Newtonsche, Lagrangesche und Hamiltonsche Mechanik

111
11
Newtonsche Mechanik
Für ein physikalisches System mit endlich vielen Freiheitsgraden kann man häufig die Gesamtenergie bilanzieren. Bei einem Kontinuum ist die Energieabgabe oft nicht überschaubar.
11.1
Einführende Formeln
11.1.1
Einführende Formeln fürs freie Teilchen
p = mv
m 2 1
v = p·v
Ekin =
2
2
11.1.2
Einführende Formeln für Federn
y = c·e
c 2 1
Epot =
e = y·e
2
2
11.2
Zwei einfache mechanische Aufgaben
11.2.1
Eine Kugel zwischen zwei Federn
Energiebilanzgleichung
c1 x0 − c2 (e − x0 )
1 2 1
1 c1 c2 e2
c1 x0 + c2 (e − x0 )2 =
+
2
2
2 c1 + c2
2(c1 + c2 )
2
U1 (t0 ) + U2 (t0 ) = U(t1 ) + T (t1 )
11.2.2
Eine Feder zwischen zwei Kugeln
1
1
1 m1 m2
1
m1 v12 + m2 v22 = (m1 + m2 )v 2 +
(v2 − v1 )2
2
2
2
2 m1 + m2
T1 (t0 ) + T2 (t0 ) = T (t1 ) + U(t1 )
11.3
Die Newtonsche Gleichung
Wir haben gesehen, daß ein Nachteil der Bilanzgleichung ist, daß sie nicht die Gesamtenergie
bilanziert. Diesen Nachteil überwindet die Newtonsche Gleichung. Sie wird in den meisten
Physikbüchern – genau wie bei Newton – postuliert. Newton schreibt
ṗ = F
“die Änderung des Impulses (Newton nennt diese Größe richtiger Bewegungsgröße im Sinne von
Bewegungsmenge) ist die Kraft.” Letztlich ist das eine Definition der Kraft. Betrachtet man die
Gleichung als Bilanzgleichung, dann ändert sich die extensive Größe Impuls dadurch, daß eine
112
11 NEWTONSCHE MECHANIK
Triebkraft wirkt, weil eine intensive Größe noch nicht ausgeglichen ist. Diese intensive Größe
ist ein gedachtes Potential und seine negative Ableitung (im euklidischen Raum der Gradient)
die Triebkraft. Es ist also
ṗ(t) = −U 0 (x)
hierzu müßte man noch eine Zustandsgleichung geschrieben werden, die einen Zusammenhang
zwischen Impuls und Ort herstellt. Für ein freies Teilchen ist p = mv und v = ẋ. Bei vielen
Freiheitsgraden sind p und v Vektoren und m = M ene Matrix, typischerweise eine Diagonalmatrix.
Damit ergibt sich das System
ṗ(t) = −U 0 (x)
ẋ(t) = M−1 p(t)
Wem die Postulierung dieser Gleichung nicht gefällt, kann sie sich auch aus dem Energieerhaltungssatz plausibel machen. Die Gesamtenergie (Summe von potentieller und kinetischer
Energie) sollte konstant bleiben. Das ergibt fürs freie Teilchen im euklidischen Raum:
d 1
0=
hẋ(t), Mẋ(t)i + U(x) = hẋ(t), Mẍ(t)i + hẋ(t), U 0 (x)i = hẋ(t), Mẍ(t) + U 0 (x)i
dt 2
Unter der Annahme, daß die Geschwindigkeit eigentlich beliebig sein kann, folgt
Mẍ(t) + U 0 (x) = 0 ,
die Newtonsche Gleichung. Allerdings muß man berücksichtigen, daß hier eine zeitlich konstante
Masse angenommen wird. Im allgemeinen – und bei Raketen wird das insbesondere wichtig,
weil sich die Masse stark ändert – ist das Produkt p(t) = m(t)ẋ(t), eine extensive Größe, zeitlich
abzuleiten.
Das besondere an dieser Gleichung gegenüber von Bilanzgleichungen ist, daß sie die Energie
konstant hält, was für eine Bilanzgleichung zwar im Extremfall möglich, aber nicht typisch ist.
Man kann die Newtonsche Gleichung als Bilanzgleichung verstehen, wenn man Mẋ(t) = p(t)
als Zustandsgleichung interpretiert.
Falls keine Kraft wirkt, bleibt auch der Impuls erhalten.
Ein Vorteil der Newtonschen Gleichung (gegenüber den im weiteren vorgestellten Konzepten)
ist, daß man sie aufstellen kann, wenn die Kraft gegeben ist, auch ohne daß fundamentale
Prinzipien erfüllt sind. Das ist z.B. bei der Reibungskraft der Fall. Das ist aber auch ein Nachteil,
da das Kraftkonzept inkonsistent ist.
Typische Kräfte sind:
1 m2
• Gravitaionskraft F = G |xm1 −x
2
2|
• Gravitaion auf der Erde (konstante Kraft), F = +mg
• Feder (lineare Kraft), F = −cx
• Reibung (lineare geschw.abh. Kraft), F = −αẋ.
113
12
Lagrangesche Mechanik
Die Newtonsche Mechanik baut auf dem Grundprinzip: Die zeitliche Änderung des Impulses ist
die Kraft, auf. Letztlich ist das die Definition der Kraft. Ausgehend von bekannten Trajektorien
(z.B. den Planetenbahnen), wird versucht eine Kraft zu erraten und diese dann auf andere
Beispiele anzuwenden. Diese Konzept hat eine Reihe von Nachteilen:
• Das Kraftkonzept an sich insbesondere der Widerspruch zwischen actio = reactio und
Kraft = Beschleunigung. Dieser Widerspruch löst sich nur auf, wenn man eine Trägheitskraft einführt. Dann lautet die Newtonsche Gleichung Fträg = Fäußere , was einer Tautologie
nahekommt.
• Lokalität: Die Newtonsche Gleichung beschreibt den Zusammenhang von Beschleunigung
un Kraft zu einem Zeitpunkt.
• Abhängigkeit von Koordinatentransformationen (je nach Koordinatensystem sieht dieselbe Kraft anders aus)
• Sogenannte Zwangskräfte, d.h. Kräfte, die die Trajektorie zwangsläufig festlegen (z.B.
zwei durch einen starren Stab verbundene Massepunkte) passen nicht ins Konzept. Man
übergeht diesen Mangel durch das Postulat: Zwangskräfte verrichten keine Arbeit.
Die Lagrangesche Mechanik hat eine ganz andere Herangehensweise, die Trajektorie von physikalischen Systemen zu beschreiben. Wie sich herausstellen wird, ist die Newtonsche Mechanik
als Spezialfall enthalten.
Auch die Lagrangesche Mechanik beginnt wie jede physikalische Theorie mit einem Postulat:
Postulat: Es sei x(t) ⊂ X die Trajektorie eines physikalischen Systems im Zeitintervall t ∈ [a, b].
Es sei x(a) = xa , x(b) = xb . Dann gibt es eine Lagrangefunktion (Sattelfunktion) L(x, y) derart,
daß das Funktional
S(a, b, x) =
Z
a
b
L x(t), ẋ(t)
für x(t) sein Minimum annimmt.
Diese Funktional wird Wirkungsintegral oder Wirkung (auf englisch: action) genannt und
das Variantionsprinzip das sich hinter diesem Postulat verbirgt heißt Prinzip der kleinsten
Wirkung (PkW). Im weiteren werden wir versuchen zu verstehen, was die Wirkung ist und
warum das PkW sinnvoll ist.
Ausgehend von diesem Prinzip, wissen wir aus der Variationsrechnung, daß die Trajektorie x(t)
der Euler-Lagrange-Gleichung dieses Variationsproblems genügt. Es gilt also
d
∂ẋ L(x, ẋ) − ∂x L(x, ẋ) = 0
dt
(Mit dem Symbol ∂x bezeichnen wir die partielle Gateaux-Ableitung bezüglich der Variablen x.)
Diese Gleichung heißt Lagrangegleichung, sie ist eine spezielle Euler-Lagrange-Gleichung. Sie
kann als Randwertproblem mit gegebenen x(a) = xa , x(b) = xb oder als Anfangswertproblem
mit gegebenen x(a) = xa , ẋ(a) = va betrachtet werden.
Dazu betrachten wir einige Beispiele:
114
12.1
12 LAGRANGESCHE MECHANIK
Lagrangegleichung und Newtonsche Gleichung
Angenommen, die Newtonsche Gleichung ist richtig
Mẍ(t) + U 0 (x) = 0
Sie läßt sich folgendermaßen umschreiben:
d ∂ 1
∂ 1
0=
hẋ(t), Mẋ(t)i − U(x) −
hẋ(t), Mẋ(t)i − U(x)
dt ∂ ẋ 2
∂x 2
Das ist gerade die Lagrangegleichung passend zur Funktion
1
L(x, y) = hy, Myi − U(x) .
2
Das ist tatsächlich eine Lagrangefunktion, falls U(x) nach unten beschränkt ist. Diese Annahme
ist physikalisch sinnvoll, da eine nach unten unbeschränkte potentielle Energie in der Realität
bedeutet, daß das physikalische System ins “bodenlose fällt”.
Damit sind die einfachsten Lagrangefunktionen der Form
L(x, y) = T (y) − U(x)
mit zwei nach nach unten beschränkten Funktionen T, U : X −
→ R geeignet, physikalisch sinnvolle
Trajektorien zu generieren. Die Lagrangegleichung für diese Lagrangefunktion ist
T 00 (ẋ)ẍ + U 0 (x) = 0
(18)
Hier ist U 0 (x) ∈ X∗ und T 00 (ẋ) : X −
→ X∗ ein linearer Operator.
Wie wir im Beispiel gesehen haben, läßt sich U(x) als potentielle Energie und −U 0 (x) als
Kraft interpretieren. In Analogie zur Newtonschen Gleichung fürs freie Teilchen im Potential
U könnte man T (ẋ) als kinetische Energie interpretieren. Das ist – obwohl es in den meisten
Lehrbüchern zur analytischen Mechanik so steht – im allgemeinen nicht richtig. Die genaue
Bedeutung von T (ẋ) ist die Legendretransformierte der kinetischen Energie, wie im nächsten
Kapitel klar werden wird.
Interpretiert man (18) als Newtonsche Gleichung, so ist −U 0 (x) die Kraft und T 00 (ẋ) die Masse
(die Krümmung der Legendretransformierten der kinetischen Energie).
Es wird sich herausstellen, daß die Lagrangegleichung die Gesamtenergie erhält. Wir zeigen
hier, daß die Lagrangegleichung die Summe T (ẋ) + U(x) nicht erhält, was ein Indiz dafür ist,
daß T (ẋ) nicht die kinetische Energie ist (U(x) ist tatsächlich die potentielle Energie). Unter
benutzung von Gleichung (18) erhält man
d
T (ẋ) + U(x) = T 0 (ẋ), ẍ + U 0 (x), ẋ = T 0 (ẋ), ẍ − T 00 (ẋ)ẍ, ẋ =
dt
= T 0 (ẋ), ẍ − T 00 (ẋ)ẋ, ẍ = T 0 (ẋ) − T 00 (ẋ)ẋ, ẍ
Dieser Ausdruck ist 0 entweder für ẍ = 0 (der uninteressante Fall der gleichförmig geradlinigen
Bewegung) oder für T 0 (ẋ) = T 00 (ẋ)ẋ also T 0 (y) = T 00 (y)y. Die Lösung dieser Gleichung ist
T (y) = 21 hy, Myi mit einem beliebigen linearen Operator M.
12.2 Lagrangegleichung für quadratische Sattelfunktionen
12.2
115
Lagrangegleichung für quadratische Sattelfunktionen
Als weiteres Beispiel betrachten wir die allgemeine quadratische Lagrangefunktion aus dem
ersten Kapitel
1
1
L(x, y) = hy, C−1yi + hy, Dxi − hx, Bxi − hx, f i − hy, bi
2
2
Wir setzen y = ẋ und M = C−1 und suchen die Lagrangegleichung zum Lagrangian
L(x, ẋ) =
12.2.1
1
1
hẋ, Mẋi + hẋ, Dxi − hx, Bxi − hx, f i − hẋ, bi
2
2
Die Lagrangegleichung
ergibt sich zu
0=
d ∂
∂
d
Mẋ + Dx − b − D∗ ẋ − Bx − f =
L−
L =
dt ∂ ẋ
∂x
dt
= Mẍ + Dẋ − D∗ ẋ + Bx + f = Mẍ + (D − D∗ )ẋ + Bx + f
Das ergibt die Gleichung
Mẍ = −(D − D∗ )ẋ − Bx − f
Das ist die Newtonsche Gleichung wobei M die Masse ist und auf der rechten Seite Kräfte
stehen:
• −f ... äußere konstante Kraft (z.B. Gravitation)
• −Bx ... lineare Kraft (z.B. Feder)
• −(D − D∗ )ẋ ... antisymmetrische Kraft proportional zur Geschw. (z.B. Magnetfeld).
Diese Kraft ist keine Reibungskraft. Sie verrichtet keine Arbeit, was man daran sieht, daß
die kinetische Energie – wenn man B = O und f = 0 setzt – erhalten bleibt:
d1
hẋ, Mẋi = hMẍ, ẋi = −h(D − D∗ )ẋ, ẋi = −hDẋ, ẋi + hẋ, D∗ ẋi = 0
dt 2
12.3
Eigenschaften der Lagrangegleichung
Wir führen hier einen Auszug aus der wikipedia zur Lagrange-Mechanik an, der kurz die wichtigsten Eigenschaften der Zugangs beschreibt:
Der Formalismus ist (im Gegensatz zu der Newtonschen Mechanik, die a priori nur in Inertialsystemen gilt) auch in beschleunigten Bezugssystemen gültig. Der Lagrange-Formalismus
ist invariant gegen Koordinatentransformationen. Aus der Lagrange-Funktion lassen sich die
Bewegungsgleichungen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen der Variationsrechnung aus dem
Prinzip der kleinsten Wirkung bestimmen. Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, da sich, im Gegensatz zu der Newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze,
im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch das explizite Ausrechnen
der Zwangskrfte oder die geeignete Wahl generalisierter Koordinaten bercksichtigen lassen.
116
13
13 HAMILTON-MECHANIK
Hamilton-Mechanik
Die Lagrangegleichung ist das Mittel zur Wahl zum Lösen allgemeiner mechanischer Aufgaben,
wobei es unerheblich ist, welches konkrete Problem und unter Benutzung welcher Koordinatensysteme man betrachtet.
Startpunkt ist stets eine Lagragefunktion, die normalerweise als Differenz aus kinetischer und
potentieller Energie angesetzt wird. Wie wir gesehen haben, beschreibt die Lagrangegleichung
nur dann die Erhaltung der Gesamtenergie (Summe aus kinetischer und potentieller Energie),
wenn die kinetische Energie quadratisch von der Geschwindigkeit abhängt.
Der Grund dafür ist nicht eine eingeschränkte Gültigkkeit des Formalismus der LagrangeMechanik sondern die fehlerhafte Annahme, daß die richtige Lagragefunktion zu einem physikalischen Problem die Differenz aus kinetischer und potentieller Energie sei. Damit bleibt das
Problem, wie man zu einem gegebenen physikalischen Problem die entsprechende Lagragefunktion konstruieren kann. Wäre das eine gut meßbare extensive Größe – etwa die Gesamtenergie
–, so könnte man sie durch Addition aller relevanter Anteile bestimmen.
Eine Methode hierzu ist der Übergang zur Hamilton-Mechanik. Das ist auf den ersten Blick eine
formale Umformulierung der Lagrange-Mechanik, führt aber zu weitreichenden Folgerungen, die
u.a. einen strenen Übergang zur statistischen Physik und Quantenmechanik ermöglichen.
13.1
Übergang zum Hamilton-Formalismus
Bei der Analogie zwischen Newton-Mechanik und Lagrange-Mechanik haben wir gesehen, daß
sich die zweite Ableitung der kinetischen Energie als Masse interpretieren läßt. Da in allen
2
2
bekannten physikalischen Systemen die Masse positiv ist, sollte ∂∂ẋ2 T > 0 oder ∂∂ẋ2 L > 0 gelten,
die Lagrangefunktion L(x, y) als Funktion von y also konvex sein.
Dann ist es sinnvoll, die Legendretransformation der Lagrangefunktion bezüglich y ∈ Y zu
betrachten:
H(x, p) = sup hy, pi − L(x, y) , p ∈ Y∗
y
Wir untersuchen, welche Eigenschaften diese Funktion H(x, p) (die im Weiteren Hamiltonfunktion oder Hamiltonian genannt wird) hat. Dazu nehmen wir ausreichende Glattheit an
und berechnen die Legendretransformation unter Benutzung von Ableitungen. D.h., wir nehmen an, daß der Punkt y0 , bei dem das Supremum in der Legendretransformation angenommen
wird Lösung der Gleichung
p = ∂y L(x, y)
y=y0
ist. Diese Lösung sei y0 = G(x, p). Die Abbildung p −→ y0 ist eindeindeutig, wenn ∂y L(x, y)
monoton also L(x, ·) konvex ist. Das wollen wir im weiteren voraussetzen.
Die inverse Abbildung
−1
−1
bezeichnen wir mit p = G (x, y0 ). Es ist G (x, y0 ) = ∂y L(x, y) y=y0 . Damit erhalten wir
H(x, p) = G(x, p), p − L x, G(x, p)
Wir werden im weiteren Ableitungen von H bezüglich x und p berechnen und aus diesem
Grund ein paar Formeln zusammentragen. Alle Ableitungen mit dem Symbol ∂x seien partielle
Gateauxableitungen. Es gilt
L : X ×Y−
→R
∗
∂x L(x, y) ∈ X
∂y L(x, y) ∈ Y∗
13.1 Übergang zum Hamilton-Formalismus
G
G(·, p)
G(x, ·)
∂x G(x, p)
∂p G(x, p)
:
:
:
:
:
117
X × Y∗ −
→Y
X−
→Y
∗
Y −
→Y
X−
→Y
∗
Y −
→Y
Die vorletzte Zeile bedeutet, daß ∂x G(x, p) für festes x und p ein linearer Operator X −
→ Y.
Analog die letzte Zeile.
Des weiteren benutzen wir eine Formel für die Ableitung der Komposition f (g(x))
→ R
0 mit
∗ f 0 : Y −
∗
und g : X −
→ Y. Es ist f ◦ g : X −
→ R und damit ∂x (f ◦ g) ∈ X . ∂x f (g(x)) = g (x) f (g(x)) .
Dieser Ausdruck ist so zu verstehen: g(x) ist für festes x aus Y. f 0 (g(x)) ist die Ableitung von
∗
f , genommen
der
0 an∗der Stelle g(x). Das0 ist ein Element aus X . Auf dieses Funktional
0 ∗ wirkt
∗
Operator g (x) . Für festes x ist g (x) : X −
→ Y ein linearer Operator und g (x) : Y −
→ X∗
sein adjungierter.
Damit erhalten wir (unter Benutzung von p = ∂y L x, G(x, p) )
∗
∗
∂x H(x, p) = ∂x G(x, p) p − ∂x L x, G(x, p) − ∂x G(x, p) ∂y L x, G(x, p) =
= −∂x L x, G(x, p)
∗
∗
∂p H(x, p) = ∂p G(x, p) p + G(x, p) − ∂p G(x, p) ∂y L x, G(x, p) =
= G(x, p)
(Hier haben wir angenommen, daß Ableitungen, die eigentlich in den bidualen Räumen liegen,
so regulär sind, daß sie in den predualen Räumen liegen)
Damit erhalten wir folgende Gleichungen:
∂x H(x, p) = −∂x L x, G(x, p) = −∂x L x, y0
∂p H(x, p) = G(x, p) = y0
Wir nehmen jetzt an, daß wir ein physikalisches System mit einer Trajektorie x(t) und Geschwindigkeit ẋ(t) vor uns haben, die die Lagrangegleichung mit der Lagrangefunktion L erfüllt.
Wir setzen Y := X. Wir betrachten eine Schar p(t) und das zugehörige Supremum y0 (t), wobei
wir auch anstelle des festen Parameters x die Schar x(t) einsetzen. Die Abbildung zwischen
beiden ist eineindeutig. Wir wählen eine spezielle Schar p(t) derart, daß y0 (t) = ẋ(t). Anders
ausgedrückt: Wir nehmen
an, daß wir alle Werte aus ẋ(t) in G−1 einsetzen können und setzen
p(t) := G−1 x(t), ẋ(t) .
p(t) := G−1 x(t), ẋ(t) = ∂y L(x, y)
y=ẋ(t)
Diese Größe wird verallgemeinerter Impuls genannt, weil sie im Falle des freien Teilchens mit
dem Impuls übereinstimmt (wie sich gleich zeigen wird). Ins Gleichungssystem eingesetzt ergibt
das
∂x H(x, p) = −∂x L x, ẋ
∂p H(x, p) = ẋ
x(t) soll die Lagrangegleichung erfüllen, d.h., es ist
d
d
d
∂x L x, ẋ = ∂ẋ L x, ẋ =
= p(t) = ṗ(t)
∂y L(x, y)
dt
dt
dt
y=ẋ(t)
118
13 HAMILTON-MECHANIK
und damit erhalten wir abschließend das System
ṗ = −∂x H(x, p)
ẋ = ∂p H(x, p)
Das ist ein dynamisches System – genannt Hamiltonsystem –, das sich bei gegebener Funktion
H(p, x) und Anfangswerten x(0) und p(0) (möglicherweise) lösen läßt. Die erste Gleichung ist
eine Gleichung in X∗ und entspricht der Newtonschen Gleichung, die zweite Gleichung ist eine
in X und ist die Definition
der Geschwindigkeit als Funktion des Impulses. Die Lösung ist eine
Trajektorie x(t), p(t) ⊂ X × X∗ .
Hamiltonsystem und Lagrangegleichung sind äquivalent in folgendem Sinn: Ist x(t), p(t)
Lösung des Hamiltonsystems, dann ist die erste Komponente x(t) Lösung der Lagrangeglei- chung. Umgekehrt, ist x(t) Lösung der Lagrangegleichung, dann ist das Paar x(t), ∂y L(x, y)y=ẋ(t)
Lösung des Hamiltonsystems.
13.1.1
Der spezielle Fall einer separierten Lagrangefunktion
Wir betrachten des speziellen Fall
L(x, y) = T (y) − U(x)
Die Lagrangegleichung hierfür war
T 0 (ẋ)ẍ = −U 0 (x)
und konnte als Newtonsche Gleichung interpretiert werden.
Für den Impuls erhalten wir
= T 0 (ẋ(t))
p(t) = ∂y L(x, y)
y=ẋ(t)
Im Falle eines freien Teilchens ist T (y) = m2 y 2 , T 0 (y) = my und damit p = mẋ, der klassische
Impuls.
Die Hamiltonfunktion ist
H(x, p) = sup hy, pi − T (y) + U(x) = T ∗ (p) + U(x)
y
Hier ist T ∗ die konvex konjugierte von T (y).
Als Hamiltonsystem erhalten wir
ṗ = −∂x H(x, p) = −U 0 (x)
0
ẋ = ∂p H(x, p) = T ∗ (p)
Die erste Gleichung ist die ursprüngliche Newtonsche Gleichung, die zweite Gleichung ist die
Umkehrung von p = T 0 (ẋ), der Zusammenhang zwischen Impuls und Geschwindigkeit (T 0 (y)
0
und T ∗ (p) sind als Ableitung konjugiert konvexer Funktionen zueinander invers).
13.1.2
Der Energieerhaltungssatz
Die Hamiltonfunktion ist eine Größe, die zeitlich erhalten bleibt. Es gilt nämlich
d
H x(t), p(t) = ẋ(t), ∂x H(x, p) + ∂p H(x, p), ṗ(t) =
dt
= ∂p H(x, p), ∂x H(x, p) − ∂p H(x, p), ∂x H(x, p) = 0
13.2 Das Hamiltonsystem für quadratische Systeme
13.1.3
119
Bemerkungen
• Im Banachraum ohne Glattheit gibt es noch keine Hamilton-Mechanik. Eine LagrangeMechanik in Ansätzen kann man sich vorstellen.
• Kiene Reibung oder anderweitiger Energieverlust. Auch nicht in der Lagrangemechanik,
die äquivalent ist.
13.2
Das Hamiltonsystem für quadratische Systeme
Die Hamiltonfunktion ist
H(p, x) = sup hẋ, pi − L(x, ẋ) =
ẋ
1
1
= sup hẋ, pi − hẋ, Mẋi − hẋ, (Dx − b)i + hx, Bxi + hx, f i =
2
2
ẋ
1
1
= sup hẋ, p − Dx + bi − hẋ, Mẋi + hx, Bxi + hx, f i =
2
2
ẋ
1
1
h(p − Dx + b), M−1 (p − Dx + b)i + hx, Bxi + hx, f i =
=
2
2
1
1
=
h(p + b), M−1 (p + b)i − hx, D∗ M−1 (p + b)i + hx, (D∗ M−1 D + B)xi + hx, f i
2
2
Das sup wird bei
0 = p − Mẋ − (Dx − b)
oder
ẋ = M−1 p − M−1 (Dx − b)
angenommen.
Das ergibt für b = 0 (stat. Zustand ohne Impuls) und f = 0 (Ortsverschiebung)
1
1
hp, M−1 pi − hx, D∗ M−1 pi + hx, Axi =
2 2
−1
−1
1
x
−M D
M
x
=
,
∗
−1
p
A
−D
M
p
2
H(p, x) =
Diese Energiefunktion hat ein absolutes Minimum bei p = x = 0.
Die kanonischen Gleichungen sind
ṗ = −
ẋ =
∂
H = −Ax + D∗ M−1 p
∂x
∂
H = M−1 p − M−1 Dx
∂p
In Matrixschreibweise ist das System
d
x
−M−1 D M−1
x
=
∗
−1
p
−A
D
M
p
dt
120
13 HAMILTON-MECHANIK
13.2.1
Vergleich mit dem stationären Problem
A = D∗ CD
Wir betrachten folgende Räume:
X = Rn , Y = Rm
x ∈ X, y ∈ Y, f ∈ X∗ . b, e ∈ Y∗
x∈X
-
f ∈ X∗
6
D∗
D
und Operatoren
D : X−
→ Y∗ , D∗ : Y −
→ X∗
C : Y∗ −
→ Y, C−1 : Y −
→ Y∗
?
-
e, b ∈ Y∗
C−1 y = −Dx + b
Mẋ = −Dx + p
∗
∗
f = −D CDx + D Cb
ṗ = −D∗ M−1 Dx + D∗ M−1 p
C
y∈Y