A02 Schwingungen

A02
Schwingungen
A02
1.
ZIEL
In diesem Versuch sollen Sie Schwingungen und ihre Gesetzmäßigkeiten untersuchen. Sie werden die Erdbeschleunigung messen und mit einem Foucault-Pendel die Drehung der Erde um ihre Achse nachweisen.
Daneben lernen Sie, wie man Bewegungen elektrisch messen kann und wie sich die Messwerte mit einem
Computer erfassen, auswerten und grafisch darstellen lassen.
2.
FRAGEN ZUR VORBEREITUNG
2.1. Welche Kräfte wirken bei einem Federpendel?
Eine Kugel hängt in Ruhe an einer Feder (Abb. 1 links).
Welche Kräfte wirken auf die Kugel? Wie groß sind sie?
In Abb. 1 rechts ist die Kugel um die Strecke s nach unten
ausgelenkt. Wie groß sind jetzt die Kräfte? Wie groß ist die
resultierende Kraft und welche Richtung hat sie?
Mit welchen Größen, Begriffen beschreibt man üblicherweise Schwingungen?
Zeichnen Sie qualitativ die Funktionen:
Abb. 1 Hebt man die Kugel etwas an und lässt
sie dann los, so ist die ...
größer als die ....
Die Kugel fällt nach unten, schießt wegen ihrer
...
über die Gleichgewichtslage hinaus, wird
von der Feder abgebremst und wieder nach oben
beschleunigt. Der Vorgang wiederholt sich: Das
Federpendel schwingt.
y = cos (2π⋅x), y = e-0,5 x, y = e-0,5 x cos (2π⋅x)
2.2. Wie groß ist die Auslenkung s zur Zeit t ?
Für Schwingungen wie beim Federpendel gibt es einen
bemerkenswerten Zusammenhang mit einer Kreisbewegung.
Wenn die Schwingungsdauer T der Kugel gleich der Umlaufzeit der Scheibe ist, so verläuft die Projektion von K und
M in Abb. 2 auf den Schirm synchron, die Marke ist stets
auf gleicher Höhe mit der Kugel. Also
yK = yM = y0 cos (ϕ)
mit y0 = r,
bei gleichförmiger Kreisbewegung gilt
ϕ
t
2π
= , ϕ=
T: Zeit für einen Umlauf
t
2π T
T
2π
und mit der Winkelgeschwindigkeit ω =
T
daher
Abb. 2 Ein Marke M rotiert auf der Kreisscheibe gleichmäßig um die horizontale Achse
A. Die Umlaufzeit der Scheibe wird so angepasst, dass sie mit der Schwingungsdauer T der
Kugel K übereinstimmt.
19.05.2006
y = y0 cos (ω t) .
Kennt man die Schwingungsdauer T und die Amplitude y0 ,
so lässt sich mit dieser Gleichung die Auslenkung der Kugel zu
jeder Zeit berechnen.
1
Physikalisches Anfängerpraktikum
Universität Hannover
A02
2.3.
A02
Wie groß ist die Schwingungsdauer?
Der Pendelkörper in Abb. 3 wird auf dem Kreisbogen um
s = L ϕ (ϕ im Bogenmaß) ausgelenkt, auf ihn wirkt die Gewichtskraft F = mg. Zerlegt man diese Kraft in zwei Komponenten parallel und senkrecht zur Fadenrichtung, so dehnt F⏐⏐
lediglich den Faden. Der Körper wird nur von der Kraft:
F⊥ = m g sin ϕ = m g sin ( s / L ) zurückgetrieben. Für s << L ist
F⊥ = m g s / L :
m s = mgs/L .
s = s0 cos (ω t)
s ≈ s0 ; sin ϕ = s0 / L ≈ s / L und daher
Die Kraft ist proportional zur Auslenkung.
Mit dem Grundgesetz von Newton folgt:
Setzt man hier die Bewegungsgleichung
ein, so ergibt sich schließlich
ω2 =
Abb. 3 Für kleine Winkel ist die rücktreibende Kraft F⊥ proportional zur Auslenkung. Die Schwingung ist daher harmonisch.
g
L
und
T = 2π
L
g
.
Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels ist umso größer, je
länger das Pendel ist. Sie ist aber unabhängig von der Masse und für
kleine Ausschläge auch unabhängig von der Anfangsamplitude.
3.
VERSUCHSAUFBAU
Sie müssen sich im Praktikum zunächst mit dem Messwert-Erfassungssystem vertraut machen. Auch mit der
detaillierten Anleitung am Arbeitsplatz braucht es seine Zeit, bis Sie die Funktionen des Programms und die
optimalen Einstellungen für den Versuch herausgefunden haben. Probieren Sie die Parameter hemmungslos
aus, Sie können nichts kaputt machen.
Das Prinzip:
1. Ein elektrischer Sensor erzeugt eine analoge Spannung, die
direkt proportional zum Messwert ist. Solche Sensoren gibt
es für Druck, Luftfeuchtigkeit, pH-Wert, Drehzahl, Kraft,
um nur einige zu nennen. Solche Messwert-Erfassungssysteme sind daher universell einsetzbar.
2. Das Messsystem fragt mit einer einstellbaren Taktrate den
momentanen Spannungswert ab, rundet ihn mit einer endlichen Genauigkeit und speichert dann diesen digitalen Wert
mit der dazu gehörigen Zeit intern. Je kleiner die Taktrate
sein kann, desto teurer sind solche Systeme.
Abb. 5 Der Sensor ist hier ein Drehpotentiometer. Je größer der Winkel des Pendels,
desto größer wird der Spannungsabfall an dem
Drehwiderstand.
3. Mit einem Programm lassen sich die Werte auf einem PC
erfassen und tabellarisch oder grafisch auf dem Bildschirm
darstellen. Die Weiterverarbeitung der Daten wird damit
ganz wesentlich erleichtert, z.B. um eine Fehlerrechnung
durchzuführen.
Sie müssen das Messsystem zuerst auf Ihre konkrete Anwendung einstellen:
1. Was wird gemessen: Strom, Spannung, Zeit?
2. In welchen Einheiten: mV, V, ms, s?
3. In welchem Bereich: 1 V, 3V, 10 V?
4. In welchem Zeitintervall wird der Messwert abgefragt?
5. Wann soll das Programm starten?
2
A02
4.
4.1.
A02
MESSUNGEN
Fadenpendel
Die ungedämpfte Schwingung wird mit einem Fadenpendel, wie in
Abb. 6 skizziert, untersucht.
Wovon hängt die Schwingungsdauer T eines solchen Pendels ab?
Abb. 6 Fadenpendel
Versuch:
1. Von der Länge L?
2. Von der Masse m?
3. Von dem Auslenkwinkel ϕ0?
Bestimmen Sie die Schwingungsdauern T für die am Arbeitsplatz
angegebenen Werte mit einer Stoppuhr.
Abb. 7 ϕ = ϕ0 cos (ωt)
4.2.
Auswertung:
1. Drei Graphen: T 2(L), T (m), T (ϕ0)
2. Können Sie damit die Aussagen im Kasten von 2.3 bestätigen?
3. Wie groß ist die Erdbeschleunigung g aus Ihrer Steigung T 2(L)?
Drehpendel
Versuchsaufbau:
Die ungedämpfte und die gedämpfte Schwingung werden als nächstes
mit einem Drehpendel untersucht. Das Drehpendel selbst besteht aus
einer Spiralfeder S und einem flachen Kupferring K, der sich um
seinen Mittelpunkt dreht. Die Auslenkung ϕ wird mit dem Messsystem
(Abb. 5) alle 20 ms registriert und auf dem Bildschirm dargestellt. Als
Sensor dient hier eine Hallsonde, die Hallspannung ist proportional
zum Winkel ϕPendel. Das Drehpendel lässt sich mit einer Wirbelstrombremse dämpfen. Der Kupferring K rotiert dazu zwischen den Polen W
eines Elektromagneten.
Abb. 8 Drehpendel.
Abb. 9 ϕ = ϕ0 e-δt cos (ωt)
Versuch:
1. Mit dem Messprogramm auf dem Computer sollten Sie Graphen
wie in Abb. 7 und Abb. 9 produzieren können. Anleitung und einzustellende Werte finden Sie wieder am Arbeitsplatz. Wenn Ihnen
die Darstellung auf dem Bildschirm gefällt: AUSDRUCK
2. Bei welcher Dämpfungs-Stromstärke kommt das Pendel am
schnellsten zur Ruhe?
Auswertung:
1. Ändert sich die Schwingungsdauer T mit der Dämpfung?
2. Ist das Verhältnis aufeinander folgender Amplituden konstant?
3. Wie groß ist die Zeit, in der das Pendel am schnellsten zur Ruhe
kommt?
3
A02
4.3.
A02
Erzwungene Schwingung und Resonanz
Abb. 10
Erregerfrequenz << Eigenfrequenz
Erregerfrequenz = Eigenfrequenz
Resonanz
Erregerfrequenz >> Eigenfrequenz
Bisher hatten Sie das Pendel einmal ausgelenkt und sich dann selbst überlassen. Es schwingt mit seiner
Eigenfrequenz. Was passiert, wenn man die Aufhängung des Pendels periodisch bewegt?
Bei niedrigen Erregerfrequenzen stimmen die Amplitude des schwingenden Körpers und die Amplitude
des Erregers überein. Beide bewegen sich im Gleichtakt (Abb. 10 links).
Steigert man die Erregerfrequenz, so hinkt das Pendel wegen seiner Trägheit dem Erreger hinterher. Seine
Schwingung erfolgt phasenverschoben. Mit welcher Frequenz schwingt das Pendel jetzt und wie groß
wird die Amplitude?
Bei sehr hohen Erregerfrequenzen ist die Bewegung wieder leichter zu durchschauen: Der Körper
schwingt wieder mit der Erregerfrequenz, allerdings erfolgt die Bewegung im Gegentakt. Die Amplitude
ist daher nur noch sehr klein (Abb. 10 rechts).
Versuch:
Über die Schubstange und den Hebel in Abb. 8 wird das Drehpendel jetzt von einem Motor mit variabler Drehzahl periodisch
erregt. An dem Hebel ist ein zweiter Winkelaufnehmer angebracht. Mit dem Messsystem können Sie daher die Bewegung
von Pendel und Erreger gleichzeitig aufnehmen und die Phasenverschiebung zwischen beiden verfolgen.
Versuchsdurchführung mit den Werten am Arbeitsplatz.
Auswertung:
1. Wie groß wird die Amplitude des Pendels im Resonanzfall?
2. Mit welcher Frequenz schwingt in allen Fällen das Pendel?
3. Können Sie anschaulich erklären, warum die Amplitude im
Resonanzfall so groß wird (Abb.10 Mitte)?
Abb. 11 Die Resonanzkurven einer
erzwungenen Schwingung
4
A02
4.4.
A02
Das Pendel dreht sich nicht
Ein Fadenpendel, einmal angestoßen, schwingt immer in
derselben Ebene. Auch wenn sich der Tisch mit dem
Galgen, an dem das Fadenpendel aufgehängt ist, dreht,
behält es seine Schwingungsebene bei. Es wirken ja
keine Kräfte quer zur Schwingungsebene.
Versuch:
Im Praktikum gibt es einen Drehtisch mit einem Pendel,
das seine Bewegung in Sand schreibt. Können Sie von
weitem beobachten, dass die Schwingungsebene konstant bleibt? Was sieht ein Beobachter auf dem Tisch?
Abb. 12 Der Tisch dreht sich unter dem Pendel, das
Pendel schwingt trotzdem in seiner anfänglichen
Richtung weiter.
4.5.
Wie schnell dreht sich die Erde?
Unter einem Pendel, das genau über dem Nordpol
schwingt, dreht sich die Erde einmal am Tag um 360°
hinweg. Ein Beobachter dort oben, der sich mit der Erde
mitdreht, sieht umgekehrt, dass sich die Pendelebene
dreht.
Was beobachten wir hier in Hannover?
Unter einem Pendel, das bei H (Abb. 14) aufgehängt ist,
dreht sich der Erdboden (Horizont) nur mit
ωHannover = ωErde sin ϕ
Abb. 13 Am Äquator lässt sich diese Drehung der
Pendelebene nicht beobachten. Die Erde dreht sich
dort nicht unter dem Pendel, die Pendelebene wird
von der rotierenden Erde mitgenommen.
Mit der Breite von Hannover ϕ ≅ 52° in einer Stunde
also um
360°
24
sin 52° = 11,82° .
Versuch:
Die Demonstration dieses Effekts ist fest mit dem Namen Foucault verbunden. Er hat ihn 1850 zum ersten
Mal in Paris mit einer 28 kg schweren Kugel an einem
67 m langen Draht durchgeführt. Im Praktikum ist ein
wesentlich kleineres Foucault-Pendel fest aufgebaut.
Messen Sie bitte im Lauf des Nachmittags dreimal die
Drehung des Pendels. Stimmen Ihre Werte mit der
Theorie überein?
Abb. 14 Foucault-Pendel in Hannover H.
4.6. Corioliskraft
Ein Beobachter auf der Erde merkt normalerweise von
der Erddrehung nichts. Die Erde ist für ihn in Ruhe, nur
das Pendel dreht sich. Will man diese Pendeldrehung
mit den Gesetzen der Mechanik begründen, muss man
dafür eine extra Kraft bemühen und erfinden:
Corioliskraft
Mit ihr erklären wir z.B. die Richtung der Passatwinde.
Sie bewirkt auf der Nordhalbkugel für alle Bewegungen
eine Rechtsablenkung. Können Sie auch die Sandspuren
in 4.4 damit erklären?
Abb. 15 Ein Tiefdruckgebiet über der Nordhalbkugel von Apollo 9 aus einer Höhe von 128 km
aufgenommen.
5