mehr räumlich getrennt
 E-Feld und B-Feld räumlich getrennt
 E-Feld und B-Feld lokalisiert
 E-Feld und B-Feld nicht räumlich getrennt
 E-Feld und B-Feld nicht lokalisiert
 Energie nur im Feldbereich (kaum Streufelder)
 Felder breiten sich im Raum aus.
=> keine Abstrahlung, kein Energieverlust
geschlossener Schwingkreis
=> Abstrahlung, Energieverlust
offener Schwingkreis
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 2/16
Entstehung und Ausbreitung der Feldlinien beim Dipol (Feldlinienbilder)
Für das Modell eines periodisch bewegten Ladungspaares (= Strom) ändern sich die elektrischen und
magnetischen Felder. Diese Felder breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit im Raum aus und führen zur
Abstrahlung von Energie in Form von elektromagnetischen Wellen.
E-Feld
+
t1  T/8
Ladungspaar fließt durch den Dipol und
erzeugt ein elektrisches Feld und ein
ringförmiges Magnetfeld.
t2 = T/4
Dipolenden sind maximal aufgeladen.
Die Feldlinien verlaufen im Außenraum
von + nach - .
kein Strom => keine neuen Magnetfeldringe bei t2
t3  3T/8
Stromfluss in umgekehrter Richtung.
E-Feldlinien schnüren sich zusammen.
B-Feld
+
-
+
Ringförmiges B-Feld entsteht nun mit
anderem Richtungssinn in Ebenen  zur
Dipolachse.
-
t4 = T/2
Ladungsausgleich am Dipol ist erfolgt.
Strom und Magnetfeld sind maximal.
Ablösung des E-Feldes vom Dipol.
(geschlossener Ring von Feldlinien)
t5 = 5T/8
Dipolenden laden sich umgekehrt auf.
Feld analog zu t1 , nur umgekehrt.
+
-
+
Abgelöster E-Feldlinienring und mit ihm
verkoppelter B-Feldring wandert in
den Raum hinaus; liegt in einer Ebene,
die die Dipolachse enthält.
usw.
Ergebnis: Felder können der schnellen Ladungsbewegung nicht gänzlich folgen und werden deshalb
nicht gänzlich abgebaut  werden abgeschnürt und lösen sich ab.
 Die elektrischen Feldlinien sind in sich geschlossen, sie umgeben (nieren)ringförmig
ein zeitlich veränderliches, ringförmiges Magnetfeld.
 Die verketteten E- und B-Feldlinienringe breiten sich mit c in den Raum hinaus aus.
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 3/16
Eigenschaften der Dipolstrahlung
a) Nahbereich:
Phasenverschiebung zwischen E-Feld und B-Feld:   /2.
Grund: Nahfeld wird vom Schwingkreis geprägt und hat ähnliche Feldverteilung wie ein stat. Dipol.
Radiale Abhängigkeit: mehrere Anteile E ~ 1/r ~ 1/r2 ~ 1/r3
(stat. Dipolfeld ~ 1/r3)
Das Magnetfeld entsteht hier durch das Wirken von j (wie beim LC-Schwingkreis) und dD/dt.
Im Fernfeld entsteht das Magnetfeld nur durch dD/dt. (1. Maxwellgleichung)
Elektrische Feldenergie wird z.T. wieder in magnetische Feldenergie umgewandelt, ähnlich
wie beim LC-Schwingkreis.
b) Fernbereich:
Elektrische und magnetische Feldlinienverteilung eines strahlenden Dipols im Fernfeld1
Phasenverschiebung:  = 0. (E-Feld und B-Feld in Phase):
Radiale Abhängigkeit: E  1/r Energiestromdichte: S ~ 1/r2
Energie durch Kugel um Dipol: W = SA = S4r2 = const.
1 Plausible Berechnung von E und B:
q
t
p
q
p  qd 
d
t
t
BWirbel  i 
a) 1. Maxwell (rot B  j):
(mit
b) 2. Maxwell ( rot

E  p 2
E
B
t
).
p  pˆ sin t  q  dˆ0 sin t
EWirbel  
E  q a

BWirbel 
p
t
Dipolmoment)
B
 p
  2  pˆ  2 sin t  q  dˆ0 2 sin t  q  aˆ sin t
t
t
2
E  Beschleunigung der Ladung
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 4/16
Das Fernfeld E(r,t) des Dipols erhält man durch Lösung der Maxwellgleichungen.
E (r , t ) 
pˆ 0 2
4 0c
2
sin 
sin(t  kr )
r
z
E
S~EB
mit dem schwingenden
Dipolmoment p(t) = q d(t)
p(t )  qd sin t

r
B
d(t)
p
0
p(t )  p 0 sin t
d (t )  d sin t
y
x
0
Richtungssinn von E, B, S: Rechtsschraube
Man beachte: Die Amplitude d̂ 0 der schwingenden Elektronen, die in der Summe ein bestimmtes
Dipolmoment ergeben, ist wesentlich kleiner als die Stablänge des Dipols l.
Intensität und Winkelabhängigkeit der Abstrahlung
z
I  S  0c E 2
I
p02 4
32 2c 3 0


sin 2 
x
p
r2
In Richtung seiner Achse sendet (oder empfängt ) ein Dipol nichts.
Die Strahlung ist in Richtung der Dipolachse linear polarisiert.
Gesamtleistung der Abstrahlung
P
z
 IdA
Kugel
P  I 0 
P
sin 2 
r
2
r sin d 
(r 2 sin dd )
dW
p 
 0
dt 120c 3
P 4
2

r
4
abgestrahlte Leistung ~ 4
x


rd 
y
(r 2 sin dd ) Oberflächenelement
Multipolstrahlungsfelder* (Abstrahlung oszillierender Ladungs- und Stromverteilungen)
Der Hertzsche Dipol ist der Grundtypus eines Strahlungsfeldes. Bei komplizierteren Strahlungsfeldern
gibt es die Möglichkeit, sie als Summe von bestimmten elementaren Strahlungstypen
zusammenzusetzen. Diese Darstellung eines Strahlungsfeldes heißt "Multipolentwicklung". Der Dipol
ist der einfachste Multipol, während das nächste Glied der Entwicklung, der Quadrupol, bereits aus vier
schwingenden Ladungen besteht. Daher ist der Dipol immer die "erste Näherung" für die
elektromagnetische Abstrahlung einer komplizierter oszillierenden Ladungsverteilung.
Neben elektrischen Dipol- bzw. Multipolstrahlern gibt es auch magnetische Multipole. Magnetische
Multipole entstehen durch oszillierende Stromverteilungen. Der oszillierende Strom einer Leiterschleife
bildet z.B. einen magnetischen Dipolstrahler.
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 5/16
Beispiel: Himmelsblau: Sonnenstrahlung verursacht erzwungene Schwingungen der Elektronen
in den Molekülen der Erdatmosphäre.
Schwingendes Elektron verhält sich wie ein schwingendes Dipolmoment.
 Abstrahlung bei hohen Frequenzen ist intensiver.
 Himmel ist blau - (Dieses Streulicht ist in Richtung der Dipolachse linear polarisiert.)
Abstrahlung beschleunigter Ladungen (allgemein) E  N  hf
p  qd0 sin t  p 0 sin t

E  p  qdˆ0 2 sin t  pˆ 0 2 sin t  qaˆ sin t
E  qa  p 2
a
q
v << c
Theorie ergibt: (theoretische Elektrodynamik)2
1
q
r
E (r , t )  
 2 a(t  ) sin 
4 0 c r
c
S   0cE 2
a,v
I  S   0c(
1
2
1

qaˆ
4 0 c r
2
sin  ) 2
v/c = 0,5
Gesamte Abstrahlung (mittl. Leistung):
P
q 2 aˆ
 I (r , ,  )dA  12
Kugel
2
0c
v
3
v c
v  c : Abstrahlung in einen schmalen
Winkelbereich um v .
Jede beschleunigte Ladung strahlt Energie in Form elektromagnetischer
Wellen ab. Für die abgestrahlte Leistung gilt: P  q 2 aˆ 2  pˆ 02 4
Bedeutung: Synchrotron-Strahlung
Elektronen oder Protonen in starken Magnetfeldern beschreiben Kreisbahnen;
Kreisbahn bedeutet Radialbeschleunigung.
Für GeV-Elektronen im DORIS Speicherring
(Hamburg) liegt das Maximum der
Strahlungsemission bei einer
Wellenlänge von 10-2 nm bis 10 nm.
Anwendung: Grundlagenforschung,
Medizin
a
B  Kreis
Strahlungsbild der kreisenden Ladung
2 Die Beschleunigung ist zur sogenannten retardierten Zeit t' = t - r/c zu nehmen,
da die Welle die Zeit r/c braucht, um bis zum Ort r zu kommen.
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 6/16
3.5.2 Elektromagnetische Wellen auf Leitungen
(leitungsgeführte elektromagnetische Wellen)
3.5.2.1 Stehende Wellen
Dipol: Strom- und Spannungsverteilung der stehenden Welle am Dipol (Resonanzschwingung).
Dipol der Länge l wirkt wie /2 -Resonator.
(l = 30 cm =>  = 60 cm => f = 500 MHz)
Spannungsverteilung:
(bei maximaler Ladungstrennung)
 
U   Eds
E
~
In der Mitte Spannungsknoten
Nachweis z.B. mit Glimmlampen
Stromverteilung:
(bei maximalem Strom - T/4 später)
An den Dipolenden fließt kein Strom.
 Stromknoten an den Enden3
Strom
Nachweis mit Glühlampen in der Dipolleitung
2) Lecherleitung: Umbiegen des Dipols und Verlängerung der Leitung um jeweils /2
t = t0
U; (E)
t = t0 + T/4
Spannungsverteilung
zwischen gegenüberliegenden
Orten der Leitung
i; (B)
Stromverteilung auf der
Leitung
Anregung
f = 100 - 500 MHz
Bemerkungen:
 Strom- und Spannungsknoten sind räumlich um /4 und zeitlich um T/4 verschoben.
 Jede weitere Verlängerung der Leitung um /2 ergibt wieder stehende Wellen.
 Durch die Parallelführung der Drähte wird Abstrahlung verhindert:
Einzelne Leiterabschnitte der Länge /2 wirken zwar wie Dipole, d.h. strahlen ab. Die vom gegenüberliegenden Leiterstück abgestrahlte Welle ist jedoch um  phasenverschoben, so dass sie sich
zwischen den Leitern verstärken und im Außenraum durch destruktive Interferenz auslöschen.
3 Die Vorstellung einer Schwingung wie beim LC-Schwingkreis ist für den Dipol nicht ganz exakt. Phasenunterschiede von 90° zwischen
Strom und Spannung würden bedeuten, dass keine Wirkleistung abgestrahlt wird. Die Vorstellung ist jedoch nützlich für die Erklärung der
Lecherleitung, da hier die Verhältnisse genau so sind, d.h. 90° zwischen U und I und keine Abstrahlung.
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 7/16
3.5.2.2 Laufende Wellen
Die Abbildung zeigt eine unendlich lange
Paralleldrahtleitung als Wellenleiter. Ein
Leitungselement der Länge x verhält sich wie
eine Induktivität L’ und wie eine Kapazität C’.
Außerdem besitzt das Leitungselement einen
Widerstand R’ und bei Vorhandensein eines
Dielektrikums einen Querleitwert G’.
I(x+ x)
I(x)
-I
dQ/dt
U(x)
2r
U(x+ x)
x
 d r
L'  0 ln

r
Selbstinduktion pro m
d  r 1
] Kapazität pro m
r
R' = Widerstand der Leitung pro m
G' = Querleitwert pro m
C '  0 [ln
Paralleldrahtleitung
U
I + I
I(x)
R’
L’
U(x)
Das orts- und zeitabhängige Verhalten von
Spannung und Strom auf dem homogenen
Wellenleiter lässt sich mit Hilfe des
Ersatzschaltbildes bestimmen.
C’

G’
U+ U
x
Ersatzschaltbild des Leitungselementes x
Schleifenregel:
Die Spannungsänderung U entlang des Leitungselements x ergibt sich
nach dem Ohmschen Gesetz und dem Induktionsgesetz zu:
U

U  U ( x  x)  U ( x) 
x   R' x  I ( x)  L' x I ( x)
x
t
Knotenregel:
Die Stromänderung I entspricht dem quer abgeflossenen Anteil über die
Kapazität C’ mit dem Leitwert G’.
I
 (U  U )
I  I ( x  x)  I ( x)  x  G ' x(U  U )  C ' x
t
x
Die Anteile aufgrund von I bzw.von U können vernachlässigt werden.
Vernachlässigt man zunächst auch den Widerstand R’ und den Querleitwert G’, erhält man
U
I
  L'
x
t
I
U
 C '
x
t
Die beiden gekoppelten Differentialgleichungen lassen sich durch nochmaliges Differenzieren
nach x und nach t separieren.
 2U
x 2
2I
x 2
 L' C '
 L' C '
 2U
t 2
2I
t 2
0
Telegraphengleichungen
0
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 8/16
Die Lösungen dieser sog. Telegraphengleichungen sind harmonische ein- bzw. rücklaufende
Wellen für Strom und Spannung.
U ( x, t )  U 0 exp{ j (t  kx)}
I ( x, t )  I 0 exp{ j (t  kx)}
mit k   L'C '
Aufgabe: Zeigen Sie, dass Spannungs- und
I, U
(B, E)
schwingende
Ladungen
Stromwelle in Phase sind.
Phasengeschwindigkeit

1
1
c 

 c0
k
L' C '
 0 0
=> keine Dispersion im Vakuum.
Mit verlustlosen Dielektrikum erhält man
c0
c
c
 0
r r
r
Wellenwiderstand
Das Verhältnis von (Wellen)spannung zu (Wellen)strom der ein- oder rücklaufenden
Welle an einer beliebigen Stelle der Leitung nennt man Wellenwiderstand Z0
(characteristic impedance). Für die einlaufende Welle Ue ergibt sich z.B.:
Z0 
Z0 
Ue
Ue
U 0 exp{ j (t  kx}
k
L'




U

1
Ie  C'
C '
C'
 t e dx  C ' j  jk U 0 exp{ j (t  kx)}
L'
C'
Z parallel 
Wellenwiderstand der verlustlosen Leitung
L' 1

C' 
0  d  r 
d r
ln
  120 ln
  Wellenwiderstand der Paralleldrahtleitung
0  r 
 r 
Technik: a) 300  Paralleldraht-Antennenleitung (veraltetes Fernsehkabel)
b) "verdrillte" abgeschirmte Paralleldrahtleitungen für Busse:
ISDN (100 ); Ethernet, Thin Ethernet (50 ) ; LAN (150 )
Beispiel: Koaxialkabel RG58C/U
Durchmesser des Innenleiters: 2a = 0.9 mm
Durchmesser des Außenleiters: 2b = 2,95 mm
Kapazität C '  (0r 2 ) / ln(b / a ) ; (C ' = 100 pF/m )
Induktivität L'  ( 0 r / 2 ) ln(b / a ) (L' = 0,25 µH/m )
Z Koax 
(  0  r / 2 ) ln(b / a)
1
L'


( 0 r 2 ) / ln(b / a ) 2 0c
C'
Z Koax 
0,25 H/m
L'

 50
100 pF/m
C'
 r  b  60  b 
ln  
ln 
r  a 
r  a 
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 9/16
cKoax 2 
c 2
1
1
 [(  0  r / 2 ) ln(b / a )]1[( 0 r 2 ) / ln(b / a )]1 
 0
 0  r  0 r  r  r
L' C '
cKoax  c0
für ein Kabel ohne Dielektrikum
Die Phasengeschwindigkeit in einem Kabel ohne Dielektrikum ist c = c0, unabhängig von der Frequenz.
Die Fourierkomponenten eines beliebigen Signals bewahren dann ihre Phasenlage zueinander, so dass
die Form eines Signals über lange Strecken erhalten bleibt (dispersionsfreie Ausbreitung).
Mit Dielektrikum ist die Phasengeschwindigkeit nicht von der Geometrie, sondern nur von den
elektrischen Eigenschaften des Dielektrikums (rr) abhängig.
Weitere Wellenleiter:
Koaxialkabel (GHz), Hohlleiter (1-100 GHz) - keine Abstrahlungsverluste
Streifenleiter (GHz); Lichtwellenleiter (1015 Hz).
Technisch bedeutsam für alle Wellenleiter im Vergleich zu freien Wellen ist die Eigenschaft, dass die
Wellenenergie im Wellenleiter eingeschlossen ist und nur geringe Streuverluste auftreten.
Abschluss von Wellenleitern
Wir schließen nun das Ende des idealen Wellenleiters mit einem beliebigen Lastwidertand ZLast
ab und betrachten das Ende, an dem eine ein- und eine rücklaufende Welle auftritt.
Die Gesamtspannung am Abschlusswiderstand Zlast (x = 0) ist die
Vektorsumme der Spannungen einer
nach rechts (einlaufende) und einer nach
links (reflektierte) laufenden Welle.
U Last  U e  U r
einlauf. Welle
reflekt. Welle
ZL  Z0
Quelle
Da die Ströme zu Ue und Ur in entgegengesetzter Richtung laufen, ist der
Gesamtstrom die Differenz aus einlaufendem Ie und reflektiertem Strom Ir .
I Last  I e  I r
Für die Lastimpedanz muss somit gelten:
U
U  Ur
Z Last  Last  e
I Last
Ie  Ir
Da für die einlaufende und rücklaufende Welle jeweils gilt Z0 = Ue/Ie = Ur/Ir , erhält man
U
1 r
Ue
U U
Z Last  U e U r  Z 0
U
e r
1 r
Z
Z
0
0
Ue
U
Mit dem (Spannungs)Reflexionsfaktors r  r erhält man schließlich:
Ue
r
Z Last  Z 0
Z Last  Z 0
(Spannungs)Reflexionsfaktor
Für den (Strom)Reflexionsfaktor ergibt sich wegen der Vorzeichenkonvention ri 
ri  
Z Last  Z 0
Z Last  Z 0
(Strom)Reflexionsfaktor
 ir
:
ie
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 10/16
Kurzgeschlossene Leitung:
Ur = -Ue, Zlast = 0
 r = -1 ; ri = +1
 stehende Welle mit
steh. Welle
Quelle
Spannungsknoten und Strombauch
ZL =0
am Ende.
Offene Leitung:
Ur = Ue; Zlast = 
 r = +1 ; ri = -1
 stehende Welle mit
steh. Welle
ZL =
Quelle
Spannungsbauch und Stromknoten
am Ende.
Abb.: kurzgeschlossene und offene Leitung
In einer kurzgeschlossenen oder offenen Leitung sind Spannungs- und Strombäuche
räumlich um /4 und zeitlich um T/4 phasenverschoben (siehe auch Lecherleitung).
Angepasste Leitung:
Ur = 0 ; Zlast = Z0
=> r = 0
keine reflektierte Welle !
Strom und Spannung in Phase !
Am Abschlusswiderstand wird die
ankommende Leistung vollständig in
Arbeit umgesetzt.
Quelle
ZL = Z0
Abb.: angepasste Leitung
Wird ein Wellenleiter mit seinem Wellenwiderstand
abgeschlossen, tritt keine Reflexion auf 4.
Eine nicht mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossene Leitung bezeichnet man als fehlangepasst.
Beliebiger Abschluss
Für beliebige Werte von ZLast wird nur ein
Teil der Welle reflektiert
0< |r| < 1
Die Einhüllende der maximalen
Summenspannung bildet aber immer noch
eine stationäre "stehende Welle", sie geht
nur nicht auf Null.
Umax = (1+|r|)Ue
Umin = (1+|r|)Ue
Umax
Umin
Quelle
Am Abschlusswiderstand wird nur ein Teil der ankommenden Leistung in Arbeit umgesetzt.
4 Schneidet man einen unendlichen langen Wellenleiter irgendwo auf und schließt ihn mit Z = Z ab,
A
L
ändert sich auf dem übrigen Leiter nichts ! Die Energie fließt an dieser Stelle voll in den Abschlußwiderstand .
Der Wellenleiter "merkt" nichts davon, ob an der Grenzfläche Energie in den Widerstand ZL fließt oder
bis ins Unendliche weiterläuft.
ZL  Z0
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 11/16
Das Stehwellenverhältnis SWR ist das Verhältnis der maximalen Spannung der
Einhüllenden Umax zur minimalen Spannung der Einhüllenden Umin .5
SWR 
U max | U e |  | U r |

U min | U e |  | U r |
oder:
SWR 
1 | r |
1 | r |
Beispiel: SWRmin = 1
für Zlast = Z0
(Leitung angepasst)
(offene oder kurzgeschlossene Leitung)
SWRmax =  für Zlast =  , 0
Je näher der SWR -Wert bei 1 liegt, um so idealer ist die Leitungsanpassung.
Bei Hochfrequenzbauteilen wird daher der SWR-Wert immer spezifiziert z.B. Koaxialstecker: ZL = 50 Ohm ; SWR = 1,5 von DC bis 1 GHz
Zusammenfassung
Reflexion und Transmission von mechanischen Wellen (Schall) und
elektromagnetischen Wellen an Grenzflächen: 1  2
Wellengröße
Reflexion
Transmission
Schall:
elmag. Welle:
Amplitude, Schnelle
B-Feld bzw. Strom I
r
Z1  Z2
Z1  Z2
t
2 Z1
Z1  Z2
Schall:
elmag. Welle:
Druck
E-Feld bzw. Spannung U
r
Z 2  Z1
Z1  Z 2
t
2 Z2
Z1  Z2
Beispiel: Stehende Welle in einem Laserresonator
Energiedichte ~ E2.
E-Feld
Frage:
Beim Nulldurchgang ist die Energie der
stehenden Welle Null, da E  0.
Wo ist die Energie geblieben ?
Energiedichte
Der Wellenwidertand des Vakuums Z0
Z 0 :
E  Feld
E

 0c 
H  Feld B /  0
Z 0  377 
Wellenwiderstand im Dielektrikum:
Z
0  r
Z
Z
r
 Z0
 0  0
 0 r
r
n
r
5 auch VSWR (Voltage Standing Wave Ratio)
0
0
Herleitung mit Analogiebetrachtung:
Wellenwiderstand eines Stromkreises: ZStrom = U/I
Da U ~ E (wegen U   Eds ) und
I ~ H (wegen I   Hds ) ist der Wellenwiderstand:
Z0 
E
E

 0c 
H B / 0
0
0
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 12/16
Telegraphengleichungen (allgemeiner Fall)*
Der Widerstand R’ und der Querleitwert G’ der Leitung sollen nun nicht mehr vernachlässigt werden.
U
Die weiter oben mit Hilfe des Ersatzschaltbildes
entwickelten Gleichungen für die Strom- und
Spannungsänderungen entlang des Leiterstückes
lauteten:
U

U 
x   R' x  I ( x)  L' x I ( x)
x
t
I
 (U  U )
I  x  G ' x(U  U )  C ' x
t
x
I + I
I(x)
R’
L’
U(x)
C’

G’
U+ U
x
Ersatzschaltbild des Leitungselementes x
Die Spannungsänderung U entlang des Leitungselements x und die Stromänderung I schreiben wir
nun gleich in komplexer Form. Für das ortsabhängige Verhalten der Wechselspannung und des
Wechselstroms auf dem homogenen Wellenleiter schreiben wir also
U = U(x)exp{jt}
I = I(x)exp{jt}.
Mit diesem Ansatz ergibt sich
U
U 
x  ( R' x  jL' x) I
x
I
I  x  (G ' x  jC ' x)(U  U )
x
Vernachlässigt man wieder die Anteile aufgrund von U erhält man
durch Differenzieren und Einsetzen die allgemeinen Telegraphengleichungen.
U
 ( R' jL' ) I
x
I
 (G ' jC ' )U
x
 2U
I
 ( R' jL' )
2
x
x
2
 I
U
 (G ' jC ' )
2
x
x
 2U
 ( R' jL' )(G ' jC ' )U
x 2
2I
 ( R' jL' )(G ' jC ' ) I
x 2
6
Differenzieren nach x liefert
Einsetzen liefert die
Telegraphengleichungen6
Anmerkung: Die übliche Methode Differentialgleichungen zu entkoppeln ergibt z.B. für U(x,t)
 2U ( x, t )
x 2
 R' G 'U ( x, t )  ( R' C ' L' G ' )
U
 2U ( x, t )
 L' C '
t
t 2
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 13/16
Die Lösungen dieser Differential-Gleichungen sind gedämpfte hin- bzw. rücklaufende Wellen für Strom und Spannung
U ( x)  U 0 exp{ ' x  U }
I ( x)  I 0 exp{ ' x   I }
U ( x, t )  U 0 exp{ jt   ' x  U }
I ( x, t )  I 0 exp{ jt   ' x   I }
mit der Ausbreitungskonstanten (= Dispersionsrelation)
 '  ( R' jL' )(G ' jC ' )    jk
Der Realteil von  ' ergibt die Dämpfungskonstante  , der Imaginärteil die Wellenzahl k.
Wellenwiderstand für den allgemeinen Fall
Der Wellenwiderstand Z0 (characteristic impedance) errechnet sich nun zu:
Z0 
Z0 
Ue
Ue
U 0 exp{ jt   ' x  U }
'



I e  (G ' jC ' )  U e dx (G ' jC ' ) U 0 exp{ jt   ' x   } (G ' jC ' )
U
'
( R' jL' )
(G ' jC ' )
Der Wellenwiderstand ist i.a. komplex und frequenzabhängig.
Strom und Spannung sind nicht mehr in Phase!
1. Fall: Gleichstrom (f = 0)
Die beiden frequenzabhängigen Terme verschwinden
R'
G'
Da der Leitungswiderstand R' sehr klein ist und der Querleitwert G' in der Regel noch viel kleiner,
ergeben sich typische Werte im k- bis M-Bereich.
Z0 
2. Fall: Niedrige Frequenzen
Für niedrige Frequenzen können L' und G' vernachlässigt werden.
Z0 
R'
j C '
Bei niedrigen Frequenzen muss die Leitung also mit einem Widerstand und einer Kapazität der
richtigen Wahl abgeschlossen werden, um Reflexionen zu vermeiden.
3. Fall: Hohe Frequenzen (oder R' = G' = 0)
Für hohe Frequenzen nähert sich der Wellenwiderstand einem frequenzunabhängigen, reellen Wert.
L'
Z0 
C'
Strom und Spannung sind in Phase.
In der Praxis rechnet man mit diesem Fall ab ca. 20 kHz.
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 14/16
Der komplexe Reflexionskoeffizient
Weiter oben ist der Reflexionsfaktor r am Abschluss des Wellenleiters definiert: r = Ur/Ue .
An einer beliebigen Stelle auf der Leitung sind nur die Amplituden oder Beträge
von einlaufender und reflektierter Welle konstant, so dass hier gilt: |r| = |Ur|/|Ue|
Wenn wir den Beobachtungspunkt vom Abschluss (x = 0) verschieben, ändert sich
die Phasenlage von Ur und Ue . Eine Verschiebung x = /4 (90°) bedeutet eine Phasendifferenz von 180°.
Allgemein schreibt man deshalb den Reflexionsfaktor an einer Stelle x,
gemessen vom Ende der Leitung:
r
U r e j r ( x )
U ee
j e ( x )

| U r | j ( x )
e
| r | e j ( x )
|Ue |
 ( x)  2kx( ) ( bei Phasensprung)
Damit wird die Impedanz an diesem Punkt:
Z  Z0
1 | r | e j
1 | r | e j
Z gibt nun speziell an, wie sich die Leitung an der Stelle x verhält.
Man nennt Z auch Eingangswiderstand ZE .
Der Eingangswiderstand ZE ist das Verhältnis von (Gesamt)Strom
und (Gesamt)Spannung an dieser Stelle.
Z ist im allgemeinen komplex.
Die Eingangsimpedanz Z eines Wellenleiters hängt nicht nur vom Wellenwiderstand Z0 und vom
Lastwiderstand ZLast am Ende der Leitung ab¸ sondern auch von der Entfernung zum Leitungsende.
Beispiel:
Eingangsimpedanz einer kurzgeschlossene Leitung an der Stelle x = /4
vor dem Abschluss (Ur und Ue am Ende der Leitung gegenphasig,  = )
r | r | e j ( x )  1e j ( kx  )  1e j ( k 2 x  )  1e j (  )  1
ZE = 
An der Stelle x = /4 “sieht“ die Leitung wie an einem offenen Ende aus
Ur und Ue sind in Phase und es ergibt sich ein Wellenbauch.
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 15/16
3.6 Strahlungsdruck
Eine elektromagnetische Welle transportiert Energie und Impuls. Als Teichen betrachtet, besitzen die
Photonen auch noch einen Drehimpuls der Größe  . Wenn alle Photonen den gleichen Drehimpuls
haben ist die Strahlung zirkular rechts oder links polarisiert.
Die Quantenmechanik liefert für den Impuls der Photonen:
p  k 
h
Das ist Ausdruck des Welle-Teilchen-Dualismus, da mit dieser
Gleichung die Wellengröße Wellenlänge mit der Teilchengröße
Impuls verknüpft wird.
Energie eines Photons
Photonentheorie von Einstein

E  hf
Herleitung des Strahlungsdrucks7
a) E  N  hf
Gesamtenergie von N Photonen
N
 hf  n  hf
V

h 
a) P  N (e )


 P N h n  hf w
p 


V V 
c
c
w
Energiedichte der Photonen
Impuls von N Photonen8
Impulsdichte (Volumendichte des Impulses)
Mit  S   wc erhält man für die Volumendichte des elektromagnetischen Impulses
 w S 
p  2
c c
Der Druck ergibt aus der Impulsänderung bei der Absorption oder Reflexion der Photonen.
 
Impulsänderung auf der Fläche A in der Zeit dt
P  p  ct  A

S 
F P / t 
 pc 
pStr .  
A
A
c
A
S 
pStr . 
Strahlungsdruck bei Absorption
c
pStr . 
2 S 
c
Strahlungsdruck bei Reflexion
c dt
7 Klassische Erklärung des Strahlungsdruckes:
E
a) E-Feld verschiebt Ladungen in der Oberfläche
 induzierter Oberflächenstrom j
b) Dieser Strom wechselwirkt mit dem B-Feld der Welle.
jB ergibt Kraft in Ausbreitungsrichtung der Welle =
 Welle überträgt Impuls
 Kraftwirkung auf die Platte
8 In den folgenden Gleichungen wird der Einheitsvektor weggelassen.
j
j
S
F
B
B
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Seite
29_Wellen_Dipol_Wellenleiter_a_BA.doc - 16/16
Beispiel:
Strahlungsdruck der Sonne auf die Erde
Solarkonstante: s = 1350 W/m² = <S>
pStr .
 S  s 1,35  103 Ws
 4,5  106 Pa

 
8
2
c
c 3  10 m  m
(= 4,5  10-11 bar )
FErde  pStr . A  4,5 10 6 Pa ( (6 106 ) 2 m 2 = 0,5 109 N (= 50000 to)
 keine Auswirkungen des Strahlungsdruckes !
Feldstärke des Sonnenlichtes
 S   c E y 2 
Ey2  
S 
1350 W / m2

0c 8,85  10-12 As / Vm  3  108 m / s
E yeff  713 V/m
Bzeff  E yeff / c  2,38  106 Tesla
Beispiel:
Die Raumsonde IKARUS 2010 (japanischer Satellit) hat eine Masse von m = 300 kg.
Er besitzt ein Sonnensegel mit einer Fläche A = 14x14 m2.
Welchen Geschwindigkeitszuwachs erfährt der Satellit innerhalb eines Jahres
aufgrund des Strahlungsdruckes ?