Aufgaben und Lösungen

Klausur
Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) (WS07/08)
Wolfgang v. Soden ([email protected]) Othmar Marti ([email protected])
21. 2. 2008
Vorbemerkung 2:
Skizzieren Sie Ihren Lösungsweg. Ergebnisse ohne erkennbaren Lösungsweg werden nicht anerkannt.
Lösen Sie das Problem. Rechnen Sie dabei solange es geht algebraisch. Setzen Sie erst möglichst
spät konkrete Zahlen ein.
Vorbemerkung 3:
Eine Liste mit Natur- und Materialkonstanten befinden sich am Ende der Aufgaben. Hier sind
auch die Formeln der benötigten Trägheitsmomente aufgeführt.
1 Wellengleichung (3 Punkte)
Aufgabe
Ist die Funktion
f (x,t) =
d20
+
x2
1
− 2xvt + v 2 t2
eine Lösung der Wellengleichung?
Lösung
In einer Lösung der Wellengleichung kommen Ort und Zeit nur in der Form kx ± ωt gemeinsam
vor. Obige Formel erfüllt diese Bedingung (mit v = νλ = ωk ):
f (x,t) =
1
k2
1
=
=
d20 + x2 − 2xvt + v 2 t2
d20 + (x − vt)2
k 2 d20 + (kx − ωt)2
2 Feste Rolle (3 Punkte)
Aufgabe
Eine Rolle (Gewicht Gr ) ist mit einem Seil an der Decke befestigt. Über die Rolle ist ein Seil
geführt, das an einem Ende am Boden befestigt ist und an dessen anderen Ende ein Gewicht
Gg hängt. Wie groß ist die Kraft im Befestigungsseil der Rolle?
Lösung
Am Befestigungsseil greift an das Gewicht der Rolle Gr , das Gewicht des Gewichtes Gg und
die Kraft, mit der der Boden am Seil zieht: diese ist ebenfalls Gg , also insgesamt F = G1 + 2Gg
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3 Zylinder (5 Punkte)
Aufgabe
Ein zylindrischer Stöpsel mit Durchmesser d = 5mm und der Länge l = 10cm soll durch ein
Loch mit Durchmesser D = 4,8mm gezogen werden. Welche Zugkraft wird benötigt, damit dies
ohne Beschädigung des Stöpsels und des Loches gelingt? Der Stöpsel ist aus einem weichen
Gummi gefertigt mit einem Elastizitätsmodul E = 10MPa und der Poissonzahl µ = 0,49.
Lösung
Die Querkontraktionszahl (=Poissonzahl) ist definiert zu
µ=
−∆d
d
∆l
l
(3.1)
und verknüpft die Verkleinerung −∆d z. B. des Durchmessers d eines Drahtes bei Verlängerung
∆l dieses Drahtes der Länge l durch eine Längsspannung σ, die diese Verlängerung bewirkt
gemäß
F
F
∆l
σ=
= πd2 = E
(3.2)
A
l
4
(3.2) in (3.1) eingesetzt ergibt, wobei nach der Aufgabestellung -∆ = d − D = 0,2mm gilt,
µ=
−∆d
d
∆l
l
=
−∆d
d
F
2
E πd4
=
−∆dEπd
−∆dEπd
(d − D)Eπd
−→ F =
=
= 16N
4F
4µ
4µ
(3.3)
Der Stöpsel muss mit einer Kraft von 16N an den Stirnflächen gezogen werden, damit sein
Durchmesser so klein wird wie das Loch.
4 Zerstäubung (5 Punkte)
Aufgabe
Um welchen Betrag ändert sich die Energie, wenn ein Quecksilbertropfen vom Radius r1 = 3mm
vollständig in Tröpfchen mit Radius r2 = 3 · 10−3 mm zerstäubt wird?
Lösung
3
Die Anzahl der kleinen Tröpfchen berechnet sich zu N = rr21
Die Energie infolge Oberflächenspannung für einen Tropfen mit Radius r und spezifischer Oberflächenenergie = σ ist EO = 4πr2 . Damit ist die zu berechnende Energie
3
r1
r1
− 1 = 56mJ
∆E = N E2 − E1 =
4πr2 2 − 4πr1 2 = 4πσr1 2
(4.1)
r2
r2
5 Protonen im Speicherring (6 Punkte)
Aufgabe
In einem Teilchen-Speicherring werden Protonen auf die Geschwindigkeit vp = 0,8c gebracht
(c = Lichtgeschwindigkeit). Dann durchlaufen sie eine Teststrecke von l = 10m. Danach treffen
sie auf Elektronen, die ihnen mit einer Geschwindigkeit von ve = 0,95c entgegenkommen.
1. Um wieviel Prozent vergrößert sich Masse der Protonen bei der Beschleunigung?
2. Wie lang ist die Teststrecke im Bezugssystem des Protons?
3. Welche Zeit benötigt das Proton zum Durchlaufen der Teststrecke (in seinem System)?
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4. Wie groß ist die Relativgeschwindigkeit von Elektron und Proton in ihrem jeweiligen
System?
Lösung
1. Die beobachtete Masse von Teilchen mit der Geschwindigkeit v ist (mit m0 als Ruhemasse)
m= q
m0
1−
(5.1)
v2
c2
Die relative Massenzunahme ist demnach
qm
0
∆m
m − m0
=
=
m0
m0
2
1− v2
− m0
c
m0
1
=q
1−
v2
c2
−1= p
1
1−
0,82
−1=
1
2
− 1 = ≈ 67%
0,6
3
(5.2)
2. Die Lorentzkontraktion gibt das Verhältnis zwischen beobachteter Länge l (in Bewegungsrichtung) und tatsächlicher Länge l0 wieder bei Inertialsystemen, die sich um v
gegeneinander bewegen, also
r
l
v2
(5.3)
l = l0 1 − 2 bzw. l0 = q
c
v2
1−
c2
Dabei ist l0 die Länge in eigenem System und l die Länge, die ein Beobachter im dazu
bewegten System messen würde.
p
Damit verkürzt sich die Teststrecke für das bewegte Proton zu l = l0m 1 − 0,82 =
√
10m 0,36 = 6m.
3. Die Zeit rechnet sich mit demselben Faktor um wie die Strecken (Zeitdilatation).
r
t
v2
t = t0 1 − 2 bzw. t0 = q
2
c
1− v
(5.4)
c2
Auch hier gilt, t0 ist die Zeit im eigenem System und t die Zeit, die ein dazu bewegter
Beobachter wahrnehmen würde.
Die Zeit im Laborsystem ist t0 = lv0 ≈ 41,7ns. Die Zeit im bewegten System ist t =
q
2
l0
1 − vc2 = 25ns. Die Kontrolle für die Geschwindigkeiten liefert, dass in beiden Systev
men diese gleich ist.
4. Relativistische Geschwindigkeiten u und v müssen relativistisch addiert werden, also
w=
ve + vp
v v = 0,994c
1 + ec2 p
(5.5)
6 Eisscholle (6 Punkte)
Aufgabe
Welche Fläche A muss eine d = 13cm dicke Eisscholle haben, damit sie einen Normmenschen
tragen kann?
Lösung
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Beim Schwimmen ist das Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge gleich dem Gewicht des
schwimmenden Körpers. Hier muss das Gewicht der Eisscholle vermehrt um das Gewicht des
Menschen (und eventuell noch vermindert um den Auftrieb des Menschen in der Luft) kleiner
sein als das Gewichts des Wassers mit dem Volumen der Eisscholle Ad, also
L
1 − ρρm
mρL
Ve ρw = Adρw = Ve ρe + m −
−→ A = m
= 7,2m2
ρm
d(ρw − ρe )
(6.1)
Die Eisscholle muss mindestens eine Fläche von 7,2m2 haben
7 Dichtes Loch (6 Punkte)
Aufgabe
In einem Becher (Durchmesser D = 8cm, mit senkrechter Wand) mit einem Loch im Boden
mit Radius r = 0,2mm soll Glyzerin von einem Ort zu einem anderen gebracht werden. Was
ist die maximale Menge (Masse) an Glyzerin, die mit diesem Becher durch 4-maliges Hin- und
Hergehen ohne Verluste befördert werden kann? Wenn der Becher nur 6 cm hoch wäre, liefe er
beim Füllen über, bevor das Gyzerin zum Loch heraustropfte?
Lösung
Die Kraft infolge der Oberflächenspannung, mit der das Glyzerin im Loch gehalten wird, ist
FO = 2rπσ. Die Kraft auf die Lochfläche berechnet sich aus dem Schweredruck der Flüssigkeit
mit Höhe h oberhalb des Loches zu Fs = ρhgπr2 . Damit berechnet sich die maximale Höhe hmax ,
bis zu der der Becher gefüllt werden darf, ohne dass der Becher rinnt, aus der Gleichsetzung
der Kräfte zu
2σ
FO = 2rπσ = Fs = ρhmax gπr2 −→ hmax =
= 5,33cm
(7.1)
ρgr
Das transportierbare Glyzerin berechnet sich somit zu
D2
2σ
= hmax πD2 =
πD2 = 1,07l
(7.2)
4
ρgr
Die transportierbare Menge ist also gut 1 Liter, die Masse 1,2kg. Wenn ein Becher mit 6cm
Höhe voll gefüllt würde, würde er tropfen bevor er überläuft.
V = 4hmax π
8 Differential-Flaschenzug (6 Punkte)
Aufgabe
Der nebenan skizzierte Differential-Flaschenzug
besteht aus einem von der Decke herabhängenden drehbaren Doppelzahnkranz DZ mit 40
Zähnen außen und 32 Zähnen innen und einem
losen Zahnkranz EZ mit 36 Zähnen, an dessen
Achse die Last L hängt. Beide sind durch eine
Endlos-Kette verbunden, an der mit der Kraft
F gezogen wird.
Welche Lasten können gehoben werden, wenn
die Maximalkraft Fmax durch das Gewicht eines Normmenschen festgelegt ist?
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Lösung
Umfang in DZ: grosser Zahnkranz: 40z mit z=Zahnabstand 40z = 2πR1 Daraus R1 = 20z
π
kleiner Zahnkranz: 32z mit z=Zahnabstand 32z = 2πR2 Daraus R2 = 16z
π
Rolle DZ dreht sich um dφ im Uhrzeigersinn:
Wege in der Zug-Kette in Zugkraftrichtung: dlz = dlF = R1 dφ = 20z
π dφ
20z
Weg in der linken Tragkette nach oben: dll = R1 dφ = π dφ
Weg in der rechten Tragkette nach unten: dlr = R2 dφ = 16z
π dφ
Halbe Differenz der beiden gibt Weg der Last nach oben: dlL = 21 (R1 − R2 )dφ = 2z
π dφ
1
Arbeit an Last = aufgebrachte Arbeit: LdlL = F dlF oder L = F R12R
=
10F
=
7500N
−R2
9 Rollende Kugel (6 Punkte)
Aufgabe
Berechne die kinetische Energie einer Stahl-Hohlkugel (Aussendurchmesser da = 1m, Innendurchmesser di = 0,9m), die auf einer ebenen Fläche mit der Geschwindigkeit v = 1m/s rollt.
Benutze dabei die Rotation um die momentane Drehachse.
Lösung
Die kinetische Energie der Rotation lautet E = 21 Iω 2 , mit I = Trägheitsmoment und ω =
Winkelgeschwindigkeit der Rotation.
Das Trägheitsmoment einer Kugel beträgt Ik = 25 mr2 . Für eine Hohlkugel mit Außen- und
Innenradius muss hier die Masse auch mit dem Radius ausgedrückt werden: m = ρ 34 πr3 . Damit
ergibt sich das Trägheitsmoment einer Hohlkugel mit Außenradius ra und Innenradius ri mit
Achse durch den Mittelpunkt zu
2
2
2 4
8
Ihohlkugel = ma ra2 − mi ri2 = ρ π(ra 3 ra 2 − ri 3 ri 2 ) = ρπ(ra 5 − ri 5 )
5
5
5 3
15
(9.1)
Der Mittelpunkt der Rotation ist der momentane Berührpunkt von Kugel und Unterlage. Deshalb muss mit dem Satz von Steiner das Trägheitsmoment der rollenden Kugel berechnet werden
zu
4
1
8
ρπ(ra 5 −ri 5 )+ ρπ(ra 5 −ri 3 ra 2 ) = ρπ(28ra 5 −ri 3 (20ra 2 +8ri 2 ))
15
3
15
(9.2)
Die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich aus der Geschwindigkeit der Achse und dem Radius zu
ω = rva . Also ist die kinetische Energie dieser rollenden Hohlkugel
Irollend = Ihohlkugel +mra2 =
1
E = Irollend ω 2 =
2
=
1
v2
v2
ri 2
ρπ(28ra 5 − ri 3 (20ra 2 + 8ri 2 )) 2 = ρπ(14ra 3 − ri 3 (10 + 4 2 )) =
30
ra
15
ra
2
2
v
di
ρπ(7da 3 − di 3 (5 + 2 2 )) = 888J
(9.3)
60
da
10 Reichweite eines Strahls (6 Punkte)
Aufgabe
In ein bis zum Rand mit einer Flüssigkeit gefülltes oben offenes Gefäß der Höhe H wird in eine
Seitenwand ein Loch gebohrt, so dass die Flüssigkeit in einem Bogen herausströmen kann. In
welcher Höhe des Gefäßes muss das Loch gebohrt werden, dass die Reichweite des Strahls, also
der Abstand zwischen Auftreffen des Strahls auf dem Boden und Gefäßwand, am größten ist?
Lösung
Vereinbarungen: Das Gefäß habe die Gesamthöhe H0 . Das Loch wird in der Höhe y ≤ H
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gebohrt. Die horizontale Reichweite des Strahls sei x
Die Geschwindigkeit des Ausströmens wird durch das Gesetz von Bernoulli bestimmt
p + ρgH + ρ
v2
= const
2
(10.1)
(p=Druck in der Flüssigkeit, ρ deren Dichte, H=aktuelle Füllhöhe, v=Ausfließgeschwindigkeit.
Im Gefäß beim Ausfluss kommt der einzige Beitrag vom Schweredruck: ps = ρg(H0 − h), im
2
Ausfluß herrscht nur der dynamische Druck pd = ρ v2 . Durch Gleichsetzen dieser Drücke erhält
p
man die Austrittsgeschwindigkeit zu v = 2g(H0 − h)
Das austretende Wasser bewegt sich auf einer Wurfparabel mit waagerechtem Abwurf. Die Zeit,
bis es den Bodenq
berührt, sei t. Diese ergibt sich aus dem freien Fall über die Höhe h, also aus
1 2
h = 2 gt zu t = 2h
g . Die Reichweite ist nun
s
x = vt =
p
2g(H0 − h)
p
2h
= 2 h(H0 − h)
g
(10.2)
Diese Strecke soll maximal werden, und damit der Ausdruck in der Wurzel. Dieser differnziert
und Null gesetzt ergibt die Höhe hm für den maximal weitreichenden Strahl
H0
d(hH0 − h2 )
= H0 − 2hm = 0 −→ hm =
dh
2
(10.3)
Das Loch muss also genau bei der halben Füllhöhe gebohrt werden.
11 Mörteltransport (7 Punkte)
Aufgabe
Angemachter Mörtel soll zu einer Baustelle gebracht werden. Dazu wird eine offene quadratische Wanne mit Seitenlänge s = 1,5m und der Seitenhöhe h = 0,6m benutzt, die sich auf einem
Transporter befindet. Diese Wanne wird im Baugeschäft zur Hälfte gefüllt. Welche Geschwindigkeit darf der Transporterfahrer nicht überschreiten, wenn der Mörtel bei einer Notbremsung
mit dem Bremsweg w = 18m nicht über den Rand der Wanne laufen soll? (Vernachlässigen
Sie hier das Hin- und Herschwappen beim Verändern der Beschleunigung, rechnen Sie also mit
Gleichgewichtszuständen.)
Lösung
Die Mörteloberfläche stellt sich beim Bremsen so ein, dass sie senkrecht zur Gesamtkraft wird.
Diese setzt sich aus dem Gewicht (wirkt senkrecht) und der Bremskraft (wirkt waagerecht)
zusammen. Da beide Kräfte auf dieselbe Masse einwirken, kann hier mit den Bremsbeschleunigung b und der Erdbeschleunigung g gerechnet werden.
Der Tangens des Winkels ψ der Mörteloberfläche gegenüber der Horizontalen beträgt maximal
tan ψ = hs = 0,6
1,5 , da der Mörtel ja nicht überlaufen soll. Die wirksame Beschleunigung muss
g
senkrecht dazu sein, also cot ψ = gb , woraus folgt b = gh
s = 2,5 .
Der Bremsweg bei dieser Brems-Beschleunigung
soll w = 18m betragen. Dieser Weg ergibt sich
q
zu w = 2b t2 mit der Bremszeit t = 2w
b . Mit dieser ergibt sich die gesuchte Geschwindigkeit zu
q
q
√
v = bt = b 2w
2wb = 2wgh
= 12m/s = 43,2km/h
b =
s
Die maximale Geschwindigkeit beträgt also vmax = 43,2km/h.
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12 Kunstfahrer (7 Punkte)
Aufgabe
Als Attraktion gab (gibt) es Motorradfahrer, die gleichzeitig in einer Gitterhohlkugel in untereinander verschiedenen Ebenen fahren, ohne sich zu berühren.
Wie groß muss mindestens die Winkelgeschwindigkeit eines Fahrers sein, der den horizontal
größtmöglichen Kreis einer solchen Gitterkugel mit Durchmesser D = 4m fahren soll, ohne
dass das Motorrad rutscht? Und welche Beschleunigung muss er in diesem Grenzfall aushalten?
Nehmen Sie zur Rechnung an, dass das Motorrad samt Fahrer als Punktmasse, die sich auf der
Innenfläche der Hohlkugel bewegt, aufzufassen ist.
Die Haftreibungszahl zwischen dem Gummi des Motorrad-Reifens und dem Eisengitter sei
µ = 0,8.
Lösung
Die Haft-Kraft zwischen Gummireifen und dem Eisengitter muss mindestens das Gewicht des
Motorrads samt Fahrer sein, also G = mg (mit m =Gesamtgewicht Fahrer + Motorrad). Diese
wird durch die Zentrifugalkraft Fz = mω 2 R (2R = D) infolge der Kreisbewegung des Motorrads
aufgebracht, noch multipliziert mit dem Haftreibungskoeffizient µ, also
r
2g
2D
G = mg = µFz = µmω
−→ ω =
= 2,5s−1
(12.1)
2
Dµ
Als Beschleunigung auf den Fahrer gibt es die Erdbeschleunigung g, die senkrecht nach unten zeigt, und die Zentrifugalbeschleunigung, die parallel zur Erdoberfläche ist. Die effektive
Beschleunigung ist die Vektorsumme der Einzelanteile. Ihr Betrag ist, da die beiden senkrecht
aufeinader stehen, über deren Quadratsummen berechenbar.
s
r
r
D
2g D 2
1
2
2
2
2
b = g + (ω
) = g +(
) = g 1 + 2 = 16m/s2
(12.2)
2
Dµ 2
µ
Diese Beschleunigung wirkt unter einem Winkel von etwa π/4 gegenüber der Senkrechten. Das
Motorrrad samt Fahrer muss genau diesen Winkel haben, da es sonst kippen würde.
13 Merkur (8 Punkte)
Aufgabe
Der Abstand des Merkurs von der Sonne beträgt im Perihel (sonnennächster Punkt) rp = 46
und im Aphel (sonnenfernster Punkt) ra = 70 · 109 m. Wie groß sind die Bahngeschwindigkeiten
des Merkurs im Aphel und Perihel? Benutze, soweit benötigt, zur Berechnung den Energiesatz,
die Impulssätze sowie das Gravitationsgesetz.
Lösung
Der Energiesatz sagt, dass die Summe von kinetischer und potentieller Energe konstant ist,
sowohl im Aphel wie im Perihel, also
1
GMs mm
1
GMs mm
2GMs
2GMs
Ekin + Epot = mm va 2 −
= mm vp 2 −
−→ va 2 −
= vp 2 −
2
ra
2
rp
ra
rp
(13.1)
Der Drehimpuls des Merkurs aufgrund es Umlaufs um die Sonne muss konstant sein. Dieser
Berechnet sich aus dem Trägheitsmoment und der Winkelgeschwindigkeit, und unter Benutzung
von I = mr2 (Punktmasse im Abstand r) und v = rω (Kreisbewegung)
Ia ωa = Ip ωp = mm rp 2
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vp
= mm rp vp −→ ra va = rp vp
rp
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(13.2)
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(13.2) in (13.1) eingesetzt ergibt
2GMs
ra 2 2GMs
2GMs
= vp 2 −
= va
−
−→ va 2 = 2GMs
va 2 −
ra
rp
rp
rp
1
ra
1−
− r1p
2 = 2GMs
ra
rp
1
ra
1+
ra
rp
(13.3)
Daraus folgt
s
va =
2GMs
ra + rp
r
rp
= 38,9km/s bzw. va =
ra
s
2GMs
ra + rp
r
ra
= 59,2km/s
rp
(13.4)
14 Gebremstes Stangenpendel (8 Punkte)
Aufgabe
Ein homogenes Stabpendel der Länge L und
Masse M kann sich frei um eine Achse A am
oberen Ende des Stabes bewegen (siehe Abbildung). Die Achse liegt in einer flachen kleinen
Mulde und kann diese in horizontaler Richtung
leicht verlassen.
Das ausgelenkte und freigelassene Pendel prallt
in vertikaler Position gegen eine vertikal verschiebbare feste Kante. Bei diesem Aufprall
verlässt im Allgemeinen die Achse ihr Lager,
außer bei einem ausgezeichneten Abstand x der
Kante vom Schwerpunkt S. Wo ist dieser?
Stangenpendel mit Anschlag
Lösung
Im Spezialfall muss der Stab sich nach dem Stoß in Ruhe befinden und während des Stoßes
darf auf das Lager keine horizontale Kraft wirken.
Ruhe heißt Impuls p(t) des Stabes und Drehgeschwindigkeit ω(t) sind nach dem Stoß der Dauer
τ Null:
p(t > τ ) = 0
und
ω(t > τ ) = 0
(14.1)
Der Impuls unmittelbar vor dem Stoß ergibt sich aus der Masse und der Geschwindigkeit des
Schwerpunktes. Der Schwerpunkt ist genau in Stabmitte. Dessen Geschwindigkeit ist vs =
ω(0) L2 mit ω(0) der Winkelgeschwindigkeit des Stabes unmittelbar vor dem Aufprall. Während
des Stoßes, also in der Zeit 0 ≤ t ≤ τ wirkt eine horizontale Kraft F (t) auf den Stab, dessen
Zeitintegral die Impulsänderung ist:
Z τ
L
F (t)dt = p(τ ) − p(0) = 0 − M · vs = −M ω(0) ·
(14.2)
2
0
Andererseits wirkt auf den Schwerpunkt während des Aufprall ein Drehmoment vom Aufprallpunkt herrührend, der den Abstand x vom Schwerpunkt hat. Vom Lager darf kein Drehmoment
wirken, da ansonsten die Drehachse des Stabes das Lager verlassen würde. Das Zeitintegral der
1
Drehmomente während des Aufpralls gibt die Änderung des Drehimpulses, also (mit I = 12
M L2
als Trägheitsmoment des Stabes bei Rotation um den Schwerpunkt):
Z τ
1
F (t)dt = I · ω(τ ) − I · ω(0) = 0 − I · ω(0) = − M L2 ω(0)
x
(14.3)
12
0
(14.3) durch (14.2) dividiert ergibt
x=
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1
− 12
M L2 ω(0)
−M ω(0) ·
8
L
2
=
L
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(14.4)
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Der gesuchte Ort befindet sich 1/6 der Stablänge unterhalb des Schwerpunkts.
Wo ist aber der Impuls und Drehimpuls des Stabes geblieben, die beide vor dem Aufprall
vorhanden waren? Beide nimmt die Wand mit dem Stoßanschlag und dem Lager des Stabes
auf.
15 Schraubenfeder (2 Punkte)
Aufgabe
Ein dickerer Draht ist so zu einer Schraubenfeder gewickelt, das sich die Wicklungen nicht berühren. Welche Beansprachung erfährt dieser Draht bei Verkürzung der Feder?
Lösung
Die Beanspruchung im Draht einer Schraubenfeder ist unabhängig von der Beanspruchungsrichtung eine Torsion des Drahtes - bei kleinen Auslenkungen (und falls die Steigung des Federdrahtes klein ist).
16 Neuer Stoff (2 Punkte)
Aufgabe
Im Patentamt wird ein Patent angemeldet für ein neues Material mit den Moduln: G = 130GPa
und E = 400GPa. Begründen Sie die Ablehnung dieser Anmeldung.
Lösung
Der Elastizitätsmodul E ist maximal dreimal so groß wie der Schermodul G.
17 Schwingungsfähiges System (2 Punkte)
Aufgabe
Mit welcher Methode und aus welcher Messgröße ermitteln Sie die Eigenfrequenz und die genaue
Güte eines schwingungsfähigen Systems, wenn die Güte sehr klein ist, z.B. Q ≈ 0,2?
Lösung
Ich rege das System mit einer äußeren periodischen Kraft an, deren Frequenz ich ändere, und
messe die Phase zwischen Anregung und Auslenkung des systems. Bei der Eigenfrequenz der
Systems beträgt die Phase π2 und die Steigung dort liefert die Güte und somit die Dämpfung.
18 Wettschwimmen (2 Punkte)
Aufgabe
Bei einem Wettschwimmen an einem Fluss, bei dem eine gewisse Strecke geschwommen und
dann wieder zum Ausgangspunkt zurückgekehrt werden muss, haben Sie die Möglichkeit, ihre
Schwimmstrecke entweder quer zur Fließrichtung oder parallel zu dieser zu wählen. Welche
bevorzugen Sie, um Ihre Gewinnchancen zu erhöhen?
Lösung
Die Wahl quer zur Fließrichtung ist die bessere, da der Zeitverlust beim Schwimmen gegen den
Strom nicht durch den Zeitgewinn beim Schwimmen mit dem Strom kompensiert werden kann.
19 Arterienverkalkung (2 Punkte)
Aufgabe
Ihr Arzt teilt Ihnen das Ergebnis der letzten Untersuchung mit: der innere Durchmesser Ihrer
Arterien hat sich infolge Ablagerungen um 16% verringert. Aus welchen Grund ist diese relativ
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kleine Veränderung beunruhigend?
Lösung
Der Durchfluss durch ein Rohr hängt (nach Hagen-Poiseuille) vom Durchmesser in der vierten
Potenz ab, weswegen eine kleine Änderung im Durchmesser schon einen großen Effekt macht.
Im Beispiel hier verringert sich die Durchflussmenge auf die Hälfte (bei Konstanz der anderen
Einflüsse).
20 Quader (2 Punkte)
Aufgabe
Ein Quader mit dem Maßen a × b × c = 5 × 8 × 12cm3 wird so in die Luft geworfen, dass er
anfangs beim Flug zusätzlich zu der Bewegung entlang der Flugkurve um eine der drei Hauptträgheitsachsen (diese Achsen gehen durch die Mittelpunkte paralleler Flächen des Quaders)
rotiert. Bei welchen dieser Achsen kommt der Quader dabei nicht ins Taumeln?
Lösung
Die Achsen für die beiden extremalen Hauptträgheitsmomente sind stabile Achsen bei Rotation
des Körpers, die dritte nicht. Es sind dies die, die durch die größten und kleinsten Quaderflächen, also durch bc und ab gehen.
Konstanten:
Naturkonstanten:
Gravitationskonstante
Lichtgeschwindigkeit
G
c
6,67 · 10−11
3 · 108
m3 /kgs2
m/s
Dichten:
Eis
Glyzerin
Luft
Mensch
Stahl
Wasser
ρe
ρg
ρl
ρm
ρs
ρw
920
1200
1,25
1100
7800
1000
kg/m3
kg/m3
kg/m3
kg/m3
kg/m3
kg/m3
Oberflächenspannung:
Glyzerin
Quecksilber
Wasser
σG
σQ
σW
0,073
0,5
0,073
N/m
N/m
N/m
Massen:
Normmensch
Sonne
mn
Ms
75
2 · 1030
kg
kg
Sonstiges:
Erdbeschleunigung
g
10
m/s2
Trägheitsmomente:
Kugel
Stange
Klausurblatt 1
2
2
5 mR
1
2
12 mL
vom 21. 2. 2008
m=Masse
m=Masse
R=Radius
L=Länge
10
c
2007-2008
University of Ulm, W. v. Soden