Algorithmen zur Visualisierung von Graphen

Fünfte Übung
Algorithmen zu Visualisierung von Graphen
Teile-und-Herrsche und s-t-Ordnungen
Thomas Bläsius
I NSTITUTE OF T HEORETICAL I NFORMATICS
K ARLSRUHE I NSTITUTE OF T ECHNOLOGY (KIT)
Algorithmen zur Visualisierung von Graphen – Teile-und-Herrsche und s-t-Ordnungen
Institute for Theoretical Informatics
Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
Aufgabe 1 – Levelorder-Baumlayout
In der Vorlesung wurde ein einfaches Verfahren zum Zeichnen
von Bäumen vorgestellt, das jedem Knoten v die Koordinaten
x(v) = pre-/in-/postorder(v) und y(v) = −tiefe(v) zuordnet. Garantiert dieses Verfahren auch dann noch eine geradlinige Gitterzeichnung, wenn man für die x-Koordinaten die sogenannte
levelorder -Nummerierung verwendet, die nacheinander in einer
Breitensuche alle Knoten der gleichen Tiefe von links nach rechts
besucht?
Algorithmen zur Visualisierung von Graphen – Teile-und-Herrsche und s-t-Ordnungen
Institute for Theoretical Informatics
Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
Aufgabe 1 – Levelorder-Baumlayout
Level
0
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
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Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
Aufgabe 1 – Levelorder-Baumlayout
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Algorithmics Group I
Aufgabe 1 – Levelorder-Baumlayout
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Algorithmics Group I
Aufgabe 1 – Levelorder-Baumlayout
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Algorithmics Group I
Aufgabe 1 – Levelorder-Baumlayout
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Algorithmics Group I
Aufgabe 1 – Levelorder-Baumlayout
Level
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Algorithmics Group I
Aufgabe 1 – Levelorder-Baumlayout
Level
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Algorithmics Group I
Aufgabe 1 – Levelorder-Baumlayout
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Aufgabe 1 – Levelorder-Baumlayout
Level
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Algorithmics Group I
Aufgabe 1 – Levelorder-Baumlayout
Level
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Algorithmics Group I
Aufgabe 1 – Levelorder-Baumlayout
Level
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Algorithmics Group I
Aufgabe 2 – HV-Layouts
Geben Sie einen Algorithmus an, der für einen gegebenen
Binärbaum in O(n2 ) Zeit ein HV-Layout minimaler Fläche berechnet. Betrachten Sie dabei sowohl feste als auch variable Einbettung.
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Algorithmics Group I
Aufgabe 2 – HV-Layouts
Geben Sie einen Algorithmus an, der für einen gegebenen
Binärbaum in O(n2 ) Zeit ein HV-Layout minimaler Fläche berechnet. Betrachten Sie dabei sowohl feste als auch variable Einbettung.
zur Erinnerung:
ss Zeichne rechten und linken Teilbaum in Rechteck mit der
Wurzel links oben
ss Kombiniere Teilbäume horizontal oder vertikal
ss Minimiere die benötigte Fläche → Dynamisches Programm
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Kombinationen (var. Einb.)
Einbettung 1
G1
Einbettung 2
G1
G2
H
G2
G1
G2
V
G1
G2
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Kombinationen (var. Einb.)
Einbettung 1
G1
Einbettung 2
G1
G2
H
G2
G1
G2
V
G1
G2
w1
w2
1
w = max(w1 , w2 + 1)
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Kombinationen (var. Einb.)
Einbettung 1
G2
H
G1
G1
h2
1
V
G1
G2
G1
G2
Einbettung 2
h1
G2
h = h1 + h2 + 1
w = max(w1 , w2 + 1)
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Kombinationen (var. Einb.)
Einbettung 1
G2
G1
Einbettung 2
G1
1
G2
H
h = max(h1 + 1, h2 )
h = max(h1 , h2 + 1)
w = w1 + w2 + 1
w = w1 + w2 + 1
G2
h2
G1
G1
2
1
V
3
h1
4
G2
h = h1 + h2 + 1
h = h1 + h2 + 1
w = max(w1 , w2 + 1)
w = max(w1 + 1, w2 )
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Dynamisches Programm
1
h = max(h1 + 1, h2 )
2
h = h1 + h2 + 1
3
h = max(h1 , h2 + 1)
4
h = h1 + h2 + 1
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 , w2 + 1)
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 + 1, w2 )
Idee: Dynamisches Programm
ss
Für ein Blatt gilt: h = w = 0
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Dynamisches Programm
1
h = max(h1 + 1, h2 )
2
h = h1 + h2 + 1
3
h = max(h1 , h2 + 1)
4
h = h1 + h2 + 1
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 , w2 + 1)
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 + 1, w2 )
Idee: Dynamisches Programm
ss
ss
Für ein Blatt gilt: h = w = 0
Für innere Knoten berechne (w, h) für jede Kombination
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Dynamisches Programm
1
h = max(h1 + 1, h2 )
2
h = h1 + h2 + 1
3
h = max(h1 , h2 + 1)
4
h = h1 + h2 + 1
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 , w2 + 1)
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 + 1, w2 )
Idee: Dynamisches Programm
ss
ss
Für ein Blatt gilt: h = w = 0
Für innere Knoten berechne (w, h) für jede Kombination
ss Entferne dominierte Paare ((w, h) dom. (w0 , h0 ) ⇔ w ≤ w0 ∧ h ≤ h0 )
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Dynamisches Programm
1
h = max(h1 + 1, h2 )
2
h = h1 + h2 + 1
3
h = max(h1 , h2 + 1)
4
h = h1 + h2 + 1
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 , w2 + 1)
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 + 1, w2 )
Idee: Dynamisches Programm
ss
ss
Für ein Blatt gilt: h = w = 0
Für innere Knoten berechne (w, h) für jede Kombination
ss Entferne dominierte Paare ((w, h) dom. (w0 , h0 ) ⇔ w ≤ w0 ∧ h ≤ h0 )
Beispiel: (w1 , h1 ) = (4, 1) und (w2 , h2 ) = (2, 2)
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HV-Layouts – Dynamisches Programm
1
h = max(h1 + 1, h2 )
2
h = h1 + h2 + 1
3
h = max(h1 , h2 + 1)
4
h = h1 + h2 + 1
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 , w2 + 1)
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 + 1, w2 )
Idee: Dynamisches Programm
ss
ss
Für ein Blatt gilt: h = w = 0
Für innere Knoten berechne (w, h) für jede Kombination
ss Entferne dominierte Paare ((w, h) dom. (w0 , h0 ) ⇔ w ≤ w0 ∧ h ≤ h0 )
Beispiel: (w1 , h1 ) = (4, 1) und (w2 , h2 ) = (2, 2)
1
(w, h) = (7, 2)
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Dynamisches Programm
1
h = max(h1 + 1, h2 )
2
h = h1 + h2 + 1
3
h = max(h1 , h2 + 1)
4
h = h1 + h2 + 1
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 , w2 + 1)
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 + 1, w2 )
Idee: Dynamisches Programm
ss
ss
Für ein Blatt gilt: h = w = 0
Für innere Knoten berechne (w, h) für jede Kombination
ss Entferne dominierte Paare ((w, h) dom. (w0 , h0 ) ⇔ w ≤ w0 ∧ h ≤ h0 )
Beispiel: (w1 , h1 ) = (4, 1) und (w2 , h2 ) = (2, 2)
1
(w, h) = (7, 2)
2
(w, h) = (4, 4)
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Dynamisches Programm
1
h = max(h1 + 1, h2 )
2
h = h1 + h2 + 1
3
h = max(h1 , h2 + 1)
4
h = h1 + h2 + 1
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 , w2 + 1)
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 + 1, w2 )
Idee: Dynamisches Programm
ss
ss
Für ein Blatt gilt: h = w = 0
Für innere Knoten berechne (w, h) für jede Kombination
ss Entferne dominierte Paare ((w, h) dom. (w0 , h0 ) ⇔ w ≤ w0 ∧ h ≤ h0 )
Beispiel: (w1 , h1 ) = (4, 1) und (w2 , h2 ) = (2, 2)
1
(w, h) = (7, 2)
2
(w, h) = (4, 4)
3
(w, h) = (7, 3)
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Dynamisches Programm
1
h = max(h1 + 1, h2 )
2
h = h1 + h2 + 1
3
h = max(h1 , h2 + 1)
4
h = h1 + h2 + 1
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 , w2 + 1)
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 + 1, w2 )
Idee: Dynamisches Programm
ss
ss
Für ein Blatt gilt: h = w = 0
Für innere Knoten berechne (w, h) für jede Kombination
ss Entferne dominierte Paare ((w, h) dom. (w0 , h0 ) ⇔ w ≤ w0 ∧ h ≤ h0 )
Beispiel: (w1 , h1 ) = (4, 1) und (w2 , h2 ) = (2, 2)
1
(w, h) = (7, 2)
2
(w, h) = (4, 4)
3
(w, h) = (7, 3)
4
(w, h) = (5, 4)
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Dynamisches Programm
1
h = max(h1 + 1, h2 )
2
h = h1 + h2 + 1
3
h = max(h1 , h2 + 1)
4
h = h1 + h2 + 1
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 , w2 + 1)
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 + 1, w2 )
Idee: Dynamisches Programm
ss
ss
Für ein Blatt gilt: h = w = 0
Für innere Knoten berechne (w, h) für jede Kombination
ss Entferne dominierte Paare ((w, h) dom. (w0 , h0 ) ⇔ w ≤ w0 ∧ h ≤ h0 )
Beispiel: (w1 , h1 ) = (4, 1) und (w2 , h2 ) = (2, 2)
1
(w, h) = (7, 2)
2
(w, h) = (4, 4)
3
(w, h) = (7, 3)
4
(w, h) = (5, 4)
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Dynamisches Programm
1
h = max(h1 + 1, h2 )
2
h = h1 + h2 + 1
3
h = max(h1 , h2 + 1)
4
h = h1 + h2 + 1
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 , w2 + 1)
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 + 1, w2 )
Idee: Dynamisches Programm
ss
ss
Für ein Blatt gilt: h = w = 0
Für innere Knoten berechne (w, h) für jede Kombination
ss Entferne dominierte Paare ((w, h) dom. (w0 , h0 ) ⇔ w ≤ w0 ∧ h ≤ h0 )
Beispiel: (w1 , h1 ) = (4, 1) und (w2 , h2 ) = (2, 2)
1
(w, h) = (7, 2)
2
(w, h) = (4, 4)
3
(w, h) = (7, 3)
4
(w, h) = (5, 4)
Können mehr als zwei Kombinationen übrig bleiben?
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Dynamisches Programm
1
h = max(h1 + 1, h2 )
2
h = h1 + h2 + 1
3
h = max(h1 , h2 + 1)
4
h = h1 + h2 + 1
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 , w2 + 1)
w = w1 + w2 + 1
w = max(w1 + 1, w2 )
Idee: Dynamisches Programm
ss
ss
Für ein Blatt gilt: h = w = 0
Für innere Knoten berechne (w, h) für jede Kombination
ss Entferne dominierte Paare ((w, h) dom. (w0 , h0 ) ⇔ w ≤ w0 ∧ h ≤ h0 )
Beispiel: (w1 , h1 ) = (4, 1) und (w2 , h2 ) = (2, 2)
1
(w, h) = (7, 2)
2
(w, h) = (4, 4)
3
(w, h) = (7, 3)
4
(w, h) = (5, 4)
Können mehr als zwei Kombinationen übrig bleiben?
Wie geht man im nächsten Schritt vor, wenn beide Kinder mehrere Paare anbieten?
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Paretomenge
G1 und G2 haben nicht jeweils ein optimales Paar (w1 , h1 ) bzw.
(w2 , h2 ) sondern eine Menge von sich nicht dominierenden Paaren P1 und P2 (Paretomengen).
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Paretomenge
G1 und G2 haben nicht jeweils ein optimales Paar (w1 , h1 ) bzw.
(w2 , h2 ) sondern eine Menge von sich nicht dominierenden Paaren P1 und P2 (Paretomengen).
Ziel: Berechne die Paretomenge P von G
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Paretomenge
G1 und G2 haben nicht jeweils ein optimales Paar (w1 , h1 ) bzw.
(w2 , h2 ) sondern eine Menge von sich nicht dominierenden Paaren P1 und P2 (Paretomengen).
Ziel: Berechne die Paretomenge P von G
ss Für jedes Paar (w1 , h1 ) ∈ P1 wähle jedes Paar (w2 , h2 ) ∈ P2
und berechne (w, h) für jede der vier Kombinationen.
ss Entferne alle dominierten Paare.
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Paretomenge
G1 und G2 haben nicht jeweils ein optimales Paar (w1 , h1 ) bzw.
(w2 , h2 ) sondern eine Menge von sich nicht dominierenden Paaren P1 und P2 (Paretomengen).
Ziel: Berechne die Paretomenge P von G
ss Für jedes Paar (w1 , h1 ) ∈ P1 wähle jedes Paar (w2 , h2 ) ∈ P2
und berechne (w, h) für jede der vier Kombinationen.
ss Entferne alle dominierten Paare.
Offensichtlich erhält man die korrekte Paretomenge P
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Paretomenge
G1 und G2 haben nicht jeweils ein optimales Paar (w1 , h1 ) bzw.
(w2 , h2 ) sondern eine Menge von sich nicht dominierenden Paaren P1 und P2 (Paretomengen).
Ziel: Berechne die Paretomenge P von G
ss Für jedes Paar (w1 , h1 ) ∈ P1 wähle jedes Paar (w2 , h2 ) ∈ P2
und berechne (w, h) für jede der vier Kombinationen.
ss Entferne alle dominierten Paare.
Offensichtlich erhält man die korrekte Paretomenge P
Wie groß kann P werden?
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Paretomenge
G1 und G2 haben nicht jeweils ein optimales Paar (w1 , h1 ) bzw.
(w2 , h2 ) sondern eine Menge von sich nicht dominierenden Paaren P1 und P2 (Paretomengen).
Ziel: Berechne die Paretomenge P von G
ss Für jedes Paar (w1 , h1 ) ∈ P1 wähle jedes Paar (w2 , h2 ) ∈ P2
und berechne (w, h) für jede der vier Kombinationen.
ss Entferne alle dominierten Paare.
Offensichtlich erhält man die korrekte Paretomenge P
Wie groß kann P werden?
Lemma
Die Paretomenge eines Baums mit n Knoten enthält maximal n Paare.
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Paretomenge
Lemma
Die Paretomenge eines Baums mit n Knoten enthält maximal n Paare.
Beweis:
ss
Für jedes Paar (w, h) ∈ P gilt w ∈ {0, . . . , n − 1}
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Paretomenge
Lemma
Die Paretomenge eines Baums mit n Knoten enthält maximal n Paare.
Beweis:
ss
Für jedes Paar (w, h) ∈ P gilt w ∈ {0, . . . , n − 1}
ss
Für zwei Paare (w, h) und (w0 , h0 ) gilt w 6= w0 , andernfalls
dominiert (w, h) das Paar (w0 , h0 ) oder umgekehrt
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Paretomenge
Lemma
Die Paretomenge eines Baums mit n Knoten enthält maximal n Paare.
Beweis:
ss
Für jedes Paar (w, h) ∈ P gilt w ∈ {0, . . . , n − 1}
ss
Für zwei Paare (w, h) und (w0 , h0 ) gilt w 6= w0 , andernfalls
dominiert (w, h) das Paar (w0 , h0 ) oder umgekehrt
ss
⇒ Die Paretomenge enthält maximal n Paare
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Paretomenge
Lemma
Die Paretomenge eines Baums mit n Knoten enthält maximal n Paare.
Beweis:
ss
Für jedes Paar (w, h) ∈ P gilt w ∈ {0, . . . , n − 1}
ss
Für zwei Paare (w, h) und (w0 , h0 ) gilt w 6= w0 , andernfalls
dominiert (w, h) das Paar (w0 , h0 ) oder umgekehrt
ss
⇒ Die Paretomenge enthält maximal n Paare
Damit benötigen wir O(n2 ) Zeit pro Schritt also insgesamt O(n3 )
Geht es schneller?
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
1
w = w1 + w2 + 1
h = max(h1 + 1, h2 )
P1 8
P2
1
3
7
6
1
5
5
1
8
4
6
6
4
7
2
3
7
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
1
w = w1 + w2 + 1
h = max(h1 + 1, h2 )
P1 8
1
P2
1
8
3
12
7
7
6
1
5
5
4
6
6
4
7
2
3
7
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
1
w = w1 + w2 + 1
h = max(h1 + 1, h2 )
P1 8
1
P2
1
8
3
12
5
7
7
9
6
1
5
5
4
6
6
4
7
2
3
7
Algorithmen zur Visualisierung von Graphen – Teile-und-Herrsche und s-t-Ordnungen
Institute for Theoretical Informatics
Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
1
w = w1 + w2 + 1
h = max(h1 + 1, h2 )
P1 8
1
P2
1
8
3
12
5
7
7
9
6
1
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Algorithmen zur Visualisierung von Graphen – Teile-und-Herrsche und s-t-Ordnungen
Institute for Theoretical Informatics
Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
1
w = w1 + w2 + 1
h = max(h1 + 1, h2 )
P1 8
1
P2
1
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3
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Algorithmen zur Visualisierung von Graphen – Teile-und-Herrsche und s-t-Ordnungen
Institute for Theoretical Informatics
Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
1
w = w1 + w2 + 1
h = max(h1 + 1, h2 )
P1 8
P2
1
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Institute for Theoretical Informatics
Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
1
w = w1 + w2 + 1
h = max(h1 + 1, h2 )
P1 8
P2
1
3
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7
7
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5
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8
Algorithmen zur Visualisierung von Graphen – Teile-und-Herrsche und s-t-Ordnungen
Institute for Theoretical Informatics
Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
Idee: Sortiere die Mengen
P1 1
1
w = w1 + w2 + 1
P2
8
h = max(h1 + 1, h2 )
3
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5
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1
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Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
Idee: Sortiere die Mengen
P1 1
1
w = w1 + w2 + 1
P2
8
h = max(h1 + 1, h2 )
3
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Institute for Theoretical Informatics
Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
Idee: Sortiere die Mengen
P1 1
1
w = w1 + w2 + 1
P2
8
h = max(h1 + 1, h2 )
3
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1
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Institute for Theoretical Informatics
Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
Idee: Sortiere die Mengen
P1 1
1
w = w1 + w2 + 1
P2
8
h = max(h1 + 1, h2 )
3
5
7
9
5
5
6
1
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4
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1
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Institute for Theoretical Informatics
Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
Idee: Sortiere die Mengen
P1 1
1
w = w1 + w2 + 1
P2
8
h = max(h1 + 1, h2 )
3
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restliche Zeile wird dominiert nach Eintrag mit h1 + 1 ≤ h2
Algorithmen zur Visualisierung von Graphen – Teile-und-Herrsche und s-t-Ordnungen
Institute for Theoretical Informatics
Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
Idee: Sortiere die Mengen
P1 1
1
3
w = w1 + w2 + 1
P2
8
7
h = max(h1 + 1, h2 )
3
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12
7
7
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restliche Spalten werden dominiert bis Eintrag mit h1 + 1 ≤ h2
restliche Zeile wird dominiert nach Eintrag mit h1 + 1 ≤ h2
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Thomas Bläsius
Algorithmics Group I
HV-Layouts – Beispiel (Paretomenge)
Idee: Sortiere die Mengen
P1 1
1
3
w = w1 + w2 + 1
P2
8
7
h = max(h1 + 1, h2 )
3
5
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7
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8
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restliche Spalten werden dominiert bis Eintrag mit h1 + 1 ≤ h2
restliche Zeile wird dominiert nach Eintrag mit h1 + 1 ≤ h2
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Quadratische Laufzeit
Um die Paretomenge P aus den beiden Paretomengen der Kinder P1 und P2 zu berechnen, führe folgende Schritte aus:
ss
1
Sortiere P1 und P2 aufsteigend nach der Breite
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Quadratische Laufzeit
Um die Paretomenge P aus den beiden Paretomengen der Kinder P1 und P2 zu berechnen, führe folgende Schritte aus:
1
ss
Sortiere P1 und P2 aufsteigend nach der Breite
ss
Iteriere über P1 bis h1 + 1 ≤ h2 (einschließlich)
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Quadratische Laufzeit
Um die Paretomenge P aus den beiden Paretomengen der Kinder P1 und P2 zu berechnen, führe folgende Schritte aus:
1
ss
Sortiere P1 und P2 aufsteigend nach der Breite
ss
Iteriere über P1 bis h1 + 1 ≤ h2 (einschließlich)
ss
Nimm nächstes Paar aus P2 und starte Iteration über P1 bei
aktuellem Element in P1 (einschließlich)
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Quadratische Laufzeit
Um die Paretomenge P aus den beiden Paretomengen der Kinder P1 und P2 zu berechnen, führe folgende Schritte aus:
1
ss
Sortiere P1 und P2 aufsteigend nach der Breite
ss
Iteriere über P1 bis h1 + 1 ≤ h2 (einschließlich)
ss
Nimm nächstes Paar aus P2 und starte Iteration über P1 bei
aktuellem Element in P1 (einschließlich)
⇒ Laufzeit O(|P1 | + |P2 |) ∈ O(n)
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Algorithmics Group I
HV-Layouts – Quadratische Laufzeit
Um die Paretomenge P aus den beiden Paretomengen der Kinder P1 und P2 zu berechnen, führe folgende Schritte aus:
1
ss
Sortiere P1 und P2 aufsteigend nach der Breite
ss
Iteriere über P1 bis h1 + 1 ≤ h2 (einschließlich)
ss
Nimm nächstes Paar aus P2 und starte Iteration über P1 bei
aktuellem Element in P1 (einschließlich)
⇒ Laufzeit O(|P1 | + |P2 |) ∈ O(n)
⇒ Gesamtlaufzeit O(n2 )
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Aufgabe 3 – Außenplanar / Serienparallel
Ein Graph G heißt außenplanar, wenn er eine kreuzungsfreie
Zeichnung besitzt, in der alle Knoten an der äußeren Facette liegen. Zeigen Sie, dass jeder zweifach zusammenhängende außenplanare Graph serienparallel ist.
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Aufgabe 4 – Sichtbarkeitsrepräsentation
Zeigen Sie, dass jeder serienparallele Graph eine Sichtbarkeitsrepräsentation hat.
f
f
e
e
b
c
c
d
d
b
a
a
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Aufgabe 5 – Ohrendekomposition
Sei G = (V, E) ein Graph der für jede Kante {s, t} ∈ E eine
offene Ohrendekomposition besitzt die mit {s, t} beginnt. Zeigen
Sie, dass G zweifach zusammenhängend ist. (In der Vorlesung
wurde die umgekehrte Richtung gezeigt.)
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Aufgabe 6 – s-t-Ordnungen
Sei s = v1 , . . . , vn = t eine s-t-Ordnung eines planaren Graphen
G, der so eingebettet ist, dass die Kante {s, t} auf der äußeren
Facette liegt. Zeigen Sie, dass vi in der äußeren Facette des von
v1 , . . . , vi−1 induzierten Graphen liegt.
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Letzte Übung
Letzte Übung am 2. oder am 9. Februar?
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