PHYSIK

Physik
PHYSIK
M A T ER I A L EI G E NS C H A F T E N
© chager - Version 2.0
Prof. Dr. L. Degiorgi, ETHZ
GRUNDLAGEN
G R Ö S S EN
EI NH EI TE N
Strom
Dichte, Stromdichte
Ladung
Spannung
Widerstand
Leitwert
Spez. Widerstand
Spez. Leitfähigkeit
C
ETHZ – BAUG - HS 2011
Block 1
[ ]
[ ⁄ ]
[ ][
]
[ ][ ⁄ ][ ⁄ ]
[ ][ ⁄ ]
[
][ ⁄ ]
[
]
[
]
Ampère
Coulomb
Volt
Ohm
Siemens
[ ]
Elektr. Fluss
[ ]
Elektr. Potential
Volt
Elektronenvolt
[ ], [ ]
Energie
[ ⁄ ], [ ⁄ ]
Elektr. Feldstärke
[ ⁄ ]
Verschiebungsdichte
[ ⁄ ]
Flächenladungsdichte
[ ⁄ ]
Dichte, Ladungsverteilung
[ ][ ⁄ ]
Kapazität
Farad
[ ][
⁄ ]
Kraft
Newton
[ ][
][
]
Arbeit/Energie
Joule
[
]
[
]
[
⁄
]
Leistung
Watt
[
][ ]
Magnetischer Fluss
Weber
[
]
Magnetische Feldstärke
[ ][ ⁄ ]
Magnetische Flussdichte
Tesla
[
]
Magnetisches Dipolmoment
[ ], [ ⁄ ]
Induktivität
Henry
[ ]
Querschnittsfläche
[ ]
Länge
Meter
[ ⁄ ]
Windungsdichte (Spule)
[ ]
Radius
Meter
[ ]
Zeit
Sekunde
[ ]
Masse
Kilogramm
[ ]
Molekülmasse
Kilogramm
[ ⁄
]“
rel. Atommasse
[
]
Stoffmenge, Zahl der Mole
Mol
Zahl der Moleküle
[ ]
Temperatur
Kelvin
[ ]
Impedanzen
Ohm
[
]
Kreisfrequenz =
=
(Herz)
[ ][
]
Frequenz
Herz
[ ]
Periode
Sekunde
[
][]
Phasenverschiebung
Winkel
[
]
Wellenlänge
Meter
[ ]
Innere Energie
Joule
[ ]
Volumenarbeit
Joule
[ ]
Wärmeenergie
Joule
[ ]
Enthalpie
Joule
[
]
Entropie
[ ]
Adiabatenexponent
[ ]
Freiheitsgrad
[ ]
Wirkungsgrad
LIchtstärke
Anm: Für Physiker Einheitenoperator: [
Für ZF viel zu Umständlich, also who cares?
03.02. Januar 2012
[
]
]
Candela
Spezifischer Widerstand
Dielektrizitätskonstante
Permeabilität →
relative Atommasse
spezifische Gaskonstane
[
]
[ ]
[ ]
mol. spez. Wärmekap. ,
mol. spez. Wärmekap. ,
spez. Wärmekapazität,
spez. Wärmekapazität,
spez. Umwandlungswärme
[
[
EL EK T R O M A G N ET I SC H E S SP EK T R U M
SC H A L T U NG EN
Symbole
Separates
Batterie
Spannungsmessgerät
]
Messgerät
Widerstand
]
G = Galvanometer für U
I = Messger. Für Strom
s106
Diode
[
]
[ ]
KO NS TA N TE N
⁄
Elektr. Feldkonstante
Magn. Feldkonstante
Lichtgeschwindigkeit
Elementarladung
Elektronenvolt
atomic mass unit
Masse Elektron
Masse Neturon
Masse Proton
Avogadro Konstante
Loschmidt-Zahl
Faraday-Konstante
Molares Normvolumen
Gaskonstante ( )
Boltzmann Konstante
Absoluter Nullpunkt
Normaldruck
Gravitationskonstante
Erdbeschleunigung
Planksche Konstante
Rydberk-Frequenz
_
_
_c
_q
_q_v
_amu
_me
_mn
_mp
_na
⁄
(
)
(
)
_na_q
_vm
_rc
_k
( )
1_atm
_gc
_g
_h
_rdb_c
Beziehungen:
Kondensator
Strom fliesst nur in eine
Richtung
Spule
Schalter
Lampe
Knoten
Peltierelement: Strom
Temperaturänderung (Kühlung)
KRAFT, ARBEIT UND LEISTUNG
35
K R A F T U ND D R U C K
-
̂
Coulombsche Gesetz
Gravitationsgesetz:
Zentripetalkraft:
Lorentzkraft:
(vereinfacht)
Auftrieb:
A R B E IT / E N ER G I E U ND L E I ST U NG
Arbeit
35
∫
∫
Einheiten Voyage:
→ P…
→ 2nd g … für grichische Buchstaben
Vorsicht:
Bei Brüchen mit Einheiten, dass sie wirklich unter Bruch sind
Coulomb: _coul
Stunde: _hr
Gramm: _gm
Kelvin = _°k (Immer mit Kelvin, Grad wird nicht umgerechnet)
Leistung
N OR M A LB ED I NG U NG E N
Temperatur:
Druck:
(Druck IUPAC:
G R ÖS S E N
K I NE M A T IK
Yotta
Zetta
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hekto
Deka
Z
Y
E
P
T
G
M
k
h
da
Geschwindigkeit:
,
)
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Pico
Femto
Atto
Zepto
Yokto
Winkelgeschwind:
IN T E G R A L E, J A C C OB I
)
Kreis:
∫ ∫ ̂(
d
c
m
Kugel:
∫ ∫ ∫
̂(
)
n
p
f
a
z
y
S e i t e |1
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Block 1
STROM UND LADUNG
3
ST R OM U ND L AD U N G
Strom
4
L AD U NG U ND K A P A Z I T Ä T
Kapazität
∫
29
ELEKTRISCHES FELD
16
EL EK T R ISC H E S F EL D
SP AN NU N G
Spannung
Ohm’sche Leiter:
7
P LA T TE N K O ND E NS A T OR
in [ ]
Ebene Ladungsverteilung:
∫
Geladene Vollkugel:
Wenn
ZY LI ND ER K O ND E NS A TOR
9
E LE K TR I S C H ES P O TE N TI A L
Potential (skalare Funktion)
( )
(
Spezifischer Widerstand
Leiter:
, Halbleiter:
(
( )
(
10
(
32
∑
∑
12
[∑
]
P A R A L L EL E S C HA L T U NG
34
G E LA D E N E K UG EL – C OU L OM B P O T E NTI A L
(Ober)flächenladungsdichte
)
80
Blindwiderstand
21
( )
Relaxationszeit
als charakteristische Zeitkonstante bis
Sättigung im Kondensator erreicht ist.
KO ND E NS A T OR M I T D I E L EK TR I K UM
)
Scheinwidertand (Effektiver Totalwidertand)
| ̃| √
∮
Phasenverschiebung
Verschiebungsdichte
( )
( )
39
̂
( )
1)
2)
Allgemein: Sphären mit
Integrieren
∫
̂
( )
( ) ∫
( )
Mit ̃ darf wie mit normalen Widerständen gerechnet werden.
→ Knoten/Maschenregel
Bsp: Serie Spule + Widerstand: ̃
( )
B ER E C H N U N G K A P A Z IT Ä T / W ID ER S T A ND

Annehmen → einmal plus einmal minus pro Platte
→ Pro Abstand somit immer Ladung Q in Kondensator
 Gauss anwenden auf homogene Fläche:
( )
∫
 ( ) ∫ ( ) Wegintegral von Platte zu Platte


,
∫
( )
W I R K L EI S TU NG UN D EF F EK TI V S P A N NU NG
∫
Wirkleistung:
( )
√
DIPOL
Siehe Skript
E LE K TR I S C H E R F L US S
Elektrischer Fluss
22
24
̂
√
S e i t e |2
∫
( ∫
Effektivspannung:
Periodendauer
( )
)
TR A NS F OR M A T OR
Im Leerlauf:
∫
( ̃)
̃
̃
̃
Ohmscher Widerstand:
Induktiver Widerstand:
Kapazitiver Widerstand:
Coulomb-Potential
→ Tabelle Seite 41
∑
kein Strom fliesst
(
Kreisfrequenz =
Wirkungswiderstand,
Das Elektrische Feld ist konservativ:
Coulomb-Feldstärke
S ER I ES C HA L T UN G
79
̃
)
(
73
K OM P L EX ER S T R O M
Auffassen als Komplexe Zahl:
̃
I M P ED A N Z I EN
35
( )
WECHSELSTROM
̃
Phasenverschiebung,
)
( )
11
∑
M A S C H E NR E G E L
∑
∫
30
( )
LA D EV OR G A NG
RC-Schaltung
K IR C H H OF F SC H E R EG EL N
∑
( )
)
KUG E LK O ND E NS A T OR
:
KN O T E NR EG E L
∑
( )
)
19
, Isolator:
Temperaturabhängigkeit bei Metallen:
( )
[
(
)]
Temperaturkoeffizient [ ⁄ ]
und beliebige bekannte Grösse
Supraleitend: Kein Widerstand mehr bei tiefer Temperatur
Halbleiter: Je nach Temperatur Isolator oder Leiter
03.02. Januar 2012
( )
Lineare Ladungsverteilung:
Spannung
OH M SC H E L E IT E R
Widerstand nach Geometrie
→ Knoten trennen bei
F E LD ER B EI LS P I E L
̂
30
Nicht-ohmsche Leiter:
]
∫
zB. Ladungsverteilung → Elektrische Feldstärke
Beispiele auf Seite 27+28
3. Maxwell Gleichung
̂
[∑
∑
Verschiebungsdichte
∫
∑
26
∯
17
F E LD S TÄ R K E A L LG E M EI N
Elektrische Feldstärke (vektorielle Grösse)
Ladung
Spezifische Leitfähigkeit
G A US S S C H E S A TZ :
̃
|̃ |
→ Proportional zu Windungen der Primär und Sekundärspule
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Block 1
MAGNET. FELD / INDUKTION
44
G R U ND L E G E ND E S
Magentische Feldstärke
In Spule:
45
K R ÄF T E / M OM EN T E D U R C H M A G EN T I SM U S
57
L OR E N TZ S C H ES K R A F TG E S ET Z
Lorentzkraft
57
∫(
)
(
F L US S
Magnetischer Fluss
47
Allgemein:
∫
∯
)
Gegeninduktion zweier Spulen:
Magnetisches Dipolmoment in Leiterschleife
kleiner als
Abhängigkeit Induktivität:
∮
∮
Energiedichte magnetisches Feld
(
48
( )
∮
̇
∫(
)
)
∫
̇
Feldenergie einer Spule
)
K R A F T Z W I S C H E N P A R A LL E L EN LEI TER N
61
Mit Abstand: , Länge
∮
B IO T - SA VA R T SC H E G E S ET Z
Gesetz
Vereinfacht:
)
62
∫
Kompakt:
D U R C H F L U T U NG S G E S ET Z
Allgemein:
∮
(
∫(
̇
)
)
∫
̂
M A T ER IE IM EL EK T R / M A G N ET I SC H EN F EL D
→
→
Mit ̂ Einheitsvektor
∫
⏟
7 0- 72
M A G N ET F EL D
→ Keine Magnetischen Monopole
R EC H T E H A ND R EG EL
51
∫
⏟
∫
⏟
Induktionsgesetz
∫
(
∫
⏟
IN D U K T I ON S G E S E T Z
Potentielle Energie Dipol
IN D U K T I ON / L E NZ SC H E R EG EL
Allgemein:
∫
̇
(
Magnetische Flussdichte
∑
D U R C H F L U T U NG S G E S ET Z
Mit Ladung , Ladungsgeschw.
Kraftdichte
Kraft auf Dipol in inhom. Feld
∮
SA T Z V ON G A U S S
Drehmoment eines Dipols
Homogene Felder:
ÜBERSICHT
Lange dünne Spule
Vollständig:
∫
64
Induktivität
)
(
Spannungsstoss
S EL B ST I ND U K T I O N / G E G E N IND U K T I ON
Induktionsspannung:
A NW E ND UNG
Magnetische Feldstärke auf Achse Leiterschleife
(
)
63
⁄
Vereinfacht:
∮
∫
∮
In Spule:
∫
∫
A NW E ND UNG
54
Um dünnen Leiter:
( )
Homogenes Kabel:
( )
In Spule:
03.02. Januar 2012
( )
IN D U K T I VI T Ä T B E R EC H N EN
 Annehmen

bestimmen (Ampere)
 Fluss berechnen (durch Induzierte Schlaufe)

S e i t e |3
 Diamagnetische Materialien: Entgegengesetz
 Paramagnetische Materialien: Verstärkung
 Ferromagnetische Materialien
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Block 1
THERMODYNAMIK
93
M A SS E N U ND T EIL C H E N
Molare Masse, Relative Atommasse
Aus Stoffmenge:
Aus Teilchenzahl:
S T OF F M EN G E ( M OL)
I S OC H OR E P R O Z ES S E
1 09

 Anwendung
I S OB A R E P R O Z E S S E
(In Periodensystem)

1 16
Diffusionskonstante:
],
: Anzahldichte [
: mittl. therm. Geschw.,

 Enthalpie:
ist eine Zustandsgrösse [ ]
 Experiment mit konstantem Aussendruck
zB. Kolben mit konst. Gewicht oder Eis schmelzen ect.

I S O TH ER M E P R O Z ES S E
1 11
Aus Teilchenzahl:
Aus Konzentration:
→ In Literatur:
mit
T EM P ER AT U R
Immer in Kelvin Rechnen:
96
ID EAL E G A S E
97
G A S G L EI C HU NG
98
(
)
(
)
(
)
Innere Energie
∫
 Zugeführte Wärme wird sofort im Volumenarbeit umgesetzt
 Ideales Gasgesetz anwendbar
 Nicht realistisch
A D I A B A TI S C H E P R O Z ES S E
Gegeben:
- Anzahl Mole:
- Anzahl Moleküle:
- Masse:
1 12

, aber Temperatur kann sich ändern!
 Perfekt isoliertes System
 Prozesse die sehr schnell ablaufen
 Adiabatische Expansion:
P OI S S O N G L EI C H U NG E N ( A D I A B A TI S C H )
1 03
Beziehungen:
|
T R A NS P OR T EN ER G I E
→ Wärmeleitung
Energiestromdichte:
1 38
Wärmeleitungs-Gl:
Wärmeleitungsfähigk.:
[
]
Arbeit
→ wie
Carnotsche WG
[
]
: mittl. freie Weglänge
für reversiblen Prozess → Optimal
Seriell:
beim Grundwasser betrachten
(∑
)
S TR A NG ES B EI S P I EL
(
)
)
T R A NS P OR T L A D U NG
→ Elektrizitätsleitung in Metallen
Ladungsstromdichte:
1 39
1 06
∫
I N N ER E E N ER G I E
(
), Zustandsgrösse, besteht aus:
 Thermische innere Energie (Bewegung Moleküle)
 Chemische innere Energie (Bindungsenergie Moleküle)
 Nukleare Energie (Bewegung/Bindung im Kern)
1. Hauptsatz der Thermodynamik
⏟
⏟
Vergrösserung der inneren Energie
1 08
EN T R O P I E
1 25
D EF I NTI O N
 Wächst bei irreversiblen Prozessen
 Bleibt gleich bei reversiblen Prozessen
1 25
: Potential in Volt,
:[ ⁄
]
→ Sonst siehe Skript
∫
Zweiter Hauptsatz:
(
)
Bei irreversiblen Prozessen wird stets Entropie erzeugt, bei
reversiblen bleibt sie konstant.
→ Entropie „Unordnung“
bei konstantem Druck
Einatomige Gase:
Zweiatomige Gase:
(Luft)
J OU L E T H OM S ON - EF F E K T
→ siehe Skript
1 15
E NTR O P I EÄ ND ER U NG I D E A LER G A S E
Rev. Adiab. Prozess:
Isotherme Expansion:
B AR O M ET R I SC H E H ÖH E NF OR M EL
Isochore Erwärmung:
( )
Isobare Erwärmung:
( )
Herleitung:
( )
Mit Gas-Gl: ( )
Mischungsentropie:
( )
(
1 30
)
→ siehe Seite 134
R EAL E G A S E
Van-der-Waals Zustandsgleichung:
(
) (
1 01
)
Kohäsionsdruck
Kovolumen, sind Kenngrössen der jeweiligen Gase
03.02. Januar 2012
1 24
→ Fläche des Kreisprozesses
(
1 14
1 36
Elektrische Leitfähigkeit:
W Ä R M EM E NG E
1 03
Wärme:
Phasenumwandlung:
Mit
spezifische Wärmekapazität ( oder
)
Und Umwandlungswärme
bei konstantem Volumen
→ positive
W IR K U N G S G R A D
Der Kompressor eines Kühlschranks hat eine Ausgangsleistung von 200 W. Im Gefrierfach
herrscht die Temperatur 270 K, im Aussenraum 300 K. Wieviel Wärme kann dem
Gefrierfach in 10 Minuten maximal entzogen werden?
( )
W ÄR M EL EH R E
A R B EI T
Ausdehnungsarbeit:
Verdrängungsarbeit:
Hubarbeit:
→ Wärmepumpe, Heissluftmotor siehe Skript Seite 118-122
|


135
Diffusionsgleichung:
Aus Masse:
Aus Volumen:
TRANSPORTVORGÄNGE
T R A NS P OR T M A T ER IE
→ Diffusion
Teilchenstromdichte:
oder Phasenänderung ( mit )
1 10
(
)
(ohne Phasenumwandl.)
⏟
⏟
W Ä R M EK R A F T M A S C H I N EN
S e i t e |4
B EI S P I E L W Ä R M E K R A F TM A S C H I N E
Reservoir das Wärme abgibt:
Reservoir das Wärme aufnimmt:
Wärmekraftmaschine ist Zyklisch:
Änderung Universum: ∑
( )
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Block 1
QUANTENPHYSIK
141
Grössen sind Quantisiert (diskretisiert), ändern sich in Schritten
(Quanten). Welle-Teilchen-Dualismus
M AT ER IEW EL L EN N A C H B R O G L IE
1 49
→ Licht kann auch als Teilchen beschrieben werden (Broglie):
P H OT O EF F E K T
1 42
→ Durch Licht werden von Kathode Elektronen gelöst
→ Es wird immer Ein Photon und ein Elektron betrachtet
→ Zuerst muss mit Austrittsarbeit
Elektron gelöst
werden, mit überschüssiger Energie wird Elektron
(
) führt.
beschleunigt, was zur Bremsspannung
ATOMPHYSIK
157
ATOME
→ Siehe Konstanten, Formelbuch
E LE K TR O N E N
Beschleunigen und Rotieren in und -Feld:
1 58
RELATIVITÄT
immer
L Ä N G E N VE R Z ER R U NG . D IL A T A T I O N
→
√
Korrekturfaktor bei relativistischen Betrachtungen
√
⏟
√
213
Licht braucht kein Medium um sich fortzubewegen,
→ El wird über gesamte Länge Feld beschleunigt, über Hälfte wäre
Schräges -Feld:
→ Betrachtungssystem als unbewegt betrachten
 Wer schnell reist:
 Zeit „vergeht“ schneller als in Ruhe
 Distanzen erscheinen kürzer
⏟
√
P H O TO N
1 52
Aufteilen
{
, mit
Radius
Schraubhöhe:
M A T ER I E T EI L C H E N
1 52
√(
)
(
)
Intensität: Photonenstromdichte Energie:
)(
(
H E IS S E NB ER SC H E U NSC H Ä R F ER EL A T IO N
→ Zwei Grössen können nicht gleichzeitig beliebig genau
beschrieben werden.
1 52
Rydberg-Frequenz:
Anwendung: | |
|
|
]
Je nach Literatur,
Frequenz Photon:
Emissionsrate:
[
Strom der Photoel.:
[ ]
]
)
Distanzen:
,
Geschwindigkeiten:
|
|
W A S S ER S T OF F A T OM
Energiezustände, Energieniveaus (Potentielle Energie):
(
[
L OR E NT Z T R A N SF O R M A T I O NE N
Transformationen:
1 64
: Geschwindigkeitsunterschied für A
Total Relativistische Energie:
√
)
oder
D OP P L ER EF F EK T
W EL L E NF U NK T I O N U ND W EL L E NG L E IC H U G N
Schrödingergleichung:
(
1 54
)
(
)
Kernladung
Rydberg-Energie:
(
Photonenimpuls:
NI C H T R ELA TI V I S TI S C H F ÜR S C H A L L
Für Frequenzen gilt:
Bewegte Quelle:
aufeinander zu
)
Energie eines emittierten/absorbierten Photons:
voneinander weg
Bewegter Empfänger:
mit
Bahnradien (stabile Bohrsche Radien):
[ ]
Lichtdruck:
[
2 16
SP EK T R E N U ND E N ER G I N I V EA U S
1 60
Gesetzmässigkeit Spektroskopien von Stoffen (Balmerserie):
Grenzfrequenz, Gerade genug Energie um Elektron zu lösen
aber nicht zu beschleunigen.
in der Regel klein,
A L LG EM EI N
1 44 - 1 4 8
Licht ist Strom aus Photonen mit jeweils der Energie:
berechnen
oder über Periode
]
Elektronengeschwindigkeit:
Impulsstromdichte
 Erhöhung Intensität
mehr Photonen,

der Elektronen kann nicht verändert werden bei
gleichbleibender Frequenz der Photonen
R Ö NTG E NS TR A H L U NG
→ Umgekehrter Photoeffekt, Skript Seite 146
(
)
aufeinander zu
(
)
voneinander weg
→ Akustischer Dopplereffekt: Sirene, Flugzeug (Seite 222)
→ Bis 10% Lichtgeschwindigkeit anwendbar für Licht
LI C H T I M V A K U UM , R ELA TI V I S TI S C H
Periode:
√
→ Bohrsche Model inkonsistent (Unschärfe)
ST EH E ND E EL EK T R ON E NW EL L E N
→ Skript Seite 166
Frequenzen:
Voneinander weg:
√
Aufeinander zu:
√
IM P U L S :
[
]
→ Bsp siehe Skritp Seite 223
03.02. Januar 2012
S e i t e |5
Christoph Hager
Physik
ETHZ – BAUG - HS 2011
Block 1
WELLEN
193
W EL L E NG L E IC H U N G
1 95
̇
1- D I M
(
)
(
83
→ Hertzscher Dipol: Seite 84-88 im Skript
K O NV E NT IO N
()
Betrachtungsrichtung, Polarisation
Ausbreitungsrichtung ( zu Polarisation)
Transversal: Schwingung senkrecht zu Ausbreitungsrichtung
Longitudinal: Schwingung in Ausbreitungsrichtung
A L LG EM EI N
EB E N E HA R M O NI S C H E W E L LE
( )
Wellenfunktion:
( )
mit
ELEKTROMAGNETISCHE W ELLEN
)
(
)
(
EB E N E EL EK T R OM A G . W E L L EN
)
,
(
einer Kugelwelle:
)
SCHWINGUNGEN
171
B EW E G U NG S G L E IC H U N G
Mechanisches System:
̈
̇
Elektrischer Schwingkreis:
̈
̇
M-K-System
176
M-D-K-System
178-180
Gekoppelte Schwingungen
181-185
 Pendel schwingt mit Frequenz des Erregers
 Pendel schwingt gegenüber Erreger mit Phasenverschiebung
Gekoppelte Systeme
185+191
Phasengeschwindigkeit:
| |
Intensität:
Energiestromdichte:
(prop. Amplitude)
[
]
SU P ER P O S IT I ON W EL L E N
W E LL E NG L EI C H U NG
(
)
(
)
(
)
(
)
1 98
Wellenfunktionen:
(
(
)
)
Felder:
(
)
Phasengeschwindigkeit:
Vakuum:
S TE H E ND E W E LL E N
→ 2 Wellen die gegeneinader laufen
I N TER F ER E NZ
→ Mehrere identische Wellen die Phasenverschoben sind
2 00
2 02
Energiestromdichte:
P E ND EL K ET T E
2 05
√
|
[⁄
|
]
)
)
(
)
Medium:
√
E NER G I ES TR OM
Energiedichte:
[
]
(
(
(
)
(
)
, Brechungindex
(
)
(
)
(Poyntingvektor)
| |
Intensität [ ⁄ ]:
Impulsstromdichte:
| |
| |
(
|
|
[ ⁄
]
)
Impulsdichte:
: Pendelabstand
S EIL W EL L EN ( S AI T E )
2 06
Strahlungsdruck:
→ Im elektrischen und Magnetischen Teil der elektromagn. Welle steckt
die gleiche Energie. Diese Energie wird mit Lichtgeschw. transportiert. Der
zeitliche Mittelwert der Energiestromdichte ist die Intensität der Welle.
F E ST E K ÖR P ER
2 08
MECHANIK
IM P U L S S A T Z
Druck:
̇
Schub:
(
SP I NS A T Z
E IN SP A NN U N G E N
Feste Einspannung
̈
Freies Ende
B EZ IEH U N G W I NK EL - E X P
)
(
)
03.02. Januar 2012
(
)
(
∑
äussere Kräfte (inkl. Eigengewicht)
)
Gas:
(
̈
)
 Auslenkung verschwindet
 Spannung verdoppelt
 RB: ( )
 Auslenkung verdoppelt
 Spannung verschwindet
 RB: ( )
S e i t e |6
RUHE
Ruhe herrscht wenn: ̇
∑
∑
̈
Christoph Hager
Physik
ETHZ – BAUG - HS 2011
Block 1
[
G R U ND G L EI C H U NG
Bewegungsgleichung:
: Masse
: Dämpfung
: Steifigkeit
̈
̇
( )
( )
̂
( )
]
U NT ER K R I TI S C H G ED Ä M P F TE S C H W .
(
)
mit
(komplex konjugierte EW)
Pseudofrequenz
LINEARE SCHWINGUNG
(
)
→
[
(
)
(
ist nicht periodisch
(
G R E NZ F A L L
√
)]
B EI S P I E LE
)
(
)
 (
langsame Anregung, keine Vergrösserung
)
(
)
 (
(
)

)
(
)
Phasensprung: (
Resonanzamplituden werden → Bämmm!
(Ansatz für diese Lösung nicht gültig)
)
Logarithmisches Dekrement:
( )
(
√( )
)
√
Krafterregung: ( )
Wegerregung: ( )
√
V ER LA U F D ER EI G E NW ER T E NA C H D Ä M P F U NG
Parameter in Praxis bestimmen:
→ Ausschwingversuch:
( )
̈( )
Substitutionen
Dämpfungswert [ ]
√ Eigenkreisfrequenz [ ]
( )
dim-lose Zeit
√
( )
Lehrsche Dämpfung [ ]
K R I TI S C H E D Ä M P F U NG
( ) normierte Erregerfunktion [ ]
Z EI TK UR V E N NA C H D Ä M P F U NG
( )
Neue DGL:
( )
( ̇ )
H OM OG E NE L Ö SU N G
̈
EI G E N W ER T E
̇
[
√
(
]
)
(
⏟
)(
)
]
)
√
(
[
(
)
P A R T IK U L Ä R E L Ö SU NG
Beschränkung in Mech III auf harmonische Anregung:
̂
( )
̈
̇
(geht auch mit Sinus)
Frequenz
[ ]
Periode
̂
U NG E D Ä M P F T E S C HW I NG U NG
( )
( )
(
(
)
)
(
)
mit
Phasenverscheibung
( )
( )
(
(
ÜB ER K R I TI S C H E D Ä M P F U NG
(
)
)
)
̂
,
,
Frequenzverhältnis
̂
( )
P A R TI K U LÄ R E L ÖS U NG
̂
( )
(
)
2)
(
(
))
A M P LI T UD E N UN D P H A S E NG A NG
Amplitudengang:
(
)
Phasengang:
(
)
√(
̂
̂
)
(
S e i t e |7
: System Grenzstabil
→
→ Homogene klingt nicht ab
Fall A Schwebung
(Resonanznähe) ,
|
|
→ Langsame zeitveränderliche Amplitude
Fall B Resonanz
(eig.
):
)
→ Betrachte Eingangs/Ausgangssignal; Gänge stellen
Amplitudenverstärkung und Phasenveränderung dar
03.02. Januar 2012
A L L G EM EI N E L Ö SU NG
( )
1)
: System asymtotisch stabil
→
→ Homogene klingt ab
( ) (Erregung)
→ Für
: ( )
Fall A
Fall B
Christoph Hager
Physik
ANALYSIS
T R IG O N OM E T R ISC H E F U N K T I ON E N
Aus Geometrie:
Einheitskreis
H YP ER B OL I SC H E U ND A R E A - F U NK T I ON E N
A NW E ND U NG

A . D G L - K O NS T. K O EF F . , H OM OG E N
1. Charakteristisches Polynom ( )
eruieren.
( )
Bsp.:
( )
(

( )
(

( )



)
ungerade
)
gerade
( )
2. Jedes der NS von ( ) gibt ein Summenglied der Lösung:
o Einfache reelle Lösungen
∑
(
)
( )
( )
( )
( )
(
(
√
)
√
)
( )| | |
o P-fache reelle Lösung
(
(
)
o R-fache komplexkonj. Lösung
(∑
) ( (
(
)
 Sinussatz:
 Cosinussatz:
 Flächensatz:
B EZI E HU NG E N
( )
( )

( )
( )

( )
( )

(
)

(
)

Wenn rechtwinklig:
W ER T E TA B EL L E

√

√
⁄
√ ⁄
√ ⁄
( )
√ ⁄
√ ⁄
⁄
( )
√ ⁄


(
)
)
Sphärisch
√
√
)
( )
( )
( ) und Graf ist immer
( )
)
(
∑
2. Nach auflösen
D . D G L - 1. OR D N U NG , I N H O M OG E N
1. Zuerst homogene DGL lösen ( )
Vorgehen wie bei C
2. Variation der Konstanten anwenden:
[
3. Lösung:
)
]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
(
)
(
))

( )
( )
(
(
)
(
))

( )
( )
(
(
)


( )
( )
( )
( )
(
( )
(
( )
| |
QUICKREZEPTE
DGL
)
)
03.02. Januar 2012
Lösung
( )
( )
= ( )
( )
∫ ( )
( )
( )
( )
( )
∫
( )
( )
̈
( )
̈
( )
(
)
(
)
̈
( )
(
)
(
)
̈
( )
( )
( )
( )
( )
√
))
S P HÄ R I S C H
W I N K E LB EG R I F F E
Zylindrisch
Kartesisch
( )
( )
(
T IP P S
 Ist erst ab n-ter Ableitung vorhanden, Substitution zu
( )
Beginn mit ( )
( )
 Sind und nicht vorhanden: DGL mit multiplizieren
M IT T ER NA C H T SF O M R EL
( )
( )
(
EX P
(
) 2.
ist keine Lösung von ( )
( )
( )
ist p-fache Lösung von ( ):
[
( )
( )]
√
( )
( )
( )
1.
 Ist Lösungsansatz bereits eine Lösung der homogenen DGL
Ansatz mit multiplizieren.
 Ansatz gilt auch wenn Störfunktion konstanten Faktor hat.
 ( ) muss eine Lösung des homogenen DGL sein; Ansatz ist
richtig wenn GLS eindeutig lösbar ist.
( )
( ) so ist
 Ist ( )
( )
( ) so ist
 Ist ( )
W I N K E LF U NK TI O NE N
Sphärisch
Kartesisch

W I N KE L
Winkelfunktion
( )
( )
(
kürzt sich häufig weg
ZY LI ND R I S C H
)
))
ST ÖR F U NK T I ON E N
Für lineare DGL mit konst. Koeffizienten 1. und 2. Ordnung
Störfunktion ( )
Lösungsansatz
Konst Funktion
Lineare Funktion
Polynom Grad n
Exponentialfkt.
1. ist keine Lösung von ( ):
( )
2. ist p-fache Lösung von ( ):
( )
( )
TH E OR EM E
(
)

(
)

]
Die partikuläre Lösung entsteht durch
wobei die Konstante
durch ( ) ersetzt wird(Siehe auch Tabelle).
wird in die inhom.
DGL eingesetzt und kann berechnet werden.
√
(
( )
( )


{
Zylindrisch
)
[
C . D G L - 1. OR D N U NG , H OM OG EN
1. Da DGL separierbar Separation der Variablen:
( ) ( )
( )
∫ ( )
∫ ( )
KA R T ES I S C H
)
(
(
( )
√
Areafunkton weil: Fläche unter
( )
√
)
(
( )
√
√
Zur Hyperbel: ( )
(
))
B . D G L - K O NS T. K O EF F . , I N H OM O G E N
1. Zuerst homogene DLG lösen ( )
Vorgehen wie bei A
2. Betrachte Störfunktion ( )
siehe Tabelle mit Störfunktionen
3. Ansatz für partikuläre Lösung
in inhomogene DGL
einsetzen und Koeff. Bestimmen
4. Lösung:
K O OR D I N A T ENT R A N SF OR M A T I O N
B EZI E HU NG E N
( )
(


3. Lösung:
√

( )
( )
)
o Einfache komplexkonj. Lösung
(
( )
(
(
)
D A S D R EI C K

ETHZ – BAUG - HS 2011
Block 1
(
)
(
)
| |
)
(
mit
( )
S e i t e |8
√
)
(
)
( )
Christoph Hager
Physik
ETHZ – BAUG - HS 2011
Block 1
SA T Z V ON G R E EN
Linienintegral
Flächenintegral
Sei eine positiv orientierte,
geschlossene Kurve in der Ebene.
Sei das Gebiet begrenzt von :
) ( ( ) ( )) ein
Sei (
∫
(
∬
Vorsicht mit Kreisen
→ evtl. nicht bestimmt in (
∫
)
∫
∫
∬
∬





∮
( (
∬
SA T Z V ON G AU S S
Flächenintegral
Volumenintegral
Sei
ein Gebiet im Raum mit
Rand
mit positiver Orientierung
(Normalenvektor nach aussen)
Sei ein Vektorfeld mit stetig partiellen
Ableitungen, so gilt:
∬
(
(
(
(
)
))
)
)) (
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
)
)
 Integral ist wegunabhängig, das Linienintegral entlang einer
geschlossen Kurve ist stets
geschlossene Kurven
∮
 Das Vektorfeld ist in einem einfachzusammenhängenden Bereich
wirbelfrei
(
)
Differentialoperator 2. Grades
Ein quell- und wirbelfreies Vektorfeld
skalaren Feldes darstellbar, d.h.
Laplaceschen DGL genügt:
ist als Gradient eines
, wobei der
( )
)
 Gibt Quelldichte oder Quellstärke pro Volumeneinheit an.
 Ist ein Vektorfeld quellenfrei so gilt:
, Feld ist inkompressibel
 Gilt in einem Punkt
hat das Vektorfeld dort eine Quelle
hat das Vektorfeld dort eine Senke
Feld divergiert oder konvergiert





( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
Vektorfelder,
Rotation:
Ü B ER S IC H T F L U SS / INT EG T AL S ÄT Z E
konst. Vektor, Konstante
(
Rotation:
(
(
)
 Beschreibt Wirbeldichte oder Wirbelfeld zu

zeigt in Richtung der Rotationsachse
 In 2D gilt:
 Ist ein Vektorfeld wirbelfrei, so gilt:
Laplace:
( )
konst. Vektor, Konstante
S e i t e |9
{
)
(
)
)
)
(
) (steht auf Kopf)
(
)
(
)
√
√
(
(
)
)
( )
√
Torus
)
√
Oktaeder
Helix
(Schraube)
)
)
( )
(
( )
√
Steigung:
(
(
) ((
(
(
)
))
⁄
)
)
)
Ellipsoid
(
)
(
(
)
)
(
[
(
Flächenwinkel:
)
(
Laplace:
(
Tetraeder
(
)
(
{
( )
)
(
Pyramide
)
)
Rotation:
(
)
)
)
(
(
(
Zylinder
)
(
Divergenz:
(
Skalares Feld,
(
(
Gradient:
Rechenregeln
Vektorfelder,
)
K UG E LK O OR D I NA TE N
(
)
Skalarfeld:
(
)
Vektorfeld:
)
( )
( )
( )
( )
)]
)
)
Kegel
(
(
Divergenz:
)
(
)
Gradient:
( )
(
( )
( )
( )
(
)
(
)
√
Z Y LI ND ER K O OR I NA T E N
(
)
Skalarfeld:
(
)
Vektorfeld:
R OTA TI O N





(
muss einfach
Kugel
(
)
(
[
Laplace:
( )
Skalares Feld,
(
(
Divergenz:
Rechenregeln
ist das totale Differential einer
G E OM ET R I SC H E F OR M EN 3D
Würfel
P O LA R K O OR I NA TE N
(
)
Skalarfeld:
Vektorfeld:
(
)
(
)
Gradient:
D I V ER G E NZ
 Das Skalarprodukt
Potentialfunktion
Wichtig: Das Vektorfeld muss stetig sein, Gebiet
zusammenhängend sein.
M EH R F A C H O P ER A TI O NE N
( ) (
)


( )
(
)

( )
( )
( )
∭
03.02. Januar 2012
Ein Vektorfeld heisst konservativ, wenn das Linien oder Kurvenintegral
nur vom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom Verbindungsweg
∫
abhängig abhängig ist.
Äquivalente Bezeichnungen und Eigenschaften:
 Konservatives Vektorfeld
 Ist ein Potentialfeld, Feld hat ein Potential
LA P LA C E
Laplace Operator:
Skalarfelder, Konstante
→
A NW E ND UNG
Fläche wechseln: Seien und zwei Flächen mit gleichem
Rand (gleiche Orientierung) so gilt:
∬
)
K O NS ER V A T I V E S V EK T OR F EL D
Rechenregeln
SA T Z V ON ST O K E S
Linienintegral
Flächenintegral (diverser Flächen)
Sei eine positiv orientierte Fläche
im Raum deren Rand eine
einfache geschlossene Kurve mit
positiver Orientierung.
Sei ein Vektorfeld mit stetig
partiellen Ableitungen so gilt:
∮
Differentialoperator 1. Ordnung
 Der Gradient steht senkrecht auf Niveaufläche oder Niveaulinie, zeigt in
Richtung der grössten Zuwachsrate
 Der Betrag des Gradienten ist zugleich die Zuwachsrate
 Für eine parametrisierte Kurve auf Niveaufläche gilt:
̇( )
̇( )
 Gradient entspricht dem Normalvektor der Tangentialebene:
(
)
A NW E ND UNG E N
Flächenberechnung:
∬
NA B LA - OP ER A T OR
⁄
( ⁄ )
⁄
G R A D I E NT
stetig differenzierbares Vektorfeld
auf so gilt:
∮
S P E Z I E L L E V E K T OR F E LD ER
Quellenfreie Vektorfelder:


(
Wirbelfreie Vektorfelder:

(

D IF F ER E NT I A L O P ER A T OR EN
Für ebene Vektorfelder
)
{
)}
(
]
(
(
{
)
)}
)
Paraboloid
}
)
(
)
}
Simpson:
(
)
Christoph Hager