4 Medien - Elektrodynamik - Quantenoptik makroskopischer Systeme

4
Medien - Elektrodynamik
4.1
Die mikroskopischen Maxwellgleichungen
Formulierung der Elektrodynamik bei Anwesenheit makroskopischer Körper
mit folgenden Teilaufgaben:
– Feldgleichungen innerhalb
– Feldgleichungen außerhalb
– Übergangsbedingungen innen ↔ außen, d.h. Randbedingungen für die
Oberfläche
Mikroskopische Theorie: im Prinzip müßte gekoppeltes System der Maxwellgleichungen und Newtonschen Bewegungsgleichungen konsistent gelöst werden.
Maxwellgleichungen
div B = 0
Lorentzkraft
ε0 div E = ̺
=⇒
rot E + Ḃ = 0
rot B −
1
c2
Ė = j
Fα = eα [Eα + vα × Bα ]
Newtonsche Bewegungsgleichungen
mα r̈α = Fα
Ladungen und Ströme
̺(r, t) =
j(r, t) =
P
α
P
α
eα δ(r − rα [t])
eα ṙα (t) δ(r − rα [t])
⇒
Maxwellgleichungen
Das Problem ist in dieser Form grundsätzlich nicht zu bewältigen:
=⇒ 1023 Teilchen (makroskopisch)
=⇒ Feldgleichungen mit 1023 Quellen
=⇒ Wechselwirkung (gekoppelte, nichtlineare, partielle Differentialgleichungen)
Behandlungsstrategie: Anstelle der Vorgabe von ̺ und j bisher → jetzt
Materialeigenschaft postulieren, aus welcher Aussagen für ̺ und j folgen! Einteilung der Ladungsträger und Ströme in interne (zum System gehörend) und
externe
̺ (r, t) = ̺ext (r, t) + ̺int (r, t) ,
j (r, t) = jext (r, t) + jint (r, t) .
Externe Größen wie bisher vorgegeben, diese genügen autonomen Gleichungen,
z.B.
2 Aext = −µ0 jext ,
2 φext = −
81
̺ext
.
ε0
Daraus folgt: Auch für die ”internen” und die Gesamtgrößen gelten entsprechende Gleichungen autonom, also z.B. Ladungserhaltung intern
̺˙int + div jint = 0
Einführung neuer, physikalisch motivierter Felder P(r, t) (Polarisation) und
M(r, t) (Magnetisierung) gemäß
jint = Ṗ + rot M
Wegen interner Ladungserhaltung folgt daraus
̺int = −div P
Umformung der Maxwellgleichungen
(1) ε0 divE = −div P + ̺ext
div (ε0 E + P) = −div D = ̺ext
;
(2) rot B = µ0 Ṗ + rot M + ε0 Ė + jext
D = ε0 E + P
rot (B − µ0 M) = µ0 rot H = µ0 Ḋ + jext
rot H = jext + Ḋ ,
B − µ0 M = µ0 H
Mikroskopische Maxwellgleichungen
div D = ̺ext
rot E = −Ḃ
rot H = jext + Ḋ
div B = 0
Zur anschaulichen Bedeutung von P und M
(1) Betrachten Dipolmoment
Z
Z
̺ · r dV
= −
̺ xi dV
= −
= −
Z
Z
I
(divP) · dV =
Z
P dV
(∇k Pk )xi dV = −
Pk xi dfk +
Z
Z
[∇k Pk xi − Pk ∇k xi ] dV
Pi dV
P(r, t) beschreibt ”Dipoldichte” im Medium
(2) Betrachten magnetisches Moment
1
2
Z
Z
dV r × j =
1
2
dV [r × (∇ × M)]i =
1
2
1
2
Z
Z
dV r × rot M =
Z
M dV
dV [(∇i Mk )xk − xk ∇k Mi ]
82
=
1
2
=
1
2
Z
I
dV {∇i Mk xk − Mk ∇i xk − ∇k xk Mi + (∇k xk )Mi }
[Mk xk dfi − xk Mi dfk ] +
1
2
Z
dV [−Mi + 3Mi ]
M(r, t) beschreibt ”magnetische Dipoldichte” im Medium.
Beachte: Maxwellgleichungen sind in dieser Form nicht lösbar, da unterbestimmt: 8 Gleichungen für 12 Feldkomponenten E, D, B, H . Benötigen also
zusätzliche Gleichungen ⇒ Materialgleichungen!
83
4.2
Räumliche Mittelung und makroskopische Maxwellgleichungen
Räumliche Mittelung der gesamten Maxwellgleichungen über ”kleines”, gerade noch makroskopisches Volumen entsprechend der allgemeinen Vorschrift
h̺(r)i =
Z
d3 r′ f (r′ ) ̺(r − r′ ) ,
wobei f (r′ ) eine glatte (im allgemeinen kugelsymmetrische) Funktion der Norm
1 ist:
Z
f (r′ ) d3 r′ = 1
d.h., f ändert sich ”langsam” über mikroskopische Abstände (Atomradien ∼
0,1 nm).
1. Mittelung der Felder: z.B. gilt hdiv E(r, t)i = div hE(r, t)i , da
div hE(r)i = ∇
Z
3 ′
′
′
d r f (r ) E(r − r ) =
Z
d3 r′ f (r′ ) ∇ E(r − r′ ) = hdiv E(r)i
∂
. . . usw.. Verabreden daher ab jetzt hEi → E , hBi → B .
∂t
Erhalten damit
Maxwellgleichungen für gemittelte Felder
dsgl. für rot,
ε0 div E (r, t) = h̺(r, t)i
div B = 0
rot B −
rot E + Ḃ = 0
1
Ė = µ0 hj(r, t)i
c2
2. Mittelung der Ladungs- und Stromdichte
Zerlegen zunächst interne Größen in (quasi-) freie und gebundene Anteile:
̺int (r, t) = ̺frei (r, t) + ̺geb. (r, t) ,
jint (r, t) = jfrei (r, t) + jgeb. (r, t) .
Modellvorstellung
(1) Quasifreie Ladungsträger: rα (t) - nichtlokalisierte, ausgedehnte Bahnkurve (Leitungselektronen)
̺frei (r, t) =
X
α
jfrei (r, t) =
X
α
qα δ (r − rα (t))
qα ṙα δ (r − rα (t))
(2) gebundene Ladungsträger: rn,β (t) = rn + dnβ (t) - lokalisierte Bahnkurve
des Ladungsträgers β im n-ten Molekül am Ort rn
̺geb. (r, t) =
X
qn,β δ (r − rn,β (t))
X
qnβ ṙnβ δ (r − rnβ (t))
n,β
jgeb. (r, t) =
n,β
84
Mittelung der Ladungsdichte
(a) Freie Ladungsträger
Z
h̺frei (r, t)i =
d3 r′ f (r′ ) ̺frei (r − r′ , t)
Z
=
d3 r′ f (r′ )
X
α
X
=
αǫ ∆V (r)
qα δ(r − r′ − rα (t))
qα f (r − rα (t))
(b) Gebundene Ladungsträger
Z
h̺geb. (r, t)i =
d3 r′ f (r′ )
X
=
n,β
X
n,β
qnβ δ(r − r′ − rnβ (t))
qnβ f (r − rnβ (t))
Ganz allgemein gilt f (r − rn ) = hδ(r − rn )i . Damit entstehen grundsätzlich
glatte Funktionen, deren Taylorentwicklung sehr gut konvergiert:
f (r − rnβ (t)) = f (r − rn − dnβ (t))
= f (r − rn ) − ∇f (r − rn ) dnβ (t) + . . .
Einsetzen liefert
h̺geb. (r, t)i =
Dabei ist
P
β
X
n,β
qnβ {f (r − rn ) − dnβ (t) ∇f (r − rn ) + . . .}
qnβ = Qn die Gesamtladung des n-ten Moleküls. Das Dipolele-
ment des n-ten Moleküls, bezogen auf den Punkt rn , ist
Pn (t) =
Z
d3 r ̺n (r, t) (r − rn )
=
Z
d3 r
=
X
β

X

β


qnβ δ(r − rnβ )
qnβ (rnβ (t) − rn ) =

X
(r − rn )
qnβ dnβ (t)
β
Folglich
h̺geb. (r, t)i =
X
n
hQn δ(r − rn )i − ∇
= ̺0 (r) − div P (r, t)
Interpretation:
85
X
n
hPn (t) δ(r − rn )i + . . .
(a) ̺0 (r) ist eine konstante ”Hintergrund”-ladung der ”Moleküle”, sie verschwindet für neutrale Moleküle (d.h. alle Elektronen gebunden → Nichtleiter); falls (ein oder mehrere) Elektronen des Moleküls ionisiert (→ ̺frei ,
Leiter) gibt ̺0 (r) einen positiven Hintergrund zu ̺frei (r, t) , so dass
Z
(b) P (r, t) =
P
n
[h̺frei (r, t)i + ̺0 (r)] d3 r = 0
(Neutralität)
hPn (t) δ (r − rn )i mittlere Dipoldichte der Moleküle am Ort
r zur Zeit t (glatte Funktion von r) → Polarisationsfeld.
Zusammengefaßt
h̺ (r, t)i = ̺ext (r, t) +
h̺frei (r, t)i + ̺0 (r)
|
̺L (r,t)
{z
}
Ladungsträgerdichte
− div P (r, t)
Mittelung der Stromdichte: In den allgemeinen Ausdrücken
Z
hjfrei (r, t)i =
d3 r′ f (r′ )
α
X
=
X
α
qα ṙα δ(r − r′ − rα (t))
qα ṙα f (r − rα (t))
und
Z
hjgeb. (r, t)i =
d3 r′ f (r′ )
X
=
n,β
X
n,β
qnβ ṙnβ δ(r − r′ − rnβ (t))
qnβ ṙnβ f (r − rnβ (t))
entwickeln wir ebenfalls
f (r − rn − dnβ (t)) = f (r − rn ) − dnβ (t)) ∇ f (r − rn ) + . . .
und erhalten
hjgeb. (r, t)i =
X
qnβ ḋnβ {f (r − rn ) − dnβ (t) ∇ f (r − rn ) + . . .}
=
X
Ṗn (t) f (r − rn ) −
n,β
n
=
X
n,β
qnβ ḋnβ [dnβ ∇ f (r − rn )]
X
∂ P(r, t)
qnβ ḋnβ [dnβ ∇ f (r − rn )]
−
∂t
n,β
Umformung
ḋnβ (dnβ ∇f ) =
1
2
∂
dnβ (dnβ ∇f )
ḋnβ (dnβ ∇f ) − dnβ (ḋnβ ∇f ) +
∂t
=
1
2
∇f × (ḋnβ × dnβ ) +
86
∂
dnβ (dnβ ∇f )
∂t
Nach Einsetzen führt der 2. Term auf einen zusätzlichen Beitrag zu Ṗ (r, t) ,
der quadratisch in der kleinen Größe dnβ ist:
P (2) (r, t) =
X 1
n,β
2
qnβ dnβ [dnβ ∇ f (r − rn )]
und den wir deshalb weglassen dürfen. Der 1. Term führt auf die magnetische
Dipoldichte und damit auf die Magnetisierung:
X
n
∇f (r − rα ) ×
i
h
1 X
qnβ ḋnβ × dnβ = rot M(r, t) .
2 β
Berechnen dazu das magnetische Moment des n-ten Moleküls, bezogen auf rn :
mn (t) =
1
2
=
1
2
=
Z
Z
d3 r (r − rn ) × jn (r, t)
d3 r (r − rn ) ×
X
β
qnβ ṙnβ δ(r − rnβ (t))
1 X
qnβ dnβ × ḋnβ
2 β
Folglich entsteht insgesamt als interne Stromdichte
hj (r, t)i = Ṗ (r, t) + rot M(r, t) + jL (r, t) + . . .
87
mit folgender Interpretation
(a) Stromdichte der beweglichen Ladungsträger:
jL (r, t) = hjfrei (r, t)i
(b) Dichte der magnetischen Momente der Moleküle am Ort r zur Zeit t :
M (r, t) =
X
n
mn (t) f (r − rn ) =
*
X
n
+
mn (t) δ(r − rn )
Zusammenfassung: Makroskopische Maxwellgleichungen
ε0 div E = ̺L (r, t) − div P(r, t) + ̺ext (r, t)
rot B −
h
i
1
j
(r,
t)
+
Ṗ(r,
t)
+
rot
M(r,
t)
+
j
(r,
t)
Ė
=
µ
L
ext
0
c2
divB = 0
rot E + Ḃ = 0
Die hier neu eingeführten Funktionen charakterisieren die Eigenschaften eines
Mediums.
(1) Dichte der Ladungsträger ̺L = ̺0 + ̺frei . Dabei ist ̺0 ein konstanter
(neutralisierender) Hintergrund und
*
̺frei (r, t) =
X
α
+
qα δ (r − rα (t))
X
=
qα f (r − rα (t))
α
(2) Polarisation = Dichte der von gebundenen Ladungsträgern erzeugten Dipole
PL (r, t) =
*
X
n
+
Pn (t) δ (r − rn )
X
=
n
Pn (t) f (r − rn )
Dabei ist Pn (t) das von gebundenen Ladungsträgern im Molekül n erzeugte Dipolelement
Pn (t) =
Z
dV ̺n (r, t) (r − rn ) =
X
qnβ dnβ (t)
β
und ̺n die Dichte der gebundenen Ladungsträger im Molekül n
̺n (r, t) =
X
β
qnβ δ (r − rnβ (t)) .
(3) Leitungsstromdichte der beweglichen Ladungsträger
jL (r, t) =
*
X
α
+
qα ṙα δ (r − rα (t))
88
=
X
α
qα ṙα f (r − rα (t))
(4) Magnetisierung = Dichte der magnetischen Momente
M (r, t) =
*
X
n
+
mn (t) δ (r − rn )
=
X
n
mn (t) f (r − rn )
Dabei ist mn (t) das magnetische Moment von Molekül n
1
mn (t) =
2
Z
dV (r − rn ) × jn (r, t) =
1 X
anβ dnβ × ḋnβ
2 β
und die Stromdichte im Molekül n
jn (r, t) =
X
β
qnβ ḋnβ δ (r − rn − dnβ )
Führen naheliegend neue Felder ein
• Dielektrische Verschiebung
D(r, t) = ε0 E(r, t) + P(r, t)
• Magnetische Induktion
H(r, t) =
1
B(r, t) − M(r, t)
µ0
Erhalten damit Maxwellgleichungen in Medien
div D
= ̺L + ̺ext
rot H − Ḋ =
jL + jext
div B = 0
rot E + Ḃ = 0
In dieser Form unterbestimmt, da z.B. nur 4 Gleichungen je zur Bestimmung
von E, B bzw. H, D , hinzu kommt jL als bisher unbekanntes Feld (beachte
aber: ̺˙L = −div jL ) . Benötigen daher Zusammenhang zwischen Feldern D, H,
jL einerseits und Feldern E und B andererseits.
Materialbeziehungen: Eigentlich Aufgabe einer mikroskopischen Quantenkinetik für das Vielteilchensytstem des Mediums. Im folgenden einfache Modelle
89
4.3
Materialgleichungen
Allgemeines Vorgehen: Zerlegen ̺ und j in interne (zum Medium gehörend)
und externe (von außen kontrolliert, mathematisch gegeben) Anteile
(1) Stellen Hamiltonfunktion → Operator (Quantenmechanik) für betrachtetes Medium auf
(2) Berechnen hjind i = j (r, t) und h̺ind i = ̺ (r, t) mit quantenstatistischen Vielteilchen-Methoden (Technik Greenscher Funktionen in Verallgemeinerung der bekannten)
Im Folgenden: Plausibilitätsbetrachtungen mit sehr einfachen klassischen Modellen, wodurch die physikalisch anschauliche Bedeutung der Felder P , M , j
deutlich wird.
4.3.1
Elektrische Leitfähigkeit
Wir betrachten als ein einfaches Modell für quasifreie Ladungsträger die
gedämpfte freie Bewegung (Index α weglassen, Abkürzung γ = ̺/m) :
mr̈ + ̺ ṙ = q E (t) .
Lösung aus Mechanik bekannt:
q
r (t) = rh (t) +
mγ
Zt
h
− γ (t−τ )
dτ 1 − e
−∞
i
E (τ )
⇒
q
mγ
Z∞
0
dτ 1 − e−γτ E(t−τ )
(1) rh (t) uninteressant, hebt sich bei Mittelung weg, nur Beitrag ∼ E trägt
bei;
(2) Kausalität: Nur Felder zu früheren Zeiten τ < t tragen zum Strom bei.
Mikroskopische Stromdichte
j (r, t) =
X
α
qα ṙα (t) δ (r − rα (t))
Benutzen 2. Anteil (jetzt Index α)
qα
ṙα (t) =
mα
Zt
− γα (t−τ )
dt e
−∞
qα
E (τ ) =
mα
Z∞
0
′
dt′ e−γα t Eα (t − τ )
Einsetzen ergibt
j (r, t) =
X q2
α
α
mα
δ (r − rα (t))
Z∞
0
dτ e− γα τ Eα (t − τ )
Beachte: E(t) ist das Feld am Ort des Ladungsträgers r(t) , also E(t) =
E(r[t], t) bzw. Eα (t − τ ) = E (rα [t − τ ] , t − τ ) . Im τ −Integral für j sind Zeiten
τ ≤ τd = γ −1 relevant. Näherung:
E (rα [t − τ ] , t − τ ) ∼
= E (rα [t] , t − τ ) .
90
Wegen der δ−Funktion kann in j dann
E (rα [t] , t − τ ) = E (r , t − τ )
gesetzt werden. Der Gültigkeitsbereich dieser Näherung kann folgendermaßen
abgeschätzt werden: Nach Fouriertransformation gilt
d3 k dω ikr(t−t′ ) −iω(t−t′ )
e
e
(2π)3 2π
Z
E (r[t − τ ] , t − τ ) =
∼
= E (r[t] , t − τ ) ,
∼ 2π
falls k ṙ(t) · t′ <
vτd ≪ 1 bzw. vτd ≪ λ für die in der Fourierdarstellung
λ
von E relevanten Wellenlängen λ.
Makroskopische Mittelung: Betrachten im Folgenden eine Ladungsträgersorte (Elektronen, qα = qe → e , mα = me → m , γα = γe → γ) . Da das
Feld E(r) bereits das makroskopisch gemittelte Feld ist, kann es bei der Mittelung als konstant (über den Mittelungsbereich der Funktion f (r)) betrachtet
werden. Damit folgt
*
e2
m
hj (r, t)i =
ne2
m
=
Z∞
=
0
X
α
Z∞
0
+ Z∞
δ (r − rα (t)
0
dτ e−γτ E (r, t − τ )
dτ e−γτ E (r, t − τ )
dτ σ (τ ) E (r, t − τ )
Dabei wurde als makroskopische Dichte der Ladungsträger eingeführt
*
X
α
δ [r − rα (t)]
+
= hn (r, t)i = n
Leitfähigkeit
ne2 − γτ
e
m
Frequenzabhängige Leitfähigkeit: Setzen Fouriertransformation
σ(τ ) =
E(r, t − τ ) =
Z
dω
E (r, ω) e− iω(t−τ )
2π
ein und erhalten
j(r, t) =
Z∞
0
dτ σ(τ )
Z∞
−∞
dω
E (r, ω) e− iω(t−τ ) =
2π
91
Z
dω
E (r, ω) σ(ω) e−iωτ
2π
mit der Leitfähigkeit (Def.)
σ(ω) =
Z∞
i
ne2
m ω + iγ
dτ eiωτ σ(τ ) =
0
Als Materialgleichung ergibt sich (FT: t → ω)
j(r, ω) = σ(ω) E(r, ω)
Beachte: Für mehrere Ladungsträgersorten einfache Verallgemeinerung
σ (ω) =
X nj e2j
j
mj
·
i
ω + iγj
Zusammenhang mit dielektrischer Funktion
D(r, ω) = ε0 E(r, ω) + P(r, ω) = ε(ω) E(r, ω)
P(r, ω) = ε0 χ(ω) E(r, ω)
j(r, t) = Ṗ(r, t)
⇒
⇒
j(r, ω) = −iω P(r, ω) = σ(ω) E(r, ω)
iσ(ω)
E(r, ω) = ε0 χ(ω) E(r, ω)
ω
iσ(ω)
ε(ω) = ε0 [1 + χ(ω)] = ε0 1 +
ε0 · ω
P(r, ω) =
Ergebnis: Mit der Abkürzung ωP2 =
e2 n
(Plasmafrequenz) ergibt sich
ε0 m
ωp2
ε(ω)
1
e2 n
=1−
=1−
ε0
ε0 m ω(ω + iγ)
ω(ω + iγ)
Betrachten damit Maxwellgleichungen (FT t → ω): Zunächst
div D(r, ω) = ε(ω) div E(r, ω) = ̺ext (r, ω)
rot B(r, ω) = µ0 [jext (r, ω) − iω D(r, ω)]
92
Suchen ”freie” Lösungen, d.h. ̺ext = 0 , jext = 0 . Dann ergibt sich
ε(ω) div E(r, ω) = 0
rot B(r, ω) = −iωµ0 ε(ω) E(ω)
rot E(r, ω) = iω B(r, ω)
div B(r, ω) = 0
Klassifikation der Lösungen von ε(ω) div E(r, ω) = 0
1. Longitudinale Anregungen: div E(r, ω) 6= 0 ⇒ ε(ω) = 0 ⇒ rot B = 0 .
Da immer gilt div B = 0 ⇒ B ≡ 0 ⇒ rot E(r, ω) = 0 . Folglich
E(r, ω) = −grad φ(r, ω)
Betrachten Potentialgleichungen in Coulomb-Eichung, d.h. divA = 0 : Da auch
B = rot A = 0 ⇒ A ≡ 0 . Für φ gilt in Coulomb-Eichung −ε0 ∆φ = ̺ . Die
Frequenz der longitudinalen Anregungen ergibt sich aus ε(ω) = 0
⇒
2
ω + iγω −
ωp2
=0
s
ω̃ = ± ωp2 −
⇒
γ
γ2
−i
4
2
Zur physikalischen Bedeutung von ω̃ Ableitung einer Wellengleichung für
̺(r, t) ⇒ Plasmaschwingungen: Es war
j(r, t) =
ε0 ωp2
Z∞
0
′
e−γt E(r, t − t′ )dt′
Damit folgt
div j(r, t) = −̺(r,
˙ t) =
ωp2
Z∞
0
′
e−γt ̺(r, t − t′ )
sowie
̺¨(r, t) =
−ωp2
= ωp2
−γt′
e
0
Z∞
0
=
Z∞
dt′
∂̺(r, t − t′ )
= ωp2
∂t
Z∞
′
e−γt
0
∂̺(r, t − t′ ) ′
dt
∂t′
i
∂ h −γt′
′
′ ∂
−γt′
̺(r,
t
−
t
)
−
̺(r,
t
−
t
)
e
e
∂t′
∂t′
−ωp2 ̺(r, t)
+
γωp2
Z∞
0
′
dt′ e−γt ̺(r, t − t′ )
= −ωp2 ̺(r, t) − γ ̺(r,
˙ t)
Lösen Differentialgleichung für ̺ mit e−Ansatz e−iωt :
̺¨ + γ ̺˙ + ωp2 ̺ = 0
⇒
93
ω 2 + iγω − ωp2 = 0
s
ω̃ = ± ωp2 −
γ2
γ
−i
4
2
2. Transversale Anregungen: ε(ω) 6= 0 ⇒ div E(r, ω) = 0 . Da immer
auch div B(r, ω) = 0 gilt, sind E und B beide transversal.
Betrachten Potentialgleichungen in Coulomb-Eichung, d.h. div A = 0 . Dann
ist wegen
div E = div (−grad φ − Ȧ) = −∆φ = 0
auch φ identisch null und jT = j − ε0 grad φ̇ = j . Folglich
2A(r, t) = −µ0 j(r, t) = −µ0 Ṗ(r, t)
Fouriertransformation r → q ; benutzen ferner E = −Ȧ und P = ε0 χ · E
"
#
d2
1 ∂2
−q − 2 2 A(q, t) = +µ0 ε0 2
c ∂t
dt
2
Z∞
0
dτ χ(τ ) A(q, t − τ )
Ansatz: A(q, t) = Aq e−iωt
"
#
ω2
ω2
2
−iωt
−
q
A
e
=
−
q
c2
c2
Z∞
dτ χ(τ ) Aq e−iω(t−τ )
0
ω2
= − 2 Aq e−iωt
c
⇒
q2 =
Z∞
dτ χ(τ ) eiωτ
0
ω2
ω 2 ε(ω)
[1
+
χ(ω)]
=
c2
c2 ε0
Für kleine Dämpfung γ → 0 folgt die Dispersion der transversalen Plasmonen bzw. Photonen im Medium
ω2
q = 2
c
2
ωp2
1− 2
ω
!
Falls cq ≪ ωp gilt
ω(q) = ωp
Falls cq ≫ ωp gilt
⇒
ω(q) =
c2 q 2
1+
2ωp2
q
ωp2 + c2 q 2
!
ω(q) = cq
Für große Frequenzen wie Vakuum (Elektronen können nicht folgen!)
94
4.3.2
Dielektrische Suszeptibilität
Betrachten als einfaches Modell für gebundene Ladungsträger ”gedämpfte, harmonische Oszillatoren”
mnβ r̈nβ + ̺nβ ṙnβ + knβ (rnβ − rn ) = qnβ E (rnβ , t)
Ersetzen, da E makroskopisches Feld, E (rnβ , t) = E (rn , t) = En (t) . Mit
q
ergibt sich für dnβ = rnβ −rn
den Abkürzungen γ = ̺/m , ω 2 = k/m , µ =
m
2
d̈nβ + γnβ ḋnβ + ωnβ
dnβ = µnβ E (t)
Lösen dies mit Hilfe der Greenschen Funktion
∂2
∂
+ ω02
+γ
∂t2
∂t
Z
Fouriertransformation: G(t) =
h
!
G(t) = δ(t)
dω − iωt
e
G (ω)
2π
i
−ω 2 − 2iγω + ω02 G(ω) = 1
1
− 2iγω − ω 2
Spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
G(ω) =
ω02
Z∞
r(t) = µ
−∞
dt′ G(t − t′ ) E(t′ )
Also für Ladungsträger β im Molekül n
dnβ (t) = rnβ (t) − rn = µnβ
Gnβ (ω) =
2
ωnβ
Z∞
−∞
dt′ Gnβ (t − t′ ) En (t′ )
1
− 2iγnβ ω − ω 2
Makroskopische Polarisation war
P (r, t) =
Polarisation von Molekül n :
P (r, t) =
=
*
2
X qnβ
*
2
X qnβ
n,β
n,β
= ε0
Z∞
−∞
mnβ
mnβ
*
X
n
+
Pn (t) δ (r − rn )
Pn (t) =
Z∞
−∞
Z∞
−∞
P
β
qnβ dnβ (t) . Folglich
′
′
′
′
+
′
dt Gnβ (t − t ) E(rn , t ) δ (r − rn )
+
dt Gnβ (t − t ) δ (r − rn )
dt′ χ (r , t − t′ ) E(r , t′ )
95
E(r , t′ )
Suszeptibilität
*
′
ε0 χ (r , t − t ) =
2
X qnβ
n,β
mnβ
2
X qnβ
=
n,β
Fouriertrafo t → ω :
ε0 χ(r, ω) =
mnβ
+
′
Gnβ (t − t ) δ (r − rn )
Gnβ (t − t′ ) f (r − rn )
2
X qnβ
n,β
f (r − rn )
2 − iγ ω − ω 2
mnβ ωnβ
nβ
Materialgleichung
P(r, ω) = ε0 χ(r, ω) E(r, ω)
Annahme: Eine Molekülsorte, d.h. qn,β → qβ , mn,β → mβ usw. Damit folgt
χ(r, ω) =
X qβ2 nMol
β
=
ε0 mβ
X
β
2
ωP,β
ωβ2 − iγβ ω − ω 2
,
dabei Dichte der Moleküle und Plasmafrequenz der Ladungsträger β eingeführt
durch
X
qβ2 · nMol
2
f (r − rn ) ; ωP,β =
nMol =
ε0 mβ
n
Dielektrische Funktion
2
X
ωP,β
ε(ω)
= 1 + χ(ω) = 1 +
ε0
ωβ2 − iγβ ω − ω 2
β
Resonanz-Näherung und ”Hintergrunds-DK”: Betrachten z.B. β = 0 und
ω ∼ ω0 , d.h. |ω − ω0 | ≪ ωβ − ω0 für β 6= 0 . Dann ist näherungsweise
2
ωP,0
ε(ω)
= εb + 2
ε0
ω0 − iγ0 ω − ω 2
;
εb = 1 +
X
β6=0
2
ωP,β
ωβ2 − iγβ ω0 − ω02
Im Folgenden diskutieren wir die elektromagnetischen Anregungen im
Grenzfall γ0 → 0 in vollständiger Analogie zum vorigen Abschnitt 4.3.1
1. Longitudinale Anregungen: Erfüllung von ε(ω) div E(r, ω) = 0 durch
ε(ωL ) = 0
εb +
2
ωP,0
=0
ω02 − ωL2
⇒
ωL2 = ω02 +
2
ωP,0
= ω02 + ω̃P2
εb
2
Dabei ist ω̃P2 = ωP,0
/εb die renormierte Plasmafrequenz.
2. Transversale Anregungen: Erfüllung von ε(ω) div E(r, ω) = 0 durch
96
div E(r, ω) = 0 . Da immer div B = 0 gilt, sind E und B transversal.
Die Dispersion der transversalen Anregungen war gegeben durch
q 2 (ω) =
ω2
ε(ω)
c2
Mit dem expliziten Ausdruck für ε(ω) folgt
"
#
ω2
ω̃P2
ε
1
+
= q2
b
c2
ω02 − ω 2
Neue Bezeichnung (Renormierung von Lichtgeschwindigkeit und Plasmafrequenz)
c2
= c̃2 → c2 , ω̃P2 → ωP2
εb
Biquadratische Gleichung lautet
ω2
"
#
ω2
1 + 2 P 2 = c2 q 2
ω0 − ω
a) ungekoppelt (ωP ≡ 0) :
ω02
ω2 =
h
+
2
c2 q 2
i
ω 4 − ω 2 ω02 + ωP2 + c2 q 2 + c2 q 2 ω02 = 0
⇒
v
!
u
u ω 2 + c2 q 2 2
±t 0
− c2 q 2 ω 2
0
2
v
u
ω 2 − c2 q 2
ω02 + c2 q 2 u
±t 0
2
2
=
!2
=
(
ω02
c2 q 2
b) gekoppelt , q = 0 :
h
ω 2 ω 2 − ω02 + ωP2
ω2 = 0
i
= ω 2 (ω 2 − ωL2 ) = 0
ω 2 = ω02 + ωp2 = ωL2
,
c) Allgemeine Lösung
ω2 =
ωL2
+
2
c2 q 2
v
u
u
1 ± t1 −


4c2 q 2 ω02 
2
ωL2 + c2 q 2
Entwicklung für kleine q (beachte: ωL2 = ω02 + ωP2 )
ω
2
∼
=
ωL2 + c2 q 2
2
∼
=

2 +

 ωL


ω02
2
ωL
2
ωP
2
ωL
"
1 4c2 q 2 ω02
1± 1−
2 ωL2 + c2 q 2 2
q2
c2 q 2
97
!#
Entwicklung für große q
ω2 =
∼
=
c2 q 2
2


1 +
ωL2
c2 q 2


v
!2
u
2
2
u
ω
4ω 
− 2 02 
± t 1 + 2 L2
c q
ω2
c2 q 2 
1 + 2 L2 ±
2
c q
∼
=
c2 q 2
2
∼
=
(
"
s
(
98

2ω 2
4ω 2
1 + 2 L2 − 2 02 
c q
c q
ω 2 − 2ω 2
ω2
1 + 2 L2 ± 1 + L 2 2 0
c q
c q
c2 q 2 + ωP2
ω02
c q
)#
4.3.3
Magnetisierbarkeit
Betrachten entsprechend Oszillatoren im Magnetfeld!
Vereinfachung: keine Dämpfung, zeitlich konstantes Magnetfeld
mr̈ + kr = q (ṙ × B)
Magnetfeld in z−Richtung B = (0, 0, B)
mẍ + kx = q ẏB
mÿ + ky = − q ẋB
mz̈ + kz = 0 → z = z0 cos (ω0 t + ϕ0 )
Setzen: ω02 =
k
q·B
, ωB =
m
2m
Zyklotron- bzw. Larmorfrequenz
Definieren w = x + iy und erhalten
ẅ + ω02 w = − iqB ẇ
1
m
e−Ansatz w ∼ e+ iωt
− ω 2 + ω02 = 2w ωB
ω± = − ωB ±
q
2 = − ω ± ω̃
ω02 + ωB
B
0
Allgemeine Lösung: w(t) = w+ eiω+ t + w− e+ iω− t
Setzen komplexe Konstanten w± = r± eiϕ±
=⇒
h
w(t) = e−iωB t r+ ei (ω̃0 t + ϕ+ ) + r− e−i (ω̃0 t − ϕ− )
Führen Polarkoordinaten in x − y−Ebene ein
i
w(t) = r(t) eiϕ(t)
2
2
r 2 (t) = |w(t)|2 = r+
+ r−
+ 2r+ r− cos (2ω̃0 t + ϕ+ − ϕ− )
2
rmax
= (r+ + r− )2
2
rmin
= (r+ − r− )2
Wählen Anfangsbedingungen
r(0) = rmax → ∆ϕ = ϕ+ − ϕ− = 0
→ ϕ+ = ϕ− = ϕ0
Dann gilt
w(t) = ei(ϕ0 −ωB t) w̃(t)
99
w̃(t) = r(t) eiϕ̃ (t) = r+ eiω̃0 t + r− e−iω̃0 t
= (r+ + r− ) cos ω̃0 t + i (r+ − r− ) sin ω̃0 t
= rmax cos ω̃0 t + i rmin sin ω̃0 t
Kurvenform in x̃ − ỹ−Ebene:
x̃(t) = rmax cos ω̃0 t
ỹ(t) = rmin sin ω̃0 t
Gesamtbewegung: w̃(t) beschreibt Ellipse; diese dreht sich mit Winkelgeschwindigkeit ωB in der x − y−Ebene.
Betrachten magnetisches Moment des Oszillators
1
2
m(t) =
Z
r × j(r, t) d3 r
j(r, t) = q ṙ(t) δ(r − r(t))
⇒
q
q
r(t) × ṙ(t) =
l
2
2m
m(t) =
Gilt also ”strenge” Proportionalität zwischen magnetischem Moment m(t) und
Drehimpuls l(t)
Untersuchen Zeitableitung
ṁ(t) =
=
q
q
q
r(t) × r̈(t) =
r(t) × F =
r × [q ṙ × B]
2
2m
2m
q2
{ṙ (r B) − B (r ṙ)}
2m
Betrachten z−Komponente und benutzen |w(t)|2 = x2 + y 2
ṁz (t) =
q2
q2 B
{ż(t) z(t) B − B r(t) ṙ(t)} = −
(xẋ + y ẏ)
2m
2m
= −
q 2 B 1 d |w(t)|2
2m 2
dt
Finden also Erhaltungsgröße
d
dt
(
q 2 B |w(t)|2
mz (t) +
2m
2
⇒ mz (t) +
)
= 0
q 2 B |ω(t)|2
= m(0)
z
2m
2
(0)
Ohne Magnetfeld gilt mz (t) = mz ist Erhaltungsgröße (entsprechend Drehimpulserhaltung im Zentralkraftfeld).
100
Untersuchen für Materialbeziehung im Folgenden nur das in Feldrichtung (z)
induzierte magnetische Moment
m(t) = mz (t) − m(0)
= −
z
q 2 B |w(t)|2
2m
2
Anmerkung:
(1) Die ohne B−Feld bereits vorhandenen (Konst. ↔ Drehimpulserhaltung!)
magnetischen Momente heben sich bei makroskopischer Mittelung heraus,
da Richtungen statistisch verteilt (andernfalls: spontane Magnetisierung
→ Ferromagnetismus)
(2) Senkrecht zu B gerichtete Komponente ergibt sich mit r⊥ = (x, y, 0) zu
q2
ṙ⊥ (t) z(t) B
2m
ṁ⊥ =
Makroskopische Mittelung - Magnetisierung
M (r, t) =
X
n,β
mnβ (t) f (r − rn )
Zeitlich rasch oszillierende, nichtlinear von B abhängige Funktion.
Führen daher zusätzlich zeitliche Mittelung durch
Faktoren verschwinden:
D
mz (t) −
D
m(0)
z
|w(t)|2
E
E
→
alle oszillierenden
q 2 B |w(t)|2
,
= −
2
2
2
2
= r+
+ r−
= 2r02 .
Der statische Anteil zum induzierten magnetischen Moment ist folglich
m0 = −
q 2 r02
B
2m
Überlagerung ergibt die statische, makroskopische Magnetisierung
M(r) =
mnβ
*
X
n,β
+
mnβ δ(r − rn )
=
X
n,β
mnβ f (r − rn )
2 r2
qnβ
nβ
= −
B
2mnβ
Materialgleichung (Def.)
µ0 M(r) = − χB (r) B (r)
⇒
µ0 χB (r) =
2 r2
X qnβ
nβ
n,β
101
2mnβ
f (r − rn )
Permeabilität (Definition): B = µ H . Es war
H =
1 + χB
1
B−M =
B
µ0
µ0
→
µ =
µ0
1 + χB
In unserem Fall: µ < µ0 Diamagnetismus
Bei spontaner Magnetisierung: µ > µ0 (Paramagnetismus) bzw. µ ≫ µ0
(Ferromagnetismus)
Zusammenfassung: Erhalten bei Annahme ”schwacher” Felder lineare Materialbeziehungen. Im einfachsten Fall ”statischer bzw. quasistatischer Felder”
P = ε0 χE
⇒
µ0 M = −χB · B
D = εE
⇒
B = µH
ε
=1+χ
ε0
µ=
µ0
1 + χB
und für stationäre Ströme: j = σ · E
Im allgemeinen linearen Fall:
• Anisotropie
• Nichtlokalität
⇒
⇒
• Nichtstationärität
Tensorcharakter ε, µ, σ
räumliche Dispersion (k−Abhängigkeit)
⇒
zeitliche Dispersion (ω−Abhängigkeit)
Allgemeine lineare Beziehung, z.B. D = εE hat die Gestalt
D(r, t) =
Z
d2 r′ dt′ ε̂(r, r′ , t, t′ ) E(r′ , t′ )
Speziell für räumlich homogene stationäre und isotrope Medien
εij (r, r′ , t, t′ ) = δij ε(r − r′ , t − t′ )
Fouriertransformation:
D(k, ω) = ε(k, ω) E(k, ω)
102
4.4
Rand- bzw. Übergangsbedingungen
Benutzen die ”exakten” makroskopischen Maxwellgleichungen, d.h. ohne Rückgriff auf materialspezifische Gleichungen
div D = ̺ (= ̺L + ̺ext )
rot E = − Ḃ
div B = 0
rot H = J = jL + jext + Ḋ
(a) Betrachten ”Konservendose”, die Teil der Oberfläche des Mediums enthält
und integrieren über deren Volumen ∆V .
Z
div D dV =
∆V
I
D df =
Z
̺ dV
∆V
Lassen ”Höhe h” der Konservendose gegen Null streben, wobei sich die
Stirnflächen von innen bzw außen an die Oberfläche Medium-Vakuum
anschmiegen:
lim
h→0
I
D df =
Z
df
Dn(a)
−
Dn(i)
= lim
∆V →0
Z
̺ dV
∆V
Rechte Seite ergibt ”normalerweise” Null, da ∆V → 0 , es sei denn, in
der Oberfläche sind Ladungen verteilt
Z
lim
∆V →0
̺ dV =
∆V
Z
σF df
σF
Flächendichte der Ladungen
Folglich: Normalkomponente von D geht stetig durch Oberfläche, falls
keine Flächenladungen, ansonsten Sprung
Dn(a) − Dn(i) = σF
Analog: Normalkomponente von B stetig.
(b) Betrachten geschlossenen Weg, der Teil der Oberfläche enthält und integrieren
I
Z
E dr = −
B df
∆V
Lassen ”senkrechten Abstand” gegen Null streben, wobei sich der äußere/innere Kurventeil an die Grenzfläche anschmiegen:
lim
h→0
I
E dr =
Z h
(a)
Et
−
(i)
Et
i
d
ds = − lim
∆F →0 dt
Z
B df
∆F
Falls kein ”singulärer” Magnetfluß in der Oberfläche
Z h
(a)
Et
(i)
− Et
i
ds = 0
für beliebiges Stück der Oberfläche
103
Folglich: Tangentialkomponenten von E und (entsprechend) von H gehen
stetig durch Oberfläche.
Zusammenfassung: Normalkomponenten von D und B sowie Tangentialkomponenten von E und H gehen stetig durch Oberfläche, solange auf
dem Rand keine singuläre Dichte von Quellen bzw. Wirbeln realisiert ist.
Beachte: z.B. in Metallen sind alle Ladungen auf der Oberfläche (später
→ Elektrostatik von Leitern)
104
4.5
Das elektrostatische Feld eines Leiters
(1) Im Inneren eines Leiters ist E = 0 , andernfalls wirkt die Kraft eE auf
Ladungen, d.h. Widerspruch zu Statik
Folglich div E = 0 → ̺ ≡ 0 im Innern
(2) Oberfläche eines Leiters: Zerlegen E = En + Et
Et = 0
andernfalls ... wie oben
En 6= 0
mit ”Statik” verträglich, da Ladungsträger nicht aus dem Leiter
heraustreten können
Entsprechend Ladungsverteilung auf der Oberfläche denkbar; charakterisieren diese durch σ mit folgender Bedeutung:
Z
σ df = ∆Q
∆F
ist die Ladung, die im Flächenstück ∆F der Oberfläche des Leiters enthalten ist. Entsprechend 4.4 springt die Normalkomponente des E−Feldes
beim Durchgang durch Oberfläche von Null auf
1
σ = En(a)
ε0
(3) Außenraum:
rot E = 0
→
div E = ̺ext /ε0
→
E = −grad φ
∆ φ = − ̺ext /ε0
Zusammengefaßt: Elektrostatisches Feld eines Leiters
innen:
E = 0 ; ̺ = 0 ; φ = const.
1
σ ; Et = 0
ε0
̺ext
̺ext
; ∆φ = −
rot E = 0 ; div E =
ε0
ε0
Oberfläche: En(a) =
außen:
Beispiel: Feld einer leitenden Kugel (Q, R) ; ̺ext ≡ 0
σ=
Q
4π R2
→
En(a) =
105
Q
4π ε0 R2
Lösen Potentialgleichung außen
∆φ =
1 ∂(r 2 φ′ (r))
= 0
r2
∂r
φ′ (r) =
→
α
r2
Integrationskonstante α durch
∂r ′
r
φ (r) = − φ′ (r)
∂r
r
E = − grad φ = −
→
En(a) (R) = − φ′ (R)
Q
α
Q
σ
=
= − 2 → α = −
2
ε0
4π ε0 R
R
4π ε0
Q
Q
→ φ(r) =
+ φ∞
φ′ (r) = −
2
4π ε0 r
4π ε0 r
Q
Kapazität der Kugel: C = −
= 4π ε0 R
φ (R) − φ∞
Jetzt: anspruchsvollere mathematische Formulierung
→
Potentialtheorie: Bestimme Lösung der Potentialgleichung
∆φ = −
̺ext
ε0
(außen)
mit Randbedingung φ = φ0 auf Oberfläche des Leiters. Falls Aufgabe
gelöst
R
→ σ = ε0 En aus Lösung bestimmt. Ggfs. Umkehrung, d.h. σ df = Q
vorgeben!
Konstruktion der Lösung mit Hilfe GF
Definition:
∆r G(r, r′ ) = δ (r − r′ ) = ∆r′ G(r, r′ )
∆ G(r, r′ ) = 0
r , r′ beide außen
r ǫ Oberfläche, r′ außen
lim G(r, r′ ) = 0
|r|→∞
G(r, r′ ) = G(r′ , r)
Verwenden 2. Greensche Identität (vgl. Abschn. 2.1.2)
Z
v
d3 r [ϕ ∆ψ − ψ ∆ϕ] =
I
[ϕ grad ψ − ψ grad ϕ] df
Integration über V ≡ Außenraum, O−Oberfläche des Leiters. Wählen speziell
̺ext
ϕ(r) = φ(r) als die gesuchte Lösung, d.h. ∆φ = −
und φ = φ0 auf
ε0
der Oberfläche. Setzen ferner ψ(r) = G (r, r′ ) . Damit folgt
Z
3
n
′
o
′
d r φ(r) ∆G(r, r ) − G(r, r ) ∆φ(r)
|
{z
′
}
δ(r − r )
106
=
I
n
o
df φ ∇ G − G ∇ φ
↓
0, da r auf
Oberfl.
Vertauschen r′ und r und benutzen G(r , r′ ) = G(r′ , r) sowie φ = φ0 auf
0:
I
Z
1
3 ′
′
′
φ(r) = −
d r G(r , r ) ̺ext (r ) + φ0 df ′ ∇r′ G(r , r′ )
ε0
Satz von Gauß:
I
Ergebnis:
df ′ ∆r′ G(r, r′ ) =
1
φ(r) = φ0 −
ε0
Z
Z
dV ′ ∆r′ G(r, r′ ) = 1
d3 r′ G(r, r′ ) ̺ext (r′ )
Probe:
(1) dass Lösung außen: durch Einsetzen
1
∆φ(r) = −
ε0
Z
d3 r′ ∆ G(r , r′ ) ̺ext (r′ )
|
{z
′
}
δ (r − r )
(2) dass Randbedingung erfüllt für r ǫ Oberfläche:
φ(r)|r ǫ 0 = φ0 −
1
ε0
Z
d3 r′
G (r , r′ )
|
{z
}
̺ext (r′ ) = φ0
= 0 für r ǫ 0
Damit Lösung des Randwertproblems auf Bestimmung der zugehörigen GF
zurückgeführt.
107
Methode der Spiegelladungen zur Konstruktion des Potentials (Erfüllung
der Randbedingungen) für Probleme hoher Symmetrie am Beispiel ”Leitender
Halbraum”.
Lösen zunächst Problem für Punktladung q = 1 bei r′ anschaulich durch
Hinzufügen einer Spiegelladung q̄ = −1 bei r̄′ = (−x′ , y ′ , z ′ ) . Entsprechendes
Potential ist
1
1
1
−
φr′ (r) =
4π ε0 |r − r′ |
|r − r̄′ |
Beweis:
(1) dass φr′ (r) Lösung
∆ φr′ (r) = −
= −
1
{δ (r − r′ ) −
ε0
̺ext
ε0
δ (r − r̄′ )
|
{z
}
}
≡ 0 für x > 0
(2) Randbedingung
φr′ (r)|x=0 = 0
|r − r′ | = |r − r̄′ |
da
für
x = 0
Berechnen induzierte Flächenladungsdichte auf Oberfläche:
∂φ 1
σ(y, z) = ε0 En = −ε0
= −
∂x x=0
4π
= −
x − x̄′
x − x′
+
−
|r − r′ |3
|r − r̄′ |3
1
2x′
4π (x′ 2 + (y − y ′ )2 + (z − z ′ )2 )3/2
Gesamtladung, die auf der Oberfläche des Halbraums influenziert wird, ist
Q =
Z∞
σ(y, z) dy dz =
−∞
Z∞
σ(̺) ̺ d̺
0
Z2π
dϕ = 2π
0
Z∞
0
σ(̺) · ̺ d̺ ,
dabei wurden mit ̺2 = (y − y ′ )2 + (z − z ′ )2 und ϕ Polarkoordinaten in der
y − z−Ebene eingeführt. Folgt
Q = −x
′
Z∞
0
∞
x′
̺ d̺
p
=
= −1
(x′ 2 + ̺2 )2/3
x′ 2 + ̺2 0
Nunmehr leicht zu verifizieren: Die Greensche Funktion für eine beliebige Ladungsverteilung vor einem leitenden Halbraum ist gegeben durch
G (r , r′ ) = − ε0 φr′ (r) ,
108
denn
∆ G (r , r′ ) = −
1
4π
∆
1
1
−∆
′
|r − r |
|r − r̄′ |
= δ (r − r′ ) −
δ (r − r̄′ )
|
{z
}
= 0 für x > 0
Außerdem Randbedingung erfüllt, d.h. G(r, r′ ) = 0 für x = 0 , wurde an
φr′ (r) explizit gezeigt.
Folglich Lösung für beliebiges ̺ext (r) (ist anschaulich gut zu verstehen)
φ (r) = φ0 −
= φ0 +
1
ε0
Z
Z
d3 r′ G (r , r′ ) ̺ext (r′ )
d3 r′ φr′ (r) ̺ext (r′ )
109
4.6
Statische Felder in Nichtleitern
Nichtleiter: ̺L = 0 , jL = 0
Grundgleichungen:
div D = ̺ext
rot E = 0
→
E = −grad φ
div B = 0
→
B = rot A ; div A = 0
rot H = jext
innen:
D = εE
→
1
B
µ
H =
→
Übergangsbedingungen:
4.6.1
div E =
̺ext
ε
→
rot B = µ jext
→
∆φ = −
̺ext
ε
∆A = −µ jext
Et und Bn
stetig
Dn und Ht
stetig, falls keine Flächenladungen/ströme
Abschirmung
(a) Dielektrische Schicht im konstanten E-Feld, d.h. außen ist Ea =
(Ea , 0 , 0) ein konstantes elektrisches Feld in x−Richtung.
Grundgleichung:
div D = 0
∂ Dx (x)
= 0
∂x
→
→
Dx = D = konstant .
Übergangsbedingung:
Di = ε Ei = Da = ε0 Ea
ε0
Ei =
Ea
Abschwächung
ε
(b) Punktladung in dielektrischer Kugel
Grundgleichung:
div D = ̺ext = qδ(r) =
(
ε div E innen
ε0 div E außen
Integration über Kugel (r < R , innen)
ε
I
E df
= ε Ei (r) · 4πr 2 = q
Ei (r) =
q
4πεr 2
110
Integration über Außenraum der Kugel (r > R)
−ε0
I
E df + ε0
I
(∞)
(r)
E df = −ε0 Ea (r) 4πr 2 + ε0 lim Ea (r) · 4πr 2 = 0
r→∞
Ea (r) =
c
4πr 2
Übergangsbedingung: Dn stetig bei r = R
ε Ei (R) = ε0 Ea (R)
Ergebnis:
Ea =
q
4π ε0 r 2
→
→
c =
Ei =
q
ε0
ε0
Ea
ε
Abschirmung des Coulombpotentials von q innen um den Faktor
4.6.2
ε0
!
ε
Polarisation (Magnetisierung) in konstanten äußeren Feldern
(a) Dielektrische Kugel im konstanten elektrischen Feld, E0 = (0, 0, Ea )
Grundgleichung: ∆ φ = 0 im ganzen Raum.
Randbedingungen: Et und Dn stetig auf der Kugeloberfläche r = R
Lösungsansatz innen: Ei = (0, 0, Ei ) konstant; außen: Überlagerung aus äußerem Feld und dem eines Dipols p = (0, 0, p) bei r = 0 .
pz
=⇒ φi = −Ei · z , φa = −Ea z +
4π ε0 r 3
Zeigen zunächst: Ansätze genügen Potentialgleichung
• Trivial für ”homogene” Anteile
φ = − E · z.
• Für den Dipolanteil betrachten wir
∆
r
= ∆ E (r) = − ∆ grad φ (r) = − grad ∆ φ
4π ε0 r 3
1
r
1
und φ(r) =
entsprechen einer
2
4π ε0 r r
4π ε0 r
Punktladung q = 1 , bei r = 0 . Folglich ist außerhalb ε0 ∆φ = − δ (r) ≡ 0
und damit ebenfalls die Potentialgleichung erfüllt.
Die Ausdrücke E (r) =
Zur Erfüllung der Randbedingungen benutzen wir den Gradienten in Kugelkoordinaten (siehe z.B. Bronstein)
grad φ(r, ϕ, ϑ) =
∂φ
1
1 ∂φ
∂φ
er +
eϕ +
eϑ
∂r
r sin ϑ ∂ϕ
r ∂ϑ
Zylindersymmetrie: φ = φ(r, ϑ)
111
Folglich ist die Zerlegung von E = −grad φ
En (r, ϑ) = −
∂φ
∂r
Et (r, ϑ) = −
1 ∂φ
r ∂ϑ
Die Stetigkeitsbedingungen lauten also bei r = R
ε
∂φa (R, ϑ)
∂ϑ
∂φi (R, ϑ)
∂ϑ
=
∂φi (R, ϑ)
∂R
= ε0
∂φa (R, ϑ)
∂R
bzw. explizit
Ei · R sin ϑ = Ea R sin ϑ −
pR sin ϑ
4πε0 R3
2p cos ϑ
Ea cos ϑ +
4πε0 R3
ε · Ei cos ϑ = ε0
Damit lassen sich die Konstanten Ei und p des Ansatzes ausdrücken durch die
Parameter des Systems E0 , ε0 , ε und R :
Ei =
ε0
ε
ε0
1−
ε
Ea +
2p
4π ε0 R3
p
Ea =
4π ε0 R3
Ei = Ea −
= Ea −
2ε0
1+
ε
p
4π ε0 R3
⇒
p =
ε − ε0
4π ε0 R3 · Ea
ε + 2ε0
3ε0
ε − ε0
Ea =
Ea
ε + 2ε0
ε + 2ε0
Betrachten schließlich noch Polarisationsfeld
P = D − ε0 E =
(
(ε − ε0 ) Ei
0
r<R
r>R
= θ (R − r) (ε − ε0 ) Ei
Ergibt induzierte Ladungsdichte
̺ind = − div P = (ε0 − ε) Ei
∂
z
θ (R − r) = (ε0 − ε) Ei δ (R − r)
∂z
r
Kugelkoordinaten:
̺ind (r, ϕ, ϑ) = δ(R − r) σ(ϑ)
σ (ϑ) = (ε0 − ε) Ei cos ϑ
112
Erkennen: Polarisationsladungen kompensieren sich im Innern der Kugel, auf
der Oberfläche entsteht eine Flächenladungsdichte σ . Die induzierte Gesamtladung ist
Z
̺ind dV
Z
=
σ (ϑ) δ (R − r) r 2 dr sin ϑ dϑ dϕ
= 2πR2 (ε0 − ε)Ei
(b) Magnetisierbare Kugel (µ) im konstanten B-Feld, B = (0, 0, Ba ) in
vollständiger Analogie zu (a).
Grundgleichungen:
div B = 0
entsprechend div D = 0
rot H = jext = 0 entsprechend
B = − µH
entsprechend
rot E = 0
D = εE
Ersetzen in allen Formeln aus (a): D → B , E → H , µ(µ0 ) → ε(ε0 ) und führen
Potential φ → ψ ein:
rot H = 0
→
H = − grad ψ
div B = 0
→
∆ψ = 0
(im ganzen Raum)
Randbedingung: Bn und Ht stetig bei r = R
Ansätze: Ea,i → Ha,i , p → m
Ergebnis:
µ − µ0
3µ0
m
=
Ha , Hi =
Ha
4π µ0 R3
µ + 2µ0
µ + 2µ0
Betrachten analog zu (a) Magnetisierungsfeld
 
1
M=
B−H=

µ0
µ
−1
µ0
0
H(i) innen
außen
=
µ − µ0
Θ (R − r) Hi
µ0
Induzierte Stromdichte
jind = rot M = ∇ × M =
µ
−1
µ0
∇ × θ (R − r) Hi
∇ θ (R − r) × Hi =
δ (R − r) Hi er × ez
;
=
µ
−1
µ0
=
µ
−1
µ0
µ
−1
µ0
r
× Hi
r
er × ez = sin ϑ · eϕ
• im Innern keine Ströme
• auf Oberfläche Kreisströme ⊥ Magnetfeldrichtung
113
δ (R − r)
4.7
Stationäre Ströme in Leitern
Maxwellgleichungen:
div D = ̺L + ̺ext
div B = 0
rot H = jL + jext + Ḋ
rot E = − Ḃ
Randbedingungen:
(1) rot E = 0
→
Et stetig
(2) div D = ̺L + ̺ext = ̺
(3) rot H = jL + jext = j
(4) div B = 0
→
(a)
→
(i)
Dn − Dn = σF (Flächenladungsdichte)
→
Ht stetig
Bn stetig
(5) div j = div rot H = 0
→
Materialbeziehungen: D = ε E
jn
stetig
;
H =
1
µ
B
;
j = σE .
Einfache Folgerungen:
(1) Falls innen ̺ext = 0 , folgt
̺L = div D = ε div E =
ε
div jL = 0
σ
d.h. keine Ladungen im Innern von Leitern, höchstens auf der Oberfläche!
(2) Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Leitern
Dn(1) − Dn(2) = σF
ε1 (1)
ε2 (2)
jn −
j
=
σ1
σ2 n
ε1
ε2
−
σ1
σ2
;
Dn = ε En =
jn = σF
ε
jn
σ
(da jn stetig)
d.h. in der Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Leitern bilden sich,
wenn jn 6= 0 ist, Flächenladungen aus.
(3) Potentialgleichungen im Innern (̺ext = 0 , jext = 0)
rot E = 0
→
E = − grad φ
ε div E = 0 (da ̺L = 0)
div B = 0
→
rot H = jL
(div A = 0)
→
∆φ = 0
B = rot A
114
→
∆ A = − µ jL
Beispiel: Leiter mit Elektroden an der Oberfläche, wobei Fα , Iα , φα Fläche,
Stromstärke und Potential der Elektrode α sind. Berechnen die Ohmsche
Wärme aus Energiesatz:
E =
Z
dV · j · E = −
= −
Z
= −
XZ
α
dV
Fα
n
Z
dV j grad φ
div (j · φ) − φ div j
| {z }
= 0
j φ df = −
115
X
α
o
φα · Iα
= −
I
j φ df
4.8
Wellenausbreitung in Medien
Grundgleichungen im Medium für ̺ext = 0 , jext = 0
Wellen
→
”quasifreie”
div D = ̺L
div B = 0
rot E = − Ḃ
rot H = jL + Ḋ
Dispersion: Materialbeziehungen für (ggfs. schnell oszillierende) zeitabhängige
Felder haben im linearen, isotropen und homogenen Fall die allgemeine Struktur
D (r, t) =
Z∞
−∞
dt′ ε(t − t′ ) E (r, t′ )
Analog für jL = σ E , B = µ H !
Betrachten alle Gleichungen im Frequenz-Raum, d.h. Fouriertrafo bez. der Zeit,
z.B.
D (r, t) =
D (r , ω) =
Z
dω − iωt
e
D (r , ω)
2π
Z
dt eiωt D (r , t)
Entstehen folgende Gleichungen
div D (r , ω) = ̺L (r , ω)
D (r , ω) = ε (ω) E (r , ω)
div B (r , ω) = 0
B (r , ω) = µ (ω) H (r , ω)
rot E (r , ω) = iω B (r , ω)
jL (r , ω) = σ (ω) E (r , ω)
rot H (r , ω) = jL (r , ω) − iω D (r , ω)
Zeigen zunächst: Beiträge der Leitungselektronen ̺L und jL können in D bzw.
ε berücksichtigt werden.
Ausgangspunkt: Kontinuitätsgleichung
̺˙ L + div jL = 0
→
div jL (r, ω) = iω̺L (r, ω)
Schreiben formal jL (r, ω) = −iωPL (r, ω) und erhalten
̺L (r, ω) = −div PL (r, ω) .
Damit entsteht z.B. aus 1. Maxwellgleichung
div [D(r, ω) + PL (r, ω)] = div [ε0 E(r, ω) + P(r, ω) + PL (r, ω)] = 0
116
Führen als neues D-Feld ein ε0 E + P + PL und erhalten ”homogene” Maxwellgleichungen
div D(r, ω) = 0
div B(r, ω) = 0
rot E(r, ω) = iω B(r, ω)
rot H(r, ω) = −iω D(r, ω)
Wegen
jL (r, ω) = σ(ω) E(r, ω) = −iω PL (r, ω)
ist
iσ(ω)
E(r, ω)
ω
und für das (neue!) D-Feld ergibt sich die Materialgleichung
PL (r, ω) =
D(r, ω) = ε0 + ε0 χ(ω) +
iσ(ω)
E(r, ω)
ω
Erhalten also als neue dielektrische Funktion
iσ(ω)
ε(ω)
= 1 + χ(ω) +
ε0
ε0 ω
bzw.
χ̃ = χ(ω) +
iσ(ω)
ε0 ω
→
χ(ω) .
Wellengleichung: Setzen Materialgleichungen in Maxwellgleichungen ein und
erhalten
ε(ω) div E (ω) = 0 ,
div B (r, ω) = 0 ,
rot E (r, ω) = iω B (r, ω) ,
rot B (r, ω) = − iω µ(ω) ε (ω) E (r, ω) .
Eliminieren in der 3. Gleichung B mit Hilfe der 4. Gleichung für transversale
Anregungen, d.h. für div E = 0
rot rot E(r, ω) = −∆ E(r, ω) = iω rot B(r, ω) = k 2 (ω) E(r, ω) .
Dabei wurde zunächst als Abkürzung eingeführt
k2 (ω) = ω 2 µ(ω) ε(ω)
117
Setzen im Folgenden (o.B. d.A.) µ(ω) ε(ω) = µ0 ε0 ε̃(ω) und definieren mit
ε̃ (ω) → ε(ω) = n2 (ω) den komplexen, frequenzabhängigen Brechungsindex n(ω) . Dann ist also
ω2
ε(ω) = k02 n2 (ω) .
c20
k2 (ω) =
c0 ist die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit und k0 (ω) = ω/c das Dispersionsgesetz im Vakuum.
Beachte: bei geg. ε(ω) muss Wurzel aus komplexer Zahl gezogen werden:
n2 = (n1 + in2 )2 = ε1 + iε2
n21 − n22 = ε1
2 n1 n2 = ε2
ε1
n21 =
±
2
s
n21 −
→
ε21 + ε22
ε1 ± |ε|
=
4
2
;
ε 2
2
2n1
n1 =
s
− ε1 = 0
ε1 + |ε|
2
;
n2 =
ε2
2n1
Für ”transparente Medien” gilt typischerweise ε2 ≪ ε1
√
→ n1 ≃
ε1
;
n2 =
ε2
2n1
Behauptung: Die abgeleitete Gleichung
∆ E (r, ω) + k2 (ω) E(r, ω) = 0
beschreibt u.a. ebene Wellen mit Wellenvektor k = k(ω) e , e − Ausbreitungsrichtung.
Beweis: Mit Ansatz E ∼ eiqr folgt q 2 = k2 (ω) . Folglich ist Lösung
E (r, ω) = a (ω) eik(ω)r + b (ω) e− ik(ω)r
Fourier-Rücktransformation ergibt für den 1. Anteil
E(r, t) =
Z
dω
a(ω) ei k(ω) r e−iωt
2π
=
Z
dω
i ω n(ω) e·r −iωt
e
a(ω) e c0
2π
=
Z
−iω
dω
a(ω) e
2π
h
t−
n(ω)
c0
nr
i
Für Vakuum, d.h. n(ω) ≡ 1 folgt wie früher
E(r, t) = a
t−
n·r
c0
118
= E (nr − c0 t)
mit beliebigem Vektorfeld E(α) . Für ein Medium ist dieser einfache Sachverhalt nicht mehr gegeben. Nur für monochromatische Wellen, d.h. für a(ω) =
2π E0 δ(ω − ω0 ) gilt
E(r, t) = E0 ei [k(ω0 )·r−ω0 t] .
Dabei ist im allgemeinen wegen n(ω) = n1 (ω) + i n2 (ω) auch
k(ω) =
ω
[n1 (ω) + i n2 (ω)] e = k1 + i k2
c0
komplex. Wir wählen o.B.d.A. e = ez als Ausbreitungsrichtung.
ω
n1 (ω) beschreibt
Dispersion (im engeren Sinne): Der Realteil k1 (ω) =
c0
gemäß ei k1 (ω)z die Frequenzabhängigkeit der Wellenzahl bzw. Wellenlänge
2π
λ(ω) =
.
k1 (ω)
ω
n2 (ω) beschreibt gemäß e−k2 (ω)z
Absorption: Der Imaginärteil k2 (ω) =
c0
das (frequenzabhängige) räumliche Abklingen der Welle in Ausbreitungsrichtung.
Brechung: Wählen Grenzfläche Vakuum-Medium als x−y−Ebene. Betrachten
′
als einfallende Welle: E = E0 eikr , als reflektierte Welle E′ = E′0 eik r und
′′
als gebrochene Welle E′′ = E′′0 eik r . Ferner gilt für Vakuum
k2 = k′ 2 =
und für Medium
k′′ 2 =
ω2
= k02
c20
ω2 2
n (ω) .
c20
Zur Erfüllung der Stetigkeitsbedingung auf der Grenzfläche z = 0 müssen die
′
′′
Funktion eikr⊥ , eik r⊥ und eik r⊥ in der gesamten x − y−Ebene übereinstimmen:
k⊥ = k′⊥ = k′′⊥
Legen x−Achse in diese Richtung →
kx = kx′ = kx′′
Einfalls- bzw. Reflexionswinkel (Def.)
kx = k0 sin α
→
& kx′ = k0 sin β
α = β
Setzen kz′′ = k1 + ik2 und betrachten Real- und Imaginärteil von
k′′ 2 =
ω2
ω2 2
n
(ω)
=
(ε1 + ε2 ) →
c20
c20
119
kx′′ 2 + k12 − k22 =
2 k1 k2 =
ω2
ε2
c20
ω2
ε1
c20
Ersetzen in erster Gleichung kx′′ = kx = k0 sin α und k2 aus zweiter Gleichung
!2
ω 2 ε2
ω2
ω2
2
2
sin α + k1 −
= 2 ε1
2
2
c0
c0 2k1
c0
Lösung der biquadratischen Gleichung
ω 2 ε1 − sin2 α + |ε − sin2 α|
c20
2
k12 =
;
k2 =
ω 2 ε2
c20 2k1
Betrachten gebeugte Welle
eik
′′ r
= eikx ·x ei (k1 +i k2 ) z = ei (kx x + k1 z) e− k2 z
Welle ist in z−Richtung mit k2 gedämpft. Aus dem verbleibenden ungedämpften Anteil ergibt sich der Brechungswinkel:
cos2 γ =
k12
2 sin2 α
ε1 − sin2 α + |ε − sin2 α|
=
1
−
=
kx2 + k12
ε1 + sin2 α + |ε − sin2 α|
ε1 + sin2 α − |ε − sin2 α|
→ sin2 γ =
2 sin2 α
ε1 + sin2 α + |ε − sin2 α|
Daraus folgt im Grenzfall ε2 ≪ ε1 und folglich n1 =
abhängige) Brechungsgesetz von Suelius
sin2 α
sin2 γ ∼
=
ε1
→
120
sin γ(ω) =
√
sin α
n1 (ω)
ε1 das (frequenz-
4.9
Halbleiter-Plättchen als Fabry-Perot-Resonator
Berechnung der Reflexion und Transmission eines HL-Plättchens unter exakter
Berücksichtigung der Vielfach-Reflexion an den Endflächen:
ε=1
ε(ω)
IR
-
ε=1
-
-
Ii
IT
0
-
L
Z
Wellengleichung:
~T
1 ∂2D
=0,
2
c ∂t2
~ T = ~eT · E(z, t) , D
~ T = ~eT · D(z, t)
E
~T −
∆E
Fouriertr.
∂2
ω2
E(z,
ω)
+
D(z, ω) = 0
∂z 2
c2
D(z, ω) =
(
ε(ω) E(z, ω)
0<z<L
E(z, ω)
z < 0 oder z > L
Lösen Maxwell-Gleichung stückweise
∂ 2 E(z, ω)
∂z 2
+
ω2
ε(ω) E(z, ω) = 0
c2
∂ 2 E(z, ω)
∂z 2
+
ω2
E(z, ω) = 0
c2
0<z<L
z<0, z>L
Lösungsansatz: Einstrahlung erfolgt von links, d.h. für z > L gibt es nur die
nach rechts laufende Lösung. Abkürzungen:
q0 =
ωq
ω
ω
ε(ω) = · n(ω)
, q=
c
c
c
Damit
z<0 :
E(z, ω) = eiq0 z + r e−iq0 z
0<z<L :
E(z, ω) = a eiqz + b e−iqz
z>L :
E(z, ω) = t eiq0 z
Beachte: ε(ω) ist i.a. komplex, demzufolge sind auch n und q i.a. komplex.
121
Randbedingung: Die Funktion E(z) und ihre 1. Ableitung muss für z = 0 und
z = L stetig sein.
E(0)
:
1+r = a+b
(1)
E ′ (0)
:
q0 (1 − r) = q(a − b)
(2)
E(L)
a eiqL
:
E ′ (L) :
+ b e−iqL
=
t eiq0 L
q a eiqL − b e−iqL = q0 t eiq0 L
(3)
(4)
Das sind 4 Gleichungen zur Bestimmung der 4 Koeffizienten r, a, b, t . Kombinieren diese Gleichungen geeignet:
q · (1) + (2) :
2qa = q + q0 + r (q − q0 )
q · (1) − (2) :
2qb
= q − q0 + r (q + q0 )
q · (3) + (4) :
2qa = t (q + q0 ) ei(q0 −q)L
q · (3) − (4) :
2qb
= t (q − q0 ) ei(q0 +q)L
Gleichsetzen der entsprechenden rechten Seiten von 2qa bzw. 2qb
q + q0 + r (q − q0 ) = t (q + q0 ) ei(q0 −q)L
(5)
q − q0 + r (q + q0 ) = t (q − q0 ) ei(q0 +q)L
(6)
Eliminieren r durch Bildung von (q + q0 ) · (5) − (q − q0 ) · (6) :
(q + q0 )2 − (q − q0 )2 = t eiq0 L
n
(q + q0 )2 eiq0 L − (q − q0 )2 eiq0 L
Feldstärke - Transmissionskoeffizient
t=
4qq0 ei(q−q0 )L
,
(q + q0 )2 (1 − ̺2 )
wobei zunächst als Abkürzung
̺=
q − q0 iqL
e
.
q + q0
122
o
Anschauliche Interpretation:
(a) Zeigen: Transmission unter Vernachlässigung der bei z = L reflektierten
Welle (b!) bei z = 0 ist
t0 =
4qq0
ei(q−q0 )L
(q + q0 )2
Beweis: Setzen b = 0 in (1) und (2)
(1) :
(2) :
q · (3) + (4) :
Setzen
a → a0
1 + r0
= a0
q0 (1 − r0 ) = qa0
→
a0 =
→
r0 =
2qa = t (q + q0 ) ei(q0 −q)L
gilt für
2q0
q+q0
q−q0
q+q0
b 6= 0
ein:
t → t0 =
4qq0
ei(q−q0 )L
(q + q0 )2
(b) Die als Abkürzung eingeführte Größe
̺=
q − q0 iqL
e
q + q0
beschreibt einmalige Reflexion an der inneren Grenzfläche MediumVakuum.
Beweis: Bilde
b
q − q0 2iqL
q · (3) − (4)
:
=
e
q · (3) + (4)
a
q + q0
Daraus zunächst ersichtlich:
b e−iqL
q − q0
=
= ̺0
iqL
ae
q + q0
beschreibt Reflexionskoeff. der inneren Grenzfläche. Der verbleibende Faktor
ω
ω
e2iqL = e2i c (n1 +n2 )L = e2i c n1 L e−αL
beschreibt Phasensprung an der Grenzfläche und Absorption im Innern.
(c) Intensitäts-Transmissionskoeffizient (Def.)
T (ω) = |t(ω)|2 = T0 (ω) · R(ω)
wobei schwach frequenzabhängiger Anteil
4n(ω) 2 − α(ω)L
e
T0 (ω) = |t0 | = (n(ω) + 1)2 2
123
und Resonatorfunktion
2
1
;
R(ω) = 1 − ̺2 (ω) Beachte: ̺ ist abh. von ω gemäß
̺(ω) =
n(ω) − 1 i ω n(ω)·L
e c
n(ω) + 1
Resonatorfunktion beschreibt Überlagerung der mehrfach intern reflektierten Wellen entsprechend
1
= 1 + ̺ 2 + ̺ 4 + ̺6 . . .
1 − ̺2
Für monochromatisches Licht
E(ω) = E0 δ (ω − ω0 )
folgt
Et (ω) = t(ω) Ei (ω) → E0,t = t(ω0 ) E0,i
I0 ∼ |E0 |2 → I0,t = T (ω0 ) · I0,i
Für die Intensität ist die Resonatorfunktion R(ω) wichtig:
R−1 (ω) = |1 − ̺2 (ω)|2
;
̺=
n − 1 i cω nL
e 0
n+1
Zerlegen ̺ = A eiφ in Amplitude und Phase:
R−1 = 1 + A4 − 2A2 cos 2φ
Maxima: 2φ = m 2π
Minima: 2φ = m +
1
2
→
2π
−1
Rm
= (1 − A2 )2
→
−1
2 2
Rm+
1 = (1 + A )
2
124
Wir diskutieren zwei wichtige Spezialfälle
(1) Fabry-Perot-Resonator: n reell, konstant
A =
1
n−1
∼
n+1
2
φm =
ωm
L = mπ
c
φm+ 1
2
=
ωm+ 1
2
c
;
φ=
→
1
L= m+
2
Fabry-Perot-Resonanzen: ωm =
ω
ω
nL = L
c0
c
1
16
Rm ∼
=
2 ∼
9
1 − 14
π
2π
c
π=
L
TL
2L
c
Resonanzbedingung: ωm = ckm = c
→
1
16
Rm+ 1 ∼ 2 ∼
2
25
1 + 14
c
mπ = m ∆ω
L
Abstand/Breite: ∆ω = ωm+n − ωm =
Umlaufzeit (round trip): TL =
→
2π
c
= mπ
λm
L
λm =
2L
m
Anschaulich: Die Maxima/Minima entstehen durch konstruktive/destruktive Überlagerung der intern propagierenden Wellen an
den Oberflächen des Plättchens.
(2) Verstärker/Laser: negative Absorption = optischer Gewinn, d.h.
−n2 = g ≪ n1 , aber so, dass A = e−δ → 1 bzw. δ → 0 . Dann ist
ω
ω
n1 − 1
+ n2 L = κ − g L ≪ 1
− ln A = δ ∼
= − ln
n1 + 1 c0
c0
Entwickeln R−1 (ω) in einer kleinen Umgebung von ωm , d.h. für |ω −
c
ωm | ≪ ∆ω = π . In dieser Umgebung dürfen wir die FrequenzabhängigL
keit von n vernachlässigen, d.h. n(ω) ∼
= n(ωm ) als konstant annehmen.
Dann schreiben wir die Phase in der Form
φ(ω) =
π
L
ω=
(ωm + [ω − ωm ]) .
c
∆ω
125
Damit folgt
2π
(ω − ωm )
cos 2φ = cos 2φm +
∆ω
= cos 2φm cos
1
∼
= 1−
2
2π
2π
(ω − ωm ) − sin 2φm sin
(ω − ωm )
∆ω
∆ω
2
2π
[ω − ωm ]
∆ω
Dann ist
−1
Rm
(ω)
4
2
= 1 + A − 2A
2 2
(
2
= (1 − A ) + A
1
1−
2
2 )
2π
[ω − ωm ]
∆ω
2
2π
[ω − ωm ]
∆ω
Entwickeln für δ → 0 :
A2 = e−2δ = 1 − 2δ +
4δ2
+ ...
2
,
(1 − A2 )2 = (2δ − 2δ2 )2 ∼
= 4δ2 + . . .
Folglich beschreibt Rm (ω) eine Lorentz-Linie (verbreiterte δ−Funktion):
Rm (ω) =
1
4δ2 +
Breite der Linie
2π
∆ω
2
(ω − ωm )2
0
= Rm
γ
1
π (ω − ωm )2 + γ 2
2δ
∆ω
∆ω = δ
≪ ∆ω
2π
π
R
Gewicht der Linie (Integral dω)
γ=
(0) γ
Rm
π
=
(0)
Rm
=
∆ω
2π
2
→
(0)
Rm
π
=
γ
∆ω
2π
2
=
π
δ
∆ω
π
(∆ω)2
(2π)2
∆ω
≫ ∆ω
4δ
Ergebnis: ”Beliebig” scharfe und ”beliebig” intensive Linie (eingestrahltes Licht → Verstärker, Vakuumfluktuationen → Laser). Die ”Beliebigkeit”, d.h. δ → 0 , der Verstärkung und Verschärfung der Linie wird allein
dadurch begrenzt, dass die zur Aufrechterhaltung des Zustandes mit negativer Absorption (Inversion) erforderliche Energie durch (elektrisches oder
optisches) Pumpen aufgebracht werden muss. Die bei deren Umwandlung
in Licht unvermeidlich auftretenden, nichtstrahlenden Dissipationsprozesse bewirken die Erwärmung und schließlich die Zerstörung des Plättchens.
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