19. Frühe Atommodelle

22.04.2013
19. Frühe Atommodelle
19.1 Plancksche Wirkungsquant
Ausgang: Strahlung eines schwarzen Körpers oder Hohlraumstrahlung.
Maxwell: Strahlung ist eine elektromagnetische Welle verursacht durch die Oszillation der
elektrischen Ladungen der Moleküle (Atome). Kontinuierliche Energieverteilung
Gemessene spektrale Verteilungsfunktion der Energiedichte = Energie pro Volumen und
Wellenlängenintervall d
Theoretische Beschreibung:
Rayleigh-Jeans-Gesetz:
u  , T  
8  k  T
4
für   0 : u  
1. Widerspruch zur gemessenen Funktion:   0 : u  0
2. Ultraviolettkatastrophe: Gesamte Energiedichte des schwarzen Strahlers:

W   u  , T  d  
unmöglich!
0
Rayleigh-Jeans-Gesetz ist falsch
19-1
22.04.2013
Lösung: Plancksche Quantenhypothese (1900):
Die Energie wird quantisiert (in diskreten Paketen) emitiert und absorbiert.
hc
Minimales Energiepacket der Oszillationen:
Wmin  h  f 
Plancksche Wirkungsquant
h  6,626  10 34 J  s  4,137  10 15 eV  s
Definition:

nur ganzzahlige Vielfache n möglich
W  nh f
h
2 

„h quer“
n = 1,2,3…
Kontinuierlich
Quantisiert (diskret)
W pot  m  g  Höhe
W  nh f
Beispiel: Geige, Masse, Länge
Klavier, Flöte, elektr. Ladung
Damit:
Plancksches Strahlungsgesetz:
u  , T  
8  h  c

5

1
 hc 
exp 
 1
   kT 
Energie pro Volumen pro Wellenlängenbereich d
Beschreibt Experimente sehr gut:   0 : u  0
Planck: „Akt der Verzweiflung“, nur mathematischer Trick. Er täuschte sich !
19-2
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19.2 Der Photoelektrische Effekt
1887
1905
1915
1921
Heinrich Hertz
Albert Einstein
R.A. Millikan
Albert Einstein
Experiment
Theorie
Experiment
Nobelpreis
Aufbau:

Austrittsarbeit = Energie um ein
Elektron aus dem Festkörper zu lösen
(Materialgröße)
Einheit: 1 eV = 1,6· 10-19 J ( W  e  U )
WL
Energie des Lichts; PL Leistung
Energierhaltung für U = 0:
WL    Wkin   
1 2
mv
2
für WL    I = 0
für WL  
 I>0
Emission von „Photoelektronen“
Versuch #37: Photoeffekt
Geladene Zinkplatte (Messung über Elektrometer). Bestrahlung mit Hg- und NeDampflampe. Hg-Lampe hoher Blauanteil, Ne-Lampe hoher Rotanteil.
Tab19.1: Photoelektrische Austrittsarbeiten:
Element
 (eV)
Na
C
Cd
Al
Ag
Pt
Ni
Pb
2,28
4,81
4,07
4,08
4,73
6,35
5,01
4,14
Widersprüche der experimentellen Ergebnisse mit der klassische Wellentheorie:
1.)
WL  PL  t
d.h. selbst für kleine PL (geringe Intensitäten oder Helligkeit) müsste nach
längerer Zeit WL >  sein, d.h. ein Elektron müsste emittiert werden. Vgl. Heizen
wird nicht beobachtet!
UB  f (Bestrahlungsdauer)
19-3
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2.)
Anlegen einer Gegenspannung UB = -U bis I = 0 (Emission, aber Bremsen auf v = 0)
UB Bremsspannung oder Stoppspannung (Elektr. Gegenfeld ist eine bremsende Kraft)
für I  0 :
e  U B  Wkin 
1 2
mv  WL  
2
d.h. für steigende Intensität oder Leistung PL sollte UB zunehmen.
wird nicht beobachtet: UB  f (Intensität, Leistung)
3.)
Verändern der Lichtfrequenz: Versuch von R.A. Millikan (1915)
Quelle: Halliday: Physik, Wiley Verlag
fmin Grenzfrequenz: für f < fmin keine Emission: keine klassische Erklärung
Beweis von Einstein mit Planckscher Quantenhypothese:
Quantisierung der Lichtenergie (Photonen oder Lichtquanten)
hc
Planck:
Energie des Photons:
WPh  h  f 
Einstein:
photoelektrische Gleichung:
1
h  f    mv 2
2
UB = f (Lichtfrequenz) !
19-4

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Erklärung zu 1.): UB  f (Bestrahlungsdauer)
für f < fmin: Jedes Photon muss mindestens die Energie h  f   haben, sonst gibt es keine
Emission, d.h. v = 0 oder UB = 0. Viele Photonen mit kleinerer Energie nützen nichts. Immer
wieder nur eine halbe Stufenhöhe zu steigen nützt nichts: Quantisierung der Stufenhöhe =
Energie. kein „Sammeleffekt“.
Beispiel: sichtbares Licht
hc
4,137 10 15 eV  s  2,99  108 m/s 1240 eV

 3,1 eV
400 nm
400
blau:
WPh   400 nm  
rot:
WPh   700 nm   1,77 eV
allgemein:
WPh   


1240
eV
λnm 
WPh (Röntgenstrahlen)  keV
für 0,01 <  < 1 nm
Erklärung zu 2.): UB  f (Intensität, Leistung)
Steigende Intensität (Helligkeit) erhöht die Anzahl der Photonen, nicht jedoch die Energie der
einzelnen Photonen.
Leistung:
PL 
WL n  WPh n

 h f
t
t
t
Intensität =
PL
A
A Fläche
n
= Anzahl der Photonen mit der Energie h  f , die pro sec emittiert werden.
t
Beispiel: Wie groß ist die Anzahl der emittierten Photonen pro sec für 100 W Glühlampe:
J
PL  100 W  100 ; für t  1 sec  WL  100 J
s
WL  n  h  f  n 
n  2,5  10 20
hc

und für  = 500 nm (mittlere Wellenlänge)
Photonen pro sec werden emittiert
19-5
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Erklärung zu 3.): UB = f (Lichtfrequenz)
h f  
1
 mv 2
2
für f  f min :
keine Emission
für f  f min :
h  f min  
für f  f min :
Wkin  f ( f )  f (Intensität)
und v = 0
gerade noch emittiert
Versuch #38: Plancksches Wirkungsquant (Versuch von R.A. Millikan)
1
 mv 2  h  f  
2
Gegenspannung UB = -U bis I = 0
Emission, aber Bremsen auf v = 0 (siehe 2.)
für I  0 :
e  U B  Wkin 
1 2
mv  h  f  
2
d eU B 
h
df
f = 0: e  U B  
 [nm]
f [Hz]
UB [V]
405
7,41 · 1014
1,443
436
6,88 · 1014
1,221
546
5,49 · 1014
0,667
578
5,19 · 1014
0,505
h 
 eU B 
 6,64  10  34 Js
f
vgl. Istwert: h  6,626  10 34 Js
Ist Licht also doch ein Teilchen (Photon)?
Mit welcher Masse?
WPh  h  f
Plancksche Quantenhypothese
W  m  c2
Einstein Energie-Masse-Äquivalenz
19-6
(siehe Kap. 19.1)
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mPh 
h f
h

2
 c
c
dynamische Masse, keine Ruhemasse
Beispiel: Für  = 600 nm: mPh  3,7· 10-25 kg
Impuls des Photons:
aus der Wellengleichung
p Ph  mPh  vPh  mPh  c 
k
2

und mit
h f h

c

für vPh = c
h
2 
p Ph 


h

 k
Licht „ruht“ nie, also hat es nur eine relativistische Masse und Impuls. Ruheimpuls = 0
Die Teilchengrößen m, W, p sind über die Wellengrößen f,  , c definiert
Auf Grund der Beugungsexperimente ist das Licht auch eine Welle.
Welle – Teilchen Dualismus
Frage: Wenn eine Welle ein Teilchen sein kann (Licht), kann dann ein Teilchen (z.B.
Elektron) auch eine Welle sein? Oder gilt der Dualismus nur für elektromagnetische
Wellen?
19.3 Bohrsches Atommodell
ca. 500 v. Chr. Leukipp, Demokrit:
Hypothese von unteilbaren Teilchen (atomos = unteilbar)
1856 – 1940
Joseph Thomson:
1897 Entdeckung des Elektrons; Ende der „Unteilbarkeit“
Rosinenkuchenmodell: positiv geladener Materieteig (Atome) in den
Elektronen (Rosinen) eingebettet sind. Keine feste Zuordnung zum Atom.
1871 – 1937
Ernest Rutherford:
„planetarisches“ Atommodell, Kern positiv geladen mit 99,9 % der Masse
Kerndurchmesser ca. 10-15 – 10-14 m
Atomdurchmesser ca. 10-10 m
Elektronen kreisen auf beliebigen Bahnen wie Planeten um die Sonne
19-7
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Bedingung für Kreisbahn eines Elektrons: Fel  FZ
Fel 
1
4 0

Z  e2
r2
Coulombkraft
Z Kernladungszahl (=Anzahl der Protonen)
FZ 
r
m  v2
r
Zentripetalkraft
Z  e2 1

4 0 m v 2
m Masse Elektron
r = f(v) kann beliebigen Wert annehmen je nach v
Probleme:
1.)
Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung:
nach Maxwell  Abstrahlung von elektromagnetischer Strahlung = Energie, d.h. Wkin
des Elektrons sinkt  Fel  FZ
abgestrahlte Frequenz f  r 3 / 2
Ohne Energiezufuhr kollabiert das Elektron in den Kern (<µs - Bereich  keine stabilen
Atome).
2.)
Erklärung von Spektroskopieexperimenten:
bekannt
unterschiedliche Gase
keine Erklärung
kontinuierliches Spektrum erklärbar über Plancksches Strahlungsgesetz. Diskretes Spektrum
von Gasen nicht erklärbar. Spektrallinien typisch für das Gas.
19-8
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1913
Bohrsche Postulate zur Erklärung (nichtklassische):
1. Postulat:
Elektronen bewegen sich auf bestimmten Kreisbahnen (stationäre
Zustände) ohne zu strahlen.
2. Postulat:
Ein Atom strahlt Energie ab, wenn ein Elektron von einem stationären
Zustand WA in den anderen WE übergeht:
v 
W A  WE  h  f
Fel  FZ
a) klassisch
b) Bohrsches Modell
Energie des Elektrons im stationären Zustand (Kreisbahn):
1 2 
1 Ze 2 
 mit dW pot   Fel ( r ) dr
mv   
2
 4 0 r 
W  Wkin  W pot 
aus Kräftegleichgewicht (s.o.):
damit
W 
3. Postulat:
1
8 0

Ze 2
r
v2 
Ze 2
4 0  m  r
m Masse Elektron
alle Radien r sind noch möglich.
Der Bahndrehimpuls eines Elektrons in einem stationären Zustand ist
gequantelt. Er kann nur diskrete Werte annehmen:
Ln  m  v  r  n
Kreisbahn
h
 n
2

h
 1,055  10 34 J  s  6,582  10 6 eV  s
2
n = 1,2,3…. Hauptquantenzahl
19-9
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1924
Erklärung von de Broglie:
Zu allen Teilchen, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegen, gehört eine
ebene Welle, die sich ebenfalls mit v fortpflanzt:
Welle – Teilchen –Dualismus
Die Elektronenbahnen sind stehende Wellen (Zirkularwellen) des Elektrons:
n=3
Quelle: D.C. Giancoli: Physik
Bedingung für stehende Zirkularwelle:
2 r  n  
 r
n = 1,2,3…
p
ferner gilt (siehe Photon):
damit
Ln  p  r 
h

r 
h

n
2
Annahme von de Broglie: gilt auch für Elektron
h n

 n
 2
siehe 3. Postulat
d.h. die Annahme eine stehenden Zirkularwelle erklärt das 3. Postulat
Annahme: v Elektron  c d.h. nicht relativistisch, da mElektron ≠ 0
Fazit:
aus
Es sind nur ganz bestimmte diskrete Radien rn möglich.
Ln  m  v  rn  n 
h
2
folgt
rn  n 

 4 0  rn  m
 n 
mv
m
Z  e2
19-10
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rn  n 2   2
r0  4 0
4 0
r
 n2 0
2
Z
mZ e
n = 1,2,3… Hauptquantenzahl (stehende Wellen)
 0h 2
2

 0,529  10 10 m
2
2
 me
me
Bohrscher Radius:
= kleinster Radius r1 eines Wasserstoffatoms: Z  1; n  1; r1  r0
Energie der Elektronen:
Wn  Wkin  W pot  
W0 
1
4 0 2

Z  e2
W
  Z 2  20
8 0 rn
n
1
<0
me 4
1 e2

 13,6 eV
2 2 8 0 r1
diskrete Energien auf Grund des quantisierten Drehimpulses:
W1   W0
Grundzustand des Wasserstoffatoms: Z  1; n  1; r1  r0
Wn n  1
angeregte Zustände (Zufuhr von W nötig)
Wn  0
für n  bzw. r 
freies Elektron: beliebige Bewegung, kein Kreis
Energie- oder Termschema von Wasserstoff:
Quelle: G.C. Gancoli: Physik
19-11
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W 0
erlaubte diskrete Zustände des Atoms
W 0
W pot ( r , n   )  0; Wkin  0
W 0
freies Elektron: Wpot= 0 mit Wkin  0
Ein Elektron ist erst absolut frei für r .
kontinuierlich
Um ein Elektron aus dem Atom zu entfernen (ionisieren), muss die Ionisationsenergie =
Bindungsenergie des Elektrons aufgewendet werden.
Für H: W = +13,6 eV (+ Zufuhr von Energie), d.h. vom Grundzustand bis mindestens W = 0
Energieübergänge (Erklärung für das 2. Postulat):
h  f  Wi  W j  W0
mit f 
c
1


R
mit:

Z 2 
Z 2 
W


;
0
ni2 
n 2j 
i, j unterschiedliche Energieniveaus n
W0  Z 2  1
1 
 2
2
h  c  n j ni 
W0
me 4
1
 2 3  1,097  10 7
h  c 8 0 h  c
m
Rydberg-Konstante
 1
1 
 Z 2  R  2  2 
n


 j ni 
1
Beispiel:
1. Wasserstoff Übergang von n = 4 auf n = 2 (Balmer-Serie)
1 
 1
 1,097  10 7  2  2  ;

4 
2
1
  4,86  10 7 m  486 nm
2. Ionisationsenergie des He+-Ions:
W1   Z 2 
Z  2; n  1
W0
  4  W0  54,4 eV
n2
WIon  54,4 eV
mit
nur noch 1 Elektron (s.u. Punkt 1.)
Grundzustand des He+-Ion (n = 1)
WIon  WPh  h 
c

   22,8 nm
19-12
Ergebnis: He2+-Ion
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Absorptionsspektren: Nur Photonen mit passender Wellenlänge (= Energie) können
Elektronen anheben. Diese fehlt dann (schwarze Linie) in einem kontinuierlichem anregenden
Lichtspektrum.
Anwendung: Atom-Absorptionsspektroskopie (AAS)
Versuch #39: Spektrallinien von Dampflampen
Lampen mit 4 verschiedenen Gasfüllungen: H2, He, Ne, Hg
Zerlegung in Spektrallinien mit Prismen Spektralapparat (Brechung = f () siehe Kap. 12.5)
Kritik des Bohrschen Atommodells:
1. Erklärt nur das H-Spektrum und Ionen mit 1 Elektron; bereits für He ist es nicht mehr
brauchbar (nur für He+).
2. Wie soll ein Elektron von Bahn zu Bahn „springen“, wenn ihr Aufenthalt dazwischen
nicht erlaubt ist? Bohr erklärt nur die stabilen Zustände.
3. Wieso strahlt das Elektron nicht? (1. Postulat von N. Bohr)
Fazit: Anschauliches Modell, das zum 1. Mal die Quantisierung mitberücksichtigt.
Lösung der offenen Fragen: Quantenmechanik
19-13