Normen, Kondition einer Matrix

Normen, Kondition einer Matrix
Normen, Kondition einer Matrix
Normen, Kondition einer Matrix
Normen
Sei V ein Vektorraum über Körper K.
Eine Funktion k · k: V → R1+ heißt Norm auf dem Vektorraum V
und das Paar V = (V, k · k) normierter Raum über K, wenn für
beliebige Elemente x, y ∈ V und beliebige α ∈ K, die Axiome des
normierten Raumes erfüllt sind:
k x k> 0 und k x k= 0 genau dann, wenn x = 0
k αx k=| α |k x k
k x + y k≤k x k + k y k
Normen, Kondition einer Matrix
Normen
Die Norm einer Matrix k A k, A ∈ Rm,n ist definiert, wenn gilt:
k A k≥ 0
k αA k=| α |k A k
k A + B k≤k A k + k B k
Quelle: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig; Taschenbuch der
Mathematik
Normen, Kondition einer Matrix
Normen
Einem Vektor x und einer Matrix A kann man jeweils eine Zahl
k x k bzw.k A k zuordnen. Diese Zahlen müssen die Normaxiome
erfüllen.
Es ist zweckmäßig zu einer Vektornorm k x k die Matrizennorm
k A k so zu definieren, dass die Ungleichung
k Ax k≤k A kk x k
gilt.
Verträglichkeit
Normen, Kondition einer Matrix
Normen
Aufgabe
Sei A ∈ Rn,n , x ∈ Rn . Man zeige, dass durch
k A k= n · max | aij | eine Matrixnorm definiert wird, die mit
i,j
k · k1 , k · k2 und k · k∞ verträglich ist.
Vektornormen
Pn
k x k1 = pP
i=1 | xi | 1-Norm
n
2
k x k2 =
i=1 | xi | euklidische Norm
n
k x k∞ = maxi=1 | xi | Maximumsnorm
Normen, Kondition einer Matrix
Normen
Aufgabe
Sei x ∈ Rn . Man bestimme die optimalen Konstanten C1 bis C6 in
den folgenden Ungleichungen:
1
C1 k x k∞ ≤k x k1 ≤ C2 k x k∞
2
C3 k x k∞ ≤k x k2 ≤ C4 k x k∞
3
C5 k x k2 ≤k x k1 ≤ C6 k x k2
Normen, Kondition einer Matrix
Normen
Kondition einer Matrix
Die Größe condk·k A =k A k · k A−1 k heißt Kondition der Matrix
A und beschreibt die (differentielle) Verstärkung des relativen
Fehlers der Daten A und b beim Lösen von Ax = b.
Aufgabe
Gegeben seien die Matrizen
101 99
101 99
A=
,B =
99 101
−99 101
Man berechne die Konditionszahlen cond∞ A und cond∞ B